Гауссова аппроксимация в гильбертовом пространстве и асимптотические разложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. О ПОГРЕШНОСТИ НОРМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ УСЛОВИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЧЕТВЕРТОГО МОМЕНТА

1.1. Введение. Основные результаты

1.2. Оценки характеристических функций в окрестности нуля

1.3. Подготовительные оценки.

1.4. Оценка характеристической функции в окрестности единицы

1.5. Доказательство теоремы 1.1.

1.6. Вспомогательные утверждения для случая а Ф

1.7. Доказательство теорем 1.1.2 и 1.1.

1.8. Обобщенная стандартная гауссовская случайная величина и формула перехода

1.9. Вспомогательные результаты и оценка \gn(t-, a)|

1.10. Оценка Pi,n(t;a) и разности gn(t;a) — g(t;a) .Ill

1.11. Доказательство теоремы 1.1.4.

Глава 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ТИПА БЕРГСТРЕМА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

2.1. Основные утверждения

2.2. Оценка остатка в разложении типа Бергстрема для характеристических функций

2.3. Введение в проблему условий типа Крамера на поведение характеристических функционалов

2.4. Условия типа Крамера и о;2-статистика (I).

2.5. Оценка характеристической функции gn(t\a) в условиях типа Крамера

2.6. Условия типа Крамера и ш2-статистика (II).

2.7. Доказательство основных утверждений главы

Глава 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ТИПА ЭДЖВОРТА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

3.1. Введение. Основные результаты (I)

3.2. Переход от разложения Бергстрема к разложению Эджворта. Основные результаты (II)

3.3. Вспомогательные утверждения

3.4. Доказательство основных утверждений главы

Глава 4. СРАВНЕНИЕ РАЗЛОЖЕНИЙ ЭДЖВОРТА И БЕРГСТРЕМА В СЛУЧАЕ Н = Ж

4.1. Введение. Основные результаты

4.2. Оценки для разложения Эджворта

4.3. Оценки для разложения Бергстрема

4.4. Доказательство теорем 4.1.1 и 4.1.

0.1. В диссертации исследуются проблемы, связанные с уточнением центральной предельной теоремы в гильбертовом пространстве. Изучаемый круг задач относится к теории вероятностных распределений в линейных пространствах и находится на стыке функционального анализа и теории вероятностей. Важный вклад в исследование фундаментальных вопросов теории вероятностных распределений в линейных пространствах внесли А. Н. Колмогоров [123, 38], М. Frechet [116], Е. Mourier [128], Fortet R., Mourier E. [115], Ю. В. Прохоров [67], В. В. Сазонов [71], Р. А. Минлос [44], А. М. Вершик, В. Н. Судаков [22, 23], Н. Н. Вахания [20], X. Fernique [113], А. В. Скороход [81], Х.-С. Го [24],

A. Araujo, Е. Gine [90], С. В. Нагаев [47] и другие математики (здесь перечислены только некоторые из работ указанных исследователей).

0.2. Вопрос о погрешности нормальной аппроксимации в бесконечномерных пространствах возник в 60-е годы в связи с задачами математической статистики, а также в соответствии с внутренней логикой развития самой теории вероятностей. Первыми в этой области являются работы Н. П. Канделаки [37], В. В. Сазонова [148, 72], В. Ю. Прохорова и В. В. Сазонова [68], Н. Н. Вахания и Н. П. Канделаки [21]. В [68, 72, 148] В. В. Сазонов и В. Ю. Прохоров рассматривали о>2-статистику как \п~1/2 гДе -^j ~ независимые одинаково распределенные случайные величины со значениями в пространстве La[0,1], а | • | - норма в этом пространстве. Такое представление и послужило одним из важных толчков к изучению проблемы.

С тех пор в этой интенсивно развиваемой области математики получено большое количество результатов. Многие из них, описание методов исследований, применения в статистике, а также обзоры публикаций можно найти в книгах В. Паулаускаса и А. Рачкаускаса [64],

B. В. Сазонова [150], В. С. Королюка и В. Ю. Боровских [41], а также в статье В. Бенткуса, Ф. Гетце, В. Паулаускаса и А. Рачкаускаса [8, 92]. Однако после выхода из печати обзора [8, 92] (1990-91 гг.) появилось большое количество новых результатов по указанной тематике. Это, например, статьи В. В. Сазонова и В. В. Ульянова [73, 152, 153], В. В. Сенатова [78, 80] В. С. Королюка и В. Ю. Боровских [125], В. Бенткуса, Ф. Гетце и Р. Зитикиса [93], В. В. Юринского [158, 159], С. В. Нагаева [131, 132], С. В. Нагаева и В. И. Чеботарева [59, 143], И. С. Борисова и Е. А. Соловьева [13], В. Бенткуса и Ф. Гетце [98, 100, 102], Ф. Гетце и В. В. Ульянова [120] и др.

Отметим, что наиболее близкими по постановкам задач к настоящей диссертации являются статьи Б. А. Залесского [27], С. В. Нагаева [45 - 49], [129 - 132], Б. А. Залесского, В. В. Сазонова и В. В. Ульянова [28], В. В. Сазонова и В. В. Ульянова [73], В. Бенткуса и Ф. Гетце [98, 100], а также докторские диссертации В. В. Сенатова [79] и В. В. Ульянова [84].

0.3. Чтобы показать, какое место наша работа занимает среди других работ по аппроксимациям, связанным с центральной предельной теоремой в бесконечномерных пространствах (о проблемах, возникающих при переходе от конечной размерности к бесконечной, см., например, [8]), сначала отметим, что работы в этой области математики можно разделить, прежде всего, по признаку пространства, в котором принимают свои значения рассматриваемые случайные величины (случайные элементы). В настоящее время наиболее продвинутые результаты получены либо для гильбертова (обычно, сепарабельно-го и вещественного) пространства, либо для банаховых пространств. Следующий признак, по которому можно классифицировать работы, состоит в том, предполагаются ли случайные величины одинаково распределенными или нет. Затем, - являются ли они независимыми. Необходимо также принимать во внимание, на классе каких множеств сравниваются меры, порожденные суммами исходных случайных величин, с аппроксимирующими функциями множеств.

Согласно такой условной классификации настоящая работа относится к исследованиям по уточнениям гауссовской аппроксимации для независимых одинаково распределенных случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве. В качестве класса множеств рассматриваются шары с произвольными центрами. Полученные в работе равномерные относительно радиусов шаров оценки погрешности имеют явный вид. Особое внимание уделяется вопросу о том, какова форма зависимости погрешности от ковариационного оператора.

0.4. Следуя В. М. Золотареву [34, с. 225], можно условно классифицировать предельные теоремы для сумм случайных величин и оценок точности приближений по следующим уровням. Предельную теорему будем относить к первому уровню, если в ней нет оценок погрешности, ко второму, - если найдена зависимость от числа слагаемых п и моментов, но с невыясненными некоторыми другими зависимостями от исходных распределений (например, не найдена зависимость от ковариационных операторов). Третий уровень теоремы (или, просто, оценки) означает, что выявлены все зависимости от исходных распределений, но еще не оценены числовые константы. Сами оценки третьего уровня могут неограниченно уточняться в различных направлениях. Оценкой четвертого уровня будем называть оптимальную (в некотором смысле) оценку, в которой оценены и константы. Примером оценки четвертого уровня можно считать оценку Берри - Эссеена (см. [104, 111], а также [34, с. 228-229]) с константой, полученной в любой из следующих работ: [33, 91] или [88]. Заметим, что и этот результат обладает рядом недостатков, и нуждается в улучшении (см. [34]).

В соответствии с такой терминологией можно сказать, что в работе получены оценки третьего уровня. Здесь также исследуется проблема обобщения на бесконечномерный случай условия Крамера для характеристической функции. Кроме того, вводятся новые алгоритмы получения аппроксимирующих функций множеств в разложении Эдж-ворта и устанавливается связь между ними и другими известными алгоритмами. Показываются преимущества разложения Бергстрема перед разложением Эджворта в одномерном случае.

Прежде чем начать более подробное (но тем не менее только вводное) изложение диссертации (в подразделах 0.8 - 0.11), мы сначала введем классификацию уточнений гауссовской аппроксимации (подраздел 0.5), а затем дадим краткое описание диссертации с точки зрения этой классификации (подраздел 0.6) и укажем применяемые методы (подраздел 0.7).

0.5. Классификация уточнений гауссовской аппроксимации. Пусть Xi, Хъ,. - независимые копии величины X, т. е. Х\, Х2,. - независимы и имеют одно и то же распределение F, Y - гауссовская случайная величина с распределением Ф, нулевым средним и тем же самым ковариационным оператором Т, что и X. Мы будем предполагать, что ~ЕХ = 0. При обсуждении аппроксимаций, уточняющих центральную предельную теорему, мы предлагаем использовать следующую схему (см. также [8, с. 41]).

Классификация уточнений гауссовской аппроксимации по уровням. Пусть А - какое-либо множество из некоторого, заранее определенного подкласса srf класса борелевских множеств из Н, ц - целое неотрицательное, е > 0. Будем говорить, что на классе srf имеет место уточнение второго уровня гауссовской аппроксимации распределения п нормированной суммы Sn = п"1/2^^ до порядка о или j=i

О если существуют такие функции множеств

К„:П(А; F) = 0 (п~и/2), и = 1,. , /1, что для всех А € ч

F*n (А^п) = Ф(А) + £ KUin{A\ F) + R^n(A- F), (0.0.1) v=l где R^n(A]F) = о (п~(^+£)/2) или О (n"(/t+£)/2) при п ->• 0, и указана зависимость R^n(A; F) от моментов распределения F. Если в оценке R^n(A]F) все величины, зависящие от распределения F, имеют явный вид, то будем говорить, что (0.0.1) является уточнением третьего уровня, а если, к тому же, оценены числовые константы и сама оценка R^^A; F) удовлетворительна в некотором смысле, то уточнением четвертого уровня.

