Двухфотонные переходы между состояниями дискретного и непрерывного спектра в кулоновском потенциале тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Крыловецкий Александр Абрамович

Двухфотонные переходы между состояниями дискретного и непрерывного спектра в кулоновском потенциале

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж — 2003

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Воронежского государственного университета.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Манаков Николай Леонидович

доктор физико-математических наук, профессор Федоров Михаил Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Чернов Владислав Евгеньевич

Научно-исследовательский институт ядерной физики МГУ

Защита диссертации состоится ".¿^ " 2003 г. в часов на

заседании диссертационного совета Д 212.038.06 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " № " СенТЯБМчШ г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

Дрождин С.Н.

Общая характеристика работы Актуальность проблемы

Исследование аналитически решаемых моделей играет фундаментальную роль в физике. Так, в классической спектроскопии теоретической основой для анализа сил осцилляторов и сечений однофотонных процессов служат известные формулы Гордона для матричных элементов дипольных переходов между состояниями водородного атома с произвольными значениями главных квантовых чисел п и п'. В физике излучения ту же роль играет формула Зоммерфельда для сечения тормозного излучения при рассеянии электрона на кулоновском центре.

Внедрение лазеров в технику атомной спектроскопии привело к интенсивному исследованию многофотонных процессов взаимодействия электромагнитного излучения с атомами. Их изучение принципиально усложняется необходимостью расчета сумм по промежуточным состояниям и существенной (резонансной и пороговой) зависимостью от новой переменной — частоты ш внешнего монохроматического излучения. Несмотря на впечатляющее развитие теоретического аппарата (использование явных выражений функций Грина, различных модификаций метода интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений для поправочной функции 1-го порядка нестационарной теории возмущений, алгебраических подходов на основе 0(4)-симметрии кулоновской задачи и др.) и обширную литературу (около сотни статей), до недавнего времени не было получено замкнутых аналитических выражений для амплитуд двухфотонных переходов (для которых, по-видимому, только и возможны обобщения формул Гордона и Зоммерфельда, выражающиеся через известные специальные функции). По существу, простые аналитические результаты в виде комбинаций гипергеометрических функций ограничивались случаями переходов из основного состояния в возбужденные и в континуум, переходами между низковозбужденными состояниями (до га = 4) и расчетом упругих (с п' — п) процессов. Для двухфотонных процессов в кулоновском континууме амплитуда перехода между состояниями рассеяния известна около 20 лет, однако ее громоздкий характер (комбинация интегралов от гипергеометрической функции 2^1) и сложная аналитическая зависимость от переменных задачи не позволяли провести подробное аналитическое исследование и численные расчеты сечений двойного тормозного излучения и поглощения. Кроме того, уже в случае двухфотонных переходов возникает нетривиальная задача анализа зависимости сечений от поляризации излучения; в частности, к настоящему времени отсутствовала даже общая параметризация двухфотонных сечений для переходов между

состояниями континуума в центральном потенциале общего вида.

I ' ' > ...-сальна;-.

! БИБЛИОТЕКА I

I с. Петербург !

1 03 -оп5 [

Цели и задачи диссертации

В диссертации ставится задача получить максимально простые, универсальные выражения для кулоновских матричных элементов второго порядка и амплитуд двухфотонных связанно-связанных, связанно-свободных и свободно-свободных переходов и на их основе выполнить детальное исследование двухфотонных процессов в дискретном и непрерывном спектре атома водорода и водородоподобных ионов в рамках нерелятивистского дипольного приближения. В связи с этим в диссертации решаются следующие конкретные задачи:

1. Развитие техники аналитических расчетов амплитуд связанно-связанных переходов на основе нового представления кулоновской функции Грина со свободными параметрами

2. Вывод замкнутых аналитических выражений для амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных двухфотонных переходов в атоме водорода из произвольного начального состояния \п1).

3. Исследование динамического эффекта Штарка для ридберговских уровней, а также в припороговой и низкочастотной областях.

4. Парциально-волновой анализ сечений двухфотонных свободно-свободных (тормозных) переходов электрона при рассеянии на статическом центральном потенциале общего вида.

5. Анализ поляризационных эффектов (циркулярного и эллиптического дихроизма) в двухфотонных тормозных процессах, обусловленных интерференцией эрмитовой и антиэрмитовой частей амплитуды и зависящих от знака спиральности фотонов.

6. Аналитический расчет парциальных (радиальных) матричных элементов двухфотонных переходов между состояниями с фиксированным орбитальным моментом в кулоновском континууме.

7. Точный численный расчет динамических поляризуемостей водородопо-добного атома, сечений двухфотонной ионизации, матричных элементов двухфотонных переходов в непрерывном спектре, сечений двухфотонных тормозных процессов, а также численный анализ эффектов циркулярного и эллиптического дихроизма.

Научная новизна и значимость работы

• В работе впервые получены простые замкнутые аналитические выражения (в записи через гипергеометрические функции) для амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных двухфотонных переходов в

атоме водорода из произвольного начального состояния |л£), обобщающие известные (однофотонные) формулы Гордона и решающие проблему теоретического расчета атомных параметров для двухфотонной спектроскопии атома водорода.

• Компоненты тензора динамической поляризуемости произвольного состояния впервые записаны в максимально простом виде, содержащем гипергеометрическую и полиномиальные функции, что существенно упрощает анализ возмущения спектра водородоподобных состояний в лазерном поле, включая случай ридберговских состояний. Получены новые припороговые и низкочастотные асимптотики компонент тензора динамической поляризуемости.

• Амплитуды двухфотонных свободно-свободных переходов в атомах представлены в форме с разделенными геометрическими и динамическими частями, и выполнен общий анализ поляризационных и угловых зависимостей в спонтанных и вынужденных двухфотонных тормозных процессах.

• Выполнен количественный анализ поляризационных эффектов в двухфотонных тормозных процессах в кулоновском поле, обусловленных интерференцией эрмитовой и антиэрмитовой частей амплитуды и зависящих от знака спиральности фотонов (циркулярный и эллиптический дихроизм). Аналитически исследованы предельные случаи малых и больших частот фотонов и найдены асимптотики двухфотонных амплитуд для потенциала ¡7(г) общего вида. Для кулоновского потенциала получены замкнутые аналитические выражения для радиальных матричных элементов в виде интегралов от гипергеометрической функции, обобщающие известные формулы Зоммерфельда.

Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ Воронежского госуниверситета, а также в тематику следующих грантов:

• грант №00-02-17843 Российского фонда фундаментальных исследований (руководитель - проф. Манаков Н.Л.);

• грант №ЕОО-3.2-515 Конкурсного центра Минобразования России при СПбГУ (руководитель - проф. Манаков Н.Л.);

• грант №\^-010-0 Американского фонда гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза (СГШР) и Минобразования России.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Показано, что обобщенное штурмовское разложение с двумя свободными параметрами позволяет разделить резонансную и потенциальную части кулоновской функции Грина и развить эффективную технику расчетов амплитуд двухфотонных переходов в кулоновском поле. Развитый метод позволяет получить замкнутые аналитические выражения амплитуд двухфотон- < ных связанно-связанных и связанно-свободных переходов из произвольного начального ¡п/)-состояния.

2. Установлено, что существует универсальная аналитическая структура динамических поляризуемостей ап1т(и>) состояний с произвольным п, которая содержит гипергеометрическую функцию 2^1 специального вида и полиномиальные функции частоты. Полученные выражения для поляризуемостей дают возможность найти новые асимптотики ап1т (в ридберговской и припо-роговой областях) и компактное выражение для сечения однофотонной ионизации |п£)-состояния.

3. Проведена общая параметризация сечений двухфотонных тормозных процессов при рассеянии электрона на статическом потенциале £/(г).

4. Парциальные кулоновские амплитуды двухфотонных переходов в непрерывном спектре представлены в виде интегралов от функции г-^ь проведено их аналитическое и численное исследование.

5. Установлено существование и проведен анализ эффектов циркулярного и эллиптического дихроизма в процессах вынужденного двойного тормозного излучения и поглощения.

Практическая значимость работы

Полученные универсальные аналитические выражения для амплитуд двухфотонных переходов в кулоновском потенциале существенно упрощают исследование двухфотонных процессов в дискретном и непрерывном спектре и могут быть использованы в задачах двухфотонной (в том числе, поляризационной) спектроскопии водородоподобного атома, включая переходы между ридберговскими состояниями.

Анализ зависимости сечений от поляризации лазерной волны в двухфо-тонном вынужденном тормозном излучении и поглощении позволил предсказать существование циркулярного и эллиптического дихроизма в этих процессах, а проведенные численные расчеты показывают возможность экспериментального наблюдения эффектов дихроизма и позволяют предложить параметры и геометрию для постановки эксперимента.

Апробация результатов работы

Основные результаты исследования опубликованы в журналах Laser Physics и Журнале экспериментальной и теоретической физики (ЖЭТФ), а также доложены на следующих конференциях: 7 International Conference on Multiphoton Processes (ICOMP VII), Garmisch-Partenkirchen, Germany, 1996; XV Конференции "Фундаментальная атомная спектроскопия", Звенигород, 1996; XVI International Conference on Coherent and Nonlinear Optics, Moscow, 1998; XVI International Conference on Atomic Physics, Windsor (Canada), 1998; 7 International Workshop on Laser Physics (LPHYS'98), Berlin, 1998; XVI Конференции "Фундаментальная атомная спектроскопия", Звенигород, 1998; 11 International Laser Physics Workshop, 2002 Bratislava, Slovakia.

Публикации

Содержание диссертационной работы изложено в 16 публикациях, включая три статьи в реферируемых научных журналах.

Личный вклад автора

Все основные результаты, выносимые на защиту, получены самим автором. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и 4 приложений. Общий объем диссертации составляет 161 страниц машинописного текста, включая 2 таблицы и 38 рисунков, а также список цитируемой литературы из 132 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во Введении дается литературный обзор исследований, имеющих отношение к теме диссертации, формулируются основные задачи диссертации и приводится краткое содержание отдельных глав.

В главе 1 получены двухфотонные формулы Гордона — компактные аналитические выражения для радиальных матричных элементов двухфотон-ного перехода между состояниями водородного атома |nl) и |п'1') с произвольными п и п' в канонически простой (насколько это возможно для столь общего случая) форме. Все известные ранее аналитические результаты для двухфотонных дипольных переходов в дискретном спектре кулоновского потенциала U — Z/r (далее в автореферате используются атомные единицы)

являются простыми частными случаями указанных формул. В общем случае амплитуды двухфотонных переходов выражаются в виде простой линейной комбинации произведений двух, функций гипергеометрического типа. Одна из них — гипергеометрический полином порядка не выше, чем п< = шт{пг, п'г}, аналогичный полиномам в классической формуле Гордона, а другая — функция Аппеля которая имеет целый отрицательный параметр и эквивалентна конечной сумме функций с единичным первым параметром. Кроме того, результат содержит также полиномиальные слагаемые с произведениями гипергеометрических полиномов одной (2 Л) и двух (Е^ переменных.

Обобщение формул Гордона на случай двухфотонных процессов оказалось возможным с использованием эффективного метода расчета, основанного на новом представлении (обобщенном штурмовском разложение) радиальной кулоновской функции Грина (КФГ) д1{Е\г,г') в виде двойного ряда по полиномам Лагерра (или функциям Штурма 5ы(т) кулоновской задачи), которое содержит два произвольных (свободных) параметра а, а':

со

91{Е- г, г') = £ д[к,(Е-, а, а') 5ы(2г/а) 5м(2г'/а'). (1)

к,к'=О

Рациональный выбор параметров а и а' в соответствии со спецификой конкретной задачи (например, а = п, а' = п' при анализе двухфотонных связанно-связанных переходов) позволяет в ряде случаев кардинально упростить процедуру расчета матричных элементов с д1{Е;г,г')

В разделе 1.1 изложен вывод разложения (1) и исследованы некоторые свойства нового представления КФГ. В разделе 1.1.1, с использованием переразложения штурмовских функций в ряд по полной системе этих же функций с другим значением аргумента, содержащим свободный параметр, найдено ядро д1кк, представления (1). В разделе 1.1.2 получено разложение д1(Е\ г, г') на резонансную (содержащую полюсы при Е = Еп> которые соответствуют резонансам на уровнях дискретного спектра) и потенциальную (гладко зависящую от Е) части:

31{Е- г, г') = дГ(Е; г, г') + д?°'(Е; г, г'). (2)

Получены явные выражения для д1^3 и д1^ и проверено, что вычет резонансной части д\е$ = ^з|.,[,сз5и(2г/а)5^;(2г'/а) в (2) при Е = Еп равен произведению соответствующих собственных функций. В разделе 1.1.3 получено двухпараметрическое представление КФГ С?£(р, р') в импульсном пространстве, обобщающее известный результат Швингера.

