Фазовые переходы в неупорядочных спиновых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

РГБ ОД

На правах рукописи

ФЕЛЬДМАН Дмитрий Эдуардович

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМАХ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка - 1998

- ч ИЮН 139В

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Доценко B.C. Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук Суслов И.М.

кандидат физ.-мат. наук Китаев А.Ю.

! ■: • i >

Ведущая организация: Институт физических проблем Российской

Академии Наук, Москва

f :

j. з О

Защита состоится " 3 _июля_ 1998г. в 7Y —

на заседании диссертационного совета Д.002.41.01 при Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н.,пос. Черноголовка, Институтский просп., 12, ИТФ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ РАН.

Автореферат разослан:_1k i х 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук ' Л.А. Фальковский

Актуальность темы. Интерес к фазовым переходам в неу-орядоченных спиновых системах продолжается уже больше 30 ет. Причина этого интереса состоит в обилии и разнообразии лучайных магнетиков. Примерами служат РККИ и обменные пиновые стекла, допированные магнетики, аморфные магнитные атериалы. Идеи, возникшие в задачах теории грязных маг-етиков, оказались полезными и для понимания свойств многих емагнитных систем. Сюда относятся различные структурно не-порядоченные вещества, классические и квантовые жидкости и идкие кристаллы в пористых матрицах, случайные сети джо-;фсоновских контактов, полимеры в неупорядоченных средах и ногие другие объекты. В последние годы большие усилия были аправлены на изучение вихревых фаз грязных сверхпроводников, идеи, позаимствованные из физики спиновых стекол, привели к :пехам в этой области. Другое достижение последних лет состоит открытии спин-стекольных эффектов в упорядоченных системах, нтересный пример упорядоченной стекольной системы - джозеф-шовские сети. Можно надеяться, что аналогия между спиновыми гекла ми и некоторыми упорядоченными системами позволит про-лть новый свет на свойства структурных стекол.

Круг задач, в которых методы теории неупорядоченных маг-гтиков ведут к успеху, выходит за рамки физики конденсиро-1нного состояния. В середине восьмидесятых годов была заметна аналогия между задачами теории спиновых стекол и задачей эммивояжера. Методы статистической физики неупорядоченных 1стем были использованы и в ряде других задач оптимизации, ще один пример далекого, на первый взгляд, от физики вопроса, котором был достигнут прогресс на основе теории случайных 1иновых систем, - это задача об ассоциативной памяти. Полярные модели нейронных сетей удалось детально исследовать помощью техники, разработанной для нужд теории спиновых екол.

В настоящее время на основе концепции спонтанного нарушим репличной симметрии достигнуто хорошее понимание тех жросов, в которых законно использовать приближение сред-;го поля. Однако, в большинстве случаев это приближение

недостаточно, и возникает задача о флуктуациях вокруг основного состояния. В системах с сильным беспорядком эта задача Оказалась очень трудной. Даже в вопросе о дальнем порядке в трехмерных спиновых стеклах полная ясность не достигнута. Хотя имеются экспериментальные, численные и теоретические аргументы в пользу наличия стекольного порядка в изинговских магнетиках и его отсутствия в вырожденных системах, до сих пор появляются свидетельства, противоречащие этой общепринятой точке зрения. Единственным надежным источником сведений о системах с сильным беспорядком служат поэтому точные решения. К сожалению, решению поддаются обычно упрощенные модели, такие как одномерные спиновые стекла или маттисовский магнетик, в котором отсутствуют фрустрации. Замечательное исключение составляют те модели, которые удается решить точно в любой пространственной размерности на линии Нишимори. Во второй главе диссертации изучена система другого типа, о которой тоже удается получить точную информацию в любой размерности пространства.

