Дуальные величины в квантовых калибровочных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

□□3473863

Федеральное Государственное Унитарное Предприятие Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики

Буйвидович Павел Васильевич

Дуальные величины в квантовых калибровочных теориях

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 ОКТ ГЧ

Москва 2009

003479869

УДК 530.12

Работа выполнена в ГНЦ РФ Институт теоретической и экспериментальной физики им. А.И. Алиханова, г. Москва.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор М. И. Поликарпов (ИТЭФ, г. Москва)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Д. В. Фурсаев (университет "Дубна")

доктор физико-математических наук, профессор А. С. Горский (ИТЭФ, г. Москва)

Ведущая организация: ГНЦ РФ ИФВЭ (г. Протвино, Москов-

ская область)

Защита состоится « 17 » ноября 2009 г. в И часов на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 в ГНЦ РФ ИТЭФ, расположенном по адресу: г.Москва, ул. Б.Черемушкинская, д. 25, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ.

Автореферат разослан « 15 » октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук у^Зй^53^ ^^ В.В. Васильев

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

Результаты, представленные в диссертации, могут быть объединены одной целью - идентификация низкоэнергетических струноподобных степеней свободы в вакууме неабелевых калибровочных теорий.

В главе 1 развивается гипотеза о доминантности центра калибровочной группы в низкоэнергетическом пределе неабелевых калибровочных теорий. В некотором виде такая доминантность должна иметь место хотя бы потому, что на асимптотически больших расстояниях натяжение струны КХД между зарядами в некотором представлении Я калибровочной группы зависит только от п-альности этого представления. Эта точка зрения развивается в разделе 1.2, где мы используем картину случайных блужданий петель Вильсона по калибровочной группе, развитую в [1-3], и показываем, что такой спектр натяжения струн КХД согласуется лишь с вихреподобной структурой основного состояния теорий Янга-Миллса, причем вихри должны нести поток, квантующийся относительно центра калибровочной группы.

В разделе 1,3 изучаются свойства центральных вихрей, наблюдаемые в численных экспериментах на решетке. Предыдущие решеточные исследования обнаружили ряд очень нетривиальных свойств центральных вихрей [27, 28], позволяющих идентифицировать центральные вихри как доминантные низкоэнергетические степени свободы. В частности, удаление центральных вихрей из решеточных конфигураций приводит к исчезновению всех непертурбативных явлений, таких как невылетание цвета и спонтанное нарушение киралыюй симметрии. Еще одно интересное свойство - скейлинг общей площади центральных вихрей в физических единицах при изменении шага решетки. Другими словами, площадь центральных вихрей удовлетворяет непертурбативному уравнению ренормгруппы. Такой физический скейлинг площади двумерных поверхностей является очень нетривиальным, так как практически все модели случайных поверхностей приводят к ультрафиолетово расходящейся

средней площади из-за известной струнной аномалии в пространствах размерности В Ф 26. С другой стороны, струнная теория центральных вихрей должна быть самосогласованной в четырехмерном пространстве-времени. Поэтому важно узнать как можно больше о эффективном действии, описывающем центральные вихри. В разделе 1.3 некоторые параметры этого эффективного действия извлекаются из результатов решеточных Монте-Карло вычислений. Показывается, что помимо обычного члена Намбу-Гото эффективное действие центральных вихрей содержит также члены, зависящие от внутренней (Римаповой) и внешней кривизны мировой поверхности вихря. Эти члены делают поверхности вихрей жесткими, а также делают выгодным увеличение рода поверхности вихря. Качественно такое действие может объяснить наблюдаемые свойства центральных вихрей.

Глава 2 посвящена недавно предложенной проверке соответствия между калибровочными теориями и теориями струн в пятимерном пространстве анти Де Ситтера при помощи энтропии квантового перепутывания калибровочных полей в двух комплементарных областях пространства. В работах И. Клебанова и Т. Такаянаги [34, 35] на основании А<18/СЕТ соответствия была обоснована гипотеза о том, что энтропия перепутывания должна быть неаналитичной по размеру области пространства. В разделе 2.2 кратко обсуждается дуальное представление для энтропии перепутывания. В разделе 2.3 анализируется понятие квантового перепутывания в Гильбертовом пространстве физических состояний калибровочных теорий и показывается, что это Гильбертово пространство не может быть разложено на прямое произведение подпространств, связанных с любым разделением всех ребер решетки на подмножества. Понятие квантового перепутывания может быть определено только на расширенном Гильбертовом пространстве, в котором элементарные физические возбуждения калибровочных теорий - электрические струны - могут разрываться на границе между двумя подмножествами. Новые степени свободы - точки окончания электрических струн на границе между двумя областями - в действительности насыщают энтропию перепутывания своей классической Шенноновской энтропией. Это

напоминает "голографический принцип" в квантовой гравитации [39]. Далее показывается, что метод реплики [36], обычно используемый для вычисления энтропии перепутывания, в случае калибровочных теорий в точности соответствует такому расширению Гильбертова пространства. В разделе 2.4 описывается процедура численного измерения энтропии перепутывания на решетке. В разделах 2.5 и 2.6 эта процедура используется для измерения энтропии перепутывания в трехмерной 2/2 решеточной калибровочной теории и в четырехмерной Б (7 (2) решеточной калибровочной теории. В случае /?2 теории оказывается возможным использовать дуальность Крамерса-Ваннье чтобы напрямую извлечь конфигурации электрических струн из результатов Монте-Карло вычислений. Это позволяет численно показать, что для данной теории энтропия перепутывания насыщается классической Шенноновской энтропией концевых точек электрических струн на границе между двумя перепутанными областями. Этот факт является сильным аргументом в пользу голографического соответствия, безотносительно к Ас18/СРТ соответствию. В разделе 2.6 измеряется энтропия перепутывания неабелевой 5 ¿7 (2) калибровочной теории (в которой, безусловно, есть удержание цвета) и показывается, что она в действительности неаналитична по размеру области. Наконец, в разделе 2.7 показывается, что эта неаналитичность напрямую связана с фазовым переходом конфайнмент-деконфайнмент при конечных температурах.

В главе 3 рассматривается двумерная теория Янга-Миллса на торе. Эта теория представляет собой интересный пример точного соответствия между двумерной калибровочной теорией и двумерной теорией струн, впервые рассмотренного Д. Гроссом и Э. Виттеном в [40]. Двумерная теория Янга-Миллса - это топологическая теория, удерживающая цвет также по чисто топологическим причинам. Можно переписать производящий функционал теории Янга-Миллса на некотором двумерном многообразии М как сумму по двумерным мировым поверхностям струн, покрывающих М, возможно с некоторыми сингулярными точками. С другой стороны, этот же производящий функционал можно переписать как производящий функционал одномерной матричной модели со связями первого рода [41].

Таким образом, двумерная теория Янга-Миллса является очень ярким примером соответствия между калибровочными теориями, теориями струн и матричными моделями. В данной главе проводится ВШЗТ квантование соответствующей матричной модели в Гамильтоновом формализме.

Наконец, в главе 4 рассматривается квантовая теория поля на пространстве Де Ситтера. Такая задача имеет отношение к интересному соответствию между теорией струн на пространстве Де Ситтера и четырехмерной теорией Янга-Миллса с комплексной константой связи, впервые рассмотренному А. М. Поляковым [45]. Так как калибровочная теория с комплексной константой связи является неунитарной, можно ожидать, что и теория струн на пространстве Де Ситтера неунитарна. Переходя к низкоэнергетическому пределу теории струп, можно сделать вывод и о том, что обычные квантовые теории ноля на пространстве Де Ситтера также неунитарны. Мы явно показываем это, доказывая неверность оптической теоремы в пространстве Де Ситтера. Это наблюдение может быть также интересным (но на сегодняшний день только качественным) решением проблемы космологической постоянной. А именно, космологическая постоянная может затухать из-за квантово-гравитационных эффектов. При таком сценарии инфляции нет необходимости вводить какие-либо дополнительные скалярные поля типа инфлатона.

1.2. Цель диссертационной работы

1. Проверка гипотезы о доминантности центральных вихрей в низкоэнергетическом пределе неабелевых калибровочных теорий.

2. Нахождение эффективного действия центральных вихрей и объяснение их наблюдаемых свойств, таких как перколяция и скейлинг общей площади.

3. Определение энтропии квантового перепутывания для решеточных калибровочных теорий и обоснование связи этого определения с предыдущими вычислениями методом реплики.

4. Нахождение степеней свободы, дающих основной вклад в энтропию квантового перепутывания калибровочных теорий.

5. Числешхое измерение энтропии переиутывания в калибровочных теориях и сравнение результатов с предсказаниями дуальных AdS/CFT моделей.

6. Исследование связи между неаналитичным поведением энтропии перепутывания и фазовым переходом конфайнмент-деконфайнмент при конечной температуре.

7. BRST квантование матричных моделей со связями первого рода, порождающими движения вдоль групповых классов.

8. Изучение общих свойств (таких как унитарность или существование основного состояния) квантовых теорий поля на пространстве Де Ситтера.

9. Изучение квантовой устойчивости пространства Де Ситтера в низкоэнергетическом пределе квантовой гравитации и оценка скорости затухания космологической постоянной.

1.3. Результаты и положения выносимые на защиту

1. Показано, что экранирование цветных зарядов на асимптотически больших расстояниях указывает на вихреподобную структуру вакуума теории Янга-Миллса [1]. Поведение петель Вильсона на больших расстояниях изучалось при помощи теории случайных блужданий на групповых многообразиях [2, 3].

2. Численно изучено эффективное действие центральных вихрей в SU (2) решеточной калибровочной теории. Было показано, что помимо члена Намбу-Гото, эффективное действие вихрей также содержит члены, делающие их мировые поверхности жесткими [4,18], и что соответствующие константы связи не исчезают в пенрерывном пределе. Основываясь на полученном действии, было предложено качественное объяснение перколяции центральных вихрей [18].

3. Предложена модельно-независимая проверка того, что по мировым поверхностям центральных вихрей распространяются некоторые физические возбуждения [4].

4. Предложено конструктивное определение энтропии перепутывания в калибровочных теориях. Согласно этому определению, чтобы определить понятие перепутанных состояний калибровочных полей

в двух комплементарных областях пространства, следует рассматривать расширенное Гильбертово пространство, в котором закон Гаусса нарушается на границе между областями. Показано, что такое и только такое определение перепутывания соответствует вычислениям по методу реплики [5].

5. Показано, что энтропия перепутывания калибровочных теорий насыщается классической Шенноновской энтропией концевых точек электрических струн на границе между двумя перепутанными областями. Было рассмотрено квантование калибровочных теорий с конфайнментом в окрестности черной дыры и показано, что горизонт черной дыры должен играть роль Б-браны для электрических струн (то есть, для линий электрического потока) [5].

6. Численно измерена энтропия перепутывания в 311 (2) решеточной калибровочной теории и продемонстрировано ее неаналитичное поведение по размеру перепутанных областей пространства [6]. Тем самым были подтверждены предсказания, основанные на чисто геометрических построениях в голографических дуальных теориях [34, 35, 37]. Асимптотическое, поведение энтропии перепутывания на малых расстояниях и скейлинг ее ультрафиолетово расходящейся части также оказались в согласии с теоретическим предсказаниями.

7. Измерена петля Полякова на реплицированном пространстве. Зависимость петли Полякова от размера перепутанной области пространства оказалось схожей с зависимостью от температуры при переходе конфайнмент-деконфайнмент, тем самым была установлена прямая связь между переходом конфайнмент-деконфайнмент и неаналитическим поведением энтропии перепутывания [6].

8. Проведено БЛЭТ квантование одномерных матричных моделей со связями первого рода в Памильтоновом формализме [7]. Рассматриваемые связи первого рода генерируют сдвиги вдоль групповых классов группы симметрии модели.

9. Доказана неунитарность взаимодействующих квантовых теорий поля на пространстве Де Ситтера [8]. В частности, это относится и к низкоэнергетической эффективной теории квантовой гравитации. В

результате оказывается, что пространство Де Ситтера неустойчиво в любой самосогласованной квантовой теории.

1.4. Научная новизна и практическая ценность

Все представленные к защите результаты являются оригинальными и (на момент опубликования) новыми разработками автора диссертации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в виде тезисов в трудах этих конференций. Работы известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях теоретической физики. Среди новых результатов следует отметить следующие:

1. Показано, что экранирование цветных зарядов на асимптотически больших расстояниях указывает на вихреподобную структуру вакуума теории Янга-Миллса [1]. Поведение петель Вильсона на больших расстояниях изучалось при помощи теории случайных блужданий па групповых многообразиях [2, 3].

