Дискретизация норм и неравенства Харди в теории пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

I. Взаимосвязь однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью.

1.1. Обозначения и предварительные сведения.

1.2. Обобщенные пространства Лизоркина-Трибеля.

1.2.1. Обозначения и определения.

1.2.2. Взаимосвязь однородных и неоднородных обобщенных пространств Лизоркина-Трибеля.

II. Дискретизация норм в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью ^-преобразования.

2.1. Обозначения и предварительные сведения.

2.2. Свойства р и -^-преобразований для пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью.

2.3. Независимость пространств Лизоркина-Трибеля от выбора функций <р и Ф.

III. Весовые неравенства типа Харди для модулей непрерывности функций и их симметричных перестановок.

3.1. Предварительные сведения.

3.2. Неравенство типа Харди для модулей непрерывности функций.

3.2.1. Доказательство Теоремы 1.

Оценка снизу.

3.2.2. Доказательство Теоремы 1.

Оценка сверху при р < q,9 < q.

3.2.3. Доказательство Теоремы 1.

Оценка сверху при р = q',0 < q.

3.3. Неравенство Харди для модулей непрерывности перестановок.

3.3.1. Доказательство теоремы 2.

Оценка снизу.

3.3.2. Доказательство теоремы 2.

Оценка сверху.

3.4. Неравенство Харди для разностей.

В современном математическом анализе важную роль играют функциональные пространства, принадлежность к которым характеризует гладкость функций (вообще говоря нецелого порядка). Наиболее известными и широко используемыми пространствами такого типа являются пространства Никольского-Бесова [Bpq] и Лизоркина-Трибеля [Fpq]. Теория классических пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля изложена в монографиях С.М. Никольского [1], О.В. Бесова, В.П. Ильина, С.М. Никольского [2], Г. Трибеля [3, 4]).

Настоящая диссертация посвящена исследованию пространств дифференцируемых функций обобщенной гладкости Бесова-Лизоркина-Трибеля, заданных на n-мерном пространстве и неравенству типа Харди для модулей непрерывности функций и их симметричных перестановок.

Актуальность исследования пространств дифференцируемых функций многих переменных обобщенной гладкости подтверждается их возникновением и применением в ряде задач теории вложений, теории приближений, теории рядов Фурье, теории вырождающихся эллиптических уравнений с нестепенным вырождением, спектральной теории, теории дифференциальных операторов и теории интерполяции линейных операторов.

Кратко охарактеризуем эти источники появления пространств обобщенной гладкости.

Введение обобщенных параметров гладкости позволяет более тонко и более гибко классифицировать дифференциальные свойства функций и в ряде задач теории вложений получить окончательные результаты.

Еще один источник появления пространств типа Бесова с нестепенной гладкостью - проблема описания следов для весовых классов Соболева, которая возникает при изучении краевых задач для вырождающихся вблизи границы эллиптических операторов.

Существенное продвижение в ее исследовании достигнуто Г.А. Ка-лябиным. В его работах, а также в работах Б.В. Тандита показано, что пространство следов для весового класса Соболева с нестепенным весом совпадает с некоторым пространством Бесова с нестепенной гладкостью.

В диссертации проводится дискретизация норм в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помошью так называемого "^-преобразования" Кальдерона и установлена взаимосвязь между однородным и неоднородным пространствами Лизоркина-Трибеля, а также взаимосвязь однородных пространств и их дискретных аналогов, обобщающая известные результаты Фразье-Яверта; при этом существенно используется векторный вариант теоремы о максимальном операторе Харди-Литтливуда, установленный Фефферманом и Стей-ном (см. [5, 6])

Данная работа посвящена также изучению разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных (см., например, [14, 15]). Аналог получен заменой в правой части неравенства весовой нормы к-ож производной функции на весовую норму ее к-ото модуля непрерывности в Lp. Неравенства такого типа (для разностей первого порядка) были впервые получены Г.Н Яковлевым в одномерном случае и для степеных весов (см. [31]).

Этот результат был затем обобщен в работах А. Куфнера, Л.Э. Перссона, Г. Трибеля, Г. Хайнига и других. Уточнения условий на вес в случае связанных весов в правой и в левой частях неравенства были получены в работах В.И. Буренкова и В.Д. Эванса, В.И. Бу-ренкова, M.JI. Гольдмана и В.Д. Эванса. Потом В.И. Буренковым, и M.JI. Гольдманом в одномерном случае для разностей первого порядка было найдено необходимое и достаточное условие на весовую функцию для справедливости соответствующего неравенства. Эти результаты играют важную роль в проблеме продолжения фунций из пространств с обобщенной гладкостью для вырождающихся областей (см. [32]).

