Функции напряжений в задачах интегральной фотоупругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК 539.3

ПУРО Альфред Эдуардович

Функции напряжений в задачах интегральной фотоупругости

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1992.

Работа выполнялась в Калининградском институте рыбной про мышленности и хозяйства и в Институте кибернетики &Н Эстонии

Официальные оппоненты: доктор физико - математических

наук, профессор Соловьев Ю.В. доктор физико - математических наук Шарафутдинов В.А.

доктор физико - математических наук Цвелодуб И.Ю.

Ведущая организация: Институт механики МГУ

Згщита состоится

.1992 года в

" час

мин на заседании Специализированного совеа

Д. 003. 33. 01 при Институте теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу : 630090, г. Новосибирск - 90, Институтская ул. 4/1, Институт теоретической и прикладной механики СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Инст тута теоретической и прикладной механики СО РАН.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико - математических наук^с^Т" * ~ " " в.

Автореферат разослан

РОГО"-''-

ГОО"-:-' ' "

•--* ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Напряжённое состояние линейнодефоршруемых тел описывается сложной системой дифференциалышх уравнений. Одним из способов интегрирования этих уравнений заключается в представлении разыскиваемых функций через решения более простых уравнений. Но понятным причинам выбирались гармонические и бигармонические функции. К таким общим решениям однородных уравнений теорли упругости относятся хорошо известные представления П.Ф. Папковича-Нейбера ( гармонические вектор и скаляр ), Б.Г. Галёркина ( бигармонический вектор ), Лява для осесимметричного распределения напряжений ( бигармоническая функция ).

Менее известным является разделение уравнений Ламе в обобщённо' цилиндрической системе координат проведенное С.Г. Гутманом с представлением общего решения в виде суммы решений первого и второго рода ( названия введены С.Г. Гутманом ). Решение первого рода определяется бигармонической функцией и не содержит так называемого нормального вращения вектора деформаций, у решения второго рода, описываемого гармонической функцией, дивергенция деформаций равна нулю.

С развитием вычислительной техники при решении задач теории упругости на первое место выдвинулись прямые численные методы ( методы конечных и граничных элементов ), вместе с тем роль общих решений остаётся довольно значительной при выяснении качественных особенностей напряжённого состояния тела, получении модельных решений, в постановке общих нестандартных задач теории упругости.

В частности такие нетрадиционные задачи возникают в -I-

относительно новой области экспериментальной механики интегральной фотоупругости . Она занимается определением внутренних напряжений в прозрачных трёхмерных объектах на основе измерения параметров поляризованного света, прошедшего через исследуемый образец ( метод сквозного просвечивания ).

По способу проведения измерений ( просвечивание проводится в системе параллельных плоскостей ) интегральная фотоупругость может быть отнесена к томографии. Вместе с тем характерные особенности интегральной фотоупругости делают ее намного сложней : I) просвечивание проводится поляризованным светом и на каждом луче возможно измерение трех параметров; 2) из измерений подлежит реконструкции поле напряжений - тензорная величина, определяемая в каждой точке шестью компонентами; 3) компоненты тензора напряжений входят в измеряемые величины сложным нелинейным образом, измерение линейных интегральных величин напряжений возможно только в особых случаях. Вследствие этих особенностей реконструкция напряжений томографическим способом не возможна без привлечения априорной информации : уравнений равновесия, совместности, граничных условий, особеностей распределения напряжений. Поэтому в интегральной фотоупругости определение напряжений проводится из совместного решения задач обращения лучевых интегралов и те.ории упругости. о

Основу метода составляет теория характеристических направлений Х.К. АОена, ему же принадлежит постановка основных задач интегральной фотоупругости и решения их на примере реконструкции осесимметричных напряжений в телах вращения.

Излагаемый в диссертации материал в основном посвящен развитию методов определения осесимметричных напряжений на случай произвольного их распределения. Это обобщение связано с постановкой, анализом и решением задач теории упругости,

-2-

возникающих в результате использования уравнений равновесия и состояния исследуемого объекта. Приведем формулировки зтих зад^ч.

Послойное определение напряжений основывается на томографическом измерении параметра изоклины и относительной разности хода. Распределение напряжений удовлетворяет условиям применения линейных лучевых интегралов : либо отсутсчьу-т вращение квазиглавних направлений на луче, либо оптическая анизотропия является очень слабой. При реконструкции напряжений используются уравнения статики и соответствующие граничный условия на боковой поверхности исследуемомго образца.

Задачу в такой постановке в дальнейшем будем именовать задачей оптической томографии тензорного поля напряжений. Ее исследованием занимались В.А. Шарафутдинов ( в случае очень слабой оптической анизотропии ), Т. Abe ( для определения остаточных напряжений в заготовках световодов ). Возможности определения напряжений в этой задачи ограничиваются нахождением компоненты тензора напряжений, ортогональной к плоскости просвечивания.

При исследовании линейнодеформируемых образцов возможности метода расширяются привлечением уравнений совместности деформаций. Дополнительная информация о напряжениях получается в результате решения возникающей при этом задачи теории упругости. Эту задачу в дальнейшем будем называть задачей упругости оптической томографии.

Другая задача теории упругости возникает в предположении, что остаточные напряжения в объекте носят температурный характер ( гипотеза эффективной температуры остаточных деформаций ). Ее в дальнейшем будем называть обратной задачей термоупругости оптической томографии. Частное ее решение для случая плоской деформации с осесимметричным распределением напряжений приводит к закону суммы, который широко используется для полного определения

напряжений в заготовках световодов.

Постановка, анализ и решение этих задач в диссертации основывается на системном использовании функций напряжений. Актуальность темы. Интегральная фотоупругость применяется для исследования напряжённых состояний на прозрачных моделях, в конкретных прозрачных изделиях. В последнее время методы интегральной фотоупругости всё больше находят применение в связи с развитием оптических устройств передачи и обработки информации. Потребности бурно развивающейся промышленности волоконной оптики стимулировали создание оптических томографов, позволяющих проводить просвечивания в относительно широком луче, обеспечивая измерения параметров поляризованного света в достаточно высоком слое.

Неоднородность упругих свойств ( непрерывная и дискретная ) всё чаще присутствует в современных оптических деталях как в качестве конструкционных особенностей- для улучшения их эффективности, так и вследствие нестабильности технологических процессов.

Необходимо отметить, что при реконструкции напряжений в объёмных моделях до последнего времени в основном ограничивались телами вращения с осесшметричным распределением напряжения, что не в последнюю очередь связано с .неразработанностью задач теорди упругости, возникающих в интегральной фотоупругости. Использование функций напряжений в этих задачах, как показано в диссертации, позволяет существенно расширить область применения интегральной фотоупругости. Кроме того значение и возможности применения функций напряжений в теории упругости неоднородных сред до настоящего времени полностью не исследованы.

Целью настоящей работы является развитие томографических методов интегральной фотоупругости на основе системного применения

теории функций напряжений, включающей в себя:

1. Развитие теории интегральной фотоупругости в рамках модели очень слабой оптической анизотропии.

