Формально самосопряженные коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга 2 и их деформации, заданные солитонными уравнениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Давлетшина Валентина Николаевна

ФОРМАЛЬНО САМОСОПРЯЖЕННЫЕ КОММУТИРУЮЩИЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАНГА 2 И ИХ ДЕФОРМАЦИИ, ЗАДАННЫЕ СОЛИТОННЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 АВГ 2015

Новосибирск-2015

005571335

005571335

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Новосибирском национальном исследовательском государственном университете».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Миронов Андрей Евгеньевич.

Официальные оппоненты:

Дубровский Владислав Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования -«Новосибирский государственный технический университет», физико-технический факультет, кафедра прикладной и теоретической физики, заведующий кафедрой;

Мохов Олег Иванович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова», механико-математический факультет, кафедра высшей геометрии и топологии, профессор.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук.

Защита состоится «24з>сентября 2015 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http: //math.nsc.ru.

Автореферат разослан з>_ 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н.

Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

В диссертации изучаются коммутативные кольца формально самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два. Пусть

п-2 тп—1

Ьп = 82 + X) =

1=0 .7=0

— обыкновенные дифференциальные операторы порядков п, т ^ 2. Условие коммутации операторов Ьп и Ьт

[Ьп,, £т] = ЬпЬт — ЬтЬп = 0

представляет собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений на коэффициенты этих операторов.

Один из первых важных результатов в теории коммутирующих дифференциальных операторов был получен Шуром [1] в 1905 году.

Лемма 1. Пусть Ьп, Ьт и Ьк — дифференциальные операторы порядков п, т и к соответственно (п > I). Если ЬпЬк = ЬкЬ„, то ЬтЬк = ЬкЬт.

Лемма 1 означает, что множество операторов, коммутирующих с заданным оператором, образует коммутативное кольцо. Позднее в 1923 году Бурхналл и Чаунди в [2] доказали следующую лемму.

Лемма 2. Если ЬпЬт = ЬтЬп, то существует ненулевой полином такой что К(Ьп,Ьт) = 0.

Уравнение Я(А, ц) = 0 определяет спектральную кривую Г пары коммутирующих дифференциальных операторов Ьп и Ьт

Г = {(А, ц) : Й(А, д) = 0} С С2.

Если ф является совместной собственной функцией

Ьпф = Аф, . Ьтф = цф,

то точка с координатами (Л, ц) принадлежит спектральной кривой Г.

Размерность пространства совместных собственных функций, для в общем положении, является общим делителем п и т. Рангом I называется наибольший общий делитель всех порядков операторов из максимального коммутативного кольца, содержащего Ьп и Ьгп.

- В случае коммутирующих операторов ранга один совместные собственные функции (функции Бейкера-Ахиезера) и коэффициенты операторов выражаются через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой с помощью конструкции И.М. Кричевера [3].

Коммутирующие операторы ранга I > 1 классифицированы Кри-чевером И.М. [4]. Совместные собственные функции таких операторов отвечают спектральным данным Кричевера (см. гл. 1 для I = 2), но найти в явном виде собственные функции не удается. Первые результаты об операторах ранга I = 2 получены Ж. Диксмье [5]. Им найдены примеры коммутирующих операторов ранга два порядков 4 и 6 с полиномиальными коэффициентами:

Ь4 = (<92 -х3 + а)2 - 2х, .

£6 = (81 -х3- а)3 -\(х(д1 -х3-а) + (3» - *3 - а)х).

Спектральная кривая пары Ьц и является эллиптической кривой, которая задается уравнением

го2 = г3 - а.

Операторы Диксмье были первыми примерами нетривиальных коммутирующих элементов в первой алгебре Вейля.

