Факторпредставления типа II1 групп матриц с элементами из поля конечной характеристики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах

Кохась Константин Петрович

-к. ^

ФАКТОРПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТИПА II! ГРУПП МАТРИЦ С ЭЛЕМЕНТАМИ ИЗ ПОЛЯ КОНЕЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация:

Институт проблем передачи информации РАН

А. М Вершик

П. П. Кулиш С. И. Карпушев

Защита диссертации состоится " ^ " -гос с года в час.

на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, комн. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПО МИ им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "22 "а^^Щ, я 2004 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

А. Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Группы матриц с матричными элементами из счетного дискретного поля служат примерами групп, для которых многие "естественные" вопросы, особенно в теории представлений, не имеют ни простого ответа, ни общепринятого подхода к исследованию С точки зрения теории представлений, описание классов эквивалентности унитарных неприводимых представлений для них — задача, не имеющая обозримого ответа. Вместе с тем указанные группы относятся к классу локально полупростых групп, что позволяет вести их исследования, пользуясь конечномерными аппроксимациями.

Теория локально полупростых алгебр разработана в работах Братте-ли [5], Эллиотта [7], Эффроса и др. [6] в 70-е-80-е гг. прошлого века. Ее результаты показывают, что классические задачи теории представлений — описание следов, факторпредставлений, группы Гротендика, гармонический анализ — в принципе могут быть решены или во всяком случае сформулированы на специфическом комбинаторном языке диаграмм Браттели и сопутствующих объектов. Нетривиальным примером применения этого подхода служат работы Вершика-Керова [1, 2] о бесконечной симметрической группе, в которых вычислены АГ-функтор, следы и т.д. для этой и ряда других групп.

Дискретные нильпотентные группы, особенно группа Гейзенберга, являются популярными объектами, поскольку часто служат "испытательным стендом" для построения той или иной теории. Ответ на многие вопросы для нильпотентных групп Ли дала классическая работа Кириллова 1962 г. [3], заложившая основы теории орбит. Техника положительно-определенных функций для дискретных счетных групп развита в работах Тома, в частности (10]. В работе Смирнова [4] (1966 г.) приведена классификация следов на алгебраических нильпотентных группах над счетным дискретным полем характеристики 0. В статье Хау [8] (1977 г.) описано пространство примитивных идеалов дискретных конечно порожденных нильпотентных групп свободных от кручения. Для случая конечных нильпотентных групп ступени 2 теория орбит описана в заметке Михайловса [9] (2000 г.).

Цель работы. Основной целью данной работы была реализация аппроксимативно конечномерного подхода к описанию факторпредставлений, следов и /("-функтора определенного класса дискретных групп, при-

менение конечномерных аппроксимаций ам, а так-

же построение метода орбит для дискретных нильпотентных групп ступени 2.

Общая методика работы. В работе использовались как классические методы теории представлений и анализа (вычисления с характерами, теория орбит, положительно определенные функции, асимптотика), так и специфические методы теории локально полупростых алгебр.

Основные результаты работы. 1. Описаны группы Гротендика групповых алгебр группы SL^ к группы Гейзенберга над счетным дискретным полем конечной характеристики (в случае SL2 рассматривалось алгебраически замкнутое поле).

2. Построена теория орбит для дискретных нильпотентных групп ступени 2, связывающая орбиты и факторпрсдставления.

3. Доказаны спектральные оценки для оператора Лапласа на дискретной группе Гейзенберга.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в различных областях математики и приложениях, где встречаются счетные дискретные группы. Оценки спектра оператора Лапласа могут найти применение в теории изопериметрических неравенств и неголономной геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по теории представлений и динамическим системам ПОМИ РАН, а также были представлены на международной конференции "Combinatorics, Dynamics, Probabilities" (Стокгольм, 2000).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в пяти работах [11, 12, 13, 14, 15], перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Нумерация разделов, формул, лемм, предложений и теорем ведется отдельно для каждой главы. Текст диссертации изложен на 89 страницах Список литературы содержит 34

наименований'. '" ' "

» i •

• .Л "в1 -

содержание работы

В первой главе мы рассматриваем счетную дискретную группу Г = РБЬ(2, Рр), где — счетное алгебраически замкнутое поле. Эта группа относится к классу локально-конечных групп, в чем нетрудно убедиться, рассматривая реализацию поля как индуктивного предела возрастающей последовательности конечных полей Fpп. В первой главе настоящей диссертации мы детально описываем диаграмму Братте-ли групповой алгебры С (Г) и даем полное описание группы Гротсндика конечно-порожденных проективных виртуальных модулей алгебры С(Г) с указанием в ней конуса истинных проективных модулей (теорема 1.2.1).

В первом параграфе приводятся основные определения и свойства локально полупростых алгебр.

Определение. Пусть А\ с А2 с А3 с -.. — возрастающее семейство конечномерных полупростых алгебр. Индуктивный предел этого семейства называется локально полупростой алгеброй.

Далее приведены определения диаграммы Браттели, ее порядковых идеалов, группы Гротендика и ее следов.

Во втором параграфе дана формулировка основной теоремы вместе с определением сопутствующих технических объектов. Замечательно, что описание А^-функтора удалось дать в инвариантных терминах, не зависящих от аппроксимации и структуры диаграммы Браттели.

Пусть Н = — группа характеров мультипликативной группы

поля Р* . Обозначим через — пространство непрерывных целознач-ных симметричных функций наЯс четным значением в единице, т. е. таких функций, что 1 )У7еЯ Л7)е2;

2)/(7) = /(7"1); _

3) /(1) е 22, где 1 — единичный характер Гр.

Обозначим через 7Р(Н) — подпространство функций из 2(Я) с интегралом, равным нулю.

4) ¡н /(7) (¿7 = 0, интегрирование по мере Хаара на группе Н.

Мы рассматриваем Ъ(Н) и 1Р(Н) как аддитивные группы относительно операции поточечного сложения.

