Элементы специальной и общей теории относительности в R-пространстве тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ангсачон Тосапорн

Элементы специальной и общей теории относительности в Д-пространстве

01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2013

г 8 НОЯ 2013

005540387

Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета Санкт-Петербургского государственного

университета.

Научный руководитель: к.ф.-м.н.,

проф. Манида Сергей Николаевич

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н.,

Марачевский Валерий Николаевич, доцент кафедры квантовой механики Санкт-Петербургского государственного университета

к.ф.-м.н.,

Красников Сергей Владиленович, ст.н.с.

Главной астрономической обсерватории РАН

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 19 декабря 2013 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.232.24, созданного на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр. В/О, д. 41/43, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан "45_" ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, /

д.ф.-м.н., / ^—Аксенова Е. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Пространство де Ситтера/анти-де Ситтера(с18/Ас18) является одним из важных решений уравнений поля Эйнштейна [1]. Это решение играет заметную роль в разных областях теоретической физики, например в космологии оно описывает космологическое расширение Вселенной и проблему темной энергии, а в квантовой теории поля на этой основе развивается гипотеза АсШ/СРТ-соответствия.

Пространство де-Ситтера/анти-де Ситтера представляется как однополюсный гиперболоид, вложенный в многомерное пространство Минков-ского. Для его описания могут использоваться разные локальные координатные системы. Самой интересной для нас является система координат Бельтрами [2]. Она является проекцией половины гиперболоида на определенную плоскость. Важное свойство этих координат заключается в том, что светоподобные и времениподобные геодезические линии описываются линейными функциями. Отметим, что в теории относительности в этих двух пространствах присутствуют универсальные константы - скорость света с и радиус кривизны пространства Я. В работе рассматривается предельный переход с —> оо [4], при котором возникает так называемое Я-пространство, эквивалентное пространству Минковского. Отметим, что в нем присутствует только одна фундаментальная константа Д. Важно, что этот предел осуществляется только в случае пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами, а в пространстве де Ситтера вообще и в пространстве анти-де Ситтера в других координатах такого предельного перехода не существует. Заметим, что й-пространство инвариантно относительно преобразования, которое носит название преобразования Лоренца-Фока. Оно вместе с преобразованиями пространственного отражения, обращения времени, пространственной и временной трансляций, пространственного поворота образуют инвариантность, которая называется Лоренц-Фок-инвариантностью. Цель работы.

— Исследование общего свойства пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. Построение генераторов симметрии и оператора Лапласа-Бельтрами в данном пространстве.

- Изучение законов сохранения в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами и в Д-пространстве. Построение сохраняющихся величин в этих пространствах. Рассмотрение нерелятивистского некосмологического предела энергии частицы. Вычисление тензора энергии-импульса для пылевидной материи и оператора Лапласа-Бельтрами в Д-пространстве.

- Изучение метрики Шварцшильда в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами и в Я-пространстве. Исследование движения по квазикруговым орбитам в Я-пространстве. Изучение ньютоновского предела для ускорения падающих частиц в поле Шварцшильда Я-пространства.

Научная новизна. Основной идеей данной диссертации является вычисление ряда физических величин в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами и в Я-пространстве. Следующие основные результаты выносятся на защиту:

- Вычислены связность, тензор Римана, тензор Риччи, и скалярная кривизна в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. Найдено уравнение геодезической линии и доказана ее прямолинейность, т.е. инерциальность рассматриваемого пространства. Затем построены десять генераторов симметрии в данном пространстве. Вычислен оператор Лапласа-Бельтрами в этом пространстве.

- Получен вид десяти сохраняющихся величин в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. Получены десять сохраняющихся величин при предельном переходе с —¥ оо в /¿-пространстве. Далее выведено уравнение массовой поверхности в случае Я-пространства. В области (Ш — х)2 < Я2 получены дополнительные сохраняющиеся величины, аналогичные тем, которые получены в пространстве Галилея-Ньютона при учете дополнительной шредингеровской симметрии. Построены лагранжиан, гамильтониан и тензор энергии импульса в Я-пространстве, и вычислен оператор Лапласа-Бельтрами в этом пространстве.

- Построены линеаризованные уравнения гравитации в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами и в Я-пространстве. Вычислены метрика Шварцшильда в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами и метрика Шварцшильда в Я-пространстве. Далее в Я-пространстве найдено уравнение движения массивной пробной частицы и получена квазикруговая орбита. Показана зависимость радиуса орбиты от времени. На примере радиуса орбиты Луны показано совпадение полученного результата с астрономическими наблюдениями. Также вычислено уравнение траектории луча света. Показано, что угол отклонения луча света отличается от случая пространства Минковского дополнительным слагаемым, содержащим радиус кривизны пространства, а от случая пространства де Ситтера -членом с другой степенью радиуса кривизны пространства. Исследовано ускорение падающих частиц в поле Шварцшильда .