2. Численно изучено эффективное действие центральных вихрей в ЯII (2) решеточной калибровочной теории. Было показано, что помимо члена Намбу-Гото, эффективное действие вихрей также содержит члены, делающие их мировые поверхности жесткими [4,18], и что соответствующие константы связи не исчезают в непрерывном пределе. Основываясь на полученном действии, было предложено качественное объяснение перколяции центральных вихрей [18].

3. Предложена модельно-независимая проверка того, что по мировым поверхностям центральных вихрей распространяются некоторые физические возбуждения [4].

4. Предложено конструктивное определение энтропии перепутывания в калибровочных теориях. Согласно этому определению, чтобы определить понятие перепутанных состояний калибровочных полей в двух комплементарных областях пространства, следует рассматривать расширенное Гильбертово пространство, в котором закон Гаусса нарушается на границе между областями. Показано, что такое и только такое определение перепутывания соответствует вычислениям по методу

реплики [5].

5. Показано, что энтропия перепутывания калибровочных теорий насыщается классической Шенноновской энтропией концевых точек электрических струн на границе между двумя перепутанными областями. Было рассмотрено квантование калибровочных теорий с конфайнментом в окрестности черной дыры и показано, что горизонт черной дыры должен играть роль Б-браны для электрических струн (то есть, для линий электрического потока) [5],

6. Численно измерена энтропия перепутывания в БЫ (2) решеточной калибровочной теории и продемонстрировано ее неаналитичное поведение по размеру перепутанных областей пространства [6]. Тем самым были подтверждены предсказания, основанные на чисто геометрических построениях в голографических дуальных теориях [34, 35, 37]. Асимптотическое поведение энтропии перепутывания на малых расстояниях и скейлинг ее ультрафиолетово расходящейся части также оказались в согласии с теоретическим предсказаниями.

7. Измерена петля Полякова на реплицированном пространстве. Зависимость петли Полякова от размера перепутанной области пространства оказалось схожей с зависимостью от температуры при переходе копфайнмент-деконфайнмент, тем самым была установлена прямая связь между переходом конфайнмеит-деконфайнмент и неаналитическим поведением энтропии перепутывания [6].

8. Проведено ВШЗТ квантование одномерных матричных моделей со связями первого рода в Гамильтоновом формализме [7]. Рассматриваемые связи первого рода генерируют сдвиги вдоль групповых классов группы симметрии модели.

9. Доказана пеунитарность взаимодействующих квантовых теорий поля на пространстве Де Ситтера [8]. В частности, это относится и к низкоэнергетической эффективной теории квантовой гравитации. В результате оказывается, что пространство Де Ситтера неустойчиво в любой самосогласованной квантовой теории.

Научная и практическая ценность представляемой диссертации заключается в возможности применения полученных результатов в

дальнейших исследованиях физики сильных взаимодействий, теории гравитации и космологии.

1.5. Апробация диссертаци

Основные результаты, представленные в Диссертации, обсуждались на внутренних семинарах решёточной группы ИТЭФ, докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ (Москва), семинарах Объединенного Института Энергетических и Ядерных Исследований (Минск, Беларусь), Института Ядерных Исследований Российской Академии Наук (Москва), Института Физики Университета Гумбольдта (Берлин, Германия) и Института Гравитационной Физики им. А. Эйнштейна (Потсдам, Германия).

Результаты были также представлены (автором и его соавторами) на многочисленных международных конференциях и семинарах, в частности: на международном семинаре по корреляциям и когерентности в квантовом веществе (Эвора, Португалия);

на международной конференции "Confinement 8" (Майнц, Германия); на международном семинаре "Hadron Structure and QCD" (HSQCD'2008) (Петербург, Россия);

на 15-ом международном семинаре по физике высоких энергий "Quarks 2008" (Сергиев Посад, Россия);

на сессии Секции ядерной физики отделения физических наук Российской Академии Наук;

на международной школе по субъядерной физике (Эричи, Италия); на международной конференции по решеточным теориям поля "Lattice 2007" (Регенсбург, Германия).

Диссертация основана на результатах, опубликованных в 14 статьях в реферируемых журналах [1-14] и б трудах конференций [15-20].

1.6. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из вводного раздела, четырех глав и заключительного раздела. Объем диссертации - 174 страницы, включая 20 рисунков. Список литературы содержит 153 ссылки.

2. Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и делаются общие вводные замечания о предмете исследования в целом. Детально излагаются те аспекты калибровочных теорий, которые необходимы для понимания дальнейшего изложения, В начале каждой последующей главы расположен раздел с более подробным введением в предмет изучения данной главы, затем следуют разделы, представляющие научные результаты, и завершает главу раздел, содержащий заключение и обсуждение результатов.

В главе 1 развивается гипотеза центральной доминантности в калибровочных теориях, согласно которой низкоэнергетические эффективные степени свободы связаны с центром калибровочной группы. Это может быть доказано уже из того, что на асимптотически больших расстояниях натяжение струны КХД между зарядами в представлении Н калибровочной группы зависит только от n-альности этого представления. Этот аргумент развивается в разделе 1.2, где используется формализм случайных блужданий петель Вильсона на калибровочной группе, развитый в [1-3]. В этом описании вся информация о средних от петель Вильсона в неприводимых представлениях калибровочной группы содержится в распределении вероятности голономий по калибровочной группе [2, 25, 26], определенном как:

р[д;с] = = (1)

R

где 5 (д, д') - YlXR (<?) XR (#') есть дельта-функция на групповых классах, я

д [С] есть голономия калибровочного поля по петле С, хл и есть характер и размерность неприводимого представления R и Wr [С] есть среднее от петли Вильсона в этом представлении. В фиксированной конфигурации калибровочных полей, с увеличением площади заметаемой петлей С голономия д [С] движется по некоторому пути на групповом многообразии. Когда вычисляются средние от петель Вильсона в квантовой теории и проводится суммирование по всем конфигурациям калибровочных полей, взвешенная сумма по всем путям которые начинаются на единичном

элементе и заканчиваются на элементе д пропорциональна распределению вероятности р[д\С). Предполагая, что для петель Вильсона во всех представлениях выполняется закон площадей, легко получить общее уравнение диффузии для р [д; С]

¿щр[9\С] = \йд,Р{дд^)р[д']С]

P(9) = ~Y^d^^9)o(R) (2)

л

Это уравнение описывает произвольные случайные блуждания на калибровочной группе, где Р {g(f~l) есть вероятность перехода из точки д в точку д'. Если а (Я) зависит только от /V-альности представления, простое вычисление показывает, что Р{д) дается конечной суммой по центру группы: Р(д) = J2 v(.z)&{Qz)i гДе 1 (z) есть минус Фурье преобразование

zGZp/

спектра натяжений струн относительно группового центра.

Из уравнения (2) следует, что по мере того, как площадь, заметаемая петлей С, становится асимптотически большой, голономия д[С] может меняться лишь скачком на элементы центра группы, причем вероятность перехода г) {¿) при z ф 1 равна вероятности ро (z) одного нрыжка на единицу площади. Интересно также заметить, что положительность вероятности Ро (z) = t} (z), z Ф 1 представляет собой некое ограничение на возможный спектр натяжений струн КХД, которое следует из положительности интеграла по путям для чистой теории Янга-Миллса в Евклидовом пространстве-времени.

По определению голономия д [С] меняется на элемент группового центра, когда петля С пересекается центральным вихрем. Если центральные вихри есть физически тонкие поверхности, как это показывают результаты решеточных вычислений [28], то д [С] действительно изменяется скачком при пересечении вихря. Однако как показано в [1], для того чтобы случайные блуждания голономии д [С] были дискретными для асимптотически больших петель С, достаточно даже вихреподобных структур с конечным пространственным сечением. Но в любом случае вихреподобная структура с потоками вихрей, квантующимися относительно центра калибровочной группы, является необходимой. Таким образом, из

1 1 11

~.....~Т Г " ) Ь

! ! ! 1 1 > т Мщ .....

1 УС- Г I 1 )

^^ 1 1 ! 1 !

30 40 50 60 70 80 90 Агеа

Рис. 1. Средний размер центральных вихрей как функция их площади (284 решетка при (3 = 2.60)

свойства экранирования цветных зарядов следует существование вихрей, несущих поток, определяемый центром калибровочной группы, в вакууме неабелевых калибровочных теорий.

В разделе 1.3 изучается эффективное действие центральных вихрей Ш [5*], где Я* обозначает мировые поверхности вихрей. Это действие формально определено функциональным интегралом по калибровочным полям на решетке с фиксированной конфигурацией вихрей Я* [<#]:

ехр {—ЦТ [5*]) =

(3)

Эффективное действие (3) интересно по нескольким причинам: во-первых, если справедлива гипотеза о центральной доминантности, это действие должно быть универсальным низкоэнергетическим действием неабелевых калибровочных теорий и таким образом должно хорошо описывать адронную физику. Во-вторых, действие (3) описывает некую теорию случайных поверхностей в четырех измерениях, свободную от обычной проблемы "ветвящихся полимеров" в теориях струн в В ф 26 или О ф 10. В отличие от известных моделей случайных поверхностей, центральные вихри имеют конечную среднюю площадь и стремятся иметь гладкую поверхность. Точнее, центральные вихри обычно наблюдаются как перколирующий кластер с фрактальной структурой и

с Хауедорфовой размерностью Dh — 4, плюс некоторое количество маленьких вихрей-'спутников" с размерами на масштабе шага решетки. Оказывается, что зги небольшие вихри-'спутники" имеют тенденцию быть гладкими поверхностями, с размерностью близкой к двум. Конечно, это утверждение имеет лишь приближенное значение для поверхностей на решетке, однако, тем пе менее можно сделать некоторые качественные заключения. Чтобы получить размерность "спутников", мы измерили их средний размер как функцию их площади. Размер вихря определялся как максимальное расстояние между точками, принадлежащими одной связной поверхности. Средний размер вихрей-'спутников" как функция их площади (в решеточных единицах) построен на рис. 1. Фит вида L — const • S1^ (сплошная линия на рис. 1) дает d = 1.9 ± 0.1. Для малых площадей вихрей (S < 30) это число просто отражает отсутствие самопересечений поверхностей вихрей, по для больших площадей этот результат свидетельствует о том, что вихри-'спутники" в основном имеют гладкие поверхности.

Хорошо изученной моделью, которая может описывать гладкие поверхности даже в трех и четырех измерениях, является модель жестких струн [29, 30] с действием S = J <i2£ (ст + 7Д + кК), где R я К есть внутренняя (Риманова) и внешняя кривизны мировых поверхностей вихрей. Член с внешней кривизной подавляет рост ветвящихся полимеров. В работе [30] было показано, что константа к логарифмически зануляется при больших импульсах, поэтому если ^-функция теории монотонна, рост ветвящихся полимеров ничем не запрещен и теория становится эквивалентна теории ветвящихся полимеров после квантования. В этом случае модель может служить лишь эффективным описанием гладких поверхностей при низких энергиях. Ситуация иная, если /3-функция проходит через ноль при некотором ненулевом к. В этом случае в непрерывном пределе струна может существовать в фазе гладких поверхностей с Хауедорфовой размерностью, равной двум в непрерывном пределе. Некоторые численные расчеты подтверждают такую возможность [29, 31].

Чтобы показать, что центральные вихри являются жесткими поверхностями, измерялось средняя плотность действия, локализованного

Рис. 2. Средний цлакет как функция внешней кривизны и жата решетки

на вихрях, как функция их внешней и внутренней (Римановой) кривизны. Внутренняя кривизна на решетке определялась как а2Яа ~ 4 — пя, где п, есть число узлов решетки, смежных на поверхности с узлом в и а есть шаг решетки [29]. Внешняя кривизна определялась как а2Кя — [29],

где Д есть дискрегизованный оператор Лапласа на мировой поверхности вихря. Конфигурации центральных вихрей извлекались из конфигураций калибровочных полей в максимальной центральной калибровке (ОМС) [27, 28]. Средний избыток действия на плакет как функция шага решетки и внешней и внутренней кривизны (в решеточных единицах) построен на рис. 2. Видно, что среднее действие практически линейно зависит от внешней кривизны. Изучение скейлинга коэффициента этой линейной зависимости с шагом решетки показывает, что он остается конечным в непрерывном пределе а 0.

