Достаточные условиях однолистности аналитических функций в круговых областях и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО СРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

АРСЛАНОВ Фарит Халилович

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЛИСТНОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

01. 01. 01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1991

Диссертация выполнена на кафедре математического анализа Казанского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени гс судаоственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Л.А.Аксентьев

Научный консультант - доктор физико-математических наук

Ф.Г.Авхадиев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

доцент Д.В.Прохоров, кандидат физико-математических наук доцент П.Л.Шабалин

Ведущая организация - Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет

Защита состойся " 24 " октября_1991 г.

в 14 часов на заседании специализированного Совета по математике £ К 053.29.05 Казанского государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г.Казань, ул.Ленина, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г.Казань, ул.Ленина, 18)

Автореферат разослан " 23 " сентября 1991 г.

Ученый секретарь специализированного Совета /у

о ц^/и о ОППУА V/ УЛ/О^А» / у »

доцент ^¿игск/^ Б.Н.Шапуяов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

/

Актуальность. В нашей стране интерес к достаточным условиям однолистности аналитических функций проявляется в нескольких научных центрах, начиная с работ И.Е.Базилевича, В.А.Змбровича, П.П. Куфарева. Заметную роль играют исследования, проводимые в Казани и Ростове-на-Дону (Ф.Г.Авхадиев, Л.А.Аксентьев, С.Н.Кудряшов, B.C. Рогожин, П.Л.Шабалин).

Достаточные условия однолистности составляют заметное место в работах зарубежных математиков. Значительные продвижения в этом направлении получили 3.Нехари, К.Носиро, С.Одзаки, В.Паатеро, Т. Умедзава. С применением теории квазиконформных отображений, теории уравнения Левнера-Куфарева Л.Альфорс, Й.Беккер, Ф.Геринг, О.Лехто, К.Поммеренке развили новое направление. Современные достижения по достаточным условиям однолистности приведены в обзорах^.

Актуальные и трудные задачи по достаточным условиям однолистности связаны с конкретными оценками различных функционалов для аналитических функций. Необходимость числовых оценок диктуется в первую очередь приложениями, например, в обратных краевых задачах.

Изложение теории обратных краевых задач с указанием широкого диапазона приложений в математической физике имеются в монографиях Г.Г.Тумашева, М.Т.Нужина Ф.Д.Гахова

Применение достаточных условий однолистности в обратных краевых задачах связано с различными оценками регулярных и гармонических функций. Во взаимодействии с признаками однолистности эти оценки порождают условия однолистной разрешимости обратных краевых задач, удобные при использования их на практике. Последние достнже-

^ Авхаднев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функцнй // Успехи мат. наук. - 1975. - Т.30, Л 4 - С.3-60.

о)

Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Достаточные

условия конечнолистности аналитических функций и их приложения

И Итоги науки и техники: Математический анализ. - М.: ВИНИТИ,

1987. - Т.25. - C.3-I2I. 3}

Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. - 2-е изд.,перераб. и доп. - Казань: Казан.ун-т - 1265,- 330 с.

Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - 3-е изд., перераб. и доп. -- М.: Наука, 1977. - 640с.

ния в теории однолистности обратных краевых задач приведены в обзорах 1>»2),5>,6)#

Таким образом, необходимостью получения достаточных условий однолистности аналитических функций и на их основе однолистной разрешимости обратных краевых задач обусловлена актуальность темы настоящей диссертации.

Целью работы является построение достаточных условий однолистности в круговых областях и их применение к однолистной разрешимости обратных краевых задач в одно- и двусвязных областях.

Методика исследования. Основными методами исследований являются методы геометрической теории функций комплексного переменного: метод, основанный на теории уравнений Левнера-Куфарева, метод квазиконформного продолжения, метод подчиненности. Часть результатов получена с помощью методов, разработанных в теории обратных краевых задач.

