Газокинетические процессы при интенсивных испарении и конденсации молекулярных газов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб ОД 3 О МА* 2001

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВА ИРИНА АЛЕКСАНДРОВНА

ГАЗОКИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ИНТЕНСИВНЫХ ИСПАРЕНИИ И КОНДЕНСАЦИИ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ГАЗОВ

Специальность: 01.04.14 - теплофизика и молекулярная физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Ярославль - 2000

Работа ны полнена в Ярославском государственном педагогическом университете им. К. Д. Ушинского.

Научные консультанты:

Заслуженный деятель науки РФ, член корр. РАЕН, доктор физико-математических наук, профессор Яламов Ю.Й., доктор физико-математических наук Юшканов A.A.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Дадиванян А.К.; доктор физико-математических наук, профессор Уварова Л.А.,

доктор физико-математических наук Щукин Е.Р.

Ведущая организация:

Московский Государственный Авиационный Институт (Технический Университет)

Защи та состоится "15" июня 2000 г. в часов на заседании специализированного совета Д. 113.11.07 в Московском педагогическом университете но адресу: 107005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического университета.

Автореферат разослан " " »¿¿СЬсР 2000 года.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физ.-мат. наук,

Д.JI. Богданов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы.

Вопросы, связанные с процессами интенсивного испарения и конденсации газов, представляют большой интерес как с практической, так и с теоретической точек зрения и являются объектами многочисленных исследований. Их теоретическое изучение во многом обусловлено необходимостью создания и развития новых ресурсосберегающих и наукоемких технологий. К таким технологиям, в частности, относится вакуумные технологии. При воздействии на материалы мощным источником энергии, например лазерным излучением, возникают ситуации, когда происходит интенсивное испарение с нагреваемых участков, сопровождаемое интенсивной конденсацией на охлаждаемых участках. Таким образом, к примеру, фабрикуются тонкопленочные полупроводниковые структуры в микроэлектронике.

Исследование процессов интенсивного испарения и конденсации актуально для практических разработок теплообменного оборудования, систем комплексной тепловой защиты летательных аппаратом. Развитие авиации и ракетно-космической техники требует изучения особенностей ряда течений, которые могут возникнуть при испарении теплоносителя и его утечки но причине разгерметизации защитной оболочки атомной силовой установки вследствие тепловых перегрузок в условиях космического полета. В данном случае продукты испарения истекают в вакуум.

Широкое применение, вслед за созданием в 1961 году первых лазеров на рубине, получили методы лазерной обработки материалов (резка, отжиг), бесконтактного измерения параметров среды, определения химического состава аэрозольных веществ в конденсированной фазе. Таким образом, актуальность темы диссертации определяется важными практическими приложениями в физике аэродисперсных систем, в аэродинамике, микроэлектронике, экологии.

Цель работы.

Настоящая работа посвящена изучению кинетических процессов при интенсивных испарении и конденсации молекулярных газов. В диссертации подведены итоги исследований автора, нацеленных на:

- решение граничных задач кинетической теории интенсивного испарения молекулярных газов с плоской поверхности в собственный пар с использованием метода Мотт-Смита; определение предельной скорости испарения молекулярного газа; исследование влияния внутренних степеней свободы молекул на газодинамические граничные условия;

- развитие нелинейной кинетической теории дозвуковой конденсации одноатомных газов; построение нелинейной кинетической теории дозвуковой конденсации молекулярных газов с использованием методов нолупространствешхых моментов; учет влияния коэффициента испарения на процесс интенсивной дозвуковой конденсации;

- построение теории нелинейной сверхзвуковой конденсации одноатомных и молекулярных газов с использованием метода Мотт-Смита; исследование влияния внутренних степеней свободы на области существования стационарного решения; изучение влияния коэффициента испарения на режим сверхзвуковой конденсации;

- решение граничных задач кинетической теории стационарного интенсивного испарения одно- и многоатомных газов с поверхности малой кривизны в вакуум; анализ зависимости граничных условий от числа Кнудсена, числа внутренних степеней свободы и коэффициента испарения.

Научная новизна работы.

1. Впервые получено аналитическое решение задачи об интенсивном испарении молекулярного газа с плоской поверхности в собственный пар, дающее правильное предельное значение числа Маха, равное единице.

2. Впервые аналитически решена кинетическая задача о сильной дозвуковой конденсации молекулярных газов. Определены области существования стационарного решения уравнения Больцмана. Показано существенное влияние внутренних степеней свободы на структуру областей существования решения уравнения Больцмана. Проанализировано влияние коэффициента испарения а на параметры дозвуковой конденсации.

3. Впервые построена аналитическая теория сверхзвуковой конденсации простых и молекулярных газов на плоской поверхности с учетом

возможности существования вблизи поверхности конденсации решения типа ударной волны. Проанализировано изменение структуры областей существования стационарного решения при переходе от простого газа к молекулярному. Определены области допустимых значений параметров, характеризующих состояние газа за кнудсеновским слоем и исследована их зависимость от коэффициента испарения.

5. Аналитически решена кинетическая задача об интенсивном испарении сферической частицы в вакуум при малых числах Кнудсена О < Кп < 0,1 Получены граничные значения макропараметроп пара на внешней границе кнудсеновского слоя при интенсивном испарении одноатомного газа. Исследована зависимость граничных условий от коэффициента испарения а.

6. Впервые получены аналитические выражения для расчета граничных условий к уравнениям гидродинамики при интенсивном испарении молекулярных (двух- и многоатомных) газов при малых числах Кнудсена.

Практическая значимость заключается в том, ч то полученные граничные условия при интенсивном испарении с плоской поверхности и поверхности малой кривизны могут быть использованы для решения разнообразных задач газовой динамики, связанных с аэрокосмнческнми исследованиями, практическим использованием лазеров (или других мощных источников энергии) в современных технологических процессах.

Проведенные исследования позволяют определит!, возможные области реализации стационарных процессов до- и сверхзвуковой конденсации, а полученные результаты дают возможность рассчитывать характеристики этих процессов в конкретных приложениях и могут найти применение при разработке и проектировании теплообменного оборудования, криова-куумных систем откачки различного назначения, устройств комплексной тепловой защиты летательных аппаратов.

Построенная теория интенсивной конденсации пара также может быть применима в микроэлектронике при создании установок для нанесения тонкопленочных покрытий.

На защиту выносятся следующие результаты:

- вычисление газодинамических граничных условий при интенсивном испарении молекулярного газа с плоской поверхности в атмосферу собственного пара;

- построение теории сильной дозвуковой конденсации молекуляр-

ных газон на плоской поверхности;

- построение теории сверхзвуковой конденсации многоатомных газов на плоской поверхности с учетом возможности существования решения типа ударной волны;

- вычисление газодинамических граничных условий при интенсивном испарении молекулярного газа с поверхности малой кривизны в вакуум.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на XVI конференции стран СНГ по вопросам испарения, горения и газовой динамики дисперсных систем (Одесса, 1993 г.); на XVII и на XVIII конференциях стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 1996 г., 1998 г.); на 20st и 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Beijing, China, 1996; France, Marseille, 1998); на III Международном аэрозольном симпозиуме IAS-3 (Москва, 1996), на семинарах кафедры теоретической физики Московского педагогического университета, на научных конференциях Ярославского государственного педагогического университета.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения 1! списка литературы. Она содержит 195 страниц машинописного текста, 5 таблиц и 27 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В иериой главе диссертации "Интенсивное испарение с плоской поверхности в собственный пар" рассмотрен процесс интенсивного испарения одноатомных и молекулярных газов с плоской поверхности в атмосферу собстиенного пара.

Под интенсивным понимается испарение (конденсация), когда нормальная к поверхности раздела фаз составляющая среднемассовой скорости сравнима со звуковой скоростью.

Неравновесный характер испарения (конденсации), приводящий к сильной анизотропии функции распределения вблизи границы раздела фаз, обуславливает существование так называемого кнудсеновского слоя, примыкающего к поверхности испарения (конденсации) и имеющего толщину порядка длины свободного пробега молекул. В этом слое в результате соударений молекул происходит формирование равновесной макс-велловской функции распределения по скоростям, то есть установление

гидродинамического характера течения. Определение граничных условий к уравнениям гидродинамики, а по существу скачков параметров в кнудсеновском слое возможно только в рамках кинетической теории. В случае интенсивного испарения (конденсации) задача носит существенно нелинейный характер и ее решение осуществляется либо численными методами либо аналитически с использованием различных приближенных подходов [1,2]. Возникающий при этом вопрос о предельной скорости испарения имеет принципиальное значение и многократно обсуждался в литературе, в результате чего утвердилась точка зрения, что в случае стационарного истечения предельная скорость испарения соответствует числу Маха М, равному единице.

Задача об интенсивном испарении молекулярного газа рассматривалась в [3], где с использованием моментного метода получено аналитическое решение модельного кинетического уравнения для иолиатомного газа. Метод, предложенный в [3], дает регулярное решение при числах Маха, как меньших, так и больших единицы. В силу этого полученное в . [3] решение нельзя считать вполне достоверным по крайней мере в области чисел Маха, близких к единице. Этот недостаток отмечен и в самой работе [3].

В данной главе процесс стационарного интенсивного испарения молекулярного газа с плоской поверхности в собственный пар исследуется с применением метода Мотт-Смита [4], первоначально разработанного для описания структуры ударных волн в газах. Использование данного метода является вполне оправданным, поскольку течение газа и кнудсеновском слое при сильном испарении напоминает поведение газа и ударных волнах. Аналогия этих процессов отмечалась неоднократно, к примеру, в [5] вводится даже специальный термин "пристеночные ударные полны".

Метод Мотт-Смита эффективен для случая сильного испарения, поскольку позволяет получить аналитическое решение уравнения Больц-мана для молекулярного газа, которое дает правильное предельное значение числа Маха М = 1 и тем самым устраняет недостаток, присущий работе [3].

Известно, что для большинства молекулярных га:ю» в широком диапазоне температур вращательные степени свободы можно рассматривать квазиклассически. Это справедливо, когда "вращательный квант" Пг/23 (где ] - момент инерции молекулы) мал по сравнению с кТ. Значения Ь?/2кЗ велики лишь для легких газов (85,4 К для #2 и 43 К для Оч).

Для Ог и ЛТ2 они равны 2,1 К и 2,9 К соответственно, для HCl -15,2 К и т.д. Колебательные степени свободы вносят заметный вклад в термодинамические параметры газа при температурах, значительно более высоких, чем вращательные. Это связано с тем, что интервалы колебательной структуры термов велики по сравнению с интервалами вращательной структуры. Для примера укажем значения hw/k (где hw - колебательный квант) для некоторых газов: Я2 - ШОК, N2 - 3340К, 02 - 2230К, N0 - 2960 ЛГ, HCl- 4140К [6].