В разделе 1.2 с использованием разложения (1) получены двухфотонные формулы Гордона для амплитуд неупругих связанно-связанных переходов. Радиальные матричные элементы

п', Е) = {п'1'\ Ь(Г, ЬЫВДЬ, I) |п1) , (3)

где Ь{1\, 1г) = й/йг + - /1)шах(/1, + 1)/г, которые возникают при

расчете амплитуд двухфотонных переходов с использованием оператора электромагнитного взаимодействия в форме скорости, представлены в виде простой линейной комбинации 4 величин = д^к,(Е\п12,т)! ¡2), например:

М„ (п,п,£) = -.2-—-х

где й — п — 1, — п' — I.

В разделе 1.3 с использованием обобщенного штурмовского разложения КФГ получены аналитические выражения для поляризуемостей произвольных водородных состояний, по-существу, столь же простые, как поляризуемость основного состояния.

В разделе 1.3.1 получены точные аналитические результаты для компонент тензора поляризуемости. Спецификой кулоновской задачи является вырождение уровней энергии по I, причем двухфотонный матричный элемент между состояниями \п1тп) и \п1'т) с V = I ± 2 отличен от нуля. По этой причине даже в случае линейной или циркулярной поляризации волны возмущение спектра возбужденных состояний определяется секулярным уравнением с матрицей

О!^ = {п1'т\ {(е*г)С£„+ш+10(ег) + (ег)С£„_и+10(е*г)} \nlrn) . (5)

Зависимость <?„„, от магнитного числа т отделяется методами квантовой теории углового момента, например, при циркулярной поляризации (£ = +1 для правой и £ = — 1 для левой круговой поляризации) диагональные по 1,1' матричные элементы имеют вид:

Ои -

Чтт ~ ^с

о?И+£«>)--а'И

т л3т2 -1(1 + 1)

21 v ' 2/(2/-1)

(6)

Скалярная (а*), векторная (аа) и тензорная (а4) поляризуемости, а также "недиагональная" поляризуемость определяющая элемент штарков-

ской матрицы , выражаются через радиальные матричные элементы

(3) с п' = п. В этом случае общие формулы для Мц, ((4) и аналогичные ей) существенно упрощаются и поляризуемости выражаются через произведения известных полиномов Поллачекар^. и функций Поллачека <7^Использование тех же свойств р[ и что и при разделении на резонансную и потенциальную части (2), позволило установить универсальную структуру поляризуемостей а^*. Каждая из них содержит функцию

2^х(1,2т + 2; гп + 2 — 7?; г~х) (7)

(где тп = I ± 1, г — —4щ/{п ~ т])2, т] = п/\/1 ^ £> — гО) и полиномиальные функции от о) = ш/\Еп\, которые входят в мультипликативно и аддитивно по отношению к (7). Предложен алгоритм аналитических компьютерных вычислений и в качестве примера приводятся явные выражения полиномов для состояний с главным квантовым числом п < 4.

Простые аналитические выражения для поляризуемостей позволили получить новые асимптотические результаты в ридберговской и припороговой областях. Ридберговская (п 1) асимптотика, справедливая при любых частотах, получена в разделе 1.3.2. При этом отдельно рассмотрены случаи состояний с малыми и большими значениями орбитального момента.

В разделе 1.3.3 рассмотрена асимптотика поляризуемостей в припороговой области- ь> ~ |/?„|. Показано, что при фиксированном п и частотах из —> |£п| — 0 поляризуемости (г = в,а,€) можно представить в виде

= + (8)

так что агп1(и>) имеют сгущающиеся полюсы на ридберговских уровнях. Для коэффициентов А, В при произвольных п, I, V получены аналитические выражения в виде бесконечного ряда от логарифмической производной гамма-функции. В качестве примера приводятся численные значения Агп1 и Вгп, для состояний с п < 5.

В разделе 1.3.4 рассмотрена низкочастотная область, в которой частота ы мала, по сравнению с частотой перехода шпп' между рассматриваемой оболочкой п и ближайшими состояниями сп' = п+1: ш В случае изолированного уровня неводородного атома при выполнении такого условия поляризуемости а5,'(ш) переходят в соответствующие статические поляризуемости, описывающими штарк-эффект в постоянном поле Го, а а"(и) ~ ш 0. Для водородных уровней ситуация иная, поскольку матричные элементы, через которые выражаются поляризуемости, сингулярны при ы — 0. Например, для векторной поляризуемости аа(ш) при ш —> 0 получаем:

=- {В)2^ - (55п2+т+1)+ш)1ш-

В разделе 1.4 обсуждается эффективность применения обобщенного разложения КФГ в различных приложениях.

В главе 2 рассмотрены связанно-свободные двухфотонные переходы. В разделе 2.1 приведены общие формулы для сечений процессов, обусловленных двухфотонными переходами между дискретным и непрерывным спектром, — двухфотонной ионизации, комптоновского рассеяния на связанном электроне и двухфотонной рекомбинации. Проведен феноменологический анализ зависимости этих процессов от поляризации фотонов и указаны поля-ризационно-угловые комбинации, которые возникают в сечениях. Выполнено интегрирование по угловым переменным и приведено явное выражение

амплитуды двухфотонного связанно-свободного перехода через радиальные матричные элементы второго порядка для произвольного атомного потенциала.

В разделе 2.2 получены аналитические выражения для кулоновских матричных элементов связанно-свободных переходов второго порядка, в которых они выражаются через ядро обобщенной КФГ (1) с учетом замены п' -> iZ/p. (двухфотонные формулы Гордона для связанно-свободных переходов).

Полученные аналитические выражения для матричных элементов позволяют, в частности, рассчитать сечения двухфотонной ионизации возбужденных состояний в широком интервале частот. Численные результаты, иллюстрирующие частотную зависимость сечения, а также точность "резонансного" приближения, приводятся в разделе 2.2.3.

Глава 3 посвящена двухфотонным переходам в непрерывном спектре. В разделе 3.1 исследуется поляризационно-угловая зависимость двухфотонных тормозных процессов в центральном потенциале общего вида U(r). Сечения этих процессов выражаются через амплитуду перехода между состояниями рассеяния и (г') с асимптотическими импульсами s р и р/ =

Р':

М(е2,еи£) = - (^'l (еа • V')Gi(r',r)(e1 • V) , (9)

где Gs - функция Грина гамильтониана с потенциалом U{r). В разделе 3.1.1 записаны общие формулы для сечений вынужденного двухфотонного тормозного излучения (2BrS) и поглощения, а также для линейной по интенсивности волны поправки к сечению упругого рассеяния.

В разделе 3.1.2 проведен парциально-волновой анализ и получено выражение для амплитуды (9) с разделенными динамическими и кинематическими факторами:

М(е2,еи£) = Qi{e2 ■ n)(ej • n) + Q2(e2 ■ n')(ei • n')+ +(l/2)Q3[(e2-n,)(ei-n)+(e2-n)(e1-n')]+Q4l(e2 • n')(ei • n) - (e2 ■ n)(ea ■ n')] +

+ [Qb ~ (l/3)(Qi + Q2 + Qz(n ■ n'))](e2 • ei). (10)

Здесь n — p/p, n' = p'/p', а инвариантные параметры <2, представляют собой бесконечные ряды, которые содержат полиномы Лежандра от угла рассеяния и радиальные матричные элементы

Mpt(E', Е,£) = - (Лы| D(L, l')gL(£)D(L, l) |REt) . (И)

Параметризация амплитуды в виде (10) позволяет полностью проанализировать поляризационные и угловые зависимости как в спонтанном 2BrS (с различными поляризациями ei и е2), так и для вынужденных процессов (с ei = е2).

В разделе 3.1.3 рассматриваются эффекты циркулярного и эллиптического дихроизма в свободно-свободных переходах. Показано, что сечение вынужденного 2BrS имеет следующую структуру:

<12>

где jreg, &cd и Дed выражаются через инвариантные параметры Q, и комбинации скалярных произведений векторов е, е* и п, п'. При этом freg не меняется при замене е е", т.е. не зависит от зна-

I/n лФДПЙ1ПГ IITITM^l ГПгтг.лй лпппт\.11Л.Ч1.1 í Q Л — , »"

Kii ivipivj-jiyi^/íiuw иилл^наацпп , о. t-i(jlj ti

Дed меняют знак при изменении знака £ : Дед ~

Дed ~ £1 {I — степень линейной поляризации). Таким образом, Acd и Дed описывают эффекты циркулярного (CD) и эллиптического (ED) дихроизма в процессе вынужденного 2BrS, причем в общем случае дихроичные члены в сечении не имеют параметра малости, и (при благоприятной геометрии процесса) относительная величина эффектов дихроизма может достигать ~ 100%. Существование эффекта ED означает, что при исследовании двухфотонного тормозного излучения и поглощения (в отличие от однофо-тонных процессов, в которых имеется только эффект CD) наиболее полную информацию о процессе даёт использование световой волны с эллиптической поляризацией. Проводится обсуждение общих свойств CD- и ED-эффектов в вынужденном и спонтанном двойном тормозном излучении и поглощении, которые следуют из явных выражений для Дсо и Дво-

В разделе 3.2 проводится расчет' кулоновских двухфотонных радиальных матричных элементов (11). С использованием для функции Грина интегрального представления Хостлера удается записать M¡¡, в виде суммы шести слагаемых, два из которых содержат дипольные матричные элементы первого порядка, а остальные четыре являются однократными интегралами от функции 2^1- Несмотря на громоздкость, типичную для аналитических расчётов с кулоновскими функциями континуума, полученные формулы, по-видимому, не могут быть подвергнуты дальнейшим упрощениям и являются наиболее простыми выражениями, обобщающими кулоновские матричные элементы для однофотонных тормозных процессов на случай двухфотонных свободно-свободных переходов. В то же время, следующие из них при аналитическом продолжении по Е и Е' выражения для матричных элементов связанно-связанных и связанно-свободных переходов, как показано в главе 2, упрощаются и сводятся к двухфотонным формулам Гордона, не содержащим интегрирований.

Раздел 3.2.2 содержит обсуждение процедуры устранения расходимостей в амплитуде двухфотонных переходов, возникающих в упругом рассеянии

цессов вынужденного тормозного излучения и поглощения.

(при Е' —> Е). Объясняется причина их возникновения и аналитически разделяются сингулярные и конечные члены. Показано, что как и в случае неупругих процессов, амплитуда содержит внеинтегральные и интегральные слагаемые, причем в пределе Е' = Е внеинтегральные члены существенно упрощаются.

В разделе 3.3 проводится асимптотический анализ амплитуд неупругих двухфотонных переходов. Парциально-волновой подход дает выражения для параметров Qi(p,p',6) лишь в виде рядов по полиномам Лежандра, причём входящие в эти ряды радиальные матричные элементы вычисляются аналитически только в кулоновском случае. Тем не менее, для ряда предельных областей параметров задачи удается получить достаточно простые замкнутые выражения для Qi и амплитуд переходов в потенциале U(r) общего вида. В разделах 3.3.1, 3.3.2 такой анализ проводится для низкочастотной, высокочастотной и борновской областей. В частности, при малых частотах (ш/Е -С 1) для сечения вынужденного 2BrS получено выражение

dff = £«|e"(p~p,)|4£i<T0 {13) {daо - сечение упругого рассеяния на потенциале U{r)), которое согласуется с известным низкочастотным приближением Кролла-Ватсона (Phys. Rev. А 8, 804 (1973)), если в последнем рассмотреть случай малой напряженности поля F. Такое же согласие имеется в борновской области с приближением Бункина-Федорова (ЖЭТФ 49,1569 (1965)). В кулоновском случае с использованием аналитических выражений для двухфотонных амплитуд найдена поправка ~ ш/Е к низкочастотной асимптотике, в которой возникает "дихроичное" слагаемое

ACD~£(k-[nxn'])|e-(n-n')|2 (14)

(к — волновой вектор лазерной волны). В главном члене низкочастотной асимптотики (13) дихроизм, очевидно, отсутствует. Расчет поправочного слагаемого позволяет уточнить область применимости приближения Кролла-Ватсона. Фактическим параметром малости дихроичной поправки в низкочастотной области оказывается отношение Дсо/Лед ~ w/p2sin 0, поэтому формула (13) неприменима при малых углах рассеяния, и эффекты дихроизма в области в ~ w/p2 имеют значительную величину даже при малых значениях ы/р2.