Натчная новизна. В диссертации получены новые достаточные условия однолистности для регулярных в единичном круге, внешности единичного круга, за исключением бесконечно удаленной точки, а также регулярных в круговом кольце функций. Установлены новые оценки для регулярных функций, включающие ограничение на полную вариацию действительной части их граничных значений. Обоснована серия достаточных условий однолистности обратных краевых задач в одно- и двусвязных областях. Улучшена оценка снизу разделяющей постоянной в условии Липшица в достаточном условии однолистности внешней обратной краевой задачи. Найдены ограничения на исходные данные, обеспечивающие однолистную разрешимость некоторых прикладных задач.

Теоретическое значение и практическая ценность. Результаты • и методы данной работы могут применяться при исследовании геометрических свойств аналитических функций, при проверке корректности основных обратных краевых задач и обратных задач теории фильтрации и аэрогвдромеханики.

Апробация работы. По мере получения результаты' диссертации

^ Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Признаки однолистности прикладных обратных краевых задач, I // Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: Казан.ун-т, 1987.- Вып.23.- С.6-24.

^ Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Признаки однолистности прикладных обратных краевых задач, П // Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: Казан.ун-т, 1990,- Вып.24.-С.14-38.

докладывались на семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного в Казанском университете ( руководитель -профессор Л.А.Аксентьев), на 1У Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1988 г.), на П конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (1988 г.) а тайле на итоговых научных конференциях Казанского университета (1990, 1991 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата. Статьи отражают основное содержание диссертации. Статья [7] написана в соавторстве с Ф.Ф.Майером, который предложил основные идеи работы, а детальное доказательство утверждений выполнено автором диссертации. В статье [э] С.Р.Насыров принимал участие в доказательстве теоремы и в обсуждении результатов работы, а вычисления проводились авто -ром диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Работа изложена на 131 странице машинописного текста, содерззт 4 рисунка и 9 таблиц. Список литературы насчитывает 53 названия.

СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы по исследуемой теме и изложено содержание диссертация. 3 конце введения пршзе -ден перечень основных результатов, выносимых на защиту.

Первая глава посвящена оценке точных радиусов однолистности некоторых классов аналитических в круге Е ={21} функций, построению новых и улучшению известных достаточных условий однолистности регулярных з круговых областях Е ; Е ^С00} ( Е = = {С'-!Ф1} ), Е (1 . Ш функций. Здесь выводятся

оценки для регулярных функций.

В § I найдены точные радиусы однолистности некоторых клас -сов регулярных в Е функций.. Одним из рассмотренных классов является АМ(П) - класс функций 1(2) = 2, +■ йги.)2п'+1 + ... , П.5-1 ,

определенный неравенством |5 М , М>1 , .Ра-

нее этот класс изучался Э,Ландау (случай П=1 ) "^и Ф.Г. Авхадие-вым (произвольное )• В работах приведен радиус почти

Mortel P. 2ecorts sur tes fonctions univalentes ou mutti -iratentes.- Paris : Gauthier-Villars, 1933 .

выпуклости класса АМ(И) . Здесь же установлен (теорема 1.2) радиус выпуклости этого класса, равный

1/п

гЛпь

ntriM+l- V^M + lf-l'

указана функция, с помощью которой проверяется точность радиуса выпуклости.

Для класса &т)М(Г0 М} ,МЯП,М+Ш>1,

являющегося обобщением класса , получен радиус однолист-

ности (теорема 1.3), совпадающий с радиусом почти выпуклости и равный

глю4м/(Мг-т2+т.)Т/а

. В качестве следствия получаем такой результат ^: радиус однолистности класса Дм(Г0 равен 1д(М= М .

В следующем § 2 построены "соединения" известных признаков однолистности аналитических функций, одним из которых является признак Беккера 8) »9) (см.также обзор Рассмотрены соединения следующих типов:

а) для аналитических в Е функций исследовано линейное "со« динение"

i (I)

б) для аналитических в области Е - "соединение" сте -пенного вида

|CF"CO/F'(Q| 4 Belief -1Г' , 0 < JJ * 1 . (2)

Приведем утверждения относительно условий (I) и (2).

Теорема 1.7. Регулярная в единичном круге Е функция fOO^Z+Cl^iL + ••• будет однолистной, если имеет место неравенство (I), причем АМ = 1/(1~Л) , если Л-б[0,1/3] , а для d- из (1/3,1] константа определяется как решение системы урав-

нений

Becker J. Zöwrierscfie Sifiereritlaigleichwig und SctiUht-Hcitskriterea//Math.Ann.-1973.-Bd.202 ,S.321- 335.