Таким образом, при условии, когда колебательные степени свободы "заморожены", в достаточно широком диапазоне температур можно квазиклассически рассматривать только вращательные степени свободы. Для этого диапазона температур характерное время обмена энергией между поступательными и вращательными степенями свободы порядка характерного времени поступательной релаксации, т.е. времени установления равновесия по поступательным степеням свободы. В таком случае внутренние степени свободы можно учесть путем изменения полной теплоемкости газа за счет вклада в нее ее вращательной составляющей. При этом считается, что влиянием вращательных степеней свободы на динамику столкновений можно пренебречь [7].

Функция распределения молекул в области формирования течения fn (п — 1,2,3 для одно-, двух- и многоатомного газов соответственно) представлена н виде

2

(1)

F

т

Здесь т - масса молекулы, к - постоянная Вольцмана, V - скорость молекул, 3 - момент инерции двухатомной молекулы, ш = (с^, - век-

тор угловой скорости вращения, Ж, ./г, «7з - главные моменты инерции многоатомной молекулы В задаче об ударной волне величины с индексом г 1 соответствуют параметрам газа перед ударной волной (сверхзвуковой поток), а величины с индексом г = 2 - за ударной волной (дозвуковой поток). В данном случае параметры с индексом % = 2 будут описывать состояние газа за кнудсеновским слоем: пг - концентрация, Ту температура, •г? - средняя скорость газа, а величины с индексом г — 1 носят вспомогательный характер п описывают состояние газа в самом слое Кнудсена, переменные ц, меняются в интервале: 0 < 1/п < оо..

Вдали от поверхности за пределами слоя Кнудсена уставапливает-сл равновесное состояние газа, функция распределения которого должна ¡?,-еть вид равновесной функции распределения со средней скоростью потока 112. Поэтому коэффициенты а\(х) и а2(ж) удовлетворяют следующим граничным условиям на бесконечности:

х оо : а\(х) = 0; а2(х) = п-х- (2)

Граничное условие на поверхности х — 0 записывается с учетом коэффициента испарения а в случае одноатомного газа и без учета коэффициента испарения в случае молекулярного газа. Параметры, характеризующие поверхность, считаются заданными: Т„ - температура поверхности, гц - концентрация насыщенного пара материала поверхности при температуре Т,.

Для решения задачи используется момсптний метод: составляется система моментных уравнений, образованных умножением З'рав-нения Вольцмана на соответствующие моменты и интегрированием по всему пространству поступательных и вращательных скоростей молекул. В качестве первых трех моментов берутся инварианты соударения ], пх, тгш2/2 + Е] (где Е3 - внутренняя энергия молекул: Е^ — 1^/2, Дз =

для которых интегральная часть моментных уравнений обращается в нуль. В качестве дополнительного момента выбирается а*. В отличие от случая ударной волны [4], решение строится только в полупространстве > 0. (В нефизической области х < 0 решение может иметь особенности.) При этом условии изменяется область допустимых значений коэффициентов а{(х) по сравнению со случаем ударной волны.

Из анализа полученного решения следует, что предельным знач нием числа Маха Mi как для одноатомного, так и для многоатомного га; является звуковая точка Мтах = 1. В работе показано, что этот результг оказывается инвариантным относительно выбора дополнительных моме! tob, Мтах не зависит также от коэффициента испарения. Вблизи предел! ной точки характерный размер области формирования течения неогрань ченно растет и стремится к бесконечности при стремлении Mi к единице Такое поведение аналогично ситуации с ударной волной, когда ее толщин неограниченно возрастает и стремится к бесконечности при М2 —> 1.

В случае испарения из трех параметров Тг/Г«, и Мп, характс

ризующих внешнее эйлеровское течение, один параметр является свобод ным. IIa рис. 1 и рис. 2 построены зависимости безразмерных температур! Тг/Т, и концентрации п^/п, газа на внешней границе кнудсеновского <;ло: от числа Маха Mi для случаев одно-, двух- и многоатомного газов (кри вые 1, 2, 3 соответственно). Кривая 3 для многоатомного газа на рис. 2 ь обозначена, т.к. она практически совпадает с кривой 2 для двухатомног газа.

Рис.1 Рис.2

Рис. 1. Зависимости безразмерной температуры газа Т2/Г5 на внешней границ, кнудссноиского слоя от числа Маха Мг для одно-, двух- и многоатомного газов (кривые 1 2, 3 соответственно). Черные точки - результаты [3].

Рис. 2. Зависимости безразмерной концентрации газа п2/п1 на внешней грани не кнудссноиского слоя от числа Маха М% для одно- и двухатомного газов (кривые 1, ! соответственно) ■

Из графиков следует, что возбуждение вращательных степеней сво боды приводит к существенному изменению температуры газа УЬ/Т? *

слабо влияет на концентрацию П2/гг3. Из рис. 1 видно, что с увеличением ] температурные зависимости для молекулярного газа смещаются в область больших значений Тг/Т, (т.е. меньших скачков температуры) по сравнению с кривой 1 для одноатомного газа. Отличие между кривыми увеличивается с ростом числа Маха и становится максимальным при М -л 1. При переходе от одноатомного газа к двухатомному максимальное изменение температуры составляет ~ 17%, а при переходе от двухатомного газа к многоатомному ~ 4%. При этом отличие полученных данных от результатов [3] не превышает 2%.

Для концентрации пг/п, наибольшее отклонение между кривыми 1 и 2, так же как для температурных зависимостей, наблюдается при М —> 1, однако по сравнению с максимальным изменением температуры максимальное изменение концентрации невелико и составляет всего около 2,5%.

Ф)/ъ Т(х)/Тг

Рис.3 Рис.4

Рис. 3. Распределение концентрации газа в квудсеновском слое л(х)/п2 для одно-и двухатомных газов (соответственно сплошные и пунктирные кривые) при различных знамениях тлела Маха: кривые 1, 4 - М2 = 0,999; 2, 5 - М^ =0,8; 3, 0 - Д/2 0, 5.

Рис. 4. Распределение температуры газа в кнудссновском слое Т(т)!'1\ для одно-, двух- и многоатомных газов (соответственно сплошные, пунктирные и штриховые кривые) при различных значениях числа Маха: кривые 1, 4 - Л/г = 0,999; 2, 5 - Л/г = 0,8; 3, 6 -Л*г ^ 0., 5.

На рис. 3 и рис. 4 представлена структура течения п неравновесном ккудсеновском слое для безразмерных концентрации п(х)/и2 и температуры Т(х)/Т2 в случаях одно-, двух- и многоатомных газов (соответственно сплошные, пунктирные и штриховые кривые) при различных значениях чне^а Маха: кривые 1, 4 - М2 = 0,999; 2, 5 - М2 = 0,8; 3, 6 - М2 = 0,5. Ось

х нормирована на среднюю длину свободного пробега молекул на внешней границе слоя Кнудсена А. При переходе от простого газа к молекулярному при числах Маха Мг, незначительно отличающихся от единицы, наблюдается немонотонность профиля температуры. Это связано с тем, что для одноатомного газа молекулы, покидающие поверхность, ускоряются в процессе межмолекулярных столкновений в кнудсеновском слое, газ при этом охлаждается. Для молекулярного газа молекулы, покидающие поверхность, в процессе межмолекулярных столкновениий, наоборот, замедляются, что приводит к нагреванию газа.

Из графиков видно, что с увеличением числа Маха область формирования течения расширяется и, как отмечено выше, неограниченно растет при Л/2 -> 1, т.е. равновесное состояние газа при Мг —> 1 не достигается.

Вторая глава диссертации посвящена построению нелинейной кинетической теории дозвуковой конденсации молекулярных газов с использованием методов полупространственных моментов. Процесс конденсации, в отличие от испарения, описывается большим числом параметров и в этом смысле является более сложной проблемой, требующей дополнительного исследования. В [8] показано, что в случае дозвуковой конденсации при М < 1 из трех параметров Т, пи М (где Т, п и М -температура, концентрация и число Маха на внешней границе слоя Кнудсена), определяющих внешнее эйлеровское течение, любые два можно задавать произвольно (при М > 1 - все зги величины), т.е. в кнудсеновском слое должна существовать одна функциональная связь F(n,T, М) ~ О, которую требуется установить. В связи с чем возрастает значение аналитических методов решения, которые позволили бы определить области допустимых значений параметров дозвуковой конденсации, при которых стационарное решение уравнения Больцмана существует.

Рассмотрим случай установившегося одномерного течения молекулярного газа. Ось х направлена по нормали к поверхности конденсации в сторону газа. Вдали от поверхности за пределами слоя Кнудсена равновесное состояние одноатомного газа описывается функцией распределения /i(v) (,'i) со средней скоростью набегающего потока и (и < 0), молекулярного газа - функцией распределения /n(v, ип) (4) (n = 2,3 для двух-и многоатомного газов соответственно):

, , V ( ГП \3/2 Г т(у-и)2\

= П \2nkT/ еХР1--2кТ / 1 {3)

/ I ( т V2 / "»(у-Ч)2 ) ...

5"ехр1--2кТ--2АГ/' (4)

92 = Ц, ^ =

53 = (¿Й^' = +

Граничное условие на поверхности х — 0 запишем в предположении, что рассеяние молекул, падающих на поверхность конденсации, носит чисто диффузный характер. В случае, когда коэффициент испарения а отличен от единицы (0 < а < 1), поток молекул, летящих от поверхности (ух > 0), должен состоять из собственно испарившихся молекул с функцией распределения а/яп и потока диффузно-отраженных молекул с функцией распределения (1 — а)Д. Исходя из вышесказанного, функцию распределения молекул, летящих от поверхности, представим в следующем виде (где п = 1,2,3- для одно-, двух- и многоатомного газов):

/+ = а/5п+ (!-«)/;, ьх > 0, (5)

= п* (¿¡к) 'ехр ' > (6) ыъ) «"^ГййГш;/' "1>0, (7)

и2 47Г1>\

3

9в 2 — 77рГ' 9в 3 =

кт; (2тгкТ3)3/2'

п

/п — /зп-П3

Здесь п8 - концентрация насыщенного пара при температуре поверхности Т5, п' - концентрация диффузно-отраженных частиц.

Задача теории заключается в том, чтобы описать поведение газа в слое Кнудсена, т.е. найти такую функцию распределения, которая, являясь решением уравнения Больцмана, переходила бы с одной стороны - в функцию распределения равновесного потока на бесконечности (3), (4), а с другой стороны - удовлетворяла бы граничным условиям на поверхности х = 0 (5). Такую функцию распределения молекул в области формирования течения аппроксимируем четырехмодальной функцией распределения с коэффициентами af (х), зависящими от координаты х:

/„(x.v.i/») = a+{x)f^n + a+(x)f+ + a^{x)f-n + ä^(x)f-, n= 1,2,3. (8)

Здесь и /" (n = 1, 2, 3) - функции распределения (4), (5) (и ф 0), заданные в полупространстве (vx > 0) и (vx < 0) соответственно. Функция распределения /8~ (vx < 0) учитывает молекулы, которые после испарения вернулись назад к поверхности в результате межмолекулярных столкновений в кнудсеновском слое.