Наличие аналитических выражений для кулоновских амплитуд позволило также оценить точность известных приближенных формул — резонансного приближения и приближения Короля (J. Phys. В 28, 3873 (1995)), — в частности, объяснить причину хорошего согласия "1-delta" аппроксимации Короля с точными результатами.

В разделе 3.4 получены асимптотики сечения упругого рассеяния на потенциале U(г) в присутствии светового поля.

г

2

а.

У

х

' >»

У

а

б

Рис. 2: Пространственное распределение электронов в процессе 2ВгБ, рассеивающихся (с начальной энергией Е = 1.0) на кулоновском центре в присутствии циркулярно-поляризованной волны с частотой а> = 0.01 ((а): £ — 1; (б):

Раздел 3.5 содержит численные результаты для кулоновского потенциала и их обсуждение. В разделе 3.5.1 анализируется частотная и энергетическая зависимость радиальных матричных элементов. Наличие точных результатов позволяет проверить корректность приближений, используемых для расчета Мщ(Е',£,Е). Наиболее простым является "полюсное" приближение, которое состоит в учете только мнимой части М,^. В условиях применимости теории возмущений по полю волны к нему сводится и модель "существенных состояний" в теории многофотонных процессов в сильном поле. Асимптотические оценки и численные расчеты показывают, что мнимая часть доминирует в низкочастотной области при малых начальных энергиях электрона (при этом для "недиагональных" матричных элементов точность полюсного приближения значительно лучше, чем для "диагональных"). При увеличении частоты и/или энергии электрона вклад опущенной вещественной части матричных элементов возрастает. В области высоких частот вещественная часть в М^ становится преобладающей, а мнимая часть имеет относительную малость ~ 1 ¡л/ы.

В разделе 3.5.2 рассматриваются угловые распределения и дихроизм в вынужденных тормозных процессах. Угловые распределения существенно зависят не только от начальной энергии электрона Е и частоты ш, но и от поляризации фотонов. Для рассеяния на кулоновском центре в присутствии циркулярно-поляризованной волны с £ = ± 1 качественные особенности пространственного распределения рассеянных электронов при вынужден-

¿=-1)

F"*da/dft

а

F^do/dn ю" э

б

40-60-40 .20 0 20 40 to ео о iroaal

•00 -60 -40 <20 0 20 40 60 80 т JrpanJ

Рис. 3: Зависимость сечения двойного тормозного поглощения от угла ц> при в = 7г/6. Сплошные линии: £ = 1/\/2; штрих-пунктирные линии: £ = —1 /л/2. (а): Е = 1.0, и = 1/6, пунктирная линия — формула Бункина-Федорова ; (б): Е = 0.1, ijJ — 1/60, пунктирная линия — низкочастотная асимптотика (13) .

ном 2BrS видны из рис. 2 (а, б). В соответствии с геометрией рис. 1 направление светового пучка к выбрано перпендикулярным начальному импульсу электронов р = рп.

В процессе двойного тормозного поглощения новым обстоятельством по сравнению с 2BrS является существование «критической» геометрии рассеяния, при которой переданный импульс Ар = р — р' оказывается перпендикулярным плоскости поляризации, так что е • Др = 0. В этом случае приближение Бункина-Федорова и низкочастотная асимптотика (13) дают нуль для сечения, тогда как при точном учете рассеивающего потенциала значение da/dSl конечно. На рис. 3 показана зависимость сечения двойного тормозного поглощения от угла <р (см. рис. 1) в «критической» области. При энергии Е = 1.0 и ш = 1/6 (рис. За) формула Бункина-Федорова вполне удовлетворительно описывает сечение (хотя борновские параметры в этом случае и не слишком малы: Z/p ~ 0.7, Z/p' « 0.6) за исключением малой области углов вблизи «критической» точки: в = 7г/6 и tp = 0, в которой борновский результат обращается в нуль, а точное сечение имеет ярко выраженный минимум. В то же время, для Е = 0.1 и и> = 1/60 (рис. 36) низкочастотная асимптотика (13) дает значительно худшее количественное согласие с точными результатами.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В Приложение вынесена часть математических выкладок.

Основные результаты диссертации

1. Исследованы общие свойства (разложение на резонансную и потенциальную части, переход к импульсному представлению) обобщенного штурмов-ского разложения кулоновской функции Грина с двумя свободными параметрами, и на его основе развита техника расчетов амплитуд двухфотонных переходов в кулоновском поле.

2. Получены замкнутые аналитические выражения (в записи через гипергеометрические функции) для амплитуд связанно-связанных и связанно-сво- I бодных двухфотонных переходов в атоме водорода из произвольного начального состояния |nZ), обобщающие известные (однофотонные) формулы Гордона.

3. Найдены явные выражения для компонент тензора динамической поляризуемости ап1т(ш) состояний с произвольным п через функцию специального вида, зависящую лишь от I и ш — Шо/\Еп\, и полиномы }ni(й) частоты ш.

4. Найдены простые аналитические асимптотики для параметров, описывающих динамический эффект Штарка в ридберговской, припороговой и низкочастотной областях.

5. Выделена поляризационно-угловая зависимость в амплитуде двухфотон-ного рассеяния на произвольном центральном потенциале U(r) и найдены явные выражения для инвариантных динамических параметров.

6. Получены замкнутые выражения для кулоновских парциальных амплитуд двухфотонных переходов в непрерывном спектре, найдены их асимптотики, и аналитически устранены сингулярности, возникающие при упругом рассеянии.

7. Выполнен количественный расчет эффектов дихроизма в двойном тормозном излучении и поглощении.

Публикации по теме диссертации

Содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1. Krylovetsky A. A. Quadratic Stark effect and dipole dynamic polarizabilities of hydrogen-like levels / A.A. Krylovetsky, N. L. Manakov, S. I. Marmo // Laser Physics. - 1997. - V. 7, №3. - P.781-794.

2. Крыловецкий A.A. Обобщенные штурмовские разложения кулоновской функции Грина и двухфотонные формулы Гордона / A.A. Крыловецкий, Н.Л. Манаков, С.И. Мармо // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2001. - Т. 119, №1. - С.45-70.

3. Двухфотонные тормозные процессы в атомах: поляризационные эффекты и аналитические результаты для кулоновского потенциала / A.A. Крьгловецкий, Н.Л. Манаков, С.И. Мармо и др. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2002. - Т. 122, №6. - С.1168-1197.

" 4. Возмущение спектра возбужденного атома полем монохроматического

излучения / A.A. Крыловецкий, Н.Л. Манаков, С.И. Мармо и др. // III I семинар по атомной спектроскопии, Москва, 15-18 декабря 1992 г.: Тез.

докл. - М., 1992. - С.21.

5. Крыловецкий A.A. Изменение спектра ридберговских состояний в монохроматическом поле / A.A. Крыловецкий, Н.Л. Манаков, С.И. Мармо // XXI съезд по спектроскопии, Звенигород, З-б октября 1995 г.: Тез. докл. - М., 1995. - С.9.

6. Krylovetsky A.A. Frequency dependence of dynamic polarizabilities for H-like rydberg levels / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo // 7Th

I Intern. Conf. on Multiphoton Processes (ICOMP VII), Garmisch-Partenkir-

chen, Germany, October 1-4, 1996: Book of Abstr. - Germany, 1996. -P.A56-57.

7. Крыловецкий A.A. Частотная зависимость динамических поляризуе-мостей ридберговских состояний / A.A. Крыловецкий, Н.Л. Манаков, С.И. Мармо // XV Конференция "Фундаментальная атомная спектроскопия", Звенигород, 4-7 декабря 1996 г.: Тез. докл. - М., 1996. - С.10.

8. Partial-wave analysis of two-photon continuum-continuum transitions in a Coulomb field / A. A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo et al. // Bull. Amer. Phys. Soc. - 1998. - V.43. - P.1300-1301.

9. Krylovetsky A.A. Polarizabilities and hyperpolarizabilities of H-like Rydberg levels / A. A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S. I. Marmo // Techn. Digest of XVI Int. Conf. on Coh. and Nonlin. Opt - Moscow, 1998. - P.41.

10. Closed form expression of two-photon amplitudes for bound-bound and bound-free transitions in H-like atoms / N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.

» A. Krylovetsky et al. // XVI Int. Conf. on At. Phys., Windsor (Canada),

August 3-7, 1998: Abs. of Contr. Papers - Windsor, 1998. - P.203-204.

11. Partial-wave analysis of two-photon free-free transitions / A. A. Krylovetsky, N. L. Manakov, S. I. Marmo et al. // XVI Int. Conf. on At. Phys., Windsor (Canada), August 3-7, 1998: Abs. of Contr. Papers - Windsor, 1998. - - -P.205-206.

12. Closed form for amplitudes of two-photon transitions between H-like states with arbitrary quantum numbers / N. L. Manakov, A. A. Krylovetsky, S.

I. Marmo et al.// 7 Int. Workshop on Las. Phys. (LPHYS'98), Berlin, July 6-10, 1998: Book of Abstr. - Berlin , 1998. - P.234-235.

13. Двухфотонные процессы при рассеянии в центральном поле / А.А. Крыловецкий, H.JI. Манаков, С.И. Мармо и др. // XVI Конференция "Фундаментальная атомная, спектроскопия", Звенигород, 8-11 декабря 1998 г.: Тез. докл. - М., 1998. - С.89-90.

14. Крыловецкий А.А. Поляризуемости ридберговских состояний водоро-доподобных атомов / А.А. Крыловецкий, H.JI. Манаков, С.И. Мармо // XVI Конференция "Фундаментальная атомная спектроскопия", Звенигород, 8-11 декабря 1998 г.: Тез. докл. - М., 1998. - С.148-149.

15. Dichroic effects in laser-assisted electron-atom scattering: numerical results for a Coulomb potential / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo et al. // 11-th International Laser Physics Workshop, Bratislava, Slovakia, July 1-5, 2002: Book of Abstr. - Bratislava, 2002. - P. 77.

16. Krylovetsky A.A. Two-photon transitions in a Coulomb potential / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo //34 EGAS, Sofia, Bulgaria, July 9-12, 2002: Book of Abstr. - Sofia, 2002. - P.160-161.

Заказ № 543 от 18.09.2003 г. Тираж 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Jbo^M > 1 4 8 8 6

Введение

1 Двухфотонные переходы в дискретном спектре

1.1 Обобщенное штурмовское разложение КФГ. 1.1.1 Выражение для ядра д1кк,.

1.1.2 Разложение КФГ на резонансную и потенциальную части.

1.1.3 Двухпараметрическое импульсное представление КФГ

1.2 Матричные элементы неупругих двухфотонных переходов

1.3 Поляризуемости возбужденных состояний.

1.3.1 Точные аналитические результаты для компонент тензора поляризуемости

1.3.2 Поляризуемости ридберговских состояний.

1.3.3 Припороговая асимптотика поляризуемостей.

1.3.4 Случай низкочастотного поля.

1.4 Выводы.

2 Связанно-свободные двухфотонные переходы

2.1 Общие формулы.

2.2 Матричные элементы связанно-свободных переходов . 67 I 2.2.1 Аналитическое продолжение из непрерывного спектра.