Даже в системах со слабым беспорядком флуктуационные эффекты (прежде всего, критическое поведение) поняты недостаточно. В семидесятые годы казалось, что теория фазовых переходов в системах со слабым беспорядком может быть построена по образцу теории, разработанной для чистых систем. Однако, уже через несколько лет стало ясно, что для решения проблемы нужны новые идей. Трудности теории, видимо, связаны со сложной структурой энергетического рельефа неупорядоченных систем. В результате во многих случаях отказывается служить теория возмущений, использованная в ранних работах. Поскольку сложный энергетический рельеф характерен для среднеполевых систем, в которых присутствует нарушение репличной симметрии, соблазнительно использовать концепцию нарушения репличной симметрии и в системах с сильными флуктуациями. Этот подход оказался особенно плодотворным при изучении систем, в которых отсутствует дальний порядок. Сюда относятся, в частности, случайные многообразия и вихревые решетки в грязных сверхпроводниках. Для ' описания этих систем был предложен вариационный метод (самосо-

гласованное гармоническое приближение), учитывающий эффекты нарушения решшчной симметрии. В задачах о вихревой решетке в неупорядоченном сверхпроводнике и о грязном трехмерном ХУ-магнетике этот метод позволил предсказать алгебраически медленное спадание корреляций. Результаты недавних численных экспериментов, видимо, согласуются с теорией.

В первой главе диссертации с помощью самосогласованного гармонического приближения изучается случайный двумерный ХУ-магнетик с дипольными силами. В семидесятые годы задача о дипольных силах в магнетиках вызвала большой интерес. В частности, было обнаружено, что в двумерных ХУ и гейзенберговских магнетиках дипольные силы устанавливают дальний ферромагнитный порядок. Недавно этот интерес возобновился. Этому способствовали экспериментальные достижения: выращивание магнитных пленок гексагональной симметрии (только в таких пленках слабые дипольные силы становятся существенными на меньших масштабах, чем анизотропия) и наблюдение своеобразной доменной структуры в тонких магнитных пленках. В последние годы появился ряд теоретических исследований, посвященных свойствам чистых пленок. Однако, влияние беспорядка на двумерные дипольные магнетики до сих пор не рассматривалось.

Если в системах с беспорядком типа случайное поле. подход, основанный на методе ренормгруппы, привел к безнадежно неправильным результатам, то применительно к системам с беспорядком типа случайная температура подобный подход до недавнего времени не оспаривался. Недавно была высказана гипотеза, что на больших масштабах эффекты нарушения репличной симметрии могут стать существенными и в таких системах. В рамках этого сценария было изучено критическое поведение ряда систем. Удобным кандидатом для проверки гипотезы оказалась двумерная модель Поттса с тремя компонентами. В последнее время она интенсивно изучается на численном эксперименте. В третьей главе диссертации рассмотрено критическое поведение двумерной модели Изинга с беспорядком типа случайная связь в рамках гипотезы о нарушении репличной симметрии.

При изучении моделей ассоциативной памяти вопрос о флук-

туациях играет меньшую роль, чем в теории магнетизма. Причина состоит в том, что отростки соединяют каждую нервную клетку со многими другими. Поэтому приближение среднего поля оказывается адекватным. Однако, методы теории спиновых стекол применимы только к гамильтоновым моделям нейронных сетей. Реальные нейронные сети не могут быть описаны гамильтонианом из-за асимметрии взаимодействия нейронов. Поэтому вместо задачи равновесной статистической механики возникает трудная динамическая задача. Серьезные трудности возникают и при изучении обучающих алгоритмов для нейронных сетей, где тоже приходится иметь дело с динамическими задачами. Интересный пример такой задачи - задача о разобучении. Алгоритм разобучения устроен так, что на первый взгляд, он должен приводить не к обучению сети, а к потере уже изученной информации. Однако, в процессе разобучения объем знаний нейронной сети возрастает. В четвертой главе диссертации предложен способ сведения динамической задачи об обучающем алгоритме к статической задаче. Этот подход позволяет продвинуться в теории разобучения.