Зависимость среднего действия от внутренней кривизны (рис. 2 справа), однако, более сложна и может служить качественным объяснением наблюдаемой перколяции центральных вихрей. Минимум среднего действия соответствует конечному отрицательному значению а2 Я, = — 1 внутренней кривизны. Согласно теореме Гаусса-Бонне, интеграл от внутренней кривизны по замкнутой поверхности равен 2 — 2д, где д есть род данной поверхности. Поэтому поверхности с большим родом имеют больший вес в интеграле по путям. Более того, если предположить что кривизна близка к некоторому постоянному отрицательному значению, то сразу можно сделать вывод о том, что род поверхности должен расти пропорционально ее площади. Это в точности то, что наблюдается для перколирующей

он ■ 0.12 01

£ о.ое ■ £

V 0-08 ■

Г о.т ■ й ог ■

0.05 0.06 ВО/ О.ВД 0 09 0.1 0.11 012 0 13 0.1<

Рис. 3. Коэффициент корреляции между соседними макетами с с14 < 2, А > 6 и < 2,

¿2 < 2

поверхности центральных вихрей [18], которая имеет очень большой род, растущий линейно с объемом решетки. Принимая во внимание, что площадь перколирующей поверхности также растет линейно с объемом пространства, можно заключить, что ее род пропорционален ее площади.

Наконец, остановимся на возможном механизме, который обеспечивает жесткость мировых поверхностей центральных вихрей. Известно, что зависимость от внешней кривизны может быть индуцирована теориями полей с ненулевым спином, живущими на мировых поверхностях струн [29]. Естественными кандидатами на кванты таких полей являются Абелевы монополи, которые выделяются в вакууме 811 (М) решеточной калибровочной теории при помощи отображения 517 (Ж) линковых переменных на II (1)Д""1 линковые переменные. Изучение мировых линий Абелевых монополей позволяет говорить о том, что они имеют ненулевой спин [28]. Однако Абелевы монополи являются калибровочно-зависимыми объектами. Поэтому имеет смысл привести модельно-независимый аргумент в пользу того, что на мировых поверхностях вихрей распространяются некоторые физические возбуждения. Рассмотрим такие пары точек на поверхности вихря, которые очень далеки друг от друга во внутренней геометрии вихря, но очень близки в объемлющем четырехмерном пространстве. Если физически релевантные степени свободы распространяются лишь по поверхности вихрей, плакет-плакетные корреляции в таких точках должны быть намного меньше, чем между точками, разделенными таким же расстоянием во внутренней

геометрии поверхности. Для численной проверки этой гипотезы поверхности центральных вихрей были представлены как графы, причем каждый узел графа соответствовал какому-либо плакету. Плакет-плакетные корреляции измерялись в точках, разделенных только одним шагом решетки в четырехмерном пространстве, но не менее чем 6 шагами решетки по поверхности вихря (¿4 < 2, ¿2 > 6). Для измерения расстояний на поверхностях вихрей был использован стандартный алгоритм поиска в ширину. Для сравнения измерялась также корреляция между соседними плакетами с (1.1 < 2, (¿2 < 2. Результаты этих измерений построены на рис. 3. Можно видеть, что корреляции в четырехмерном пространстве намного меньше, чем на поверхностях вихрей, откуда следует, что по поверхностям вихрей действительно распространяются некоторые физические поля.

В главе 2, основанной на работах [5, 6, 20], вакуум неабелевых калибровочных теорий изучается с точки зрения квантового перепутывания. Обычно для квантовых полей в окрестности квантового фазового перехода (то есть, фазового перехода, происходящего при нуле температуры когда варьируется какой-либо из параметров теории, например, константа связи) основное состояние является сильно перепутанной суперпозицией состояний всех элементарных решеточных степеней свободы (таких, как спины в модели Гейзеиберга, или линковые переменные в решеточной калибровочной теории), и различные фазы решеточных теорий могут быть охарактеризованы различными характерами квантового перепутывания [32, 36]. Квантовое перепутывание, таким образом, является очень удобным понятием для описания возникновения новых коллективных степеней свободы в квантовых теориях поля. В качестве меры квантовой перепутанности основного состояния квантовых полей в {Б — 1) + 1-мерном пространстве-времени обычно используется энтропия перепутывания 5 [Л] между некоторой (/) — 1)-мерной областью Л и ее (О — 1)-мерньш дополнением В, которая характеризует количество общей информации, разделенной между А и В [36]. Энтропия перепутывания определяется как энтропия фон Неймана редуцированной матрицы плотности рд, связанной с областью А: 5 [Л] = —Тг а (рл 1пра)- Редуцированная матрица плотности получается из матрицы плотности основного состояния теории,

рлв = |0)(0|, взятием следа по всем степеням свободы, расположенным вне А, то есть в В [36]: Рл — Т^ВРАВ — Тг 0}(0 ]. Эта матрица плотности описывает состояние квантовых полей с точки зрения наблюдателя, который может проводить измерения лишь в области А. Другими словами, область В недоступна для такого наблюдателя, как если бы она была отделена от А неким подобием горизонта событий.

Как было показано Бекенштейном и Хокингом, энтропия черной дыры должна быть пропорциональна площади ее горизонта. Этот факт получил недавно интересное развитие в работах [34, 35, 37], где предлагалось расширить применимость этого энтропнческого "закона площадей" также на энтропию перепутывания квантовых теорий поля, дуальных (в смысла дуальности Мальдасены, или дуальности между калибровочными теориями и квантовой гравитацией [33]) суперграьитации на пространстве анти Де Ситтера (АдС) (или его температурных модификациях). Чтобы быть точнее, первоначальная гипотеза [37] заключалась в том, что для (О — 1) + 1-мерных конформных теорий поля, живущих на границе (Г) + 1)-мерного пространства анти Де Ситтера, энтропия квантового перепутывания между областью А и дополнением к ней пропорциональна минимальной площади гиперповерхности в пространстве АдС, натянутой на границу области А. Эта гипотеза была явно подтверждена для двумерных конформных теорий поля, живущих на границе трехмерного пространства АдС. Простота и элегантность этого "закона площадей" для энтропии перепутывания позволяют предположить, что он имеет фундаментальную природу и может быть применен также к неконформным теориям поля, которые имеют дуальное описание в теории супергравитации. Это было сделано в [34, 35], где энтропия перепутывания некоторых удерживающих цвет калибровочных теорий в пределе большого числа цветов Мс была вычислена на основании гипотезы [37]. Один из наиболее интересных результатов работ [34, 35] - это то, что если предположить выполнение энтропического "закона площадей" также для неконформных теорий, их энтропия перепутывания должна быть неаналитичной по размеру области А. Эта неаналитичность есть следствие существования двух различных минимальных гиперповерхностей в дуальной пятимерной геометрии - связной и несвязной [34, 35]. Энтропия

перепутывания может также рассматриваться как счетчик эффективного числа степеней свободы на масштабе, определяемом размером области А [35]. В этом случае неаналитическое поведение энтропии перепутывания в неабелевых калибровочных теориях может быть понято как переход между цветными и адронными степенями свободы, похожий на фазовый переход конфайнмент-деконфайнмент.

В разделах 2.4, 2.5, 2.6, 2.Т энтропия перепутывания решеточных калибровочных теорий исследуется численно методом Монте-Карло. При этом используется метод реплики [36], в котором энтропия перепутывания выражается через набор свободных энергий F[Л,s,T] теории на пространствах с топологией й-листной Римановой поверхности (умноженной на плоские направления при Б > 2):

Точки ветвления Римановой поверхности должны быть расположены па границе области А. Если рассматривается теория при конечной температуре Т, каждый лист Римановой поверхности должен быть цилиндром с периодом Т~1. Такая топология пространства схематически изображена на рис. 4. По техническим причинам измерялась производная энтропии по размеру области А (которая имела фиксированную форму - квадрат, пространство между двумя плоскостями и т.д.), а не сама энтропия.

В разделе 2.6 представляются результаты численных измерений энтропии перепутывания в четырехмерной ЯП (2) решеточной калибровочной теории. В наших вычислениях область А была ограничена двумя параллельными плоскостями на расстоянии I друг от друга, и энтропия перепутывания нормировалась на единицу площади плоскостей. Такая же геометрия использовалась в работах [34, 35, 37]. Зависимость производной энтропии перепутывания по размеру области I от I показана на рис. 5.

Вначале проверяются те свойства энтропии перепутывания на малых расстояниях, которыми характеризуются свободные теории [38] и которыми она должна обладать вследствие асимптотической свободы. А именно, проверяется, что энтропия содержит не зависящее от I квадратично

Рис. 4, Топология пространств, на которых вычисляются свободные энергии Р[А,в,Т| в (4), примеры для в = 2 и 5 = 3. Штриховые линии со стрелками обозначают отождествление сторон разрезов, то есть периодические граничные условия во времевном направлении.

а = 0.101т . а = 0.111т > а = 0.121т . а = 0.141т .

I *

0.45 0.5 1,1т

0.55 0.6 0.65

Рис. 5. Зависимость производной энтропии перспутывания ^¡р от I. Сплошная линия на левом графике есть фит данных функцией вида С1~3. Разрыв производной от энтропии перепутывания по I возле 1С и 0.5 /от показан на левом графике.

расходящееся слагаемое, и что ее ультрафиолетово конечная часть ведет себя как Sj ~ — I"1, при малых I.

Наиболее интересно, однако, то, что при lc ^ 0.5 fm дискретизованная производная энтропии перепутывалия ^ Sf (I) и энтропическая С-функция скачком обращаются в ноль, и остаются равными нулю в пределах ошибок для больших значений I. Результаты вычислений вблизи 1С построены в большем масштабе на рис. 5 справа. Таким образом, имеется явное указание на разрыв производной энтропии перепутывания, и энтропия в действительности оказывается неаналитичной по I даже при конечном числе цветов. Тем самым подтверждаются предсказания, сделанные ранее независимо на основании гипотезы о AdS/CFT соответствии [34, 35, 37].

Если выражение (4) применить к теориям при конечной температуре, достаточно очевидные аргументы позволяют предположить, что неаналитичное поведение энтропии перепутывания по отношению к области А может иметь место даже при температурах выше фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент. В этом случае легко также доказать связь между фазовым переходом к деконфайнменту и разрывом производной от энтропии по I. Действительно, рассмотрим калибровочную теорию при некоторой температуре Т > Тс. Ясно, что когда область А становится очень большой и занимает почти все пространство, свободная энергия F [А, s, Т] равна свободной энергии теории при температуре T/s, и можно всегда найти такое s, что T/s < Тс и теория находится в фазе конфайнмента. С другой стороны, если размер области А стремится к нулю, F[A,s,T] есть просто свободная энергия s копий теории при температуре Т, каждая из которых находится в фазе деконфайнмента. Можно ожидать, что, например, петля Полякова, оборачивающаяся вокруг короткого цикла (длины 1/7') решетки укажет на переход конфайнмент-деконфайнмент по мере увеличения размера области А.

Такое измерение проводится в разделе 2.7 для решетки с s = 2 разрезами при такой температуре, что при максимальной длине разреза теория находится в фазе деконфайнмента, а при отсутствии разреза - в фазе конфайнмента. Среднее от петли Полякова как функция I построено на рис. 6. Видно, что при I приблизительно равном 1.5 fm, среднее

• 4

1 1.5 2

1,(т

Рис. 6. Среднее от петли Полякова, оборачивающейся вокруг "короткого" цикла иа решетке с разрезами как функция I для решетки размером 8 х 203 с двумя разрезами, 61 = 0.12/771,77?;= 1.43.

от петли Полякова имеет резкий изгиб, после которого она остается равной нулю в пределах ошибок. Таким образом, центральная симметрия восстановлена и теория в фазе конфайнмента. Такая зависимость петли Полякова от I качественно такая же, как и зависимость от температуры при фазовом переходе конфайнмент-деконфайнмент в чистой ви (2) теории Янга-Миллса, в согласии с предсказаниями [34, 35, 37].

В разделе 2.3 изучается более формальный и фундаментальный вопрос определения энтропии перецутывания в калибровочных теориях. Чтобы определить энтропию перепутывания, необходимо разложить гильбертово пространство состояний теории Н в прямое произведение гильбертовых пространств На и Нв, связанных с комплементарными областями А и В. Доказывается, что такое разложение невозможно для Гильбертова пространства физических состояний (то есть состояний, удовлетворяющих закону Гаусса) калибровочных теорий. Далее строится гильбертово пространство Н минимальной размерности, содержащее Н и имеющее структуру прямого произведения. Оказывается, что это пространство есть пространство физических состояний, расширенное за счет состояний, для которых закон Гаусса = 0 нарушается только на границе

между А я В. Имея в виду струнную картину вакуума калибровочных теорий, можно сказать, что электрические струны могут оканчиваться на границе между областями А и В, которая становится таким образом

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

-0.05

подобием О-браны. Доказывается также, что такое расширение гильбертова пространства калибровочных теорий в точности соответствует вычислениям по методу реплики, который был использован во всех предыдущих работах по вычислению энтропии перепутывания в калибровочных теориях [6, 34, 35] без явного построения разложения в прямое произведение. Так как энтропия перепутывания очень схожа с энтропией черных дыр, то можно показать, что такое расширенное гильбертово пространство необходимо также для квантования калибровочных теорий в окрестности черной дыры - в противном случае нарушается теорема об "отсутствии волос" у черных дыр.