В случае эллиптических спектральных кривых операторы ранга I = 2 порядков 4 и б найдены И.М. Кривечером и С.П. Новиковым [6], причем оператор четвертого порядка имеет вид

и = (^ + и)2 + 2с1(р(72)-р(71))^ + (с1(р(72)-р(71)))х-р(72)-р(71),

71(х) = 70 + с(г), 72 (я) =7о - с(х), <х) = -¿2+^+2Ф(7ь72)С1х-^+С2(Фх(7о+С,7о-С)-Ф2(7ь72)), Ф(7ъ72) = С(72 - 71) + С(71) - СЫ,

где с(х) — произвольная гладкая функция, 70 6 С, р(х), ((х) — функции Вейрштрасса..Оператор Ь6 можно найти из уравнения

Ь\ = 4(Ь4)3 + 92^4 + 53-

Данные операторы изучались в [7]- [13]. При д = 1, I = 3 операторы найдены О.И. Моховым [14]. В [15]- [18] найдены некоторые примеры операторов ранга I = 2 и 3 при д = 2,3,4. До недавнего времени примеров коммутирующих операторов ранга I > 1, отвечающих спектральным кривым рода д > 4, не было известно.

В работе [19] изучались операторы ранга I = 2 в случае гиперэллиптических спектральных кривых произвольного рода д. Пусть Ь4 и Ь4Э+2 — пара коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, отвечающих гиперэллиптической спектральной кривой рода д

Г : = Рд{г) = 22°+1 + с2дг29 + ... + Со,

с выделенной точкой д = оо, тогда

Ь4ф = гф, Ь4д+2ф = гиф-

Совместные собственные функции этих операторов удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка [6]

ф" =Х1^Р)'Ф' +Хо(х,Р)Ф, Р(*,У)6Г,

где хо и XI — рациональные функции на Г. Пусть Ь4 является формально самосопряженным оператором. Оператор Ь4 формально самосопряжен тогда и только тогда, когда

Х1(*,-Р)= XI (*.

где а(г,ю) = (г, —ш) [19].

Пусть ¿4 самосопряжен, т.е. имеет вид

Ь4 = (д2х + У(х))2 + Ш(х). Справедлива следующая Теорема 1.2 ( [19]). Имеют место равенства:

Яхт . ™ т, _ Ях

где <5 — полином по г степени д с коэффициентами, зависящими от х :

<2 = -г» + а3_1(х)гг-1 + ... + а0(х). Полином С} удовлетворяет уравнению

4ВД - Ф - - АУ{ЦХ)2 + (дхх)2 - 2(¿Х(ЭХХХ

+2<Э{2УХС)Х + 4Удхх + с?хххх). (1)

В [19]- [20] с помощью теоремы 1.2 были построены примеры операторов

= (д1 + «за:3 + а2х2 + агх + а0)2 + а3д(д + 1), 4 = (З2 + сц сЬ(ж) + а0)2 + а1д{д + 1) сЦх),

коммутирующих с соответствующими операторами порядка Ад+2 (другие примеры построены в [21], [1*], [3*]). Отметим, что при д = а3 — 1, а2 = = 0 операторы Ь\, Ь\ совпадают с операторами Диксмье [5]. Действия автоморфизмов первой алгебры Вейля на Ь\, Ь\д+2 изучались в [22]. С помощью замены координат и автоморфизмов первой алгебры Вейля О.И. Моховым [23] из операторов Ь\, Ь\д+2 получены примеры операторов ранга I.

Отметим, что коммутирующие дифференциальные операторы имеют приложения в солитонных уравнениях. Лаке заметил [24], что условие коммутации дифференциальных операторов

где

Ь2 = а2 + и(х, I), А = 31 + ^и(х,1)дх + ^их{х,Ь)

эквивалентно уравнению Кортевега-де Фриза (КдФ)

Ащ + 6иих + иххх = 0.

Это уравнение описывает солитоны (уединенные волны на мелководье). Важным классом решений уравнения КдФ являются конечнозонные решения. Эти решения выделяются дополнительным условием

[1-2,-^29+1] = о,

где L2g+i — обыкновенный дифференциальный оператор нечетного порядка с коэффициентами, зависящими от х и t. Пара коммутирующих операторов Ь2 и L2g+i является операторами ранга 1.