2. Разработка математического аппарата для полного определения напряжений на основе экспериментальных данных, померенных методом интегральной фотоупругости.

3. Исследование влияния неоднородностей упругих свойств в задачах интегральной фотоупругости.

4. Изучение возможности применения интегральной фотоупругости к определению напряжений в монокристаллах.

5. Исследование применимости методов интегральной фотоупругости в акустоупругости.

Научная новизна. Наиболее существенные новые результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту, состоят в следующем:

I- Получено решение уравнений фотоупругости с точностью до членов четвёртого порядка малости. На основе этих решений изучены пределы применимости приближения очень слабой оптической анизотропии, лежащей в основе линейных лучевых интегралов интегральной фотоупругости.

2. С помощью редукции лучевых интегралов модели очень слабой оптической анизотропии проведено разделение, связанной задачи интегральной фотоупругости на задачу оптической томографии тензорного поля напряжений и задачу упругости оптической томографии.

Задача оптической томографии тензорного поля напряжений фактически определяет только компоненту тензора напряжений, нормальную к плоскости просвечивания, а её решение сводится к стандартной процедуре обращения преобразования Радона. Дополнительное ' измерение абсолютной разности фаз

неполяризовавного света позволяет» ограничиваясь только уравнениями равновесия, восстановить напряжённое состояние, определяемое решением первого рода.

3. В приближении очень слабой оптической анизотропии для модели линейно деформируемого тела сформулирвяна и исследована задача упругости оптической томографии. Рассмотрено её решение на примере круглого) мшшвдра,

4. В рямкаж моде« »Активной температуры остаточных деформаций сформулированы обратные задачи термоупругости оптической томографии а) ира плоской деформации образца» б) при произвольном распределении непряжений для случая очень слабой оптической анизотропии. Предложен эффективный алгоритм решения этой задачи даь случая плоской деформации образца с круглым сечением

5ч Проведено разделение уравнений теории упругости трансверсально-изотропной среды, когда оба коэффициента упругости заварят только от ' координат, ортогональной к плоскости изотропии, а остальные коэффициенты могут зависеть от' трёх координат-.

Б случае сферически траесверсально-изотропной среды разделение уравнений осуществлено при условии, что оба коэффициента сдвига только функции радиуса. При переходе к изотропному телу вышеупомянутые ограничения разделения уравнений накладываются на коэффициент жёсткости, в то время как коэффициент Пуассона может зависеть от трёх координат. Рассмотрены различные формы представления разрешающих уравнений, их элементарные решения. Выделены законы неоднородностей, позволяющие построить решения в явном виде методом разделения переменных. Рассмотрены простейшие численные метода их решения.

Результаты исследования позволяют выделить виды неоднородностей в объектах и способы их просвечивания, при

- б -

которых применимы мотодц реконструкции напряжений, разработанные для однородных тел в интегральной фотоупругости.

6. Создан ряд методов, позволяющих для разных частных случае)! полностью определить трехмерное поле напряжений.

7. .Для модели линеаризованной пятиконстантной теории упругости методом квазиизотропного приближения геометрической акустики получены уравнения двулучепреломления квазипоперечных волн. Полученные уравнения по форме совпадают с аналогичными уравнениями фотоупругости, что позволяет в теоретическом плане разработать метод интегральной акустоупругости.

Отметим, что практическое применение в акустоупругости этой теории в настоящее время встречает трудности измерительного характера.

Таким образом на основе применения функций напряжений разработаны теоретические основы томографического направления интегральной фотоупругости.

Практическая ценность результатов диссертации состоит в существенном расширении возможностей реконструкции напряжений методом интегральной фотоупругости.

Среди приложений результатов диссертации отметим использование интегральной фотоупругости для определения остаточных напряжений:

а) В заготовках световодов произвольного сечения с произвольным распределением напряжений и упругих оеойств по сечению. С одной стороны это позволяет контролировать и оптимизировать технологический процесс и конструкцию ззготовок, с другой -прогнозировать внутренние напряжения в самих световодах. Как показывают исследования имеется относительно простая связь между напряжениями в световодах и их заготовках. Предположения эффективной температуры остаточных деформаций, в рамках которых

проводится реконструкция напряжения в заготовках, для стекла прошли многочисленную экспериментальную проверку и оправдываются с высокой степенью точности. Сам метод и разработанный алгоритм прошёл проверку при реконструкции напряжений в заготовке световода типа bow-tie, предоставленной для исследований Институтом химии стекла и керамических материалов Чехословацкой Академией Наук.

в) В длинных призматических монокристаллах кубической структуры, ось которых совпадает с главным кристаллографическим .направлением.

с) В стеклянных моделях с плавноизменяющимися параметрами.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на симпозиумах, семинарах и конференциях:

Научный семинар. Проблемы численной реализации метода потенциала в автоматизированных расчётах инженерных конструкций Ленинград. ( 1987 г. ).

4. Всесоюзный симпозиум- по вычислительной томографии.. Ташкент. ( 1989 г. ).

Е1ГОСЖЕСН-256, Non destructive three demenslcnal stress ' analysis. Tallinn, Estonia, USSR. ( 1989 r. ).

17 Межвузовская научно-техническая конференция профессорско - преподавательского состава научных и инженерно-технических работников, аспирантов Калининградских ВУЗОВ Минрыбхоза СС$Р. Калининград. ( 1989 г ).

Научный семинар. Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций. Ленинград. ( 1989 г. ).

Всесоюзный семинар. Оптика анизотропных сред. Звенигород, Мооква. ( 1990 г. ).

9th Itnernational conference on experimental mechanics.

Copenhagen. Denmark. ( 1990 г. ).

Х1Ч Sympozljom mechanlkl doswladczalne;J claia stalego. Warszawe ( 1990 r. ).

First Baltlc-Scandlnaylan symposium on mechanics. Riga. ( 1990 r. ).

Дни механики Эстонии. Отепяе. Тарту. ( 1991 г. ). 4th Finish mechanics days. Lappenranta, Finland. ( 1991 Г. ). Second Inernatlonal conference of photomechanics and specie metrology. San Diego. California USA. ( 1991 r. )

5 Всесоюзный' симпозиум по вычислительной томографии. Звенигород, Москва. ( 1991 г. ).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах [1-28].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из следующих разделов: введения, трех глав, заключения, двенадцати приложений, а также списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 279 страниц, из йих основного текста 202 стр., объем приложений состовляет 65 стр., 7 рисунков, библиография - из 128 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и важность теш исследования, проведён краткий обзор работ, близкий к теме диссертации. Поставлена цель работы, сформулированы основные научные положения дисссертации, которые выносятся на защлту, а также излагается краткое содержание работы и его распределение по разделам.

В первой главе проводится разделение уравнений теории упругости неоднородной трансверсально-изотропной среды при

условии, что оба коэффициента жёсткости являются функцией только координаты, нормальной к плоскости изотропии. Разделение основывается на представлении перемещений в плоскости изотропии в виде суммы двумерного потенциального и соленоидального полей.