В расширенном гильбертовом пространстве появляются новые степени свободы, которые отсутствовали в первоначальной теории и которые должны учитываться в формальном "числе состояний", подсчитываемом энтропией перепутывания - а именно, концевые точки электрических струн на границе между А я В. Чтобы показать, что эти новые степени свободы дают вклад в энтропию перепутывания и даже насыщают ее, можно рассмотреть простую пробную волновую функцию ^ решеточной

калибровочной теории = С ]С ехР ( —а/2 ) П гТ' ■ которая

{Лщ=0} V 1/1 является суперпозицией всех конфигураций замкнутых электрических

струн, каждая из которых входит с весом, затухающим экспоненциально с

их длиной. Оказывается, что для такой пробной волновой функции энтропия

перепутывания есть просто классическая Шенноновская энтропия концевых

точек пересечения границы между А и В электрическими струнами:

= р[{®ь-",агш}]1пр({ж1,...,а;т}], (5)

тп {Ж1,...,хт}

где р [{хь..., хт}} есть распределение вероятности т точек пересечения. Другими словами, в расширенном Гильбертовом пространстве это есть энтропия концевых точек электрических струн на границе между А и В. В разделе 2.5 численно доказывается, что классическая энтропия (5) насыщает энтропию перепутывания трехмерной Т,^ решеточной калибровочной теории для всех значений константы связи. Этот простой и универсальный результат позволяет предположить, что как минимум

в рассмотренных калибровочных теориях вся информация, общая между А а В закодировала классически в распределении концевых точек электрических струп. Такое кодирование очень напоминает голографический принцип в квантовой гравитации, предложенный т'Хофтом и Зюскиндом [39].

В главе 3 рассматривается двумерная теория Янга-Миллса на торе. Эта теория представляет собой интересный пример точного соответствия между двумерной калибровочной теорией и двумерной теорией струн, впервые рассмотренного в [40]. Двумерная теория Янга-Миллса - это топологическая теория, удерживающая цвет также по чисто топологическим причинам. Можно переписать производящий функционал теории Яига-Миллса на некотором двумерном многообразии М. как сумму по двумерным мировым поверхностям струп, покрывающих М, возможно с некоторыми сингулярными точками. С другой стороны, двумерная теория Янга-Миллса на торе может быть переписана как одномерная матричная модель с определенными связями первого рода. Рассмотрим теорию Янга-Миллса на цилиндре и перейдем в калибровку /1о =-- 0. Единственная оставшаяся динамическая степень свободы -это монодромия калибровочного поля вокруг компактифицированного

пространственного измерения [41] — Рехр (^¡-Уум I (1хЛ\(х, г)^, где Ь

есть размер компактифицированного измерения и дум есть копстанта связи. Лагранжиан теории Янга-Миллса можно выразить через как [41]

ь

1

что есть лагранжиан для одномерной с = 1 матричной модели [41, 43]. Дополнительно следует наложить связь [И7, И'] == 0 [41]. Эту связь можно записать более формально как а — 0, где (¿а есть (квантовый или классический) генератор сдвигов вдоль групповых классов. В работе [42] такая матричная модель была проквантована в формализме Баталина-Вилковыского-Фрадкина (ВР) с использованием специфического преобразования дуальности. В данной же главе проводится квантование

методом ВШЗТ в терминах исходных переменных, что приводит к явно ковариантной на групповом многообразии конструкции.

В разделах 3.3 и 3.4 строятся классический и квантовый ВЕ13Т заряды для связей \У = 0, а также ВШЗТ-инвариалтные гамильтонианы. В классической теории ВРБТ заряд и ВНЭТ-инвариантный гамильтониан имеют следующий вид:

п -- хада + хк<па -1/2 с:ьхакьпс (7)

Я = Я0 + хкКьиаиь (8)

где СсаЪ есть структурные константы алгебры Ли .чи (М), X" и П„ есть духовые переменные и канонически сопряженные им импульсы, Хк, к — 1,..., N — 1 есть бозонные духовые переменные, возникающие из-за избыточности связей С?а = 0 [44]. Поля и\ и Ы^ должны удовлетворять уравнениям {и%, С)ь} - Са}Ьи[ = 0 ,{«£, Я0} + 2ЦьС}ь = О, — 1$аСьл\ = 0, где {,} - скобки Пуассона. Соответственно, квантовый БИЭТ заряд и ВИБТ инвариантный гамильтониан имеют вид:

й = ХаЯа + хкиаА - 1/2 С1ьХаХьПс (9)

Я=Я0+хЧЬПаПь (10)

В разделе 3.5 изложенные выше результаты используются для построения BRST интеграла по путям для лагранжиана (6).

В главе 4, основанной на статьях [8, 23], изучаются квантовые теории поля на пространстве Де Ситтера. Есть много причин ожидать, что пространство Де Ситтера неустойчиво на квантовом уровне. Интересный аргумент в пользу этого - аналитическое продолжение от пространства анти Де Ситтера в пространство Де Ситтера и соответствующее продолжение дуальной калибровочной теории, которое показывает, что теория, голографически дуальная квантовой гравитации на пространстве Де Ситтера, есть JV* = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса с комплексной константой связи [45]. Очевидно, что такая теория неунитарна.

В разделах 4.2 и 4.3 приводится еще один аргумент в пользу квантовой неустойчивости пространства Де Ситтера. Низкоэнергетический предел квантовой гравитации на фона пространства Де Ситтера есть просто квантовая теория поля взаимодействующих гравитонов. Поэтому достаточно провести общее рассмотрение трехточечной вершины для некоторых полей вне массовой поверхности (массивных или безмассовых, но обязательно неконформных, как гравитоны) в пространстве Де Ситтера, и показать, что в отличие от квантовой теории поля в плоском пространстве, такая вершина не исчезает на массовой поверхности. Так, инерциально движущийся электрон в пространстве Де Ситтера может излучать фотоны, и это излучение будет продолжаться сколь угодно долго. Таким образом, в пространстве Де Ситтера не существует асимптотических свободных in/out состояний, фигурирующих в определении S-матрицы, что делает понятие унитарности достаточно неопределенным.

В разделе 4.3 это доказательство обосновывается следующим образом: показывается, что даже если попытаться вычислить сечение некоторого процесса рассеяния в пространстве Де Ситтера, ответ неизбежно оказывается бесконечным из-за инфракрасных расходимостей. А именно, в плоском пространстве есть два типа инфракрасных расходимостей: коллинеарные расходимости из-за очень мягких частиц, излучаемых in/out частицами, и расходимости в петлях с обменом очень мягкими виртуальными частицами. В плоском пространстве эти расходимости сокращаются в каждом порядке по константе связи [46]. Напротив, в пространстве Де Ситтера первый тип инфракрасных расходимостей отсутствует, в то время как инфракрасные расходимости в петлях остаются. Но сокращение петлевых и коллинеарных инфракрасных расходимостей есть прямое следствие оптической теоремы, то есть унитарности теории. Таким образом, в пространстве Де Ситтера инфракрасные расходимости в петлевых диаграммах ничем не сокращаются, и можно сделать вывод о том, что теории поля на пространстве Де Ситтера неупитарны.

Таким образом, если интерпретировать пространство Де Ситтера как основное состояние некоторой квантовой теории гравитации, и изучить соответствующую низкоэнергетическую теорию гравитонов, то неизбежным

является заключение о отсутствии у теории основного состояния. Таким образом, пространство Де Ситтера должно быть нестационарным состоянием. Можно также одну единственную частицу в пространстве Де Ситтера. Такая частица излучает частицы с термальным спектром с температурой, определяемой кривизной пространства Де Ситтера, и постепенно наполняет пространство мягкими термальными гравитонами. Эти гравитоны, обладая энергией и импульсом, воздействуют на фоновую метрику и эффективно экранируют космологическую постоянную. Кажется естественным, что такие распадные процессы должны в конце концов привести к плоскому пространству Минковского [47]. Это было бы очень эстетически привлекательное решение проблемы космологической постоянной. К сожалению, в теории возмущений для низкоэнергетического приближения квантовой гравитации можно лишь указать па такую квантовую неустойчивость, но нельзя сделать каких-либо количественных предсказаний. Нельзя также доказать, что конечным продуктом распада будет плоское пространство Минковского.

В заключении диссертации перечислены полученные результаты и обсуждаются дальнейшие направления исследований.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1] P. V. Buividovich, М. I. Polikarpov, Nucl. Phys. В 790 (2008) 28 - 41 [ArXiv:0704.3367j.

[2] P. V. Buividovich, V. I. Kuvshinov, Phys. Lett. В 634 (2006) 262 - 266 [ArXiv:hep-th/0602154].

[3] P. V. Buividovich, V. I. Kuvshinov, Phys. Rev. D 73 (2006) 094015 [ArXiv:hep-th /0605207].

[4] P. V. Buividovich, M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. В 786 (2007) 84 - 94 [ArXiv:0705.3745].

[5] P. V. Buividovich, M. I. Polikarpov, Phys. Lett. В 670 (2008) 141 - 145 [ArXi v:0806.3376].

[6] P. V. Buividovich, M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. В 802 (2008) 458 - 474 [ArXiv:0802.4247],

[7] P. V. Buividovich, Phys. Rev. D 75 (2007) 065018 [ArXiv:hep-th/0702224],

[8] E. T. Akhmedov, P. V. Buividovich, Phys. Rev. D 78 (2008) 104005 [ArX-iv:0808.4106].

[9] V. I. Kuvshinov, P. V. Buividovich, Acta Phys. Pol. В 36 (2005) 195 [ArXiv: hep-th/0502234].

[10] P. V. Buividovich, V. I. Kuvshinov, Phys. Rev. A 73 (2006) 022336 [ArXiv:quant-ph/0601146],

[11] P. V. Buividovich, E. V. Luschevskaya, M. I. Polikarpov, Phys. Rev. D 78 (2008) 074505 [ArXiv:0809.3075].

[12] П. В. Буйвидович, Ядерная Физика 72 (2009) 400 - 406.

[13] П. В. Буйвидович, М. И. Поликарпов, Ядерная Физика 72 (2009), №9, 1601 - 1605.

[14] П. В. Буйвидович, М. Н. Чернодуб, Е. В. Лущевская, М. И. Поликарпов, Письма в ЖЭТФ 90 (2009), №6, 456 - 460.

[15] V. I. Kuvshinov, P. V. Buividovich, Phys. Elem. Part, and Atom. Nucl. 36 (2005) 211 [ArXiv:hep-th/0502175].

[16] P. V. Buividovich, V. I. Kuvshinov, Nonl. Phen. Compl. Syst. 8 (2005) 313 - 316 [ArXiv:hep-th/0511198].

[17] P. V. Buividovich, Proceedings of the conference "New Trends in High-Energy Physics" ("Crimea-2005"), 2005.

[18] P. V. Buividovich, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov, PoS LAT2007 (2007) 324 [ArXiv:0709.1534j.

[19] M. И. Поликарпов, П. В. Буйвидович, Труды 13й Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, 2008 [ArXiv:0801.0262].

[20] P. V. Buividovich, М. I. Polikarpov, PoS Confinements (2008) 039 [ArX-iv:0811.3824].

[21] P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya, M. I. Polikarpov, Numerical study of chiral symmetry breaking in non-Abeliaa gauge theory with background magnetic field, 2008, препринт ITEP-LAT/2008-23 [ArX-iv:0812.1740],

[22] P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya, M. I. Polikarpov, Chiral magnetization of non-Abelian vacuum: a lattice study, 2009, препринт ITEP-L AT /2009-05, [ArXiv:0906.0488].

[23] E. T. Akhmedov, P. V. Buividovich, D. A. Singleton, De Sitter space and perpetuum mobile, 2009, препринт 1TEP-LAT/2009-07 [ArXiv:0905.2742].

[24] P. V. Buividovich, On the dynamics of large-N 0(N)-symmetric quantum systems at finite temperature, 2009, препринт ITEP-LAT/2009-03 [ArX-iv.0903.426b].

