Эволюция тройных систем типа ε Lyr тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

М.ОЬ. 90 '

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. ШТЕРНБЕРГА

На правах рукописи УДК 521.13

Соловая Нина Андреевна

ЭВОЛЮЦИЯ ТРОЙНЫХ СИСТЕМ ТИПА е Ьуг

Специальность: 01.03.01 — астрометрия и небесная механика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 1998

А 0

Оглавление

Введение .......................................................... 5

1. Краткий обзор теоретических исследований движения

тройных звездных систем................................... 13

I. Дифференциальные уравнения движения и их преобразования ..

1. Постановка задачи ....................................................................................21

2. Переход к неизменной плоскости........................................................25

3. Исключение короткопериодических членов ....................................30

4. Исключение членов промежуточного периода..............................37

II. Промежуточное движение

1. Дифференциальные уравнения промежуточного

движения.................................................... 42

2. Решение уравнений промежуточного движения

методом Гамильтона-Якоби ..................................................................43

3. Формальное решение задачи в квадратурах ................................46

4. Исходные формулы промежуточного движения..............50

5. Основные типы движений......................................................................53

6. Окончательные формулы........................................................................57

7. Вычисление постоянных интегрирования............................63

8. Вычисление кеплеровских оскулирующих элементов промежуточного движения для момента t ....................................65

III. Динамика эволюции орбит

в тройных ¡звездных системах

1. Вековые возмущения элементов ............................. 68

2. Численное исследование средних изменений угловых элементов ................................................... 73

3. Результаты вычислений..................................... 74

4. Частные случаи промежуточных движений................. 80

5. О предельных случаях....................................... 91

6. Стационарные решения ..................................... 97

7. Орбиты, близкие к стационарным ......................... 101

8. Об эволюции орбит составляющих тройных систем ....... 106

9. Иллюстрация результатов ................................. 112

10. Особый угол взаимного наклона....................................116

IV. Возмущения промежуточного движения

Введение ................................................... 122

1. Исключение /j и ¡2 из F4 ................................... 124

2. Приложение метода вариации произвольных

постоянных ................................................................................................127

3. Выделение вековых частей ..................................................128

4. Отыскание сопряженных канонических переменных..............132

5. О возмущающей функции R ..............................................................135

6. Решение уравнений возмущенного движения ............................139

7. Долгопериодические вариации эксцентриситета

внешней орбиты ........................................... 141

8. Вековые возмущения третьего порядка в движении аргументов периастров и узла ............................. 143

V. Приложение теории к тройным звездным системам

1. Систематизация расчетных формул ....................... 147

2. Тройная система £ UMa.................................... 151

3- Оценка влияния короткопериодических возмущений..............154

4. Исследование качественных характеристик

системы £ иМа ........................................................................................162

5. Оценка возмущений третьего порядка..........................................164

6. Сравнение результатов теории

с результатами численного интегрирования ..............................168

Заключение..................................................... 173

Литература..........................................................................................................177

Приложение ........................................................................................................182

Введение

В настоящей работе исследуется динамическая эволюция тройных систем типа е Ьуг на основе разработанной автором аналитической теории звездной задачи трех тел. Под звездной задачей трех тел в небесной механике понимают частный случай проблемы движения трех материальных точек, взаимно притягивающихся по закону всемирного тяготения Ньютона и характеризующийся тем, что расстояние между двумя из них много меньше, чем расстояние до третьей точки. Массы точек, их эксцентриситеты и взаимные наклонности могут быть произвольными.

В ранних работах, посвященных звездной проблеме трех тел, учитывалось возмущающее влияние далекого тела на близкую пару, а далекое тело описывало невозмущенную эллиптическую орбиту вокруг центра масс тесной пары, поскольку возмущения далекой звезды являются величинами второго порядка малости. Короткопериодические возмущения далекой звезды малы и не могут быть обнаружены из наблюдений. А вековые и долгопериодичские возмущения изменяют положение и форму орбиты настолько медленно, что для их обнаружения требуются очень длительные сроки наблюдений. Однако, в настоящее время можно указать пример тройной звезды, возмущения далекой составляющей которой были обнаружены из наблюдений. Имеется в виду звездная система £ 11Ма. Непйг [8], выполнивший обработку наблюдений этой звезды, охватывающих 175-летний промежуток времени, обнаружил, что наклонность, долгота восходящего узла и угловое расстояние периастра от узла ее внешней орбиты претерпевают изменения. Этот пример показывает, что при исследовании эволюции тройных систем возмущения далекой составляющей должны быть учтены. Построением аналитической теории движения тройной системы в такой

постановке занимались Harrington [5], [б] и Söderhjelm [9]. Но они делали упрощение в формуле угла взаимного наклона и сводили задачу к эллиптическим квадратурам. В обзоре литературы остановимся на этом подробно. Для учета влияния членов третьего порядка Harrington пользовался численными методами.