Другим примером, где обыкновенные коммутирующие операторы играют важную роль, является уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП)

\uyy = §-x{ut + \uux-\uxxx). Это уравнение допускает представление Захарова-Шабата

[dt- Ä,dy-L] = 0,

где

L = д2х + U(x, y,t), Ä=83x + |l/(:г, у, t)dx + Р(х, у, t),

Р(х, у, t) —' некоторая функция. Решения КП ранга I выделяются дополнительным условием, при котором операторы (dt — А) и (ду — L) коммутируют с элементами коммутативного кольца 21; обыкновенных дифференциальных операторов ранга I

[Ln,dt-Ä]= О, [Ln,dy-L]=0,

где Ln € 21;. Решения ранга один задаются известной формулой Криче-вера

U(x, t, у) = 2dl In в{ухх + V2у + V3t + V4) + const,

где Vi — некоторые векторы, в — тэта-функция многообразия Якоби спектральной кривой. Решения КП ранга I > 1 в общем случае не найдены.

Целью диссертации является построение новых примеров коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, а также изучение коммутативных колец самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два и их деформаций, заданных солитонными уравнениями.

Основные результаты диссертации.

1. Построены новые примеры коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов порядков 4 и Ад + 2 ранга два.

2. Доказано, что некоторые уже известные пары коммутирующих дифференциальных операторов порядков 4 и Ад + 2 не коммутируют с операторами нечетного порядка, т.е. являются операторами ранга два (совместно с Э.И. Шамаевым).

3. Изучены деформации коммутативных колец самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов ранга два, заданные со-литонными уравнениями.

Научная новизна и значимость работы. Работа носит теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Результаты работы могут быть использованы при дальнейшем исследовании коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, а также при построении решений ранга два солитонных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством академика И. А. Тайманова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012, 2014, 2015); семинаре «Инварианты трехмерных многообразий» под руководством чл.-корр. РАН А.Ю. Веснина (ИМ СО РАН, Новосибирск,

2012); семинаре «Интегрируемые системы» под руководством д.ф.-м.н. А. Е. Миронова (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре лаборатории геометрической теории управления под руководством д.ф.-м.н., профессора А. А. Аграчева (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014).

Результаты диссертации были представлены на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2013); 44-ой Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург,

2013); Международной конференции «Геометрия и анализ на метрических структурах» (Новосибирск, 2013); Международной молодежной конференции «Геометрия и управление» (Москва, 2014); Международной школе-конференции «Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах» (Артыбаш, 2014);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи печатных и электронных изданиях [1*]- [7*], четыре из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1*] - [4*], три — в тезисах докладов и материалах конференций [5*]- [7*]. Результаты работы [2*] получены в неразделимом соавторстве с Э.И. Шамаевым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Список литературы

насчитывает 35 наименований. Общий объем диссертации составляет 59 страниц.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д. ф.-м. н. Андрею Евгеньевичу Миронову за постановку задач, полезные обсуждения и всестороннюю поддержку; а также к. ф-м. н. Эллэю Ивановичу Шамаеву за интерес к работе и ценные замечания.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяется на параграфы. Все теоремы автора имеют двойную нумерацию: первое число — номер главы, второе — номер утверждения в текущей главе.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, освещается степень ее разработки; изложены цели и основные результаты диссертации; отражены научная новизна и значимость работы и данные об апробации. Также приведены сведения о публикации результатов диссертации.

Первая глава посвящена построению и изучению коммутирующих дифференциальных операторов ранга два. В параграфе 1.1. напоминаются определение совместной собственной функции коммутирующих дифференциальных операторов (вектор-функция Бейкера-Ахиезера) и уравнения Кричевера-Новикова на параметры Тюрина. В параграфе 1.2. строятся новые примеры коммутирующих операторов порядков 4 и Ад + 2, отвечающих гиперэллиптическим кривым рода д.

Теорема 1.3 ( [1*], [2*]). Оператор

Ь\ = (,Э2Х + ахех + а0)2 + д(д + l)aiex, ai ф О

коммутирует с некоторым дифференциальным оператором L\g+2 порядка 4g + 2. Операторы b\, L\g+2 являются операторами ранга два.

Вторая часть теоремы 1.3 (операторы LL\д+2 являются операторами ранга два) доказана в [2*] совместно с Э.И. Шамаевым.