Список литературы

[25] А. М. Brzoska, F. Lenz, J. W. Negele, M. Thies, Phys. Rev. D 71 (2005) 034008 [ArXiv:hep-th/0412003].

[26] G. Arcioni, S. de Наго, P. Gao, Phys. Rev. D 73 (2006) 074508 [ArXiv:hep-th/0511213].

[27] L. Del Debbio, M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, Phys. Rev. D 55 (1997) 2298 - 2306 [ArXiv:hep-lat/9708023].

[28] F. V. Gubarev, A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov et al., Phys. Lett. В 574 (2003) 136 - 140 [ArXi v:hep-lat/0212003].

[29] J. Ambj0rn, Quantization of geometry, Lectures presented at the 1994 Les Houches Summer School [ArXiv:hep-th/9411179].

[30] A, M. Polyakov, Nucl. Phys. В 268 (1986) 406 - 412.

[31] H. Koibuchi, T. Kuwahata, Phys. Rev. E 72 (2005) 026124 [ArXivxond-mat/0506787].

[32] G. Vidal, J. I. Latorre, E. Rico, A. Kitaev, Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 227902 [ArXiv.quant-ph/0211074].

[33] J. M. Maldacena, Int.J.Theor.Phys. 38 (1997) 1113 [ArXiv:hep-th/9711200],

[34] I. R. Klebanov, D. Kutasov, A. Murugan, Entanglement as a probe of confinement, 2007 [ArXiv:0709.2140],

[35] T. Nishioka, T. Takayanagi, JHEP 01 (2007) 090 [ArXiv:hep-th/0611035].

36] P. Galabrese, J. Cardy, J. Stat. Mech. 0406 (2004) 002 [ArXiv:hep-th/0405152].

37] S. Ryu, T. Takayanagi, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 181602 [ArXiv:hep-th/0603001],

38] M. Srednicki, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 666 [ArXiv:hep-th/9303048].

[39] G. t' Hooft, Dimensional reduction in quantum gravity, 1994 [ArXiv:hep-th/9409089].

[40] D. J. Gross, Nucl. Phys. В 400 (1993) 161 - 180 [ArXiv:hep-th/9212149],

[41] J. A. Minahan, A. P. Polychronakos, Phys. Lett. В 312 (1993) 155 [ArXiv:hep-th/9303153].

[42] M. Blau, G. Thompson, J.Math.Phys. 36 (1995) 2192 2236 [ArXivrhep-th/9501075]

[43] M. R. Douglas, Conformal field theory techniques in large N Yang-Mills theory, 1993 [ArXiv:hep-th/9311130].

[44] M. Henneaux, C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, 1992.

[45] A. M. Polyakov, Nucl. Phys. В 797 (2008) 199 [ArXiv:0709.2899],

[46] S. Weinberg, Phys. Rev. В 140 (1965) 516.

[47] N. С. Tsamis, R. P. Woodard, Nucl. Phys. В 474 (1996) 235 - 248 [ArXiv:hep-ph/9602315].

Подписано к печати 25.09.09 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 2,0 Уч.-изд. л. 1,4 Тираж 100 экз. Заказ 555

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

Введение

1. Непертурбативные свойства неабелевых калибровочных теорий

2. Струны как фундаментальные степени свободы неабелевых калибровочных теорий

3. Дуальность между электрическими и магнитными зарядами

4. Дуальность между калибровочными теориями и теориями струн на пространстве анти-де-Ситтера.

5. Общая характеристика работы.

Глава 1. Центральная доминантность в вакууме неабелевых калибровочных теорий

1.1. Введение

1.2. Центральные вихри и экранирование цветных зарядов на асимптотически больших расстояниях

1.3. Эффективное действие центральных вихрей.

1.4. Выводы.

Глава 2. Квантовое перепутывание в калибровочных теориях

2.1. Введение

2.2. Геометрическая интерпретация энтропии перепутывания в голографических моделях

2.3. Энтропия перепутывания и принцип локальной калибровочной инвариантности

2.4. Численное изучение энтропии перепутывания в решеточных калибровочных теориях.

2.5. Энтропия перепутывания калибровочных теорий как классическая энтропия концевых точек электрических струн

2.6. Энтропия перепутывания в SU (2) решеточной калибровочной теории

2.7. Фазовый переход конфайнмент-деконфайнмент и энтропия перепутывания при конечных температурах

2.8. Выводы.

Глава 3. BRST квантование матричных моделей со связями первого рода.

3.1. Введение

3.2. Классическая и квантовая механика на групповом многообразии

3.3. Классический BRST генератор и классический BRST-инвариантный гамильтониан

3.4. Квантовый генератор преобразований BRST и BRST-инвариантный оператор Гамильтона.

3.5. Интеграл по путям в формализме BRST

3.6. Геометрические структуры на групповом многообразии.

3.7. Выводы.

Глава 4. Неунитарность квантовых теорий поля на пространстве де Ситтера, проблема космологической постоянной и dS/CFT соответствие

4.1. Введение

4.2. In- и out- состояния в планарных и глобальных координатах на пространстве де Ситтера

4.3. Излучение и инфракрасные расходимости в пространстве де Ситтера

4.4. Выводы.

В действительности все не так, как на самом деле

- Станислав Ёжи Лец

1. Непертурбативные свойства неабелевых калибровочных теорий

Неабелевы калибровочные теории [1] были применены для описания сильных взаимодействий адронов, когда стало ясно, что партоны, наблюдаемые в процессах рассеяния частиц высоких энергий посредством Бъёркеновского скейлинга, являются кварками [2, 3]. Существенной особенностью неабелевых калибровочных теорий является асимптотическая свобода, означающая, что теория становится эффективно свободной при очень больших импульсах частиц, то есть на очень маленьких расстояниях [2, 3]. Благодаря этому свойству при описании процессов-, в которых энергии кварков очень высоки, например; при описании реакций частиц высоких энергий, можно использовать методы теории возмущений, хорошо развитые для КЭД и других квантовых теорий поля. Сам факт существования адронов, состоящих из кварков, тем не менее, не может быть объяснен па основании теории возмущений, которая к началу семидесятых была единственным способом анализа неабелевых калибровочных теорий.

С другой стороны, когда энергия некоторого, процесса рассеяния, включающего сильные взаимодействия, становится очень малой, константа связи неабелевой калибровочной теории становится порядка единицы, или больше, и теория возмущений становится неприменима. Вообще говоря, даже само существование адронов, состоящих из кварков, не может быть объяснено на основании теории возмущений. Из экспериментов известно, что цветные кварки всегда "удерживаются" в адронах - отсюда термин "удержание цвета", или конфайнмепт. Анализ экспериментальных данных по адронным спектрам показывает, что сила притяжения между валентными кварками в адронах примерно постоянна на больших расстояниях [6, 7]. Таким образом, кварк и антикварк оказываются связанными своего рода упругой струной с натяжением сг, которая обычно называется струной КХД, и не могут быть разведены бесконечно далеко друг от друга, так как это потребует бесконечной энергии. Чтобы изучать это явление удержания цвета, следует рассматривать взаимодействия между кварками, разделенными асимптотически большими расстояниями - другими словами, процессы при очень малых энергиях.

Одним из наиболее важных вкладов в развитие теории, который сделал возможным непертурбативный анализ неабелевых калибровочных теорий, была сформулированная Вильсоном [8] решеточная версия неабелевых калибровочных теория. В то время как при малых затравочных значениях константы связи решеточная теория воспроизводит обычные результаты теории возмущений, при больших значениях константы связи можно применять методы, развитые в статистической физике, например, разложение сильной связи. Дополнительным преимуществом решеточных калибровочных теорий является введение ультрафиолетового обрезания калибровочно-инвариантным способом, что позволило Вильсону сформулировать общие предписания для перенормировки решеточных калибровочных теорий и связать свойства перенормируемости с поведением статистических систем вблизи критических точек. „

В простейшем случае П - мерной гиперкубической решетки задается набор точек (узлов) с координатами — ае^пь, где е^ - единичные базисные вектора, а есть расстояние между смежными узлами решетки в физических единицах (шаг решётки) и пь, Ъ = 1,.,!} есть целые числа. Координаты пь называются решеточными координатами, а координаты х^ - физическими координатами, или координатами в физических единицах длины. Значения скалярных полей задаются в узлах решетки, векторных полей - на связях (линках) между двумя смежными узлами, тензорные поля ранга 2 - на элементарных площадках (плакетах), натянутых на два разных линка, имеющих одну общую точку, тензорные поля ранга 3 - на элементарных кубах, натянутых на три различных линка с одной общей точкой, и так далее. Соответственно, поля материи, которые для простоты предполагаются скалярными и бозонными, связываются с узлами решетки. Чтобы ввести неабелевы калибровочные поля на решетке, следует принять во внимание, что по определению ковариантной производной две локальные величины должны вычитаться лишь после того, как обе они параллельно перенесены в одну точку. Чтобы определить решеточный аналог ковариантной производной, следует параллельно перенести поле с двух соседних узлов на какой-нибудь один и лишь после этого вычитать их. Операторы параллельного переноса вдоль решеточных линков соответствуют поэтому калибровочным полям А^ в непрерывном пределе. По аналогии с непрерывной теорией тензор кривизны на решетке связан с оператором параллельного переноса вдоль границы элементарной площадки (плакета).

Вильсоновская формулировка решеточных калибровочных теорий становится особенно простой, когда массы кварков намного больше любых других масштабов энергии в задаче и кварки поэтому могут рассматриваться как статические заряды. В этом случае можно пренебречь спином кварков и вообще всеми квантовыми числами кроме цвета и силу взаимодействия между кварками рассматривать как функцию только расстояния между кварками. Как было показано Вильсоном [8], эта сила может быть найдена из измерений некой нелокальной калибровочно-инвариантной величины, которая определяется как след голономии калибровочного поля вдоль некоторого замкнутого контура С, представляющего мировые линии тяжёлых кварка и антикварка: где Ац есть вектор калибровочного поля, V есть оператор, упорядочивающий некоммутирующие множители вдоль контура С, и след берется в некотором неприводимом представлении В, калибровочной группы. Потенциал взаимодействия между кварком и антикварком V [г] связан с вакуумным средним петли Вильсона И^д [С] как: где СГХ£ есть прямоугольный контур с размерами г в пространственном направлении и £ во временном направлении. Вильсон показал, что в пределе сильной' связи потенциал взаимодействия кварка и антикварка линеен:

Таким образом, кварк и антикварк оказываются связанными неким подобием упругой струны с натяжением сг, которая обычно называется струной КХД, и поэтому не могут быть, разведены бесконечно далеко, так как это потребовало бы бесконечной энергии. Этот вывод хорошо согласуется с тем фактом, что кварки никогда не наблюдаются как свободные частицы, но всегда оказываются в связанных состояниях - адропах. Вывод этот, конечно, не может служить каким бы то ни было доказательством конфайнмепта кварков, потому что предел сильной связи решеточной калибровочной теории не соответствует никакой непрерывной теории. Как показывает процедура перенормировки теории, непрерывной теории Янга-Миллса должен соответствовать предел слабой связи по затравочной константе связи.

1) г) - - Цщ Г11п [сгх,1)

2)

V (г) = ог з)

В решеточной формулировке калибровочных теорий шаг решетки должен рассматриваться как параметр ультрафиолетового обрезания, и для получения физически обоснованных результатов этот параметр должен быть устремлен к бесконечности при фиксированных значениях каких-либо физических наблюдаемых. В квантовой электродинамике, например, обычно фиксируются константа связи, входящая в трехточечную амплитуду, и физическая масса электрона. В неабелевых теориях без динамических кварков можно зафиксировать натяжение струны КХД или корреляционную длину для корреляторов каких-либо калибровочно-инвариантных объектов. На практике обычно фиксируется натяжение струны КХД, которое может быть оценено из спектра мезонов как л/а = 440 МэВ. В решеточных калибровочных теориях в четырех измерениях вообще нет размерных параметров, и физический масштаб должен быть введен в теорию вручную в процессе перенормировки. Если непрерывный предел решеточных калибровочных теорий в четырех измерениях существует, вблизи него поля на решетке должны гладкими. Математически это означает, что значения полевых переменных в соседних узлах решетки должны быть очень близки. Такая ситуация реализуется если при некотором значении затравочной константы связи до корреляционная- длина системы в решеточных единицах ком (до) становится бесконечной, что соответствует фазовому переходу второго рода. Чтобы ввести физический масштаб, полагается, что шаг решетки имеет длину а в физических единицах длины, и поэтому физическая корреляционная длина есть 1Р}1у8 — каи {до) о,. Так как /р/гу5 полагается фиксированной и может быть измерена в эксперименте из спектра масс теории, это уравнение даёт значение шага решетки а как функцию затравочной константы связи до: а (до) = 1РЬуз/каы(до)- Такая процедура определяет параметр ультрафиолетового обрезания теории как функцию константы связи до или, обратно, до как функцию ультрафиолетового обрезания. Оказывается, что для того, чтобы достигнуть непрерывного предела в четырехмерной теории Янга-Миллса на решетке, следует устремить до к нулю и в то же время не потерять непертурбативпой информации о копфайнменте в теории. С точки зрения ренормгруппы эту задачу можно было бы решить, проследив ренормгрупповой поток от режима произвольно слабой связи и показать, что константы связи монотонно растут в процессе перенормировки по Вильсону. Хотя задача эта не намного легче изучения непрерывной теории в пределе сильной связи, преимуществами решеточной формулировки являются контроль за всеми расходимостями в теории и возможность численных экспериментов с использованием метода Монте-Карло.