ель работы. Диссертация преследует две цели: исследование критического поведения неупорядоченных магнетиков и разработку статистико-механического подхода к обучающим правилам для нейронных сетей.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации показано, что в двумерных дипольных ХУ и гейзенберговских ферромагнетиках с беспорядком типа случайное поле или случайная ось анизотропии ферромагнитное упорядочение отсутствует. В рамках самосогласованного гармонического приближения обнаружено, что при низкой температуре и слабом беспорядке в вырожденном дипольном ферромагнетике со случайной анизотропией имеется логарифмически медленное убывание корреляционной функции намагниченности. Практическая значимость этих результатов связана с интересом, который магнитные пленки представляют для физики твердого тела, и с ролью магнитных пленок в качестве носителей информации.

В диссертации найдено точно критическое поведение поперечной полю компоненты намагниченности вырожденных классических маг-

нетиков в одноосном случайном магнитном поле при нулевой температуре. Обнаружено, что при гауссовом распределении случайного поля асимптотика поперечной намагниченности в сильных полях не зависит от пространственной размерности и имеет вид ~ In ho/h.Q, где h0 - ширина распределения. При бимодальном распределении поперечная намагниченность ведет себя, как т± ~ ехр(—const/(Нс - Н)°/2), где D - пространственная размерность, Нс - критическое поле. Практическая значимость новой точно решаемой модели определяется тем, что точные результаты могут служить отправным пунктом для исследования более сложных родственных систем и полезны для проверки надежности приближенных методов.

В работе изучены эффекты нарушения репличной симметрии в критическом поведении двумерной модели Йзинга с беспорядком" типа случайная температура. Показано, что критическое поведение теплоемкости остается таким же, как в реплично-симметричном случае. Практическая значимость этого результата состоит в том, что он помогает проверке гипотезы о нарушении репличной симметрии в двумерных и трехмерных системах.

В диссертации предложен статистико-механический метод описания обучающих правил для нейронных сетей. Практическая значимость понимания механизмов обучения вытекает, прежде всего, из потребностей компьютерной технологии.

Структура диссертации. Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения, трех приложений и списка литературы. Объем диссертации составляет 89 страниц, включая 7 рисунков. Библиография включает 121 ссылку.

Содержание работы.

Введение включает обоснование актуальности темы диссертации, обзор литературы и описание структуры работы.

Первая глава посвящена влиянию слабого беспорядка на свойства двумерных дипольных вырожденных ферромагнетиков: XY-магнетика и гейзенберговского магнетика. Она основана на результатах, опубликованных в работах [6], [7]. В гейзенберговском случае поперечная магнитной пленке компонента намагниченности имеет конечный радиус корреляции. Поэтому на больших

масштабах обе системы ведут себя одинаково. Давно известно, что в чистых двумерных ХУ-магнетиках без дипольных сил при низкой температуре имеется алгебраический порядок. Дипольное взаимодействие приводит к появлению ферромагнитного дальнего порядка. С другой стороны, в грязном двумерном обменном ХУ-магнетике нет ни дальнего, ни квази-дальнего порядка. В нашей задаче аргументы типа Имри-Ма показывают, что система находится на нижней критической размерности. Соображения симметрии позволяют сделать вывод, что имеются два класса универсальности: класс беспорядка типа случайное поле и класс беспорядка типа случайная ось анизотропии. Второй случай интересней, потому что в магнетиках симметрия по отношению к изменению знака магнитного момента не нарушена. Корреляционная функция намагниченности вычислена в обоих случаях с помощью самосогласованного гармонического приближения. Результаты этого вычисления показывают, что дальний порядок отсутствует. Однако, дипольные силы подавляют флуктуации: в системе с беспорядком типа случайная ось анизотропии найдено необычное поведение с логарифмически медленным убыванием корреляций. Конечно, вариационные вычисления - это лишь первый шаг к решению задачи. К сожалению, в настоящее время не видно более надежного подхода.