Рассмотрены различные формы представления разрешающих уравнений, связь этих представлений с ранее используемыми в случае однородного пространства, связь разрешающих функций с компонентами тензора функций напряжений.

Приведены примеры простейших решений этих уравнений. Выделены законы неоднородностей, при которых решения первого рода можно получить в явном виде, используя метод разделения переменных. В числе этих законов находятся и такие, коэффициенты упругости у которых зависят от координат касательных к плоскости изотропии.

В качестве примера решения краевой задачи для одного из выделенных типов неоднородностей приведено в явном виде решение задачи Буссинеска. К этой части раздела относятся два приложения. В одном из них рассматривается взаимосвязь ' коэффициентов различных видов разрешающих уравнений трансверсально-изотропной среды. В другом - разбирается вопрос о разделении переменных в разрешающем уравнении первого рода, когда коэффициенты упругости зависят от трансверсальных координат. '

Второй параграф главы посвящен разделению уравнений лкме изотропной среда. Вышеупомянутые условия разделения для этого случая переходят на единственный коэффициент жёсткости - он может зависеть только от одной ортогональной декартовой координаты, в то время, как коэффициент Пуассона - от трёх. Разрешающие уравнения существенно упрощаются, несколько изменяются их свойства.

Разделение уравнений Ламе является следствием того, что

плотность энергии рассматриваемой среда введением соответствующих потенциалов может быть представлена в виде суммы двух слагаемых, определяющих решения первого и второго рода. Из возможных вариантов представления этой плотности в диссертации рассматриваются два основных: представление свободной энергии через потенциалы перемещения и дополнительной энергии через потенциалы напряжения.

Выражение плотности дополнительной энергии решения первого рода в определенном смысле совпадает с аналогичным для функции Эйри задачи плоской деформации. Напомним, что условием разделения уравнений является независимость коэффициента жёсткости от двух координат. Если от одной из этих кординат не зависит и сам потенциал решения первого рода ( двухмерная задача ), то плотности дополнительных энергий, как и сами разрешающие уравнения совпадают.

Такая же связь существует и между разрешающими уравнениям) для этих функций. Полученные выражения плотности • энергий могут быть использованы в вариационных формулировках краевой задачи при разработке численных методов их решений.

Использование уравнений для численного решения рассмотрено на примере краевой задачи неоднородного по глубине полупространства. Разрешающие уравнения выбираются в смешанной форме. Впервые уравнения такого вида были введены В.З. Власовым, в последнее время они все больше находят применение для расчета одномерно неоднородных структур.

Методом разделения переменных задача в частных производных приводится к краевой задаче относительно системы обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве трансформант Ганкеля.

Вариант численного решения этой системы методом инвариантного погружения ( переноса граничных условий A.A.

Абрамова ), используемый в диссертации, по простоте и эффективности имеет ряд преимуществ по сравнению с ранее применявшимися. Он позволяет довольно подробно исследовать свойства функции влияния, построить её асимптотическое решение для слоя с периодическими коэффициентами.

В одном из приложений к этому параграфу разрешающие уравнения выводятся из интегралов уравнений совместности для тензора функций напряжений, полученных Ю.А. Крутковым. В другом приводятся простейшие задачи неоднородной упругой среды.

Во второй главе получено разделение уравнения теории упругости сферически трансверсально-изотропной среды при условии, что оба коэффициента сдвига зависят только от радиуса. Остальные коэффициенты упругости могут зависеть от трёх координат. Более подробно свойства разрешающих уравнений рассматриваются для случая изотропной среды. Вышеуказанное функциональное ограничение в этом случае накладывается только на модуль сдвига. Связь вводимых потенциалов при разделении уравнений с компонентами тензора функций напряжений, представленного в сферической системе координат, рассматривается в пятом приложении.В литературе до сих пор не приводилось значение этого тензора в сферической системе координат.

В шестом и седьмом приложениях методом разделения переменных рассматриваются две простых задачи: I) действие сосредоточенной силы и момента сил в начале координат радиально неоднородной среды; 2) симметричная деформация радиально неоднородного полого шара. Приведённые примеры показывают, . что для некоторых простейших задач можно выделить большой класс неоднородностей, при которых решения получаются в явном виде. В задаче о полом шаре это достигается сведением уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к известным уравнениям Гельмгольца,

Бесселя, Уиттекера. Редукция осуществляется с помощью замены переменных с использованием формализма производной Шварца.

Сам факт-раздэления уравнений позволяет использовать для решения задач в сферической системе координат методы ранее разработанные в аналогичных задачах однородной среды. В частности отметши простой качественный результат, вытекающий из полученных уравнений: моментное уравнение нормального вращения сферической оболочки В.З. Власова совпадает для изотропной и сферически трансверсально-изотропной среды и инвариантно относительно рассматриваемой вариации упругих свойств.

Очевидно, что разделение уравнений в сферической системе координат также может быть использовано в методе интегральной фотоупругости, хотя этот вопрос в диссертации не разбирается.

Третья глава диссертации посвящена непосредственно задачам интегральной фотоупругости. Ее содержание разбито на три параграфа.

Первый из них посвящен задаче оптической томографии поля напряжений. В нём методом последовательных приближений получено выражение матрицианта уравнений фотоупругости с точностью до членов четвёртого порядка малости. Как результат этого решения: I) уточняются значения линейных лучевых. интегралов приближения очень слабой оптической анизотропии, 2) даётся оценка точности этих приближений, которая подтверждает оценку, получешую ранее Х.К. Абеном и его сотрудниками.

Во втором разделе параграфа проводится редукция лучевых интегралов приближения очень слабой оптической анизотропии с учётом уравнений равновесия. Ранее эта задача рассматривалась В.А. ШарафутдиноЕым. Приведенный в диссертации вывод отличается простотой и более общей формулировкой результата. Два лучевых интеграла приводятся к двум разрешающим соотношениям,

определяющим преобразования. Радона компоненты тензора

напряжений, нормальной к плоскости просвечивания, и ее производной по нормали.

Таким образом определение этих двух величин сводится к стандартной задаче обращения преобразования Радона.

Так как при редукции не используются законы состояния, . разрешающие соотношения справедливы для различных моделей твёрдого тела ( вязкоупругой, пластической и для других моделей ).

Эти разрешающие соотношения позволяют:

1) Разделить задачу интегральной фотоупругости на задачу оптической томографии тензорного поля напряжений и задачу упругости оптической томографии.

2) Проанализировать задачу оптической томографии и определить компоненты тензора напряжений непосредственно определяемые из обращения разрешающих соотношений.

3) Доопределить задачу граничными условиями так, чтобы с помощью уравнений равновесия увеличить число непосредственно определяемых компонент тензора напряжений.

4) Дополняя исходную информацию уравнением состояния и граничными условиями, сформулировать соответствующую задачу ( упругости, пластичности, термоупругости и так далее ), в рамках которой информативные свойства метода расширяются. Диссертация в этом направлении исследования- ограничивается моделью линейнодеформируемого тела, хотя не менее существенные результаты могут быть получены для упругопластичной, вязкоупругой сред.