Определим 2-коцикл на аддитивной группе со значениями в группе ЩН). Пусть г 6 2(Я) — функция, тождественно равная 2. Всякое рациональное число г — ^ (несократимая запись) можно единственным образом представить в виде

а Ъ

г —--1--

рз р<р(тп) _ 1 '

где !-р(п) — функция Эйлера и второе слагаемое лежит в промежутке [0,1]. (В случае т — 1 второе слагаемое равно нулю.) Обозначим через г — р-целую компоненту этого разложения г = у Пусть п, гг £ О,

гз = п + г2, г, = Д/тп, задается формулой

несократимые записи этих чисел. Коцикл

Т2) = Ы^тз) - Ь/жгт) ~ ~ [Й + г2]г,

где /„ — функции из 2°(Н), определяемые следующим образом

\рп - 2, если = 1, [—1, иначе,

ш =

п= 1.2...

/0(7) — 0 •

Это определение соответствует случаю р = 2, для нечетных р определение функций /„ отличается незначительными деталями.

Теорема (1.2.1). Группа Гротендика С = /Го(С(Г)) изоморфна нетривиальному расширению <0> х.а Ъ(Н) с помощью коцикла а. Элементы группы суть пары (г; /), г е (ф, / € Ъ{Н). Конус истинных модулей состоит из элементов, для которых г > 0 и г + > 0. Порядковой единице, т е. одномерному свободному модулю соответствует элемент (1; г), где г — функция из Ъ{Н), тождественно равная 2. Ан-нулятор обоих следов имеет вид

Коо(С(Г))=={(0,/)еС: /(1) = 0}.

В третьем параграфе мы приводим сведения о конечномерных представлениях конечных групп Р8Ь(2, Ррп) и описываем диаграмму Брат-тели алгебры С(Г). Случаи р = 2 и р — нечетное простое имеют незначительные отличия, мы ограничимся случаем р = 2, который технически чуть проще. Основным результатом и главным техническим средством в доказательстве теоремы является следующая лемма, опирающаяся на довольно громоздкие вычисления с характерами.

Лемма (1.3.1). Матрица кратностей ограничений представлений ГЧк на имеет вид:

к-1 к 1 Тг т*

1 1 0 0 0

п дс(п - 2) + 1 с(п) а(п — 1) Ь(п - 1)

% дс{п - 2) + е с(п) + 6 а(п - 1) + V Ь(п - 1) + А

дс(п - 2) с(п) а(п — 1) Ь(п - 1)

Здесь е, 6, А, V — числа, которые равны ±1 или 0, в зависимости от -к.

£ — 1, если = 1, или тг^р2) = 1. В остальных случаях е — 0.

<5 = 1, если = 1; <5> = -1, если 7г|(/¡{Р2) — 1- Ипаче $ — 0.

V = 1, если = (тг')*1, б остальных случаях и = 0.

А = —1, если тг^!^) = (<т')±2, в остальных случаях А = 0.

Естественный шаг в описании Л"о(Г) — нахождение следов.

Лемма (1.3.2). На алгебре С(Г) имеется лишь два неразложимых следа — след одномерного представления и след р, регулярного представления.

Следствием этого утверждения является тот факт, что следы алгебры С(Г), как гомоморфизмы Йо(Г) —♦ К, не разделяют проективные модули.

В четвертом параграфе приведено доказательство основной теоремы.

Отметим прозрачный структурный инвариант, различающий группы Гротендика Ко(Г) при разных р: подгруппа бесконечно делимых элементов А'о(Г) изоморфна группе Щ\ /р] рациональных чисел со знаменателями — степенями числа р.

Результаты первой главы опубликованы в работе [11].

Во второй главе диссертации мы описываем конечные комплексные факторпредставления группы Гейзенберга Н (над счетным полем F характеристики р) и группу Гротендика Ко(С(Н)). При этом мы пользуемся техникой, отличной от техники, использованной в работах [3, 10, 4, 8, 9]. А именно: благодаря тому, что поле, над которым рассматриваются матричные элементы группы, может быть реализовано как индуктивный предел возрастающей цепочки полей, всю информацию о факторпред-ставлениях группы Гейзенберга мы получаем в результате предельного перехода. Таким способом удается описать все следы группы Гейзенберга, дать конструкцию факторпредставлений, доказать формулу Планше-реля, и описать Ао-функтор. Замечательно, что описание Ао-функтора в этом случае можно дать в инвариантных терминах, не зависящих от аппроксимации и структуры диаграммы Браттели.

В первом параграфе приводятся основные сведения о конечномерных представлениях группы Гейзенберга.

Во втором параграфе мы описываем диаграмму Браттели и примитивные идеалы схемы ветвления.

В третьем параграфе второй главы мы описываем факторпредставления группы Н.

Определение. (Аддитивные) характеры а, 0 € Р называются р-экви-валентными, если найдется такой элемент поля г & Р, что Ух € Р

(а - (3)(х) = р(гх).

Понятие р-эквивалентности — это пересказанное на другом языке понятие хвостового отношения эквивалентности в пространстве путей схемы ветвления. Определим операцию "сложения" характеров из Р и элементов поля то есть аддитивное действие Р на Р. Это действие зависит от фиксированного ранее характера р. Мы интерпретируем здесь характеры как отображения Р —> (через Р^ обозначена аддитивная группа поля Рр) и используем для произведения характеров аддитивную запись.

Определение. Рассмотрим произвольный характер а £ Р. Для любого а € .Р положим

а' = а + р(а-).

Будем писать, что а' — а + а. Очевидно, характеры а и а + а р-эквивалентны.

Обозначим через Вр множество пар р-эквивалентных характеров поля Р. Как множество Вр = Р х Р. Введем на Вр меру, являющуюся произведением мер Хаара на Р и Р+.

Для а € Р обозначим через ха, уа, га элементы группы Н вида

/1004 /юо\ /" 1 о о \

а:- =(0101- Уа — { 0 1 а ) , 2а = 0 1 0 ) . 0 \ 0 0 1 / У \0 О 1У ' " 400 1/

Мы используем элементы ха, уа, ¿а как суррогаты образующих, поскольку группа Н не является конечно порожденной.