Первая глава состоит из шести параграфов. Первый из них содержит постановку задачи. Во втором сформулирована модель. Она описывается гамильтонианом вида

Н = / ¿Ц^)3 + / / - <ЯГ')) - Зсов(*(г)-

0(г - г')) соз(^(г') - 0(г - г'))] + У [Ля(г) соз{рф{г)) + Ав(г) 8т(р^(г))]^г,

где соэ фу бш ф - компоненты спиновых векторов, 0(г — г') - угол между вектором (г — г') и некоторым выделенным направлением; параметр р равен единице для беспорядка типа случайное поле и двойке для беспорядка типа случайная ось; кх(т) и /1„(г) - гауссовы случайные поля. После усреднения по беспорядку с помощью метода реплик эффективный гамильтониан принимает вид

Ня = Е/+ // -

■(г) - 0(г - г')) cos(^(r') - 9(г - г'))] - ^ / £cos[p(^(r) - /(r))]d2r, (2

где а и Ь - репличные индексы, Т - температура.

В третьем параграфе в рамках самосогласованного гармонического приближения выведены уравнения на корреляционную функцию. Самосогласованное гармоническое приближение - это вариационный метод, в котором вариационная свободная энергия

вычисляется по отношению к квадратичному пробному гамильтониану вида

где Gaj(q) - матрица Паризи. В уравнении (3) ~Fa = -Т1пГгехр(-^) - свободная энергия, соответствующая пробному гамильтониану, < ... >0 обозначает гауссово среднее с весом ехр(-#0/Г).

Уравнение на репличную корреляционную функцию Gaь, получающееся варьированием вариационной свободной энергии, имеет вид

FvAе. — ^0+ < — Но >0

(3)

/ах

7^(1 - exp(i'qx))

где

ь

Баь =< (0„(х) - Фь(х))2 >о= / + Gbb(q) - Gab(q) - Gia(q)].

(7)

В четвертом параграфе найдено решение уравнения (5) для беспорядка типа случайное поле. Получено, что корреляционная функция намагниченности убывает по степенному закону с показателем степени s >2.

В пятом параграфе найдено поведение корреляционной функции намагниченности в присутствии беспорядка типа случайная анизотропия. Результат имеет вид

< m(R)m(0) >=< cos(<£a(R) - фа{О)) >~ -¿=. (8)

утй

Шестой параграф содержит качественное обсуждение результатов главы.

Во второй главе изучено критическое поведение вырожденных классических магнетиков в одноосном случайном магнитном поле при нулевой температуре. Рассмотрено критическое поведение поперечной полю компоненты намагниченности. Эта задача интересна тем, что она поддается точному и при этом математически строгому решению в любой размерности пространства. Решение опубликовано в работе [8]. Метод основан на доказательстве некоторых элементарных неравенств. Изучено два вида распределения случайного поля: гауссов закон и бимодальное распределение. В первом случае асимптотика поперечной намагниченности в сильных полях не зависит от пространственной размерности. Намагниченность подчиняется закону mj. ~ In h0/hl, где h0 - ширина распределения. При бимодальном распределении поперечная намагниченность ведет себя, как т± ~ ехр(—const/(-ffc — H)DI2), где D - пространственная размерность, Нс - критическое поле. Критическое поле, при котором происходит фазовый переход, вычислено точно.

Глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе сформулирована модель. Она описывается гамильтонианом

F = (9)

W) •

где S,- - спиновые векторы единичной длины, Я, - случайные поля, обозначает суммирование по парам соседних узлов D-

мерной кубической решетки. Рассматриваются два вида функции распределения случайного поля:

1) гауссово распределение ширины к0

2) бимодальное распределение

Р(Щ) = с8(Я,- + Я) + (1 - с)6(Щ - Я), (11)

где с и 1 — с - вероятности двух противоположных направлений случайного поля ±Я.

Во втором параграфе изучено гауссово распределение случайного поля. Доказаны верхняя и нижняя оценки поперечной намагниченности вида

Л 1п кп _ 1п кп , .