4.4. Выводы

Наше рассмотрение квантовой теории поля на пространстве де Ситтера показало, что она обладает рядом очень интересных свойств. Во первых, прямое вычисление показывает, что свободно движущаяся частица на пространстве де Ситтера может излучать. Иными словами, в пространстве де Ситтера отсутствует понятие свободных асимптотических состояний! Например, если мы рассматриваем какой-либо процесс рассеяния в пространстве Минковского, то мы можем быть уверены в том, что после рассеяния паши детекторы зарегистрируют одни и те же частицы независимо от расстояния между детектором и областью столкновения частиц. Напротив, в пространстве де Ситтера мы бы наблюдали не только рассеянные частицы, но и ливень мягких частиц с интенсивностью, возрастающей по мере удаления от области столкновения частиц! В действительности, даже процесс рассеяния не является необходимым в пространстве де Ситтера - детектор всегда будет детектировать частицы в форме излучения Хокинга.

Таким образом, если интерпретировать пространство де Ситтера как основное состояние некоторой квантовой теории гравитации, и изучить соответствующую низкоэнергетическую теорию гравитонов, то неизбежным является заключение о отсутствии у теории основного состояния. Таким образом, пространство де Ситтера должно быть нестационарным состоянием. Можно также одну единственную частицу в пространстве де Ситтера. Такая частица излучает частицы с термальным спектром с температурой, определяемой кривизной пространства де Ситтера, и постепенно наполняет пространство мягкими термальными гравитонами. Эти гравитоны, обладая энергией и импульсом, воздействуют на фоновую метрику и эффективно экранируют космологическую постоянную. Кажется естественным, что такие распадные процессы должны в конце концов привести к плоскому пространству Минковского [141]. Это было бы очень эстетически привлекательное решение проблемы космологической постоянной. К сожалению, в теории возмущений для низкоэнергетического приближения квантовой гравитации можно лишь указать на такую квантовую неустойчивость, но нельзя сделать каких-либо количественных предсказаний. Нельзя также доказать, что конечным продуктом распада будет плоское пространство Минковского.

Если космологическая постоянная очень велика, мы должны использовать теорию струн на пространстве де Ситтера. К сожалению, не существует самосогласованной формулировки теории струн на пространстве де Ситтера, так как такое пространство нарушает конформную инвариантность теории на мировой поверхности струны. В этом случае следует рассматривать формулировку замкнутой теории струн вне массовой поверхности. К сожалению, на сегодняшний день известны только первично квантованные версии этой теории на массовой поверхности (см. [45]).

Рассмотрим в заключение расходимости в амплитуде (4.18) в случае, когда одна из масс М или т исчезает. Похожие расходимости появляются и в пространстве анти-де-Ситтера. В отличие от пространства де Ситтера, пространство анти-де-Ситтера не является глобально гиперболическим (из-за присутствия времениподобной границы) и не имеет горизонта событий (вследствие наличия глобально определенного времениподобного вектора Киллинга). Именно из-за отсутствия глобальной гиперболичности, приводящего к тому, что в пространстве анти-де-Ситтера волны могут отражаться от границы пространства, в этом пространстве нельзя стандартным образом определить задачу Коши. Поэтому, в то время как можно определить единственное инвариантное вакуумное состояние в пространстве АдС, на нем нельзя должным образом определить оператор эволюции для квантовой теории поля. Поэтому в пространстве анти-де

Ситтера инфракрасные расходимости, аналогичные рассмотренным выше, появляются в волновых функциях, а не в Э-матрице. Согласно гипотезе Ас18/СРТ-соответствия [25, 26, 29] эти расходимости интерпретируются как ультрафиолетовые расходимости в квантовой теории поля на границе пространства анти-де-Ситтера.

Напротив, хотя в пространстве де Ситтера глобальная инвариантность относительно изометрий нарушена, оно является глобально гиперболическим, и на нем можно определить оператор эволюции. Таким же образом можно было бы рассмотреть вопрос о квантовой устойчивости пространства де Ситтера. Кажется, что инерциальная частица в пространстве анти-де-Ситтера будет также излучать. Однако, так как в пространстве анти-де-Ситтера отсутствует оператор эволюции, в нем вообще нельзя поставить задачу, которую мы обсуждали в пространстве де Ситтера.

Заключение

В настоящей Диссертации неабелевы калибровочные поля были исследованы в контексте дуальности между калибровочными полями и струнами, а также были рассмотрены некоторые смежные вопросы. Совмещение идеи дуальности с техникой численных экспериментов на решетке позволило сделать ряд предсказаний о низкоэнергетических свойствах таких теорий, в частности, о доминантности центра калибровочной группы в динамике калибровочных теорий. Были также численно подтверждены некоторые эвристические предсказания дуальных моделей, касающиеся энтропии квантового перепутывания в калибровочных теориях. Основу диссертационной работы составили следующие результаты:

1. Показано, что экранирование цветных зарядов на асимптотически больших расстояниях указывает на вихреподобную структуру вакуума теории Янга-Миллса [33]. Поведение петель Вильсона на больших расстояниях изучалось при помощи теории случайных блужданий на групповых многообразиях [34, 35].

2. Численно изучено эффективное действие центральных вихрей в ви (2) решеточной калибровочной теории. Было показано, что помимо члена Намбу-Гото, эффективное действие вихрей также содержит члены, делающие их мировые поверхности жесткими [46, 47], и что соответствующие константы связи не исчезают в непрерывном пределе. Основываясь па полученном действии, было предложено качественное объяснение перколяции центральных вихрей [47].

3. Предложена модельно-независимая проверка того, что по мировым поверхностям центральных вихрей распространяются некоторые физические возбуждения [46].

4. Предложено конструктивное определение энтропии перепутывания в калибровочных теориях. Согласно этому определению, чтобы определить понятие перепутанных состояний калибровочных полей в двух комплементарных областях пространства, следует рассматривать расширенное Гильбертово пространство, в котором закон Гаусса нарушается на границе между областями. Показано, что такое и только такое определение перепутывания соответствует вычислениям по методу реплики [48].

5. Показано, что энтропия перепутывания калибровочных теорий насыщается классической Шенноновской энтропией концевых точек электрических струн на границе между двумя перепутанными областями. Было рассмотрено квантование калибровочных теорий с конфайнментом в окрестности черной дыры и показано, что горизонт черной дыры должен играть роль Б-браны для электрических струн (то есть, для линий электрического потока) [48].

6. Численно измерена энтропия перепутывания в ¿эи (2) решеточной калибровочной теории и продемонстрировано ее неаналитичное поведение по размеру перепутанных областей пространства [49]. Тем самым были подтверждены предсказания, основанные на чисто геометрических построениях в голографических дуальных теориях [41, 42, 50]. Асимптотическое поведение энтропии перепутывания на малых расстояниях и скейлинг ее ультрафиолетово расходящейся части также оказались в согласии с теоретическим предсказаниями.

7. Измерена петля Полякова на реплицированном пространстве. Зависимость петли Полякова от размера перепутанной области пространства оказалось схожей с зависимостью от температуры при переходе конфайнмент-деконфайнмент, тем самым была установлена прямая связь между переходом конфайнмент-деконфайнмент и неаналитическим поведением энтропии перепутывания [49].

8. Проведено БЛЭТ квантование одномерных матричных моделей со связями первого рода в Гамильтоновом формализме [51]. Рассматриваемые связи первого рода генерируют сдвиги вдоль групповых классов группы симметрии модели.

9. Доказана неунитарность взаимодействующих квантовых теорий ноля на пространстве Де Ситтера [52]. В частности, это относится и к низкоэнергетической эффективной теории квантовой гравитации. В результате оказывается, что пространство Де Ситтера неустойчиво в любой самосогласованной квантовой теории.

1. Yang C. N., Mills R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance // Phys. Rev. — 1954.™- Vol. 96, no. 1.— Pp. 191 195. http: //prola.aps.org/abstract/PR/v96/il/pl91.

2. Gross D. J., Wilczek F. Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories // Phys. Rev. Lett.- 1973.- Vol. 30, no. 26.- Pp. 1343 1346. http://prola.aps.org/abstract/PRL/v30/i26/pl343.

3. Politzer H. D. Reliable perturbative results for strong interactions? // Phys. Rev. Lett. — 1973.- Vol. 30, no. 26.— Pp. 1346 1349. http://prola. aps.org/abstract/PRL/v30/i26/pl346.

4. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. — Cambridge University Press, 1995.

5. Peskin M., Schroeder D. V. An Introduction to Quantum Field Theory. — Addison-Wesley Publ. Comp., 1995.

6. Veneziano G. // Nuovo Cimento. — 1968. — Vol. 57A. — P. 190.

7. Koba Z., Nielsen H. B. Reaction amplitude for n-mesons a generalization of the Veneziano-Bardakci-Ruegg-Virasoro model // Nucl. Phys. B. — 1969. — Vol. 10. Pp. 633 - 655.

8. Wilson K. G. Confinement of quarks // Phys. Rev. D. 1974. — Vol. 10. -Pp. 2445-2459. http://prola.aps.org/abstract/PRD/vlO/i8/p2445.

9. Kogut J., Susskind L. Hamiltonian formulation of Wilson's lattice gauge theories // Phys. Rev. D. — 1975. — Vol. 11. — P. 395. http://prola.aps. org/abstract/PRD/vll/i2/p395.

10. Polyakov A. M. Thermal properties of gauge fields and quark liberation // Phys. Lett. B. 1978. - Vol. 72. - P. 477.

11. Polyakov A. M. Gauge Fields and Strings. — Harwood Academic Publishers, 1987.12. t' Hooft G. Topology of the gauge condition and new confinement phases in non-Abelian gauge theories // Nucl. Phys. B. — 1981. — Vol. 190. — Pp. 455 478.

12. Makeenko Y. Contemporary methods of gauge theories. — Cambridge University Press, 2000.

13. Makeenko Y., Migdal A. A. Quantum chromodynamics as dynamics of loops // Nucl Phys. B. 1981. — September. — Vol. 188, no. 2. — Pp. 269™ 316.

14. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics. Theoretical foundations. // Nucl. Phys. B. — 1979. — Vol. 147. — Pp. 385 447.

15. Luscher M., Munster G., Weisz P. How thick are chromo-electric flux tubes? // Nucl. Phys. B. 1981. - Vol. 180. - Pp. 1 - 12.

16. Boyko P. Y., Gubarev F. V., Morozov S. M. On the fine structure of QCD confining string. — 2007. http: //arxiv. org/abs/0704.1203.

17. Mandelstam S. Vortices and quark confinement in non-abelian gauge theories // Phys. Lett. B. 1975. - Vol. 53. - Pp. 476 - 478.

18. Nielsen H. B., Olesen P. Vortex-line models for dual strings // Nucl. Phys. B. 1973. - Vol. 61. - Pp. 45 - 61.20. t' Hooft G. On the phase transition towards permanent quark confinement // Nucl. Phys. B. 1978. - Vol. 138. - Pp. 1 - 25.

19. Mack G. Colour screening and quark confinement // Phys. Lett. B. — 1978. Vol. 78. - Pp. 263 - 268.

20. Ukawa A., Windey P., Guth A. H. Dual variables for lattice gauge theories and the phase structure of Z(N) systems // Phys. Rev. D. — 1980. — Vol. 21. — Pp. 1013 1036. http://prola.aps.org/abstract/PRD/v21/ i4/pl013.

21. Kramers H. A., Wannier G. H. Statistics of the two-dimensional fer-romagnet. Part I // Phys. Rev.- 1941.- Vol. 60.- Pp. 252 262. http://prola.aps.org/abstract/PR/v60/i3/p252.