Далее, В.И. Буренковым и M.JI. Гольдманом получено развитие результатов по разностным аналогом неравенства Харди. Ими была рассмотрена двухвесовая задача (то есть снято априорное условие взаимосвязи весов в правой и левой частях неравенства), причем в многомерном случае и для модулей непрерывности высших порядков (см.[28]).

В данной работе получено дальнейшее обобщение результатов работы [28]. Здесь мы используем весовую Lq -норму модуля непрерывности функции в Lp в правой части неравенства типа Харди (в [28], рассмотрен случай согласованных норм: в = р).

Цель работы состоит в следующем:

1. Установление взаимосвязи между однородными пространствами и неоднородными пространствами Лизоркина-Трибеля обобщеннои гладкости.

2. Дискретизация норм в однородном обобщенном пространстве Ли-зоркина-Трибеля и установление взаимосвязи между этими пространствами и их дискретными аналогами с помошью так называемого ^-преобразования Кальдерона.

3. Нахождение необходимого и достаточного условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах или взаимосвязи), для справедливости разностного аналога двухвесового неравенства типа Харди для производных.

В главе 1 впервые найдены условия на обобщенный параметр глад-кости-функцию А(£), при выполнении которых норма в неоднородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью Fpq^ эквивалентна сумме Lp-нормы и нормы в однородном пространстве rPq .

Во второй главе введен дискретный аналог однородного пространства Лизоркина-Трибеля и впервые получена дискретизация нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью так называемого «^-преобразования Кальдерона и обратного к нему ф-преобразования.

В главе 3 установлены точные условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах) для справедливости нового разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных.

В диссертации применяются методы теории обобщенных функций, теории весовых неравенств, теории атомарных разложений; методы теи - и ории вложении и приближении; методы теории вырождающихся эллиптических уравнений с нестепенным вырождением; методы общей теории функциональных пространств; методы теории пространств дифференцируемых функций-оценки разностных характеристик функций, интегральные представления и т.д.

Материалы диссертации докладывались на научных конференциях РУДН (1994, 1996, 1998, 1999 гг.), на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН по теории функциональных пространств под руководством д.ф.м.н проф. M.JI. Гольдмана.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10 -13,

33].

Краткое содержание диссертации.

В первой главе установлена взаимосвязь однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью. Рассмотрена функция ip : Шп —v С со следующими свойствами: (р G S(Rn) (пространству основных функций Л.Шварца),

SuppFip С : 1/2 < < 2}, |Fy>(OI > С0 > 0, § < < §, где F<p(£) = (2тг)~2 f <р(х) ^-преобразование Фурье в Еп.

Мп

Пусть t > 0, (P(t)ix) = t~n(p(t~1x), X G ®Ln- Для этой функции (P(f) и для V/ G S", V£ > 0 определяется свертка p{t)*f)(x) =f (2тг)-"'2(/[,],*>(,)(* - у)).

Здесь S' = 5'(Еп)-пространство распределений Л.Шварца. Введем для v G Z (ри(х) = фу-*) = 2vny{2ux), х G Mn

Далее, рассмотрена функция, определяющая обобщенную гладкость Л : —v М+; Л(1) = 1; 0 < Л0 < Ш < Л0 < оо, V* > 0, г G 2£].

Пример.

Пусть а, (3 е R; а < ^ t, ^ Тогда minjl; 2е*} < ^ < тах{1; 2^}; г 6 [i, 2f].

Далее, рассмотрена задача о взаимосвязи однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью Л(t). Определение 1.

Пусть 1 < < оо, 0 < q < оо. Тогда К л(-) рч

А(-) ря [А(2">„ */|]« оо

- это однородное обобщенное пространство Лизоркина-Трибеля. Здесь Z= {0,±1,±2,±3.}.

При X(t) = ta, а > 0 получим

F^ (Rn) = F«q(Rn)

- известное пространство Лизоркина-Трибеля (см.[3,4,5]).

Рассмотрим теперь неоднородное обобщенное пространство Лизоркина-Трибеля Fpi'](Rn). Определение 2.