Классификация уточнений гауссовской аппроксимации по типу поправочных слагаемых Kv>n(A\F) и по порядку приближения. Разобьем возможные типы приближений на 5 классов. В этих же терминах кратко опишем известные результаты.

Класс 0.5.1. Пусть /л = 0, е = О, ДМ)„(Л; F) = о(1), srf - борелевская сг-алгебра. Тогда (0.0.1) совпадает с центральной предельной теоремой в гильбертовом пространстве (несмотря на то, что центральная предельная теорема является теоремой первого уровня) (см., например, [90]).

Класс 0.5.2. Пусть ц = 0, 1 < е < 2, srf - либо класс всех шаров, либо класс шаров с фиксированным нулевым центром. Получению оценок второго и третьего уровней в этих случах (которые охватывают и оценку типа Берри - Эссеена) посвящено большое количество работ. Это, например, статьи Ф. Гетце [117], В. В. Юринского [89], Б.

A. Залесского [27], С. В. Нагаева [45 - 49], [131, 132], С. В. Нагаева и

B. И. Чеботарева [52 - 56], [143], [144], Б. А. Залесского, В. В. Сазонова и В. В. Ульянова [28, 29, 155], В. В. Сазонова и В. В. Ульянова [152], В. В. Сенатова [75 - 78], В. Бенткуса и Ф. Гетце [98, 100] (в двух последних работах рассматривается класс эллипсоидов), Ф. Гетце и В. В. Ульянова [120].

Класс 0.5.3. Пусть /л = I, 0 < е < 1, - либо класс шаров с фиксированным нулевым центром, либо класс всех шаров, либо класс эллипсоидов (либо несколько более широкий класс). Получению оценок второго и третьего уровней в этом случае (еще говорят:" для коротких разложений") посвящены следующие работы уже упомянутых математиков: [5, 27, 117], [54- 56], [133, 139], [8, 28, 84, 97, 98, 100,120,143, 144] и др.

Класс 0.5.4. Если KUjn(A] F) представляют собой произведения ттГ"/2 на функции множеств QU(A; F), не зависящие от п, то (0.0.1) есть разложение Эджворта, которое изучается в [117, 118], [2 - 6], [17, 83, 134, 137, 59, 153, 158, 84, 73] и др.

Класс 0.5.5. Если К„<п(А; F) = Q (F - Ф)*" * <Г(п^ (Лу^), то

0.0.1) называют разложением Бергстрема. Оно было предложено в [103] для конечномерного случая. Связанные с ним разложения в бесконечномерном случае исследуются в [4, 5, 58, 73, 84, 139, 140, 158] и др.

0.6. Краткое содержание диссертации. Опишем сначала порядок нумерации. Каждая глава нумеруется одним числом, разделы глав -двумя числами, разделенными точкой: первое число - это номер главы, второе - номер раздела. В ссылках на раздел внутри главы используется только номер раздела (без номера главы). Утвер?кдения и формулы нумеруются тремя числами, разделенными точками: первые два числа совпадают с номером раздела, третье число - это номер утверждения или формулы. Во введении, ради однообразия, формулы также нумеруются тремя числами: (0.0.N), где N - номер формулы.

Согласно предложенной выше классификации уточнений гауссовской аппроксимации можно следующим образом описать содержание диссертации.

В главе 1 получены результаты, усиливающие известные равномерные (по радиусам шаров) оценки, относящиеся к классам приближений

0.5.2 и 0.5.3, с выявлением зависимости от ковариационного оператора Т исходного распределения F.

В главе 2 проводятся исследования, относящиеся к классу 0.5.5. Здесь получены оценки остатка в разложении Бергстрема с явной зависимостью от ковариационного оператора Т, а также исследована проблема обобщения на бесконечномерный случай условия Крамера для характеристических функций.

В главе 3 изучаются вопросы, относящиеся к классу 0.5.4. В этой главе получены оценки остатка в разложении Эджворта также с явной зависимостью от ковариационного оператора Т. Кроме того, предложены новые алгоритмы вычисления членов разложения Эджворта и установлена связь между ними и другими известными алгоритмами.

В главе 4 производится сравнение между классами приближений 0.5.4 и 0.5.5. Здесь показаны преимущества разложения Бергстрема перед разложением Эджворта в одномерном случае.

0.7. Методы. В диссертации используются следующие методы, идеи и приемы:

1) метод характеристических функций (метод преобразования Фурье),

2) метод симметризации и повторного интегрирования (предложенный F. Gotze [117]), который позволяет сводить задачу оценки характеристической функции квадратического функционала суммы независимых случайных величин к оценке характеристической функции билинейного функционала от подходящих частей суммы (см., например, лемму 1.9.3 на с. 94),

3) введение обобщенной стандартной гауссовской случайной величины, позволяющее получать характеристическую функцию квадратического функционала суммы независимых случайных величин в виде среднего значения экспоненты от случайного линейного функционала от суммы (см., например, разделы 1.8, 3.1, лемму 2.2.3 на с. 138 и лемму 1.10.3 на с. 114); для указанной цели и решения других смежных проблем метод впервые был предложен С. В. Нагаевым на научном семинаре для аспирантов и стажеров ИМ СО АН СССР и НГУ в 1984 г., а затем опубликован в [49],

4) прием, основанный на свойстве устойчивости гауссовского распределения (см. [89, 28]), который при оценке производной характеристической функции квадрата нормы гауссовской случайной величины позволяет выделять в качестве множителя функцию, быстро убывающую на бесконечности (см., например, лемму 1.10.5, с. 116); в работе Ф. Гетце и В. В. Ульянова [120, с. 18] этот прием называют методом "разбиения сумм и обусловливания соответствующих множеств случайных величин" ("using the wellknown techniques of splitting sums and conditioning on corresponding sets of random variables ."),

5) метод срезок, причем не фиксированного, а особым образом изменяющегося уровня (см., например, леммы 1.9.5 (с. 95), 1.9.6 (с. 97),

1.11.1 (с. 125),

6) метод сглаживания (лемма 1.9.6, с. 97),

7) метод (назовем его методом концентрации) оценки степенных моментов с отрицательным показателем в случае, когда функция распределения ограничена степенной функцией (см. леммы 1.2.1 на с. 38, 1.9.7 на с. 100),

8) метод оценки интеграла от осциллирующей функции (лемма 1.4.3, с. 58), принадлежащий В. Бенткусу и Ф. Гетце [99]; предлагаемая нами модификация этого метода состоит в представлении произвольной дискретной меры в виде смеси двухточечных распределений (лемма 1.3.1, с. 45) и последующей оценки интеграла (лемма 1.4.5, с. 62); следует отметить, что доказательство леммы 1.4.5 опирается на оценки условных характеристических функций раздела 1.3; заметим также, что применение указанного метода предполагает использование приема разбиения суммы срезок исходных случайных элементов на блоки подходящей "длины".

Перейдем к подробному изложению диссертации, а также сравнению полученных в ней результатов с результатами других авторов. 0.8. О главе 1. Обозначим В(а,г) - шар радиуса г с центром а G Н,

Ап(щг) = 1Г*п(В(а,г)^)-Ф(В(а,г))1, Ап(а) = sup Ап(а; г), г а?}^ и {е?}^ - собственные числа и соответствующие собственные векторы оператора Т, которые составляют ортонормированный базис в Н. Можно считать, что собственные числа упорядочены: а\ > о\ > оо I . Обозначим также а2 = Л/ = J^crf, =

3=1 3=1

К настоящему времени получены оценки третьего уровня величин Дп(а;г) и Ап(а) при моментном ограничении /?3 < оо (см. [45 - 48], [29, 30, 49, 53, 155, 152], [75 - 78], а также более раннюю работу [52], правда, с условием независимости координат). В этих работах оценки имеют вид О (п1/2) с коэффициентами при —, найденными в п явном виде, причем зависимость от оператора Т выражается с помощью шести первых по порядку возрастания его собственных чисел в форме множителя Возникает вопрос: можно ли улучшить зал ' висимость от п за счет ослабления моментного условия, например, допуская /?4 < со и, кроме того, рассматривая шары с нулевым центром? В случае, когда Н = R', Т - тождественный оператор, а = 0, в 1945 г. C.-G. Esseen [112] получил оценку д„(0) < c(l) Pl/2 n-l«l+1l (0.0.2)

Этот результат можно интерпретировать следующим образом: если /94 < оо, то зависимость оценки от п становится тем более точной, чем больше собственных значений в ней учитывается. Напрашивается также предположение, что в случае бесконечномерного пространства Н, учитывая все собственные значения ковариационного оператора Т, можно получить оценку вида

Лп(0) < (0.0.3) п где A(F) зависит, в частности, от /54 и Т.

На самом деле, как показали V. Bentkus и F. Gotze [97] (см. также [94, 96, 98]), при /?4 < оо справедлива оценка

Д„(0) = 0(1/п), (0.0.4) если aj > (7% > . ■. > erf > с > 0, где I > 9.

Этот результат (необходимо отметить, что он получен для более широкого класса множеств, чем шары, а именно, эллипсоидов) указывает только на зависимость А„(0) от п при I > 9. Однако задача получения оценок вида (0.0.2) или (0.0.3) в Н с явными коэффициентами при степенях п остается по-прежнему актуальной, поскольку такие оценки, по сравнению с " 0-большим" могут нести важную дополнительную информацию о погрешности, например, при переходе к схеме серий.