Из граничных условий для функции распределения (4) - (7) следует:

х = 0 : aj = 1, = 0; (9)

х = оо : af = 0, Ü2 = 1, = 0, а^ = 1

Для решения задачи используется моментный метод. При этом для определения четырех неизвестных функций af(x), (г = 1,2) составляется система уравнений переноса (являющаяся следствием кинетического уравнения):

I vMv)fn(x, V, Vn)d{n)n = j Q^(v)Isld^n, (11)

dwQ = dzv, d{2)il = d3vdv2, d{3)Üs = d3vdv3,

где Isl - интеграл столкновений, а моменты Q(1(v) - есть произвольные функции скорости молекул v. Естественно, что в качестве первых трех моментов Q,i{v) (ц = 1,2,3) берутся инварианты соударения 1, vx, mv'1 /2 -f Ej (где Ej - внутренняя энергия молекул: E-i = ff/2, Ь'3 = v|/2.) для которых правая часть (11) обращается в нуль. При этом полученные уравнения представляют собой условия баланса потоков массы, импульса и энергии в произвольной точке х. В качестве четвертого дополнительного момента выбирается Q4 = v^, для которого интегрирование правой части (11) в случае максвелловских молекул может быть выполнено и аналитическом виде.

Анализ полученного решения показывает, что физически допустимая область существования решения распадается на две области: T/Ts > 1 и Т/Т, < 1.

Первоначально исследуем влияние коэффициента испарения а на параметры дозвуковой конденсации одноатомиого газа.

На рис. 5 изображены границы областей существования стационарного решения для а = 0,95; 0,9; 0,8; 0,7 (кривые 1-4). Допустимые значения параметров Т/Тя и М при каждом а. лежат выше кривых 1 -4, т.е. с уменьшением а уменьшаются размеры области существования решения. При а — 1 в заштрихованных областях решение отсутствует.

На рис. 6 построены зависимости n/ns{T/Ts) для М = 0,5, соответствующие а : 1; 0,9; 0,8; 0,7 (кривые 1 - 4).

п/п,

11

\\\ V

\ \ \з \\2 ^ 1

1,0

0,8

0,6

0,4

М

10

г/т,

Рис.5 Рис.С

Рис. 5. Границы областей существования стационарного решения для п = 0,95; 0, 9; 0,8; 0, 7 (кривые 1 - 4). Допустимые значения параметров Т/Т, и М при каждом а лежат выше кривых 1-4. При а = 1 в заштрихованных областях решение отсутс-1 пуст.

Рис. 6. Граничные значения п/п3(Т/Т,) при М = 0,5 для « -- 1; 0,9; 0,8; 0,7 (кривые 1-4 соответственно). Пунктир - результаты [9] при а = 1.

Из графиков видно, что для каждого а характер зависимости п/п,5 от Т/Т, одинаков, а именно: с увеличением температуры Т/Т, концентрация газа л/п, уменьшается, т. е. дозвуковое течение реализуется в более разреженном газе. Анализ зависимостей п/п3 от Т/Тя показывает, что изменение а сильно влияет на значения температуры Т/7], и концентрации п/п3 и, как следует из решения, это влияние тем существенней,

чем больше число Маха М. С уменьшением а для реализации дозвукового режима конденсации требуется все большее отношение давлений p/ps.

Рассмотрим структуру областей существования стационарного решения при сильной дозвуковой конденсации молекулярного газа. На рис. 7 области допустимых значений параметров М и Т/Т,, при которых существует решение уравнения Больцмана для одно-, двух- и многоатомных газов, изображены штриховкой. Для простоты анализа целесообразно рассмотреть два случая: Т/Та > 1 и T[TS < 1. Рассмотрим случай Т/Т3 > 1. Область существования решения для одноатомного газа (j = 0) обозначена цифрой 1 (косая штриховка). При переходе к молекулярному газу с j — 2 область существования 1 расширяется: к ней добавляется область 2 (вертикальная штриховка). При переходе к многоатомному газу с j = 3 к области существования добавляется область 3 (горизонтальная штриховка).

Рис. 7. Области существования решения уравнения Больцмана (изображены штриховкой) при сильной дозвуковой конденсации одно- двух- и многоатомных газов.

В случае T/Ts < 1 область существования молекулярного газа с j = 3 обозначена 3' (горизонтальная штриховка). Область существования с j — 2 шире, она включает область 2' (вертикальная штриховка), а для одноатомного газа область существования наряду с областями 3' и 2' включает еще и область 1' (косая штриховка).

Процессы испарения и конденсации многоатомных газов при малых числах Кнудсена исследовались в [10]. В этой работе хотя и не определены граничные значения параметров газа, однако на основании наиболее общих следствий уравнения Больцмана (законов сохранения и Н-теоремы)

даны точные оценки погрешности решения, что позволяет оценить степень достоверности результатов, полученных в рамках других подходов.

На рис. 8 сравниваются результаты данной работы с результатами [10] для двухатомного газа (7 = 5/7) в координатах М, (р — р3)/р (где р — пкТ, рц = пвкТя). Область а соответствует областям 1 и 2, изображенным на рис.7 для случая Т/Т3 > 1, область Ь - областям 2' и 3' для случая Т/Тч < 1. Видно, что обе области а и Ь располагаются внутри интервала предельно допустимых значений параметров Мты(р,Т) < М < Мтах(р,Т), полученного в [10].

Рис. 8. Интервалы допустимых значений М(р') при 7 = 7/5 (области а и Ь, ограниченные кривыми 1); кривые 2 - результаты [10].

На рис. 9 построены зависимости концентрации газа n/n, от температуры Т/Тя при различных значениях числа Маха (штриховые кривые соответствуют значению М —0,7, сплошные кривые - значению М = 0,9) для случаев одно-, двух- и многоатомного газов (кривые 1, 2, 3 соответственно). Из графиков видно, что учет вращательных степеней свободы приводит к тому, что при заданном значении числа Маха М кривые 2, 3, соответствующие двух- и многоатомным газам, смещаются в область меньших значений параметров Т/Т, и тг/п3, по сравнению с кривыми 1 для одноатомных газов. С ростом числа Маха М кривые п/пя(Т/Т3) как для одноатомного, так и для многоатомных газон сдвигаются в сторону больших перепадов температуры T/Ts и концентрации п/пя. При этом для данного значения температуры T/Ts отличие в значениях концен-

трациу п/п3 между одноатомными и многоатомными газами растет с ростом числа Маха М.

п/п„

4

2

1 3 5 T/Ts

Рис. 9. Параметры газа за кнудсеновским слоем при сильной дозвуковой конденсации (ппрнхоиие кривые - М = 0,7, сплошные - М = 0,9) для одно-, двух- и многоатомных газон (крипые 1, 2, 3 соответственно).

Анализ результатов показывает, что возбуждение внутренних степеней свободы оказывает существенное влияние на структуру областей существования решения уравнения Больцмана. Из результатов работы следует, что при заданных значениях числа Маха и температуры Т/Т, концентрация газа n/ns за слоем Кнудсена уменьшается с ростом числа вращательных степеней свободы. При переходе от одноатомного газа к двухатомному максимальное изменение концентрации n/ns вблизи М — 1 в допустимом диапазоне температур составляет ~ 36 %. При этом отличие между параметрами двухатомных и многоатомных газов не превышает ~ 8%.

Третья глава диссертации посвящена построению теории сверхзвуковой конденсации молекулярных газов на плоской поверхности. В режиме сверхзвуковой конденсации газа (М > 1) на бесконечности можно задавать все три параметра Т, п, М, характеризующих течение. Из вышесказанного, конечно, не следует, что при произвольно заданных значениях этих параметров уравнение Больцмана имеет стационарное решение. Как отмечается в работе [11], в настоящее время о существований решений можно судить лишь на основе их конкретного построения.

Режим сверхзвуковой конденсации допускает существование ударной волны перед поверхностью конденсации, переводящей сверхзвуковой поток в дозвуковой. Отметим, что в случае дозвуковой конденсации это не так, и решения с выделенной ударной волной не существует. Положение центра ударной волны - это дополнительный параметр, который и обуславливает преобразование поверхности допустимых параметров при дозвуковой конденсации в некоторую область параметров при сверхзвуковой конденсации. Таким образом, область существования возможных решений должна представлять собой подпространство в пространстве Т, п и М. Справедливость этого утверждения подтверждают расчеты, выполненные в работе [11] методом прямого статистического моделирования Монте-Карло.

Внутренние степени свободы молекул учитываются аналогично тому, как это делается в задаче о сильном испарении и дозвуковой конденсации молекулярных газов (глава 1, глава 2): квазикласснчсски рассматриваются только вращательные степени свободы (колебательные степени свободы считаются "замороженными"). Учет внутренних степеней свободы производится путем изменения полной теплоемкости газа за счет вклада в нее вращательной составляющей. Влиянием вращательных степеней свободы на динамику столкновений пренебрегается.

Рассматривается случай установившегося одномерного течения молекулярного газа вдоль оси х, направленной по нормали к поверхности конденсации в сторону газа.

Функция распределения в области формирования течения должна интерпретироваться как функция распределения, описывающая структуру ударной волны в газе. Согласно методу Мотт-Смита [<1] такая функция распределения /„,„ (п = 1,2,3 для одно-, двух- и трехатомного газов соответственно) имеет следующий вид:

т(\ — »¡)2

2 к'Г,

(12)

2

р

1 пг

ГП(У — и])2

2кТ;

•ж

4тп

•';з' = (2тг'¿У)з/2' = ^^ + ^ + ^

Здесь ?и - масса молекулы, к - постоянная Больцмана, V - скорость молекул, 3 - момент инерции двухатомной молекулы, ш — -

вектор угловой скорости вращения ( —оо<ц)1<оо,—оо<ш2<оо, —оо < и>з < оо), ■/), ./г, Jз - главные моменты инерции трехатомной молекулы. В задаче об ударной волне величины с индексом г = 1 характеризуют параметры газа перед ударной волной (сверхзвуковой поток), а величины с индексом г = 2 - за ударной волной (дозвуковой поток). В данном случае параметры с индексом г — 1 будут описывать состояние газа за кнудсеновским слоем: п\ - концентрация, '1\ температура, их -средняя скорость газа (щ < 0), а величины с индексом г = 2 носят вспомогательный характер и описывают состояние газа в самом слое Кнудсена, переменные меняются в интервале: 0 < ип < оо.