Becker J. Üter die Zösuagsstruktur einer ¡Differential-qlelcUaaq In. der koaforraen. AMUduag//J.reirie und cuujew. Mtttti.-197e.-Bd. 2 85 .-S.66-74 .

А" 2г(1-лгг)г '

ге (|±Г) г 2 ¿г .

Г

Теорема 1.8. Аналитическая в Е \(°°} . функция Р(0= С. + + + ... будет однолистной, если выполняется условие (2), причем неулучшаемая константа В(^) для каждого фиксированного В*[0,1) есть единственный корень уравнения

¡1-Я11 ¿г =0 (3)

е

а В(1) = 1 .

Точность константы □(£) проверяется с помощью функции

~&(Н1-сг1н) № ЬИ-И-г'У'") л„

^сй-«" 1-в(е" а':« •

о

При р = 0 в качестве следствия из этой теореиы получаем неулучшаемое условие однолистности

|сРиуР'(ОИВ/1С12, 5=1,7081... . (4)

Ранее условно (4) кп ему зтаггзлентные рассматривались Ф.Г.Авха-диевым , С.Н.Кудряшовым , причем в статье достаточность условия вида (4) обоснована с константой

=1,53... и показано, что наилучшая константа в (4) не превосхо -дит 1,71... .

В § 3 получены уточнения рассмотренных ранее другими автора-

Авхвдиев Ф.Г. К достаточная условиям однолистности решений обратных краевых задач //Докл. АН СССР.- 1970.- Т.190, № 3,- С.485-498.

Кудряшов С.Н. О некоторых признаках однолистности аналитических функций //Матем.заметки.- 1973,- Т.13, № 3.- С.359-366.

то) тгз)

ми достаточных условий однолистности аналитических в об-

ласти Е функций. Приведем утверждение, усиливающее один

' из результатов Л.А.Аксентьева и Ф.Ф.майера

Теорема 1.10. Предположим, что в соотношениях

сПя/Fta < Ф0(о или [cFWa]* -< ф0ю, С6 г,

внутренний радиус (см.,напр..книгу области Ф0(Е ) ограни -чен числом R0 . Если при этом справедливо неравенство R0$R(ii) , причем

Ъ=1 о

ß№ = {B(1/3) при n. = 2',na-1B(^rf) при П.^3 | ,

где '&Ш , Д. >1/3 , - корень уравнения (3), то функция

+ • • • ' однолистна в L Здесь символ Ф(С) ■< Ф0 (С) означает, что регулярная в Е функция

ФСС) подчинена однолистной функции Ф0(С) ( что равносильно Ф(Е~) сФ0(Е ) ), а запись [Ф(0]* < Ф0(О означает следующее^ область D , получающаяся из односвязной области Ъ "э Ф(Е ) с помощью некоторой совокупности симметриза-ций относительно прямых и лучей ^, содержится в области Ф0(Е ).

Если область Ф0(Е ) представляет собой полосу, то в качестве следствия отсюда получим условие (следствие 1.3): если функция F(C) удовлетворяет неравенству

Аксентьев I.A., Майер Ф.Ф. Применение методов подчиненности и симметризация к достаточным признакам однолистности аналитических функций //Тр.семинара по краевым задачам. Казань: Казан, ун-т, 1983.- Вып.19.- С.14-28.

^ Кудряшов С.Н., Паталах А.Ф. Инварианта Шварца и признаки однолистности мероморфных функций //Математический анализ и его приложен^.- Ростов-на-Дону: Ростовск.ун-т, 1983.- С.41-49.

Хейман В.К. Многолистные функции,- М.: ИЛ, I960.- 180 с.

Голузин Г.м. Геометрическая теория функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1966. - 628 с.

где Cttti =3tR(fl)/4 ) f - произвольная вещественная постоянная, то функция однолистна в Е

Это следствие усиливает аналогичный признак из статьи В § 4 рассматриваются условия однолистности в кольце E(1,Q) = = {3 '• U Г£1< Q} . Приведем некоторые из утверждений этого параграфа.