Целью настоящей работы является построение такой аналитической теории, в которой не делая подобных упрощений в гамильтониане, получить промежуточную орбиту, в которой: а) отражены наиболее существенные особенности движения составлящих с учетом в гамильтониане членов второго порядка, б) промежуточное движение выражалось бы простыми формулами и в нем были учтены вековые движения перистров и узлов и наиболее существенные долгопериодические возмущения, в) решение было пригодно для любых эксцентриситетов и наклонностей.

Работа состоит из пяти глав. В первой главе дана постановка задачи и дифференциальные уравнения неограниченной задачи трех тел в канонических элементах Делоне преобразуются по методу Цейпеля. Гамильтониан разлагается в ряд по степеням отношений больших полуосей. Метод Цейпеля применяется в два этапа. Сначала исключаются члены, зависящие от средней аномалии близкой пары (коротко-периодические члены) и затем члены, зависящие от средней аномалии далекой звезды (члены промежуточного периода). Короткопериодичес-кие члены и члены промежуточного периода получены с точностью до второго порядка включительно. Для аналитических преобразований использовалась компьютерная программа Mathematica [91]. После исключения долгот узлов, гамильтониан системы дифференциальных уравнений зависит от двух угловых переменных - д\ и д^ ~ аргументов периастров внутренней и внешней орбит. Задача сводится к решению дифференциальных уравнений с двумя степенями свободы. В этой главе также дано определение положения неизменной плоскости и

формулы для пересчета элементов орбит к этой плоскости.

Во второй главе дается решение системы дифференциальных уравнений, используя свойство гамильтониана, что первые три члена его разложения в ряд по степеням отношений больших полуосей внутренней и внешней орбит содержат только одну угловую переменную д\ -аргумент периастра близкой пары. Решение дифференциальных уравнений методом Гамильтона-Якоби выражается в гиперэллиптических функциях. Движение, определяемое этим решением, используется как промежуточное при построении аналитической теории тройных систем типа е Ьуг. Орбита близкой пары есть некеплеровский эллипс с постоянной большой полуосью, периодически изменяющимся эксцентриситетом и наклоном и движущимся периастром и узлом. Орбита далекого тела есть некеплер овский эллипс с постоянной большой полуосью, постоянным эксцентриситетом, изменяющимся наклоном и подвижным узлом и периастром. Так как большие полуоси не имеют вековых возмущений, они остаются ограниченными. Но эксцентриситет близкой пары может изменяться в больших пределах. Определены два возможных типа движений - циркулярное, когда периастр близкой пары обладает вековым движением и либрационное, когда периастр совершает колебания в ограниченных пределах около положений дх = 90° или д\ — 270°. Установлены границы существования обоих классов орбит.

Третья глава посвящена вопросам динамической эволюции орбит составляющих тройной системы на основе полученного решения. Исследованы частные случаи промежуточного движения, соответствующие различным предельным вариантам задачи. Изучены свойства этих предельных вариантов, установлены условия применимости общих формул. Приведены формулы, представляющие вековое движение периастров и узлов обеих орбит. Ввиду сложности аналитического исследования формул, проведено численное исследование средних изменений угловых элементов. Результаты представлены в виде графиков.

Рассмотрены случаи: а) переходный случай от орбит циркулярных к орбитам либрационным, б) случай вырождения внутренней орбиты в прямолинейный отрезок. Найдены условия существования стационарных решений и исследована их устойчивость, а также исследованы орбиты, близкие к стационарным. Обнаружено интересное свойство изменения эксцентриситета близкой пары, связанное с углом взаимного наклона. Углы наклона к картинной плоскости обеих орбит в каталогах даются с двойным знаком в случае, когда по визуальным и фотографическим наблюдениям невозможно установить, который из узлов на картинной плоскости является восходящим, а который нисходящим, если неизвестно направление вектора лучевой скорости. Численные расчеты, проводимые для систем £ Aqu, i Cas и ADS 3358 показали, что во всех рассмотренных случаях одному из вариантов наклона соответствует значение eimax близкое к 1. Это означает, что две компоненты настолько близки, что возможно предположить приливные эффекты. Система будет квазинеустойчива.

В четвертой главе рассмотрена задача о возмущениях промежуточного движения. Рассматривая решение задачи с упрощенным гамильтонианом как невозмущенное, применяем к нему метод вариации произвольных постоянных. В качестве возмущающей функции взяты члены третьего и четвертого порядков в гамильтониане. Общее решение дифференциальных уравнений промежуточного движения зависит от 10 произвольных постоянных Ai и Bi (г = 1,2,3,4,5). Так как эти постоянные возникают в процессе интегрирования системы дифференциальных уравнений по методу Гамильтона-Якоби, метод вариации произвольных постоянных осуществляется автоматически согласно общей теории [3]. Искомыми функциями в новой канонической системе являются величины, которые были постоянными интегрирования упрощенной системы. Вместо Bi введены новые угловые переменные Аг-, чтобы при дифференцировании возмущающей функции

время не появилось в явном виде. В качестве новых угловых переменных Лг- принимаются вековые части каждого из аргументов, входящих в выражение возмущающей функции Я под знаком косинуса. Используя теорему Якоби о канонических преобразованиях находим соответствующие переменные Л4-. Гамильтониан преобразованной системы канонических уравнений возмущенного движения равен сумме двух слагаемых - е и Л. Первое слагаемое соответствует невозмущенному промежуточному движению. Оно не зависит от угловых переменных и при К — 0 будет постоянным. Второе слагаемое В = .Р3** представляет возмущающую функцию, зависящую от двух угловых переменных Аз и Л4. Полученная новая система дифференциальных уравнений удобна для применений любых классических методов теории возмущений. Разработан метод решения уравнений возмущенного движения.