Вдгиш от поверхности конденсации газ находится в равновесном состоянии, функция распределения которого должна иметь вид равновесной функции распределения со средней скоростью набегающего потока щ. Поэтому коэффициенты а] (ж) и а2{х) удовлетворяют следующим граничным условиям на бесконечности:

х -» оо : (11 (х) = щ; а2(х) — 0. (14)

Учитывая анизотропию функции распределения в кнудсеновском слое, введем следующее обозначение:

/.(*-<>,»,*)-{£; и

Функция распределения молекул, летящих от поверхности, имеет вид (5). Функция распределения молекул, падающих на поверхность конденсации, аппроксимируется выражением:

/п = + £/*„, < 0. (19)

Здесь Р и £ - коэффициенты пропорциональности, для которых существует единственное ограничение: (3 > 0, £ > 0. Коэффициент /3 соответствует вероятности молекул, летящих из объема, достигнуть стенки.

Функция распределения (19) кроме функции распределения с параметрами, характеризующими состояние газа за кнудсеновским слоем, включает функцию распределения с параметрами поверхности /_,п (ьх < 0). Тем самым производится учет молекул, испущенных поверхностью и отраженных обратно к поверхности в результате межмолекулярных столкновений в кнудсеновском слое. При этом коэффициент £ соответствует вероятности испущенных молекул за счет столкновений вернуться на стенку.

Уравнение Больцмана для функции /„.„ решается с использованием моментного метода аналогично тому, как это делается в задаче о сильном испарении в главе 1.

В случае максвелловских молекул решение имеет следующий вид:

Л1

^ = 1 + А0ехр (Ьх) <21>

г = 1Ё / 2\ 1/2 (3 + зУ!г{5 + Л1'2 ¡(5 + №1 ~ ЩМ? ~ 1) М2 , 15 и/ (2+Я(4+ Л [(5 + з)М1 + 3 + У] М? '

4 у/Щ 15 Ап2У/А-КК

Здесь Ао - постоянная интегрирования, Л - длина свободного пробега молекул за кнудсенопским слоем, А и К - константы, характеризующие взаимодействие между молекулами [12], У-число внутренних степеней свободы молекулы {] = 0,2,3 для одно-, двух- и трехатомных газов соответственно).

Параметры П1, Т\, М\, входящих в коэффициенты П](а:) и а2{х) связаны с параметрами п2, Т2, М2 известными соотношениями Гюгонио-Ренкина [4].

При Ло > 0 решение (20), (21) описывает ударную волну. Оно существует при всех значениях х. В случае конденсации решение ищется только в полупространстве х > 0, поэтому достаточно потребовать, чтобы выражения (20) и (21) были аналитичны при х > 0. (В нефизической области х < 0, в отличие от случая ударной волны, решение может иметь особенности.) Последнее условие является менее жестким и даст еще один

интервал допустимых значений постоянной интегрирования: А() < —1. Соответствующее решение (20), (21) с Ло < —1 назовем "квазиударной волной". "Кпазиударная волна" по математической структуре решения кинетических уравнений сходна с ударной волной, но отличается граничными условиями. Она существует, в отличие от ударной волны, только вблизи поверхности конденсации.

На границе раздела фаз (х = 0) выполняются условия сохранения потоков массы, импульса и энергии, которые позволяют определить коэффициент!,1 £ и (3 и постоянную интегрирования Ло как функции четырех независимых параметров Т\/Т8, п\/п3, Му, а. Выше отмечалось, что постоянная интегрирования может принимать следующие значения: Ло > 0 и Ло < — 1, кроме того, концентрация молекул, летящих к поверхности, должна быть положительной. Эти условия вместе с условиями £ > 0, (3 > 0 при каждом а определяют области допустимых значений параметров 1\/Тя, щ/пв и М\, т.е. выделяют то подпространство в пространстве ад, П]/и„, и Мь где существует решение уравнения Больцмана (20), (21).

Первоначально рассмотрим случай а ~ 1. На рис. 10 изображены области существования решения уравнения Больцмана для числа Маха М\ = 1,1 в случаях одно- {] = 0), двух- {] = 2) и трехатомных {] — 3) газов. В заштрихованных областях решение отсутствует. Область существования решения с ударной волной (Ло > 0) расположена между сплошными кривыми 1 для простого газа, штрих-пунктирными 2 для двухатомного и штриховыми 3 для трехатомного газов.

"Квазиударная волна" (Ло < — 1) при М\ = 1,1 существует в неза-штрихонанной области (выше и ниже ударной волны), ограниченной снизу по Тх/Т3 в случае простого газа кривой 1'. При переходе к молекулярному газу граница области существования решения незначительно сдвигается вверх. На рис. 10 штриховая кривая 3' построена для трехатомного газа. Кривая для двухатомного газа на рис. 10 не изображена, из расчетов следует, что она будет располагаться между сплошной и штриховой кривыми.

С ростом числа Маха структура областей существования решений изменяется, что показано на рис. 11 - 13. для М\ = 1,65, л' = 0, э — 2, 3 соответственно. Решение с ударной волной существует в области I (рис. 11 - 13) при Ло > 1. Соответствующие расчеты показывают, что область I ограничена сверху, однако в выбранном масштабе верхняя граница изо-

бражена только на рис. 12 и рис. 13.

М] = 1,1

6 8 щ/пз

ъ/т8

15

10

к*

1 2 //

Рис. 10

0 2 4 6 8 щ/пэ Рис. 11

Г,/7}

Тг/Т8

15

10

Мх =1,65

«1 /"5

'10 8 п\/пз

Рис. 12

Рис. 13

"Квазиударная волна" существует только в незаштрихованной области II. При переходе от простого газа к молекулярному (что соответствует "эффективному" уменьшению М\) размер данной области уменьшается. В заштрихованных областях решение отсутствует.

В работе [11] представлены результаты численных расчетов методом прямого статистического моделирования Монте-Карло, выполненные для трех различных точек в пространстве М], Т]/Т,, р\/р$'. 1 - М\ = 1,65 ;

TY/TS = 1,02; Pl/Ps = 1,493; 2 - M, = 1,65; T,/Ts = 1,02; Pl/Pa = 2,5; 3 - Mi = 2,5; Ti/T, = 1,02; Pl/Ps = 1,493, где Pï = mfcïi, = пакТя. Эти результаты попадают в интервалы допустимых значений параметров. На рис. 11 точки 1 и 2 обозначены соответственно цифрами 1 и 2. Отметим, что именно впервые обнаруженная в данной работе структура течения с " квазиударной волной" позволила согласовать полученные теоретические результаты с результатами численных расчетов [11].

В данной главе проводится исследование влияния коэффициента испарения a на параметры сверхзвуковой конденсации простого газа на плоской поверхности.

На рис. 14 и 15 построены кривые 1, 2, 3, ограничивающие области существования стационарного решения с квазиударной волной для различных значений коэффициента испарения a: кривая 1 - a = 0,8; 2 -a = 0,6; 3 - a = 0,4. Числа Маха соответствуют выбранным на рис. 10 и 11: рис. 14 - M1 = 1,1, рис. 15 - М\ = 1,65. При этом допустимые значения параметров T\/Ts и n\/ns при каждом a лежат выше кривых 1, 2, 3.

Ti/Ts

15

10

Mi = 1,1

1 - a = 0,8

2 - a = 0,6

3 - а = 0,4

—г-6

8 ni/ns

Ъ/Тд 15

10

Ml = 1,65

1 - a = 0,8

2 - а = 0,6

3 - a = 0,4

6 8 n\/ns

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 14. Области существования решения уравнения Больцмана при сверхзвуковой конденсации одноатомного газа в зависимости от коэффициента испарения а при М\ — 1,1, ограниченные снизу кривыми 1, 2, 3 для а = 0,8; 0,6; 0,4 соответственно.

Рнс. 15. Области существования решения уравнения Больцмана при сверхзвуковой конденсации одноатомного газа в зависимости от коэффициента испарения о при М\ = 1,65, ограниченные снизу кривыми 1, 2, 3 для о = 0,8; 0,6; 0,4 соответственно.

Следует отметить, что построенные на рис. 10 и 11 области существования решения с ударной волной (обозначены римской цифрой I) с

3

умоньшением коэффициента испарения а. смещаются в направлении больших перепадов температуры T\/Ts и концентрации n\/ns. На рис. 14 и 15 они не изображены, так как уже при а = 0,8 выходят за пределы рассматриваемого диапазона значений макропараметров T\jTs и n\/ns.

Из рис. 14 и 15 видно, что границы области существования решения с "квазиударной волной" с уменьшением значения а сдвигаются в сторону больших значений 7\/Т, и «¡/гг.,, тем самым увеличивается размер области, где решение отсутствует. Такое смещение границ выражено тем сильнее, чем ближе значение М\ к единице.

В работе [13] экспериментально реализовано натекание сверхзвукового потока воздуха (78% N2, 21% 02, 1% Ат) при = 2,8, Tœ = 192А", Роо = 4-Ю-3 мм рт. ст. на поверхность, охлаждаемую жидким гелием (процесс натекания осуществляется так, что течение можно считать сплошным и одномерным). Эксперимент проводился при температуре поверхности конденсата Ts от 4,2 К до 38 К. При таких низких температурах условия применимости квазиклассического приближения, используемые в данной работе, не выполняются. Тем не менее, наблюдается согласие теоретических результатов с экспериментальными данными: параметры стационарного процесса, наблюдаемые в эксперименте, соответствуют допустимым параметрам конденсации, полученным из теоретических расчетов.

Четвертая глава посвящена определению граничных условий к уравнениям газодинамики при интенсивном испарении молекулярного газа с поверхности сферической частицы в вакуум при малых числах Кнуд-сена (0 < Кп < 0,1).

При численном моделировании процесса интенсивного испарения одноатомного газа в [14, 15] показано, что при числах Кпудсена Кп -С 1 (Кп = A/ro, А - средняя длина свободного пробега молекул вблизи поверхности испарения, го - радиус частицы) размер области формирования течения в окрестности частицы в расширяющемся потоке много больше А, что соответствует гидродинамическому характеру течения, т.е. при Кп <С 1 справедливо навье-стоксовское описание с поправкой на кинетические граничные условия. "Установление связи между параметрами конденсированной и газовой фазы, а фактически скачков параметров в кнуд-сеновском слое, возможно только в рамках кинетической теории.

Параметры, характеризующие частицу, считаются известными: Т температура поверхности частицы, па - концентрация насыщенного п'

при температуре Т3. Рассматривается случай установившегося сферически-симметричного разлета испаренного вещества при числах Прандтля Рг — 3/4. Используется трехслойная модель течения: неравновесная область вблизи источника сшивается с областью невязкого сверхзвукового течения газа, описываемого уравнениями Эйлера, через прослойку вязкого течения с числом Маха М ~ 1 [16]. Колебательные степени свободы считаются "замороженными", а вращательные рассматриваются квазиклас-сически.

Функцию распределения в объеме газа представим функцией Чеп-мена-Эиского, которая в линеаризованном варианте имеет вид [17]:

/ = /п(1 + Ф + Фп), п = 1,2,3; (22)

г то \ 3/2 П \27гкТ/ еХР

Г тс21 1~2кТ}

тос 2кТ

2кТ )

2,3

1/2

92'^кТ'

93

4тг4

(2тг кТ)*!*'

"а — // + = уЛо»! + + с73о;|,

Ф =

и\ 1 771

¿г ~ г) р2кТ

Ф,,

с„рТ йг

«в + <

2

тс 2кТ

1,2,3.