22. Polchinski J. Dirichlet-branes and Ramond-Ramond charges // Phys. Rev. Lett.- 1995.- Vol. 75.- Pp. 4724 4727. http://arxiv.org/abs/ hep-th/9510017.

23. Gubser S. S., Klebanov I. R., Polyakov A. M. Gauge theory correlators from non-critical string theory // Phys. Lett. B.— 1998.— Vol. 428.— P. 105. http://arxiv.org/abs/hep-th/9802109.

24. Maldacena J. M. The large N limit of superconformal field theories and supergravity // Int.J.Theor.Phys.- 1997.— Vol. 38.— P. 1113. http:// arxiv.org/abs/hep-th/9711200.

25. Polchinski J. String theory. — Cambridge University Press, 1998.

26. Maldacena J. Wilson loops in large N field theories // Phys. Rev. Lett.— 1998.- Vol. 80.— Pp. 4859 4862. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9803002.

27. Witten E. Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories // Adv. Theor. Math. Phys.— 1998.— Vol. 2.— P. 253. http://arxiv.org/abs/hep-th/9803131.

28. QCD and a holographic model of hadrons / J. Erlich, E. Katz, D. T. Son, M. Stephanov // Phys. Rev. D.— 2005. http://arxiv.org/abs/hep-ph/ 0501128.

29. Linear confinement and AdS/QCD / A. Karch, E. Katz, D. T. Son, M. Stephanov // Phys. Rev. D. — 2006. http://arxiv.org/abs/hep-ph/ 0602229.

30. Rold L. D., Pomarol A. Chiral symmetry breaking from five dimensional spaces // Phys. Lett. B.— 2005. http://arxiv.org/abs/hep-ph/ 0501218.

31. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Random walks of Wilson loops in the screening regime // Nucl. Phys. B.— 2008.— Vol. 790.— Pp. 28 41. http://arxiv.org/abs/0704.3367.

32. Buividovich P. V., Kuvshinov V. I. Asymptotic behavior of Wilson loops from Schroedinger equation on the gauge group // Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 634. — Pp. 262 266. http://arxiv.org/abs/hep-th/0602154.

33. Buividovich P. V., Kuvshinov V. I. Kramers-Moyall cumulant expansion for the probability distribution of parallel transporters in quantum gauge fields 11 Phys. Rev. D.— 2006.- Vol. 73.- P. 094015. http://arxiv. org/abs/hep-th/0605207.

34. Center dominance and Z2 vortices in SU(2) lattice gauge theory / L. Del Debbio, M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik // Phys. Rev. D.— 1997.— Vol. 55. — Pp. 2298 2306. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9708023.

35. Detection of center vortices in the lattice Yang-Mills vacuum / L. Del Debbio, M. Faber, J. Giedt et al. // Phys. Rev. D. — 1998.— Vol. 58.-P. 094501. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9801027.

36. Fine tuned vortices in lattice SU(2) gluodynamics / F. V. Gubarev,

37. A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov et al. // Phys. Lett. B.— 2003.— Vol. 574. — Pp. 136 140. http://arxiv.org/abs/hep-lat/0212003.

38. Once more on the interrelation between Abelian monopoles and P-vortices in SU(2) LGT / P. Y. Boyko, V. G. Bornyakov, E. Ilgenfritz et al. // Nucl. Phys. 5.— 2006.— Vol. 756. — P. 71. http://arxiv.org/abs/hep-lat/ 0607003.

39. Properties of P-vortices and monopole clusters in lattice SU(2) gauge theory / A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn, V. I. Zakharov // Phys. Rev. D.— 2005.- Vol. 71.— P. 054511. http://arxiv.org/abs/ hep-lat/0402017.

40. Klebanov I. R., Kutasov D., Murugan A. Entanglement as a probe of confinement. — 2007. http: //arxiv. org/abs/0709.2140.

41. Nishioka T., Takayanagi T. AdS bubbles, entropy and closed string tachyons // JEEP. — 2007. — Vol. 01.- P. 090. http://arxiv.org/abs/ hep-th/0611035.

42. Calabrese P., Cardy J. Entanglement entropy and quantum field theory // J. Stat. Mech.- 2004.— Vol. 0406.— P. 002. http://arxiv.org/abs/ hep-th/0405152.

43. Gross D. J. Two-dimensional QCD as a string theory // Nucl. Phys.

44. B.- 1993.- Vol. 400.- Pp. 161 180. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9212149.

45. Polyakov A. M. De Sitter space and eternity // Nucl. Phys. B.— 2008.— Vol. 797.-P. 199. http://arxiv.org/abs/0709.2899.

46. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Center vortices as rigid strings // Nucl. Phys. B. — 2007. — Vol. 786. — Pp. 84 94. http: //arxiv. org/abs/0705. 3745.

47. Buividovich P. V., Polikarpov M. /., Zakharov V. I. Rigidity and percolation of center vortices // PoS(LAT2007).- 2007.- Vol. 324. http://arxiv. org/abs/0709.1534.

48. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Entanglement entropy of gauge theories and the holographic principle for electric strings // Phys. Lett. B. — 2008. — Vol. 670. —Pp. 141 145. http://arxiv.org/abs/0806.3376.

49. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Numerical study of entanglement entropy in SU(2) lattice gauge theory // Nucl Phys. B. 2008. - Vol. 802. — Pp. 458 - 474. http://arxiv.org/abs/0802.4247.

50. Ryu S., Takayanagi T. Holographic derivation of entanglement entropy from AdS/CFT // Phys. Rev. Lett- 2006.- Vol. 96.- P. 181602. http:// arxiv.org/abs/hep-th/0603001.

51. Buividovich P. V. BRST quantization of matrix models with constraints and two-dimensional Yang-Mills theory on the cylinder // Phys. Rev. D. — 2007.- Vol. 75. — P. 065018. http://arxiv.org/abs/hep-th/0702224.

52. Akhmedov E. T., Buividovich P. V. Interacting field theories in de Sitter space are non-unitary // Phys. Rev. D.— 2008.— Vol. 78.— P. 104005. http://arxiv.org/abs/0808.4106.

53. Kuvshinov V. I., Buividovich P. V. Fidelity and Wilson loop for quarks in confinement region // Acta Physica Polonica В. — 2005.— February. — Vol. 36, no. 2.- P. 195. http://arxiv.org/abs/hep-th/0502234.

54. Buividovich P. V., Kuvshinov V. I. Fidelity of holonomic quantum computations in the case of random errors in the values of control parameters // Phys. Rev. A.— 2006.— Vol. 73, no. 3.— P. 022336. http: //arxiv.org/abs/quant-ph/0601146.

55. Buividovich P. V., Luschevskaya E. У., Polikarpov M. I. Finite-temperature chiral condensate and low-lying Dirac eigenvalues in quenched SU(2) lattice gauge theory // Phys. Rev. D. ~ 2008. — Vol. 78. P. 074505. http://arxiv.org/abs/0809.3075.

56. Buividovich P. V. On the effective action of center vortices in continuum Yang-Mills theory // Ядерная Физика. — 2009. — Том. 72. — С. 371 376.

57. Buividovich P. У., Polikarpov M. I. Entanglement entropy in Abelian gauge theories // Ядерная Физика — 2009. — Том. 72, no. 9. — С. 1601 1605.

58. Вуйвидович П. В., Чернодуб М. Н., Лущевская Е. В., Поликарпов М. И. Киральный магнитный эффект в решеточной SU(2) глюодинамике при нулевой температуре // Письма в ЖЭТФ — 2009. — Том. 90, по. 6. — С. 456 460.

59. Kuvshinov V. /., Buividovich Р. У Fidelity, quantum computations and Wilson loop /1 PEPAN. 2005. - Vol. 36, no. suppl. 2.

60. Buividovich P. V.; Kuvshinov V. I. White mixed states in QCD stochastic vacuum // Nonlinear Phenomena In Complex Systems. — 2005. — Vol. 8. — Pp.313 316. http://arxiv.org/abs/hep-th/0511198.

61. Buividovich P. V. Parallel transport in stochastic gauge fields. — Proceedings of the conference New Trends in High-Energy Physics (Crimea-2005). — 2005.

62. Polikarpov M. I., Buividovich P. V. Z2 electric strings and center vortices in SU(2) lattice gauge theory // Труды 13й Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, 2008. — 2008. http: //arxiv. org/abs/ 0801.0262.

63. Buividovich P. V., Polikarpov M. I. Entanglement entropy in lattice gauge theories // PoS.— 2008.— Vol. Confinements. P. 039. http://arxiv. org/abs/0811.3824.

64. Buividovich P. V., Chernodub M. N., Luschevskaya E. V., Polikarpov M. I. Numerical study of chiral symmetry breaking in non-abelian gauge theory with background magnetic field.— препринт ITEP-LAT/2008-23, 2008. http://arxiv.org/abs/0812.1740.

65. Buividovich P. V., Chernodub M. N., Luschevskaya E. V., Polikarpov M. I. Chiral magnetization of non-abelian vacuum: a lattice study. — препринт ITEP-LAT/2009-05, 2009. http://arxiv.org/abs/0906.0488.

66. Akhmedov E. Т., Buividovich P. V., Singleton D. A. De Sitter space and perpetuum mobile. — препринт ITEP-LAT/2009-07, 2009. http: //arxiv. org/abs/0905.2742.

67. Buividovich P. V. On the dynamics of large-N 0(N)-symmetric quantum systems at finite temperature. — препринт ITEP-LAT/2009-03, 2009. http://arxiv.org/abs/0903.4263.

68. The vortex-finding property of maximal center (and other) gauges /

69. M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, D. Yamada // JHEP.— 1999.— Vol. 9912. — P. 012. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9910033.

70. Ambj0rn J. Quantization of geometry. — Lectures presented at the 1994 Les Houches Summer School.— 1994. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9411179.

71. Greensite J., Faber M., Olejnik S. Center projection with and without gauge fixing // JHEP.- 1999.- Vol. 9901.- P. 008. http://arxiv.org/abs/ hep-lat/9810008.

72. Faber M., Greensite J., Olejnik S. Asymptotic scaling, Casimir scaling, and center vortices // Nuclear Physics B Proceedings Supplements. — 1999. — Vol. 73. — P. 572. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9809053.

73. Chernodub M. N., Zakharov V. I. Magnetic component of Yang-Mills plasma // Phys. Rev. Lett2007.— Vol. 98.- P. 082002. http://arxiv. org/abs/hep-ph/0611228.

74. Perfect monopole action for infrared SU(2) QCD / S. Kato, N. Nakamura, T. Suzuki, S. Kitahara // Nucl. Phys. 5.- 1998,- Vol. 520. Pp. 323 -344.

75. Monopole clusters at short and large distances / V. G. Bornyakov, P. Y. Boyko, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov // Nucl Phys. B.~ 2003.-Vol. 672.- Pp. 222 238. http://arxiv.org/abs/hep-lat/0305021.

76. Peculiarities in the spectrum of the adjoint scalar kinetic operator in Yang-Mills theory / J. Greensite, A. V. Kovalenko, S. Olejnik et al. // Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 74. — P. 094507. http: //www. arxiv. org/abs/hep- lat/ 0606008.

77. Diffusion of Wilson loops / A. M. Brzoska, F. Lenz, J. W. Negele, M. Thies // Phys. Rev. D.— 2005. —Vol. 71.- P. 034008. http://arxiv. org/abs/hep-th/0412003.

78. Arcioni G., de Haro S., Gao P. A diffusion model for SU(N) QCD screening // Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 73. — P. 074508. http://arxiv.org/ abs/hep-th/0511213.

79. Varopoulos N. Diffusion on Lie groups I, II // Canadian J. Math. — 1994. — Vol. 46. Pp. 438 - 448, 1073 - 1093.

80. Guivarc'h Y. Development of mathematics 1950-2000. — Basel: Birkhauser, 2000.-Pp. 577- 608.

81. Field correlators in QCD. Theory and applications. / A. Di Giacomo, H. G. Dosch, V. I. Shevchenko, Y. A. Simonov // Phys. Rep. — 2002. — Vol. 372. — Pp. 319-368. http://arxiv.org/abs/hep-ph/0007223.

82. Greensite J., Halpern M. B. Suppression of color screening at large N // Phys. Rev. D. 1983. - Vol. 27. - Pp. 2545 - 2547.

83. Douglas M. R., Shenker S. H. Dynamics of SU(N) supersymmetric gauge theory 11 Nucl. Phys. 1995.- Vol. 447.- Pp. 271 296. http:// arxiv.org/abs/hep-th/9503163.