Теоретическая ценность и практическая значимость. Результаты, полученные в данной диссертации являются комментарием к интерпри-тации теории относительности Эйнштейна. Показано, что в данной интер-притации физические величины зависят от двух универсальных констант - скорости света с и радиуса кривизны R в пространстве анти-де Ситтера, и только от ñ в ñ-пространстве.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• International Student Conference Science and Progress, Saint-Petersburg, Russia, 2010-2012.

• 11-th Asian-Pacific Regional IAU Meeting (APRIM), Chiang Mai, Thailand 2011.

• The Institute for Fundamental Study Inaugural Symposium, Naresuan University, Thailand 2012.

• IV международная конференция "Модели квантовой терии поля"(МКТП-2012), посвященная А.Н. Васильеву, Санкт-Петербург, Россия.

• 41th ITEP WINTER SCHOOL OF PHYSICS, Moscow, Russia 2013.

• Международная научная конференция Третьи «Фридмановские чтения» Пермь, ПГНИУ, Россия, 2013г.

Публикации. По теме данной диссертации опубликованы две статьи в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 75 страниц машинописного текста. Библиография содержит 38 наименований.

Содержание работы

Во введении содержится обзор данной работы. Описаны постановка задачи и актуальность проблемы. Приведено общее понятие пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами и Д-пространства.

В первой главе введена метрика пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. Представлено, что пространство анти-де Ситтера является гипреболоидом, вложенным в пятимерное пространстве Минков-ского в координатах Xa = А'о, Хз)

Xl1+X-]-X\-Xl-Xl = R\ (1)

а его линейный элемент представляется в виде

¿в2 = ¿Х\ + - ¿XI - <1X1 ~ Л*!. (2)

Затем определяются координаты Бельтрами, являющиеся проекцией половины гиперболоида на плоскость = Д. Они представляются в формуле

Хо - 11,2,3 = л^гт-1-- (3)

А_х Л-1

Метрика пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами получается после подстановки уравнения (3) в метрику (2):

2 _ (г/^хЫх")2

$ ~ V Ш* '

где И2 = ! + д2 = 1 + — = 0,1,2,3, а ^ = <Иад{1,-1,-1,-1}. Метрический тензор и его обратный элемент принимают следующий вид

9"и~ V 9 -Ип +п2хх. (5)

Далее выражаются связность, тензор Римана, тензор Риччи и скалярная кривизна

= (6) = ¿^(¿Я - ¿Я) + - (7)

з

= - (8) 12 П2'

Далее находим уравнение геодезической линии и получаем его в виде равенства

«г = <гв*, = -т- (9)

(¿в2 ¿в ¿З2 ¿в '

которое эквивалентно условию

Это значит, что уравнение геодезической линии в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами является прямой линией [5]. Это показывает, что движение частицы в координатах Бельтрами описывается

линейными функциями. Далее построим десять генераторов симметрии в данном пространстве. Начнем с вида генераторов в объемлющих координатах

д д

МАБ = ХАдх-в-Хвд5ГА' (12)

где А, В принимают значения -1,0,1,2,3.

Используя определение координат Бельтрами и инфинитезимальных преобразований, получаем десять генераторов симметрии в следующих формулах

тт_ (Хо , Л„ 9 СХоХг д д д хоТ{ д

Рг =

дх{ В2 дх^ Д2 дх0' д д

3{ = £*>кХ>д^'

где Н - генератор временной трансляции, - генераторы пространственной трансляции, а К^ и ^ - генераторы буста и генераторы вращения соответственно.

В данной главы вычислен оператор Лапласа-Бельтрами в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. Он имеет вид

а в сферических координатах:

(д2 х1 д2 2хо а г2 д2 2г д 2х0г д2 \

^ я2 дх'Ъ в2 дх0 в2 дг2 в2 дг в2 дх0дг)" К )

Далее мы кратко называем пространство анти-де Ситтера в координатах Бельтрами пространством анти-де Ситтера-Бельтрами. В последнем разделе этой главы введена метрика в Д-пространстве, получается при с —> оо

(1я2 = ^ (^(В2 - щх1х>)(И2 + Ц^щхЧх! - . (16)

Для этой метрики связность, тензор Римана, тензор Риччи, и скаляр-

ная кривизна обращаются в нуль. Однако асимптотические значения связности, тензора Римана, тензора Риччи пространства анти-де Ситтера-Бельтрами принимают значения