где индексы п = 1) 2,3 относятся соответственно к одно-, двух- и многоатомным газам, Ф и Ф„ - вязкостный и теплопроводный члены; з - число внутренних степеней свободы {'] — 0, 2, 3 для одно- , двух- ч многоатомного газов); тп - масса молекулы; 3 - момент инерции двухатомной молекулы; «Д, «7з - моменты инерции многоатомной молекулы; V, и) — (и]\,и>2,и1з) - скорости поступательного и вращательного движения молекулы; и и с = V — и - средняя и тепловая скорости молекул; р, я и Т - давление, концентрация и температура газа; ?/ и эе - коэффициенты

г

3

вязкости и теплопроводности; ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении.

Задача решается в максвелловском приближении, а именно: считается, что функция распределения молекул, падающих на поверхность испарения, не искажается в кнудсеновском слое, т.е. совпадает с объемной функцией распределения (22). Граничное условие на поверхности г = г о записывается с учетом коэффициента испарения а в виде (5).

Градиенты термодинамических величин, входящих в функцию распределения, находятся из решения уравнений Навье-Стокса для внутрен-т.еЧ области течения, примыкающей к поверхности испарения [16]. Кнуд-сеновский слой считается бесконечно тонким в рассматривается как по-рерхность газодинамического разрыва, при переходе через которую выполняются законы сохранения потоков массы, импульса и энергии. Эти условия позволяют, не решая уравнения Больцмапа, получить связь параметров поверхности Ts, ns с параметрами пара То, щ, A1q на границе газодинамической области течения.

Первоначально рассмотрим случай а ~ 1. I 'слультаты расчетов граничных значений макропараметров для одно- , двух- и многоатомного газов (j = 0,2,3 соответственно) приведены в таблице 1.

При Кп —> 0 число Маха А10. температура 7<j/Ts и концентрация пц/пц стремятся к предельным значениям, которые в случае одноатомного (j = 0) и двухатомного (j = 2) газа вполне удовлетворительно согласуются с результатами [18] при Кп 0: j = 0 - М0 = 0.423, T0/Ts = 0,838, щ/щ = 0,645;. j = 2 - М0 = 0.415, Т0/Т5 = 0,913, щ/п, = 0,661 и результатами [14] при Кп = 0.005: j = 0 - М0 - 0.398, Г - 0.826, N = 0.614.

Из таблицы видно, что в случае молекулярного газа также, как и в случае одноатомного газа с увеличением числа Кнудсена Кп растет число Маха Mo и уменьшаются безразмерные температура То/Т, и концентрация газа п$/па, т.е. скачки температуры и концентрации п слое Кнудсена возрастают.

Сравнение полученных результатов для одноатомного и молекулярного газов при одинаковых числах Кнудсена показывает, что возбуждение вращательных степеней свободы оказывает существенное влияние на ¡'р-алтчные значения температуры газа То/Т,, что приводит к ее возрастанию (уменьшению скачка) и слабо сказывается на концентрации no/ns ¡'отличие в результатах не превышает 1,5% для двухатомного газа и 2% многоатомного газа при всех рассматриваемых числах Кнудсена Кп).

Таблица 1. Граничные значения числа Маха А/о, безразмерных температуры То/71,, и концентрации щ/п3 газа при интенсивном испарении сферической частицы о вакуум в случае одно- = 0), двух- 0' = 2) и многоатомного (] = 3) газов.

Кп j = 0 j = 2 j = з

Mo Т0/Т3 Tl0/nS М0 To/Ts n0/ns M0 To/Ts n0/ns

Кп -> 0 0,386 0,911 0,664 0,404 0,942 0,663 0,410 0,950 0,663

10~4 0,388 0,910 0,661 0,407 0,941 0,661 0,413 0,949 0,661

ю-3 0,398 0,907 0,654 0,418 0,939 0,654 0,424 0,947 0,654

0,0025 0,410 0,903 0,648 0,430^ 0,936 0,647 0,437 0,945 0,646

0,005 0,425 0,897 0,638 0,447 0,932 0,637 0,454 0,941 0,636

0,01 0,450 0,888 0,624 0,477 0,924 0,620 0,484 0,935 0,619

0,02 0,500 0,868 0,597 0,528 0,911 0,593 0,537 0,923 0,590

0,03 0,55(Г 0,847 0,573 0,577 J 0,897 0,568 0,586 0,911 0,560

0,04 0,590 0,829 0,555 0,622 0,884 0,547 0,632 0,899 0,5'i5n

0,05 0,632 0,811 0,537 0,665 0,871 0,529 0,675 0,888 0,526

0,06 0,670 0,794 0,522 0,703 0,858 0,513 0,713 0,877 0,510

0,07 0,700 0,780 0,511 0,735 0,848 0,501 0,745 0,868 0,498

0,08 0,732 0,764 0,499 0,762 0,838 0,491 0,771 0,860 0,488

0,09 0,755 0,752 "ÖT49T 0,782 0,830 0,484 0,791 0,853 0,481

0,1 0,774 0,742 0,486 0,798 0,824 0,479 0,806 0,848 0,476

Влияние внутренних степеней свободы на температуру газа растет с увеличением числа Кнудсена. Так при переходе от одноатомного газа к двух- и многоатомному в случае Кп -Л 0 максимальное изменение температуры составляет соответственно 3,4% и 4,4%, а в случае Кп = 0,1 такие отклонения достигают 11 % и 14% соответственно.

Рассмотрим случай а ф 1 для одноатомного газа. Из решения следует, что коэффициент испарения а влияет только на граничное значение концентрации пара п/п3. На рис. 16 представлены зависимости n/ns(ot) при различных значениях числа Маха Mq. При данном значении Mq с уменьшением коэффициента испарения а концентрация пара n/ns монотонно уменьшается и стремится к нулю при а —» 0.

Отмстим, что учет скачков граничных параметров в кнудсеновскоы слое при испарении сферической частицы в вакуум в квазистационарпом режиме приводит к увеличению времени испарения частицы по сравнению со случаем, когда эти скачки не учитываются. Так, например, дл*-:. частицы воды радиусом го — 5,9 мкм при температуре t — 200°С время испарения при учете граничных условий возрастает в 3,4 раза и составля

ет 4,1 мкс, а для частицы ртути радиусом го = 9 мкм при температуре í = 600°С время испарения с учетом скачков параметров в слое Кнудсена увеличивается в 3,7 раза и составляет 28 мкс.

Рис.16. Зависимость безразмерной концентрации газа щ/п, на границе кнудсеновского слоя от коэффициента испарения а: кривая 1 соответствует Мо = 0.5; 2 - Мц = 0.6; 3 -М„ - 0.7.

Основные результаты и выводы

1. Методом Мотт-Смита решена кинетическая задача о сильном испарении молекулярного газа с плоской поверхности в собственный пар. Показано, что предельной скоростью испарения как для одноатомного, так и для многоатомного газа является звуковая скорость, т. е. максимальное значение числа Маха Мтах = 1.

2. Исследована структура течения в неравновесном кнудсеновском слое. Получены аналитические выражения для расчета температуры и концентрации одно-, двух- и многоатомного газов в области формирования течения. Показано существенное влияние внутренних степеней свободы молекул на температуру испаряющегося газа.

3. Предложено развитие нелинейной кинетической теории дозвуковой конденсации одноатомного газа на плоской поверхности с использованием метода полупространственных моментов. Для данного метода аналитически рассчитаны области допустимых значений параметров, характеризующих состояние одноатомного газа за кнудсеновским слоем.

Проанализировано влияние коэффициента испарения а на параметры конденсации. Показано, что а влияет не только на граничные значения параметров газа за кнудсеновским слоем, но и на структуру области существования стационарного решения.

4. Построена нелинейная кинетическая теория дозвуковой конденсации молекулярных газов на плоской поверхности. Определены области допустимых значений параметров конденсации, при которых решение уравнения Больцмана существует. Показано, что возбуждение внутренних степеней свободы оказывает существенное влияние на структуру областей существования решения уравнения Больцмана.

Получены аналитические выражения для вычисления концентрации газа за кнудсеновским слоем в зависимости от числа Маха и температуры для случаев одно-, двух- и многоатомных газов.

5. Методом Мотт-Смита решена кинетическая задача о сверхзвуковой конденсации одноатомного газа на плоской поверхности с учетом возможности существования решения типа ударной волны.

Определены области допустимых значений макроскопических параметров, характеризующих состояние газа вне слоя Кнудсена в случае одноатомного газа. Исследовано изменение структуры областей существования решения уравнения Больцмана при изменении числа Маха и ко-

»ффициента испарения а. Показано, что с уменьшением коэффициента испарения а размер области существования стационарного решения сокращается.

6. Построена нелинейная кинетическая теория сверхзвуковой конденсации молекулярного газа на плоской поверхности. Определены области допустимых значений параметров, характеризующих состояние газа за кнудсеновским слоем для случаев двух- и многоатомных газов. Проанализировано изменение структуры областей при переходе от простого газа к молекулярному. Показано существенное влияние возбуждения вращательных степеней свободы молекул на режим сверхзвуковой конденсации молекулярного газа.

7. Показано, что для молекулярного газа при уменьшении числа Маха М\ решение с ударной полной реализуется в более разреженном газе. Аналогичное поведение наблюдается при переходе от простого газа к молекулярному, следовательно изменения структуры областей существования решения, вызванные возбуждением внутренних степеней свободы молекул, связаны с "эффективным" уменьшением числа Маха М\.

8. Решена кинетическая задача об интенсивном испарении сферической частицы в вакуум при малых числах Кпудсена 0 < Кп < 0,1. Получены аналитические выражения для расчета граничных значений макропараметров пара на внешней границе кнудсеновского слоя при интенсивном испарении одноатомного газа. Исследована зависимость граничных условий от коэффициента испарения а. Показано, что коэффициент испарения а при заданном значении Mq оказывает влияние только на концентрацию пара щ/п3 на границе кнудсеновского слоя (и не влияет на температуру To/Ts).

9. Получены аналитические выражения для расчета граничных условий к уравнениям гидродинамики при интенсивном испарении молекулярного (двух- и трехатомного) газа при малых числах Кнудсена.

10. Показано, что как в случае простого, так я в случае молекулярного газов с увеличением числа Кнудсена Кп растет число Маха Mo и уменьшаются безразмерные температура Tq/Ts и концентрация газа по/п,, т.е. скачки температуры и концентрации в слое Кнудсена возрастают.

Показано, что возбуждение внутренних степеней свободы молекулярного газа приводит к заметному уменьшению скачка температуры и слабо влияет на концентрацию газа на границе кнудсеновского слоя.