Пусть 1 < р < оо, 0 < q < оо. Тогда

F*)(R) = {feS': пуп^., ря ф*/|* + Е оо где Ф € ,S'(R") и SuppFФ С {£ : |$| < 2}, |РФ(£)| > Со > 0 при

1£1 < I

Для неоднородных пространств Отметим, что г,А( ря о = О / = 0 (в S').

7Л(.) « ||Ф * /||L + ря г оо Е

•i/=i

Аналогично, как в случае однородного пространства, если А(£) = fa, ) = F" (Rn)- известное неоднородное пространство Лизо

А(-) то Fj ркина-Трибеля.

В главе 1 доказана теорема (см. 1.2.2) о том что при 1 < р < оо, О < q < оо, и следующих предположениях относительно функции гладкости Л(t): ^щ- > Ао > l,Vf > О справедливо соотношение Fpq'^ = Lp П -Fpq и имеет место эквивалентность норм

А(.) гря

Ьр + Шрч-)

В качестве примеров отметим, что Л(t) = ta In7(2 1), а > 0 7 G ® удовлетворяет условиям теоремы, в то же время X(t) = In7(2 + t), не удовлетворяет условиям теоремы, ни при каком 7 g 1.

Во второй главе получена дискретизация нормы в однородном обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля. Рассмотрена функция ф, удовлетворяющая тем же условиям, что и <р; причем ф согласована с так что

Далее, введен дискретный аналог пространства Fpq^, обозначаемый через fpq^ (Мп), то есть множество всех числовых последовательностей

S = {5q}q, отвечающих системам всех двоичных кубов {Q}, для которых

Н5Н/м-) =

Jpq

Здесь v G Z, к G Zn;

EWniSglxgWr q

Q = Quk = {(жь.,жп) G п . OO.

2~ukj < Xj < 2~v(kj + 1), j = l,.,n};

Xq(x) = \Q\~*Xq{x) ~ нормированная в L2 характеристическая функция двоичного куба Q. В этой главе доказана теорема о дискретизации нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля с помощью "^-преобразования S^ и обратного к нему "^-преобразования

Ti it ф •

Дискретизация нормы в обобщенном пространстве Лизоркина-Трибеля осуществляется с помощью известной конструкции, восходящей к Кальдерону (см. [4,5]). Пусть <р(х) = ip{—x)\ <ри(х) = 2untp(2vx), х G K.n; XQ=2~uk -"левая нижняя вершина" куба Q = Q„fc. Положим для / е S'(Mn); (Svf)Q = 2-*?(<pv*f){xQ) = 2* f){2~vk).

Оператор "^-преобразования" S^ сопоставляет функции / Е S' набор чисел Spf = | , отвечающих всем двоичным кубам Q.

Пусть теперь S = {SqIq = {Sv,k}„k набор чисел, отвечающих двоичным кубам Q = Qv,k- Тогда оператор Тф задается формулой: к GZ"

В главе 2 (см. раздел 2.2) доказана теорема о том, что при 1 < р < оо, 0 < q < оо и функции гладкости Л(f), удовлетворяющей Дг-условию (то есть А(т) « \(t) при т £ [i, 2t] и t > 0), операторы

Тф : /рд( )(1^п) —»• -Fpg'^(IRn) ограничены. Кроме того Тф о S^ = id : Fp^ {Шп) —>■ Fpq(,)(Rn) (тождественный оператор). Из этой теоремы следует справедливость диаграммы

В качестве следствия этих результатов показана независимость обобщенного пространства Лизоркина-Трибеля Fpq\^n) от функции <р 6 S, удовлетворяющей вышеуказанным условиям.

Третья глава этой работы посвящена изучению разностного аналога известного двухвесового неравенства типа Харди для производных. В ней приведена теорема (см. раздел 3.2), в которой установлены точные условия на весовые функции (без априорных предположений об их свойствах), при выполнении которых имеют место неравенства, оценивающие весовую Lq норму функции в некотором шаре через весовую £©-норму ее к-ого модуля непрерывности в Lp по этому шару (см. [33]).

Определение 3. Пусть к > 2, h € Шп, тогда для f(x) £ Lp(Rn) Ahf(x)=f(x + h)-f(x);

Akhf(x) = Ah(Akh~1)f(x) = £ ("I)k-mC?f(x + mh) - разность m=0 к-ого порядка с шагом h, где С™- биномиальные коэфициенты.