5) Поставить вопрос о дополнительных измерениях, расширяющих возможности метода.

В диссертации , анализируются возможности оптической томографии с дополнительным привлечением измерений в исследуемом

сечении объекта абсолютной разности фаз неполяризованного света. Возможности измерения этого параметра и использование его для диагностики напряжений в литературе обсуждались, в частности, в работах В.И. Шахурдина, К.-Ю.Э. Келл.

В случае плоской деформации измерение этого параметра эквивалентно дополнительному измерению абсолютной разности фаз или отклонению луча. В такой постановке задача рассматривалась, в частности, в работах Saenz, Х.К. Абена и К.-Ю.Э. Келла.

Обращение третьего лучевого интеграла совместно с ранее найденными величинами позволяет определить первый инвариант напряжений с точностью до слагаемого равного, разности показателей преломления иммерсионной жидкости и исследуемого объекта в отсутствие напряжений.

Дальнейшая реконструкция связана с решением уравнений статики в исследуемой плоскости по вышеуказанным трём экспериментально найденным величинам. Примененение тензора функций напряжений в форме, представляющей решения первого и второго рода, позволяет проанализировать задачу и разбить напряжённые состояния по трём группам.

1) Состояния, определяемые функциями напряжений первого рода, полностью восстанавливаются из решения двумерного уравнения Пуассона, причём в ходе решения находится произвольная постоянная, имеющаяся в исходных данных. Ранее A.W. Saenz для определения этой постоянной предлагал использовать наклонное просвечивание образца. ■ •

2) Состояния, соответствующие функциям напряжения решения второго рода ( нормального вращения ), не определяются.

3) Относительно комбинации первых двух решений, зацепляющихся на боковой поверхности, имеем некорректную задачу. Применение метода регуляризации к ней позволяет приближённо определить часть

напряжений, описываемых решением первого рода. В частности, в телах вращения осесимметричная часть напряжений не зацепляется на поверхности с напряжениями нормального вращения и поэтому восстанавливается точно.

Подчеркнем еще раз, что в обсуждаемом методе реконструкции напряжений уравнения состояния не используются, а поэтому он применим для определения остаточных напряжений без привлечений каких либо гипотиз их происхождения.

Во втором параграфе третьей главы рассматривается задача теории упругости оптической томографии - определение напряжений в линейнодеформируемом теле, исходя из результатов решения задачи оптической томографии поля напряжений. В качестве дополнительной информации, расширяющей возможности метода, выступают уравнения совместности деформаций.

Выделяется локальная и интегральная постановка задачи. Локальная_постановка_задачи - послойная реконстркция напряжений. На сечении тела заданы : I) распределение компоненты тензора напряжений, нормальной к плоскости сечения; 2) распределение двух ее частных производных по нормали к этому сечению. Требуется определить напряжения в сечении полностью, при этом предполагается, что боковая поверхность исследуемой модели в области сечения свободна от нагрузок.

Отметим, что в этой постановке для получения исходной информации необходимо проводить измерения в двух близкорасположенных сечениях тела (.метод двух сечений ).

По степени определенности задачи, как и в предыдущем параграфе, можно выделить три вида напряженных состояний. Распределение напряжений в сечении соответствует : I) решению первого рода; 2) решению второго рода; 3) комбинации этих решений, зацепляющихся на поверхности.

В первом случае напряжения восстанавливаются полностью. Реконструкция осуществляется посредством решения двух двухмерных уравнений Пуассона. Граничные условия уравнений в основном переопределены, что позволяет использовать эту переопределенность для уменьшения погрешностей измерения и вычислений. Осэсимметричное распределение напряжений в теле вращения относится к этому виду напряжений.

Во втором случае начальные данные задачи равны нулю и напряжения не восстанавливаются. Кручение тела вращения является примером такого состояния.

В третьем случае относительно решения первого рода имеем некорректную задачу из-за неполной определенности граничных условий относительно этого вида напряжений. Приближенная реконструкция возможна с применением метода регуляризации. ,

ОШ^тегЕальной_постановке_зааачи разыскиваются напряжения в объеме, отсекаемом двумя параллельными плоскостями. Считается известным в нем распределение компоненты напряжений ( бигармонической функции ), нормальной к ограничивающим плоскостям.

Степень определенности восстанавливаемых напряжений решения первого рода возрастает. Напряжения решения второго рода, не зацепляющиеся на боковой поверхности с решениями первого рода, не определяются. При зацеплении решений первого и второго рода имеем некорректно поставленную задачу, степень обусловленности которой возрастает с увеличении высоты исследуемой части объекта.

В первом разделе параграфа дается формулировка интегральной и локальной задач, их разрешающие соотношения , анализ определенности постановки.

В качестве разрешающих соотношений выступают уравнения , полученные в первой главе диссертации. Их использование

существенно облегчает математическую формулировку задач и их анализ, в том числе и для случая неоднородного распределения упругих свойств среды. В частности, для случая произвольного распределения коэффициента Пуассона все вышеприведенные результаты относительно однородной модели остаются в силе.

Особенности интегральной задачи рассматриваются на примере круглого цилиндра. Гармоническая функция решения второго рода разлагается в ряд по функциям Бесселя и Неймана вдоль радиуса цилиндра; по тригонометрическим и экспоненциальным - вдоль оси цилиндра. Следствием недоопределенности граничных условий экспоненциально растущие слагаемые решения второго рода восстанавливаются приближенно, с использованием метода регуляризации. Относительно остальных слагаемых поля напряжений "поставленная задача является корректной по Адамару.

Во втором раздела параграфа более подробно рассмотрено решение локальной задачи на примере сечения круглого цилиндра. Используется цилиндрическая система координат. Разрешающие функции разлагаются в ряд Фурье по угловым гармоникам. Выясняется, что степень определенности граничных условий относительно нулевой и первой гармоники отличается друг от друга и от оотальных.

В связи с имеющимися в литературе алгоритмами реконструкции осесимметричного распределения напряжений ( нулевой гармоники ), особый интерес представляет решение, предъявленное в диссертации: значение гармоники определяется краевой задачей для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка ( краевые условия задаются в нуле и на граничной окружности ).

В восьмом приложении эта задача рассмотрена в несколько более общей постановке относительно нулевой гармоники : боковая поверхность пересекается под произвольным углом с круглым

сечением.

В третьем разделе параграфа метод реконструкции напряжений на круглом сечении дополняется алгоритмом обращения одного из разрешающих соотношений задачи оптической томографии напряжений. Исследуемое разрешающее соотношение позволяет определить производную от компоненты тензора напряжений, ортогональную к сечению и вычисленную по нормали к нему. С учетом уравнений равновесия и граничных условий это соотношение можно использовать также для нахождения одной из разрешающих функций задачи. В

диссертации приводятся алгоритмы для нахождения обоих величин. *

Исходя из геометрии сечения, для обращения применяется разложение лучевых интегралов и разрешающих функций в ряд Фурье по угловым гармоникам. Исследуются свойства интегральных уравнений, определяющих разыскиваемые гармоники.