Сг-^ <т±< (12)

где Сх, С2 - константы.

В третьем параграфе получены оценки поперечной намагничен-яости в бимодальном случае. Они имеют вид

ехр (~(яс-%/') < <ехр (~(яс-%*/») ' (13)

"де Сь С2 - константы, Б - размерность пространства, Яс - критическое поле. В двумерном случае удалось получить лишь более :лабую оценку

^)<mi< 6ХР (~ (Нс — H)lnll (Нс — ЯИ ' (И)

.__Cj_

ехр 1 Яс — Я У "•■L - — V (Яс - Я) 1п1/(Яс - Я)

В последнем параграфе содержится обсуждение результатов.

В третьей главе диссертации изучено, к каким последствиям для сритического поведения двумерной модели Изинга с беспорядком типа случайная температура приводит недавняя гипотеза, предло-кенная B.C. Доценко и соавторами, о генерации в присутствии беспорядка вкладов в эффективный гамильтониан, нарушающих

репличную симметрию. Эта глава основана на работах [4], [5]. Критическое поведение теплоемкости остается таким же, как в реплично-симметричном случае, что согласуется с численными экспериментами. Для изучения модели Изинга применяется фер-мионное представление. Этим способом задачу удается свести к теории поля на верхней критической размерности. Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе обсуждается гипотеза о нарушении реплич-ной симметрии. Она состоит в следующем. Пусть гамильтониан неупорядоченной системы имеет вид

Я = е(ф) + 6т(хЩф), (15)

где ф - параметр порядка, е(ф) - плотность свободной энергии соответствующей упорядоченной системы, 6т[х) - гауссова случайная величина с нулевым средним. Тогда критическое поведение теплоемкости может быть найдено методом ренормгруппы с использованием репличного гамильтониана в виде

H = + Е 9«ьО{ФаЩФь), (16)

О а, Ь

где а и 6 - репличные индексы, даЬ - матрица Паризи.

В рамках этой гипотезы задача о критическом поведении теплоемкости двумерной модели Изинга сводится к теории поля с лагранжианом

Ь[ф] = йЧ^фМа + фадфа + "ФаФа) + Т,9аъФаФаФьФъ\, (17)

ZJ а ab

где ф и ф - вещественные ферми-поля, г - расстояние до критической точки, д = — г~), ад- комплексно сопряженный оператор.

Во втором параграфе эта теория поля исследуется методом ренормгруппы. Для теплоемкости, в результате получается

С(т) ~ In In -рт, (18)

Л

что совпадает с предсказаниями реплично-симметричного сценария и с численными экспериментами.

В третьем параграфе результаты сравниваются с предсказаниями теории для других моделей.

В четвертой главе диссертации разработан термодинамический подход к обучающим алгоритмам для нейронных сетей. Результаты этой главы опубликованы в работах [1]-[3]. Некоторые обучающие правила, например, правило разобучения, устроены следующим образом: на первом шаге спиновая система (нейроны) совершает динамику при фиксированных значениях констант взаимодействия (синаптических связей); на втором шаге в зависимости от конечных значений спиновых переменных константы ;вязи получают малые изменения; затем эти два шага повторяются вновь, и так много раз. Недавно B.C. Доценко была предложена идея, как можно свести к равновесной статистической механике задачу с двумя взаимодействующими подсистемами, у которых характерные времена сильно отличаются, и которые не находятся в эавновесии друг с другом. Подход основан на репличном формализме, в котором число реплик считается отличным от нуля. В дис-:ертации в качестве простейшего примера применения этой идеи к нейронным сетям изучена модель, в которой динамическими переменными являются не константы связи, а запоминаемые образы. Эта модель обладает некоторыми чертами, присущими задаче о зазобучении, однако для адекватного описания разобучения она :лишком упрощена. Помимо того, что модель иллюстрирует термодинамический подход к обучающим алгоритмам, она интересна 5огатой и причудливой фазовой диаграммой. Усовершенство-¡анный подход, учитывающий, что динамические переменные - это сонстанты связи, а не образы, а также конечность числа шагов фоцедуры обучения, применен в диссертации к родственнику ра-юбучения: алгоритму дообучения. Технически в усовершенство-¡анном подходе появляются два разных репличных индекса. Не-(остаток подхода состоит в том, что не учтено наличие отдельной пгадии воспроизведения информации. Можно надеяться, что устра-гение этого недостатка позволит построить аналитическую теорию >азобучения.