Теорема (2.3.1). Зафиксируем произвольный нетривиальный аддитивный характер р € Р. Представление жр, действующее в пространстве Ь2(ВР) следующим образом:

(тгр(х0)/)(а,/?)==/(а + а,/?), (тгр(уа)/){а,Р) = а(а)/(а,0),

является факторпредставлением типа 11\. След этого представления задается формулой

Тгр(д) = 6Х,о • <5у,о • р(г), где д = ( о 1 у ) .

Теорема (2.3.2). Следы представлений жр, р € Р, р ф 1, образуют полный список неодномерных конечных следов группы Н.

Утверждение этой теоремы аналогично утверждению классической теоремы Стоуна-фон Неймана, дающей классификацию неприводимых представлений вещественной группы Гейзенберга. Как и в классическом случае, множество представлений (точнее, следов) параметризуется одномерным пространством (двойственным к исходному), к которому вместо одной точки приклеена двумерная плоскость, соответствующая одномерным представлениям.

В четвертом параграфе мы доказываем теорему о разложении регулярного представления и формулу Планшереля.

Мы проверяем, что алгебра центральных функций на Я естественным образом изоморфна алгебре С(Р) непрерывных функций на группе характеров.

Теорема (2.4.1). Регулярное представление 7Г группы Я раскладывается по подалгебре 7г(С(Р)) с (7г(С(Я))) в прямой интеграл фактор-представлений

7Г = ^ жр <1р,

где представления тгр описаны в теореме 2.3.1, а интегрирование ведется по мере Хаара на Р.

Теорема (2.4.2). Для любой функции / € Ь1{Н)ПЬ2(Н) с С (Я) верна формула Планшереля

[ Ш\г<Ь = [ -ПгДтгДЯтДОЭф, ЗН JF

где интегрирование в левой части ведется по мере Хаара на Н, а в правой части — по мере Хаара на F.

В пятом параграфе мы описываем группу Гротендика Ко(С(Н)).

Определение. Пусть Я = (Р \ {1}) и(Р х Р) — пространство фактор-представлений группы Я. Назовем функцию / : Я Ъ\ 1/р] бинепре-рывной, если

1) £ принимает целочисленные значения на Р х Р и сужение / на Р х Р непрерывно;

2) функция д : .Г —► 2[1/р], заданная формулой

х € Р \ {1},

= (Ах),

9^ 1г Х = 1,

где интегрирование во втором случае ведется по мере Хаара на Р х Р, непрерывна.

Теорема (2.5.1). Группа Гротендика Ко(СН) изоморфна аддитивной группе бинепрерывных функций на Н. Конус истинных модулей состоит из неотрицательных функций, а порядковая единица — это функция тождественно равная единице.

В шестом параграфе второй главы мы пересказываем все полученные результаты для (2т + 1)-мерной группы Гейзенберга.

Результаты второй главы опубликованы в статьях [12] и [13].

В третьей главе мы применяем другие подходы к задаче об описании следов произвольной дискретной нильпотентной группы ступени 2, более близкие к работам [4, 9]. Понятия "кольцо Ли", коприсоединенное представление для конечных нильпотентных групп даны в статье Ми-хайловса [9]. Мы расширяем теорию орбит Михайловса для конечных нильпотентных групп с 2-делимым центром на случай счетных групп.

В первом параграфе приведены необходимые определения и факты теории орбит. Далее мы дополняем "конечную" теорию орбит утверждением о функториальности соответствия между орбитами и представлениями (аналог классической теоремы Кириллова).

Теорема (3.1.1). Пусть С — конечная нильпотентная группа ступени 2 с 2-делимым центром, Со — ее конечная подгруппа, в и до — соответствующие кольца Ли, Р — естественная проекция 0* на 0д.

1) Если Т = т(£2) — неприводимое представление группы С, соответствующее орбите п с 0*, то представление То = Т\а0 подгруппы Со разлагается в прямую сумму представлений, соответствующих тем орбитам в которые содержатся в Р(Г2):

здесь к — это число орбит коприсоединенного представления группы Со во множестве Р($1).

2) Если То — неприводимое представление подгруппы Со, соответствующее орбите По коприсоединенного представления Со, то пред-ставление тс1^0 То разлагается в прямую сумму представлений группы соответствующих тем орбитам в 0*, которые пересекаются

Во втором параграфе мы обобщаем классическую конструкцию представления по орбите для случае счетных групп так, что в результате получается факторпредставление. Конструкция представления по орбите — это индуцирование с допустимой подалгебры. Мы показываем, что в

с Р~1(По).

рассматриваемом случае индуцирование со стабилизатора можно проводить двумя способами ("слева" и "справа"), причем эти способы порождают коммутирующие представления в одном и том же пространстве, которые задают факторпредставление исходной группы.

Теорема (3.2.1). Пусть G — произвольная счетная нильпотентная группа ступени 2 с 2-делимьш центром, Q. — орбита коприсоединен-ного представления группы G, х £ ^ ~ произвольная точка орбиты, Sa — стабилизатор точки Х- Тогда представление ttq = indg*G х группы G х G (индуцирование в смысле определения 3.2.1) неприводимо и тем самым определяет некоторое факторпредставление группы G. Это представление — типа Iii или In со следом

Нетрудно видеть, что в рассматриваемой теории факторпредставление определяется не орбитой, а целым классом орбит (получающимся замыканием в слабой топологии), что фактически соответствует понятию р-эквивалентности из второй главы.

Во третьем параграфе мы показываем, как результаты второй главы о представлениях могут быть получены с помощью метода орбит.

Во четвертом параграфе мы подходим к задаче о факторпредставле-ниях нильпотентной группы ступени 2 со стороны описания следов. Мы обобщаем на случай дискретных нильпотентных групп теорему Смирнова [4], в которой дано описание крайних точек множества положительно определенных функций на алгебраической нильпотентной группе над полем характеристики 0, и показываем как это описание для групп с 2-делимым центром может быть получено из рассмотрения орбит копри-соединенного представления.