Г^-^ + (17)

* - + ¿(¿Я. - €лЛ (18)

з

= - Д2 V" (19)

Генераторы симметрии в Д-пространстве представляются

„ 1 / 2 д д\

(20)

Р{ ~ дх, № + '

К{ = =

Оператор Лапласа-Бельтрами в Д-пространстве мы получаем в конце данной главы. Он имеет вид

П- — {-Л —— —— — — — — 2Ьт 92 \

в? \ в?др ++в?дг2 +в?дг + ттдг)' ( '

Во второй главе исследуются законы сохранения в пространстве анти-де Ситтера и в Д-пространстве. Построено действие для классических массивных частиц в объемлющем пространстве [3]

S=-mcJ[(У2)5 + а{Х2 - Я2)]^А, (22)

где А параметр вдоль времениподобной кривой линии, заданной связью Х2(А) = Я2.

В силу теоремы Нетер выведены десять сохраняющихся величин

771

КАВ = -^=(ХАУв - ХВУА). (23)

Далее параметризуется времениподобная геодезическая линия с помощью двух времениподобных векторов £ и г/ (£2 > 0, г)2 > 0):

где £ = (0,£o,¿)> V = О, f¡), а V^(A) = ^¡^ имеет смысл соответствующей скорости.

Теперь после подстановки уравнения геодезической линии (24) и скорости в (23) сохраняющиеся величины принимают следующий вид

= тЫв-увЫ (25)

который образует уравнение массовой поверхности в таком виде

КавК= 2т2. (26)

Ясно, что сохраняющиеся величины можно представить в координатах Бельтрами покомпонентно в следующих формулах

тп

Н = = I * 42' (27)

I зг (х — Ax)¿ (х х x)¿

Я2 + Я2 с2

= RKQi = . . m(Xl"Ail) , , (28)

/ г2 (а? — А£)2 (ж х á;)2

~~ Я2 + Я2 с2

'"^-ГгШ-ёШ (29>

с2 Я2 + Я2 с2

= ^'(-Ч = / ^ "^2 42' ^

х1 (х — лх) (х х x)¿

Я2 + Я2 с2

где i,j,k пробегают значения 1,2,3.

_ х2 (х — Ах)2

1еперь рассматривается предельный переход <С--< 1, который

превратит сохраняющиеся величины в координатах Бельтрами в следующий вид

Я = , m, Ki = т(Х>"AXi) , (31)

L (xs-sy i (xi-ху

я2 V я2

j _ m£ijkXjXk p __m:Zt_

(Ai?-f)2' <_ / (Aí-f)*'

Я2 V Я2

В данном случае уравнение массовой поверхности образуют только из ве-

личин Н и К1 :

Н2-К? = т2. (33)

Если положим Л = То + где То - произвольная константа {Я/То = со), и рассмотрим малую окрестность некоторой пространственно-временной точки t «С То, \х\ <С Я, тогда сохраняющиеся величины представляются в виде

т „ тх! , .

Н = ,-Я = г—(34)

г2

Л гг^-йД Со ' ^

Отсюда можно заключить, что "рассматриваемая космологиче-ская"динамика в "нерелятивистском"пределе локально не отличается от обычной релятивистской динамики со скоростью света со. Теперь нас интересует "некосмологический"предел (Ах — х)2 <С В2 для выражения энергии

(зб)

Если также подставить А = То + т, г <С То, ^ = се в (36) то получаем

- т, , 9 тх2 тхНх — х) г/ТлИх — х)2 . .

+ —+ со-^-^ д2 ; . (37)

Поэтому можно выделить сохраняющиеся величины по степеням со, поскольку сохранение величин не зависит от конкретного выбора со :

~ тпх2 ~ • ц - тпИх — х)2 , .

Я0 = —, Н1 = тх(гх-х), Нч = ——-->-. (38)

Сохранение величин (38) в нерелятивистской физике известно как следствие симметрии лагранжиана свободных точечных частиц относительно расширенной группы Галилея - группы Шредингера. Эти дополнительные законы сохранения могут быть получены из "космологической"динамики Я-пространства, но не могут быть получены из обычной релятивистской динамики. Далее рассматривается вопрос о построении лагранжиана и гамильтониана в Д-пространстве. Начинаем с лагранжиана пространства

анти-де Ситтера-Бельтрами

к»,/1 - ^ -+(:г х *>

-—■ № • (-)

При предельном переходе с —> оо получаем лагранжиан для свободной частицы в Я-пространстве.