Пятая глава посвящена приложению разработанной аналитической теории к реальным тройным звездным системам. Выбрано несколько систем из каталога '\^ог1еу [30], для которых известны элементы орбит, необходимые для вычислений и их массы. Выявлен характер эволюции орбит, изучены вековые и долгопериодические возмущения пе-риастров и узлов внутренней и внешней орбит, исследована их динамическая устойчивость. Результаты, полученные по аналитическим формулам, сравниваются с результатами численного интегрирования системы дифференциальных уравнений неограниченной задачи трех тел и с результатами, полученными другими авторами на основе их аналитических теорий.

Приведена система расчетных формул, по которым, используя исходные данные на момент £ = можно получить значение элементов на любой момент времени.

В процессе выполнения работы применялись формулы, относящиеся к эллиптическим интегралам и функциям Якоби. При этом использовались руководства по эллиптическим функциям [31], [51]—[53]. Про-

граммы, составленные на Фортране имеются в Приложении. В заключение заметим, что основными результатами настоящей работы мы считаем:

1. Построение новой промежуточной орбиты, полученной приближенным решением системы дифференциальных уравнений пространственной неограниченной эллиптической задачи трех тел, предварительно преобразованной по методу Цейпеля. Преимущество такой орбиты в том, что из формул преобразования по методу Цейпеля автоматически получаются короткопериодические и промежуточного периода возмущения. В промежуточной орбите учитываются вековые и долгопериодические возмущения до второго порядка относительно отношения больших полуосей орбит.

2. Получение системы расчетных формул для вычисления вековых движений периастров и узлов внутренней и внешней орбит, максимального и минимального значений эксцентриситета внутренней орбиты и углов наклона в процессе эволюции.

3. Метод вычисления постоянных интегрирования в промежуточном движении.

4. Исследование двух возможных типов движений в тройных системах, подобных е Ьуг: циркулярных, когда периастр внутренней орбиты обладает вековым движением, и либрационных, когда периастр совершает периодические колебания около одного из положений д\ = 90° или 91 = 270°.

5. Важность определения знаков наклонностей орбит к картинной плоскости в тройных звездных системах. Когда углы наклона для тройной системы даны в каталоге с двойным знаком выявилось одно интересное обстоятельство: одному из возможных вариантов каждой из рассмотренных тройных звезд соответствовал случай, когда эксцентриситет внутренней орбиты периодически принимал значения, близкие к 1. В этом случае возможно тесное сближение звезд внутренней

пары, которое может привести к возникновению приливных явлений. Определен интервал времени, начало которого совпадает с моментом достижения минимального периастрального расстояния. В одном из рассмотренных вариантов система не сможет существовать длительное время как тройная, так как произойдет распад внутренней пары вследствие столкновения ее составляющих. Это означает существование особого угла взаимного наклона внутренней и внешней орбит. Если в начальный момент угол взаимного наклона орбит близок к особому, то обязательно наступит момент, когда эксцентриситет внутренней орбиты будет близок к 1.

6. Метод решения уравнений возмущенного движения. Обнаружены слабые долгопериодические возмущения в эксцентриситете внешней орбиты системы £ иМа и вековые возмущения в движении периастров и узлов обеих орбит.

7. Приложение разработанной аналитической теории к реальным тройным звездным системам показало, что при отсутствии резонансов и достаточно малом отношении больших полуосей внутренней и внешней орбит, промежуточное движение удовлетворительно представляет движение тройной звездной системы. Это подтверждают сравнение результатов, полученных по формулам теории с результатами численного интегрирования и сравнение с результатами, которые получил Не^г, из обработки наблюдений.

Содержание настоящего исследования представляет определенный законченный этап работ по построению теории движения тройных систем с массами одного порядка, и такими взаимными расстояниями, что два тела образуют близкую пару, а третье находится на значительном расстоянии от каждого. Работа была начата автором под руководством доктора физико-математических наук А. А. Орлова в отделе небесной механики ГАИШ и продолжена самостоятельно после его смерти в 1986 году.

Основное содержание опубликовано в следующих работах:

1. Соловая Н. А.: Частные случаи промежуточных движений в звезд-

ной задаче трех тел. Труды ГАИШ, 1974, Ь. X, с. 119-136.

2. Соловая Н. А.: О стационарных промежуточных движениях в

звездной задаче трех тел. Вестник Московского Университета, 1975, Серия 3, вып.