Экспоненциальные и ограниченные решения линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

БАРСУКОВА ВИКТОРИЯ ЮРЬЕВНА^^^

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ И ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ЯДРАМИ

01.01.01-математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-наг Дону - 2005

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Пуляев Василий Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Пасенчук Александр Эдуардович,

Ведущая организация: Воронежский государственный

университет

50 мин. на заседании диссертационного совета К 212.208.06 при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «¿А » августа 2005 г.

кандидат физико-математических наук, доцент Виноградова Галина Юрьевна

Защита состоится

2005 г. в 16 час.

Ученый секретарь диссертационного совета доцент

В.Д.Кряквин

'/'/(£ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению экспоненциальных и ограниченных решений линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси и полуоси. Интерес к таким уравнениям обусловлен несколькими причинами.

Уравнения с такими ядрами являются естественным обобщением линейных интегральных уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов, и включают в себя последние. Поэтому развитие теории уравнений с периодическими ядрами является логическим продолжением существующей теории интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов.

Кроме того, уравнения с периодическими ядрами часто возникают в приложениях. В частности, такими уравнениями могут быть описаны разнообразные процессы в биологии, медицине и других естественных науках. Причем, с точки зрения приложений, интерес представляют ограниченные решения, а также решения, имеющие на бесконечности определенный рост (например, экспоненциальный).

Наконец, такие уравнения возникают при исследовании свойств решений периодических систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений методом интегральных уравнений.

Интегральные, интегро-дифференциальные уравнения с периодическими ядрами, обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и операторы, порождаемые этими уравнениями, изучались многими авторами. Здесь следует отметить работы Н.В. Азбелева и его учеников, А.Б. Антоневича, А.Г. Баскакова и его учеников, Ю.Г. Борисовича, В.Р. Винокурова, В.Г. Курбатова, В.Ф. Пуляева, П.М. Симонова, Ю.Н. Смолина, З.Б. Цалюка, и других.

Глубокие результаты по теории интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов £ — з, а также их дискретных аналогов были получены в работах Н. Винера и Э. Хопфа, М.Г. Крейна, И.Ц. Гохберга, И.А. Фельдмана, Ф.Д. Га-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА | 3 СПетер&^г/-^

ОЭ П•рШ&Сф \ ----*

хова и Ю.И. Черского, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, И.Б. Си-моненко, З.Б. Цалюка, В.А. Дербенева, В.Б. Дыбина, Я.М. Еру-салимского, B.C. Пилиди и других. Укажем также на работы И.И. Воровича, В.А. Бабешко и их учеников, в которых рассматриваются прикладные аспекты теории сверточных интегральных уравнений в динамических задачах теории упругости.

Цель работы. Основные цели работы состоят в следующем:

- изучить свойства линейных интегральных операторов с периодическими ядрами на оси в пространстве непрерывных функций, имеющих не более чем экспоненциальный рост;

- описать структуру пространства экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения с периодическим ядром на оси;

- получить условия нетеровости линейного неоднородного интегрального уравнения на оси;

- получить условия конечномерности пространства ограниченных решений линейного однородного интегрального уравнения с периодическим ядром на полуоси;

- найти условия однозначной всюду разрешимости линейного неоднородного уравнения на полуоси и получить интегральное представление решения;

- уточнить асимптотическое поведение экспоненциально убывающих при t —> +00 решений линейного однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.

Методы исследования. В работе используются общие методы теории линейных операторов. Принципиальным моментом при изучении интегральных уравнений с периодическими ядрами является использование операторного аналога дискретного преобразования Фурье. Были применены также методы аналитических векторных функций. При исследовании уравнения на полуоси использован аппарат факторизации операторнозначных функций и соответствующих им интегральных операторов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

- найдены условия, при которых пространство экспоненциальных решений однородного интегрального уравнения с периоди-

ческим ядром на оси конечномерно и имеет базис, состоящий из решений типа Флоке;

- для неоднородного уравнения с периодическим ядром на оси указаны условия всюду разрешимости в пространстве функций экспоненциального роста, получено интегральное представление решений;

- исследована нетеровость уравнения в различных случаях роста весовой функции;

- для однородного интегрального уравнения с периодическим ядром на полуоси найдены условия конечномерности пространства ограниченных решений;

- для неоднородного уравнения на полуоси получены необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости, найдено интегральное представление решения; аналогичное интегральное представление решений получено и в случае, когда уравнение не является однозначно всюду разрешимым;

- получена асимптотика имеющих экспоненциальное убывание на бесконечности решений однородного интегрального уравнения с периодическим ядром на полуоси.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Ряд результатов имеет аналоги в теории интегральных уравнений типа свертки.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с периодическими ядрами, а также при изучении математических моделей, описываемых такими уравнениями.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по дифференциальным и интегральным уравнениям проф. Цалюка З.Б. на кафедре дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета и на следующих научных конференциях: на весенних Воронежских математических школах "Понтрягинские чтения X, XIV, XV", Воронеж, 1999, 2003, 2004; на VII Международной научной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование", Ростов-на-Дону, 1999; на Международной

научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения", Воронеж, 2000; на X Международной научной конференции "Математика. Экономика. Образование", Ростов-на-Дону, 2002; на III Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2003", Казань, 2003; на VI Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций и смежные вопросы", Казань, 2003; на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронеж, 2005.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2] - [16]. В работах [4], [5], [8], выполненных совместно с научным руководителем В.Ф. Пуляевым, ему принадлежит постановка задачи. Выбор методов исследования и доказательства принадлежат автору диссертации. В работах [2], [6] В.Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и рекомендации относительно методов исследований.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 103 наименования. Объем работы 125 страниц.

Во введении обосновывается актуальность темы, дается общая характеристика работы и обзор результатов по главам.

Первая глава посвящена изучению структуры пространства непрерывных решений однородного уравнения с периодическим ядром

имеющих не более чем экспоненциальный рост.

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. В нем вводятся пространства функций экспоненциального роста, приводятся условия, при которых оператор, порождаемый правой частью уравнения, действует в указанных пространствах, описываются некоторые свойства этого интегрального оператора.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

оо

(1)

—00

Для произвольных действительных чисел а и ß введем функцию <pßa(t) — exp(aí), при t > 0; 4>ßa{t) = exp(ßt), при t < 0.