Теорема 1.4 ( [3*]). Оператор

L\ = (dl + cos2(*) + а соз(х) +

-д(д + 1)(а2соз2(:г) + 2асоз(а;)), а ^ О

коммутирует с некоторым дифференциальным оператором Ь\д+2 порядка 4д + 2. Операторы Ь\, Ъ4д+2 являются операторами ранга два.

Также найдена спектральная кривая пары коммутирующих операторов Ь\, Ь\д+2.

В следующих теоремах доказано, что пары операторов Ь{, Ь\д+2 [19] и ь\, Ь\д+2 [20] являются операторами ранга два.

Теорема 1.8 ( [2*]). Операторы Ь\, Ь\д+2 не коммутируют с операторами нечетного порядка, т.е. являются операторами ранга два.

Теорема 1.9 ( [2*]). Операторы ь\, ь\д+2 не коммутируют с операторами нечетного порядка, т.е. являются операторами ранга два.

Теоремы 1.8 и 1.9 получены совместно с Э.И. Шамаевым. Во второй главе изучаются решения ранга два эволюционной системы уравнений

V* = \{ЪУУХ + тх + Уххх), УГь = - \¥ххх). (2)

Эта система эквивалентна условию коммутации самосопряженного оператора четвертого порядка и кососимметричного оператора третьего порядка

[Ь4,дг- Л] =0,

где

и = (Э2 + У(х,*))2 + А = д3х + + ¿ух(х,Ь).

При этом мы предполагаем, что при каждом £ оператор Ь4 входит в коммутативное кольцо дифференциальных операторов ранга 2, [Ь4,Ь4д+2] = 0. Решения ранга один эволюционной системы (т.е. когда Ь4 коммутирует с оператором нечетного порядка) были найдены Дрин-фельдом и Соколовым [25]. В параграфе 2.1. изучаются деформации коммутативных колец самосопряженных дифференциальных операторов ранга два, заданные солитонными уравнениями.

Теорема 2.1 ( [4*]). Предположим, что потенциалы V и У/ самосопряженного оператора Ь4 = + + а;,*), коммутирующего с оператором Ь4д+2, удовлетворяют системе эволюционных уравнений (2). Тогда полином <3, определенный по оператору Ь4 (см. Теорему 1.2), удовлетворяет уравнению

С}1 = I (-зуОх - 0И1). (3)

Отметим, что данное уравнение задает симметрии уравнения (1).

Замечание. Аналогично можно получить эволюционное уравнение на <5, если в [Ь4, дъ - А] = 0 заменить оператор А на кососимметричный оператор порядка 2п + 1. Например, при п = 2,3 имеют место уравнения

= 1(-4<3\¥х + 2УХС}ХХ + <эх(8г - 5У2 + 2ТУ- Ухх) - 2У<2ХХХ), (4) 8

<21а = 1(_14У3дг - 2У(-6(2Я\¥Х + УХЯХХ) + Ях(2Ах + 18ИЧ

+5У„)) - ЪУ2С}ХХХ + 2{ШХЯХХ - (8х + 6\У + УХХ)<ЭХХХ + ЯХХУХХХ + +4ЯЖХХХ) - ЯХ(7У2 + 10\¥хх + Ухххх)). (5)

Эти эволюционные уравнения также задают симметрию уравнения

(!)•

Сопоставим теорему 2.1 с аналогичными результатами для конечно-зонных решений уравнения Кортевега-де Фриза

щ = т(6 иих + иххх). 4

Уравнение КдФ имеет представление Лакса

\д2х + и(х, (3® + 1)дх + ^их(х, I))] = 0.

Конечнозонные решения выделяются дополнительным условием

[д1 + и(х,(),Ь2з+1] = 0,

где Ь2д+1 — дифференциальный оператор порядка 2д + \ с коэффициентами зависящими от г. Спектральная кривая пары Ь2, Ь2д+1, задается уравнением

При этом

д2х + и{х, Ь)-г={дх+ Х){дх - х),

где

<3(х, t, г) = г3 + ад-1(х, ф»-1 + ..-. + а0(х, ¿). Полином <3 удовлетворяет уравнению

^) = 4д2(2-и) + д2х-2ддхх,

а также уравнению (см. [26])

= ¿(22 + и)дх - ^<Эих. (6)

Уравнение (3) является аналогом известного уравнения (6).