В девятом приложении вычисляются вспомогательные интегралы, содержащие функции Чебышева и использующиеся для получения явного решения интегрального уравнения.

В десятом приложении выводятся .интегральные уравнения относительно угловых гармоник разрешающего соотношения.

Таким образом в первых двух разделах параграфа полностью представлен метод реконструкции напряжений в линейно-деформируемом теле в предположении очень слабой оптичекой анизотропии для случая, когда напряжения обусловлены внешними нагрузками. ' "

Рамки очень слабой оптической анизотропии обеспечивают линейность 'лучевых интегралов относительно напряжений, что является ключевым моментом- метода. Выход за рамки этого приближения существенно усложняет зависимость храктеристических величин от напряжений (она становится существенно нелинейной ' ). •Алгоритм реконструкции осе симметричных напряжений в теле вращения

для такой нелинейной задачи был предложен в работе М.Х. Ахметзянова и С.Ю. Соловьева. Полученный в диссертации результат можно использовать для решения нелинейной задачи интегральной фотоупругости, применяя для этого операторный метод Ньютона-Канторовича.

Третий параграф третьей главы посвящен задачам реконструкции остаточных напряжений в рамках гипотезы температурных остаточных деформаций. По сути рассматривается обратная задача термоупругости оптической томографии - определение внутренних напряжений в образце, обусловленных неизвестным распределением температуры. Исходными данными в этой задаче выступают значения, полученные при решении обратной задачи оптической томографии. Для реконструкции напряжений помимо уравнений равновесия привлекаются соотношения Дюгамеля - Неймана. Прикладное значение этой задачи заключается'в том, что тензор остаточных деформаций, возникающих в процессе производства изделий, для многих технологических ■ процессов может считаться шаровым, поэтому может быть описан одним параметром - эффективной температурой.

Для некоторых технологически процессов справедлива гипотеза об элипсоидальном характере тензора остаточных деформаций. Если ориентация осей и отношение длин их полуосей в образце известны и постоянны, то остаточные деформации могут быть смоделированы эффективной температурой с тензорным коэффициентом теплового расширения.

В первом разделе параграфа даётся краткий обзор теорий остаточных напряжений в стекле, выявляющий области применимости гипотезы температурных напряжений. В частности, она справедлива при описании внутренних напряжений, возникающих при термической и химической закалке стекла, при его отжиге. Как правило, эта гипотеза применима к остаточным деформациям, появляющимся в

кристаллах, при их Еыращивании из • расплава. Роль остаточных напряжений особенно велика в световодах и их заготовках. Они определяют прочность и оптические свойства световодов. Температурный характер остаточных деформаций в заготовках световодов подтверждается многочисленными экспериментальными исследованиями.

Во втором раздело рассматривается задача определения температурных напряжений в длинном призматическом образце методом интегральной фотоупругости. Предполагается, что образец находится в состоянии плоской упругой деформации. Тепловые деформации связаны с температурой при помощи траксверсально-изотропного коэффициента теплового расширения. Выделенное главное направление тензора совпадает с осью образца. Упругая среда считается однородной и изотропной. Просвечивание проводится в плоскости, ортогональной к оси образца.

При таком способе просвечивания вращение . квазиглавных направлений на луче отсутствует и задача оптической томографии упрощается. Измерение разности хода, определяемой лучевым интегралом ( интегральный закон Вертгейма ), позволяет определить компоненту тензора напряжений, ортогональную плоскости просвечивания. Остальные компоненты тензора напряжений находятся из решения плоской обратной задачи термоупругости. . .

■ Подстановкой в уравнение совместности деформаций, выраженных через функцию, -напряжений Эйри, получаем уравнение Пуассона относительно функции Эйри. Оно по сути представляет модифицированный закон су юлы, который отличается от известного тем, что в него входит дополнительная гармоническая функция, определяемая из граничных условий. Это дополнительное слагаемое имеет довольно простое объяснение. Из * теории плоской термоупругости известно, что гармоническое распределение

температуры в односвязном цилиндре не вызывает трансверсальных напряжений. Ранее при рассмотрении осесимметричных задач это дополнительное слагаемое элеманировалось условием равновесия вдоль оси образца и поэтому не было замечено исследователями.

Здесь же довольно подробно исследована зависимость разрешающего уравнения ( закона суммы ) от отношения длин полуосей тензора теплового расширения, Быделены особые точки этого соотношения. Отметим, что ранее такого вида закон суммы был получен Б.Л. Инденбомом при расчёте остаточных напряжений в образцах, методом выращивания из расплава.

В третьем разделе выясняются особенности применения этого метода к моделям со скалярным коэффициентом теплового расширения, • но с изменяющимися вдоль сечения упругими и фотоупругими свойствами. Такими функциональными зависимостями в той или иной степени обладают современные многослойные световоды и их заготовки.

Анализ задачи выявил следующие характерные зависимости:

1. Если фотоупругая постоянная изменяется вдоль сечения, то задача оптической томографии поля напряжений не разделяется с обратной задачей термоупругости. То есть, определить какие-либо компоненты тензора напряжений без привлечения соотношений Дюгамеля - Неймана, невозможно. Исключение составляет линейная зависимость фотоупругой постоянной от трансверсальных координат. В этом случае задачи разделяются так же, как и для однородной среды. Применение функций Эйри облегчает постановку задачи и её исследование.

2. Разрешающие соотношения инвариантны относительно вариаций коэффициента Пуассона. Качественная зависимость ' решений от изменений коэффициента сдвига рассмотрена на примере решения осесимметричной задачи. В этом случае разрешающее уравнение в

частных производных сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами. Формализмом метода производной Шварца выделяется класс функциональных зависимостей, при которых решение уравнения выражается в явном Еиде. В качестве простейшего примера приведено решение для двуслойного круглого цилиндра. Необходимо отметить, что изменение коэффициента сдвига вдоль сечения влечёт нарушение обобщённого закона суммы.

В одиннадцатом приложении, относящемся к этому разделу, приведён алгоритм решения обратной (задачи термоупругости для круглого сечения. Среда считается однородной. В решении используется цилиндрическая система координат. Применяется разложение разыскиваемых функций в ряд Фурье по . угловым гармоникам. Значение угловых гармоник всех компонент тензора напряжений получены в явном виде путём разложения по полиномам Цернике. Такая форма решения позволяет наилучшим образом соединить алгоритм Кормака, обращения лучевого интеграла, с решением обратной задачи линейной термоупругости.

Напомним, что алгоритм Кормака также использует разложение разыскиваемой величины в ряд Фурье по угловым гармоникам, которые в свою очередь разлагаются в ряд по полиномам Цернике.

С вычислительной точки зрения использование полиномов Цернике имеет ряд преимуществ, в том числе и то, что для "них известны рекурентные формулы, а это в свою очередь' облегчает их вычисление. На основе предложенного алгоритма С.И. Иднурм и К.-Ю.Е. КеЛл была составлена программа реконструкции остаточных напряжений на круглом сечении.