Д2 Г (х-хг)2

Найдены преобразования координат и времени

-(§ + *<). Л = -. (41)

2 . V Я 7 ' С2 -

которые переводят лагранжиан Д-пространства в следующий вид

¿=-тс2у (42)

Этот вид лагранжиана совпает с лагранжианом пространства Минковско-го.

Теперь построим гамильтониан для свободной частицы в Д-пространстве с помощью преобразования Лежандра

Н = р£-Ь, (43)

т (гг, — Ах()

Л / _ (х - А:?)2

где канонические импульсы есть р% = —

V Д2

Видно, что гамильтониан не дает сохраняющиеся канонические импульсы.

Найдены преобразования канонических импульсов и времени в виде

Х(44)

При этом преобразованный гамильтониан принимает вид

- тП2 I /АС.

(45)

где То - произвольная константа.

Если эту константу выбрать в виде Д/со, то выражение (45) совпадает с гамильтонианом в пространстве Минковского. В конце второй главы проводится вычисление тензора энергии-импульса для пылевидной материи в Д-пространстве. Начнем с четырехмерной скорости, имеющей вид

НЧ11-

д2

где v1 есть трехмерная скорость частицы.

Тензор энергии-импулься для пылевидной материи представляется в формуле

= (47)

где р есть плотность вещества.

После опускания индексов с помощью метрики Д-пространства получаем четырехмерную скорость с нижним индексом и тензор энергии-импульса в Д-пространстве в виде

р [Д2 - х2 + хШ}2 00 ~ с¥~~ (48)

Д2

р [Д2 + х{у1 - £)][ц -Ты = ¿ё-1_^-х)2-' (49)

Д2

_ р - - . . ^ ~ ¿V 1_{уЬ-Х)2 • ^

Д2

В третьей главе исследуется линеаризация уравнения поля гравитации в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами и в Д-пространстве, затем изучается метрика Шварцшильда в Д-пространстве. В начале главы рассматривается малое отклонение от фоновой метрики

9/1и = + V" (51)

затем выбираем калибровку, чтобы убрать нелинейные члены в таком виде

= 0, к — <Г V = 0. (52)

После линеаризации уравнения поля Эйнштейна в пространстве анти-де

Ситтера-Бельтрами выводятся

V2 V - ^ V + 1б7гк7),„ = 0. (53)

В Я-пространстве предусматриваем случай, когда пылинки движутся при условии х = Ш, и получаем линеаризованное уравнение для нулевой компоненты тензора энергии-импульса

+ (54)

Далее выведена метрика Шварцшильда в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами

/ гхо(1хо\2

2_йх2 {хйх? 2МН 2М

Рассмотривая предел с —> оо в (55), и определяем Мс = д, выводим метрику решения Шварцшильда в ^-пространстве

^ V гЯ) Д4Л_2|\ Ж у >

Это решение порождает лагранжиан для классической пробной частицы с массой т:

R2

L=-m-

2 gt 0tr-rf гН2ф2

2gt\ W~- (57j

В ньютоновском пределе gt/R -С г <С R, г Д/i с помощью метода адиабитических инвариантов получаем выражение для энергии

Е=__ тУД2

2(Ir + Iip)4r

Уравнение движения массивной частицы в метрике Шварцшильда в R-пространстве найдется при использовании метода уравнения Гамильтона-

Якоби. Получена зависимость г(£) в неявном виде Я А Г <1х

Ь т ]

где х = г/£ к хд = 2д/Я.

Теперь анализируем движение по квазикруговым орбитам. В результате уравнение для квазикруговых орбит представляется

1 М1 дЬ ( I 3т2Е?х1\ , ч

Легко убедиться, что г+ отвечает стабильной «круговой» орбите, а г_ нестабильной. В пределе г дЪ1Я и подставим £ = То + т, то получаем радиус «круговой» орбиты, зависящий от т :

г+(т) = г+(0) (1 + • (60)

В случае движения Луны получаем годовое увеличение радиуса орбиты Луны Дг ~ 30 мм/год. Это изменение вполне совместимо с наблюдаемым увеличением радиуса орбиты Луны (34 мм/год), которое объясняется главным образом приливными силами, тормозящими вращение Земли.

