Древесные сечения многочастичных процессов в моделях теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Государственный научный центр Российской Федерации «ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ» ■Го ОД РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ТРОИЦКИЙ Сергей Вадимович

Древесные сечения многочастичных процессов в моделях теории поля

(01.04.02 — теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-1996

Работа выполнена в Отделе теоретической физики ГНЦ РФ "Институт ядерных исследований РАН".

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН

В. А. Рубаков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук кандидат физико-математических наук

В. В. Белокуров К. Г. Селиванов

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики Объединенного института ядерных исследований (Дубна)

Залдаф диссертации состоится "гЦО" \<///т.

в /_>—часов на заседании Диссертационного совета Д 003.21.01 ГНЦ РФ "Институт ядерных исследований РАН" (117312 Москва, проспект 60-летия Октября, дом 7а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ "Институт ядерных исследований РАН".

Автореферат разослан

Ученый секретарь Совета

кандидат физико-математических наук

Б. А. Тулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Известно, что большинство экспериментально проверяемых на сегодняшний день результатов квантовой теории поля получено с применением теории возмущений по константе связи. Однако даже в рамках Стандартной Модели взаимодействий элементарных частид многие эффекты лежат за пределами применимости лертурбативной техники. Мы имеем дело, таким образом, с двумя широкими классами явлений — пертурба-тивным и непертурбативным. Надежное определение границ применимости стандартной теории возмущений представляет собой весьма важную задачу.

Разумеется, теория возмущений может быть использована только в моделях со слабой связью, когда параметр разложения - безразмерная константа связи - мала по сравнению с единицей, что сразу исключает из рассмотрения целый ряд физически интересных случаев. Выбор пертурбативного вакуума в качестве нулевого приближения оставляет за пределами применимости стандартной техники теории возмущений еще один класс явлений, связанных с топологически различными вакуумами. В то же время актуален вопрос о границах применимости теории возмущений для вычисления наблюдаемых величин даже в традиционной сфере применения лертурбативной техники (в топологически тривиальном секторе и при невысоких энергиях), где теория пока хорошо согласуется с экспериментом. Естественный предел точности пер-турбативных вычислений в этой области ставит асимптотиче-

схий характер радов теории возмущений в квантовой теории поля. Однако и при вычислениях в низших порядках пертурбативного разложения можно столкнуться с рядом принципиальных сложностей.

Именно, в ряде случаев наряду с константой связи процесс может характеризоваться другими, конкурирующими малыми или большими параметрами. Примером такой конкуренции являются многочастичные процессы при числе участвующих в них частиц п, сравнимом с обратной константой связи Л"1. Обычная теория возмущений по Л неприменима для описания таких процессов. В 1991 году Корнвэллом и Голдбергом было указано, что древесные амплитуды процессов 1 —> п в скалярной теории имеют вид ~ п!А"/2 в многочастичном пределе, так что при тг ~ 1/А ряд теории возмущений взрывается, и даже в низшем нетривиальном порядке пертурбативные методы неприменимы для вычисления многочастичных амплитуд. Волошин в 1992 году показал справедливость этой оценки, вычислив точно древесные амплитуды на пороге в теории фА и оценив их снизу при ненулевых импульсах. Эти результаты указывают на необходимость адекватного непер-турбативного способа описания многочастичных процессов, что явилось одной из причин значительного интереса, привлекаемого в последнее время к комплексу вопросов, связанных с многочастичными процессами в бозонных теориях поля со слабой связью.

Имеется целый ряд указаний, в том числе основанных на результатах данной диссертации, на возможность использования для вычисления многочастичных сечений рассеяния квазиклассических

методов. Древесные амплитуды, известные, как правило, на кинематическом пороге реакции или вблизи него, а также первые петлевые поправки демонстрируют в многочастичном пределе характерную экспоненциальную зависимость от числа частиц и параметров модели. Если такая зависимость сохраняется при больших энергиях, то полученное после интегрирования по фазовому объему сечение рассеяния также должно иметь экспоненциальную форму, а именно в пределе Л —> 0, если (Лга) и средняя кинетическая энергия вылетающих частиц е фиксированы, сечение процесса "мало-умного" с экспоненциальной точностью имеет вид

ап ос е№-<>.

Это свидетельствует о возможности квазиклассической интерпретации сечений многочастичных процессов.