В диссертации приведены графики распределения напряжений в сечении заготовки световода типа bov>-tte. Исследовался образец длиной 150 мм и с диаметром в 4.7 мм. Измерение,- проводилось на

автоматизироввщюм полярископе, снабжённом CCD камерой и управляемым персональным компьютером. Точность измерения разности хода полярископом составляет 5 нм. Измерения проводились с шагом по углу в 3 градуса с измерением 150 точек на диаметре. Экспериментальная часть работы была выполнена Ю.И. Иозепсон. Точность реконструкции напряжений оценивается в 5Ж.

Третий раздел параграфа заканчивается задачей реконструкций напряжений методом интегральной фотоупругости с дополнительным привлечением измерения абсолютной разности хода неполяризованного света. В общей постановке эта задача была рассмотрена в первом параграфе третьей главы с применением функций напряжений решения первого и второго рода.

В этом разделе рассматривается её частная постановка - случай плоской деформации. Решение задачи существенно упрощается применением функции Эйри. Разрешающее уравнение относительно этой функции совпадает с аналогичным уравнении плоской обратной задачи термоупругой оптической томографии. И поэтому при анализе задачи используются результаты, полученные в начале раздела.

В четвёртом разделе параграфа рассматривается трёхмерная постановка обратной задачи термоупругости оптической томографии напряжений. Измерение разности хода и параметра изоклины проводится томографическим методом в системе параллельных плоскостей.

Решение обратной задачи оптической томографии проводится в рамках очень слабой оптической анизотропии. Предполагается, что тензор остаточных деформаций шаровой и описывается эффективной температурой. В качестве закона состояния ' используются соотношения Дюгамеля-Неймана. Разыскиваемые напряжения представляются в виде суммы решений первого и второго рода

уравнений теории упругости.

Анализ задачи ограничивается предположением, что нормальное вращение в образце отсутствует. Отправной точкой вывода разрешающих уравнений являются соотношения, полученные б первой главе ( так называемые уравнения смешанного метода ). Разрешающая функция определяется из решения трёхмерной краевой задачи .относительно уравнений Пуассона. Краевые условия, задаваемые на поверхности тела, в основном переопределены и имеют особые точки в местах касания плоскости просвечивания с поверхностью тела. Таким образом для реконструкции напряжений необходимо решение трёхмерной задачи, а следовательно требуется проводить просвечивание всего объёма.

Часто решение в объёме можно строить, используя метод сращивания асимптотических разложений. В этом случае используются локальные асимптотические решения в выделенных участках тела. Теория этих решений и примеры их применения хорошо разработаны для уравнешй Пуассона. Такие решения являются математической основой приближённой реконструкции напряжений. Для вытянутых объектов с плавно изменяющейся формой в качестве нулевого приближения асимптотического метода можно взять решение ' плоской задачи. С увеличением высоты исследуемой части объекта точность реконструкции напряжений в середине выделенного объекта может быть увеличена.

Не разбирая подробно всех возможных приближённых способов решения задачи, отметим, что постановка задачи была стимулирована появившимся в литературе немотивированным предложением использовать законы суммы для реконструкции напряжений в случае произвольного осесимметричного их распределения в Телах вращения.

Четвёртый раздел заканчивается более подробным, рассмотрением проблемы определения осесишатричных напряжений в телах

вращения. Краевая задача формулируется относительно радиальной компоненты тензора напряжений. Разрешающее уравнение после упрощения приводится к виду, используемому в задачах тел вращения. В связи с проблемой концентраций напряжений в валах с переменным сечением для его решения были разработаны различные метода, в том числе, электроаналогий, численные и аналитические. Вследствие этого задача локальной реконструкции напряжений облегчается применением ранее полученных асимптотических решений. •В качестве дополнения к общей постановке задачи приводятся выражения некоторых интегралов от полиномов Цернике, которые могут быть использованы при построении алгоритма реконструкции напряжений методом интегральной фотоупругости.

Последний раздел параграфа посвящен диагностике внутренних"-, напряжений в монокристалле кубической структуры. По сравнению с изотропными объектами применение интегральной фотоупругости к монокристаллам существенно усложняется естественной анизотропией.

Во первых, становится более трудной задача оптической томографии. Это связано с несовпадением квазиглаЕных направлений тензора напряжений и диэлектрической проницаемости. Характерные особенности этой стороны интегральной фотоупругости рассмотрены в работах Х.К. Абена, Э.И. Броссмана, С.И. Иднурма, Ю.И. Иозепсона.

Во вторых, усложняется соответствующая задача упругости. В состоянии даже безградиентного распределения напряжений вдоль оси призмы уравнения кручения и плоской упругой деформации не разделяются ( состояние обобщённой плоской деформации ). При просвечивании в плоскости упругой симметрии монокристалла влияние анизотропии уменьшается. Потенциальные возможности метода в этом случае продемонстрированы на конкретных примерах' реконструкции осесимметричных напряжений в монокристаллах кубической структуры.

Речь идет о работах Х.К. Абена и его сотрудников, где задача

интегральной фотоупругости рассматривается в следующей постановке: длинный монокристалл кубической структуры и круглой цилиндрической формы просвечивается в плоскости, ортогональной оси цилиндра; ось цилиндра совпадает с одним из кристаллографических направлений и поэтому он находится в состоянии плоской деформации; предполагается, что напряжения имеют осесимметричное распределение. При таких условиях просвечивания отсутствует вращение квазиглавных направлений тензора диэлектрической проницаемости на луче. Измеряемая разность хода определяется интегральным законом Вертгойма. Задача оптической томографии упрощается. Её характерная особенность заключается в том, что любая угловая гармоника распределения напряжений определяется без привлечения уравнений состояния, при условии, что все остальные гармоники равны нулю.

В диссертации рассматривается более общая постановка задачи: длинный призматический монокристалл кубической структуры имоат произвольное поперечное сечение и произвольное распределение

напряжений вдоль сечения. Остальные условия задачи сохраняются:

»

кристаллографическое направление совпадает с осью образца, а он сам находится в состоянии плоской деформации.

При произвольном распределении напряжений вдоль сечения для реконструкции напряжений необходимо привлечение закона состояния. В качестве такового в диссертация используется модель термоупругого тела в предположении температурного характера остаточной деформации. Следствием усложнения свойств среды является то; что задачи оптической томографии и термоупругости не разделяются. Применение функции Эйри существенно облегчает анализ и упрощает метод решения этих связанных задач.

Рассмотрением этой задачи завершается основное содержание диссертации, но этим не исчерпывается всё направленно

исследования в этой области.

Одно из таких направлений, связанное с применением методов интегральной фотоупругости в акустоупругости, рассматривается в .двенадцатом приложении. До последнего времени диагностика напряжений методом акустоупругости ограничивается плоскими образцами с усреднением напряжений по толщине. На в последнюю очередь это связано с отсутствием теории распространения ультразвуковых волн в предварительно напряжённой среде. Вывод уравнений двулучепреломления квазипоперечных волн, проведенный У. 1\1Х1зМт1ги, ограничивался случаем распространения ультразвука вдоль одного из главных направлений.