Теорема I.I3. Пусть мероморфная в кольце функция

f (2) допускает непрерывное продолжение на граничные компоненты Ср ={ï:|ï|=p} , j)=1,Q. . Если верно неравенство

то функция fil) однолистна в замкнутом кольце

élîUd) .

здесь (f, 2}=с sxdim-omb)im - производная Шварца функции f(ï) , a j)^ ^(ï) - коэффициент гиперболической метрики области EW .

Эта теорема усиливает аналогичные результаты из работ ^' I Теорема I.I5. Пусть функция f(D регулярна в Е(1,0.) , непрерывно продолжила на С^ и выполняется условие

sup |{f,2}|(m4)2<2 .

Z€E(1,CU

Предположим, что функция 2f непрерывно продолжила на

Сц и справедливы неравенства

|Гю/*'(ф1/й , Recl{f,C)^S ,c = Qele,e€COt2x3,

где 5 = - 2аг(аг- 1)~2cos4arcsm[(û2 - 1)2И Q~2] .

Тогда функция f(Z) однолистна в замкнутом кольце E[i,Q] . В § 5 рассмотрены новые оценки функций, регулярных в канонических круговых областях:

Е , Е~ и Есг,1)

. Эти оценки со-

Севодин М. А. Метод квазиконформного продолжения и reo -метрические свойства общего решения обратных краевых задач. -Дис. ... канд. физ,- мат.наук.- Казань, 1982.- 121 с.

Zi W., lin У. The sing alar-leaf criterion, on the circle ring doraain//Acta sti.aatar. ouïr. peki.itesis.-1989.-V.25,а/о 5,-P.527 -536 .

держат ограничение на полную вариацию для граничного значения вещественной части регулярной функции или ее производной определенного порядка.

Теорема 1.17. Пусть функция д(2) = аа2Л + йЛ+, 2а+1 + ... , Ц>1 , регулярна в Е и принадлежит классу Харди Н1 . Предположим, что производная порядка "к(к»0) функции 11(6)- Кб С) имеет ограниченную вариацию, причем А

Тогда в круге Ср "справедливы оценки

|д(Г)|4АзГ1а~к~4(2|г-1)11<(1'Л , (5)

' (6) при К четном;

при к нечетном. Здесь

7 Кп-пГ

Аналогичные неравенства имеют место и для функций &(£.) = = Ь^С.-""н-Ь(1+1С~П'",+ . V- , НИ , регулярных в области Е Оценке (5) - (7) обо<5щаются на случай регулярных в кольце функций.

В заключительной части параграфа результат Л.А.Аксентьева*8^ обобщается на случай регулярных функций, обладающих И - кратной симметрией вращения.

Теорема 1.20. Пусть гармонические функции И^Ср, 6) удовлетворяют условиям

Тогда регулярная в Е(С[,1) функция = 0) + ¿ХГ^С^>6") , 1 =Ге16 , Ц - симметрична и справедливы точные оценки

I4 Вп(К1,К^,^а)|Бигп.0| ,р = 1,4, (8)

Аксентьев Л.А. Оценки для гармонических функций и их приложение к обратным краевым задачам //Тр.семинара по краевым задачам. - Казань: Казан.ун-т, 1970.- Внп.7.- С.82-87.

где +24^/(1-4*4 , В АЛ.IV

= -»-^""Ж^Л/С! — . Неулучшаемость (8) проверяется

с помощью функции

§№ = 4Л[га(М',1+М- гЧК^ЧМЯ!-^) .

Во второй главе исследуется однолистная разрешимость обрат -ных краевых задач в одно- и двусвязных областях. В § б устанавливается однолистность решения

2 %

, , (9)

0 "-%

внутренней обратной краевой задачи, когда

ЗГ зс . _

-х

[I » 1, V» о.