Далее буквой d будем обозначать размерность пространства Н. Если Н бесконечномерно, то считаем, что d = оо. Символы С( •) и с( •) (с индексом или без) будут означать константы, зависящие только от параметров, указанных в скобках, а символ с (также с индексом или без) - абсолютную константу.

В работе [100] В. Бенткус и Ф. Гетце получили следующее уточнение своего результата (0.0.4):

Д™(0) < (0.0.5) п о причем

С{Т) = еса2/аЪ, если 13 < d < оо и сг13 ф 0; (0.0.6) а4

С{Т) = ^ еса2/а°, если 9 < d < оо и алф 0; (0.0.7) . со-2/о-2 если распределение элемента X ,„ „ „ч

G(iJ = e ' 9, а/j/ (U.U.oJ симметрично и 9 <а<оо.

Соотношения для С(Т) в (0.0.6) - (0.0.8) указывают на форму зависимости погрешности А„(0) от ковариационного оператора. В случае симметрических распределений наиболее точным результатом является (0.0.8). В общем случае любое из соотношений (0.0.6) и (0.0.7) может оказаться точнее другого. Так, если 9 < d < 13 и а23 значительно меньше aj, то (0.0.7) точнее (0.0.6). Если же d > 13, то может оказаться, что (0.0.6) точнее, чем (0.0.7). (Например, если d = 13, то при <723 яй erf и достаточно малых сг23 величина С(Т) из (0.0.6) меньше величины С(Т) из (0.0.7). Если d > 14, то при достаточно малом ст^ утверждение (0.0.6) также точнее, чем утверждение (0.0.7).

В препринте Ф. Гетце и В. Ульянова [120] (2000 г.) (статья будет (или уже) опубликована в Probab. Theory Relat. Fields), получен результат, из которого следует, что при а2 — 1 оценка (0.0.5) верна с

С(Т)=с+ + если d> 12 И ^ Ф 0- (0-0-9)

Л12 СГдАд а9Л9

Очевидно, зависимость от оператора Т, представленная в форме (0.0.9), точнее (0.0.6).

Теперь сформулируем нашу оценку Д„(0), полученную в [143] (1999 г.). Она найдена для случая d > 13, <т13 ф 0, в терминах величин г г е ^) i3

Г„| = -Jt-rr, L,= шах и, 1 = -тг, ^>1 = шах-5

Г'1 а и/1 ' 1 а3 р ; /?

Заметим, что есть обобщение дроби Ляпунова —^—. n г п^сг»

Теорема 0.0.1 (Теорема 1.1.1, с. 27). Существует такая абсолютная постоянная с, что

Дп(0) < £ (г4,13 + Гз)13 + L\ (а2/АГ)2) ■ (0.0.10)

Очевидно, что в случае, когда собственное число crf3 мало относительно предыдущих собственных чисел а2, . , а\2, то выражение (0.0.9) более точно отражает зависимость погрешности от оператора Т по сравнению с (0.0.10). С другой стороны, существует класс ковариационных операторов, для которого оценка (0.0.10) точнее результата работы [120] (см. замечание 1.1.2 на с. 28).

Пусть а ф 0. В отличие от Ап(а) рассмотрим погрешность нормальной аппроксимации с учетом поправки Эджворта (первого порядка):

Д1>п(а; г) = Р (5П 6 В(а; - Ф (В(а- - ^(г; а), Ai,п(а) = sup |Д1л(а;г)|, г>0 где —=Qi(r] а) ~ поправка Эджворта. \/п

В [100, теоремы 1.3 и 1.5] показано, что

Ai,„(o) <С(Т)(] о X

Е[\Х\Щ\Х\<ау/п)] { Щ\Х\*1(\Х\>а^)}\

-л-~ а3л/п J а4п где С (Г) можно брать любым из двух выражений: (0.0.6) или (0.0.7), в зависимости от условий на d и of. В случае конечномерного Н множитель 1 + |а|6/(Т6 в (1.1.10) можно заменить на 1 + |а|3/сг3 [100, теорема 1.5].

В уже упомянутой работе [120], в предположении а2 = 1, доказывается следующая оценка

Ai,n(o)< п

Ра 1 ofAf а1АГ

12 (0.0.12)

Сформулируем свой результат, полученный в [144]. Обозначим

Уа) = Е|(а,ХГ, ГЛ,(а) = /5Да)/Л^. Теорема 0.0.2 (Теорема 1.1.2, с. 30). Для любого а € Н

Ai,„(a)<-п

Г4ДЗ + Гя 1Я + L, здз 2 \2

J + Г4)9(а) + Гзд3(с (0.0.13)

Заметим,что оценки теорем 0.0.1 и 0.0.2 дают более точную зависимость погрешности от ковариационного оператора Т по отношению к (0.0.5) и (0.0.11) соответственно. Кроме того, теорема 0.0.2 дает более точную относительно (0.0.11) зависимость погрешности от а. Сравнение с неравенством (0.0.12) проводится точно так же, как это сделано после формулировки теоремы 0.0.1.

В главе 1 мы частично решаем также проблему оценки погрешности Ai,n(a) при ai т^0, 7</< 11.

Обозначим

Г?, (а)У/8"1/2"7 Го / (а) п

Г 4i

Метод доказательства теоремы 0.0.2 позволяет получить следующую оценку.

Теорема 0.0.3 ( Теорема 1.1.3, с. 35). Для любых a G Н, целого 9 < I < 12 и 0 < е < 1/2

Ai,n(o) <с(1;е) ( -—- ) +D(a,n,l,e) л; п сГ4|9(а п

Несмотря на то, что зависимость от п в теореме 0.0.3 хуже, чем в оценках (0.0.11) - (0.0.13), результат этой теоремы может оказаться точнее указанных оценок, если параметр п фиксировать.

Сравнивая теорему 0.0.3, например, с оценкой (0.0.11) при d > 9, в которой множитель С(Т) берется из (0.0.7), мы добьемся указанного эффекта, если выберем о\ф 0 достаточно малым. Интересно, что даже оценка (0.0.12) может быть менее точной по сравнению с теоремой 0.0.3 при I = 11, если а\2 достаточно мало, а п фиксировано.

Из теоремы 0.0.3 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие 0.0.1 ( Следствие 1.1.1, с. 36). Для любого целого 9 < I < 12 и 0 < £ < 1/2 2 \ 2 /Г \/Г2\ г/8 — X/2—г

Д„(0)<е(Ц-^) . (0.0.14)

Сравним следствие 0.0.1 с другим нашим результатом, полученным в [56]. Далее 1(A) - индикатор множества А.

Теорема 0.0.4 (Теорема 1.1.4, с. 36). Для любых 5 > 0, 1 < q < 13/12 и целого I > 7, г /г \1/(1+Ш) / р2 W/(12<?)

A„(0)<c(U?)|(^4 1(7 <1 < 12)

Г2 1 ^I(l> 13) L (0.0.15)

Сравним оценки (0.0.14) и (0.0.15). Сначала рассмотрим зависимость только от п. Пусть 9 < I < 12. Тогда по теореме 0.0.4 Д„(0) =

О Нетрудно убедиться, что в случае 10 < I < 12 эта оценка менее точна по сравнению с (0.0.14), если е и S достаточно малы (с. 36). Зато при I = 9 оценка (0.0.15) точнее оценки (0.0.14) (при 8 < 7/5). Кроме того, в отличие от следствия 0.0.1 теорема 0.0.4 охватывает случаи I = 7 и 8. Что касается сравнения оценок (0.0.14) и (0.0.15) в целом, то при 9 < I < 12 вторая из них может оказаться точнее (с. 36).

Заметим еще, что Б. А. Залесским, В. В. Сазоновым и В. В. Ульяновым в [28] получена оценка Ап(а;г), аналогичная (0.0.15), но только для I > 13. Кроме того, оценка в [28] имеет менее точную зависимость от оператора Т. (Это можно показать так же, как на с. 193 при сравнении оценок погрешности в асимптотическом разложении).

Пусть I > 13. Несмотря на то, что оценка (0.0.15) по сравнению с оценкой теоремы 0.0.1 менее точна по п, она может быть точнее даже для большого (но фиксированного) п за счет отсутствия слагаемого

Ц (ст7Ад/9) /п (см. замечания 1.1.1, с. 27, 1.1.8, с. 36 ).

О методах доказательства оценки (0.0.3) достаточно подробно сказано в разделе 1.1. Здесь мы только кратко упомянем некоторые из них. Но прежде остановимся на особенностях работ V. Bentkus'a и F. Gotze [97, 100].

Решение вероятностной задачи в [97, 100] связано с одной проблемой аналитической теории чисел, а именно, с проблемой оптимальной оценки разности (обозначим ее 5) между числом целочисленных точек в многомерном эллипсоиде и его объемом, которую V. Bentkus, F. Gotze решили в [95, 96, 99]. Заметим, что C.-G. Esseen [112], рассматривая решетчатые распределения в Мг, указал на зависимость между оценкой (0.0.2) и числовой проблемой. J. К. Yarnold [157] получил п асимптотическое разложение для распределения суммы — V^Xj, где

Vn л

3-1

Х\ - случайный вектор с решетчатым распределением, в терминах величины 5. В [97, 100] найдена вероятностная версия метода большого двойного решета оценки тригонометрических сумм, восходящего к Ю. В. Линнику. Для того чтобы воспользоваться этим результатом, авторы [97, 100] обосновали переход от исходных случайных векторов к соответствующим дискретным, которые определяются особым образом. Важным моментом доказательства является также теорема из [99] об интегрировании осциллирующей положительной функции (p{t), обладающей тем свойством, что для любых t' < t произведение (p(t') • ip(t) оценивается сверху специальной функцией аргумента t — t'.