Пусть М((?) обозначает множество положительно определенных функций на группе С, постоянных на классах сопряженных элементов и таких, что <р(е) = 1 Известно, что множество М{С) — выпуклый компакт

Теорема (3.4.1). Пусть (7 — дискретная нильпотентная группа ступени 2, Н — нормальный делитель С; С — центр факторгруппы б/Я; р — естественная проекция С на С/Н. Обозначим через ж характер С, не обращающийся в 1 ни на какой нетривиальной подгруппе С. Тогда функция, заданная формулой

9 е Sa,

=

тг(p(g)), если p(g) £ С, О, если p(g) £ С,

являетпся крайней точкой множества M(G). Обратно, всякая крайняя точка M(G) может быть получена такой конструкцией

Теорема (3.4.2). Пусть G — произвольная счетная нилъпотентная группа ступени 2 с 2-делимым центром. Каждая функция ¡p(g) = Trnn(g) является крайней точкой множества M(G). Каждая крайняя точка M{G) имеет такой вид.

Наконец, мы доказываем теорему о разложении факторпредставле-ния, соответствующего орбите, при сужении на подгруппу.

Теорема (3.4.3). Пусть G — конечная или счетная нилъпотентная группа ступени 2 с 2-делимым центром, Gq — ее подгруппа, 0 и 0о — соответствующие кольца Ли, Р — естественная проекция 0* на gj.

Если Т — факторпредставление группы G, соответствующее орбите U с д*, то представление То = Т\с0 подгруппы Gо разлагается в прямой интеграл факторпредставлений, соответствующих тем орбитам в 05, которые содержатся в P(fi), где О — замыкание орбиты fl.

Результаты этой главы опубликованы в статье [14].

В четвертой главе мы рассматриваем оператор Лапласа на группе Гейзенберга верхнетреугольных матриц 3 х 3 с целочисленными элементами для системы образующих

5={*=Ш?)' »-(Ш)- f1}-

Со времен работы Кестена 1959 г. известно, что спектр оператора Лапласа несет много информации как о самой группе, так и о паре (группа; система образующих) — свойства случайного блуждания, изопериметри-ческие неравенства, экспандерные свойства и т.д. Для конечных групп хорошо изучены связи между вторым собственным числом оператора Лапласа и геометрическими свойствами группы.

Аналогичный оператор Лапласа для конечной группы Гейзенберга хорошо известен физикам, поскольку матрицы, задающие этот оператор в конечномерном представлении, возникают при изучении оператора Хар-пера и уравнения Матье. Несмотря на это, оценки на собственные числа, которые мы устанавливаем в этом случае, по-видимому, в силу специфики задачи, ранее известны не были (впрочем они совершенно прозрачны с точки зрения численного эксперимента).

В рассматриваемом случае спектр оператора Д совпадает с отрезком [—1,1]. Рассмотрим семейство Ех, х 6 [—1,1] спектральных проекторов оператора Д и соответствующую спектральную меру ¡лА = (Ед5е,<5е),

где 6е g Ij2{H) — характеристическая функция единичного элемента группы Н. Основным результатом главы является следующая теорема

Теорема (4.4.1). Для любого положительного а существует такая константа С, что имеет место неравенство

/í([—1, —1 + í] U [1 — í, 3]) > Ct2+a.

Результаты этой главы получены в соавторстве с А П Суворовым и опубликованы в работе [15].

В первом параграфе мы вычисляем вид оператора Лапласа в конечномерных представлениях группы Гейзенберга.

Во втором параграфе мы показываем, что собственные числа оператора Д„ в неодномерных неприводимых представлениях не превосходят величины 1 — 0(~).

В третьем параграфе дана комбинаторная реализация характеристических полиномов оператора Дп в многомерных представлениях.

Наконец, в четвертом параграфе мы оцениваем спектральную меру оператора Д, опираясь на оценки, сделанные для конечной группы.

Автор пользуется случаем выразить самую искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору А. М. Вершику за постановку задач, терпение и оказание неоценимой помощи на всех этапах работы над диссертацией.

Литература

[1] Вершик A.M., Керов C.B. К-функтор (группа Гротендика) бесконечной симметрической группы // Зап. науч. семинаров ЛОМИ 1983. 123. С. 126-151.

[2] Вершик A.M., Керов C.B. Характеры и факторпредставления бесконечной симметрической группы. // Докл. АН СССР. Т. 257. 1981 N. 5. С. 1037-1040.

[3] Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли.// УМН. 1962. T. XVII. Вып. 6. С. 57-110.

[4] Смирнов C.B. Положительно определенные функции на алгебраических нильпотентных группах над дискретным полем. // ДАН СССР. 1966. Т. 170, N3. С 524-525.

[5] Bratteli О Inductive limits of finite dimensional С*-algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 171. P. 195-234.

[6] Effros E, Handelman D., Shen C. Dimension groups and their affine representations. Ц J. Oper. Theory. V. 2, 1979. N. 2. P. 215-231.

[7] Elliott G. On classification of inductive limits of sequences of emisimple finite dimensional algebras. // J. Algebra. 1976. V. 2. N. 2. P. 215-231.

[8] Howe R. On representations of discrete, finitely generated, torsion-free, nilpotent groups // 1977.

[9] Mihailovs A. Tho orbit method for finite groups of nilpontency class two of odd order. // arxiv.org: math.R.T/0001092

[10] Thoma E. Uber unttare Darstellung abzahlbarer, diskreter Gruppen. // Math. Ann. 1964. V.153. P. 111-138.

Публикации автора по теме диссертации

[11] Вершик A.M., Кохась К П. Вычисление группы Гротендика алгебры C(PSL(2, к)), где к — счетное алгебраически замкнутое поле. Алгебра и анализ Т. 2. 1990. вып. 6, 98-106.