Теорема 2.1. Пусть в (9) для функции- р(0) справедливо (10). Тогда решение (9) будет однолистным в Е , если выполняется одно из условий:

1) к = 0 и А«зсп/(2(2г1-1^;

2) Ы и А^хап-пХ'^-^а-г»2)-2,

где Г0 , О*- Р0<И , - единственный корень уравнения ИРа"2(1 -Г1) +

3) к>Л и А«А(п,101гк

, где А(1г,1<) = л;п[2(21г-

Для решения

ь 1Г

1 -1

внешней обратной краевой задачи при условии íP(B) 6 ,

П>Л , "k^O , получен аналогичный результат. Кроме того, для внешней задачи рассмотрены ограничения вида

?т 2в(п,ю={и.се): iu(1°te,i - iícw(02iiá bi9, - ел

% . _

<ju(B)elved,8 = 0 = 0,n-1 ] ,n»2,b0,

и доказана теорема 2.3, усиливающая результаты И.Р.Нежметдинова ' а-для и нечетных К - результаты А.П.Тихонова ^ . В

частности, эта теорема утверждает, что однолистность (II) будет следовать из неравенства

те-о-рад^в^-Л!, в =1,21... .

Таны образом, получено улучшение оценки снизу для разделяющей постоянной в условии Липшица, которая до недавнего времени была наилучшей ( В = 1,01... ) в работе

В § 7 исследованы на однолистность решения обратных краевых задач, имеющих особенности на границе. Приведем одну из теорем этого параграфа, дающую условия однолистности решения внешней задачи, когда его производная имеет вид

f ta = (1 -trnf Г0'(а , ГЛ>2 ,(1 -СЛ|Ьe ^ = 1,

причем d. допускается комплексным, а определяется ин-

тегральным представлением (II) с плотностью ¡Р0 (б)

Теорема 2.II. Пусть Ро(0)€ 2Ь(ЛД) , К>Л , К И Тогда функция ÍKO однолистна в Е , если Б ¿ (1 —

ТО)

LJ' Нехметдинов И.Р. Геометрические свойства решений обрат -ных краевых задач. - Дис. ... канд.физ.-мат.наук.- Казань, 1979.114 с.

Тихонов А.П. Достаточные условия однолистности отображений односвязных областей и их приложения.- Дис. ... канд.физ. -мат.наук,- Ростов-на-Дону, 1982.- 108 с.

Аксентьев Л.А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач //Тр.семинара по краевым задачам.- Казань: Казан, ун-т, 1973.- Вып.10.- С. 11-24.

, где

В(п,к)=|(2Мк(1)Г1 пр.п-2 ; пригиЗ} ,

л-2

Этот признак усиливает аналогичные_результаты И.Р.Незметди-:ова и А.П.Тихонова 20\

Б восьмом параграфе исследуется однолистность'решения

й 1 г

Ас ,

(12>

к

-ЗС

—<±е

¡братной краевой задачи в двусвязной области, когда функции Р(К®) > пмеют ограниченную лариацкю (теорема 2.13).

Здесь же получены условия однолистности И -симметричных ресенгЛ .12). Сформулируем одно из утверждений.

Теорема 2.16. Пусть функции р(_р,б) , /> = 1,^ » дсфферен-дируемн и производные их удовлетворяют условиям

|р'(Я10О - рчр^бг^ < Кр^ОБпВ,-С0$|гв21 , причем константы К^ и К^ таковы, что

2 л +(Мж)МА,ги2Г1),

где постоянные К] и Ас), являются корнями соответствующего уравнения _

\Jtf~p-1' ,р=1,а,

Ч=31(П+1)/2 , ^ = Я(Г1-Т)/2 . Тогда функция . 1 (С) однолистно отображает кольцо Е(С),,1) на область, граничные кри -вые которой являются почти выпуклыми компонентами.

В §9 рассматривается сильная проблема однолистности для

некоторых прикладных задач аэродинамики и теории фильтрации. Услс вия однолистности представляют собой ограничения на функционалы, зависящие только от краевых значений. Приведем часть результатов, касающихся однолистной разрешимости задачи теории фильтрации.

Теорема 2.20. Пусть 17(5) - скорость фильтрации на профиле подземной части гидротехнического сооружения, причем 1/(5)^0 , ¿1 , и удовлетворены условия I I (Г

о о __о

5=1,п-—1 , п»2 ,

где Ж , И - соответственно коэффициент фильтрации и напор.