Пусть с < d - некоторые фиксированные числа, и определенная в R2 комплекснозначная п х n-матрица K(t, s) удовлетворяет условиям:

А\: Существует такое и) > 0, что K(t + и>, s + ш) = K(t, s) при всех t, s € R.

Ä2". При каждом t 6 R матрица <p~£(s)K(t,s) суммируема по s на R.

оо

При каждом t е Ж lim / \\K(t + h, s) - K(t, s)|j <p~^(a)ds = 0. h-*0 J

—oo

Пусть a,b € (c; d). Через BCn(M.;ipba) обозначим пространство непрерывных функций х : Ж —* Сп, для которых

II®II = SUp[||s(t)||c-¥>fta(0] <

te®

Через Сп[0]ш\ обозначим пространство непрерывных на [0;ш] n-мерных комплекснозначных вектор-функций с нормой

1М1с-[оИ = max, IWOIIc-

1 J te[oH

В этом же параграфе вводится операторный аналог дискретного преобразования Фурье, который в дальнейшем применяется для исследования уравнений с периодическим ядром, и устанавливаются его свойства. Определим операторнозначную функцию

оо

т = £ екр, (2)

р=—оо

где вполне непрерывные операторы Кр : Сп[0] о;] —» Сп[0;о/| определяются равенством:^

Крх = J K(t,s — pui)x(s)ds. о

Условия, которым удовлетворяет ядро K(t, s), обеспечивают равномерную в кольце = {£ € С : ё^ < |£¡ < e^J и абсолютную в кольце Sed = {£ € С : е0"' < |£| < е^} сходимость ряда, определяющего

Подобные задачи (структура пространства решений, нете-ровость, разрешимость) изучались В.Ф. Пуляевым для уравнения с периодическим ядром на оси в пространстве квадратично суммируемых функций экспоненциального роста. Для пространства непрерывных функций экспоненциального роста подход в целом сохраняется, однако специфика пространства потребовала в некоторых случаях привлечения иной техники.

В параграфе 1.2 приводится ряд утверждений, которые в дальнейшем дают возможность описать пространство экспоненциальных решений уравнения (1). Устанавливается, что уравнение (1) эквивалентно некоторому дискретному уравнению типа свертки с операторными коэффициентами в пространстве функциональных последовательностей, к которому затем применяется аналог преобразования Фурье.

Через Сп[0;и>]) обозначим пространство двухсторон-

них последовательностей У — {ур}^=_00, где ур € Сп\0; ш], таких, что

ЦУ!| = вир [|!Ур||еарш] + вир |ЫеЧ < оо р> 0 р<0 -1

Пространства ВСп(М.-,<рьа) и 1а^(ЩСп[0; о/]) изоморфны и соответствующий изоморфизм определяется равенством Фх = {жр(г)}, где р € Ъ, хР(£) = х(Ь + рш), £ € [0;и].

В пространстве 1а1ь{%\Сп[0;ш]) рассмотрим уравнение

оо

жр= ^ кр-тхт + ¡р,реЪ. (3)

ш=—оо

Лемма 1.2.1. Уравнения (1) и (3) эквивалентны, т.е., если ж(£)— решение уравнения (1) из пространства ВСп(М.]<рьа), то Фж - решение уравнения (3), принадлежащее пространству 1а^ъ{Ъ',Сп[0;а>]), и обратно, если {жр} € 1а,ь(ЩСп[0-,ш]) - решение уравнения (3), то х = Ф-1{гер} есть решение уравнения (1) из

Исследование уравнения (1) проводится при помощи введенного преобразования К(£), функций

оо -1

р=0 р——оо

и методов аналитических векторных функций.

Каждое собственное значение Л функции К(£) (т.е. такое комплексное число Л, при котором оператор I — К{А) необратим) и соответствующая ему цепочка присоединенных элементов А = [ao,ai,. • • ,afc] порождают конечномерное пространство Е\, состоящее из определенных на R функций, задаваемых при t € [0; ш) и т = 0, ±1,... равенством

д— т—j—1

xA{t+mш) = A^afc+VC-iy4"1 m(m+l) • ■. (m+j)ak4-i.

j=о КЗ+ Ч-

Лемма 1.2.4. 1. E\ есть конечномерное подпространство пространства ВСп(Ш: у?ьа), каждая функция которого является решением уравнения (1) и имеет вид

xA(t) = e-tJ^(<pQ(t) + t<Pi(t) + - ■ ■ + ¿<Pk(t))>

где <pj(t) - непрерывные и-периодические функции.

8. Пространство Е\ инвариантно относительно оператора сдвига Тшх ~ x(t + ш).

В параграфе 1.3 описывается пространство экспоненциальных решений уравнения (1). Установлено, чю его структура существенным образом зависит от соотношения между коэффициентами весовой функции а и Ь, а также от наличия у К(£) собственных значений в кольце 5аь- Показано, что если а < b и множество собственных значений К(£) в кольце Sai) конечно, то каждое решение уравнения представляет из себя линейную комбинацию решений типа Флоке. Если а < Ь и К(£) не имеет собственных значений в кольце Sab, либо а > Ь, то уравнение имеет в пространстве ВСп(Ш: ¡рьа) только нулевое решение.

Через Е°х обозначим подпространство Е\, состоящее из

функций вида y(t) = е ш ip0(t), где <po(t) - и-периодическая функция.

Теорема 1.3.1. Пусть с < а < b < d, {Ai,...,Ap} - множество всех собственных значений функции К(£), принадлежащих кольцу Sab = {С € С : е0^ < |£| < е0^} , {Ар+1,..., \p+q} ~ множество собственных значений функции К(£), лежащих

«а окружностях |£| = е04", = е6^. Тогда множество решений уравнения (1) в пространстве ВСп(Щу>ьа) совпадает с пространством Е — Е\г ф Е\3 ф... ф Е\р ф Ф... Ф Е\р+Я ■ Если К{£) не имеет собственных чисел в замкнутом кольце Sab, то уравнение (1) имеет в ВСп(М.;<рьа) только нулевое решение.

Теорема 1.3.2. Пусть с < Ъ < а < d. Тогда уравнение (1) имеет в пространстве ВСп(Ж.;(рьа) только нулевое решение.