[12] Кохась К. П. Классификация комплексных фактор-представлений трехмерной группы Гейзенберга над счетным полем конечной характеристики. // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 283. С. 140-155.2001.

[13] Кохась К. П Классификация конечных факторпредставлений (2т + I)-мерной группы Гейзенберга над счетным полем конечной характеристики. // Функц. Анализ. Т. 36. N 3 С. 79-83.

[14] Кохась К. П. Конечные фокторпредставления нильпотентных групп ступени 2 и теория орбит. // Зап научн. семин. ПОМИ. Т. 307. 2004.

[15] Кохась К. П., Суворов А. П. Спектральные оценки оператора Лапласа дискретной группы Гейзенберга. // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 256. С. 129-144. 1999

Подписано в печать 15 11.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 усл. п л Тираж 100 экз Заказ 3433. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

РНБ Русский фонд

2006и4 2061 •"-265

Введение

Локально полупростые алгебры.

Дискретные нильпотентные группы.

Оператор Лапласа на дискретной группе Гейзенберга.

Структура диссертации.

1. Вычисления группы Гротендика алгебры С(Р5Х(2, &)), где к — счетное алгебраически замкнутое поле

1.1. Сведения об ЛП-алгебрах.

1.2. Основные определения и обозначения. Формулировка теоремы

1.3. Сведения о представлениях группы Г. Теорема ветвления и следы

1.4. Описание группы С. Доказательство теоремы.

2. Классификация конечных факторпредставлений группы Гейзенберга над счетным полем конечной характеристики

2.1. Представления конечных групп Гейзенберга Нд.

2.2. Диаграмма Браттели, двусторонние идеалы алгебры С(Н)

2.3. Факторпредставления.-.

2.4. Разложение регулярного представления.

2.5. Группа Гротендика К0(С(Н)).

2.6. Факторпредставления (2га + 1)-мерной группы Гейзенберга

3. Орбиты

3.1. Метод орбит для конечных нильпотентных групп ступени

3.2. Орбиты и факторпредставления.

Локально полупростые алгебры

Важным классом счетных дискретных групп являются локально-конечные группы, т.е. индуктивные пределы последовательностей конечных групп. Групповая алгебра локально-конечной группы есть предел конечномерных полупростых алгебр; алгебры, характеризующиеся этим свойством (точнее, их С*-оболочки), называются локально полупростыми или, сокращенно, ЛП-алгебрами. Теория ЛП-алгебр разработана в работах Браттели [23], Эллиотта [26], Эффроса и др. в 70-е-80-е гг. прошлого века. Напомним основные методы, используемые в этой теории.

Пусть А = и^Дг — ЛП-алгебра. Структура ЛП-алгебры А задается диаграммой Браттели — бесконечным градуированным графом, т. е. локально конечным графом без висячих вершин, в котором множество вершин разбито на конечные подмножества ("этажи"), пронумерованные натуральными числами, а ребра (допустимы кратные ребра) могут быть проведены только между вершинами, лежащими на соседних этажах, причем из каждой вершины выходит хотя бы одно ребро к вершине, лежащей на предыдущем этаже. Этажи диаграммы Браттели соответствуют конечномерным алгебрам Ап. Вершины одного этажа графа нумеруются простыми идеалами алгебры Ап, а ребра, идущие с к-то этажа на (к + 1)-й, описывают вложения А^ с Аь+ъ кратность ребра, соединяющего вершины уп и уп+1, равна количеству компонент вида уп содержащихся в сужении Ап+1-модуля уп+1 на Ап.

Замкнутые двусторонние идеалы и группа Гротендика К0(А) ЛП-алгебры А могут быть описаны комбинаторно на языке диаграмм Браттели. Например (см. [23]), существует биекция между множеством примитивных идеалов ЛП-алгебры и множеством насыщенных идеалов ее диаграммы Браттели (мы приводим необходимые определения в главе 1). Описание следов и представлений ЛП-алгебры требует изучения центральных мер на пространстве путей диаграммы Браттели. Подробности, другие результаты и точные ссылки приведены в обзоре [1].

В главе 1 мы рассматриваем счетную группу Г = РЗЬ(2,к), где к — счетное алгебраически замкнутое поле. Рассматриваемая группа относится к классу локально-конечных групп, в чем нетрудно убедиться, рассматривая реализацию поля к как индуктивного предела возрастающей последовательности конечных полей. В главе 1 настоящей диссертации мы детально описываем диаграмму Браттели групповой алгебры С(Р5Х(2, к)) и даем полное описание группы Гротендика конечно-порожденных проективных виртуальных модулей алгебры С(Р5Х(2, &)) с указанием в ней конуса истинных проективных модулей (теорема 1.2.1). Подчеркнем, что, как и для большинства локально-конечных групп (и ЛП-алгебр), описание с точностью до эквивалентности всех неприводимых унитарных представлений группы Г (или неприводимых ^-представлений алгебры С(Г)) — задача труднообозримая. По терминологии теории представлений эта группа "дикая" — ее дуальный объект не имеет разумной параметризации. В то же время классификация проективных модулей, описание соответствующей категории и функтора К0 есть содержательная задача, ставшая традиционной в этой теории (ср. с [2]). Замечательно, что удается дать ответ в терминах, не зависящих от аппроксимации и структуры диаграммы Браттели.

Естественный шаг в описании /^о(Г) — нахождение следов. И тут проявляется несколько неожиданных эффектов.

Лемма (1.3.2). На алгебре С(Г) имеется лишь два неразложимых следа — след одномерного представления и след р, регулярного представления.

Это резко контрастирует с известными классическими примерами: симметрическая группа ^оо, £/(оо) (см. [1-3]), дискретная нильпотентная группа ступени 2 (см. главы 2, 3 настоящей диссертации).

Лемма (1.4.2). Следы алгебры С(Г), как гомоморфизмы ^о(Г) —> М, не разделяют проективные модули.