Заметим, что до появления работ [94, 97, 98] оставался открытым вопрос, воможна ли оценка вида (0.0.4) без предположений типа условия Крамера. В гильбертовом пространстве были получены лишь оценки типа (0.0.2) [54, 56, 28].

Может показаться, что техника теории чисел, используемая и развиваемая В. Бенткусом и Ф. Гетце в [94 - 102] (в частности двойное большое решето и дискретизация) необходима для получения оценок (0.0.4) и (0.0.3). Содер?кание разделов 1.2 - 1.7, где, в частности, доказана оценка вида (0.0.3), показывает, что это не так.

В этих разделах применяются методы оценок характеристических функций, разработанные С. В. Нагаевым в [131, 45, 48], а также результаты совместных работ С. В. Нагаева и автора [54 - 59], [143, 144]. Более подробное изложение методов, используемых в главе 1, см. на с. 7 и в разделе 1.1, начиная со с. 30.

Основные результаты главы 1 получены в работах [54 - 56], [133, 143, 144] совместно с С. В. Нагаевым.

0.9. О главе 2. В этой главе мы получим несколько оценок величины

Afc,„(a)=sup

1 п 2 \ 'с2

Л -Р(|У-а|2<г) - ^ Q^Jr; а) и=1 П

3=1 где д„,п(г;а)= Q JI (\n~1/2x - a\2 < г) (ф*^ * (F-Ф)*") (dx),

F - "срезка" F (см. с. 296)

Величину Ajt,„(a) называют остатком в разложении типа Бергстрема ("истинное" разложение Бергстрема строится с помощью функций, обозначим их Ql/)П(г;а), которые выражаются непосредственно через исходное распределение F, а не срезку F; см. [103]). Отметим, что остаток в разложении типа Бергстрема (кратко, ^-разложении) для распределений в бесконечномерных пространствах не оценивался другими математиками, занимающимися близкими задачами (кроме В. В. Юринского [158]). Дело в том, что известные нам исследования в основном посвящены разложению типа Эджворта (^-разложению) (см. раздел 3.1). Его же принято выводить, используя разложение, которое занимает промежуточное положение между 38- и (^-разложениями. Остаток в нем оценивается через момент к + 1-го порядка E|X|fc+1 (см. теорему 3.2.1, с. 189, а также [4, 73, 84]). В главе 2 выводится, что остаток в ^-разложении оценивается с использованием только третьего и четвертого моментов. Это обстоятельство, в свою очередь, применяется в главе 4, где на примере одномерных случайных величин показывается, что ^-разложение может быть существенно точнее (^-разложения.

Необходимо отметить работу В. В. Юринского [158], где для построения асимптотических разложений применяется операторный метод. Там же получена оценка остатка в разложении Бергстрема в терминах только третьего момента. Однако автор в своей статье не рассматривает вопрос о зависимости оценки от ковариационного оператора (см. [158, с. 439, замечание 3.1]).

В главе 2 мы получаем оценку Д^)П(о) в терминах произведений Л/ собственных чисел ковариационного оператора. Оценивание А^„(а) производится в предположении, что выполняется по крайней мере одна из введенных в разделах 2.3 и 2.5 модификаций известного условия Крамера на характеристическую функцию. Сама проблема обобщения этого условия на случайные величины со значениями в бесконечномерном пространстве описана в разделе 2.3 (мы не будем делать этого во введении, чтобы не повторяться).

Легко видеть, что

A*,n(a) < Дм(а) + 2пР(\Х\ > (0.0.16) где 2 к—2 r j=1 v=1

Поэтому задача сводится к оценке величины AkiTl(a).

Сформулируем результаты, касающиеся непосредственно нормальной аппроксимации. Введем обозначения: vn(t) = inf1<fc<2mnE|U(^-1^*=r/)|n~fc, где v(x)=Ee*x-x\ vl<M = sup{| Еехр{г(/, X)} | : ^ М}' vi = vl>M\ 1 , а1Г4,1

М-,л*) = infl<fc<2mn vl,m-,nfa к) +rltM.n{t]k) , где f -1 \ ^^ i <; \ / 1 ^ ^fc < clG> Pn-> Co) ^ 1

21 / г4 / Л V2 ci(l,k,pn,c0) Pn

Г(//2 + 1) supvar{p(fXr1,a;) < r) - р((Хь я) <r)}, гген

Sfe = y/icjn, Cq - положительный параметр, c10(/) = 2гГ(//2 + 1), cM(Z) = , величина Ni - из (1.9.18) (с. 100). (О роли riyM-,n{t]k) см. лемму 2.5.1 (с. 159)). Определим также

Ki((i;t2)= J w<li(a) = J tl<|t|<t2 <l<|t|<*2 г3 = АГ1/г(п/Г4,г)2/3, г0 = Лг-1/г(п/Г4,г)г/2.

Теорема 0.0.5 ( Теорема 2.1.1, с. 133J Пусть

34 < оо, к > 3, 5>0, I > 6(1 + 8)(к — 1). (0.0.17)

Тогда кМ<с(к,1,5){( 3'' n3-'w)2 +(^)612+7 + сК(гз;го)

Эта оценка по-прежнему верна, если в ней \'п(тз,то) заменить на Vi,M\n(T3'To)> М - произвольное положительное число.

Теорема 0.0.6 ( Теорема 2.1.2, с. 133.J Пусть выполнены условия (0.0.17) и, кроме того, М > 0. Тогда c(fc, i, 5) { ) ^ + (1 v a^Mf ^ } /Л п/4—1 , П + с(0 vim

Теорема 0.0.7 ( Теорема 2.1.3, с. 133.) Пусть выполнены условия (0.0.17). Тогда

Я ( \ ^ И 1 х\ f f^h + /Г4Аб(2Т5)1 ,л „/4-1, п

Afc,n(a) < !—^-J + (^J j+c(0V In—.

Теорема 0.0.8 ( Теорема 2.1.4, с. 134.J Пусть выполнены условия (0.0.17) и, кроме того, М > 0. Тогда

Ак,п{а) < &к,п(а) + спР{\Х\ > ау/гщ,), где Ak>n(a) ~ величина, удовлетворяющая оценкам теорем 0.0.5 - 0.0.7. Следствие 0.0.2 ( Следствие 2.1.1, с. 134.) Пусть

4 < оо, к > 3. Обозначим I = Qk — 5. Справедливы оценки д,»<Ф)|(—-—) +(—) j c(vn(r3-T0)+nP(\X\ > а^/гщ,)^ Ci (vГ74-1 In + nP(|X| > а^/тП Y

Для случая a = 0 основные результаты главы 2 получены в работах [54] - [57], [133, 135, 137, 58, 140] совместно с С. В. Нагаевым. Кроме того, совместно с С. В. Нагаевым в [139] получены некоторые оценки остаточного члена в разложении типа Бергстрема в Н при а ф 0. В настоящей диссертации, в отличие от работ [54] - [57], [133, 135, 137, 58, 140], рассматривается более общий случай шаров с произвольным центром. Полученные здесь оценки более точны, чем в [139] (ср., например, теоремы 2.1.1, 2.1.2 с теоремой 3 [139]; об этом см. также разделы 2.3 - 2.6). Основное содержание разделов 2.3 - 2.5 (об условии типа Крамера) опубликовано в [85, 86, 106].

0.10. 0 главе 3. В этой главе изучается обобщение классического разложения Чебышева - Эджворта на случайные величины со значениями в пространстве Н. Перечислим работы других авторов по этой тематике: Gotze F. [117 - 119], Бенткус В. Ю. [2 - 5], Бенткус В. Ю. и Залесский Б. А. [6], Боровских Ю. В. [17], Ульянов В. В. [83, 84], Сазонов В. В., Ульянов В. В., Залесский Б. А. [154], Бенткус В. Ю., Гетце Ф., Паулаускас В. И., Рачкаускас А. [8, 92], Юринский В. В. [158], Сазонов В. В., Ульянов В. В. [73, 153]. Большинство исследований (за исключением [84, 153, 73]) направлены на получение оценки остатка при минимальных предположениях относительно существования моментов исходного распределения. Алгоритмы вычисления членов разложения предложены в [4, 118] (еще один алгоритм рассматривается в [117]) и используются всеми перечисленными исследователями. Необходимо отметить, что В. В. Юринский в [158] применяя операторный метод для определения членов разложения, дает алгоритм, также близкий к [118]. В своей работе мы вводим новый алгоритм (и его варианты) вычисления членов разложения и доказываем тождества, устанавливающие связь с другими алгоритмами. Этот алгоритм основан на применении обобщенной стандартной гауссовской случайной величины и так называемой формулы перехода (см. раздел 1.8), которая позволяет по существу свести бесконечномерную задачу к одномерной. Кроме того, члены асимптотического разложения характеристической функции формулой перехода приводятся к факторизованному виду , в котором выделяется "основной" множитель (в данном случае Еехр {it\Y — а|2}; см., например, формулу (3.1.10), с. 179), и вид членов разложения в теореме 3.2.2, с. 189. Заметим, что аналогичная факторизация произведена в [117] и [158]. В главе 3 так же, как в главе 2, решается задача оценки остаточного члена в терминах проi изведений А; = ст2 собственных чисел ковариационного оператора. з=1

Отметим, что и в работах [73, 84, 153] найден явный вид зависимости от ковариационного оператора, причем близкий по форме к предложенному нами. Однако, как показано в разделе 3.2 (с. 193), этот вид менее точен, чем наш.

Так же, как и в главе 2, мы проводим оценивание в предположении, что исходная случайная величина X удовлетворяет по крайней мере одной из введенных модификаций условия Крамера (см. также с. 14).

Приведем основные утверждения главы 3.