Коэффициент перед квазиклассической экспонентой может представлять собой произвольную функцию, пропорциональную некоторой степени Л в прецеле А -> 0 при фиксированном Хп. В общем случае, приближение квазиклассического типа учитывает главный вклад в рассматриваемом пределе. Однако при вычислении конкретных матричных элементов может оказаться, что предэкс-поненциальный множитель при определенной кинематике имеет нули или полюса, и тогда аргументы о квазиклассической вычислимости перестают работать. В широком спектре случаев известно явление зануления древесных амплитуд, которое должно быть связано со скрытыми или явными симметриями рассматриваемых систем или интегрируемостью их в некоторых специаль-

ных случаях.

Наибольшая надежда при разрешении проблемы многочастичных процессов возлагается сейчас именно на квазиклассические методы. Первыми шагами в этом направлении должны стать изучение вопроса о применимости квазиклассических методов и разработка соответствующей техники в древесном приближении.

Настоящая диссертация посвящена изучению вопроса о квазиклассической вычислимости многочастичных сечений на древесном уровне, разработке и применению методов таких вычислений и изучению природы зануления древесных амплитуд при определенной кинематике.

Цель работы состоит в изучении процессов многочастичного рождения в модельных скалярных теориях и вычислении их вероятности в древесном приближении, в выяснении возможности применения квазиклассической техники для описания многочастичных сечений и в нахождении симметрий, лежащих в основе зануления древесных амплитуд при специальной кинематике.

Научная новизна и практическая денность. В диссертации впервые изучены многочастичные амплитуды на кинематическом пороге реакции в моделях с двумя скалярными полями и продемонстрирован экспоненциальный характер таких амплитуд в пределе большого числа частиц.

Новым вкладом является формулировка способа вычисления древесных амплитуд процессов с произвольным числом покоящихся

начальных и конечных частиц, основанного на неизвестной ранее связи между пекулярными членами в пергурбативном разложении классических решений уравнений поля и древесными амплитудами. Подход, основанный на этой связи, позволил построить и применить удобный для численных расчетов алгоритм нахождения амплитуд процессов много—Умного.

Новым является предложенный в диссертант: класс скалярных моделей, демонстрирующих зануление древесных амплитуд при нулевых пространственных импульсах. Зануление древесных амплитуд связано со скрытой интегрируемостью классических систем при определенной кинематике, явный вид ответственных за нули симметрии ранее был неизвестен. В диссертации впервые зануление амплитуд было связано с конкретной симметрией соответствующей динамической системы, генераторы которой указаны в явном виде.

В диссертации применен квазикласслческий метод вычисления многочастичных сечений; с его помощью вычислены новые члены нпзкоэнергетического разложения показателя экспоненты для древесных многочастичных сечений, которые не были получены пер-турбативными методами. Применяемый метод основывается на вариационной процедуре, включающей нахождение сингулярных решений определенной граничной задачи и экстремизацию по поверхностям сингулярностей. В диссертации впервые изучена форма седловой поверхности сингулярностей в высокоэнергетическом пределе.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладыва-

лись в 1993-1996 годах на научных семинарах в ИЯИ РАН, НИ-ИЯФ МГУ и ИТЭФ, на Международных семинарах "Кваркп-94" (Владимир, 1994), "Кварки-96" (Ярославль, 1996), IX и X Международных школах-семинарах по физике высоких энергий и квантовой теории поля (Звенигород, 1994, 1995), на Зимней школе ИТЭФ (1996).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 6 работ.

Объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста и Заключения, содержит 110 страниц машинописного текста, в том числе 7 рисунков и список литературы из 91 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждается проблема границ применимости теории возмущений в квантовой теории поля и, в частности, в задачах о многочастичных процессах, к предложенные подходы ее решения. Кратко изложено содержание и результаты диссертации.

В Главе 1 получен ряд точных результатов для древесных многочастичных амплитуд с участием покоящихся частиц. В этом случае тривиальная зависимость от импульсов позволяет найти точные выражения для древесных амплитуд при любом числе частиц, решив пространственно-независимые (то есть обыкновенные дифференциальные) уравнения поля с определенными гранич-

ньши условиями. Рассматриваются модели двух массивных скалярных полей со взаимодействием четвертой степени. По сравнению с более простыми моделями одного поля они содержат ряд дополнительных особенностей, делающих юс изучение интересным, в частности, появляется дополнительный параметр - отношение масс полей. Изучение различных систем позволяет сделать вывод о модельной независимости основных результатов, полученных ранее для простейших скалярных теорий.