Определение 4. Пусть Q - открытое множество в Шп т.е. fi С Мп, мы имеем = A^f(x), если [ж,х + kh] С fi; AkQf{x) = 0 в противном случае.

Далее, пусть 1 < р < оо, А; > 1, г > 0, тогда для /(ж) £ Lp(En) n(/,«) = sup II Дл,п/(-)1к

Ь|< hPK"

- модуль непрерывности функции /(ж) порядка к по открытому множеству О, в норме Lp.

В нашем случае рассматривается Q = Вг - шар радиуса г. Приведем следствие из этой теоремы относящееся к случаю радиально-симметричного монотонного веса. Пусть 1 < 0,р < q < оо; к > Пусть и) : R+ —IR+; v : Вг —> R+ = (0, оо) - измеримые функции. оо / \ ко S 4 t + s w(s) c/s I , it £ и при г > 0, * G (0, г], в > 1, 0' = ё=т

Фг№ = т/ г

1 ds

I — / \ / ' / r*il>(r)J J [8$ф(в)] 1 F

Тогда, для величины 1

I \f\qvdx

G r — sup

Gbp(Br) ф(г)[ J \f\Pdx) +(f^Br(f,p)°cj(p)dy ibr при v(x) = V(|a:|), где V(s) l имеет место двусторонняя оценка

Gr& sup [0(*)ФГ(*)]5 te(o,r] где

9®={JBvdy) '

Приведенный результат означает наличие двусторонней оценки для нормы оператора вложения, действующего из пространства типа Бесова Bp^Q (Вг) с обобщенной гладкостью, заданной с помощью весовой функции со, в весовое пространство Lq,v(Br), причем постоянные в этой оценке не зависят от г.

Далее, рассматривается неравенство Харди для модулей непрерывности перестановки. Рассмотрены невозрастающая и симметричная перестановки функции /. Именно, f*(t) = inf{а £ : Л/(a) <t},te Е+, где А/(а) = mes{x 6 Вг : |/(ж)| > а}, и п где Vn - объем единичного шара.

Тогда при 1 < 9,р < q < оо; к > ^ справедлив следующий результат: для величины

Gl = f \f\qvdx sup < feLp(Br)

Ф(г)[/ ifiPdxJ + (^^BrUKy)eu{y)dy имеет место двусторонняя оценка

Gi и sup Ы*)Фг(*)]; 9i W = ( [ Vй dy) 9 0,r] \./fit / без априорных предположений относительно веса v(x)).

В конце главы (см. раздел 3.4) доказана теорема о неравенстве Харди для разностей в одномерном случае и для монотонных весовых функций. В ней получен следующий результат.

Пусть At,rf(x) = AjQf(x) при Q = (-г,г), 1 < 9,р < q < оо; v : Ш. —> R+, со : М. —>• Ш+ - измеримые четные функции и v(t),w(t) 4- при t <= м+; ф(Ь) = оо

1-е

J y9w(y) dy + f wiy) dy о t при t E M+; if>(t) oo(t 0), ip(t) 0(t oo), ^(1) = 1. Пусть r G R+ : Фг(4) = | [r^(r)]-0/ + jJ[у?ф{у)]

-в'^У у в', при t Е (0, r],0' = g(t) = | /

Ja;|<i f \f\qvdx

Dr = sup < f€Lp(-r,r) —г

V-(r) / |/|>дг + / ||Д(,/||» ,.rir)»P

Тогда справедлива двусторонняя оценка

Ci sup Ь(*)ФГ(*)] <Dr<C2 sup Ь(«)Фг(*)]. t€(0,r] t€(0,r]

1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.// Москва. Наука. 1969- Первое издание, 1977-второе издание.

2. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.// Москва. Наука 1975- первое издание, 1996- второе издание.

3. Трибель Г. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.// Москва. Мир, 1980.

4. Трибель Г. Теория функциональных пространств.// Москва. Мир, 1986.

5. Frazier М., Jawerth В., Weiss G. Littlewood-Paley theory and the study of function spaces.// C.B.M.S. 1989, July 3-7. N 79.

6. Frazier M., Jawerth B. A discrete transform.// D.M.S. November 1988.

7. Буренков В.И. Функциональные пространства.// Учебное пособие. Москва. РУДН. 1987.

8. Буренков В.И. Функциональные пространства. Основные интегральные неравенства, связанные с пространствами Lp.f / Учебное пособие. Москва. Издание РУДН. 1989.