2.2.2 Аналитическое продолжение из дискретного спектра

2.2.3 Численные результаты для двухфотонной ионизации

3 Двухфотонные переходы в непрерывном спектре

3.1 Поляризационно-угловая структура сечений двухфотонных тормозных процессов.

3.1.1 Общие формулы.

3.1.2 Парциально-волновое разложение амплитуды.

3.1.3 Эффекты циркулярного и эллиптического дихроизма в свободно-свободных переходах.

3.2 Кулоновские двухфотонные радиальные МЭ

3.2.1 Аналитические выражения для МЭ.

3.2.2 Устранение сингулярностей в амплитуде двухфотонных упругих переходов

3.3 Асимптотический анализ амплитуд неупругих двухфотонных переходов.

3.3.1 Низкочастотный предел и/р2 <С 1.

3.3.2 Высокочастотный предел ^¡р <С 1, ш/Е' 1, ш/Е ~

1) и борновское приближение.

3.4 Асимптотики сечения упругого рассеяния на потенциале II(г) в присутствии светового поля.

3.4.1 Низкочастотный предел и/р2 «С 1.

3.4.2 Упругое рассеяние в присутствии высокочастотного поля.

3.5 Численные результаты для кулоновского потенциала и обсуждение

3.5.1 Частотная и энергетическая зависимость радиальных матричных элементов.

3.5.2 Угловые распределения и дихроизм в вынужденных тормозных процессах.

Последовательное описание взаимодействия атомов с электромагнитным полем стало возможны с созданием квантовой теории. Изучение однофо-тонных процессов — вывод общих квантовомеханических формул для вероятностей и вычисление амплитуд излучения и поглощения световых квантов, фотоионизации, тормозного излучения в кулоновском поле — было одной из первых задач квантовой механики. Интерес к процессам в водо-родоподобных атомах обусловлен тем, что амплитуды переходов в них выражаются в аналитическом виде и эти результаты являются "реперными" в теории атомных фотопроцессов. Многофотонные процессы, некоторые из которых хотя и были рассмотрены в общем виде в 20-30-е годы прошлого века, систематически стали изучаться с середины 60-х годов, что было обусловлено прежде всего созданием лазеров. Исследование процессов в кулоновском поле имеет очевидный интерес и в этом случае, причем особое внимание привлекают двухфотонные переходы, поскольку их амплитуды и сечения ещё возможно представить в аналитическом виде. Однако несмотря на разнообразные математические подходы и обширную литературу до последнего времени не было получено замкнутых аналитических выражений для переходов между произвольными кулоновскими состояниями.

В диссертации ставится задача получить максимально простые, универсальные выражения для кулоновских матричных элементов второго порядка и амплитуд двухфотонных связанно-связанных, связанно-свободных и свободно-свободных переходов и на их основе выполнить детальное исследование двухфотонных процессов в дискретном и непрерывном спектре атома водорода и водородоподобных ионов в рамках нерелятивистского дипольного приближения. 1

I. i

Ниже во Введении дается обзор работ, имеющих отношение к теме диссертации и приводится краткое содержание ее отдельных глав.

В рамках теории возмущений по взаимодействию с лазерным полем вероятности одно- и многофотонных процессов выражаются через матричные элементы соответствующих переходов между начальным и конечным состояниями атома. Для многоэлектронных атомов возможен лишь приближенный расчет таких матричных элементов, а в случае водородопо-добных систем вычисления могут быть выполнены точно. В большинстве задач взаимодействие с полем можно считать дипольным; в этом случае радиальные матричные элементы (n'l' = I ± 1| г \nl) однофотонных переходов между начальным |nl) и конечным |n'l') состояниями дискретного спектра в атоме водорода вычисляются аналитически в виде комбинации двух гипергеометрических функций 2-^1 b\c\z) с целыми отрицательными параметрами а и Ь (гипергеометрических полиномов) и простых алгебраических факторов (известные формулы Гордона [3]): п'1 - II г |«/) = + х

Х (1 - 1)(п+п'У2 [ 2*Н-п + * + 1, -п' +1\ 21; о

1 - ОзЖ-п + I - 1, -п' + I- 21- О ], (В.1) где £ = —Апп'/(п — п')2, (a)k = Г(а + к)/Г(а) - символ Похгаммера. Здесь и ниже используются атомные единицы.

Формулы Гордона полностью описывают излучение и поглощение фотона связанным электроном в кулоновском потенциале, а аналитическое продолжение (В.1) по п' (в данном случае замена п' —> г/у/2~Ё) даёт и амплитуды {El' = I ± 1| г |nl) связанно-свободных переходов (фотоионизации или рекомбинации), которые тоже представляют собой полиномы. Хорошо известны также выражения для амплитуд (E'l' = I ± 1| г |El) свободно-свободных переходов (типа тормозного излучения), в которых наряду с членом, получаемым аналитическим продолжением по п и п', и представляющим собой уже комбинацию двух полных гипергеометрических функций 2F1, возникает дополнительное сингулярное слагаемое с дельта-функцией

5(Е — Е'). Указанные аналитические формулы и их табулированные результаты, полученные с их помощью, а также многочисленные аппроксимации для частных значений п, I и/или энергии Е широко используются в задачах классической (однофотонной) оптической спектроскопии.

Внедрение лазеров в технику оптической спектроскопии и экспериментальные исследования многофотонных процессов стимулировали аналитические расчёты сечений многофотонных (в первую очередь, двухфотон-ных) переходов в кулоновском поле. Уже на наиболее простом примере радиального матричного элемента двухфотонного связанно-связанного перехода, очевидно, что в этом случае задача принципиально усложняется необходимостью расчёта спектральных сумм. Далее ясно, что даже будучи вычисленным в замкнутом виде, матричный элемент (В.2) должен иметь гораздо более сложный функциональный вид по сравнению с (В.1), поскольку вдобавок к зависимости от квантовых чисел п, п', / он существенно (резонансным образом) зависит от непрерывного параметра — частоты и внешнего монохроматического возмущения. История аналитических расчётов амплитуд типа (В.2) для кулоновского потенциала насчитывает почти 40 лет (см., напр., [4]) и около сотни работ. Использовался целый ряд альтернативных подходов (различные модификации метода интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений для поправочной функции 1-го порядка нестационарной теории возмущений, алгебраические подходы на основе 0(4)-симметрии кулоновской задачи и др.), но наиболее эффективным средством вычисления спектральных сумм является использование явного выражения для функции Грина уравнения Шредингера с кулоновским гамильтонианом. Для переходов меж

М^)±2(п,п\Е = Еп±и) = п'1'\г\кЬ) (Щг\п1)

-¿^ Ек-Епти-г 0 Е (пГ\гдь{Е',г,г'У \п1) у (В.2)

В.З) ду начальным и/или конечным состояниями с фиксированным орбитальным моментом, наиболее целесообразно использование мультипольного разложения Се'

Ое{г, г') = £ г, г') У1т(г) ^(Р), (В.4)

1т где У/т(г) - сферическая функция. В этом случае задача сводится к вычислению матричных элементов типа (В.2) с радиальной функцией Грина

Эффективность использования кулоновской функции Грина (КФГ) в теории двухфотонных процессов была продемонстрирована впервые на примере расчёта динамической поляризуемости основного состояния водорода в компактной аналитической форме [5] (см. также [6]): аи{ш) = ~2 РШ, + ш) + Т(Е1з - а;) - 1], (В.5) ш где

Таким образом, в простейшем случае п = п' = 1 матричные элементы (В.2) сводятся к полной гипергеометрической функции 2-^1 с двумя целыми первыми параметрами, один из которых равен единице (неполная бета-функция [7]). Аналогичные аналитические результаты были получены и для переходов из основного в низшие возбужденные состояния с п = 2,3 [8], а также для переходов между возбужденными уровнями [8, 9] вплоть до п = 4 [10]. Во всех случаях результаты выражаются в виде комбинации функций 2-Рь однако с ростом главных квантовых чисел п и п' число функций быстро возрастает. Отметим, что, в принципе, вследствие отмеченной выше целочисленности параметров такие функции приводятся к одной из них с помощью рекуррентных соотношений. Однако соответствующий алгоритм достаточно громоздок и может быть реализован лишь компьютерными средствами [11]. Наряду с расчётами амплитуд двухфотонных переходов с конкретными значениями п и п' в ряде работ матричные элементы (В.2) анализировались для общего случая произвольных п и/или п. Здесь результаты имеют достаточно простой вид лишь для упругих (п' = п) процессов: компактное выражение для скалярной части поляризуемости состояния \п1), возникающей при расчёте логарифма Бете для лэмбовского сдвига, найдено в [12] (см. также [10] для п < 4 и [13] для п5-состояний); в работе [14] 3 независимые компоненты тензора поляризуемости для произвольного п, а также амплитуда "недиагонального" перехода \п1) ->■ \п1' = I ± 2) выражены через линейную комбинацию (пг = П — I — 1) фунКЦИЙ 2^1

Аналогичным образом, в виде комбинации ~ п гипергеометрических функций, было получено выражение для амплитуды неупругих переходов из основного состояния, |1в) —> |п1 = 0,2) [15]. Матричные элементы (В.2) для общего случая п ф п' анализировались в работах [16] - [17], однако, замкнутое выражение в терминах известных специальных функций не было получено. Использованная в [16] техника штурмовского разложения КФГ позволяет представить результат лишь в виде бесконечного ряда от произведений двух гипергеометрических полиномов (аналогичных входящим в формулы Гордона для фотоионизации), который к тому же оказывается расходящимся при частотах, превышающих потенциал ионизации \Еп\ начального состояния \п1). В [18, 19] результат записан в виде интегралов, не сводящихся к известным специальным функциям, а в работе [17], претендующей на получение результата в компактной аналитической форме, последняя имеет вид громоздкой суммы нескольких десятков специально введённых для данной задачи функций гипергеометрического типа от б параметров и 4 аргументов, которые эквивалентны тройной сумме, включающей фуНКЦИИ 2-^1 •

Анализ матричного элемента (В.2) для связанно-свободных переходов, |гй) —|Е1'), усложняется из-за наличия кулоновской функции непрерывного спектра, которая сама уже есть вырожденный гипергеометрический ряд. Тем не менее, и в этом случае амплитуда двухфотонной ионизации из основного состояния вычисляется в замкнутом аналитическом виде, но уже через полные гипергеометрические функции двух переменных — функции Аппеля ^ [20, 21] (см. также аналогичные результаты [22] для комптоновского рассеяния с ионизацией). Хотя указанные расчёты легко обобщаются и на случай низколежащих возбуждённых уровней, в общем случае замкнутые результаты для амплитуды не были получены и в конкретных расчётах для больших п (в особенности, для надпороговой ионизации, когда и > \Еп\) используются различные варианты численных алгоритмов для аналитического продолжения рядов гипергеометрического типа (см., напр., [23, 24, 25, 12]).