В разделе 1.1 эта программа выполнена для модели двух скалярных полей с мягким нарушением 0(2) симметрии,

" I = + - - ^ - + (1)

где древесные амплитуды процессов рождения заданного числа конечных частиц одной исходной виртуальной частицей найдены в теориях как без спонтанного нарушения дискретной отражательной симметрии, так и с ним. Для нахождения древесных амплитуд на пороге применен функциональный метод, основанный на использовании классического решения пространственно-независимых уравнений поля. Найти такие решения оказывается возможным в связи с тем, что ограничение системы (1) на нулевые пространственные импульсы представляет собой интегрируемую гамильтонову систему классической механики - систему Гарнье. Решения ее уравнений движения в нашем случае являются производящими функциями для древесных амплитуд, которые, таким образом, находятся явно для любого числа частиц. Изучены многочастичные асимптотики этих амплитуд, которые в пределе

больших множественностей экспоненциальны по основным параметрам модели и числу частиц.

В разделе 1.2 предложено обобщение функционального метода вычисления древесных амплитуд при нулевых импульсах на случай произвольного числа частиц в начальном состоянии и показано, что соответствующие амплитуды определяются коэффициентом при первом пекулярном (линейно растущем, а не осциллирующем) члене в пертурбативном решении уравнений поля с определенными граничными условиями. Установлено, что для того, чтобы найти амплитуду рассеяния щ —> П2 частиц в покое в древесном приближении, требуется решить по теории возмущений классические пространственно-независимые уравнения поля с фиксированными частотными частями при t —> —оо для поля, частицы которого присутствуют в начальном состоянии, и при t —+00 - в конечном. Тогда искомая амплитуда будет коэффициентом при первом пекулярном члене, умноженным на 2mi(ni — 1)!гг2!, где т\ - масса начальных частот. Этот член является I-тым (I = "1+"2~2) в разложении по константе связи классического решения уравнений поля.

В разделе 1.3 предложенный метод применяется к вычислению амплитуд rix —т щ для покоящихся частиц в модели с мягким нарушением 0(2)-симметрин 1, рассмотренной в разделе 1.1. Показано, что все древесные амплитуды такого вида в этой модели, кроме нескольких тривиальных, в точности равны нулю. Это явление связано с динамической симметрией соответствующей пространственно-независимой системы, то есть системы клас-

си ческой механики, генераторы которой мы указываем в явном виде:

Щ ^ Фх = Рх + е ^Ч>2{Ф\Ч>1 ~ ф2фх),

2 2

<¿>2 н- = 4>г + А^хКФ^х ~ Ф\Ч>-1) + 1711 2 "^Уг), (2)

Обсуждаются другие квантовополевые модели, обладающие, симметрией подобного вида, приводящей к нулям древесных амплитуд. Сравнение с известными ранее случаями зануления древесных амплитуд в других моделях указывает на то, что рассмотренные системы имеют ряд принципиальных отличий от них.

В случае модели с мягким нарушением 0(2)-симметрии точная интегрируемость системы классических пространственно-независимых уравнений поля позволяет найти-классическое решение с нужными граничными условиями, являющееся производящей функцией для амплитуд П1 —> пг, явно. В разделе 1.4 с учетом явного вида этого решения дан альтернативный вывод результатов раздела 1.3 о занулении амплитуд в этой модели.

В Главе 2 диссертации обсуждаются древесные амплитуды щ —» П2 при нулевых пространственных импульсах в других скалярных моделях, не обладающих симметрией, приводящей к зануле-нию амплитуд. В качестве примера рассматривается теория фА, причем изучаются амплитуды рассеяния произвольного числа покоящихся виртуальных частиц в произвольное число покоящихся реальных.

В разделе 2.1 способ вычисления амплитуд, связанный с пекулярными членами классического пертурбативного решения, моди-

фицируется, позволяя включить частицы вне массовой поверхности. На основе этого метода строится эффективный алгоритм численного анализа таких амплитуд в скалярных теориях. В разделе 2.2 приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов с использованием построенного алгоритма, которые указывают на экспоненциальный характер амплитуд щ —У п2 при больших щ и

Л™ = (3)

где Е - гладкая функция.