Четвертая глава состоит из четырех параграфов.

Первый параграф содержит постановку задачи. Исследуется модель нейронной сети Хопфилда. Она описывается гамильтонианом

1 *

^--Е«7.;^;, (19)

в котором изинговские спины о; играют роль нейронов, константы связи .7,, - синаптических связей, в которых хранятся запасы памяти. Связи заданы правилом Хебба:

= £ Е № (20)

где = ±1},м = 1 ,—,Р суть запоминаемые образы. При этом интересен случай ненулевой температуры - в реальной нейронной сети имеются случайные процессы, которые можно описать, включив в динамические уравнения тепловой шум.

Хопфилдом и сотрудниками был предложен алгоритм разобу-чения, состоящий в последовательной модификации синаптических связей, начиная с их хеббовских значений. На каждом шаге связи изменяются по правилу

+1) = + (21)

где значения спинов о* взяты из одного из минимумов гамильтониана (19), а е - некоторый малый отрицательный параметр. Такая динамика приводит к разрушению потенциальных минимумов и повышению энергии системы. На первый взгляд, ра-зобучение должно приводить к потере запасов памяти. Однако, численные эксперименты, напротив, свидетельствуют об их значительном возрастании. Дело, видимо, в том, что в первую очередь уничтожаются менее глубокие спин-стекольные минимумы. К сожалению, до сих пор не удалось подступиться к теоретическому объяснению свойств этого обучающего алгоритма.

В системе с шумом правило разобучения можно сформулировать [1] в форме уравнения Ланжевена, считая динамику связей мед-

ленной по сравнению с динамикои спинов:

<и

или

= - < а,сту >т>т +гц&) (22)

^ = + (23)

Здесь Г - температура спиновой системы, < ... >J^^),т обозначает тепловое среднее при заданных значениях синаптических связей Р - свободная энергия системы спинов

^ = -Пи £ ехр{-13Н[Щ,а]), (24)

ст=±1

а т]^ - тепловой шум, отвечающий температуре связей Т' ф Т.

Система исследуется с помощью метода реплик, в котором количество реплик п не устремляется к нулю, а полагается равным п = Метод реплик применяется для вычисления свободной

энергии системы синаптических связей. Эта свободная энергия описывает нейронную сеть в состоянии термодинамического равновесия, т.е. на бесконечных временах. Отсюда можно извлечь информацию о предельном результате выполнения большого числа шагов алгоритма.

В качестве первого шага во втором параграфе рассмотрена задача о нейронной сети с подвижными образами . Мы считаем, что образы изменяются со временем по закону, аналогичному (23):

^ = + (25)

Хотя эта модель является лишь грубым приближением к строгому описанию разобучения, главная черта алгоритма - стремление энергии системы к максимуму сохранится, если считать, что температура образов Т' < 0.

Модель с подвижными образами обладает интересной фазовой диаграммой, детально изученной в диссертации.

Конечно, на самом деле динамическими переменными являются не образы, а константы связи. В качестве следующего шага

к построению теории разобучения необходимо учесть это обстоятельство в модели. Усовершенствованный подход применяется в третьем параграфе к алгоритму дообучения; отличающемуся от разобучения знаком е в динамическом уравнении (21). При этом изучается не только предельный результат выполнения алгоритма на больших временах, но и случай конечного времени.

Динамика дообучения состоит в следующем. Спиновые переменные изменяются по глауберовскому закону с заданной температурой и текущими значениями констант связи в гамильтониане. Одновременно медленно изменяются константы связи по закону

=< a¡a3 >тт +тц&), (26)

где r]ij - шум.