В главе 1 получены двухфотонные формулы Гордона — компактные аналитические выражения для матричных элементов типа (В.2) с произвольными пип'в канонически простой (насколько это возможно для столь общего случая) форме через известные специальные функции. Все полученные ранее аналитические результаты для двухфотонных диполь-ных переходов в водородном атоме являются простыми частными случаями указанных формул. Как оказалось, усложнение результатов для произвольных п, п' по сравнению со случаем основного состояния связано не с увеличением числа гипергеометрических функций 2-Р1 или функций Ап-пеля ^х, как этого можно было бы ожидать, судя по известным результатам для низколежащих уровней, а с тем, что в общем случае амплитуды выражаются в виде простой линейной комбинации произведений двух функций гипергеометрического типа. Одна из них — гипергеометрический полином порядка не выше, чем п< = тт{пг,п^.}, аналогичный полиномам в классической формуле Гордона, а другая — функция Аппеля которая для случая связанно-свободных переходов аналогична функциям, определяющим амплитуду двухфотонной ионизации из основного состояния. Для связанно-связанных переходов указанная функция Аппеля имеет целый отрицательный параметр и эквивалентна конечной сумме функций 2^1 с единичным первым параметром, аналогичных входящим в (В.5). Кроме того, в обоих случаях результат содержит также полиномиальные слагаемые с произведениями гипергеометрических полиномов одной (2-Р1) и двух (^1) переменных. Результаты радикально упрощаются для "диагональных" матричных элементов (В.2) с п' = п: в этом случае полиномиальные члены отсутствуют и ¿/(п,п, Е = Еп ± и) записывается в виде простого произведения суммы двух гипергеометрических полиномов на сумму двух полных гипергеометрических функций 2-^1

Обобщение формул Гордона на случай двухфотонных процессов оказалось возможным с использованием эффективного метода расчета, основанного на новом представлении (обобщенное штурмовское разложение) радиальной КФГ д1(Е-,г, г') в виде двойного ряда по полиномам Лагерра (или функциям Штурма 5п/(ж) (1.2) кулоновской задачи), которое содержит два произвольных (свободных) параметра а, а':

91(Е; Г, Г') = £; ¿„(и; с*, а') 5« (-) вт (Щ) . (В.б) о Vа / \а /

Принципиальным обстоятельством, придающим значительную гибкость в использовании обобщенного штурмовского разложения в различных приложениях, является факторизованная зависимость членов ряда (В.б) от г, г' и энергетического параметра и = 1/\/—2Е — ¿0. Вся зависимость от энергии Е содержится в ядре д1кк,(и;а,а'), которое не зависит от радиальных переменных и выражается через гипергеометрические функции. Рациональный выбор параметров а и а' в соответствии со спецификой конкретной задачи (например, а = п, а' — п' при анализе двухфотонных связанно-связанных переходов) позволяет в ряде случаев кардинально упростить процедуру расчета матричных элементов с д1(Е;г,г'), в частности, представить двухфотонные формулы Гордона в описанном выше замкнутом аналитическом виде через 4 функции д1кк, с различными к, к'. Таким образом, амплитуды двухфотонных процессов как бы содержатся уже в самом представлении (В.б) для д1(Е;г,г'). Существенно, что разложение (В.б) справедливо и при нецелых значениях параметра I — 7. Это позволяет получить двухпараметрическое разложение и для релятивистской КФГ в записи через функции Штурма квадрированного уравнения Дирака с кулоновским потенциалом. Для целых I и а' = а разложение (В.б) переходит в однопараметрическое представление функции Грина для нерелятивистской кулоновской задачи, полученное ранее в работе [27] (см. также [12]).

В разделе 1.1 изложен вывод разложения (В.б) и исследованы некоторые свойства нового представления КФГ. В частности, получено двухпа-раметрическое представление КФГ Ое{Р, р') в импульсном пространстве, обобщающее известный результат Швингера, а также разложение (Те(г, г') на "резонансную" (содержащую полюсы при Е = Еп) и "потенциальную" (гладко зависящую от энергии и вещественную при вещественных Е) части.

С использованием разложения (В.6) в разделе 1.2 получены двухфо-тонные формулы Гордона для амплитуд связанно-связанных переходов. В разделе 1.3 детально проанализирован случай п' = п: вычислены элементы штарковской матрицы уровня с произвольным п и получены простые формулы для скалярной, векторной и тензорной поляризуемостей, наиболее естественно обобщающие (В.5), а также проведено исследование ридбер-говских и припороговых асимптотик поляризуемостей.

В главе 2 рассмотрены связанно-свободные двухфотонные переходы. В разделе 2.1 приведены общие формулы для сечений двухфотонных процессов, в которых происходит переход электрона между дискретным и непрерывным спектром, в записи через радиальные матричные элементы. В разделе 2.2 рассчитываются аналитические выражения для радиальных матричных элементов связанно-свободных переходов. Хотя такие расчеты нельзя провести так же, как для связанно-связанных переходов, окончательные выражения имеют вид двухфотонных формул Гордона, т.е. амплитуды связанно-свободных переходов выражаются через ядро обобщенной КФГ (В.6) с учетом замены п' -¥ iZ/p. В разделе 2.2.1 этот результат получен с помощью аналитического продолжения по энергии конечного состояния амплитуды переходов в непрерывном спектре, а в разделе 2.2.2 — из выражения для амплитуды переходов в дискретном спектре.

Задача о переходах между состояниями непрерывного спектра в расчетном отношении является наиболее общей, поскольку в этом случае осциллирующие волновые функции как начального, так и конечного состояния выражаются через полную вырожденную гипергеометрическую функцию (а не полином). Амплитуду двухфотонных переходов в кулоновском континууме удается выразить лишь в виде интегралов от гипергеометрической функции. Свободно-свободными переходами определяются процессы рассеяния электронов на атомах и ионах, сопровождающиеся излучением и поглощением фотонов. Начало квантовому описанию таких процессов положило исследование Зоммерфельдом (1931 г.) спонтанного тормозного излучения (BremsstraЫung, ВгЭ) при рассеянии электрона на кулоновском центре [28]. В нерелятивистском дипольном приближении сечение ВгБ с испусканием фотона с частотой и и вектором поляризации е в направлении к da а3 р' и\М\2 (В.7) dujdQpxlQk (2тг)4 р определяется матричным элементом (МЭ)

М = (В.8) перехода между состояниями непрерывного спектра ф^ и ф^ электрона в статическом атомном потенциале U(r). Здесь а - постоянная тонкой структуры. При рассеянии на кулоновском центре трехмерный МЭ Ai вычисляется через гипергеометрические функции 2-^1 [28, 29]. Более того, в этом случае оказывается возможным аналитически проинтегрировать сечение (В.7) по направлениям рассеянного электрона и выразить спектральное распределение BrS da/dw в замкнутой форме через производную квадрата модуля функции 2F1 по аргументу (формула Зоммерфель-да [28, 3]). Для потенциала U(r) общего вида расчет сечения (В.7) состоит в использовании мультипольного разложения функций ф^ (см. ниже (3.9)). В этом случае парциальное разложение амплитуды Л4, удобное для анализа поляризационно-угловой зависимости сечения, имеет вид [30]

М = Q(p,p', 9) (е* • р) + Q(p',p, в) (е* • р'), (В.9) о 2 00

Q(p,p', в) = i—== ^ Е) + vW tí eiAl+dl+ll(E',E)] P/1}(cos0). (B.10)

Здесь Д/± = 5i±\(p') + 6¿(p), Si(p) - фазы рассеяния на потенциале U(r), P¡Ü(x) = (d/dx)Pl(x) - производная полинома Лежандра Pi(x), Е' = р'2/2т = E—u,a,din(E', Е) - радиальные МЭ оператора импульса (см. (3.31)). Спектральное распределение der/du также записывается в виде парциального ряда i о 2 3 00 = (s',s)|2 + (в.и)

1 — 1

В кулоновском случае этот ряд удается просуммировать непосредственно (см. [31], где аналитически вычислена сумма ряда (В. 11), записанного с использованием оператора взаимодействия в «форме ускорения») и воспроизвести формулу Зоммерфельда. Хотя для кулоновского BrS такой подход имеет скорее методический интерес, для потенциала U(г) общего вида парциально-волновой анализ является единственным способом упрощения общих формул (В.7), (В.8) без дополнительных приближений.

Наряду с обычным BrS, при рассеянии электрона на силовом центре возможен и процесс одновременного излучения двух спонтанных фотонов (двойное тормозное излучение, 2BrS), который в общем виде был впервые рассмотрен Гайтлером и Нордгеймом в 1934 г. [32] как радиационная поправка к обычному BrS. В 1985 г. спонтанное 2BrS было зарегистрировано экспериментально: в [33] и последовавших за ней работах [34] методом совпадений измерены дифференциальные сечения излучения двух тормозных фотонов при рассеянии электронов с энергией ~ 70 Кэв на тонких мишенях. В экспериментах [35] спонтанное 2BrS наблюдалось для электронов с энергией ~ 10 Кэв. Первые теоретические расчеты сечения 2BrS при рассеянии электрона на ядре были выполнены в релятивистском борновском приближении [36]. Точный учет действия кулоновского поля на электрон в процессе 2BrS возможен в рамках нерелятивистского дипольного приближения. С использованием кулоновской функции Грина (КФГ) амплитуду 2BrS удается представить в виде интегралов от гипергеометрической функции 2-fi (двухфотонный аналог результатов [28, 29] для М в (В.8)). Различные способы расчета двухфотонных амплитуд (с разными представлениями КФГ), использованные разными авторами, приводят к количественно эквивалентным, но различным по форме выражениям [22, 38, 39]. В частности, в [39] в амплитуде выделены внеинтегральные («борновские») слагаемые, значительно упрощающие анализ предельных случаев. Следует отметить предложенный Королем [40] эффективный приближенный метод расчета амплитуды 2ВгЗ, основанный на учете в од-нофотонных МЭ с?/211{Е2, Е1), входящих в составной МЭ двухфотонного перехода, лишь вклада от 6 - образных сингулярностей, возникающих при Е2 У Е\. В дальнейшем этот метод был распространен на недипольные расчеты [41] и на релятивистский случай [42]. Точные аналитические выражения для нерелятивистской амплитуды 2ВгЭ с учетом эффектов запаздывания получены в [43, 44]. Кроме перечисленных результатов для кулоновского потенциала, численные расчеты спонтанного 2ВгБ были выполнены также для рассеяния электронов на нейтральных атомах: как в рамках модели потенциального рассеяния [45], так и при учете поляризационного тормозного излучения атомным остовом [46].

Наряду со спонтанным излучением, значительный интерес к многоквантовым тормозным процессам был стимулирован лазерными экспериментами, что позволило наблюдать вынужденные процессы многофотонного тормозного излучения и поглощения в оптической области частот. Первые измерения сечений свободно-свободных переходов в присутствии интенсивной лазерной волны были выполнены в работах [47, 48]. Такого рода эксперименты неоднократно проводились и в дальнейшем для различных атомных мишеней при разных энергиях электронного пучка и геометрии опыта (см., напр., [49] и обзор [50]). Весьма общих результатов в теоретическом описании многофотонных переходов в непрерывном спектре удается достичь в рамках борновского и низкочастотного приближений. В борнов-ском случае сечение йа11 п-фотонного вынужденного излучения (п < 0) и поглощения (п > 0) в лазерном поле с амплитудой .Р, вектором поляризации е и частотой и имеет простой вид (формула Бункина-Фёдорова [51]; см. также [52]): где «1п - функция Бесселя, йсгв ~ борновское сечение упругого рассеяния в отсутствие световой волны, а импульсы р и р'п в начальном и конечном состоянии связаны законом сохранения энергии: (р^2 — р2)/2 = пси. Как показано в [53], в низкочастотном пределе (и —> 0) борновский ряд может быть просуммирован точно, так что даже для медленных электронов при Ни Е сечение йсгп также имеет факторизованный вид (В. 12) с заменой ¿ав на точное сечение упругого рассеяния йа^ в отсутствие светового поля. Отметим, что хотя были предложены различные варианты вывода низкочастотной асимптотики <1ап (см., напр., [54, 55]), вопрос о границах применимости приближения Кролла-Ватсона [53], пренебрегающего воздействием лазерного поля на динамику взаимодействия медленного электрона с атомным потенциалом, до настоящего времени является предметом дискуссий [56, 57, 58]. В [59] выражение для ¿ап получено в приближении, в котором движение электрона описывается классически, а процесс излучения и поглощения - квантовомеханически. Различные варианты обобщения результатов [51, 53] с учетом эффектов сильного лазерного поля см., напр., в обзоре [60], однако точный учет рассеивающего потенциала возможен лишь в рамках теории возмущений по полю волны. В частности, для кулоновского двойного тормозного излучения и поглощения такой расчет полностью аналогичен случаю спонтанного 2ВгБ [37, 38, 39]. Однако при упругом переизлучении фотонов возникает особая ситуация: оба МЭ, определяющие амплитуду перехода, оказываются расходящимися, так что получение конечного результата требует устранения расходимостей [61, 39]. Кроме чисто вынужденных переходов, индуцируемых интенсивным лазерным полем, оно может существенно модифицировать и процесс спонтанного ВгБ. В борновском приближении этот вопрос исследован в [62]. Более детальный учет эффектов атомного (кулоновского) потенциала выполнен в [63, 64]. Укажем также работы [65, 66], в которых рассматривались «комбинированные» двухфотонные тормозные процессы комптоновского типа - поглощение электроном лазерного фотона с последующим спонтанным ВгЭ в поле ядра.