9. Гольдман M.JI. Исследование пространств дифференцируемых переменных с обобщенной гладкостью.// Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук. Москва. 1988.

10. Мутарутиния В. Атомарное разложение функций из пространств Лизоркина-Трибеля. // XXXII научная конференция РУДН, 27 мая-2 июня 1996 г.: Тезисы докладов. Математические секции. -М.: Изд-во РУДН, 1996. -С. 123.

11. Мутарутиния В. Взаимосвязь однородных и неоднородных пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью. // XXXIV научная конференция РУДН, 19-22 мая 1998 г. : Тезисы докладов. Математические секции. -М.: Изд-во РУДН, 1998. -С. 52.

12. Мутарутиния В. Дискретизация норм пространств Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостью. // Вестник РУДН. Серия математика. -1999.-N 6(1). -С.138-150.

13. Мазья В.Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: изд-во ЛГУ, 1985.

14. Степанов В.Д. Весовые неравенства Харди для производных высших порядков. //Тр.МИАМ СССР. 1990. Т.187. С.205-220.

15. Kufner A., Triebel Н. Generalisations of Hardy's inequality.// Conf. Sem. Mat. Univ. Bari. 1978. V.156. P.21.

16. Heining H. P., Kufner A., Persson L.-E. On some fractional order Hardy inequalities// J. of inequal Appl. 1997. V. 1. P. 25-46.

17. Буренков В.И., Эванс В.Д. Весовое неравенство Харди для разностей и полная непрерывность вложения пространств Соболева для областей со сколь угодно сильным вырождением.// Докл. РАН. 1997. Т. 355. N 5. С. 583-585.

18. Burenkov V.I., Evans W.D. Weighted Hardy type inequalities for differences and extension problem for spaces with generalized smoothness// J. London Math. Soc. 1998. V. (2) 57. P. 209-230.

19. Burenkov V.I., Evans W.D., Goldman M.L. On weighted Hardy and Poincare-type inequalies for differences./ / J. of Inequal Appl. 1997. V.l.P. 1-10.

20. Буренков В.И., Гольдман M.JI. О точных аналогах неравенства Харди для разностей в случае связанных весов// Докл. РАН. 1999 .Т.366, N 2.С.155-157.

21. Гольдман M.JI. О вложении обобщенных пространств Никольского- Бесова в пространства Лоренца.// Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 172. С 128-139.

22. Гольдман М.Л. Критерий вложения разных метрик для изотропных пространств Бесова с произвольными модулями непрерывности.// Тр. МИР АН. 1992. Т. 201. С. 166-186.

23. Goldman М. L. Hardy type inequalities on the cone of quasimonotone functios.// Russian Acad of Sciences. Far Eastern Branch. Computer Center. Research Report 98/31. Khabarovsk. 1998. P. 1-70.

24. Гольдман М.Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского-Бесова с модулями непрерывности общего вида.// Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 170. -С. 86-104.

25. Triebel Н. Theory of function spaces II. Birkhauser. 1992.

26. Буренков В.И., Гольдман М.Л. Неравенства типа Харди для модулей непрерывности.// Тр.Мат.инст-а им. В.А. Стеклова, Москва 1999. Т.227. -С.92-108.

27. Albert Baernstein.A unified approach to symmetrisation.// Dep.Math., Washington University, St.Louis, Missouri, 6931304849.

28. Bennett C., Charpley R.Interpolation of operator's.// Pure Appl.Math. T.129. Acad.Press 1988.

29. Яковлев Г.Н. Граничные свойства функций класса Wp на областях с угловыми точками.// ДАН СССР 1961.Т.140 С.73-76.

30. Буренков В.И, Вердиев Т.В. Продолжение нулем функций из пространств с обобщенной гладкостью для вырождающихся областей.// Тр.Мат.инст-та им.В.А.Стеклова, Москва,1999. Т.227.-С.73-91.

31. Гольдман M.JI. Мутарутиния В. О весовых неравенства типа Харди для модулей непрерывности функций и их симметричных перестановок.// -М., 2000. -40с. -Деп. в ВИНИТИ 24-02-00.-N 470-В 00.

32. Fefferman С.and Stein Е.М. Some maximal inequalities.// Amer. J. Math. 93 (1971), 107-115.РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННА-•гЬЯНОДЕК;^ j.