В параграфе 2.2 показано, что уравнения (3), (4) и (5) в случае эллиптической спектральной кривой сводятся к уравнениям из иерархии Кричевера-Новикова. Здесь же построены некоторые автомодельные решения уравнений (3), (4) и (5) в случае эллиптической спектральной кривой.

В заключении излагаются результаты работы и перспективы дальнейшей разработки темы.

Литература

[1] Schur, J. Über vertauschbare lineare Differentialaus drücke. /J. Schur // Sitzungsber. Berl. Math. Ges. — 1905. №4. — P. 2-8.

[2] Burchnall, J.L. Commutative ordinary differential operators. /

J.L. Burchnall, I.W. Chaundy // Proc. Lond. Math. Soc. Ser -1923. - 2, №21. - P. 420-440.

[3] Кричевер, И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии. /И. М. Кричевер // Функц. анализ и его прил. — 1977. - 11, №1. - С. 15-31.

[4] Кричевер, И. М. Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных операторов. /И. И. Кричевер // Функц. анализ и его прил. - 1978. - 12, №3. - С. 20-31.

[5] Dixmier, J. Sur les algebres de Weyl./ J. Dixmier // Bull. Soc. Math. France. - 1968. - №96. — P. 209-242.

[6] Кричевер, И. M. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. / И. М. Кричевер, С. П. Новиков // Успехи матем. наук. — 1980. — 35, №6. — С. 47-68.

[7] Гриневич, П. Г. О спектральной теории коммутирующих операторов ранга 2 с периодическими коэффициентами. / П. Г. Гриневич, С. П. Новиков // Функц. анализ и его прил. — 1982. — 16, №1. — С. 19-20.

[8] Grunbaum, F. Commuting pairs of linear ordinary differential operators of orders four and six. / F. Grunbaum // Physica D. — 1988. - 31, №3. - P. 424-433.

[9] Previato, E. Differential operators and rank 2 bundles over elliptic curves. / E. Previato, G. Wilson // Compositio Math. — 1992. — 81, №1. - P. 107-119.

[10] Мохов, О. И. О коммутативных подалгебрах алгебры Вейля, отвечающие эллиптической спектральной кривой. / О. И. Мохов // Международная конференция по алгебре памаяти А.И. Ширшева (1921-1981). — Август 1991. — Барнаул, СССР. — Отчеты о теории колец, алгебр и модулей, 1991. — С. 20-25.

[11] Мохов, О. И. О коммутативных подалгебрах алгебры Вейля, порожденных полиномами Чебышева. / О. И. Мохов // Третья международная конференция по алгебре памяти М.И. Каргополова (1928-1976). — 1993. - Красноярск. - С. 23-28.

[12] Latham, G. Rank 2 commuting ordinary differential operators and Darboux conjugates of KdV. / G. Latham // Appl. Math. Lett. — 1995. - 8, №6. - P. 73-78.

[13] Latham, G., Previato, E. Darboux transformations for higherrank Kadomtsev-Petviashvili and Krichever-Novikov equations./ G. Latham, Б. Previato// Acta Appl. Math. — 1995. — №39. — P. 405433.

[14] Мохов, О. И. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 3 и нелинейные уравнения./ О. И. Мохов // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1989. — 53, №6. - С. 1291-1315.

[15] Миронов, А. Е. Об одном кольце коммутирующих дифференциальных операторов ранга два, отвечающем кривой рода два./ А. Е. Миронов// Матем. сб. — 2004. — 195, №5. - С. 103-114.

[16] Миронов, А.Е. О коммутирующих дифференциальных операторах ранга 2. / А. Е. Миронов// Сиб. электрон, матем. изв. 2009. — №6. — С. 533-536.

[17] Миронов, А. Е. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2, отвечающих кривой рода 2./ А. Е. Миронов// Функц. анализ и его прил. 2005. — 39, №3. — С. 91-94.

[18] Zuo, D. Commuting differential operators of rank 3 associated to a curve of genus 2. / D. Zuo // SIGMA. 2012. — 8, №044. — P. 1-11.