Цитируемая литература

1. Кузнецова И.А., Юшкаяов А.А., Яламов 10.И. К вопросу о сс стоянии бинарной газовой смеси вблизи испаряемой поверхности при ин тенсивном испарении // ТВТ. 1991. Т. 29. N.1. С. 128-133.

2. Кузнецова И.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. К вопросу об ин тенсивном поверхностном испарении // ТВТ. 1991. Т. 29. N. 5. С. 1038.

3. Cercignani С. Strong evaporation of a polyatomic gas // Int. Symp on Rarefied Gas Dynamics. N.Y. 1981. V.l. P,305-320.

4. Мотт-Смит Г.// Решение уравнения Больцмана для ударной волны Механика. 1953.N 1. С.72-85.

5. Коган М.Н. Некоторые вопросы молекулярной газовой динамики // Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике / Изд. отдел ЦАГИ. 1977. С. 55-100.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. Т.5. М. Наука, 1976. 584 с.

7. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М. Наука, 1989. 336 с.

8. Абрамов А.А., Коган М.Н. Сильная дозвуковая конденсация одноатомного газа.// Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. N 1. С.165-169.

9. Крюков А.П. Влияние коэффициента конденсации на течение пара с до- и сверхзвуковыми скоростями // Изв. РАН. МЖГ. 1988. N. 2. С.189-192.

10. Бронин С.Я., Полшцук В.П. Кнудсеновский слой при испарении и конденсации // ТВТ. 1984. Т. 22, N 3. С. 550-556.

11. Абрамов А. А., Коган М.Н. О режиме сверхзвуковой конденсации газа.// Докл. АН СССР. 1984. Т.278. N 5. С.1078-1081.

12. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. М.: Наука, 1967. 440 с.

13. Mayer Е., Tracy R., Collins J.A., Triplett M.J. Condensation of rarefied supersonic flow incident on a cold flat plate // Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y. 1966. V. 2. P. 329-259.

14. Sone Y., Sugimoto H. Kinetic theory analysis of steady evaporating flows from a spherical condensed phase into a vacuum // Phys. Fluids A. 1993. V. 5. N. 6. P. 1491-1511.

15. Булгакова H.M., Плотников М.Ю., Ребров А.К. Моделирование стационарного испарения в вакуум // Изв. РАН, МЖГ. 1997. N. 6. С. 137143.

к

16. Sakurai A. Three-dimensional steady, radial flow of viscous, heat-conducting, compressible fluid // Quart. Journ. Mech. and Applied Math. 1958. V. XI. Pt. 3. P. 274-289.

17. Латышев А.А., Юпшанов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в газе с вращательными степенями свободы // Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 5. N. 3. С. 530-590.

18. Edwards R.H., Collins R.L. Evaporation from a spherical source into a vacuum //Int. Symp. on Rarefied gas dynamics. N.Y. Acad. Press. 1969. V.2 P. 1489-1496.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Кузнецова И.А., Юшкапов А.А., Яламов Ю.И. Применение метода Мотт-Смита к решению задачи о сильном испарении с плоской поверхности.// Теплофизика высоких температур. 1992. Т.30. N 2. С.345-350

2. Кузнецова И.А., Юшканов А.А. Граничные условия при интенсивном испарении молекулярного газа с плоской поверхности // XVI конференция стран СНГ по вопросам испарения, горения и газовой динамики. Тезисы докладов. Одесса. 1993. с. 108-109.

3. Кузнецова И.А., Югаканов А.А. Граничные условия при сильном испарении сферической частицы в вакуум // Теплофиз. высок, температур. 1993. Т. 31. Т. 1. С. 73-77.

4. Кузнецова И.А. Сильное испарение молекулярного газа // Дисперсные системы. XVII конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 1996. С.112-113.

5. Кузнецова И.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Сильная конденсация молекулярного газа // Дисперсные системы. XVII конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 1996. С.114-115.

6. Кузнецова И.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Состояние газа вблизи поверхности в режиме дозвуковой конденсации // Теплофиз. высок. температур. 1996. Т.34. N 4. С.614-618.

7. Yu. Yalamov, A. Yushkanov, I. Kuznetsova. One-dimensional supersonic condensation // 20st Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Beijing. China. Book of Abstract. 1996. K13.

8. Кузнецова И.А., Югаканов А.А., Яламов Ю.И. Сверхзвуковая конденсация одноатомного газа с учетом коэффициента испарения. // Международный аэрозольный симпозиум IAS-3. Москва. Аэрозоли. 1996. N7.

С.10-11.

9. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Сверхзвуковая конденсация одноатомного газа // Теплофиз. высок, температур. 1997. Т.35. N 2. С.342-346.

10. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Сильная дозвуковая конденсация одноатомного газа с учетом коэффициента испарения // Изв. РАН. МЖГ. 1997. N. 2. С. 183-190.

11. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Сильная конденсация молекулярного газа // Изв. РАН. МЖГ. 1997. N. 6. С. 168-174.

12. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Влияние коэффициента испарения на сильную конденсацию одноатомного газа// Ж. техн. физ., 1997. Т. 67. N. 10. С. 21-25.

13. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Граничные условия при интенсивном испарении сферической частицы // Дисперсные системы. XVIII конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 1998. С 90-91.

14. Kuznetsova I., Yalamov Yu., Yushkanov A. One-dimensional supersoni condensation // 21st Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. France. Marseille. Book of Abstract. V. 2. P. 148-149.

15. Жаров A.H, Кузнецова И.А., Юшканов A.A. Интенсивное испарение молекулярного газа // Теплофиз. высок, температур. 1998- Т. 36. N. 1. С. 113-119.

16. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Сверхзвуковая конденсация молекулярного газа // Теплофиз. высок, температур. 2000. Т. 38. N. 4. С.

17. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Интенсивное испарение со сферической поверхности в вакуум с учетом коэффициента испарения // Теплофиз. высок, температур. 2000. Т. 38. N. 5. С.

Введение.

Глава 1 ИНТЕНСИВНОЕ ИСПАРЕНИЕ С ПЛОСКОЙ

ПОВЕРХНОСТИ В СОБСТВЕННЫЙ ПАР

1.1 Обзор исследований по проблеме интенсивного испарения с плоской поверхности.

1.2 Применение метода Мотт-Смита к решению задачи об интенсивном испарении с плоской поверхности.

1.3 Граничные условия при интенсивном испарении одноатомного газа с учетом коэффициента испарения

1.4 Интенсивное испарение молекулярного газа.

1.5 Анализ полученных результатов.

Глава 2 СИЛЬНАЯ ДОЗВУКОВАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

ГАЗА НА ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

2.1 Постановка задачи и обзор ранее полученных результатов

2.2 Интенсивная дозвуковая конденсация одноатомного газа на плоской поверхности с учетом коэффициента испарения.

2.3 Структура областей существования стационарного решения при сильной дозвуковой конденсации одноатомного газа.

2.4 Влияние коэффициента испарения на структуру областей существования стационарного решения при сильной дозвуковой конденсации одноатомного газа

2.5 Интенсивная дозвуковая конденсация молекулярного газа на плоской поверхности.

2.6 Структура областей существования стационарного решения при сильной дозвуковой конденсации молекулярного газа.

Глава 3 СВЕРХЗВУКОВАЯ КОНДЕНСАЦИЯ ГАЗА

НА ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

3.1 Сверхзвуковая конденсация одноатомного газа с учетом коэффициента испарения.

3.2 Структура областей существования решения при сверхзвуковой конденсации одноатомного газа.

3.3 Влияние коэффициента испарения на структуру областей существования решения для одноатомного газа

3.4 Сверхзвуковая конденсация молекулярного газа на плоской поверхности

3.5 Структура областей существования решения при сверхзвуковой конденсации молекулярного газа.

Глава 4 ИНТЕНСИВНОЕ ИСПАРЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ В ВАКУУМ

4.1 Постановка задачи и обзор работ по интенсивному испарению сферической частицы в вакуум

4.2 Интенсивное испарение одноатомного газа со сферической поверхности в вакуум с учетом коэффициента испарения

4.3 Интенсивное испарение молекулярного газа с поверхности сферической частицы в вакуум.

4.4 Анализ результатов.

Результаты и выводы.

Актуальность диссертации. Вопросы, связанные с процессами интенсивного испарения и конденсации газов, представляют большой интерес как с практической, так и с теоретической точек зрения и являются объектами многочисленных исследований. Их теоретическое изучение во многом обусловлено необходимостью создания и развития новых ресурсосберегающих и наукоемких технологий. К таким технологиям, в частности, относятся вакуумные технологии [1]. При воздействии на материалы мощным источником энергии, например лазерным излучением, возникают ситуации, когда происходит интенсивное испарение с нагреваемых участков, сопровождаемое интенсивной конденсацией на охлаждаемых участках [2, 3]. Таким образом, к примеру, фабрикуются тонкопленочные полупроводниковые структуры в микроэлектронике.

Исследование процессов интенсивного испарения и конденсации актуально для практических разработок теплообменного оборудования [4], систем комплексной тепловой защиты летательных аппаратов. Развитие авиации и ракетно-космической техники требует изучения особенностей ряда течений, которые могут возникнуть при испарении теплоносителя и его утечки по причине разгерметизации защитной оболочки атомной силовой установки вследствие тепловых перегрузок в условиях космического полета [5]. В данном случае продукты испарения истекают в вакуум.

Широкое применение, вслед за созданием в 1961 году первых лазеров на рубине, получили методы лазерной обработки материалов (резка, отжиг) [6, 7, 8], бесконтактного измерения параметров среды, определения химического состава аэрозольных веществ в конденсированной фазе [9, 10, 11, 12]. Таким образом, актуальность темы диссертации определяется важными практическими приложениями в физике аэродисперсных систем, в аэродинамике, микроэлектронике, экологии.

Для корректного описания указанных процессов требуется решение задачи о течении испаренного (конденсирующегося) вещества в окружающем пространстве. Такое течение описывается уравнениями газодинамики. Определение граничных условий к этим уравнениям, как известно, представляет собой самостоятельную задачу [13, 14, 15].

Это связано с тем, что вблизи поверхности испарения (конденсации) существует неравновесная область размером порядка длины свободного пробега, так называемый слой Кнудсена, в котором газодинамическое описание течения становится несостоятельным. Существование этого слоя обусловлено неравновесным характером испарения (конденсации), приводящим к сильной анизотропии функции распределения молекул вблизи границы раздела фаз. Условия на "внешней границе" слоя Кнудсена являются граничными условиями к уравнениям газодинамики. Для получения этих условий и установления связи между параметрами конденсированной и газовой фазы необходимо решение кинетического уравнения Больцмана в самом кнудсеновском слое.

Линеаризованные варианты решения рассматривались в многочисленных работах, в качестве примера отметим некоторые из них [15-25].

В случае сильного испарения (конденсации), когда скорость испаряющегося (конденсирующегося) вещества порядка скорости звука, задача носит существенно нелинейный характер и ее решение представляет значительные трудности [28, 29, 30].