Далее рассматривается геодезическая линия луча света в метрике Шварцшильда в Д-пространстве. В результате выведен угол отклонения луча света в Д- пространстве

который имеет поправку к углу отклонения в пространстве Минковского в слагаемом Сравнивая со случаем пространства де-Ситтера [6] этот

Н з

Р

результат отличается отсутствием слагаемого •

В конце данной главы изучается падение частиц в поле гравитации, со-здаемой метрикой Шварцшильда в Д-пространстве. Рассматриваем падение частиц в области г дЬ/Д. При этом переходим в переменную времени

Уравнение движения частиц в этих координатах получается при использовании связи между минковскими координатами и координатами R-пространства. В результате выводится уравнение падения частиц в виде [7]

т - т0 = - 1 ^(2 + хо) arcsin - + \/х(х0 - х)^ ^ (63)

гт Г0Т0

где х = -— и х0 = ——.

2 д 2д

В конце концов получено ускорение падающих частиц в поле гравитации Шварцшильда в координате Д-пространства

сод 2г0Со , .

(64)

где г = г0) когда г = т0, а со = R/T0.

Заключение содержит список основных результатов, полученных в работе.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Ангсачон Т., Манида С.Н. Решение Шварцшильда в Д-нространстве, Вестник СПбГУ, Серия 4. Физика, Химия. Выпуск 2, (2013), 14-19.

2. Ангсачон Т., Манида С.Н., Чайковский М.Е. Законы сохранения для классических частиц в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами, ТМФ, 176:1 (2013), 13-21.

Список литературы

[1] W. de Sitter, Month. Not Roy. Astr. Soc. 78 (1917).

[2] H.-Y. Guo, "Special Relativity and Theory of Gravity via Maximum Symmetry and Localization," arXiv:gr-qc/0707.385 (2007)

[3] S. Cacciatori, V. Gorini, A. Kamenshchik, "Special Relativity in the 21si century," arXiv:hep-th/0807.3009.

[4] S. N. Manida, ТМФ, 2011, 169:2, 323-336.

[5] Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.УРСС (2007) 568 с.

[6] W. Rindler, Ishak M. Phys. Rev. D. 76, 043006, (2007).

[7] Grib A.A., Pavlov Yu.V. Usp.Fiz. 179, 279-283, (2009).

Подписано в печать 11.11.2013г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 150 экз. Заказ № 3339.

Отпечатано в ООО «Издательство "JIEMA"» 199004, Россия, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., д. 24 тел.: 323-30-50, тел./факс: 323-67-74 e-mail: izd_lema@mail.ru http://www.lemaprint.ru

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Элементы специальной и общей теории относительности в Я-пространстве

Диссертация на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, профессор С.Н. Манида

Санкт-Петербург

На правах рукописи

А / т Л А / Е ' "> Л /

Ангсачон Тосапорн

01.04.02 — теоретическая физика

2013

Оглавление

Введение 5

1 Пространство анти-де Ситтера-Бельтрами и /¿-пространство 15

1.1 Построение метрики пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами...................... 15

1.2 Генераторы симметрии в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами ............................ 18

1.3 /¿-пространство.......................... 22

2 Законы сохранения в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами и /¿-пространстве 27

2.1 Сохраняющиеся величины в объемлющем пространстве (Айв^ 28

2.2 Сохраняющиеся величины в координатах Бельтрами .... 29

2.3 Законы сохранения для нерелятивистской космологической частицы.............................. 31

2.4 Энергия нерелятивистской некосмологической частицы . . 33

2.5 Лагранжиан и Гамильтониан для свободной частицы в Я-пространстве ........................... 34

2.5.1 Лагранжев формализм в /¿-пространстве.......34

2.5.2 Гамильтонов формализм в /¿-пространстве......39

2.6 Тензор энергии-импульса в /¿-пространстве ......... 43

3 Решение Шварцшильда в /¿-пространстве 45

3.1 Линеаризованные уравнения гравитации в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами и /¿-пространстве........... 45

3.2 Метрика Шварцшильда в пространстве анти-де Ситтера-Бельтрами ............................48

3.2.1 Предел классической механики в /¿-пространстве . . 50

3.2.2 Метрика Шварцшильда в /¿-пространстве и движение по квазикруговым орбитам ............ 52

3.3 Отклонение луча света в метрике Шварцшильда/¿-пространства 55

3.3.1 Уравнение луча света в Д-пространстве ....... 55

3.3.2 Отклонение луча света для решения Шварцшильда Д-пространства ..................... 56

3.4 Собственное время и падение частиц на центр в поле Шварцшильда Д-пространства ..................... 61

3.5 Ускорение падающих частиц в метрике Шварцшильда Я-пространства ........................... 65