Иными словами, существуют Рь Р2 Е .Ко"(Г), [Р{\ ^ [Рг], для которых ф(Р\) = ¥>(р2) для всех следов (р. Поэтому главной частью в анализе структуры группы Гротендика /<"0(Г) является описание ядра ■Коо(Г) — аннулятора всех следов и последующее восстановление группы А'о(Г) по ядру и образу гомоморфизмов следов (здесь это <0> 0 1). И тут мы обнаруживаем еще один новый эффект: Ко(А) есть расширение с нетривиальным 2-коциклом. Как показывает анализ, это связано с некоторой нерегулярностью поведения кратностей в разложении представлений Гр» на неприводимые компоненты при ограничении на меньшую подгруппу (см. таблицу леммы 1.3.1).

Главный результат главы 1 — теорема 1.2.1, в которой дано описание группы Гротендика АГ0(Г)- Мы не приводим здесь формулировку теоремы, поскольку для этого требуется ввести ряд технических определений и обозначений. В целом следует сказать, что, несмотря на некоторую громоздкость, описание Ко(С(Г)) для Г = Р8Ц2,Рр) естественнее, чем для групп Р5Х(2, к) над конечными полями, хотя бы потому, что не возникает модулей, связанных с квадратичными расширениями полей.

Результаты этой главы опубликованы в работе [4].

Дискретные нильпотентные группы

Во 2-й и 3-й главе мы рассматриваем дискретные счетные нильпотентные группы ступени 2, прежде всего, группу Гейзенберга верхнетреугольных матриц 3 х 3 с элементами из счетного поля Р конечной характеристики. Напомним некоторые факты о теории представлений нильпотентных групп.

В 1962 г. в известной работе А.А.Кириллова [10] была построена теория орбит для вещественных нильпотентных групп Ли. Оказалось, что все неприводимые унитарные представления вещественной нильпотентной группы Ли параметризуются орбитами ее коприсоединенного представления и ответы на все основные вопросы теории представлений для этих групп могут быть даны в терминах орбит.

Дискретные счетные нильпотентные группы относятся к классу "диких" групп, множество их неприводимых унитарных представлений не имеет разумной классификации. В то же время множество характеров этих групп, т. е. центральных положительно-определенных неразложимых функций, имеет обозримый характер. В статье С.В.Смирнова [19] приводится классификация следов на алгебраических нильпотентных группах над счетным дискретным полем характеристики 0. Избыточно множество следов группы G параметризуется парами (iV, х), где N — нормальная подгруппа в G, х — невырожденный характер центра факторгруппы G/N. В доказательствах автор использует технику положительно-определенных функций, развитую в работах Е. Thoma, в частности [34].

В статье R.Howe [28] описано пространство примитивных идеалов дискретных конечно порожденных нильпотентных групп свободных от кручения. По теореме Мальцева каждая такая группа может быть реализована как дискретная подгруппа в односвязной нильпотентной вещественной группе Ли. С помощью этого соображения автор определяет "алгебру Ли" и коприсоеди-ненное действие группы. Основной результат состоит в том, что пространство примитивных идеалов дискретной конечно порожденной нильпотентной группы гомеоморфно подходящему пространству квазиорбит коприсоединенного действия.

Наконец, в небольшой заметке А. Михайловса [32] описана теория орбит для конечных нильпотентных групп ступени 2. Для каждой дискретной нильпотентной группы ступени 2 с 2-делимым центром определено кольцо Ли, коприсоединенное представление исходной группы в группе аддитивных характеров кольца Ли, а в случае конечной группы предъявлена конструкция, позволяющая построить неприводимое представление по орбите, включая теорему полноты и формулу для характеров.

В главе 2 мы описываем конечные факторпредставления группы Гейзен-берга H и группу Гротендика К0(С(Н)). При этом мы пользуемся техникой, отличной от техники, использованной в работах [10,19,28,32,34]. А именно: благодаря тому, что поле, над которым рассматриваются матричные элементы группы, может быть реализовано как индуктивный предел возрастающей цепочки полей, всю информацию о факторпредставлениях группы Гейзенбер-га мы получаем в результате предельного перехода. Таким способом удается описать все следы группы Гейзенберга (теорема 2.3.2), дать конструкцию факторпредставлений (теорема 2.3.1) доказать формулу Планшереля (теорема 2.4.2), и описать Ко-фУнктор (теорема 2.5.1).

Замечательно, что описание i^o-функтора и в этом случае можно дать в инвариантных терминах, не зависящих от аппроксимации и структуры диаграммы Браттели.

Обозначим через Z[l/p] группу рациональных чисел со знаменателями-степенями числа р.

XS

Теорема (2.5.1.1). Пусть F — группа аддитивных характеров поля F.

Ч ---------/ч

Пусть H=(F\ {1}) U (Fx F). Назовем функцию f : Н —> Z[1 /р] бинепре-рывной, если

XN /Ч /^ч УЧ

1) f принимает целочисленные значения на FxF и сужение f на F xF непрерывно;

2) функция g : F —> Ъ[\/р], заданная формулой /(®), xeF\{ 1}, fpxj?f(y) dy, х = 1, (интегрирование по мере Хаара) непрерывна.

Тогда группа Гротендика Kq(CH) изоморфна аддитивной группе бине-прерывных функций на Н. Конус истинных модулей состоит из неотрицательных функций, а порядковая единица — это функция тождественно равная единице.

Результаты этой главы опубликованы в статьях [11] и [12].

В главе 3 мы применяем другие подходы к задаче об описании следов произвольной дискретной нильпотентной группы ступени 2, более близкие к работам [19,32]. Во-первых, мы дополняем "конечномерную теорию орбит" Михайловса утверждением о функториальности соответствия между орбитами и представлениями (теорема 3.1.1), т.е. о том, что это соответствие

9\?) хорошо согласовано с операциями ограничения представления на подгруппу и индуцирования с подгруппы. Далее, в случае счетных групп мы обобщаем классическую конструкцию представления по орбите (фактически, индуцирование) так, что в результате получается факторпредставление.