В приложении в рамках пятиконстантной теории упругости на . основе геометрической акустики ( квазиизотропное приближение ) выводятся линеаризованные уравнения двулучепреломления квазипоперечных волн. При выводе разрешающих уравнений используется разложение по трем малым параметрам: I) величина линеаризованного тензора предварительных нагружений считается малой относительно коэффициентов упругости, 2) величина тензора напряжений ультразвуковой волны по крайней мере на порядок меньше тензора преднапрякений, 3) длина ультразвуковой волны по крайней мере на порядок меньше характерного размера поля предварительных напряжений.

Интересная особенность подученных уравнений заключается в том, что они инвариантны относительно направления распространения и поэтому в точности совпадают с ранее полученными У. 1шазМт1ги для случая распространения волн вдоль одного из главных направлений тензора предварительных напряжений. С другой стороны эти уравнения с точностью до постоянного множителя совпадают с уравнениями фотооупругости. Поэтому вся теория интегральной фотоупругости без существенных изменений может быть применена в

акустоупругости.

Теория двулучепреломления упрощается тем, что нелинейные эффекты в экспериментальной акустоупругости весьма малы и приближение'очень слабой акустической анизотропии почти всегда применимо. Под приближением очень слабой акустической анизотропии здесь по аналогии с термином очень слабой оптической анизотропии подразумевается решение уравнений двулучепреломления ультразвуковых волн с точностью до членов четвёртого порядка малости. Применимость этого приближения равносильна допустимости использования линеаризованных лучевых интегралов в' задачах акустической томографии.

Дополнительные возможности акустоупругости связаны ■ с измерением изменений скорости квазипродольных волн, обусловленных преднапряжением. Как показано в приложении, дополнительное использование этого параметра в томографическом методе аналогично применению в фотоупругости измерений разности фаз неполяризованного света.

Другая возможность применения методов интегральной фотоупругости, обсуждаемая в приложении, связана с использованием волн . Релея для диагностики поверхностных напряжений томографическим методом. Рассмотрение этого вопроса также проводится в рамках пятиконстантной теории ' упругости с использованием вышеупомянутых ограничений относительно величин':

1) тензора прэдоапряженпй и напряжений ультразвуковой волны,

2) отношения длины волны к характерному размеру изменения напряжений.*

Исследуется возможность диагностики поверхностных напряжений по измерениям изменений скорости ( время пробега ) волн Релея. Ранее этот вопрос достаточно нодробно разбирался применительно к однородно деформируемой поверхности.

В частности были выявлены: I) зависимость скорости волн от ориентации направления распространения относительно главных напряжений, 2) дисперсия волн, обусловленная изменением напряжений с глубиной. Исходя из этих свойств был предложен метод локального определения тензора преднапряжений по измерениям в точке скорости вода по трём пересекающимся направлениям.

В диссертации анализируются возможности диагностики напряжений при следующей постановке эксперимента: по контуру плоской области томографическим способом проводится измерение изменений времени пробега волн Релея. Показывается, что в рамках принятой модели значение фазовой скорости в линейном приближении определяется формулой, соответствующей однородно деформируемой •поверхности. Напомним, что аналогичное положение выявлено для линеаризованных скоростей квазипродольных и квазипопоречных волн.

Относительно разыскиваемых напряжений дополнительно предполагается, что нормальное вращение в выделенной области поверхности отсутствует или им можно пренебречь.

Использование функций напряжений решения первого рода позволяет разделить задачи акустической томографии и теории упругости. Одна из функций напряжений определяется непосредственным обращением лучевого интеграла, значение другой находится из решения краевой задачи с переопределенными граничными условиями относительно уравнений Пуассона.

В качестве побочного результата в приложении получено выражение закона сохранения энергии акустической еолны. Необходимо отметить, что применение изложенной теории в настоящее время связано с существенным усовершенствованием техники' эксперимента: с созданием акустических буферов - акустических аналогов иммерсионной жидкости, с усовершенствованием генераторов и приёмников ультразвуковых волн.

Вместе с тем в литературе неоднократно указывалось на необходимость развития теории акустодиагностики в этом направлении, в том числе, в работах Г.11. Петраяеня, У. Pao.

Изложенная в приложении теория посколько абстрактна, так как не учитывает дополнительные факторы ( рассеяше и поглощение волн ), влияющие на процесс распространения ультразвуковых волн. Методы учёта этих явлений достаточно подробно разработаны в скалярной томографии и с соответствующими изменениями могут быть использованы^ в излагаемой теории.

ОСНОВНЫЕ. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

I Проведено раз-деление уравнений теории упругости трапсЕерсально-изотроштой неоднородной среды при условии, что оба коэффициента! сдвига могут зависеть только от координаты, ортогональной к плоскости изотроптят, э остальные коэффициенты -от трех косрдшзт.

В случае сферотески трансверсально-изотропной среды разделение уравнения полутон» при аналогичном ограничении на коэффициенты сдвига - она иугут зависеть только от радиуса.

Рассмотрены разлзчкив Соры представления разрешающих уравнений, их элементарнее реезшгя. Проанализирована связь этих уравнений с ранее получегагаг-п для однородной среды, возможность представления .разрешающих фупгщпЗ через компоненты тензора напряжений. Выделены закона наоднородностей, позволяющие построить решения в явном виде, используя даст этого- квтод разделения переменных. Приведены примера таких решешйГ. Да основе разделения уравнений разработаны алгоритм- и nporpairaai численного г

решения задачи деформации неоднородного пст глубине полупространства.

При помощи полученных разрешающих уравнений сформулированы математические постановки задач упругости и термоупругости, возникающих в интегральной фотоуиругости.

2 В рамках приближения очень слабой оптической анизотропии разработана теория реконструкции напряжений методом интегральной фотоупругости. Теория обощает ранее полученные результаты в этой области и содержит новые.

a) Получено решение уравнений фотоупругости с точностью до членов четвертого порядка малости. На основе этого решения получены уточненные выражения связи характеристических величин с линеаризованными лучевыми интегралами. Даны оценки точности приближения очень слабой оптической анизотропии.

b) Проведено разделение связанной задачи интегральной фотоупругости на задачу оптической томографии тензорного поля напряжений и обратную задачи теории упругости.

c) Проанализированы информативные возможности задачи оптической томографии, в том числе, с привлечением дополнительного измерения разности фаз неполяризованного света. Показано, что дополнительное измерение этого параметра позволяет реконструировать напряженное состояние, соответствующее решению первого рода, без привлечения уравнений состояния. Разработан алгоритм обращения лучевых интегралов для круговой области просвечивания.

(1) Дана постановка и анализ задачи обратной теории упругости оптической томографии в локальном и интегральном варианте. Рассмотрены особенности их решений на примере круглого цилиндра.

3 В рамках модели эффективной температуры остаточных деформаций, дана математическая формулировка обратной задачи термоупругости при. плоской деформации образца, при произвольном распределении напряжений для случая очень слабой оптической анизотропии.