Ввиду трудностей экспериментального измерения поляризационных характеристик спонтанного ВгЭ, в работах по спонтанным тормозным процессам анализируется, в основном, энергетическая и угловая зависимость сечений. Напротив, в случае вынужденных процессов возможность контролируемого изменения лазерной поляризации открывает новые возможности в исследовании свободно-свободных переходов, что делает актуальным анализ поляризационных эффектов в тормозных процессах. Обобщение результатов Кролла-Ватсона [53] на случай эллиптической поляризации лазерного излучения обсуждается в [57, 67]. В работах [68, 69] показано существенное различие сечений одно- и двухфотонного рассеяния для случаев линейной и циркулярной лазерной поляризации при рассеянии электронов на атомах водорода [68] и гелия [69]. Однако наиболее ярким поляризационным эффектом является эффект дихроизма, состоящий в различии сечений при изменении знака степени циркулярной поляризации фотонов. В [30] установлено, что дифференциальное сечение однофотонного ВгБ при рассеянии электрона на ядре существенно различается для фотонов с правой и левой циркулярной поляризацией (циркулярный дихроизм, СБ). Общий анализ СБ в тормозном излучении при рассеянии электрона на атоме с ненулевым угловым моментом выполнен в [70]. Поляризационная зависимость поправок к упругому кулоновскому рассеянию, обусловленных влиянием световой волны, исследована в [39, 61]. Эффект СБ оказывается чувствительным к энергии электрона и частоте фотона и исчезает как в борновском, так и в низкочастотном пределах, а также при малых углах рассеяния. Вне указанных областей СБ имеет заметную величину и вполне доступен экспериментально. Укажем, что СБ в фотопроцессах с неполяри-зованными атомными мишенями является существенно квантовым, интерференционным эффектом и, в частности, отсутствует при классическом анализе ВгЭ в сильном лазерном поле [71]; в то же время численный квантовый расчёт однофотонного кулоновского ВгЭ вне рамок теории возмущений по лазерному полю [72] указывает на значительный СБ. В работах [73] рассмотрено рассеяние электрона на атоме водорода в присутствии двух полей, с линейной и циркулярной поляризациями. При наличии двух полей возникновение дихроичных эффектов достаточно очевидно и в этом случае при определенной геометрии полей СБ отличен от нуля и для быстрых (борновских) электронов, а также в полном сечении рассеяния.

Как уже отмечалось, для корректного описания поляризационных эффектов первое борновское приближение недостаточно и необходим более точный учёт взаимодействия электрона с мишенью, что для процессов с двумя и более фотонами представляет значительные трудности уже в рамках теории возмущений по взаимодействию электрона с излучением. Ввиду наличия в задаче нескольких векторных параметров, в первую очередь представляет интерес выделение динамических (зависящих от энергий и структуры потенциала) и кинематических (зависящих от поляризации фотонов и геометрии задачи) факторов в общих выражениях для сечений.

Глава 3 посвящена рассмотрению свободно-свободных двухфотонных переходов. В разделе 3.1.1 выполнен парциально-волновой анализ сечений двухфотонных свободно-свободных переходов, применимый как для потенциального рассеяния в поле и (г), так и на атоме с ненулевым угловым моментом. Общие результаты проиллюстрированы аналитическими и численными расчетами для рассеяния на кулоновском потенциале. В разделе 3.1 проведено максимально возможное аналитическое упрощение амплитуды двухфотонных дипольных переходов для случая центрального потенциала и (г), обобщающее результаты (В.9, В.10) для однофотонного ВгБ. В отличие от двучленного выражения (В.9), двухфотонная амплитуда для общего случая различных фотонов записывается в виде суммы пяти произведений инвариантных (не зависящих от поляризации фотонов) атомных параметров и скалярных произведений векторов поляризации фотонов и начального и конечного импульсов электрона. Аналогично (В. 10), параметры представлены в виде ряда из произведений радиальных МЭ второго порядка, М^1±1, между состояниями континуума с фиксированными значениями орбитальных моментов I и V и полиномов Лежандра от угла рассеяния в. Такая форма представления амплитуды позволяет получить явные выражения для атомных параметров, описывающих дихроичные поляризационные явления, зависящие от знака спиральности фотонов (раздел 3.1.3), и, в частности, показать, что при вынужденных двухфотонных процессах наряду с СБ возникает новый дихроичный эффект - эллиптический дихроизм (ЕБ), исчезающий в случае чисто циркулярной поляризации лазерного поля. Проанализированы оптимальные условия для наблюдения CD и ED. (Общие результаты для сечения 2BrS на атоме с ненулевым полным угловым моментом j в форме с разделенными динамическими и кинематическими частями приведены в Приложении III). В разделе 3.1 рассмотрены упругие двухфотонные переходы и показано, что сингулярности, возникающие в М^ при сближении энергий конечного и начального состояний Е' —> Е, компенсируются при вычислении инвариантных параметров Qf, для которых получены явные аналитические выражения. В разделе 3.2 (см. также Приложение IV) получены замкнутые аналитические выражения для кулоновских МЭ Мщ в виде суммы МЭ d^i^E', Е) обычного BrS и однократного интеграла от функции 2-Р1. В разделах 3.3 и 3.4 исследованы предельные области малых и больших частот фотонов и найдены простые асимптотики амплитуд неупругого (разд. 3.3) и упругого (разд. 3.4) рассеяния для центрального поля U(r). Частотная и энергетическая зависимость кулоновских радиальных МЭ, а также точность приближенных методов расчета обсуждаются в разделе 3.5.1. В разделе 3.5.2 приведены результаты для угловых распределений и поляризационной зависимости процессов вынужденного двухфотонного излучения и поглощения и сравнение численной величины сечений одно- и двухфотонных тормозных переходов.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей работе:

1. Исследованы общие свойства (разложение на резонансную и потенциальную части, переход к импульсному представлению) обобщенного штур-мовского разложения кулоновской функции Грина с двумя свободными параметрами и на его основе развита техника расчетов амплитуд двухфо-тонных переходов в кулоновском поле.

2. Получены замкнутые аналитические выражения (в записи через гипергеометрические функции) для амплитуд связанно-связанных и связанно-свободных двухфотонных переходов в атоме водорода из произвольного начального состояния \п1), обобщающие известные (однофотонные) формулы Гордона.

3. Найдены явные выражения для компонент тензора динамической поляризуемости ап1т(и) состояний с произвольным п через функцию 2-^1 специального вида, зависящую лишь от I и и = Нш/\Еп\, и полиномы /пг(сй) частоты й.

4. Найдены простые аналитические асимптотики для параметров, описывающих динамический эффект Штарка в ридберговской, припороговой и низкочастотной области.

5. Выделена поляризационно-угловая зависимость в амплитуде двухфо-тонного рассеяния на произвольном центральном потенциале и (г) и найдены явные выражения для инвариантных динамических параметров.

6. Получены замкнутые выражения для кулоновских парциальных амплитуд двухфотонных переходов в непрерывном спектре, найдены их асимптотики и аналитически устранены сингулярности, возникающие при упругом рассеянии.

7. Выполнен количественный расчет эффектов дихроизма в двойном тормозном излучении и поглощении.

Автор выражает глубокую благодарность Н.Л. Манакову за руководство работой, С.И. Мармо — за полезное обсуждение и ценные замечания.

1. Gordon W. // Ann. Phys. (Leipzig) - 1929. - V. 2. - P. 1031.

2. Бете Г. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами / Г. Бете, Э. Солпитер Москва: Физматгиз - 1960. - 562 с.

3. Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский Москва: Наука, 1980. - 720 с.

4. Mittleman М.Н. Coherent scattering of photons by atomic hydrogen /М.Н. Mittleman, F. Wolfe// Phys. Rev. 1962. - V. 128. - P. 26862687.

5. Gavrila M. Elastic scattering of photons by a hydrogen atom / M. Gavrila // Phys. Rev. 1967. - V. 163. - P. 147-156.

6. Vetchinkin S.I. The Coulomb-Green's function calculation of the second-order interaction of a hydrogen atom with the radiation field / S.I. Vetchinkin, S.V. Khristenko // Chem. Phys. Lett. 1967. - V. 1. - P. 437-440.

7. Христенко С.В. Применение кулоновской функции Грина к расчету взаимодействия атома водорода с полем световой волны во втором порядке теории возмущений / С.В. Христенко, С.И. Ветчинкин // Опт. и спектр. 1968. - Т. 25. - С. 650-657.

8. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи: В 3 т: пер с англ Н.Я. Виленкина. М.: Наука. — Т.1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. - 1973. - 294 с.

9. Зон Б.А. Двухфотонные связанно-связанные переходы в кулоновском поле / Б.А. Зон, H.JI. Манаков, Л.П. Рапопорт // ЖЭТФ 1968. - Т. 55. - С. 924.

10. Gavrila М. Rayleigh scattering from n=2 states of atomic hydrogen / M. Gavrila // Z. Phys. A 1979. - V. 293. - P. 269-279.

11. Florescu V. Two-photon emissionn in the 3s->ls and 3d->ls transitions of hydrogenlike atoms /V. Florescu // Phys. Rev. A 1984. - V. 30. - P. 2441-2448.

12. Maquet A. Use of the Coulomb Green's function in atomic calculations /А. Maquet // Phys. Rev. A 1977. - V. 15. - P. 1088-1108.

13. Преображенский M.A. Точные нерелятивистские выражения тензора рассеяния света атомами /М.А. Преображенский // ЖЭТФ 1997. -Т. 111.-С. 816-831.

14. Broad J.Т. Calculation of two-photon processes in hydrogen with an L2 basis /J.T. Broad // Phys. Rev. A 1985. - V. 31. - P. 1494-1514.

15. Yahontov V. Light-shift calculation in the ns-states of hydrodgenic systems / V. Yahontov, K. Jungmann // Z. Phys. 1996. - V. D 38. - P. 141-152.

16. Krylovetsky A.A. Quadratic Stark effect and dipole dynamic polarizabilities of hydrogen-like levels / A.A. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Laser Physics. 1997. - V. 7, №3. - P.781-794.

17. Costescu A. Simpler formulae for the two-photon transitions in hydrogenic atoms /А. Costescu, I. Brandus, N. Mezincescu // J. Phys. В 1985. -V. 18. - P. L11-L16.

18. Florescu V. Systematic study of ls-ns and ls-nd two-photon transitions of hydrogenlike atoms /V. Florescu, S. Patrascu, O. Stoican // Phys. Rev. A -1987. V. 36. - P. 2155-2166.

19. Karule E. On the evaluation of transition matrix elements for multiphoton processes in atomic hydrogen /Е. Karule //J. Phys. В 1971. - V. 4. -P. L67.

20. Marian T.A. Bound-bound two-photon transition matrix elements for the hydrogen atom in the dipole approximation / T.A. Marian // Phys. Rev. A 1989. - V. 39. - P. 3816-3824.

21. Игнатьев А.И. Двухфотонные процессы в кулоновском поле в диполь-ном приближении / А.И. Игнатьев // ЖЭТФ 1976. - Т. 70. - С. 484-492.

22. Gazeau J.P. Four Euclidean conformal group in atomic calculations: Exact analytical expressions for the bound-bound two-photon transition matrix elements in the H atom / J.P. Gazeau // J. Math. Phys. 1978. - V. 19. - P. 1041-1048.

23. Рапопорт Jl.П. Двухфотонная ионизация атома водорода / Л.П. Рапопорт, Б.А. Зон, Н.Л. Манаков // ЖЭТФ 1969. - Т. 56. - С. 400.

24. Klarsfeld S. Two-photon ionization of atomic hydrogen in the ground state // Lett. Nuovo Cim. 1970. - V. 3. - P. 395-398.

25. Горшков В.Г. Рассеяние рентгеновских лучей на атоме водорода /В.Г. Горшков, B.C. Поликанов // Письма ЖЭТФ 1969. - Т. 9. - С. 464468.

26. Gavrila М. Compton scattering of photons by bound K-shell electrons / M. Gavrila // Lett. Nuovo Cim. 1969. - V. 2. - P. 180-184.