Заключение и литература 71

Введение

Постановка и актуальность проблемы

Пространство де Ситтера/анти-де Ситтера(с18/Ас18) является одним из важных решений уравнений поля Эйнштейна. Эти решения играют важную роль в разных задачах теоретической физики, например описание космологического расширения Вселенной, проблема темной энергии, гипотеза АёЭ/ОРТ-соответствия. Впервые решение пространства де Ситтера найдено в работе [1], а случай пространства анти-де Ситтера в работе [29]. Пространство де Ситтер имеет положительную постоянную кривизну, а пространство анти-де Ситтер - отрицательную. Радиус кривизны этих пространств является величиной Я, которая связанная с

космологической постоянной Л по отношению Я =

Обычно пространство де Ситтера/анти-де Ситтера представляется как однополюсный гиперболоид, вложенный в многомерное пространство Минковского. Они могут описываться в разных локальных координатных системах, например, система стереографических [2], плоских, сферических, и гиперболических координат [17]. В указанных работах на основе специальной теории относительности де Ситтера были построены кинематическая алгебра генераторов симметрии и законы сохранения для классических частиц в этих координатах. Было построено действие для классических частиц и получено уравнение геодезической линии для массивных частиц с помощью параметризационных векторов. Эти векторы выбирают в качестве времениподобных векторов, лежащих на пересечении двумерной определенной плоскости с гиперболоидом, поскольку геодезическая линия в объемлющих координатах в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера является пересечением двумерной плоскости, проходящей через центр гиперболоида, и самого гиперболоида.

С помощью теоремы Нетер выводятся сохраняющиеся величины в объемлющих координатах и получается уравнение массовой поверхности в пространстве де Ситтера. Затем сохраняющиеся величины рас-

сматриваются в различных локальных координатах. В пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера существуют десять сохраняющихся величин как и в пространстве Минковского [17]-[18]. Определены энергия и импульс свободной массивной частицы в пространстве де Ситтера, и показано, что в этом пространстве энергия определяется в локальной системе отсчета, в отличие от пространства Минковского, в котором энергия выводится в глобальной системе отсчета. Кроме того там изучаются физические процессы, такие как столкновение, распад и детектирование массивных частиц. В случае столкновения и распада частиц выводится закон сохранения импульса в объемлющих координатах, и затем осуществляется переход к 4-импульсам в локальных координатах, а в случае детектирования был определено отношение между импульсами в объемлющих и локальных координатах, и показана роль радиуса кривизны пространства в импульсах фотонов в плоских координатах.

Заметим, что сохранение десяти величин выводится из свойства симметрии пространства де Ситтера/анти-де Ситтера, которое является максимально симметричным пространством. Эта симметрия содержит десять параметров: временная трансляция, относящаяся к энергии системы, три пространственные трансляции, соответствующие трем импульсам, три буста и три пространственных поворота, которые отвечают моменту количества движения.

Важность двух пространств де Ситтера заключается в том, что в них существуют две универсальные константы - скорость света с и радиус кривизны пространства В.. В отличие от пространства Минковского вместо Лоренц-инвариантности в этих пространствах существует де Ситтер/анти-де Ситтер-инвариантность, которая описывается с помощью группы 50(1,4) и 50(2,3) соответственно [5]. Эти группы носят название групп де Ситтера/анти-де Ситтера. Теория относительности, основанная на этих пространствах, называется специальной теорией относительности де Ситтера/анти-де Ситтера [4],[17]. Из принципа относительности следует, что физические законы без внешнего поля гравитации должны быть ковариантными при групповых преобразованиях между инерциальными системами отсчета в четырехмерном локальном пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера, а понятие об инерци-альной системе отсчета будет введено ниже. В работах [2]-[4] были построены все генераторы группы де-Ситтера в стереографических координатах, а случаи плоских, сферических, и гиперболических координат были рассмотрены в работах [17]-[18]. Во всех работах показано, что при предельном переходе Я —оо специальная теория относительности де Ситтера/анти-де Ситтера становится специальной теорией относительности Эйнштейна, поскольку все генераторы группы де Ситтера превра-

щаются в генераторы группы Пуанкаре, и значит, что де Ситтер/анти-де Ситтер-инвариантность превращается в Лоренц-инвариантность. Там же показано, что сохраняющиеся величины (энергия, импульсы, момент количества движения) в пространстве де Ситтера переходят в сохраняющиеся величины в пространстве Минковского.

Особой системой локальных коорнат для описания пространства де Ситтера/анти-де Ситтера является система координат Бельтрами. Эти координаты были введены в работе [6]. Координаты Бельтрами являются проекцией половины гиперболоида на определенную плоскость. Важное свойство этих координат заключается в том, что времениподобная геодезическая линия есть прямая [14],[19]. Идеи восходят к работам Фока, Вейля и Умова [30]-[32]. Согласно этим работам для двух систем отсчета существует преобразование координат (дробно-линейное преобразование), которое переводит равномерное движение по прямой в одной системе отсчета в такое же движение в другой системе отсчета, и в механике Ньютона и в специальной теории относительности Эйнштейна движение с постоянной скоростью вдоль прямой линии, называется инерци-альным. Таким образом и пространство Минковского, и пространство де Ситтера/анти-де Ситтера можно называть инерциальными пространствами.