В разделе 2.2 приведены основанные на вычислении функционального интеграла для амплитуд методом перевала аргументы, дающие объяснение полученным численно результатам об экспоненциальной форме амплитуд (3). Хотя седловой характер этого функционального интеграла не доказан, справедливость приведенных аргументов подтверждается численным расчетом. Форма амплитуд (3) вместе с рядом других результатов диссертации указывает на экспоненциальный характер древесных многочастичных сечений,

ап ос (4)

где Е - полная энергия в системе центра масс, (7 - гладкая функция, и на возможность их вычисления квазиклассическими методами.

Глава 3 посвящена вычислению древесных многочастичных сечений при любых энергиях. Если до сих пор речь шла о вычислении амплитуд многочастичного рассеяния в одной точке фазового пространства - при нулевых импульсах, то теперь необхо-

10

димо изучать сечения, проинтегрированные по фазовому объему, поэтому приходится отказаться от вычислительных упрощений, связанных с пороговой кинематикой. Амплитуда вне порога, вообще говоря, является нетривиальной функцией импульсов всех участвующих в процессе частиц. Вблизи порога, однако, она определяется в ведущем порядке по импульсам лишь одним параметром (полной энергией Е); это позволяет вычислить пертурба-тивно соответствующую поправку к амплитуде, что и проделано в разделе 3.1. Поправка экспоненциальна по энергии,

А

Л.(Р1, •■■,£») =п!(д) 2

где Ек ~ (Е — п) /т - полная кинетическая энергия частиц в конечном состоянии в единицах их массы, что подтверждает справедливость формулы (4), во всяком случае для малых энергий.

Дальнейшее продвижение требует принципиально иных методов, позволяющих определять сразу сечение многочастичного рассеяния, параметризуемое для малочастичного начального состояния числом конечных частиц и их средней кинетической энергией. Экспоненциальный характер амплитуд при большом числе частиц и разных начальных состояниях, доказанный во многих случаях, позволяет считать квазиклассические методы наиболее подходящими для данной задачи. Формулировке и аналитическому решению в ряде случаев граничной задачи для квазиклассического вычисления древесных многочастичных сечений при любых энергиях посвящена остальная часть главы. Эта задача связана с нахождением сингулярных решений уравнений поля и вариацией

по их поверхностям сингулярностеи. В разделе 3.2 приведены основные формулы метода когерентных состояний, и с их помощью выведена классическая граничная задача, решив которую, ' можно найти квазиклассическую экспоненту для древесных сечений в многочастичном пределе. Способ вычисления древесного сечения стх-)П в режиме А —> О, при фиксированных пА, Е/п в пространстве-времени размерности (с? + 1) состоит в следующем.

• Необходимо рассмотреть классические уравнения поля в евклидовом пространстве (т = И — евклидово время). Среди всех решений этих уравнений выбрать О(с0-симметричвые (зависящие от т и от |х[), имеющие следующую асимптотику прц т оо,

и сингулярные на поверхности то(х), такой, что го(0) = О, г0(х ф 0) < 0.

• Найти из (5) компоненты Фурье Ь£ и подставить их в функционал

иъее(Т, 0,6, Ь*) = ЕТ - пв -1 (1кЬ{к)Ь*{к)^т-в. (6)

• Экстремизпровать (см. (6)) по всем описанным поверхностям сингулярностеи, а также по Т и в. Тогда древесное сечение дается следующим выражением

п) ~ ехр (^гее№, п),в(Е, п))),

где в показателе экспоненты стоит экстремальное значение И^гее-

Далее п разделе 3.2 показано, что решение граничной задачи соответствует не просто экстремуму, но максимуму эффективного действия Щгее п0 поверхностям сингулярностей, так что вариационная процедура, проведенная в некотором классе поверхностей, дает надежную нижнюю оценку квазиклассической экспоненты древесных многочастичных сечений. Затем этот общий формализм применяется для вычисления сечений в тех случаях, когда упрощения в задаче позволяют решить ее аналитически. В разделе 3.3 при малых энергиях находится аналитическое решение, позволяющее вычислить показатель экспоненты в сечении вплоть до второго порядка по средней кинетической энергии конечных частиц в системе центра масс,