27. Gavrila M. Compton Scattering by K-Shell Electrons. II. Nonrelativistic Dipole Approximation / M. Gavrila // Phys. Rev. A 1972. - V. 6. - P. 1360-1367.

28. Karule E. Two-photon ionisation of atomic hydrogen simultaneously with one-photon ionisation / E. Karule //J. Phys. В 1978. - V. 11. - P. 441-448.

29. Karule E. Transformed Coulomb Green function Sturmian expansion / E. Karule, R.H. Pratt // J. Phys. В 1991. - V. 24. - P. 1585-1592.

30. Klarsfeld S. Pade approximants and multiphonon ionisation of atomic hydrogen /S. Klarsfeld, A. Maquet // J. Phys. В 1979. - V. 12. - P. L553-L556.

31. Klarsfeld S. Analytic continuation of sturmian expansions for two-photon ionization /S. Klarsfeld, A. Maquet // Phys. Lett. A 1979. - V. 73. - P. 100-102.

32. Klarsfeld S. Pade-sturmian approach to multiphoton ionization in hydrogenlike atoms /S. Klarsfeld, A. Maquet // Phys. Lett. A 1980.- V. 78. P. 40-42.

33. Fainshtein A.G. Use of Coulomb Green function for the calculation of above-threshold multiphoton transitions / A.G. Fainshtein, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Phys. Lett. A 1984. - V. 104. - P. 347-350.

34. Heller E.J. Theory of J-matrix Green's functions with applications to atomic polarizability and phase-shift error bounds /E.J. Heller // Phys. Rev. A 1975. - V. 12. - P. 1222-1231.

35. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры /А. Зоммерфельд: В 2 т: пер. с нем. А.Н. Матвеева и Б.В. Медведева; Под ред. Я.А. Смородин-ского. М.: Гостехиздат. - Т. 2. - 1956. - 694 с.

36. Manakov N.L. Circular dichroism in laser-assisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // Phys. Lett. A 1995. - V. 27. - P. 42-48.

37. Manakov N.L. Photon polarization effects in bremsstrahlung and laserassisted electron-atom scattering / N.L. Manakov, S.I. Marmo, V.V. Volovich // J. Electr. Spectr. and Rel. Phen. 1996. - V. 79. - P. 327-330.

38. Biedenharn L.C. A Note on Sommerfeld's Bremsstrahlung Formula / L.C. Biedenharn // Phys. Rev. 1956. - V. 102. - P. 262-263.

39. Heitler W. / W. Heitler, L. Nordheim // Physica 1934. - V. 1. - P. 1059.

40. Altman J.C. Double atomic-field bremsstrahlung /J.C. Altman, C.A. Quarles // Phys. Rev. A 1985. - V. 31. - P. 2744-2746.

41. Hippler R. Two-photon bremsstrahlung of free atoms / R. Hippler // Phys. Rev. Lett. -1991. V. 66. - P. 2197-2199.

42. Смирнов А.И. Двойное тормозное излучение / А.И. Смирнов // Яд. физика 1977. - Т. 25. - С. 1030-1035.

43. Gavrila М. Two-photon free-free transitions in a Coulomb potential /М. Gavrila, A. Maquet, V. Veniard // Phys. Rev. A 1985. - V. 32. - P. 2537-2540.

44. Манаков H.JI. Резерфордовское рассеяние в присутствии монохроматической световой волны / Н.Л. Манаков, С.И. Мармо, А.Г. Файн-штейн // ЖЭТФ 1995. - Т. 108. - С. 1569-1588.

45. Korol A.V. Methods of the approximate treatment of the two-photon bremsstrahlung in point Coulomb field /A.V. Korol //J. Phys. В 1995. - V. 28. - P. 3873-3889.

46. Korol A.V. Method of approximate treatment of the non-relativistic nondipole two-photon bremsstrahlung in a central field /A.V. Korol //J. Phys. В 1996. - V. 29. - P. 3257-3277.

47. Fedorova T.A. Method of approximate treatment of the relativistic compound free-free matrix elements /Т.А. Fedorova, A.V. Korol, I.A. Solovjev // J. Phys. В 2000. - V. 33. - P. 5007-5025.

48. Korol A.V. Non-relativistic non-dipole two-photon bremsstrahlung in a Coulomb field /A.V. Korol// J. Phys. В 1997. - V. 30. - P. 413.

49. Dondera M. Nonrelativistic two-photon electron bremsstrahlung in a , Coulomb field, including retardation /М. Dondera, V. Florescu // Phys.

50. Rev. A 1998. - V. 58. - P. 2016-2022.

51. Korol A.V. Calculation of the parameters of the "ordinary" two-photon bremsstrahlung for a 8.82 keV electron on He, Ne, Ar, Kr and Xe /A.V. Korol// J. Phys. В 1994. - V. 27. - P. 155-175.

52. Kracke G. Two-photon bremsstrahlung in electron collisions with noble gas atoms /G. Kracke, G. Alber, J.S. Briggs // J. Phys. В 1993. - V. 26. - P. L561-L566.

53. Two-photon free-free transitions in laser-assisted electron-hydrogen scattering /G. Kracke, J.S. Briggs, A. Dubois, A. Maquet, V. Veniard // J. Phys. В 1994. - V. 27. - P. 3241-3257.

54. Andrick D. Measurement of free-free transitions in e~ — Ar scattering /D. Andrick, L. Langhaus // J. Phys. В 1976. - V. 9. - P. L459-L462.k

55. Direct observation of multiphoton processes in laser-induced free-free transitions /А. Weingartshofer, J.K. Holmes, G. Caudle, E.M. Clarke, H. Kruger// Phys. Rev. Lett. 1977. - V. 39. - P. 269-270.

56. Wallbank B. Differential cross sections for laser-assisted elastic electron scattering from argon /В. Wallbank, J.K. Holmes// J. Phys. В 1994. -V. 27. - P. 5405-5418.

57. Wallbank B. Low-energy electron helium scattering in a C02 laser field /В. Wallbank, J.K. Holmes// J. Phys. В - 1996. - V. 29. - P. 5881.

58. Mason N.J. Laser-assisted electron-atom collisions / N.J. Mason // Rep. Progr. Phys. 1993. - V. 56. - P. 1275-1346.

59. Бункин Ф.В. Тормозной эффект в сильном поле излучения /Ф.В. Бун-кин, М.В. Федоров // ЖЭТФ -1965. Т. 49. - С. 1215-1221.

60. Бункин Ф.В. Взаимодействие интенсивного оптического излучения со свободными электронами / Ф.В. Бункин, А.Е. Казаков, М.В. Федоров // УФН 1972. - Т. 107. - С. 559-593.

61. Kroll N.M. Charged-particle scattering in the presence of a strong electromagnetic wave /N.M. Kroll, K.M. Watson // Phys. Rev. A 1973. - V. 8. - P. 804-809.

62. Mittleman M.H. Potential scattering of charged particles in the field of a low-frequency laser /М.Н. Mittleman // Phys. Rev. A 1979. - V. 19. -P. 134-138.

63. Rosenberg L. Intermediate-and strong-coupling approximations for scattering in a laser field / L. Rosenberg // Phys. Rev. A 1981. - V. 23.- P. 2283-2292.

64. Geltman S. Laser-assisted collisions: The Kroll-Watson formula and bremsstrahlung theory / S. Geltman // Phys. Rev. A 1996. - V. 53. P. 3473-3483.

65. Geltman S. Low-energy laser-assisted electron-helium collisions / S. Geltman // Phys. Rev. A 1997. - V. 55. P. 3755-3759.

66. Madsen L.B. A simple test of theories of laser-assisted electron-atom scattering / L.B. Madsen, K. Taulbjerg // J. Phys. В 1998. - V. 31.- P. 4701-4716.

67. Kylstra N.J. Laser-assisted, low-energy electron-potential scattering in a C02 laser field / N.J. Kylstra, C.J. Joachain // Phys. Rev. A 1998. -V. 58. - P. R26-R29.

68. Kylstra N.J. Low-energy electron-He scattering in a low-frequency laser field / N.J. Kylstra, C.J. Joachain // Phys. Rev. A 1999. - V. 60. - P. 2255-2268.

69. Берсон И.Я. Полуклассическое приближение для вынужденного тормозного излучения / И.Я. Берсон // ЖЭТФ 1981. - Т. 80. - С.1727-1736.

70. Ehlotzky F. Electron-atom collisions in a laser field / F. Ehlotzky, A. Jaron, J.Z. Kaminski // Phys. Rep. 1998. - V. 297. - P. 63-153.

71. Fainshtein A.G. Light-induced radiative corrections to the Rutherford formula for Coulomb scattering / A.G. Fainshtein, N.L. Manakov, S.I. Marmo // Phys. Lett. A 1994. - V. 195. - P. 358-361.

72. Карапетян P.B. Спонтанное тормозное излучение электрона в поле интенсивной электромагнитной волны /Р.В. Карапетян, М.В. Федоров // ЖЭТФ 1978. - Т. 75. - С. 816-826.

73. Daniele R. /R. Daniele, Е. Fiordilino // Nuovo Cim. D 1996. - V. 18. -P. 547.

74. Florescu A. Laser-modified electron bremsstrahlung in a Coulomb field / A. Florescu, V. Florescu // Phys. Rev. A 2000. - V. 61. - P. 033406.

75. Крайнов В.П. Тормозное излучение медленного электрона на куло-новском центре во внешнем электромагнитном поле /В.П. Крайнов, С.П. Рощупкин // ЖЭТФ 1983. - Т. 84. - С. 1302-1309.

76. Florescu A. Inelastic electron scattering from a Coulomb potential in a laser field / A. Florescu, V. Florescu // Phys. Lett. A 1997. - V. 226. -P. 280-288.

77. Mittleman M.H. Inelastic electron-atom scattering in the presence of an elliptically polarized low-frequency laser field / M.H. Mittleman // J. Phys. В 1993. - V. 26. - P. 2709-2717.

78. Fainstein P.D. Polarization dependence of laser-assisted electron-atom elastic collisions / P.D. Fainstein, A. Maquet //J. Phys. В 1994. -V. 27. - P. 5563-5571.

79. Light polarization effects in laser-assisted elastic electron-helium collisions: « a Sturmian approach / D. Khalil, O.E. Akramine, A. Makhoute, A.

80. Manakov N.L. A new technique in the theory of angular distributions in atomic processes: the angular distribution of photoelectrons in single and double photoionization /N.L. Manakov, S.I. Marmo, A.V. Meremianin// J. Phys. В 1996. - V. 29. - P. 2711.

81. Балакин А.А. Тормозное излучение в сильном лазерном поле / А.А. Балакин, Г.М. Фрайман // ЖЭТФ 2001. - Т. 120. - С. 797-810.

82. Рапопорт Л.П. Резонансы и дихроизм при рассеянии электрона в интенсивном лазерном поле на кулоновском потенциале /Л.П. Рапопорт, А.С. Корнев // ЖЭТФ 1999. - Т. 116. - С. 1241-1250.

83. Rapoport L.P. Threshold effects and dichroism in scattering of an electronin intense laser field on a Coulomb potential / L.P. Rapoport, A.S. Kornev // J. Phys. В 2000. - V. 33. - P. 87-93.

84. Cionga A. Circular dichroism in free-free transitions of high-energy electron-atom scattering /А. Cionga, F. Ehlotzky G. Zloh // Phys. Rev. A 2000. - V.62. - P. 063406.

85. Cionga A. Circular dichroism in differential and integrated cross sections of free-free transitions in high-energy electron-atom scattering /А. Cionga, F. Ehlotzky G. Zloh // J. Phys. В 2000. - V. 33. - P. 4939-4956.

86. Generalized Sturmian expansions of Coulomb Green's functions and two-photon Gordon formula / N.L. Manakov, A. Maquet, S.I. Marmo, C. Szymanowski // Phys. Lett. A 1998. - V. 237. - P. 234-239.

87. Запрягаев С.А. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами / С.А. Запрягаев, H.JI. Манаков, В.Г. Пальчиков Моска: Энергоатомиздат, 1985. - 142 с.