Для функционала f : Н —)• С формальным разложением Эджворта Еf(Sn) назовем формальное разложение в ряд по степеням п~1//2: оо

Е f(Sn) = ЕДУ) + ^ n-"/2Q„(/; X). (0.0.18) v=l

В работе исследуются способы определения Qv{f] X) и оценка остаточного члена в разложении (0.0.18) при f(x) = ехр {й\х — а\2} и f(x) = 1{\х - а\2 < г).

Известно, что если Н = Е£, f(x) = exp{sn-} (s е С), то

Q,(f^) = exV{s2a2/2}pu(s;0, где сг

Е£2,

0.0.19)

Р*М= Е + (0-0.20) д^К <?=1 см. например, [65, с. 168, 173]), здесь через кд+2(0 обозначен семиинвариант £ порядка q + 2.

В разделе 3.1 описаны алгоритмы, введенные F.Gotze [118] и В. Бенткусом [4] для вычисления Q„(f;X) в случае гладких функционалов /, и В. Бенткусом [3, 5] в случае, когда / есть индикатор множества. Там же мы предлагаем свой алгоритм (3.1.13) (с. 180) вычисления Q1/(f]X) для f(x) = ехр{г£|.т — а|2}, опираясь на формулу перехода (лемма 1.8.1, с. 90), определения билинейного функционала (-,-) в Не х Не (с. 90) и оператора At (с. 112). Мы доказываем тождества, связывающие различные алгоритмы вычислений Q„(f]X). Показываем также, что алгоритм Ф. Гетце из [117], совпадает с нашим, что априоре не является очевидным.

Прежде чем сформулировать основные результаты, введем следующие обозначения:

Pli{n)=Ptt-E[\X\"I(\X\<Ln)], где Ln = a^ i(n; к + 1; а) =

ЦХ\ fc+i

Зк(п) , E[(a,X)2I(\X\> Ln)}

Г'(т; а) в,г)Г(^+Ф)(«гг))

1 /т

-, Г*(ш; а) = 1 + — Л Г'(т; а).

Теорема 0.0.9 ( Теорема 3.1.1, с. 183). Пусть Pv(t\a) - функции, определенные в (3.1.11) (с. 179), k,v,l - натуральные числа, 1<г^< к —2, 3<к<тп,

Е[\Х\21(\Х\>Ьп)]<а2/2, и >20, \t\fn < 0.9сг1"2(А; - I)"1. Тогда для любых q > 1 и 0 < 7 < 1/2 к-2 gn(t; а) - g(t; а) - g(t; а) £ n"m/2Pm(t; а) = R т=1 где \R\<c(k) g(cl{k)t)\^1(n;k + l-,a)(V(k + l-a))

3fc—4 ih. M»)\k~l

V a3 <r6 J n(k-1)/2 fi(t, 7) q) t\a2)3^ + \t\a2}, (0.0.21) где fi{t,n,j,q) - функция из леммы 1.6.1 (с. 75).

Запишем полином p„(s;£) из (0.0.19), (0.0.20) в виде т 0"(31,-,3т)зм1[ф. (0.0.22)

9=1

См. с. 298 в списке обозначений.) Обозначим

00 з=1 где Gj(r) — Р((У,е°)2 < г). Вг является ограниченным оператором, отображающим Н в Н.

Учитывая, что умножению характеристической функции на (—it) соответствует дифференцирование функции распределения, получаем в случае а = 0 (см. раздел 3.1).

Qv{f-,X)= EqEXi> ^ ри ((-2Д.)1/2; (ВгХи а),., (BrXv, «)) * G(r) т

0.0.23) 1

Ett(") имеет принятый в этой работе смысл (см. с. 298 m в списке обозначений), но с дополнительным условием, что М = У] jq q=1 является четным числом, G(r) = P (\Y\2 <г). Пусть а Ф 0. Обозначим

В(Х; а; а; г) = (Д.Х, а)-(-2£г)1/2(£г*2Х, а), G(r; а) = Р(|У-^|2 < г).

Аналогично (0.0.23), получаем (в случае f(x) = /({|ж — а|2 < г}))

Q„(r;a) = Q„(/;X)

-2Д.)1/2;Я№;а<;а;7-),. ,B(Xu]a]a;rjj * G{r; a) m x (-2Я)м/2[с(г;а)*Щ(ВгХ9,а) - {-2Dr)l'2{B?Xq, a))*"]. (0.0.24)

9=1 m ч m

Заметим, что поскольку EJ J*J (BrX, a)*>lq j = 0, если сумма q=1 ' 9=1 нечетна, то в правой части равенства (0.0.24) присутствуют только целые степени оператора дифференцирования Д.

Далее мы будем использовать обозначения раздела 2.1: тз = Лг"1/г(п/г41()2/3, г0 = а;1/1(п/г^2, vt И Vnfch) (с. 15). В следующей теореме оценивается величина

Afe,n(a) = sup п 2 к—2 j=l m= 1

Qm(r-,a) n m/2

Обозначим

Щщк + 1) = <

ВД^-Ь-АИ при /с > 4, к-1 ^ к-2 ^ + * П 2 П^Г при к = 3,

Мк{а) = < н (ЕКа.Х)!^1)^!

J-1 Л Л-2—- при л > 4,

И д при к = 3.

Заметим, что если (Та, а) = 0, то М^(0) = 0.

Теорема 0.0.10 (Теорема 3.1.2, с. 185). Пусть Qv(r-,a) = Qv{f\X) - функции из (0.0.24), Целое к > 3, Pkvi < оо. Обозначим Z = 6А; — 5. Справедлива оценка

Afe>n(a) < c(fc) + к + 1) +

Ща,Х) \Х\ I(\X\ > Ln) к-2 п 2 а к+2 x(a2/A;03(fc"1)(l + Mf-4(a));

-1. а вместо Rq можно брать любое из выражений: Уп(тз;то) или vt4 In ^

Из этой теоремы непосредственно вытекает

Следствие 0.0.3 (Следствие 3.1.1, с. 186). Пусть Qu(r] a) = Qu(f] X) - функции из (0.0.24), целое к > 3, /?jtV4 < Обозначим I = 6к — 5. Если (Та, а) = 0, то

Ак,п(а) < с(к) (Щщ к + 1) {a2/Aj/l)Kk-1] + R0), где вместо Rq можно брать любое из выражений: Уп{т^то) или

1 1 4,1

Сравнивая полученное представление (0.0.24) с представлением Бент-куса (3.1.7) (с. 178), отметим, что различие состоит в том, что в нашем алгоритме используется только одномерное дифференцирование (от которого в случае а = 0 можно избавиться), свертка распределений и дополнительное усреднение по а вместо многомерного дифференцирования в (3.1.7).

Отметим, что сформулированные выше теоремы дают наиболее точную (среди известных нам результатов) зависимость остаточного члена от оператора Т. В. В. Сазоновым и В. В. Ульяновым [84, 153, 73] получена зависимость оценки от такого же количества 1 = 6к—5 собственных чисел ковариационого оператора. Однако форма зависимости, полученная этими авторами, может давать оценку погрешности хуже нашей (это показано в разделе 3.2, с. 193).

Отметим, что разложение Эджворта в бесконечномерных пространствах изучалось также в работах [17, 83,154, 92, 8, 158]. Подход к представлению членов разложения в этих работах (за исключением статьи В. В. Юринского [158], где рассматриваются несколько более общие аспекты асимптотических разложений, такой же, как в [4, 5, 118]. Зависимость остаточного члена от ковариационого оператора в них не исследовалась. В то же время, там рассматриваются функционалы более общего вида, чем у нас, а также изучается случай неодинаково распределенных слагаемых.

Для случая а = 0 основные результаты главы 3 получены в работах [135] - [138], [59, 141] совместно с С. В. Нагаевым. В настоящей диссертации, в отличие от этих работ рассматривается более общий случай шаров с произвольным центром. Кроме того, найденные здесь оценки предусматривают использование не только такого (жесткого) условия типа Крамера, как в [135] - [138], [59, 141] (в терминах иг), но и другого, более слабого условия (в терминах Уп(т3;то)). В связи с этим отметим, что в то время, как второе условие выполняется для случайной величины Х0 , образующей о>2-статистику (раздел 2.6), эта статистика первому условию не удовлетворяет (раздел 2.4).

0.11. 0 главе 4. В этой главе мы производим сравнение разложений Бергстрема и Эджворта в частном случае Н = Е. Получены верхние и нижние оценки остатков и членов указанных двух типов разложений, а также показано, что возможна следующая ситуация: в то время, как разложение Бергстрема допустимо, разложение Эджворта может не иметь смысла. Качественная сторона этого явления находится в соответствии со структурой членов последнего разложения, которые зависят от кумулянтов тем более высокого порядка, чем больше номер разложения.

Содержание раздела 4.1 представляет собой введение в проблему и формулировки основных результатов. Мы будем использовать следующие обозначения: Ф - функция распределения стандартной нормальной случайной величины аь Фо,ь(ж) = Ф(х/Ь), <р(х) = DxФ(ж),

Нт(х) — (—1)техр| —| D™ exp j — — | - полином Чебышева - Эрми-та порядка га, ^^ - сумма по всем таким последовательностям и неотрицательных целых чисел . что = и, кд(£)

9=1 кумулянт случайной величины £ порядка q, v

QV{X- 0 = -ф) £ Hv+2s^(x) П [kq+2(Z)/(q + 2)!р /fiq\, v где s = Xi, X2,. - независимые копии случайной величины

9=1

X, EX = О, Ь2 = В(Х), Е\Х\»+2 < оо. Напомним, что Р (— ТП i Xj < х) -Ф0,ь(х)- V" n n~^Qv{x/b; Х/Ь)

- остаток в разложении Эджворта, /л = 1,2,. Далее мы существенно будем использовать следующий, хорошо известный результат JI. В. Осипова (см. [63] или, например, [65, с. 197]).