Уравнение (1) в случае а = Ь сводится к рассмотрению уравнения в пространстве непрерывных ограниченных функций. Теория таких уравнений была построена в работах В.Ф. Пуляева.

В случае пространства BCn(R; <раа) — e~atBCn(R) справедливы следующие результаты.

Теорема 1.3.3. Уравнение (1) имеет в пространстве e~atBCn(R) только нулевое решение тогда и только тогда, когда К{£) не имеет собственных чисел на окружности

141 = е""-

Теорема 1.3.4. Пусть {Ai,...,Ap} - множество всех

собственных чисел функции К(£), лежащих на окружности

= е®4'. Тогда каждое решение уравнения (1) в пространстве

v

e~atBCn(R) имеет вид e~ai J^e^Vjft). где 0 - 9з < 77' Vj(t)~

¿=1

и)-периодические функции.

Во второй главе изучаются вопросы нетеровости и разрешимости уравнения с периодическим ядром

оо

x(t)= J K(t,s)x(s)ds + f{t) (4)

—со

в пространстве функций экспоненциального роста.

В работах В.Ф. Пуляева было показано, что нетеровость этого уравнения в пространствах непрерывных ограниченных функций и функций степенного роста равносильна его однозначной всюду разрешимости.

Изучение уравнения в пространстве функций экспоненциального роста показало, что расширение шкалы роста решений

приводит к пространствам, в которых нетеровость уже не эквивалентна однозначной всюду разрешимости.

В § 2.1 исследуется вопрос всюду разрешимости уравнения (4) в пространстве ВСп(Ш; (рьа) при а < Ь. Как и в теоремах 1.3.1 - 1.3.3, соответствующие условия сформулированы в виде условий на функцию К(£). В случае всюду разрешимости получено интегральное представление решений. Также здесь приводятся необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости уравнения (4) в пространстве ВСп(Ш; <рьа)-

Теорема 2.1.1. Пусть а < Ь и функция К(£) не имеет, собственных чисел на окружностях ¡£| = еш, — е6"'. Тогда уравнение (4) при любой функции / е ВСп(Ш; рьа) имеет решение х 6 ВСп(Ж; <рьа)-

При этом существуют такие и>—периодические матрицы Щ(£, б), ^ = 1,2,3, что одно из решений уравнения имеет вид

оо оо О

Теорема 2.1.2. Для того, чтобы уравнение (4) было однозначно всюду разрешимо в пространстве ВСп(Ш; <рьа)> необходимо и достаточно, чтобы К(£) не имела собственных значений в кольце е™ < < еЧ

В параграфе 2.2 получены необходимые и достаточные условия нетеровости уравнения (4) в пространстве ВСп(К; рьа) при различных соотношениях между а и Ь. Если в случае а < Ь достаточные условия нетеровости непосредственно вытекают из теорем 1.3.1 и 2.1.1, то для а > Ь, в силу специфики рассматриваемого пространства, доказательство достаточности (в отличие от работ В.Ф.Пуляева) потребовало использования техники, основанной на установлении взаимосвязи между уравнением (4) и транспонированным к нему.

Теорема 2.2.1. Пусть с < а < Ь < <£ Для того, чтобы уравнение (4) было нетерово в пространстве £?СП(К; (рьа), необходимо и достаточно, чтобы функция К(£) не имела собственных чисел на окружностях |£| = еа"', |£| = е*™.

Теорема 2.2.2. Пусть с < Ь < а < d. Для того, чтобы уравнение (4) было нетерово в пространстве ВСп(Ж.;<рьа), необходимо и достаточно, чтобы функция К(£) не имела собственных чисел на окружностях = е04", |£| — е6"1.

В случае Ь = а уравнение может быть сведено к уравнению в пространстве ВСп(К). Поэтому уравнение (4) будет нетерово в e~aiBCn(R) тогда и только тогда, когда не имеет соб-

ственных чисел на окружности |£| = е"^. При этом нетеровость уравнения равносильна его однозначной всюду разрешимости.

В третьей главе изучается интегральное уравнение на полуоси с периодическим ядром

оо

x(t) = J K(t, s)x(s)ds + f(t), t> 0 (5)

о

в пространстве ограниченных функций.

Как и в теории линейных интегральных уравнений на полуоси с ядром, зависящим от разности t — s, при исследовании уравнения (5) существенную роль сыграла возможность факторизации операторного преобразования Фурье. Идея факторизации при изучении интегральных уравнений типа свертки и их дискретных аналогов была использована в работах Н. Винера и Э. Хопфа, И.М. Рапопорта, Ф.Д. Гахова, М.Г. Крейна, И.П. Гохберга и других.

В первом параграфе описывается банахова алгебра линейных интегральных операторов с периодическими ядрами, действующих в пространстве ограниченных функций, и отвечающая ей алгебра операторнозначных функций - преобразований Фурье.

Пусть определенная в R2 комплекснозначная пхте - матрица K(t, s) удовлетворяет условиям:

В\. Существует такое и > 0, что K(t + u,s + ш) = K(t,s) при всех t € R\{ku!, k € Z} и почти всех s € R.

#2• При каждом t € M\{fcu>, k € Z} матрица K(t, s) суммируема no s на IL оо

Bz. lim I \\K(t + h,s) — K(t,s)\\ds — О равномерно по

(t t+b€(0,u.)) J^

t € (0;w).

При этом, ряд, определяющий преобразование Фурье будет сходиться равномерно и, вообще говоря, не абсолютно на окружности |£| = 1.

Через J3C"(R+) обозначим банахово пространство ограниченных функций х : К+ —> С", непрерывных всюду на М+, кроме, возможно, точек вида ки, к € Z+, имеющих в этих точках конечные односторонние пределы, с нормой

11*11 = sup |И*)||е>. f6R+\{fcu;,feeZ+}

Использование такого функционального пространства обусловлено следующим. При исследовании уравнения возникает некоторое дискретное уравнение типа свертки в пространстве функциональных последовательностей, координатные функции которых необходимо связывать условием непрерывности в концах отрезка [0;Рассмотренное выше пространство позволяет избежать некоторых технических сложностей, связанных с восстановлением решения уравнения (5) по решению соответствующего дискретного уравнения. Следует отметить, что если K(t, s) удовлетворяет условиям В\ — 2?з при всех £ € К, то оператор, определяемый правой частью уравнения, является "улучшающим", поэтому, если f(t) непрерывная функция, то всякое решение уравнения (5), принадлежащее пространству J3C"(R+), будет непрерывным.