[19] Mironov, A. E. Self-adjoint commuting ordinary differential operators. / A.E. Mironov // Invent, math. — 2014. — 197, №2. — P. 417-431.

[20] Mironov, A. E. Periodic and rapid decay rank two self-adjoint commuting differential operators. / A. E. Mironov // Amer. Math. Soc. TYansl. Ser. 2. - 2014. - №234. - P. 309-321.

[21] Оганесян, В. С. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2 произвольного рода g с полиномиальными коэффициентами. / B.C. Оганесян // УМН. - 2015. - 70, №1. - Р. 179-180.

[22] Мохов, О. И. О коммутативных подалгебрах алгебр Вейля, связанных с коммутирующими операторами произвольного ранга и рода. / О.И. Мохов // Матем. заметки. — 2013. — 94, №2. — С. 314-316.

[23] Mokhov, О. I. Commuting ordinary differential operators of arbitrary genus and arbitrary rank with polynomial coefficients. / О. I. Mokhov // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. — 2014. - №234. - P. 323-336. 323-336.

[24] Lax, P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves./ P.D. Lax // Comm.Pure Appl.Math. - 1968. - №21. -P. 467-490.

Дринфельд, В. Г. Симметрии в уравнениях Лакса. / В. Г. Дрин-фельд, В. В. Соколов // Интегрируемые системы, под ред. A.B. Шабата. - Уфа. - 1982.

[26] Дубровин, Б. А. Нелинейные уранвения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. / Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков // УМН. - 1976. -31, №1(187). - С. 55-136.

[27] Гриневич, П. Г. Рациональные решения уравнений коммутации дифференциальных операторов. / П. Г. Гриневич // Функц. анализ и его прил. — 1982. - 16, №1. - С. 19-24.

[28] Новиков, Д. П. Алгебро-геометрические решения уравнения Кричевера-Новикова./Д. П. Новиков // ТМФ. — 1999. — 121, №1. — С. 367-373.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1*] Давлетшина, В. Н. О самосопряженных коммутирующих дифференциальных операторах ранга два. /В.Н. Давлетшина // Сибирские электронные математические известия — 2013. — Т.10. — С. 109-112.

[2*] Давлетшина, В. Н. О коммутирующих дифференциальных операторах ранга два. /В. Н. Давлетшина, Э. И. Шамаев // Сибирский математический журнал — 2014. — Т.55, №4. — С. 744-749.

[3*] Давлетшина, В.Н. Коммутирующие дифференциальные операторы ранга два с тригонометрическими коэффициентами. /В.Н. Давлетшина // Сибирский математический журнал — 2015. - Т.56, №3. - С. 513-519.

[4*] Давлетшина, В. Н. Самосопряженные коммутирующие дифференциальные операторы ранга два и их деформации, заданные соли-

тонными уравнениями. /В. H. Давлетшина./■/ Математические заметки — 2015. — Т.97, вып.З — С. 350 - 358.

[5*] Давлетшина, В. Н. О самосопряженных коммутирующих дифференциальных операторах ранга два. /В. Н. Давлетшина // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / Новосибирский гос. ун-.т. Новосибирск. — 2013. — С. 52.

[6*] Давлетшина, В. Н. Самосопряженные коммутирующие дифференциальные-операторы ранга два и их деформации, заданные соли-тонными уравнениями. [Электронный ресурс] / В. Н. Давлетшина // Тезисы Международной конференции «Геометрия и анализ на метрических структурах», Новосибирск. — 2013: — Режим доступа: http://get.math.nsc.ru/wordpress/wp-content/uploads/2013 /12/Davletshina.pdf

[7*] Davletshina, V. Self-adjoint commuting differential operators of rank 2 and their deformations given by the solitori [Электронный ресурс] / V. Davletshina // International Youth Conference «Geometry and Control», Moscow, April 14-18, 2014: Abstracts. — Moscow: Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences. — 2014. — P. 19-20. — Режим доступа: http://gc2014.mi.ras.ru/Abstr_bookGC2014.pdf

Подписано в печать 03.07.2015 Формат 60 х 84 1/16 Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №202 Редакционно-издательский центр НГУ. 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2