Современные исследования процесса интенсивного испарения с плоской поверхности начались в конце 60-х годов с работы Аниси-мова [31], что в значительной степени было стимулировано необходимостью описания испарения материала под воздействием мощного лазерного излучения. (В более ранних работах [32, 33, 34, 35] не содержится корректного учета нелинейного характера процесса.)

При аналитическом исследовании проблемы можно выделить два подхода. Первый подход был предложен Анисимовым при решении одномерной задачи об интенсивном испарении простого газа с плоской поверхности в собственный пар в стационарном режиме [31]. Он предположил, что функция распределения падающих на стенку молекул пропорциональна объемной функции распределения. Кнудсеновский слой в таком подходе считается бесконечно тонким и рассматривается как поверхность газодинамического разрыва. Анисимову удалось разрешить систему уравнений сохранения потоков массы, импульса и энергии в звуковой точке М = 1 (где М = и/а - число Маха, и - средняя скорость газа, а - скорость звука в газе) в случае полной аккомодации молекул, сталкивающихся с поверхностью испарения и вычислить соответствующие граничные значения для температуры и концентрации пара. Отметим, что модель Анисимова является общепризнанной, поскольку имеет хорошее экспериментальное подтверждение [36]. Обобщение этой модели на случай произвольных чисел Маха М предложено в [37, 38]. При этом число Маха М не может быть заранее фиксировано и возникает вопрос о его предельном значении. В [37] предпринята попытка оценить это значение, исходя из условия положительности полного производства энтропии. Близкие исследования проводятся также в работе [39]. В [42] в рамках модели Анисимова получены гидродинамические граничные условия для бинарной газовой смеси с учетом коэффициентов испарения и аккомодации энергии.

Во втором подходе проводится исследование структуры течения внутри кнудсеновского слоя на основе различных методов решения приближенного кинетического уравнения. В [43] рассмотрен весьма специфический случай одномерного газа в квазилинейном приближении (БГК-модели), определена предельная скорость испарения, соответствующая числу Маха, равному единице. Аналогичное рассмотрение проводилось в [44] для случая трехмерного газа (тоже в квазилинейном приближении), однако общего аналитического решения в [44] не приводится. Соответствующее решение было найдено в работе [45].

В [36] моментным методом получено аналитическое решение кинетической задачи, описывающее структуру формирования течения в кнудсеновском слое. При этом использовано тримодальное представление [31] для аппроксимирующей функции распределения в области формирования течения (в виде суперпозиции максвеллов-ских полупространственных функций распределения с коэффициентами, зависящими от координаты х). В [36] сделано утверждение о выделенности числа Маха, равного единице. Однако, в [46] показано, что в рамках предложенной модели [36] это значение хотя и близко, но все же отлично от единицы. Кроме того, предельное значение числа Маха Мтах как для этой модели, так и для ее обобщенного варианта [46] (с использованием четырехмодального представления для функции распределения) оказывается сильно зависящим от выбора моментов : так моменту соответствует Мтах = 0, 9940, а моменту V* - Мтах = 0,8660 [46]. Этот недостаток устраняется в другой кинетической модели, которая, в отличие от [36] позволяет однозначно (т.е. моментно независимо определить предельное значение числа Маха [47]. В этой модели учитывается, что течение в кнудсеновском слое при сильном испарении напоминает поведение газа в ударных волнах [28, 30, 31, 38, 48]. Поэтому для решения уравнения Больцмана в кнудсеновском слое предложено использовать метод Мотт-Смита, разработанный им при описании структуры ударных волн в газах [49].

Результаты [47] согласуются с численными расчетами методом Монте-Карло, выполненными Мураками и Осимой [50]. Исследуя численное решение, они получили, что стационарное состояние при испарении с плоской поверхности при числах Маха М > 1 не достигается. Численное моделирование интенсивного испарительного процесса с плоской поверхности проводилось также в работах [51, 52, 53, 54, 5].

В работах [30, 55, 56] анализируются различные математические модели, аппроксимирующие неравновесный кнудсеновский слой в испаренном веществе, отмечаются недостатки имеющихся феноменологических моделей и на основе сравнительного анализа изменения энтропии в различных моделях вводятся критерии, определяющие соотношения параметров на газодинамическом разрыве. В [56] делается вывод, что среди рассмотренных моделей предпочтение следует отдавать тем, которые обеспечивают условие экстремальности потоков массы, импульса и энергии при М = 1. Этот вывод согласуется с данными численных расчетов для испарительного скачка по методу Монте-Карло [57].

В работах [48, 58] рассматривался нестационарный режим интенсивного испарения с плоской поверхности. При этом дана оценка времени, за которое формируется стационарный поток пара от поверхности испарения с момента появления импульса лазерного излучения большой мощности (больше 1 МВт/см2). Условно можно считать, что это время много больше времени свободного пробега атомов у поверхности конденсированной фазы. ( ~ 20 времен свободного пробега), поэтому стационарный режим истечения достигается при достаточно длительном испарении. (При импульсном воздействии могут осуществляться условия, когда газодинамический режим испарения не устанавливается вовсе [48]).

Задача о скачке температуры и слабом испарении молекулярных газов с плоской поверхности рассматривались в [24, 25, 26]. Процесс интенсивного испарения многоатомных газов с плоской поверхности исследовался в [51, 59, 60, 61, 41]. В [51] получено численное решение для двухатомного газа применительно к модельному кинетическому уравнению в форме Морза-Виллиса-Гамеля. В [59] предложен приближенный метод решения, использующий наиболее общие следствия уравнения Больцмана (законы сохранения и Н-теорему). В этой работе хотя и не определены граничные значения параметров газа за кнудсеновским слоем, однако указан интервал их возможного изменения, что позволяет оценить степень достоверности результатов, полученных в рамках других подходов. Данный метод развивается в [60], где кнудсеновский слой интерпретируется как область газодинамического разрыва, а граничные значения параметров газа после разрыва вычисляются с использованием законов сохранения и условия минимально возможного производства энтропии в кнудсе-новском слое. Отметим, что в [60] результаты расчетов для двух- и трехатомных газов не приводятся.

Задача об интенсивном испарении молекулярного газа рассматривалась в [61], где с использованием моментного метода получено аналитическое решение модельного кинетического уравнения для полиатомного газа и проанализирована структура течения внутри кнудсеновского слоя. Как отмечалось выше, в случае стационарного истечения предельная скорость испарения соответствует числу Маха М, равному единице. Метод, предложенный в [61], дает регулярное решение при числах Маха, как меньших, так и больших единицы, в силу этого обстоятельства полученное решение нельзя считать вполне достоверным по крайней мере в области чисел Маха, близких к единице. Этот недостаток отмечен и в самой работе [61], поэтому возникает необходимость дальнейшего исследования проблемы интенсивного испарения молекулярных газов с плоской поверхности с использованием других более совершенных методик.

Задача о сильной дозвуковой конденсации одноатомного газа, т.е. когда нормальная к поверхности раздела фаз составляющая среднемассовой скорости порядка звуковой скорости, рассматривалась в ряде работ [37, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69]. В [62, 63, 64, 65] решение уравнения Больцмана получено численными методами, в [37, 66, 67, 68, 69] - путем решения уравнения Больцмана момент-ными методами. В [62] сделано предположение о целесообразности использования моментных методов в случае дозвуковой конденсации (М < 1, где М - число Маха) только в области параметров Т с±Т8 (где Т8 - температура поверхности, Т - температура на внешней границе слоя Кнудсена). Это предположение представляется достаточно спорным, в связи с чем возникает необходимость сравнения результатов, полученных различными моментными методами, с результатами численных расчетов.

В [66] использовался моментный метод с предложенным авторами анзацем для функции распределения падающих молекул, в [67] - двухпотоковый моментный метод. При этом в [66] и [67] коэффициент испарения а полагается равным единице. В работе [37] применяется тринадцатимоментное приближение, как следует из данных [62], результаты [37] при а. — 1 подтверждаются численными расчетами только в узком диапазоне параметров. При а -ф 1 в [37] предложены интерполяционные зависимости для полного массового потока, полученные на основе сравнения результатов исследования с экспериментальными данными [70] по интенсивной конденсации ртути. В [68] с использованием шестимоментного приближения численно рассчитан ряд режимов конденсации (характерных параметров пара за кнудсеновским слоем) для коэффициента испарения а, равного единице. В [69] аналогичный метод применяется для случая а ф 1.

В работах [62, 63] отмечается, что процесс конденсации, в отличие от испарения, описывается большим числом параметров и в этом смысле является более сложной проблемой, требующей дополнительного исследования. В [63, 62] показано, что в случае дозвуковой конденсации при М < 1 из трех параметров Т,п и М, определяющих внешнее эйлеровское течение, любые два можно задавать произвольно (при М > 1 - все эти величины), т.е. в кнудсеновском слое должна существовать одна функциональная связь ^(п,Т, М) = 0, которую требуется установить (где п - концентрация газа на внешней границе слоя Кнудсена). В связи с чем возрастает значение аналитических методов решения, которые позволили бы определить области допустимых значений параметров дозвуковой конденсации, при которых решение уравнения Больцмана существует.

В случае сверхзвуковой конденсации газа на плоской поверхности (М > 1) на бесконечности можно задавать все три параметра Т, п, М, характеризующих течение. Из вышесказанного, конечно, не следует, что при произвольно заданных значениях этих параметров уравнение Больцмана имеет стационарное решение. Как отмечается в работе [63], в настоящее время о существовании решений можно судить лишь на основе их конкретного построения.

Для режима дозвуковой конденсации в [66, 67] методом моментов построена поверхность Р(Т8,п8,Т,п,М) = 0 в пространстве Т, п, М. Аналогично и для сверхзвуковой конденсации в [71] построена поверхность Г(Т8,п3,Т,п, М) = 0. Однако, как отмечено выше, область существования возможных решений должна представлять собой подпространство в пространстве Т, п и М. Справедливость этого утверждения подтверждают расчеты, выполненные в работе [63] методом прямого статистического моделирования Монте-Карло.

Результаты расчетов ряда параметров сверхзвуковой конденсации в рамках шестимоментного приближения численно получены в работе [68], а позднее в [4] для данного метода исследован вопрос о границах подпространства, в котором существует стационарное решение, соответствующее режиму сверхзвуковой конденсации одноатомного газа.

В работе [72] экспериментально реализовано натекание сверхзвукового потока воздуха на поверхность, охлаждаемую жидким гелием. В эксперименте определены параметры пара на межфазной границе, при которых появлялся скачок уплотнения.

Задача об истечении паров с поверхности сферы издавна привлекала внимание исследователей [73, 74]. Современное изучение этой проблемы началось в последние десятилетия и было стимулировано исключительным многообразием физических механизмов взаимодействия лазерного излучения с двухфазными средами. Дозвуковое испарение в собственный пар исследовалось в работах [75, 76, 77, 27, 78, 79]. Задача об интенсивном испарении сферической частицы в вакуум или разреженную среду (при условии р8 » р, где р8 - давление насыщенного пара при температуре поверхности Т8, р -давление окружающей среды) с использованием численных методов решения рассматривалась в [80, 81, 82, 83].