Теорема А [63]. Пусть X - случайная величина с функцией распределения F, характеристической функцией v, E.Y = О, ЕХ2 = Ь2, Е|Х|А+2 < оо для некоторого целого ц>1. Тогда существует такая константа е0((л), что для всех хЕШ и натуральных п

6+ |.т|)"+3

Ь~±Р~ [ \yr2dF(y) + [ \уГ3*т

712 J п 2 J у\>ф1(Ъ+\х\) М<лМЫ-|*|)

Заметим, что исследование <оп(рь]х\Х) (в том числе и при /л = 0) является классической задачей теории вероятностей. Обширную библиографию по этому вопросу можно найти, например, в монографии В. В. Петрова [65]. Отметим здесь работы JI. В. Розовского [69, 70], в которых строятся оценки \$п(ц\ Х)\ (включая оценки снизу), но в терминах, отличных от наших. Обозначим ь2 М |»М1: м > + п x+(fl+2)(at+3)}/2

I- Ьу/п Ь^+2у(щ /х)

Мы будем использовать следующее утверждение, вытекающее из теоремы А.

Следствие А. Пусть выполнены условия теоремы А, и, кроме того,

2 ^ " (0.0.25) sup 1.

Тогда sup \Sn(jj,] х; А')| < п^'2 Е{щ ц) = о (0.0.26) при п —>■ оо.

Обозначим Qu>n{x/b;X/b) = Q (F - Ф0)Ь)-* Ф^ {xy/ty. Напомним, что

1 к—\ X—

Xj < х ) - Ф0М - > п z—'jщх-,Х)= Р - V. Xj < х - ФоДх-) - V Qv,n(x/b- Х/Ъ) s/n z—'.7 = 1 / z—

- остаток в разложении Бергстрема, // = 1,2,. (см. раздел 1.4, а также [103]).

Основываясь на результатах разделов 4.2 и 4.3, мы доказываем следующее утверждение, для формулировки которого^оспользуемся обозначениями: Fn(x) = Р(Хга < х), vn(t) = Еexp{itXn}, s/li dt,

I(Fn, щ w N) = h(Fn) n; к N) V ЕЫ^1)^1

5i(n;/x;3) = W— — -2 2 v y V ™ Vt,33!; 1)!3 г^з.п /2 fr416 b3 У fi vr<n = Vr{Xn, ot\b) = / |ж|Г |d(Fn - Фо,ь)(ж)|.

Теорема 0.0.11 (Теорема 4.1.1, с. 258). Пусть {Хп} - такая последовательность случайных величин, что ЕХП = 0, Т)Хп = ЕХ® < оо. Пусть также выполнены следующие три условия:

ЫХп)\/Ъ1 оо, (0.0.27) п—»оо существует такая константа с, что

Е(щА)<с (0.0.28) для всех п, lim Вх(щц\ 3) + В2{п-щ 3) = 0, (0.0.29) п—>оо

Тогда п2 sup |<£ЦЗ; X] Хп)\ оо

X 71 —>00 в то время, как для любого ц > 1 lim п^2 sup -1;х-,Хп)\ = 0. п—>00 х

Утверждение о существовании такой последовательности сформулируем в виде теоремы.

Теорема 0.0.12 (Теорема 4.1.2, с. 259). Существует последовательность случайных величин {Хп}, удовлетворяющая соотношениям (0.0.27) - (0.0.29).

В разделе 4.2 найдены оценки погрешности и членов разложения Эджворта. На наш взгляд, лемма 4.2.3 (с. 269) об оценке снизу для sup |<5^(х)| представляет самостоятельный интерес. х

В разделе 4.3 получены оценки погрешности и членов разложения Бергстрема.

В разделе 4.4 доказаны теоремы 0.0.11 и 0.0.12. Основные результаты главы 4 опубликованы в [35, 87, 107, 108] совместно с А. Я. Золотухиным, и в [142] совместно с С. В. Нагаевым, А. Я. Золотухиным и Mir Masoom АН (США).

0.12. Диссертация занимает 295 страниц и состоит из введения, четырех глав и списка литературы. В приложении, помещенном на страницах 296 - 299, приводится список используемых обозначений. Порядок нумерации описан на с. 6.

1. Барут А,, Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т.1. - М.: Мир, 1980.

2. Бенткус В. Ю. Асимптотические разложения для сумм независимых случайных элементов пространства Гильберта // 24-я конференция Литовского математического общества, Вильнюс, 1983: Тезисы докладов. Вильнюс, 1983, С. 28-29.

3. Бенткус В. Ю. Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных элементов гильбертова пространства //Доклады АН СССР. 1984. - Т. 278, №5. - С. 1033-1036.

4. Бенткус В. Ю. Асимптотические разложения в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве// Лит. мат. сб. 1984. -Т. 24, №3. - С. 29-49.

5. Бенткус В. Ю. Асимптотические разложения для сумм независимых случайных элементов гильбертова пространства// Лит. мат. сб. -1984. -Т. 24, №4. С. 29-48.

6. Бенткус В. Ю., Залесский Б. А. Асимптотические разложения с неравномерными остатками в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве// Лит. мат. сб. 1985. - Т. 25, №3. - С. 3-16.

7. Бенткус В. Ю., Зитикис Р. Замечание о критерии Крамера-фон Мизеса-Смирнова// Лит. мат. сб. 1988. - Т. 28. - С. 14-21.

8. Бенткус В., Гетце Ф., Паулаускас В., Рачкаускас А. Точность гаус-совской аппроксимации в банаховых пространствах//М.: ВИНИТИ.- 1991. С. 39-139. - (Итоги науки и техники, сер. "Совр. пробл. матем.", М., ВИНИТИ).

9. Бикялис А. О многомерных характеристических функциях// Литовский математический сб. 1968. - Т. 8, №1. - С. 21-39.

10. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. -351 с.И. Богачев В. И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997. 352 с.

11. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

12. Боровских Ю. В. Асимптотика функционалов Мизеса. Киев, 1981. -52 с. - (Препринт/ АН Украинской ССР. Ин-т математики; №81.46).

13. Боровских Ю. В. Асимптотика многомерной о>2-статистики// Доклады АН Украинской ССР. 1982. - Сер. А, №5. - С. 3-6.

14. Боровских Ю. В. О нормальной аппроксимации в беконечномерных пространствах// Докл. АН. СССР. 1984. - Т. 278. №6.- С. 12911296.

15. Боровских Ю. В. Теория /-статистик в гильбертовом пространстве.- Киев, 1981. (Препринт/ АН Украинской ССР. Ин-т математики; №86.78).

16. Бхаттачария Р. Н., Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982.

17. Вахания Н. Н. Вероятностные распределения в линейных пространствах. Тбилисси: Мецниереба, 1972 (английский перевод North-Holland, 1981).

18. Вахания Н. Н., Канделаки Н. П. Об оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме в пространстве Гильберта//Труды ВЦ АН ГССР. 1969. - Т. 9, №1. - С. 150-160.

19. Вершик А. М., Судаков В. Н. Топологические вопросы теории меры в линейных пространствах// Успехи математических наук. 1962. -Т. 17, №4. - С. 217-219.

20. Вершик А. М., Судаков В. Н. Вероятностные меры в бесконечномерных пространствах// Записки научных семинаров ЛОМИ. 1969. -вып. 12. - С. 7-67.

21. Го X. С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. - Москва : Мир, 1979.

22. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966.

23. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.- Москва: Наука, 1977.

24. Залесский Б. А. Оценка точности нормальной аппроксимации в гильбертовом пространстве // Теория вероятностей и ее примен. 1982.- Т. 27, в. 2. С. 279-285.

25. Залесский Б. А., Сазонов В. В., Ульянов В. В. Нормальная аппроксимация в гильбертовом пространстве. I—II // Теория вероятн. и ее примен. 1988. - Т. 33, вып. 2. - С. 225-245; С. 508-521.

26. Залесский Б. А., Сазонов В. В., Ульянов В. В. Правильная оценка точности нормального приближения в гильбертовом пространстве// Теория вероятн. и ее примен. 1988. - Т. 33, вып. 4. - С. 753-754.

27. Залесский Б. А., Сазонов В. В., Ульянов В. В. Правильная оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве// Математический сборник. 1989. - Т. 180, №12. -С. С. 1587-1613.

28. Зитикис Р. Асимптотические разложения в локальной предельной теореме для о^-статистики// Лит. мат. сб. 1988. - Т. 28. - С. 461-474.

29. Золотарев В. М. Абсолютная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме// Теория вероятн. и ее примен. 1966. - Т. 11, вып. 1. - С. 108-119.

30. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин.- М.: Наука, 1986.

31. Золотухин А. Я., Чеботарев В. И. О нижней оценке остатка в разложении Эджворта//Дальневосточная матем. школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова, Владивосток, 1998: Тезисы докладов. Владивосток, 1998.

32. Ибрагимов Р., Шарахметов Ш. О точной константе в неравенстве Розенталя // Теория вероятн. и ее примен. 1997. - Т. 42, вып. 2. -С. 341-350.

33. Канделаки Н. П. Об одной предельной теореме в пространстве Гильберта// Труды ВЦ АН ГССР. 1965. - Т. 5, №1. - С. 46-55.

34. Колмогоров А. Н. Замечание о работах Р. А. Минлоса и В. В. Сазонова// Теория вероятн. и ее примен. 1959. - Т. 4, вып 2. - С. 237-239.

35. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения: Учебное пособие/ Под ред. Рыбникова К. А. М.: Наука, 1982. - 368 с.

36. Кондратенко А. Е., Сенатов В. В. Об оценке точности асимптотических разложений в ЦПТ // Доклады РАН. 2001. - Т. 378, №6. - С. 748-750.

37. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Асимптотический анализ распределений статистик. Киев: Наукова думка, 1984.

38. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976.-648 с.

39. Кульбак С., Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967.

40. Минлос Р. А. Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры// Труды Моск. матем. общ. 1959. - Т. 8. -С. 497-518.

41. Нагаев С. В. Об оценках типа Берри-Ессеена для сумм случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве//Доклады Академии наук. 1984. - Т. 276, № 6. - С. 1315-1317.

42. Нагаев С. В. О скорости сходимости к нормальному закону в гильбертовом пространстве// Теория вероятн. и ее примен. 1985. - Т. 30, вып. 1. - С. 19-32.

43. Нагаев С. В. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин со значениями в банаховом пространстве // Сибирский математический журнал. 1987. - Т. 28, №4. - С. 171-184.

44. Нагаев С. В. Оценка типа Берри-Ессеена для сумм случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве// Сиб. мат. журн.- 1989. Т. 30, №3. - С. 84-96.

45. Нагаев С. В. Некоторые уточнения вероятностных и моментных неравенств// Теория вероятн. и ее примен. 1997. - Т. 42, вып. 4. -С. 832-838.

46. Нагаев С. В. О вероятностных и моментных неравенствах для зависимых случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. 2000.- Т. 45, вып. 1. С. 194-202.

47. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. Об оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме для случайных векторов со значениями в пространстве 12// Математический анализ и смежные вопросы. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние. 1978. - С. 153-182.

48. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. О зависимости оценки скорости сходимости к нормальному закону от ковариационного оператора. Случай неодинаково распределенных слагаемых// Теория вероятн. и ее примен. 1983. - Т. 28, вып. 3. - С. 599-600.

49. Нагаев С. ВЧеботарев В. И. Уточнение оценки погрешности нормальной аппроксимации в гильбертовом пространстве. Новосибирск, 1984. - 47 с. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; №84).

50. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. Уточнение оценки погрешности нормальной аппроксимации в гильбертовом пространстве//Х1Х школа-коллоквиум по теории вероятн. и матем. стат., Бакуриани, 1985: Тезисы докладов. М.: Наука, 1985. - С. 37.

51. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. Уточнение оценки погрешности нормальной аппроксимации в гильбертовом пространстве//Сиб. мат. журн. 1986. - Т. 27, №3. - С. 154-173.

52. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. О разложении Эджворта в гильбертовом пространстве// Предельные теоремы для случайных процессов и их применения. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние. - 1993. - С. 170-203. - (Тр./ РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; Т. 20 ).

53. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. О точности гауссовской аппроксимации в гильбертовом пространстве. Хабаровск, 1998. - 48 е.- (Препринт №98/32: Вычислительный центр ДВО РАН).

54. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. О точности гауссовской аппроксимации в гильбертовом пространствеДальневосточная матем. школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова, Владивосток, 2000: Тезисы докладов. Владивосток, 2000.

55. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. Об оценке точности гауссовской аппроксимации в гильбертовом пространстве. Хабаровск, 2000. - 58 е.- (Препринт №2000/47: Вычислительный центр ДВО РАН).

56. Осипов Л. В. Об асимптотических разложениях функции распределения суммы случайных величин с неравномерными оценками остаточного члена// Вестник Ленинград, унив. 1972. - №1. - С. 51-59.

57. Паулаускас В. И., Рачкаускас А. Точность аппроксимации в центральной предельной теореме в банаховых пространствах. Вильнюс: Мокслас, 1972.

58. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

59. Пинелис И. Ф. О распределении сумм независимых случайных величин со значениями в банаховом пространстве// Теория вероятн. и ее примен. 1978. - Т. 23, вып. 3. - С. 630-637.

60. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей// Теория вероятн. и ее примен. 1956.- Т. 1, вып. 2. С. 177-238.

61. Прохоров Ю. В., Сазонов В. В. Об оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в бесконечномерном случае//Первый Советско-Японский симпозиум по теории вероятностей, Хабаровск, 1969: Тезисы докладов. Новосибирск: 1969. - С. 223-230.

62. Розовский Л. В. О сходимости функций распределения последовательности сумм независимых случайных величин к нормальному закону в LPU Лит. мат. сб. 1976. - Т. 16, №1. - С. 193-206.

63. Розовский Л. В. Об оценке снизу остаточного члена в центральной предельной теореме// Матем. заметки 1978. - Т. 24, вып. 3. - С. 403-410.

64. Сазонов В. В. Замечание о характеристических функционалах// Теория вероятн. и ее примен. 1958. - Т. 3, вып. 2. - С. 201-205.

65. Сазонов В. В. Улучшение одной оценки скорости сходимости// Теория вероятн. и ее примен. 1969. - Т. 14, вып. 4. - С. 667-678.

66. Сазонов В. В., Ульянов В. В. Асимптотические разложения вероятности сумме независимых случайных величин попасть в шар гильбертова пространства // Успехи математических наук. 1995. - Т. 50, вып. 5(305). - С. 203-222.

67. Санов И. Н. О вероятности больших уклонений случайных величин// Математический сборник 1957. - 42 (84). С. 11-44.

68. Сенатов В. В. О зависимости оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме от ковариационного оператора слагаемых// Теория вероятн. и ее примен. 1985. - Т. 30, вып. 2. - С. 354-357.

69. Сенатов В. В. Четыре примера нижних оценок в многомерной центральной предельной теореме// Теория вероятн. и ее примен. 1985.- Т. 30, вып. 4. С. 770-778.

70. Сенатов В. В. О зависимости оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме по шарам с центром в нуле от ковариационного оператора// Теория вероятн. и ее примен. 1986. - Т. 31, вып. 1. - С. 128-132.

71. Сенатов В. В. Несколько замечаний об оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве// Теория вероятн. и ее примен. 1991. - Т. 36, вып. 2. - С. 382-386.

72. Сенатов В. В. Качественные эффекты в оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в многомерных пространствах: Автореф. дис.докт.физ.-мат.наук: 01.01.05.- Москва, 1993.- 14 с.

73. Сенатов В. В. Качественные эффекты в оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в многомерных пространст-вах//Труды МИАН им. В.А. Стеклова. Т. 215. -М.: Наука, МАИК "Наука", 1997.- С. 1-239.

74. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1975.

75. Справочник по специальным функциям/ Под ред. Абрамовича М. и Стигана И. М.: Наука, 1979. - 830 с.

76. Ульянов В. В. Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин в Н// Теория вероятностей и ее применения. 1986. - Т. 31, №1. - С. 31-46.

77. Ульянов В. В. Гауссовская аппроксимация в гильбертовом пространстве: Автореф. дис.докт.физ.-мат.наук: 01.01.05.- Москва, 1994. -25 с.

78. Чеботарев В. И. Условие Крамера и а>2-статистика// Материалы международной конференции и чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева. Т. 2. М.: Издательство механико-математического факультета МГУ, 1996. - С. 357-359.

79. Шиганов И. С. Об уточнении верхней оценки константы в остаточном члене центральной предельной теоремы// Проблемы устойчивости стохастических моделей.- М.: ВНИИСИ, 1982 С. 109-115.

80. Юринский В. В. О точности нормального приближения вероятности попадания в шар// Теория вероятн. и ее примен. 1982. - Т. 24, №2. - С. 270- 278.

81. Bentkus V., Gotze F., Paulauskas V., Rachkauskas A. The accuracy of Gaussian approximation in Banach spaces.- Bielefeld, 1990.- 90 p.-(Preprint 90-100/Universitat Bielefeld).

82. Bentkus V., Gotze F., Zitikis R. Asymptotic expansions in the integral and local limit theorems in Banach spaces with applications to со statistics// J. Theoretical Probab. 1993. - V. 6, №4. - P. 727-780.

83. Bentkus V., Gotze F. Optimal rates of convergence in the CLT for quadratic forms. Bielefeld, 1994.- (Preprint 94-063 SFB 343/ Universitat Bielefeld).

84. Bentkus V., Gotze F. On the lattice point problem for ellipsoids. -Bielefeld, 1994.- (Preprint 94-111 SFB 343/ Universitat Bielefeld).

85. Bentkus V., Gotze F. On the lattice point problem for ellipsoids// Докл. PAH. 1995. - T. 343. №4.

86. Bentkus V., Gotze F. Optimal rates of convergence in functional limit theorems for quadratic forms. Bielefeld, 1995.-34 p.- (Preprint 95091/ Universitat Bielefeld).

87. Bentkus V., Gotze F. Optimal rates of convergence in the CLT for quadratic forms// Ann. Probab. 1996. - №1. - P. 466-490.

88. Bentkus V., Gotze F. On the lattice point problem for ellipsoids// Acta Arithmetica. 1997. - V. 80, № 2. - P. 101-125.

89. Bentkus V., Gotze F. Uniform rates of convergence in the CLT for quadratic forms in multidimensional spaces// Probab. Theory Relat. Fields. -1997. V. 109, - P. 367-416.

90. Bentkus V., Gotze F. Optimal bounds in non-Gaussian limit theorems for /-statistics. Bielefeld, 1997,- (Preprint 97-077 SFB 343/ Universitat Bielefeld).

91. Bentkus V., Gotze F. Optimal bounds in non-Gaussian limit theorems for /-statistics// Ann. Probab. 1999. - V. 27, №1. - P. 454-521.