Пусть K(t,s) удовлетворяет условиям B\-B%. Через М(ш) обозначим множество операторов вида Р — al + К, где

оо

Кх = J K(t, s)x(s)ds.

—оо

Лемма 3.1.2. Множество М(и) является банаховой алгеброй относительно операций сложения и умножения и нормы

оо

\\Р\\м(ш) = N + S^P f \\K{t,s)\\d8.

teR\{ku/,k€Z) J

—оо

Каждому оператору Р — al+K € М[ш) поставим в соответствие операторнозначную функцию Р(£) = al + К(£), где

определена по формуле (2). Множество таких функций Р(£) обозначим П(ш). Отметим, что в П(ш) содержатся ряды не являющиеся, вообще говоря, абсолютно сходящимися.

Лемма 3.1.3. Множество П(ш) является банаховой алгеброй относительно естественных операций и нормы

оо »

1Ип(«) = Н+ sup £ \\Kp(t,s)\\ds. t€ (0;u;)p=_oo^

Во втором параграфе третьей главы исследуется интегральное уравнение на полуоси. На основе результатов работы И.Ц.Гохберга (1964 г.) при условии отсутствия у функции К(£) собственных чисел на единичной окружности, установлена возможность факторизации функции I — К{$) 6 П(а>), т.е. представления ее в виде

m—1

I - Щ) = (I + К-(0)(Рт + Е t*Pj)(T + К+(М (1^1 =

J=1

где Pj (j = 1,2,... ,m) - взаимно ортогональные проекторы такие, что Pi+pH-----H Рт — I, причем только один из проекторов,

а именно Рт, имеет бесконечномерный образ; Xi>X2, Xm-i ~ некоторые различные ненулевые целые числа, называемые правыми индексами факторизации.

Анализ той же работы И.Ц. Гохберга показал, что в случае

алгебры П(ш) проекторы Р, : Сп[0;w] —> Сп[0:ш] имеют вид

и l

= / ,Za^(t)b^(s)x(s)ds, о k=1

где b^(s) - непрерывны на [0:ш] (j = 1.... ,т - 1).

Факторизация функции I - К (g) порождает факторизацию соответствующего интегрального оператора I — К

i-K = (i + k-){i + D){i + k+), где К±, D - интегральные операторы специального вида с периодическими ядрами.

В этом же параграфе для однородного уравнения

оо

x(t) = J K(t,s)x(s)ds, t> 0 (6)

о

получены условия конечномерности пространства решений.

Теорема 3.2.2. Пусть К(£) не умеет собственных значений на окружности |£| = 1 и Х1,Х2, ■ • ■ ,Хт-1 - все ненулевые индексы факторизации оператор-функции I — Тогда все

решения однородного уравнения (6), принадлежащие пространству ВС™(Ж+), образуют конечномерное пространство размерности

ЗХ:< О

При этом, всякое решение ж(4) уравнения (6) стремится к нулю при £ —> +оо (Ь ф кш).

Если все ненулевые индексы факторизации положительны, то уравнение (6) имеет в ВС%(№.+) только нулевое решение.

Факторизация функции I — позволила также установить необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости уравнения (5) и получить интегральное представление решения.

Теорема 3.2.4. Пусть К(£) не имеет собственных чисел на единичной окружности. Для того, чтобы уравнение (5) при любом / € ВС"(М+) имело и притом единственное решение, принадлежащее пространству необходимо и доста-

точно, чтобы диагональный множитель факторизации /+£)(£) совпадал с единичным оператором.

В случае однозначной всюду разрешимости существуют такие ш—периодические матрицы в) (] = 1,2), что при любом / € ВС"(М+) единственное решение уравнения (5) выражается формулой

оо Г оо

0 1. о

(7)

где ад, в) = 0 при £ € (0;и;) > ш; Яг(М) = 0 пРи í € (0;и>), в < 0.

Отсутствие собственных значений функции К(£) на окружности = 1 является необходимым и достаточным условием нетеровоети уравнения (5) в пространстве ВС%(К.+). В случае

нетеровости дефектные числа равны

а{1-К) = £ \Хз\&вхР?, № ~ К) = £ Х^ппР,,

3-Хз<0 ГХ,> О

Хотя в случае, когда £)(£) не является тождественно нулевой функцией, уравнение (5) и не является однозначно всюду разрешимым, тем не менее, если уравнение при данном / € ВС™(№.+), разрешимо, то одно из его решений также выражается формулой, аналогичной (7).

В § 3.3 на основании результатов двух первых глав изучено асимптотическое поведение решений линейного однородного уравнения (6) с периодическим ядром в пространстве е~агВСп(К+)(а > 0) - непрерывных экспоненциально убывающих функций. В этом параграфе предполагается, что ядро в) удовлетворяет условиям А\ — Аз и 0 < а < й, с < а. Теорема 3.3.1. Пусть 0 < е < ё - а, {А1, А2, - - •, Ар}- множество всех собственных значений функции К(£) из кольца - {£ € С : е^ < < еМ" } и {Ар+Ь Ар+2,..., Ар+9}-множество всех собственных значений функции лежа-

щих на окружности = , кратностей соответственно

Если х(Ь) € е~аЬВСп(Ж+) - решение уравнения (6), то х(1) имеет при £ —» +оо следующее представление:

«(О = ¿ехр (*?>(«) + Ьрф® + - +

3=1 ^ У

/ \

¿=Р+1 4 '

где ф^фтф^^) - сужения на [0;оо) непрерывных ш-периодических функций.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.Ф. Пуляеву за постановку задачи, внимательное отношение к работе и ценные замечания, способствовавшие ее написанию.

Публикации по теме диссертации

1. Барсукова В.Ю. О почти периодичности ограниченных решений нелинейных интегральных уравнений// Природа. Общество. Человек. Вестник Южно-Российского отделения Междунар. Академии наук высш.шк. - 1996. - № 4 - 5. -С.51 - 55.

2. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Структура экспоненциальных решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами// Кубан. гос. ун-т. - Краснодар, 2000. - 25с. - Деп. в ВИНИТИ 6.05.00, К« 329-В00.

3. Барсукова В.Ю. О разрешимости линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами в пространстве функций экспоненциального роста// Кубан.гос.ун-т. - Краснодар, 2000. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.10.00, № 2691-В00.

4. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях периодических интегральных уравнений// Тр. Рос. ас-соц. "Женщины-математики". - 2002. - Т.10, № 2. - С. 89 -93.

5. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об асимптотике решений интегрального уравнения на полуоси с периодическим ядром// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2003. -Л* 4. - С. 3 - 5.

6. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об асимптотике экспоненциальных решений линейных интегральных уравнений на полуоси// Соврем, методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней мат. школы "Понтрягинские чтения -XIV". - Воронеж, 2003. - С. 15 - 16.

7. Барсукова В.Ю. О свойствах интегральных уравнений с периодическими ядрами в пространстве суммируемых с экспоненциальным весом функций//Лобачевские чтения -2003. Материалы третьей Всерос. молодеж. науч. школы-конфер - Казань, 2003 - С.74-76.

8. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. О существовании экспоненциальных решений интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси//Современные проблемы математики и информатики:Сборник научных трудов. - Армавир, 2004. -Вып.1. - С.13 - 17.

9. Барсукова В.Ю. О неоднородном интегральном уравнении с периодическим ядром на полуоси//Современные методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней мат. школы "Понтрягинские чтения -XV". - Воронеж, 2004. - С. 23 - 24.

10. Барсукова В.Ю. О свойствах решений линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на полу-оси//Соврем. методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней мат. школы. - Воронеж, 2005. - С. 27 - 28.

11. Барсукова В.Ю. О свойствах линейных однородных уравнений с периодическими ядрами на полуоси//Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов. - Армавир, 2005. - Вып.2. - С. 3 - 7.

Участие в конференциях (тезисы докладов по теме диссертации)

12. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. О структуре решений линейных однородных интегральных уравнений в пространстве функций экспоненциального роста// Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения -X": Тез. докл. -- Воронеж, 1999. - С. 27.

13. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях линейных интегральных уравнений// VII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование": Тез. докл. - Ростов-на-Дону, 1999. - С. 12 - 13.

14. Барсукова В.Ю. О свойствах решений линейных однородных интегральных уравнений на оси с периодическими ядрами//Междунар.научн. конф. "Нелинейный анализ и функц.-дифф. уравнения". - Воронеж, 2000. - С. 50 - 51.

15. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях периодических интегральных уравнений// X Междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование. ": Тез. докл. - Ростов-на-Дону, 2002. - С.62 - 63.

16. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об интегральном уравнении с периодическим ядром на полуоси//Док л. VI Казанской междунар.летней школы.-конфер."Теория функций и смеж.вопросы". - Казань,2003. - С.29 - 31.

ç

\ >;

ч

РНБ Русский фонд

2006-4

11646 *

I

£

I

Печать ризограф. Бумага офсетная. 1

Заказ №702 от 22.07.2005 г. Тираж 100 экз. Отпечатано в РА "ПАПИРУС" 350020, г.Краснодар, ул. Коммунаров, 268, тел. 279-17-91

Список обозначений

Введение

ГЛАВА 1. Структура пространства экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром

§ 1.1 Свойства линейных интегральных операторов, действующих в пространстве функций экспоненциального роста.

§ 1.2 Построение базисных решений однородного уравнения

§ 1.3 Структура пространства экспоненциальных решений однородного уравнения.

ГЛАВА 2. Нетеровость линейного неоднородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром

§ 2.1 Разрешимость линейного неоднородного интегрального уравнения в случае а < Ъ.

§ 2.2 Нетеровость неоднородного интегрального уравнения с периодическим ядром

ГЛАВА 3. Линейное интегральное уравнение на полуоси с периодическим ядром

§ 3.1 Алгебра линейных интегральных операторов, действующих в пространстве ограниченных функций.

§ 3.2 Линейное интегральное уравнение с периодическим ядром на полуоси.

§ 3.3 Асимптотика экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на полуоси с периодическим ядром.

Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых вопросов теории линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси и полуоси. Такие уравнения являются естественным обобщением уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов t — s. Отличительной особенностью интегральных уравнений с периодическими ядрами является то, что условие периодичности ядра K(t + cj,s + со) = K{t,s) обеспечивает перестановочность интегрального оператора с оператором сдвига Tkux(t) = x(t -f ku), к £ Ъ. Это обеспечивает наличие у изучаемого уравнения многих свойств, характерных для уравнений типа свертки (K(t, s) = K(t — s)), у которых интегральный оператор перестановочен с любым оператором сдвига Ти. Поэтому полученные в работе результаты имеют соответствующие аналоги в теории уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов (см., например, [14], [61], [20]).

Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с периодическими ядрами, обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, а так же операторы, порождаемые такими уравнениями, изучались в работах Н.В. Азбелева и его учеников [1], А.Б. Ан-тоневича [2], А.Г. Баскакова [3] - [8] и его учеников, Ю.Г. Борисовича [9],

В.Р. Винокурова [11] - [13], В.Г. Курбатова [47],[48], В.Ф. Пуляева [62] -[72], П.М. Симонова [77], Ю.Н. Смолина [13], Е.Ю. Савчиц [74], З.Б. Ца-люка [80] - [82], Т.А. Burton'a [85] - [87] и других [15], [28], [29], [46], [55],

Уравнения в частных производных с периодическими коэффициентами рассматривались П.А. Кучментом [49] - [53], А.И. Милославским [56], [57] и другими авторами.

Основы теории интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов t—s, были заложены в работах Н. Винера и Э.Хопфа, М.Г. Крейна [44], И.Ц. Гохберга [18]. Глубокие результаты по теории таких уравнений, а также их дискретных аналогов были получены в работах

00

1) 00

58], [59].

Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [14], [83], И.А. Фельдмана [20], [78], Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко [32] - [36], И.Б. Симоненко [75], [76], З.Б. Цалюка, В А. Дербенева [23], [80] - [82], В.Б. Дыбина [24]—[26], Я.М. Ерусалимского [27], B.C. Пил иди и других [37], [38], [41], [43]. Укажем также на работы И.И. Воровича, В.А. Бабешко и их учеников, в которых рассматриваются прикладные аспекты теории сверточных интегральных уравнений в динамических задачах теории упругости.

Примерами периодических ядер может служить функция Грина си* стемы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Поэтому изучаемые уравнения с периодическими ядрами могут возникать при исследовании свойств решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений методами интегральных уравнений. Кроме того, различные задачи, возникающие в биологии и механике, приводят к математическим моделям, которые описываются интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с периодическими ядрами на оси и полуоси, причем с точки зрения приложений, интерес представляют в первую очередь ограниченные решения, а также решения, имеющие определенный рост (в частности, экспоненциальный).

Основными целями работы являются:

- изучение свойств интегральных операторов вида (1) с периодическим ядром в пространстве непрерывных функций, имеющих не более чем экспоненциальный рост;

- описание структуры пространства экспоненциальных решений линейного однородного интегрального уравнения на оси с периодическим ядром ; т

- изучение условий нетеровости неоднородного уравнения на оси с периодическим ядром ;

- изучение условий конечномерности пространства ограниченных решений линейного однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси;

- получение интегрального представления решения неоднородного уравнения с периодическим ядром на полуоси;

- уточнение асимптотического поведения экспоненциально убывающих при t +оо решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.

Наряду с линейными уравнениями с периодическими ядрами автором изучались почти периодические решения нелинейных интегральных уравнений [88].

Подобные задачи изучались для других классов уравнений, а также в случае других пространств [65] - [70], [74]. Исследование задач, сформулированных выше, ввиду специфики пространств, в которых рассматриваются уравнения, потребовало привлечения иной техники. В тоже время, такие вопросы, как структура пространства решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси и асимптотика его решений, ранее не исследовались.

В работе используются методы теории линейных непрерывных операторов. Существенным при исследовании интегральных уравнений с периодическими ядрами является использование операторного аналога дискретного преобразования Фурье, применялись также методы аналитических векторных функций. Для изучения уравнения на полуоси был использован аппарат факторизации операторнозначных функций, а также порождаемой ею факторизации соответствующих интегральных операторов.

В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:

- найдены условия, при которых пространство решений однородного интегрального уравнения с периодическим ядром на оси конечномерно и имеет базис, состоящий из решений типа Флоке;

- для неоднородного уравнения с периодическим ядром на оси указаны условия всюду разрешимости, получено интегральное представление решения;

- исследована нетеровость уравнения на оси в различных случаях роста весовой функции;

- для однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси в случае нетеровости указаны условия конечномерности пространства ограниченных решений;

- для неоднородного уравнения на полуоси получены необходимые и достаточные условия однозначной всюду разрешимости, найдено интетральное представление решения; аналогичное интегральное представление одного из решений получено и в случае, когда уравнение не является однозначно всюду разрешимым;

- найдена асимптотика имеющих экспоненциальное убывание на бесконечности решений однородного уравнения с периодическим ядром на полуоси.

Работа носит теоретический характер.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- Весенние Воронежские математические школы "Понтрягинские чтения X, XIV, XV". Воронеж, 1999, 2003, 2004;

- VII Международная научная конференция "Математика. Экономика. Экология. Образование". Ростов-на-Дону, 1999;

- Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Воронеж, 2000;

- X Международная научная конференция "Математика. Экономика. Образование". Ростов-на-Дону, 2002;

- III Всероссийская молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2003". Казань, 2003;

- VI Казанская международная летняя школа-конференция "Теория функций и смежные вопросы". Казань, 2003;

- Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2005; а также неоднократно на семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям проф. Цалюка З.Б. на кафедре дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [89] -[103]. В работах [89], [92], [95], выполненных совместно с научным руководителем В.Ф. Пуляевым, ему принадлежит постановка задачи. Выбор методов исследования и доказательства принадлежат автору диссертации. В работах [91], [93] В.Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и рекомендации относительно методов исследований.

Перейдем к обзору результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Антоневич А.Б. Условия обратимости операторов с выпуклой рационально независимой системой сдвигов// Докл. АН СССР. 1981. -Т.256, N2 1.-С. 11-14.

2. Баскаков А.Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц// Матем. заметки. 1992. - Т.52, №2. - С. 17 - 25.

3. Баскаков А. Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов// Докл. РАН. сер. матем. 1993. -Т.ЗЗЗ, №3. - С. 282 - 284.

4. Баскаков А.Г., Чернышев М.К. Некоторые условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка// Укр. матем. ж. -1995. Т.47, т. - С. 411 - 413.

5. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов// Изв. РАН. сер. матем. 1997. - Т.61, №6. - С. 3 - 26.

6. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов// Матем. сборник. 1999. - Т.190, №3. - С. 3 - 28.

7. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: ВГУ, 1987. - 164 с.

8. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. -М.: Наука, 1964. 267 с.

9. Винокуров В.Р. Об ограниченности решения системы интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей// Уч. зап. Уральского ун-та. 1960. - Вып. 23. № 2. - С. 3 - 9.

10. Винокуров В.Р. Об интегральных уравнениях Вольтерра с бесконечным промежутком интегрирования// Дифференц. уравнения. -1969. Т.5, № 10. - С. 1894 - 1898.

11. Винокуров В.Р., Смолин Ю.Н. Об асимптотике уравнений Вольтерра с почти периодическими ядрами и запаздываниями// Докл. АН СССР. 1971. - Т.201, № 4. - С. 771 - 773.

12. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 295 с.

13. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами// Докл. АН СССР. 1950. - Т.73. № 6. - С. 1117- 1120.

14. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960. - 316 с.

15. Гольденгершель Э.И. Спектр вольтеррова оператора на полуоси и экспоненциальный рост решений систем интегральных уравнений типа Вольтерра// Матем. сборник. 1964. - Т.64, № 1. - С. 115 - 139.

16. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов// Успехи мат. наук. 1958. - Т.13, Вып.2. - С.З - 72.