Чтобы изучить результат выполнения конечного числа шагов, следует ограничить возможную область изменения констант связи J¡j. Для этого к потенциалу F[J(t),T] в уравнении движения (23) добавлен член, зависящий от расстояния между текущими и начальными значениями связей. Его удобно выбрать в форме

WlJ} = ^UJii-4H))2> (27)

0 i<j

где N - число спинов, Т' - температура системы синаптических связей, - начальные значения : синаптических связей (20), а

J0 контролирует размер области значений констант взаимодействия J¡j и качественно соответствует числу шагов алгоритма.

В третьем параграфе построена фазовая диаграмма модели дообучения. Показано, что емкость памяти в результате дообученш возрастает.

В четвертом параграфе обсуждаются результаты главы и перспективы дальнейшего исследования.

В Заключении содержатся выводы.

Основные результаты. В диссертации получены следующие выводы, выносимые на защиту:

1. Установлено, что в двумерных дипольных вырожденных ферромагнетиках с беспорядком типа случайное поле или случайная

ь анизотропии ферромагнитное упорядочение отсутствует. В мках самосогласованного гармонического приближения показано, э при низкой температуре и слабом беспорядке в вырожденном польном ферромагнетике со случайной анизотропией имеется гарифмически медленное убывание корреляционной функции на-гниченности.

2. Найдено точно критическое поведение поперечной полю ком-ненты намагниченности вырожденных классических магнетиков одноосном случайном магнитном поле при нулевой темпера-эе. При гауссовом распределении случайного поля асимптотика перечной намагниченности в сильных полях не зависит от прос-шственной размерности и имеет вид mL ~ Inho/h^, где hQ - шина распределения. При бимодальном распределении поперечная магниченность ведет себя, как mL ~ ехр(—const/{Нс — H)D/2), где - пространственная размерность, Нс - критическое поле.

3. Изучены эффекты нарушения репличной симметрии в этическом поведении двумерной модели Изинга с беспорядком ia случайная связь. Показано, что критическое поведение глосмкости такое же, как в реплично-симметричном случае.

4. Предложен статистико-механический метод описания обуча-дих правил для нейронных сетей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докла-вались на Международной конференции по современным нап-злениям теоретической физики (Москва, 1995 г.), на Шестом :сийско-германском объединенном семинаре по кооперативным тениям в системах многих тел, на Научно-практической кон-ренции МФТИ 1994 года, а также на заседаниях Ученого совета 'Ф им. Ландау РАН.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты опуб-■сованы в работах [1]-[8].

ятература

[l] D.E. Feldman and V.S. Dotsenko, Partially annealed neural networks, J. Phys. A 27, 4401 (1994).

[2] V.S. Dotsenko and D.E. Feldman, Statistical mechanics of training in neural networks, J. Phys. A 27, L821 (1994).

[3] Д.Э. Фельдман, Термодинамика процесса обучения, ЭТФ 107, 880 (1995).

[4] V.S. Dotsenko and D.E. Feldman, Replica symmetry breaking and the renormalization group theory of the weakly disordered ferromag-net, J. Phys. A 28, 5183 (1995).

[5] D.E. Feldman, A.V. Izyumov, and V.S. Dotsenko, Stability of the renormalization group in the 2D random Ising and Baxter models with respect to replica symmetry breaking, J. Phys. A 29, 4331 (1996).

[6] Д.Э. Фельдман, Слабый беспорядок в двумерном дипольном магнетике, Письма ЭТФ 65, 108 (1997).

[7] D.E. Feldman, Weak disorder in the two-dimensional XY dipole ferromagnet, Phys. Rev. В 56, 3167 (1997).

[8] D.E. Feldman, Exact zero-temperature critical behaviour of the ferromagnet in the uniaxial random field, J. Phys. A 31, L177 (1998).