92. Bergstrom H. On asymptotic expansions of probability functions// Skand-inaw. aktuarietidskrift. 1951. - H. 1-2. - P. 1-34.

93. Berry A. C. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates// Trans. Amer. Math. Soc.-1941.- V. 49.-P. 122-126.

94. Borovskikh Yu. V., Koroljuk V. S. U H-statistics// Sov. Math. Dokl. -1990,- V. 40.-P. 432-435.

95. Chebotarev V. I. Remark on the Cramer type condition for w2-stastistic// Journal of Theoret. Probability. 1999. - V. 12, No. 1. - P. 13-25.

96. Chebotarev V. I., Zolotukhin A. Ya. The comparison of the Edgeworth and Bergstrom expansions //The special volume "Asymptotic Methods in Probab. and Stat, with Applic." Proceedings of AMPMS conference, S-Petersburg, 1998, Birkhauzer (Boston). 2000.

97. Chernoff H., A measure of asymptotic effeciency for tests Ann. Math. Statist., 23 (1952), 493-507.

98. Cramer H. On the composition of elementary errors//Skand. Aktuarietidskr. 1928. V. 11, №3. - P. 13-74, 141-180.

99. Esseen C. G. On the Liapunov limit error in the theory of probability// Ark. Mat. Astr. Fys.-1942.-V. 28A.-P. 1-19.

100. Esseen C. G. Fourier analysis of distribution function. A muthematical study of the Laplace - Gaussion law // Acta Math. - 1945. - V. 77. -P. 1-125.

101. Fernique X. Integrabilite des vecteurs Gaussiens // C.R. Acad. Sci. Paris. 1970. - T. 270, Ser.A, №25. - P. 1698-1699.

102. Fernique X. Regularite de processus gaussiens // Inventiones mathematicae. 1971. - Vol. 12, fasc 4. - P. 304-320.

103. Fortet R., Mourier E. Les fonctions aleatoires comme elements al eat; о ires dans les espaces de Banach// Studia Math. 1955. - T. 15, fasc. 1, P. 62-79.

104. Frechet M. Generalisation de la loi de probabilite de Laplace// Ann. Inst. H. Poincare. 1951. - Vol. 12, fasc. 1.

105. Gotze F. Asymptotic expansions for bivariate von Mises functional// Z. Wahrsch. verw. Geb. 1979. - B. 50. - S. 333-355.

106. Gotze F. On Edgeworth expansions in Banach spaces// Ann. Probab. -1981. V. 9, №5. - P. 852-859.

107. Gotze F. Asymptotic expansions in functional limit theorems// Multivariate Analysis. 1985. - V. 16, №1. - P. 1-20.

108. Gotze F., Ulyanov V. Uniform approximation in the CLT for balls in Euclidian spaces.- Bielefeld, 2000.- 26 p.-(Preprint 00-034/Universitat Bielefeld).

109. Hitczenko P. Best constants in martingale version of Rosenthal's inequality // The Annals of Probability. 1990. - Vol. 18, №4. - P. 1656-1668.

110. Johnson W. В., Schechtman G., Zinn J. Best constants in moment inequalities for linear combinations of independent and exchangeable random variables // The Annals of Probability. 1986. - Vol. 13, №1. - P. 234-253.

111. Kolmogorov A. La transformation de Laplace dans les espaces lineaires// C.R. Acad. Sci. Paris. 1935. - T. 200. - P. 1717-1718.

112. Koroljuk V. S., Borovskikh Yu. V. Approximation of non degenerate /"-statistics// Theory Probab. Appl.-1986.~V. 30.-P. 439-450.

113. Koroljuk V. S., Borovskikh Yu. К Rate of convergence in the central limit theorem for /Я-statistics//Theor. Probab. Math. Statist.-1991.-V. 43.-P. 79-85.

114. Koroljuk V. S., Borovskikh Yu. V. Theory of /-statistics. Kluwer, Dodrecht, 1994.

115. Landau E. Zur analytischen Zahlentheorie der definiten quadratischen Formen (Uber Gitterpunkte in einem mehrdimensionalen Ellipsoid) // Sitzber. Preuss. Akad. Wiss. 1915. - V.31. - P. 458-476.

116. Mourier E. Elements aleatoires dans un espace de Banach// Ann. Inst. H. Poincare. 1953. - Vol. 13, fasc. 3. - P. 161-244.

117. Nagaev S. V. On accuracy of normal approximation for distribution of sum of independent Hilbert, space valued random variables // In: Lect. Notes Math., B. 1021. Berlin: Springer Verlag, 1983. P. 461-473.

118. Nagaev S. V. On a new approach to the study of the distribution of a norm of a random elements in Hilbert space//Proc. 5th Intern. Vilnius Conf. Probab. Th. and Math. Stat., Vilnius, 1989. Vilnius: Mokslas; Utrecht: VSP, 1990. - V. 2. - P. 214-226.

119. Nagaev S. V. Concentration functions and approximation with infinitely divisible laws in Hilbert space.- Bielefeld, 1990.- 33 p.-(Preprint 90-094/Universitat Bielefeld).

120. Nagaev S. V. On estimates of the rate of convergence in the CLT in a Hilbert space// Workshop on Limit Theorems and Nonparametric Statistics, Bielefeld, August 24 28, 1992: Abstracts of commun. - P. 1-3.

121. Nagaev S. V., Chebotarev V. I. On asymptotic expansion for the distribution of the sum of i.i.d. Hilbert space valued random variables//1st World Congress Bernoulli Society, Tashkent, 1986: Abstracts of commun. M.: Nauka, 1986. - V.2. - P.794.

122. Nagaev S. V., Chebotarev V. I. A refinement of error estimate of the normal approximation in a Hilbert space// Siberian Math. J. 1986. -V. 27. - P. 434-450.

123. Nagaev S. V., Chebotarev V. I. On Edgeworth expansion in Hilbert space.- Vladivostok, 1989. 62 p. - (Report/The USSR Academy of Sciences, Far-East. Branch, Inst. Applied Math.).

124. Nagaev S. V., Chebotarev V. I. On Bergstrom expansion in Hilbert space.- Khabarovsk, 1990. 50 p. - (Report/The USSR Academy of Sciences, Far-East. Branch, Inst. Applied Math.).

125. Nagaev S. V., Chebotarev V. I. On the Bergstrom type asymptotic expansion in Hilbert space// Siberian Advances in Math. 1991. - V. 1, №2.- P. 130-145.

126. Nagaev S. V., Chebotarev V. I. On Edgeworth expansion in Hilbert space// Siberian Advances in Math. 1993. - V. 3, №3. - P. 89-122.

127. Nagaev S. V., Chebotarev V.I., Zolotukhin A. Ya., Masoom Ali M. On approximation of n-fold convolutions of mixtures of normal distributions // Дальневосточный математический сб. Владивосток: Дальнаука, 1997. - Вып. 3. - С. 23 - 48.

128. Nagaev S.V., Chebotarev V.I. On the accuracy of Gaussian approximation in Hilbert space// Acta Applicandae. 1999.- V.58. - P. 189-215.

129. Nagaev S. V., Chebotarev V. I. On the estimate of accuracy of normal approximation in Hilbert space. Khabarovsk, 2001. - 71 p. -(Research Report №01/55: The Russian Academy of Sciences, Far-East. Branch, Computing Centre).

130. Prawitz H. Limits for a distribution, if the characteristic function is given in a finite domain// Scand. Aktuartidskr. 1972. - V. 55. - P. 138-154.

131. Puri M. L., Sazonov V. V. On Hilbert space valued /-statistics// Theory Probab. Appl.-1991.-V. 36.-P. 604-605.

132. Rosenthal H. P. On the subspaces of Lp, (p > 2) spenned by sequences of independent random variables// Israel J. Math. 1970. - V. 8. - P. 273-303.

133. Sazonov V. V. On the u;2-test// Sankhya Indian J. Statist. 1968. -Ser. A, V. 30, part 2. - P. 205-209.

134. Sazonov V. V., On the multi-dimensional central limit theorem, Sankhya. Ser. A., 30, 2 (1968), 181-204.

135. Sazonov V. V. Normal approximation Some recent advances// Lecture Notes Math. B. 879. - Berlin: Springer Verlag, 1981.

136. Sazonov V. V., Ul'yanov V. V. An improved estimate of the accuracy of the Gaussian approximation in Hilbert space// New Trends in Probability and and Statistics.-Vilnius, Mokslas, VSP, 1991.-P. 123-136.

137. Sazonov V. V., Ul'yanov V. V. Asymptotic expansions in Hilbert space. -Aarhus, 1993. (Research reports, No. 265, Dept. Theoretical Statistics, University of Aarhus).

138. Sazonov V. V., Ul'yanov V. V., Zalesskii B. A. Asymptotic expansions refining the central limit theorem in Hilbert space// Abst. 1st World Congress Bernoulli Society, Tashkent, 1986: Abstracts of commun. M.: Nauka, 1986. - V. 2. - P. 782-783.

139. Senatov V. V. On the estimate of the rate of convergence in the central limit theorem in Hilbert space// Springer Ser. Lect. Notes Math. 1989. -1412.- P. 309-327.

140. Yarnold J. K. Asymptotic approximations for the probability that a sum of lattice random vectors lies in a convex set// Ann. Math. Stat. 1972.- V. 43, №5. P. 1566-1580.

141. Yurinsky V. V. Edgeworth type expansions for the statistics of samples with independent vector observations// Proc. 6th USSR-Japan Symposium held in Kiev, August 5-10, 1991. River Edge, NJ: World Sci. Publishing, 1992. - P. 429-441.

142. Yurinsky V. V. Characteristic functions "too far" from the origin// Siberian Advances in Math. 1994. - V.4, №2. - P. 136-150.