Предложен эффективный алгоритм решения этой задачи для случая плоской деформации образца с круглым сечением. Сформулирована математическая постановка задачи интегральной фотоупругости реконструкции напряжений в длинном призматическом монокристалле - кубической структуры при совпадении кристаллографического направления с осью призмы. Предполагается, что образец находится в состянии плоской упругой деформации, остаточные деформации описываются эффективной температурой.

Применение функции Эйри позволяет проанализировать задачу, выделить в лучевом интеграле главную часть и использовать приближенное разделение задач оптической томографии и термоупругости для реконструкции напряжений методом итераций. 4. Для модели линеаризованной пятиконстантной теории упругости методом квазиизотропного приближения геометрической акустики получены уравнения двулучепреломления квазипоперечных волн. Полученные уравнения по форме совпадают с аналогичными уравнениями фотоупругости, что позволяет в теоретическом плане применить методы интегральной фотоупругости в акустоупругости.

В рамках вышеуказанной модели и в том же приближении выводятся формулы фазовых скоростей волн Релея. Даётся постановка задачи определения поверхностных • напряжений томографическим методом, исходя из измерения изменений времени распространения волн Релея, обусловленных преднапряжением.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Абен Х.К., Пуро А.Э. Интегральная акустоуиругость -акустическая томография поля напряжений// Акустический. журнал.-1991.-Т.37.-В.в.-С.I06I-I065.

2 A.c. 1670389 СССР, кл. G01В11/18. Способ определения

напряжений в прозрачных материалах / Абен Х.К., ИднурмС.И., Пуро А.Э. (СССР).-N4736030/^3; Заявлено 8.09.89; Опубл.

' 15.08.91// Открытия. Изобретенная.-19Э1.-N30.

. 3 Квлл К.Ю.-Э., Пуро А.Э. Приближение очень слабой оптической анизотропии в теории интегральной фэтоупругости// Оптика и спектроскопия.-1991.-Вып.2.-С.390-399.

4 Пуро А,Э. Применение матричного уравнения Риккати для определеня осадки неоднородного слоя// Прикладная механика. -1977.-Т ЛЗ.-В.З.-С.44-47.

5 Пуро А.Э. Разделение переменных уравнений теории упругости для сферически трансверсально-изотропных сред// Прикладная механика.-1980.-Т.16.-В.2.-С.40-44.

• 6 Пуро А.Э.Применение разложение Бромвича в задаче кручения многослойных сред // Известия АН Эстонской ССР сер. Физика.

' Математика.-1980.-Т.29.-В.4.-С.429-431.

7 Пуро А.Э, К решению осесимметричной задачи кручения неоднородного слоя// Прикладная механика,-1982.-Т.Т8.-В.12,-С.31-35.

8 .Пуро А.Э. Напряжённое состояние неоднородного по глубине

полупространства// Прикладная механика.-1988.-Т.24.-В.II. С.3-9.

9 Пуро А.Э. Разделение уравнений теории упругости неоднородных тел// Известия АН Эстонской ССР. Физика. Математика.-1989.-Т.38.-В.4.-С.372-378.

10 Пуро А.Э. Томография при слабой оптической, анизотропии// Тез. докл. 4го Всесоюзного оимлоз, по вычислительной гра$ии.1989 Ташкент, 1989. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1989. ТЛ. 0,36-37.

11 Пуро А,Э. О построении общих решений уравнений теории упругости неоднородных тел // Прикладная математика и

- 34 -

механика.-1990.-В.б.-С.103Э-1045.

12 Пуро А.Э. Реконструктивная томография при слабой оптической анизотропии// Журнал прикладной механики и технической физики. -Г991. -В. 2. -С. Г 19-122.

13 Пуро ¿.Э. Определение закалочных напряжений в призматических образцах методом интегральной фотоупругости// Журнал прикладной механики и технической физики.-1991.- В.4.-С.179-182.

14 Пуро А.З. Интегральная фотоупругость линейнодеформируемых цилиндрических образцов// Изв. АН СССР. Махан. твёрдого тела . -1991 . -В . 2 . -С . 41-48 .

15 Пуро А.Э. Определение остаточных напряжений в длинных призматических образцов методом интегральной фотоупругости//. Доклады А.Н. СССР.-1991-Т.316.-Н.4.-С.861-863.

16 Пуро А.З. К применению закона суммы в интегральной Фотоупругости// Изв. АН Эстонии Физика. Математика.-1991.-Т.40.-В.4.-С. 296-300.

17 Пуро А.Э. Акустическая томография поля напряжений// Тез. докл. 5. Всесоюзный симпозиум гго вычислительной томографии. 1991.-Москва, Г99Г. С.182-183.

18 Пуро А.З. Оптическая томография внутренних напряжений// Изв. АН СССР. Механ. твёрдого тела.-1992.-Н.2.С.51-55.

19 Пуро А.Э. К интегральной фотоупругости кубических монокристаллов// Изв. АН Эстонии Физика. Математика. -1992.-Т.41 '.'-В. I. -С. 36-39.

20 Пуро А.Э. Исследование напряженного состояния упругих образцов методом оптической томографии// Прикладная механика.-I992.-Т.28.-ВЗ.-С.76-81.

21 Пуро А.Э. Квазиизотропное приближение слабой акустоупругос-ти// Журнал прикладной механики и технической физики.-I992.-В.4.-С!

22 АЪеп Н., Idnurm S., Puro A. Integrated photoelaaticlty In

• case oi weak birefringence// Proc. of the 9th Itner. conf.

• on Exper. Mech. - Copenhagen, Denmark. - 1990. - 4.2. -P.867-875.

23 Aben H., Idnurm S., Puro A. Integrated- photoelaaticlty In case of weak birefringence// Изв. АН Эстонии - 1990 -

V.39.-N.4.-P.268-276.

24 Aben H., Idnurm S., Josepson J., Kell K.-J., Puro A. On optical and acoustical tomography of three-dimensional stress field// First Baltlc-Scand. Symp. Mechanics. 17-21 Sept. 1990 - Riga, - 1990. - P. 7-8.

25 Aben I!., Idnurm S,, Josepson J., Kell K.-J., Puro A. Integrated photoelasticity of glass// Proceedings of the 4th ■ Finish mechanics days 1991 Lappenranta, Finland: Lappenran-

■ ta,-1991T-P.225-232.'

?.6 Puro A. .Aberi H.,Idnurm S. Optical stress field tomography // XIV Sympoaljnm rneehanlkl doswladczalne;] clala stalego -Warszawe - 1990. - P.213-215.

27 Aben H,, Idnurm S., Josepson J., Puro A. Integrated photoelastlolty for stress analysis In glass specimens of complicated ahape// Applied Solid Mechanics -4/ Ed. A.R.S. Ponter and A.C.F. Cocrs.- London- New York: Elsevier applied science.- 1991,- P.326-340.

28 Aben H., Idnurm S., Kell K.-J., Puro A. Integrated photoelaaticlty for residual stresses in glass specimens of complicated shape// Proceedings SPE - The International Society for Optical Engineering. Second Int. Cof. on Photomechanics and Specie Metrology.- San Diego. California USA.- 1991.- V.1554A. -P.298-309.