Теорема (3.2.1). Пусть G — произвольная счетная нилъпотентная группа ступени 2 с 2-делимым центром, П — орбита коприсоединенного представления группы G, х € ^ — произвольная точка орбиты, Sq — стабилизатор точки х. Тогда представление = indf% группы GxG (индуцирование в смысле определения 3.2.1) неприводимо и тем самым определяет некоторое факторпредставление группы G. Это представление — типа Iii или 1п со следом

ТгМ = [Х{9) 9eSü>

О g£Sn.

Таким образом мы получаем соответствие между орбитами и факторпред-ставлениями (точнее, следами). Мы обобщаем также на рассматриваемый случай описание следов, сделанное С. В. Смирновым в статье [19], получая еще одно описание множества следов — в терминах положительно определенных функций.

Теорема (3.4.1). Пусть G — дискретная нилъпотентная группа ступени 2, Н — нормальный делитель G; С — центр факторгруппы G/H; р — естественная проекция G на G/H. Обозначим через тг характер С, имеющий тривиальное ядро. Тогда функция, заданная формулой еслир(д)еС,

Р{9) = < если р(д) £ С , является крайней точкой множества M(G). Обратно, всякая крайняя точка M(G) может быть получена такой конструкцией.

В последней теореме условие 2-делимости центра не требуется. Далее мы показываем, каким образом можно переходить от одного описания к другому теорема 3.4.2). В заключение мы доказываем теорему о разложении фак-торпредставления при сужении его на подгруппу (теорема 3.4.3). Как предписывает философия метода орбит, представление должно раскладываться в прямой интеграл по тем орбитам, на которые распадается орбита, задающая исходное представление. Здесь однако возникает техническая подробность, состоящая в том, что орбиты счетной группы сами счетны, а разложение в прямой интеграл требует континуального множества представлений. Это сказывается и в построении соответствия между орбитами и следами: каждый след определяет целый класс орбит. Поэтому мы работаем с т. наз. квазиорбитами, фактически, проверяя, что за разложением замыкания орбиты стоит разложение соответствующего следа. Результаты этой главы опубликованы в статье [13].

Оператор Лапласа на дискретной группе Гейзенберга

В главе 4 мы рассматриваем оператор Лапласа на группе Гейзенберга верхнетреугольных матриц 3 х 3 с целочисленными элементами, построенный по системе образующих

5 = {г = (Ш)- »-(¡¡Ю- г/"1}

Со времен работы Кестена [31] известно, что спектр оператора Лапласа несет много информации как о самой группе, так и о паре (группа; система образующих) — свойства случайного блуждания, изопериметрические неравенства, экспандерные свойства и т.д. Для конечных групп хорошо изучены связи между вторым собственным числом оператора Лапласа и геометрическими свойствами группы.

Аналогичный оператор Лапласа для конечной группы Гейзенберга хорошо известен физикам, поскольку матрицы, задающие этот оператор в конечномерном представлении, возникают при изучении оператора Харпера и уравнения Матье (см. [21,22]). Несмотря на это, оценки на собственные числа, которые мы устанавливаем в этом случае, по-видимому, в силу специфики задачи, ранее известны не были (впрочем они совершенно прозрачны с точки зрения численного эксперимента).

Для бесконечных групп вычисление спектров конкретных операторов сделано лишь в считанных случаях. Например, в работе [22] вычисляется спектр оператора Лапласа на группе Гейзенберга, построенного по системе образующих (ал/)-1}. Мы рассматриваем задачу о вычислении асимптотики спектральной меры оператора в окрестности границы спектра, что можно рассматривать как аналог задачи о втором собственном числе. В работах А. М. Вершика и В. А. Каймановича (см. [8]) приведена оценка для спектральной меры на произвольной аменабельной группе. В конкретных примерах она может быть существенно уточнена.

В рассматриваемом случае спектр оператора А совпадает с отрезком [—1,1] Рассмотрим семейство Ех, х £ [—1,1] спектральных проекторов оператора Д и соответствующую спектральную меру /лА — (<5е)» где 5е € Ь2{Н) — характеристическая функция единичного элемента группы Н.

Теорема. Для любого положительного а существует такая константа Счто имеет место неравенство /¿([—1, —1 + и [1 — 1]) ^ а2+а.

Результаты этой главы получены в соавторстве с А.П.Суворовым и опубликованы в работе [14].

Структура диссертации

В § 1.1 мы приводим основные определения теории ЛП-алгебр. Теорема о структуре группы Гротендика /С0(С(Г)) сформулирована в § 1.2. Доказательство теоремы дано в § 1.3 (описание диаграммы Браттели и следов) и в § 1.4 (анализ структуры самой группы Гротендика).

В § 2.1 мы описываем реализацию представлений конечных групп Гейзенберга, удобную для предельного перехода. В § 2.2 описана диаграмма Браттели групповой алгебры счетной группы Гейзенберга и ее двусторонние идеалы. В § 2.3 мы описываем все факторпредставления группы Я. В § 2.4 мы описываем разложение регулярного представления группы Н в прямой интеграл факторпредставлений и доказываем формулу Планшереля. В § 2.5 мы описываем группу Гротендика Ко(С(Н)). В § 2.6 все эти результаты обобщены на случай (2т + 1)-мерной группы Гейзенберга.

В § 3.1 приведены необходимые сведения о соответствии между дискретной нильпотентной группы ступени 2 и ее кольцом Ли, и доказана теорема, обобщающая классическую теорему Кириллова об описании ограничения или индуцирования представления в терминах орбит коприсоединенного представления. В § 3.2 для дискретной нильпотентной группы ступени 2 с 2-делимым центром мы строим факторпредставление, соответствующее орбите, и доказываем, что это факторпредставление имеет конечный тип. В § 3.3 мы показываем, как результаты § 2.1, 2.3 для конечных и счетных групп Гейзенберга могут быть получены при помощи теоремы 3.2.1. Мы также показываем, что утверждение теоремы 3.2.1, вообще говоря, неверно для нильпотентных групп ступени 3. В § 3.4, пользуясь техникой положительно определенных функций, мы даем описание множества следов произвольной дискретной нильпотентной группы ступени 2. И показываем, каким образом в случае 2-делимого центра, т. е. когда работает теория орбит, возможен переход от одного описания к другому.