Пусть для свободной частицы существует система отсчета, в которой можно ввести координаты (хг,Ь) и скорость ьг. такие что траектория будет иметь следующий вид

хг = (ж0)г + г>г(£ - ¿о), (1)

где г = 1, 2, 3.

Тогда эта система отсчета и движение являются инерциальными. Очевидно, что если при некотором преобразовании координат и скорости преобразованные величины будут связаны так:

= (2)

то система тоже будет инерциальной. В.А. Фок впервые показал, что общий вид преобразований, связывающих две инерциальные системы отсчета

х: = Л(х„£), (3)

является дробно-линейным преобразованием. Оно преобразует прямую геодезическую линию одной системы отсчета в ту же самую линию в другой системе отсчета.

Для системы координат Бельтрами в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера было построено дробно-линейное преобразование [7],[19], имеющее следующий вид

_ — + (7 — 1)а/'[(аж)/а2 — 1] _ (4)

7(1 + (аж)/Д2) , 7 -у/1 а/К, Щ

где есть 4-вектор и /л = 0,1,2,3.

Это преобразование вместе с преобразованиями вращения и линейными преобразованиям Лоренца образуют группу преобразований де-Ситтера/анти-де Ситтера. В работах [7]-[15],[19],[21] было построено действие для классических массивных частиц в координатах Бельтрами, и показано, что действие инвариантно относительно группы преобразований де Ситтера/анти-де Ситтера (4). В работе [15] были построены лагранжев и гамильтонов формализмы в этих координатах. Далее было найдено уравнение геодезической линии и доказана прямолинейность геодезической линии в координатах Бельтрами. Это удовлетворяет закону инерции, который заключается в том, что свободные частицы и световой сигнал без внешней силы должны сохранять однородное движение вдоль прямой геодезической линии в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. Кроме того были созданы десять генераторов группы де Ситтера/анти-де Ситтера в этих координатах [10],[19] как в случае упомянутых дригих координат. Эти генераторы образуют алгебру яо(1,4) в пространстве де Ситтера, а йо(2,3) в пространстве анти-де Ситтера соответственно. Очевидно, что при стремлении радиуса кривизны пространства к бесконечности (Я —> оо) все генераторы в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера в координатах Бельтрами превратятся в генераторы группы Пуанкаре, описывающие алгебру йо(1 ,3) [7]. В силу теоремы Нетер были выражены десять сохраняющихся величин, образующихся уравнение массовой поверхности. Они тоже превратятся в десять сохраняющих величин в пространстве Минковского при Я —оо, а также лагражиан и гамильтониан в этом пространстве преобразуются в лагранжиан и гамильтониан в пространстве Минковского [15]. Это значит, что де-Ситтер/анти-де Ситтер-инвариантность переходит к лоренц-инвариантности как в случае объемлющих, стереографических, плоских и других координат в пространстве де Ситтера/анти-де Ситтера.

Заметим, что существует интересный предельный переход от пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами, который раньше невнимательно рассматривали во многих работах - это предел с —> оо. Это предельное многообразие носит название Я-пространства. Этот предел впервые рассмотрен в работе В.А. Фока при выводе дробно-линейного

преобразование [30], а прямой предельный переход в формализме группы рассматривается в работах [19],[21], там преобразование Лоренца-Фока выводится из деформации алгебры группы Галилея. Вывод преобразования Лоренца-Фока получается путем теоремы о дробно-линейного преобразования без постулата о скорости света подробно описывается в работах [20], [21]. Это преобразование принимает вид

=-7- ^ (5)

г, =

7о - (7о - 1)£/?о ■ - 70гуГО/Я2'

7о (П1 ~ -То))

7о - (7о - 1 )^/Т0 - 7оЯ?То/Д2 :

г±

7о Ч7о - 1 № - 70ЯЯЬ/Я2'

(7)

где 70 = — = , а Т0 есть параметр преобразования, имеющий раз-

Я2

мерность времени. Точка £ = То, г = 0 переходит в = Го, г* = 0 при этих преобразованиях.

Надо отметить, что предельный переход с —» оо, при котором возникает Д-пространтсво, осуществляется только в случае пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами, а в пространстве де Ситтера вообще и в пространстве анти-де Ситтера в других координатах такого предельного перехода не существует.