88. Manakov N.L. Atoms in a laser-field / N.L. Manakov, V.D. Ovsiannikov, L.P. Rapoport // Phys. Rep. 1986. - V. 141. - P. 319-433.

89. Maquet A. The Coulomb Green's function and multiphoton calculations /А. Maquet, V. Véniard, T. A. Marian // J. Phys. В 1998. - V. 31. -P. 3743-3764.

90. Hostler L. Coulomb Green function in f-dimensional space / L. Hostler // J. Math. Phys. 1970. - V. 11. - P. 2966.

91. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи: В 3 т: пер с англ Н.Я. Виленкина. М.: Наука. — Т.2: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. - 1974. - 295 с.

92. Манаков H.JI. Аналитическое продолжение кулоновских функций Грина в область непрерывного спектра / H.JI. Манаков, С.И. Мар-мо, А.Г. Файнштейн // ТМФ 1984. - Т. 59. - С. 49-57.

93. Arnous E. Stimulated radiative corrections in hydrogen in the presence of a strong laser field /Е. Arnous, J. Bastian, A. Maquet // Phys. Rev. A -1983.- V. 27. P. 977-995.

94. Зон Б.А. / Б.А. Зон, H.JI. Манаков, Л.П. Рапопорт // Яд. физ. 1972. ' - Т. 15. - С. 282.

95. Manakov N.L. Sturmian expansions of the relativistic Coulomb Green function / N.L. Manakov, L.P. Rapoport, S. A. Zapryagaev // Phys. Lett. ,f A 1973. - V. 43. - P. 139-140.

96. Schwinger J. Coulomb Green's function /J. Schwinger// J. Math. Phys. -1964. V. 5. - P. 1606-1608.

97. Hostler L.C. //J. Math. Phys. 1964. - V. 5. - P. 1235.

98. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи: В 3 т: пер с англ Н.Я. Виленкина. М.: Наука. — Т.З: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. - 1974. -299 с.

99. Рарр R. Bound and resonant states in Coulomb-like potentials /R. Papp// J. Phys. A 1987. - V. 20. - P. 153-162.

100. Пресняков Л.П. Возбуждение многозарядных ионов электронным ударом. / Л.П. Пресняков, A.M. Урнов // ЖЭТФ 1975. - Т. 68. - С. 61-68.

101. Greene С. General form of the quantum-defect theory /С. Greene, U. Fano, G. Strinati // Phys. Rev. A 1979. - V. 19. - P. 1485-1509.

102. Chernov V.E. Exact analytic relation between quantum defects and ^ * scattering phases with applications to Green's functions in quantum defecttheory / V.E. Chernov, N.L. Manakov, A.F. Starace // Eur. Phys. Journ. D 2000. - V. 8. - P. 347-359.

103. Dorman C. Measurement of high conversion efficiency to 123.6-nm radiation in a four-wave-mixing scheme enhanced by electromagnetically induced transparency /С. Dorman, I. Kucukkara, J.P. Marangos// Phys. Rev. A 2000. - V. 61. - P. 013802.

104. Zhang G.Z. Nonlinear generation of extreme-ultraviolet radiation in atomic hydrogen using electromagnetically induced transparency /G.Z. Zhang, D.W. Tokaryk, B.P. Stoicheff// Phys. Rev. A 1997. - V. 56. -P. 813-819.

105. Elliptic dichroism and angular distribution of electrons in two-photon ionization of atoms /N.L. Manakov, A. Maquet, S.I. Marmo, V. V^niard, G. Ferrante // J. Phys. В 1999. - V. 32. - P. 3747-3768.

106. Зон Б.А. Спектр водородоподобного атома в поле лазерного излучения / Б.А. Зон, H.JI. Манаков, Л.П. Рапопорт / Опт. и спектр. 1975. -Т. 38. - С. 13.

107. Варшалович Д.А. Квантовая теория углового момента / Д.А. Варша-лович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский Ленинград: Наука, 1975 -450 с.

108. Манаков Н.Л. Динамическая поляризуемость и рассеяние высокочастотного излучения водородоподобными атомами / Н.Л. Манаков, В.А. Свиридов, А.Г. Файнштейн // ЖЭТФ -1989. Т. 95. - С. 790-799.

109. Гавриленко В.П. Спектр водородоподобного атома в поле высокочастотного излучения: аналитическое решение / В.П. Гавриленко // ЖЭТФ 1986. - Т. 90. - С. 857-865.

110. Beigman I.L. On dynamic polarizability of Rydberg states averaged over the angular quantum numbers /I.L. Beigman, L.A. Bureeva, R.H. Pratt// J. Phys. В 1994. - V. 27. - P. 5833-5840.

111. Христенко С.В. Дипольная динамическая поляризуемость атома водорода / С.В. Христенко, С.И. Ветчинкин // Опт. и спектр. 1969.Т. 26. - С. 310-313.

112. Delone N.B. Quasiclassical dipole matrix elements for atomic continuum states /N.B. Delone, S.P. Goreslavsky, V.P. Krainov// J. Phys. В 1989.- V. 22. P. 2941-2945.

113. Davydkin V.A. Oscillator strenghts, polarizabilities, and hyperpolarizabi-lities of Rydberg states / V.A. Davydkin, V.D. Ovsiannikov, B.A. Zon // Laser Phys. 1993. - V. 3. - P. 449-461.

114. Манаков H.JI. Теория возмущений для квазиэнергетического спектра атомов в интенсивном монохроматическом поле / H.JT. Манаков, В.Д. Овсянников, Л.П. Рапопорт // ЖЭТФ 1976. - V. 70. - Р. 1697-1712.

115. Переломов A.M. Группа Лоренца как группа динамической симметрии атома водорода / A.M. Переломов, B.C. Попов // ЖЭТФ 1966.- Т. 50. С. 179-198.

116. Фирсова Н.Е. О некоторых свойствах обощенных спектральных задач, связанных с уравнением Шредингера. /Н.Е. Фирсова, А.И. Шерстюк // ТМФ 1989. - Т. 81. - С. 59-68.

117. Szmytkowski R. The continuum Schrodinger-Coulomb and Dirac-Coulomb Sturmian functions JR. Szmytkowski// J. Phys. A 1998. - V. 31. - P. 4963-4990, 7415.

118. Шерстюк А.И. Спектральные разложения функций Грина в непрерывном спектре по функциям штурмовского типа / А.И. Шерстюк // Опт. и спектр. 1999. - Т. 87. - С. 765-773.

119. Moiseyev N. Quantum theory of resonances: calculating energies, widths and cross-sections by complex scaling / N. Moiseyev // Phys. Rep. 1998.- V. 302. P. 212-293.

120. Yamani H.A. L2 discretizations of the continuum: Radial kinetic energy and Coulomb Hamiltonian /Н.А. Yamani, W.P. Reinchardt// Phys. Rev. A 1975. - V. 11. - P. 1144-1156.

121. Maquet A. Stark ionization in dc and ac fields: An L2 complex-coordinate approach /А. Maquet, S.I. Chu, W.P. Reinhardt// Phys. Rev. A 1983.- V. 27. P. 2946-2970.

122. R.M. Potvliege, R. Shakeshaft, in Atoms in Intense Laser Fields, ed. by M. Gavrila, Academic Press, New York (1992), p. 373.

123. Gersbacher R. Resonances in helium photoionisation /R. Gersbacher, J.T. Broad // J. Phys. В 1990. - V. 23. - P. 365-384.

124. Dube L.J. Sturmian discretisation. II. The off-shell Coulomb wavefunction /L.J. Dub£, J.T. Broad// J. Phys. В 1990. - V. 23. - P. 1711-1732.

125. Manakov N.L. Invariant representations of finite rotation matrices and some applications /N.L. Manakov, A.V. Meremianin, A.F. Starace // Phys. Rev. A 1998. - V. 57. - P. 3233-3244.

126. Briggs J.S. Differential cross sections for photo-double-ionization of the helium atom /J.S. Briggs, V. Schmidt // J. Phys. В 2000. - V. 33. - P. R1-R48.

127. Манаков H.JI. Поляризационно-угловая структура и эллиптический дихроизм сечений трехфотонных связанно-связанных переходов в атомах / Н.Л. Манаков, А.В. Меремьянин // ЖЭТФ 1997. - Т. 112. -С. 1984-2000.

128. Ландау Л.Д. Квантовая механика /Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц -Москва: Наука, 1974. 767 с.

129. Biedenharn L.C. Quantum Calculation of Coulomb Excitation. I /L.C. Biedenharn, J.L. McHale, R.M. Thaler // Phys. Rev. 1955. - V. 100. -P. 376-393.

130. Эффекты высших порядков теории возмущений для сдвига и ширины атомных уровней в световом поле / H.JI. Манаков, М.А. Преображенский, Л.П. Рапопорт, А.Г. Файнштейн// ЖЭТФ 1978. - Т. 75. - С. 1243-1260.

131. Sil N.C. Integrals involving products of Coulomb functions and inverse powers of the radial coordinate /N.C. Sil, М.А. Crees, M.J. Seaton // J. Phys. В 1984. - V. 17. P. 1-20.

132. Chang C. Mixed-gauge representation of the matter-radiation interaction: application to free-free two-photon transitions /C. Chang, E.J. Robinson // J. Phys. В 1987. - V. 20. - P. 963-970.

133. Madajczyk J.L. Singular part of the hydrogen dipole matrix element / J.L. Madajczyk, M. Trippenbach // J. Phys. A 1989. - V. 22. - P. 2369.

134. Veniard V. Continuum-continuum dipole transitions in femtosecond-laser-pulse excitation of atomic hydrogen / V. Veniard, B. Piraux// Phys. Rev. A 1990. - V. 41. - P. 4019-4034.

135. Effects on observables of the singularity in the multiphoton free free dipole matrix elements /Т. Mercouris, Y. Komninos, S. Dionissopoulou, C.A. Nicolaides // J. Phys. В - 1996. - V. 29. - P. L13.

136. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик Москва: Наука, 1971. - 1100 с.

137. Крайнов В.П. Излучательные процессы в атомной физике / В.П. Крайнов, Б.М. Смирнов Москва: Высшая школа, 1983.

138. Gavrila М. Free-free transitions in intense high-frequency laser fields /М. Gavrila, J.Z. Kamiñski // Phys. Rev. Lett. 1984. - V. 52. - P. 613.

139. Popov A.M. Strong-field atomic stabilization: numerical simulation and analytical modelling /A.M. Popov, O.V. Tikhonova, E.A. Volkova // J. Phys. В 2003. - V. 36. - P. R125-R165.

140. Волкова E.A. Стабилизация циркулярных состояний атома водорода в сильном поле /Е.А. Волкова, A.M. Попов, О.В. Тихонова // ЖЭТФ 1999. - Т.116. - С. 1929-1940.

141. Oh S.D. Positiveness and monotonicity of continuum-continuum Coulomb dipole matrix elements /S.D. Oh, R.H. Pratt // Phys. Rev. A 1992. -V. 45. - P. 1583-1586.

142. Shaffer C.D. Zeros in (inverse) bremsstrahlung matrix elements /C.D. Shaffer, R.H. Pratt, S.D. Oh // Phys. Rev. A 1998. - V. 57. - P. 227-234.

143. Deng Z. Effect of Coherent Continuum-Continuum Relaxation and Saturation in Multiphoton Ionization /Z. Deng, J.H. Eberly // Phys. Rev. Lett. 1984. - V. 53. - P. 1810-1813.(1985).

144. Semiclassical matrix elements, essential-states models and perturbation theory of above-threshold ionisation /М. Trippenbach, K. Rzazewski, M.V. Fedorov, A.E. Kazakov// J. Phys. В 1989. - V. 22. - P. 11931206.

145. Tikhonova O.V. Continuum-interference mechanism of strong-field atomic stabilization /O.V. Tikhonova, A.M. Popov, M.V. Fedorov// Phys. Rev. A 2002. - V. 65. - P. 053404.

146. Chiral electron pairs from double photoionization /J. Berakdar, H. Klar, A. Huetz, P. Selles// J. Phys. В 1993. - V. 26. - P. 1463-1478.

147. Hostler L. Coulomb Green function and the Furry approximation / L. Hostler // J. Math.Phys. 1964. - V. 5. - P. 591-611.