17. Гохберг И.Ц. Задача факторизации оператор-функций//Изв. академии наук СССР, серия математич. 1964. - Т. 28. - С. 1055 - 1082.

18. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. - 352 с.

19. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: Мир, 1962. Т.1. - 895 с.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. 472 с.

21. Дербенев В.А., Цалюк З.Б. Асимптотические поведение резольвентынеустойчивого уравнения Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов// Матем. заметки. 1997. - Т.62, № 1. - С. 74 - 79.

22. Дыбин В. В., Джиргалова С. В., Мельник А.Б. Дискретный оператор типа свертки в пространстве {а,/3}р, 1 < р < оо//РГУ. Ростов-на Дону, 2002. - 49 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.02.2002., № 46-В2002.

23. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Составные дискретные свертки в пространстве {а,(3}р, 1 < р < оо.(Ч.1)//РГУ. Ростов-на Дону, 2003. -32 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.01.2003., № 90-В2003.

24. Дыбин В. Б., Джиргалова С. Б. Составные дискретные свертки в пространстве {а, /3}р, 1 < р < оо.(Ч.П)//РГУ. Ростов-на Дону, 2003. -45 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.11.2003., № 1946-В2002.

25. Ерусалимский Я.М. Необходимые и достаточные условия нетеровости операторов мультипликативной дискретной свертки// Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Серия естеств. науки 1973. - № 4. -С. 105 - 107.

26. Зверкин A.M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами// Докл. АН СССР. 1959. - Т.128, № 5. - С. 882 - 885.

27. Зверкин A.M. О полноте системы решений типа Флоке для уравнений с запаздыванием// Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4, № 3. -С. 474 - 478.

28. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 742 с.

30. Карапетянц Н.К. Дискретные уравнения типа свертки в одном исключительном случае// Сибирск. матем. ж. 1970. - Т.11, № 1. - С. 80 -90.

31. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. О дискретных уравнениях Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами// Докл. АН СССР. -1971. Т.200, № 1. - С. 17 - 20.

32. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Об индексе некоторых классов интетральных операторов// Изв. АН Арм ССР. матем. 1973. - Т.8, JV® 1. -С. 26 - 40.

33. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов-на-Дону: РГУ, 1988. - 188с.

34. Карапетянц Н.К. К вопросу о полной непрерывности операторов типа свертки//Изв. вузов. Математика. 1980. - № 1. - С. 41 - 49.

35. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нетера сингулярных интегральных операторов// Изв. вузов. Математика. -1983. № 4. - С. 3 - 27.

36. Карлович Ю.И. С*-алгебры операторов типа свертки с дискретными группами сдвигов и осциллирующими коэффициентами// Докл. АН СССР. 1988. - Т.302, № 3. - С. 535 - 540.

37. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов// Успехи мат. наук. -1971. - Т.26, Вып. 4. - С. 15 - 41.

38. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. В кн.: Избранные труды. Математика. - М.: Наука, 1985. - С. 332 - 354.

39. Колесников И.А. Некоторые условия обратимости разностных операторов. Диссканд.физ.мат.наук. Воронеж, 2000. - 106с.

40. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Мир, 1989. - 624с.

41. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. -Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1983. 156с.

42. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов// Успехи матем. наук. 1958. - Т.13, Вып. 5. - С. 3 - 120.

43. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. - 104с.

44. Кузнецов В.В. Спектральный анализ периодических операторов. Дисс— канд.физ.мат.наук. Воронеж, 1996. - 121с.

45. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения-Воронеж: Изд. ВГУ, 1990. 168с.

46. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов// Функц. анализ и прил. 1990. - Т. 24, ДО 2. - С. 98 - 99.

47. Кучмент П.А. О нетеровых операторах в паре банаховых пространств// Тр. научно-иссл. ин-та матем. ВГУ. Воронеж, 1971. -Вып. 3. - С. 61 - 77.

48. Кучмент П.А. Представление решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными и периодическими коэффициентами (обзор). В кн.: Теория операторных уравнений. -Воронеж: Изд. ВГУ, 1979. - С. 62 - 69.

49. Кучмент П.А. О представлении Флоке решений линейных гипоэллип-тических систем дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами// Функц. анализ и его прил. -1979.-Т. 13, № 1. С. 72.

50. Кучмент П.А. К теории Флоке для периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Успехи мат. наук. 1979. - Т. 34, № 3. - С. 201 - 202.

51. Кучмент П.А. О теории Флоке для параболических и эллиптических граничных задач в цилиндре// Докл. АН СССР. 1981. - Т. 258, № 2. -С. 269 - 299.

52. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.:Наука, 1973. - 738с.

53. Ланге Б.В., Рабинович B.C. Критерий нетеровости псевдодифференциальных операторов на Rn с символами класса C°°(i?n х Rn)// Докл. АН СССР. 1985. - Т. 285, № 6. - С. 1317 - 1320.

54. Милославский А.И. К теории Флоке для параболических уравнений// Функц. анализ. 1976. - Т. 10, № 2. - С. 80 - 81.

55. Милославский А.И. Теория Флоке для абстрактных параболических уравнений с периодическими коэффициентами: Диссканд.физ.мат.наук. Ростов-на Дону, 1976.

56. Мухамадиев Э.М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций// Матем. заметки. 1972. -Т.11, Вып.З. - С. 269 - 274.

57. Мухамадиев Э.М. Исследование по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений// Матем. заметки. -1981. Т.ЗО, Вып. 3. - С. 443 - 460.

58. Никольский Н.К. Лекции об операторах сдвига. М.: Наука, 1980. -384 с.

59. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.:Мир, 1979. - 493 с.

60. Пуляев В.Ф. Существование асимптотически ^-периодических решений у интегральных уравнений Вольтерра. // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. школы. Серия естеств. наук. 1973. - № 4. - С. 75 - 78.

61. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. Об асимптотически а;-периодических решениях у интегральных уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1974. - Т.10, № 6. - С. 1103 - 1110.

62. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных операторов и уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1983. - Т.19, № 4. - С. 684 - 692.

63. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений// Изв. вузов. Математика. 1988. - № 6. - С. 75 - 78.

64. Пуляев В.Ф. Степенные решения интегральных уравнений// Изв. Сев.-Кав. научн. центра высш. школы. Естеств. науки. 1988. -№ 1. -С. 46 - 52.

65. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I// Дифференц. уравнения. 1989. - Т.25, № 10. - С. 1787 - 1798.

66. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II// Дифференц. уравнения. 1990. - Т.26, № 8. - С. 1423 - 1432.

67. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. III// Ред. ж. "Дифференц. уравнения.— Минск, 1989. 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.08.89. № 5416-В89.

68. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений// В межвуз. сб. "Интегральные и дифференциальные уравнения". -Краснодар, 1992. С. 58 - 75.

69. Пуляев В.Ф., Сокол Г.Ф. О структуре решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами// Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. - Спецвып. - С. 131 - 132.

70. Пуляев В.Ф. Развитие теории линейных интегральных уравнений с периодическими и почти периодическими коэффициентами: Диссдокт.физ.мат.наук. Краснодар, 2001. - 313с.

71. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. - 587 с.

72. Савчиц Е.Ю. Линейные интегральные операторы и уравнения с периодическими и почти периодическими ядрами: Диссканд.физ.мат.наук. Краснодар,2002. - 111с.

73. Симоненко И.Б. О многомерных дискретных свертках. // Матем. ис-след. Кишинев,1968. Т.З, № 1(7). - С. 108 - 122.

74. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных и интегральных уравнений 1(H)// Изв. АН СССР, сер. матем. 1965. - Вып.З. - С. 567 - 586. (1965. - Вып.З. - С. 775 - 782.)

75. Симонов П.М., Чистяков А.В. О разрешимости периодических уравнений// Вестник Пермского ГТУ. Матем. и прикл матем. 1994. -№1.-С. 61-71.

76. Фельдман И.А. Об асимптотике решений некоторых систем интегральных уравнений// ДАН СССР 1964. - Т.154, № 1. - С. 57 - 60.

77. Функциональный анализ.Под ред. С.Г. Крейна.(Серия "Справочная математическая библиотека") М.:Наука,1972. - 544 с.

78. Цалюк З.Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4, № 4. - С. 1967 - 1979.

79. Цалюк З.Б. О допустимости некоторых пар пространств для интетральных операторов и уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1977. - Т.13, № 11. - С. 2096 - 2098.

80. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра// Итоги науки и техники. Сер. матем. анализ / ВИНИТИ-М. 1977. - Т. 15. - С. 131 - 198.

81. Черский Ю.И. Дискретно-непрерывная система уравнений сверт-ки//Изв.ВУЗов мат. № 10, 1999. - С.81 - 82.

82. Bochner S., Fillips R.S. Absolute convergent Fourier expansion for non commutative normed rings// Ann. of Math. 1942. - V.43, № 3. - P. 109 -118.

83. Burton T.A. Periodic solutions of linear Volterra equations// Funkcial. Ekvac. 1984. - № 27. - P. 229 - 253.

84. Burton T.A. Periodic solutions of integrodifferential equations// J. Amer. Math. Soc. 1985. - V.31, № 3. - P. 537 - 548.

85. Burton T.A., Becker L.S., Kriszin Т.К. Floquet theory for a Volterra equation// J. London Math. Soc. 1988. - V.2, № 37. - P. 141 - 147.

86. Барсукова В.Ю. О почти периодичности ограниченных решений нелинейных интегральных уравнений// Природа. Общество. Человек. Вестник Южно-Российского отделения Междунар. Академии наук высш.шк. 1996. - № 4 - 5. - С.51 - 55.

87. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Структура экспоненциальных решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами // Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2000. - 25с. - Деп. в ВИНИТИ 6.05.00, № 329-В00.

88. Барсукова В.Ю. О разрешимости линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами в пространстве функций экспоненциального роста// Кубан.гос.ун-т. Краснодар, 2000. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.10.00, № 2691—В00.

89. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях периодических интегральных уравнений// Тр. Рос. ассоц. "Женщины-математики". 2002. - Т. 10, № 2. - С. 89 - 93.

90. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об асимптотике решений интегральногоуравнения на полуоси с периодическим ядром// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. - № 4. - С. 3 - 5.

91. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об асимптотике экспоненциальных решений линейных интегральных уравнений на полуоси// Соврем, методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней мат. школы "Понтрягинские чтения -XIV". Воронеж, 2003. - С. 15 - 16.

92. Барсукова В.Ю. О свойствах интегральных уравнений с периодическими ядрами в пространстве суммируемых с экспоненциальным весом функций//Лобачевские чтения 2003. Материалы третьей Всерос. молодеж. науч. школы-конфер.- Казань, 2003 - С.74-76.

93. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. О существовании экспоненциальных решений интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси// Современные проблемы математики и информатики:Сборник научных трудов/АГПУ. Армавир, 2004. - Вып.1. - С.13 - 17.

94. Барсукова В.Ю. О неоднородном интегральном уравнении с периоди-^ ческим ядром на полуоси//Соврем. методы в теории краевых задач.Материалы Воронежской весенней мат. школы "Понтрягинские чтения -XV". Воронеж, 2004. - С. 23 - 24.

95. Барсукова В.Ю. О свойствах решений линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами на полуоси//Соврем, методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней мат. школы. Воронеж, 2005. - С. 27 - 28.

96. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. О структуре решений линейных однородных интегральных уравнений в пространстве функций экспоненциального роста// Современные методы в теории краевых задач "Понт-рягинские чтения -X": Тез. докл. Воронеж, 1999. - С. 27.

97. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях линейных интегральных уравнений// VII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование. ": Тез. докл. Ростов-на-Дону, 1999. - С. 12 - 13.

98. Барсукова В.Ю. О свойствах решений линейных однородных интегральных уравнений на оси с периодическими ядра-ми//Междунар.научн. конф. "Нелинейный анализ и функц.-дифф. уравнения". Воронеж, 2000. - С. 50 - 51.

99. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях периодических интегральных уравнений// X Междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование. ": Тез. докл. Ростов-на-Дону, 2002. - С.62 - 63.

100. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об интегральном уравнении с периодическим ядром на полуоси//Докл. VI Казанской междунар.летней шк.-конф."Теория функций и смеж.вопросы". Казань,2003.- С.29-31.