Преобразования (5)-(7) вместе с преобразованиями пространственного отражения, обращения времени, пространственной и временной трансляций, пространственного поворота образуют инвариантность, которая называется Лоренц-Фок-инвариантностью. Если положить г <С Ди | £ — Т0 |<С То, то преобразование Лоренца-Фока превратится в обычное преобразование Лоренца со скоростью света Со = Я/То. Это преобразование формирует линейный элемент метрики в следующем виде

йз2 = - (гМ - ¿¿г)2]. (8)

Действие для массивной частицы построено из этого линейного элемента, и тоже получена геодезическая линия для массивной частицы. Замечательно, что действие не содержит скорости света с, а содержит только радиус кривизны пространства Я. Это значит, что в /¿-пространстве присутствует только одна фундаментальная константа Я. В силу теоремы Нетер получаем десять сохраняющихся величин в /¿-пространстве. Эти

величины тоже выводится путем поставки предельного перехода с —оо в десять сохраняющихся величин в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами Четыре из десяти величин образуются уравнение массовой поверхности, зависящее от массы и радиуса кривизны пространства Я Кроме того физические величины в /¿-пространстве могут переходить в физические величины в пространстве Минковского через следующие преобразования координат и времени

ГТП (9)

t + То t +Т0

Движение фотонов в /¿-пространстве образует световые конусы Они удовлетворяют условию нулевого линейного элемента и нулевой массовой поверхности После подстановки этих двух условий в линейный элемент (8) получаем траекторию фотона в виде [21]

r(t, с) = (г0)р + et, (10)

где (г0)р есть координата фотона в начальный момент времени Она проходит через сферу (го)2 = Я2 Таким образом получаем зависимость скорости света от координат и времени в таком виде

c(i,f) = (r к + \JЯ2 -г2 + (f-k)2)/t, (11)

где к есть единичный вектор в направлении движения фотонов Отмечаем, что эта полученная скорость не нарушает принцип постоянства скорости света при выводе преобразования Лоренца-Фока поскольку константа с в этом преобразовании равна скорости света в момент времени Т0 в начале координат Это значит что этот результат отвечает постулату о постоянстве скорости света в специальной теории относительности Эйнштейна Можно считать, что /¿-пространство является космологическим обобщением пространства Минковского, когда значение радиуса кривизны Я равняется радиусу видимой части нашей Вселенной, а То - времени, прошедшему после Большого Взрыва

Основные результаты, выносимые на защиту

• В данной диссертации исследован ряд некоторых физических проблем метрики пространства анти-де Ситтера в координатах Бельтрами в /¿-пространстве Для этого вычислены связность, тензор Римана, тензор Риччи и скалярная кривизна в этом пространстве

Найдено уравнение геодезической линии и доказана ее прямолинейность, т.е. инерциальность рассматриваемого пространства. Затем построены десять генераторов симметрии и вычислен оператор Лапласа-Бельтрами в этом пространстве.

• Получен вид десяти сохраняющихся величин в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами. При предельном переходе с —> оо получены десять сохраняющихся величин в Я-пространстве. Далее выведено уравнение массовой поверхности в случае Д-пространства. В области (Хх — х)2 Я2 получены дополнительные сохраняющиеся величины, которые являются следствием расширенной группы Галилея - группы Шредингера. Построены лагранжиан, гамильтониан и тензор энергии импульса в Д-пространстве.

• Построено линеаризованные уравнения гравитации в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами и в /¿-пространстве. Вычислены метрика Шварцшильда в пространстве анти-де Ситтера в координатах Бельтрами и метрика Шварцшильда в Д-пространстве. Далее в /¿-пространстве найдено уравнение движения массивной пробной частицы и получена квазикруговая орбита. Показано изменение радиуса орбиты Луны. Также вычислено уравнение траектории луча света. Показано, что угол отклонения луча света отличается от случая пространства Минковского дополнительным слагаемым, содержащим радиус кривизны пространства, а от случая пространства де Ситтера - членом с другой степенью радиуса кривизны пространства. Исследовано собственное время в поле Шварцшильда, и вычислено ускорение падающих частиц в таком поле.

Апробация работы и публикации

Габоты по теме данной диссертации опубликованные в следующих журналах, вошедших в перечень ВАКа:

1. Ангсачон Т., Манида С.Н. Решение Шварцшильда в /¿-пространстве, Вестник СПбГУ, Серия 4. Физика, Химия. Выпуск 2, (2013), 14-19.

2. Ангсачон Т., Манида С