В параграфе 4.1 мы вычисляем вид оператора Лапласа в конечномерных представлениях группы Гейзенберга. В параграфе 4.2 мы показываем, что собственные числа оператора Ап в неодномерных неприводимых представлениях не превосходят величины 1 — В параграфе 4.3 дана комбинаторная реализация характеристических полиномов оператора Дп в многомерных представлениях. Наконец, в параграфе 4.4 мы оцениваем спектральную меру оператора Д, опираясь на оценки, сделанные для конечной группы.

Автор пользуется случаем выразить самую искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору А. М. Вершику за постановку задач, терпение и оказание неоценимой помощи на всех этапах работы над диссертацией.

1. Вершик A.M., Керов С.В. Локально полупростые алгебры. Комбинаторная теория и К0-функтор. В кн. ВИНИТИ. Итоги науки. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 26. 1985. С. 3-56.

2. Вершик A.M., Керов С.В. К-функтор (группа Гротендика) бесконечной симметрической группы // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1983. Т. 123. С. 126-151.

3. Вершик A.M., Керов С.В. Характеры и факторпредставления бесконечной симметрической группы // Докл. АН СССР. Т. 257. 1981. N. 5. С. 1037-1040.

4. Вершик A.M., Кохась К.П. Вычисление группы Гротендика алгебры C(PSL(2, к)), где к — счетное алгебраически замкнутое поле // Алгебра и анализ. Т. 2. 1990. вып. 6, 98-106.

5. Залесский А.Е. Group Rings of Locally Finite Groups and Representation Theory // Contemp. Math. V. 131. Part 1. P. 453-472.

6. Зелевинский А. В., Наркунская Г. С. Представления группы SL(2,Fq), q = 2п // Функц. анализ и его прил. Т. 8. 1974. С. 75-76.

7. Ленг. С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

8. Вершик А. М., Кайманович В. A. Random walks on discrete groups: boundary and entropy // Ann. Prob. V. 11. 1983. N 3. P. 457-490.

9. Кириллов А. А. Положительно определенные функции на группе матриц с элементами из дискретного поля // ДАН СССР. 1965. Т. 162, N 3. С. 503-505.

10. Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли// УМН. 1962. Т. XVII. Вып. 6. С. 57-110.

11. Кохась К. П. Классификация комплексных фактор-представлений трехмерной группы Гейзенберга над счетным полем конечной характеристики // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 283. 2001. С. 140-155.

12. Кохась К. П. Классификация конечных факторпредставлений (2m + X)-мерной группы Гейзенберга над счетным полем конечной характеристики // Функц. анализ. Т. 36. № 3. 2002. С. 79-83.

13. Кохась К. П. Конечные факторпредставления нильпотентных групп ступени 2 и теория орбит // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 307. 2004. С. 120-140.

14. Кохась К. П., Суворов А. П. Спектральные оценки оператора Лапласа дискретной группы Гейзенберга // Зап. научн. семин. ПОМИ. Т. 256. 1999. С. 129-144.

15. Кохась К. П. Струйные инварианты неголономного распределения Ц Функц. анализ. Т. 28. Вып. 3. 1994. С. 75-77.

16. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988.

17. Наймарк М. А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976. 550 с.

18. Наймарк М. А. Нормированные кольца. М.: Наука, 1968. 664 с.

19. Смирнов C.B. Положительно определенные функции на алгебраических нильпотентных группах над дискретным полем // ДАН СССР. 1966. Т. 170, N3. С. 524-525.

20. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1 М.: Мир, 1984.

21. J. Avron, P. H. M. van Mouche, В. Simon On the measure of the spectrum for almost Mathieu operator // Commun. Math. Phys. V. 132. 1990. P. 103-118.

22. Béguin C., Valette A., Zuk A. On the spectrum of a random walk on the discrete Heisenberg group and the norm of Harper's operator // Journal of Geom. and Phys. V. 21. 1997. P. 337-356.

23. Bratteli O. Inductive limits of finite dimensional C*-algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 171. P. 195-234.

24. Effros E., Hahn F. Transformations groups and C*-algebras I I Memoirs of Amer. Math. Soc. 1967. N. 75.

25. Effros E., Handelman D., Shen C. Dimension groups and their affine representations // J. Oper. Theory. V. 2, 1979. N. 2. P. 215-231.

26. Elliott G. On classification of inductive limits of sequences of semisimple finite dimensional algebras I I J. Algebra. 1976. V. 2. N. 2. P. 215-231.

27. Goodman F. M., P. de la Harpe, Jones V. F. R. Coxeter graphs and towers of algebras. MSRI publicationes, 14. Springer-Verlag, 1989.

28. Howe R. On representations of discrete, finitely generated, torsion-free, nilpotent groups I I 1977.

29. Hofstadter D. R. Energy levels and waves functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields // Phys. Rev. V. B14. 1976. P. 255-259.

30. Ishikawa K., Maeda N., Ochiai T., Suzuki H. Quantum Hall Dynamics on von Neumann lattice // arxiv.org:cond-mat/9809287

31. Kesten H. Symmetric random walks on groups // Trans. Amer. Math. Soc. V. 92. 1959. P. 336-354.

32. Mihailovs A. Tho orbit method for finite groups of nilpontency class two of odd order // arxiv.org: math.RT/0001092

33. Rosenberg J. Un complement a un theoreme de Kirillov sur les caractères de GL(n) d'un Corps infini discret // G. R. Acad. Sei. Paris. 1989. T.309. Ser. I. P. 581-586.

34. Thoma E. Über unitäre Darstellung abzählbarer, diskreter Gruppen // Math. Ann. 1964. V.153. P. 111-138.\