84. Polyakov A. M. Fine structure of strings // Nucl. Phys. B.— 1986. — Vol. 268.-Pp. 406 -412.

85. Kleinert H. The membrane properties of condensing strings // Phys. Lett. B. 1986. - Vol. 174. - Pp. 335 - 338.

86. Kleinert H. Dynamical generation of string tension and stiffness in strings and membranes // Phys. Lett. B. 1988. - Vol. 211. — Pp. 151 - 155.

87. The theory of dynamical random surfaces with extrinsic curvature / J. Am-bj0rn, A. Irback, J. Jurkiewicz, B. Petersson // Nucl. Phys. B. — 1993. — Vol. 393. — Pp. 571 600. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9207008.

88. Koibuchi H., Kuwahata T. First-order phase transition in the tethered surface model on a sphere // Phys. Rev. E. — 2005. — Vol. 72. — P. 026124. http://arxiv.org/abs/cond-mat/0506787.

89. Kavalov A. R., Rostov I. K., Sedrakyan A. G. Dynamics of Dirac and Weyl fermions on a two-dimensional surface // Phys. Lett. B. — 1986. — Vol. 175.-Pp. 331 -334.

90. Wiegmann P. B. Extrinsic geometry of superstrings // Nucl. Phys. B. — 1989. Vol. 323. - Pp. 330 - 336.

91. Quantum theory of strings in abelian higgs model / E. T. Akhmedov, M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov, M. A. Zubkov // Phys. Rev. D. — 1996. — Vol. 53. — P. 2087. http://arxiv.org/abs/hep-th/9505070.

92. Orland P. Extrinsic curvature dependence of Nielsen-Olesen strings // Nucl. Phys. 5.— 1994.— Vol. 428.— P. 221. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9404140.

93. Plyushchay M. S. Relativistic massive particle with higher curvatures as a model for the description of bosons and fermions // Phys. Lett. B. — 1990. — Vol. 235.-Pp. 47-51.

94. Zakharov V. I. Dual string from lattice Yang-Mills theory. — 2005. http: //arxiv.org/abs/hep-ph/0501011.

95. Coleman S. Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model // Phys. Rev. D. — 1975. Vol. 11. - Pp. 2088 - 2097. http://prola. aps.org/abstract/PRD/vll/i8/p2088.

96. Durhuus B., Frölich J., Jonsson T. Critical behaviour in a model of planar random surfaces // Nucl. Phys. B. — 1984. Vol. 240. - Pp. 453 - 480.

97. Entanglement in quantum critical phenomena / G. Vidal, J. I. Latorre, E. Rico, A. Kitaev // Phys. Rev. Lett — 2003.— Vol. 90. — P. 227902. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0211074.

98. Calabrese P., Cardy J. Entanglement entropy and quantum field theory: A non-technical introduction // Int. J. Quant.Inf. — 2006.— Vol. 4.— P. 429. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0505193.

99. Osborne T. J., Nielsen M. A. Entanglement, quantum phase transitions, and density matrix renormalization // Quant.Inf.Proc. — 2002. — Vol. 1. — Pp. 45 53. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0109024.

100. Kitaev A., Preskill J. Topological entanglement entropy // Phys. Rev. Lett.— 2006.— Vol. 96.— P. 110404. http://arXiv.org/abs/hep-th/ 0510092.

101. Osborne T. J., Nielsen M. A. Entanglement in a simple quantum phasetransition // Phys. Rev. A. 2002. — Vol. 66. — P. 032110. http: //arxiv. org/abs/quant-ph/0202162.

102. Concentrating partial entanglement by local operations / С. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescu, B. Schumacher // Phys. Rev. A. — 1996. — Vol. 53.— Pp. 2046 2052. http://link.aps.org/abstract/PRA/v53/ p2046.

103. Srednicki M. Entropy and area // Phys. Rev. Lett. — 1993.— Vol. 71.— P. 666. http://arxiv.org/abs/hep-th/9303048.

104. Fursaev D. V. Entanglement entropy in critical phenomena and analogue models of quantum gravity // Phys. Rev. D. — 2006. Vol. 73. - P. 124025. http://arxiv.org/abs/hep-th/0602134.

105. Kapusta J. Finite-temperature field theory. — Cambridge University Press, 1989.

106. Hawking S. W. The four laws of black hole mechanics // Comm. Math. Phys. 1973. - Vol. 31. - Pp. 161 - 170.

107. Bekenstein J. D. Statistical black-hole thermodynamics // Phys. Rev. D. — 1975.— Vol. 12.- Pp. 3077 3085. http://prola.aps.org/abstract/ PRD/vl2/il0/p3077.

108. Ryu S., Takayanagi T. Aspects of holographic entanglement entropy // JEEP.— 2006.— Vol. 0608.— P. 045. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 0605073.

109. Замолодчиков А. Б. Необратимость ренормгруппового потока в 2-D теории поля // Письма в ЖЭТФ. — 1986. — Том 43. Стр. 730-732.

110. Klebanov I. R., Strassler M. J. Supergravity and a confining gauge theory: Duality cascades and CSB-resolution of naked singularities // JHEP. — 2000. —Vol. 0008. —P. 052. http://arxiv.org/abs/hep-th/0007191.

111. Polchinski J., Strassler M. J. Hard scattering and gauge/string duality // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88. P. 031601. http://arxiv.org/abs/ hep-th/0109174.

112. Velytsky A. Entanglement entropy in d+1 SU(N) gauge theory // Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77. —P. 085021. http://arxiv.org/abs/0801.4111.

113. Hamma A., Ionicioiu R., Zanardi P. Bipartite entanglement and entropic boundary law in lattice spin systems // Phys. Rev. A. — 2005. — Vol. 71. — P. 022315. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0409073.

114. Levin M., Wen X. Detecting topological order in a ground state wave function // Phys. Rev. Lett.— 2006.- Vol. 96.- P. 110405. http: //arxiv.org/abs/cond-mat/0510613.

115. Greensite J. P. Calculation of the yang-mills vacuum wave functional // Nucl. Phys. B. 1979. - Vol. 158. - Pp. 469 - 496.

116. Chernodub M. N., Polikarpov M. I. Abelian projections and monopoles.— 1997. http://arxiv.org/abs/hep-th/9710205.

117. Fodor Z. QCD Thermodynamics // PoS(LAT2007).— 2007,- Vol. 011. http://arxiv.org/abs/0711.0336.

118. The equation of state at high temperatures from lattice QCD / G. Endrodi, Z. Fodor, S. D. Katz, K. K. Szabo // PoS(LAT2007). 2007. - Vol. 228. http://arxiv.org/abs/0710.4197.

119. Susskind L. The world as a hologram // J. Math. Phys. — 1995. — Vol. 36. — P. 6377. http://arxiv.org/abs/hep-th/9409089.

120. Fingberg J., Heller U., Karsch F. Scaling and asymptotic scaling in the su(2) gauge theory // Nucl. Phys. B. 1993. - Vol. 392. - Pp. 493 - 517. http://arxiv.org/abs/hep-lat/9208012.

121. Bah I., Faraggi A., Pando Zayas L. A., Terrero-Escalante C. A. Holographic entanglement entropy at finite temperature. — 2007. http: //arxiv. org/ abs/0710.5483.

122. Marino M. Les Houches lectures on matrix models and topological strings. — 2004. http://arXiv.org/abs/hep-th/0410165.

123. Eguchi T., Kawai H. Reduction of dynamical degrees of freedom in the large-N gauge theory // Phys. Rev. Lett.— 1982.— Vol. 48, no. 16.— Pp. 1063 1066.

124. Gross D. JTaylor W. Two-dimensional QCD is a string theory // Nucl. Phys. B.— 1993.— Vol. 400.— Pp. 181 208. http://arxiv.org/abs/ hep-th/9301068.

125. Vafa C. Two dimensional Yang-Mills, black holes and topological strings. — 2004. http: //arxiv. org/abs/hep-th/0406058.

126. Douglas M. R. Conformal field theory techniques in large N Yang-Mills theory. — 1993. http://arXiv.org/abs/hep-th/9311130.

127. Minahan J. A., Polychronakos A. P. Equivalence of two dimensional QCD and the c=l matrix model // Phys. Lett. B.— 1993.- Vol. 312. — P. 155. http://arXiv.org/abs/hep-th/9303153.

128. Blau M., Thompson G. Localization and Diagonalization: A review of functional integral techniques for low-dimensional gauge theories and topological field theories // J.Math.Phys. 1988.- Vol. 36.- Pp. 706 - 710. http://arXiv.org/abs/hep-th/9501075.

129. Hoppe J. diffA(t2), and the curvature of some infinite dimensional manifolds // Phys. Lett. B. 1988. - Vol. 215. - Pp. 706 - 710.

130. Pope G. N., Romans L. J. Local area-preserving algebras for two-dimensional surfaces // Class. Quantum Grav.— 1990.— Vol. 7.— Pp. 97 109.

131. Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of Gauge Systems. — Princeton University Press, 1992.

132. De Witt B. S. Dynamical theory of groups and fields. — New York: Gordon and Breach, 1965.

133. Howe R., Tan E. C. Non-Abelian Harmonic Analysis. — Springer-Verlag, 1992.

134. Ferraro R.} Henneaux M., Puchin M. On the quantization of reducible gauge systems // J. Math. Phys. — 1993.— Vol. 34.— Pp. 2757 2778. http: //arxiv.org/abs/hep-th/9210070.

135. Ferraro R., Henneaux M., Puchin M. Path integral and solutions of the constraint equations: The case of reducible gauge theories // Phys. Lett. B. — 1994.- Vol. 333.- Pp. 380 385. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 9405160.

136. Batalin I. A., Vilkovisky G. A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators // Phys. Rev. D. — 1983. — Vol. 28. — P. 2567. http: //prola.aps.org/abstract/PRD/v28/i10/p2567.

137. Lifshitz E. On the gravitational stability of the expanding universe //J. Phys. (USSR). 1946. - Vol. 10. - P. 116.

138. Tsamis N. C., Woodard R. P. Quantum gravity slows inflation // Nucl. Phys. B.— 1996,— Vol. 474.- Pp. 235 248. http://arxiv.org/abs/ hep-ph/9602315.

139. Tsamis N. C., Woodard R. P. The quantum gravitational back-reaction on inflation // Annals Phys.— 1997.— Vol. 253.— Pp. 1 54. http: //arxiv.org/abs/hep-ph/9602316.

140. Dolgov A. D., Einhorn M. B., Zakharov V. I. On infrared effects in de sitter background // Phys. Rev. D. — 1995. — Vol. 52. — P. 717. http: //arxiv. org/abs/gr-qc/9403056.

141. Mottola E. Particle creation in de Sitter space // Phys. Rev. D. — 1985. — Vol. 31, no. 4.— Pp. 754 766. http://prola.aps.org/abstract/PRD/ v31/i4/p754.

142. Ford L. H. Quantum instability of de Sitter space-time // Phys. Rev. D.— 1985.— Vol. 31.— P. 710. http://prola.aps.org/abstract/PRD/v31/ i4/p710l.

143. Weinberg S. Quantum contributions to cosmological correlations // Phys. Rev. D.— 2005. — Vol. 72. — P. 043514. http://arxiv.org/abs/hep-th/ 0506236.

144. Gibbons G. W., Hawking S. W. Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation // Phys. Rev. D.— 1977.— Vol. 15.— P. 2738. http://prola.aps.org/abstract/PRD/vl5/ilO/p2738l.

145. Weinberg S. Infrared photons and gravitons // Phys. Rev. B. — 1965. — Vol. 140. —P. 516. http://prola.aps.org/abstract/PR/vl40/i2B/pB516l.

146. Strominger A. The dS/CFT correspondence // JHEP.- 2001.- Vol. 0110. — P. 034. http://arxiv.org/abs/hep-th/0106113.

147. Lee T. D., Nauenberg M. Degenerate systems and mass singularities // Phys. Rev. В.— 1964.— Vol. 133.— P. 1549. http://prola.aps.org/ abstract/PR/vl33/i6B/pB1549l.

148. Bunch T. S., Davies P. C. W. Quantum field theory in de Sitter space: Renormalization by point splitting // Proc. Roy. Soc. bond. A. — 1978.— Vol. 360.-P. 117.

149. Bousso R., Moloney A., Strominger A. Conformal vacua and entropy in de sitter space // prd2002.— Vol. 65.— P. 104039. http://arxiv.org/ abs/hep-th/0112218.

150. Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко Б. М. Квантовые эффекты в сильных внешних полях. — Москва: Атомиздат, 1980.

151. Becher P., Joos Н. The Dirac-Kahler equation and fermions on the lattice //

152. Z. Phys. C. 1982. - Vol. 15. - P. 343.1.