Подземный профиль представляет собой простую кривую, распо -ложенную ниже своих концов, если выполнено одно из условий: 1

I) УЗДби шЦШп-])) \

о

<1 единственный корень уравнения Г1Г,г(1-Г2)+2(1-ГП')1л(1-Г'г) = 0 В этом же параграфе получены улучшения ранее известных условий однолистности

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) Получены достаточные условия однолистности функций, аналитических как в единичном круге, так и в его внешности, за исключением бесконечно удаленной точки. Условия обобщают -ранее известные признаки, в частности, условия Беккера.

2) Построены условия однолистности регулярных в круговом кольце функций, усиливающие ранее известные признаки.

3) Получены достаточные условия однолистности решений основных обратных краевых задач в одно- и двусвязных областях, являю-

Авхадиев Ф.Г. Некоторые достаточные условия однолист -ности решений обратных краевых задач //Тр.семинара по краевым задачам.- Казань: Казан, ун-т, 1971. - Вып. 8. - С. 3-11.

щиеся либо новыми, либо усиливающими известные. В частности,улучшена оценка снизу разделяющей постоянной для условия Липшица на

548) ; в классе П. -симметричных решений обратных краевых задач в двусвяэных областях получено неулучшаемое условие почти выпуклости.

4) Установлены новые и улучшены известные условия однолист -ной разрешимости обратных краевых задач с особенностями; найдены ограничения на исходные данные, обеспечивающие простоту крылового профиля и подземной части гидротехнического сооружения.

В заключение автор выражает глубокую признательность науч -ному руководителю профессору Л.А.Аксентьеву, научному консуль -танту доктору физико-математических наук Ф.Г.Авхадиеву за полезные советы и постоянное внимание к работе.

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях:

1. Арсланов Ф.Х. Некоторые достаточные условия однолистной разрешимости обратных краевых задач с особенностями /Казан.ун-т.-Казань, 1987. - 17с. - Деп. в ВИНИТИ 10.08.87, № 5788-В87.

2. Арсланов Ф.Х. Некоторые достаточные условия однолистности и единственности решений обратных краевых задач /Казан, ун-т. -Казань, 1988. - 19с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.88, » 2I74-B88.

3. Арсланов Ф.Х. Некоторые достаточные условия однолистности аналитических в круговом кольце функций /Казан, ун-т.- Казань, 1988.- 19с. - Деп. в ВИНИТИ 22.11.88, № 8237-В88.

4. Арсланов Ф.Х. К достаточным условиям однолистности и единственности решений обратных краевых задач //Конструктивная теория функций и функциональный анализ. - Казань: Казан, ун-т, 1990. - Вып. 7. - С. 3-13.

5. Арсланов Ф.Х. Об однолистности некоторых интегральных представлений, плотности которых имеют ограниченную вариацию //Теория функций и приближений. ТрЛУ Саратовск. зим. шк., 25 янв.-5 февр.1988. Часть 2: Тез.докл. - Саратов, 1990. - С.26-28.

6. Арсланов Ф.Х. Некоторые достаточные условия однолистности и единственности внешних обратных краевых задач с особенное -тями //П конференция молодых ученых Сибири и Дальнего Востока: Тез.докл. - Новосибирск, 1988. - С. 15-17.

7. Арсланов Ф.Х., Майер Ф.Ф. К геометрическим свойствам некоторых классов аналитических в единичном круге функций /Казан, ун-т. - Казань, 1988. - Юс. - Деп. в ВИНИТИ 24.06.88, » 5059 -

8. Арсланов Ф.Х., Насыров С.Р. О "соединении" достаточных условий однолистности аналитических функций, обобщающем условие Беккера'//Изв. вузов. Математика. - 1991. - № 4. - С. 78-79.

--у

Сдано в набор 9.09.91 г. Подписано в печать 4.09.91 г. Форм.бум. 60 х 84 1/16. Печ.л. I. Тираж 100. Заказ 500. Бесплатно.

Лаборатория оперативной полиграфии КПУ 420006 Казань, Ленина, 4/5