Хп , е « (Зсг-26) И^гее = п(1п— - 1 + -(111— + 1) + е

4 16 2 а-к 12

£2

(9<г2 - 556а + 260 + 48тг2(Й - 1))),

где е = (Е — п)!пт - средняя кинетическая энергия на конечную частицу в единицах массы. Первая поправка по энергии повторяет результат раздела 3.1, вторая поправка пертурбативными методами не получена. В разделе 3.4 рассмотрен случай, когда точное аналитическое решение граничной задачи не представляется возможным, а именно ультрарелятивистский предел. В соответствии с принципом максимума, полученным в разделе 3.2, можно получить нижнюю оценку на древесную экспоненту, рассматривая не все поверхности сингулярности решения, а лишь 0(4)-симметричные. При очень высоких энергиях, когда массовым членом в уравнениях поля можно пренебречь, 0(4)-симметричное

решение с нужными граничными условиями и соответствующий ему экспоненциальный вклад в древесное сечение находятся явно. Конформная инвариантность безмассовой теории позволяет рассмотреть малые вариации вокруг этого решения аналитически. Данная полевая конфигурация не является экстремальной на множестве произвольных поверхностей сингулярности; анализ малых возмущений вокруг нее позволяет указать, что большие значения максимизируемому функционалу дают поверхности, вытянутые вдоль оси евклидова времени т.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Для защиты выдвигаются следующие результаты, полученные

в диссертации:

1) В модели двух скалярных полей с мягким нарушением 0(2) симметрии получены точные выражения для древесных амплитуд рождения произвольного числа реальных частиц одной исходной виртуальной частицей на кинематическом пороге реакции. Показано, что в пределе большого числа частиц эти амплитуды имеют экспоненциальные асимптотики.

2) Установлена связь древесной амплитуды процесса щ —У П2 при нулевых импульсах с пекулярными членами в пертурбативном разложении классического пространственно-независимого решения уравнения поля с определенными граничными условиями. На основе этого результата построен эффективный алгоритм численного нахождения древесных амплитуд для про-

14

извольных чисел П1,П2 покоящихся частиц в начальном и конечном состояниях. Высказаны и подтверждены численными расчетами квазиклассические аргументы в пользу экспоненциального характера древесных амплитуд щ —>■ пг при больших Щ И П2.

3) Обнаружен новый класс нулей древесных амплитуд для реальных покоящихся частиц. Найдена связь явления зануле-ния амплитуд с динамическими симметриями классических систем, генераторы соответствующих симметрии указаны в явном виде.

4) Квазиклассический метод вычисления древесных многочастичных сечений, сводящийся к граничной задаче с вариацией по поверхности сингулярности решения, применен для нахождения разложения показателя экспоненты древесных сечений при низких энергиях. Решена соответствующая граничная задача и получено выражение для показателя экспоненты многочастичных сечений с точностью до второго порядка по средней кинетической энергии конечных частиц.

5) Изучена форма поверхности сингулярностей, соответствующая древесному сечению мало-Умного в ультрарелятивистском случае. Показано, что по крайней мере в пределе очень высоких энергий вариационная процедура, основанная на 0(4)-симметричных конфигурациях, дает нижнюю оценку на древесные сечения, а-поверхность, экстремизующая эффективное действие, вытянута вдоль оси евклидова времени.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Libanon М. У., Rubakov V. A., TYoitsky S. V. Tree amplitudes at multiparticle threshold in a model with softly broken 0(2) symmetry. — Nucl. Phys., 1994, V.B412, p.607-620. '

2. Libanov M. V., Rubakov V. A., Troitsky S. V. Zeros of tree amplitudes at rest and symmetries of mechanical systems. — Phys.

Lett., 1993, V.B318, p.134-138.

3. Либанов M. В., Рубаков В. А., Троицкий С. В. Многочастичные процессы и квазиклассика в бозонных теориях поля. — ЭЧАЯ, 1997, том 28, N 3.

4. Libanov М. V., Rubakov V. A., Troitsky S. V. A conjecture on multiparticle amplitudes at threshold. — Proc. 8th Int. Seminar "Quarks-94", Eds. D.Yu. Grigoriev, V.A. Matveev, V.A. Rubakov, D.T. Son, A.N. Tavkhelidze-, Singapore, World Scientific, 1995; p.194-201.

5. Bezrukov F. L., Libanov M. V., Son D. Т., Troitsky S. V. Singular classical solutions and tree multiparticle cross sections in scalar theories. — Proc. of 10th Int. Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory, Zvenigorod, Russia, 1995; p.228-238.

6. Bezrukov F. L., Libanov M. V., Troitsky S. V. Singular classical solutions and tree multiparticle cross sections. — Surveys in High Energy Physics, 1996, vol. 10.