В [80, 81] наряду с неустановившимся течением пара исследуется также стационарное испарение. Для интегрирования кинетического уравнения используется метод конечных разностей. Определены гидродинамические граничные условия в случае стационарного испарения при малых числах Кнудсена (Кп —» 0, Кп = 0,0025) {Кп = А/го , здесь А - средняя длина свободного пробега молекул вблизи поверхности испарения, г о - радиус частицы).

В [82] стационарное испарение изучалось численно на основе решения уравнения БГК; для детального исследования кнудсенов-ского слоя была развита разностная схема, рассматривалось поведение параметров газа в широком диапазоне чисел Кнудсена Кп >0,01 и асимптотические предельные случаи. Эта работа является одним из наиболее обстоятельных исследований процесса интенсивного испарения сферической частицы в вакуум на основе решений уравнения Больцмана.

В [83] рассмотрено испарение и расширение в вакуум газа, состоящего из молекул в виде твердых сфер. Особенностью работы [83] является комплексное использование прямого статистического моделирования и моделирования в рамках уравнений сплошной среды. Основное внимание обращено на трансзвуковую область, положение звуковой поверхности, трансформацию неравновесного течения у поверхности в поток, описываемый уравнениями Навье-Стокса. В [83] определяется также граница области неравновесного течения (слоя Кнудсена), для обозначения которой сделан акцент на использование локального числа Кнудсена Кщ = Ю-2.

Из результатов [82, 83] следует, что при числах Кп <С 1 размер области формирования течения в окрестности частицы в расширяющемся потоке много больше А, что соответствует гидродинамическому характеру течения, т.е. при Кп <С 1 справедливо навье-стоксовское описание с поправкой на кинетические граничные условия. Такой подход к проблеме интенсивного испарения впервые был рассмотрен в работе [84], где использовано аналитическое решение, полученное в [85] для случая истечения газа из точечного источника при числах Рейнольдса Яе >> 1.

В [85] было показано, что в случае радиального разлета вещества можно выделить три области стационарного движения газа. Вдали от частицы область невязкого радиального истечения описывается уравнениями Эйлера. По мере приближения к источнику эта область переходит в так называемую промежуточную область, в которой число Маха М ~ 1, что соответствует переходу через звуковую точку. С уменьшением числа Маха, т.е. с приближением к источнику, выделяется еще одна область течения, в которой движение газа рассматривается как плоское одномерное.

В [84] задача об интенсивном испарении сферической частицы решается в предположении, что газодинамическая область вблизи поверхности испарения соответствует плоскому одномерному течению [85], которое в процессе расширения газа переходит через звуковую точку и затем трансформируется в невязкое эйлеровское течение. Указанные выше работы, за исключением [84], посвящены испарению одноатомных газов. В [84] гидродинамические граничные условия получены для двухатомного газа в предельном случае Кп —► 0, при этом коэффициент испарения а полагался равным единице. Вопрос о граничных условиях является принципиальным и имеет особо важное значение в практических приложениях (например, в задаче об образовании плазмы в собственном паре интенсивно испаряющейся частицы или коллектива частиц [86, 87, 88, 89]). В ряде работ рассматривалось интенсивное испарение с цилиндрической поверхности в вакуум [90, 91, 92].

Цель работы

Настоящая работа посвящена изучению кинетических процессов при интенсивных испарении и конденсации молекулярных газов. В диссертации подведены итоги исследований автора, нацеленных на:

- решение граничных задач кинетической теории интенсивного испарения молекулярных газов с плоской поверхности в собственный пар с использованием метода Мотт-Смита; определение предельной скорости испарения молекулярного газа; исследование влияния внутренних степеней свободы молекул на газодинамические граничные условия;

- развитие нелинейной кинетической теории дозвуковой конденсации одноатомных газов; построение нелинейной кинетической теории дозвуковой конденсации молекулярных газов с использованием методов полупространственных моментов; учет влияния коэффициента испарения на процесс интенсивной дозвуковой конденсации;

- построение теории нелинейной сверхзвуковой конденсации одноатомных и молекулярных газов с использованием метода Мотт-Смита; исследование влияния внутренних степеней свободы на области существования стационарного решения; изучение влияния коэффициента испарения на режим сверхзвуковой конденсации;

- решение граничных задач кинетической теории стационарного интенсивного испарения одно- и многоатомных газов с поверхности малой кривизны в вакуум; анализ зависимости граничных условий от числа Кнудсена, числа внутренних степеней свободы и коэффициента испарения.

Научная новизна работы.

1. Впервые получено аналитическое решение задачи об интенсивном испарении молекулярного газа с плоской поверхности в собственный пар, дающее правильное предельное значение числа Маха, равное единице.

2. Впервые аналитически решена кинетическая задача о сильной дозвуковой конденсации молекулярных газов. Определены области существования стационарного решения уравнения Больцмана. Показано существенное влияние внутренних степеней свободы на структуру областей существования решения уравнения Больцмана. Проанализировано влияние коэффициента испарения а на параметры дозвуковой конденсации.

3. Впервые построена аналитическая теория сверхзвуковой конденсации простых и молекулярных газов на плоской поверхности с учетом возможности существования вблизи поверхности конденсации решения типа ударной волны. Проанализировано изменение структуры областей существования стационарного решения при переходе от простого газа к молекулярному. Определены области допустимых значений параметров, характеризующих состояние газа за кнудсеновским слоем и исследована их зависимость от коэффициента испарения.

5. Аналитически решена кинетическая задача об интенсивном испарении сферической частицы в вакуум при малых числах Кнуд-сена 0 < Кп < 0,1 Получены граничные значения макропараметров пара на внешней границе кнудсеновского слоя при интенсивном испарении одноатомного газа. Исследована зависимость граничных условий от коэффициента испарения а.

6. Впервые получены аналитические выражения для расчета граничных условий к уравнениям гидродинамики при интенсивном испарении молекулярных (двух- и многоатомных) газов при малых числах Кнудсена.

Практическая значимость заключается в том, что полученные граничные условия при интенсивном испарении с плоской поверхности и поверхности малой кривизны могут быть использованы для решения разнообразных задач газовой динамики, связанных с аэрокосмическими исследованиями, практическим использованием лазеров (или других мощных источников энергии) в современных технологических процессах.

Проведенные исследования позволяют определить возможные области реализации стационарных процессов до- и сверхзвуковой конденсации, а полученные результаты дают возможность рассчитывать характеристики этих процессов в конкретных приложениях и могут найти применение при разработке и проектировании теплооб-менного оборудования, криовакуумных систем откачки различного назначения, установок комплексной тепловой защиты летательных аппаратов. i

Построенная теория интенсивной конденсации пара также может быть применима в микроэлектронике при создании устройств для нанесения тонкопленочных покрытий.

На защиту выносятся следующие результаты

- вычисление газодинамических граничных условий при интенсивном испарении молекулярного газа с плоской поверхности в атмосферу собственного пара;

- построение теории сильной дозвуковой конденсации молекулярных газов на плоской поверхности;

- построение теории сверхзвуковой конденсации многоатомных газов на плоской поверхности с учетом возможности существования решения типа ударной волны;

- вычисление газодинамических граничных условий при интенсивном испарении молекулярного газа с поверхности малой кривизны в вакуум;

Апробация работы

По теме диссертации опубликованы следующие работы: [42], [46], [47], [100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, ИЗ, 114, 115].

Материалы диссертации докладывались на XVI конференции стран СНГ по вопросам испарения, горения и газовой динамики дисперсных систем (Одесса, 1993 г.); на XVII и на XVIII конференциях стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 1996 г., 1998 г.); на 20st и 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Beijing, China, 1996; France, Marseille, 1998); на III Международном аэрозольном симпозиуме IAS-3 (Москва, 1996), на семинарах кафедры теоретической физики Московского педагогического университета, на научных конференциях Ярославского государственного педагогического университета.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Она содержит 195 страниц машинописного текста, 5 таблиц и 27 рисунков.

1. Розанов J1.H. Вакуумная техника. М.: Высш. школа, 1990. 320 с.

2. Анисимов С.И., Имас Я.И., Романов Г., Ходыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. М.: Наука, 1970. 272 с.

3. Реди Дж. Действие мощного лазерного излучения: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 471 с.

4. Крюков А.П. Интенсивная конденсация. (Аспекты теории и приложений). // Дисс. на соискание уч. степ. докт. техн. н. М., МЭИ. 1990 г.

5. Ларина И.Н., Рыков В.А., Шахов Е.М. Испарение с поверхности и истечение пара через плоский канал в вакуум //Изв. РАН. МЖГ. 1996. N. 1. С. 150-158.

6. Лазерная резка, сверление и термолитография в приборостроении./ Под ред. А.В.Карицкого. М.: ЦНИИТЭИприборостроение, 1977, 48 с.

7. Рыкалин H.H., Углов A.A., Кокора А.Н. Лазерная обработка материалов концентрированным потоком энергии: Сб. научн. труд./ Под ред. Углова A.A. М.: Наука, 1989. 270 с.

8. Физико-химические процессы обработки материалов концентрированными потоками энергии: Сб. научн. труд. / Под ред. Углова A.A. М.: Наука, 1989. 270 с.

9. Зуев В.Е., Землянов A.A., Копытин Ю.Д., Кузиковский A.B. Мощное лазерное излучение в атмосферном аэрозоле. Новосибирск: Наука, 1967. 440 с.

10. Лазерная спектроскопия атмосферных газов: Сб. ст./ Под ред. Лопасова В.П. Томск: ИОА СО АН СССР, 1978. 200 с.

11. Беляев Е.Б., Годлиевский А.П., Зуев В.Е., Копытин Ю.Д. Дистанционный лазерный спектрохимический анализ аэрозолей / / Зондирование физико-химических параметров атмосферы с использованием мощных лазеров. ИОА СО АН СССР. Томск, 1979. С. 3-56.

12. Зуев В.Е., Копытин Ю.Д., Кузиковский A.B. Нелинейные оптические эффекты в аэрозолях. Новосибирск: Наука, 1980. 184 с.

13. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. М.: Наука, 1967. 440 с.

14. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах: Пер. с англ. М.: Мир, 1976. 554 с.

15. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана: Пер. с англ.; Под. ред. РГ. Баранцева М.: Мир, 1978. 495 с.

16. Яламов Ю.И., Уварова Л.А., Щукин Е.Р. Теория испарения капель произвольных размеров в поле электромагнитного излучения // ИФЖ. 1978. Т. 34. N. 3. С. 439-443.

17. Щукин Е.Р., Санасарян A.C., Яламов Ю.И. О квазистационарном испарении капель при произвольных перепадах температуры и концентрации // ЖТФ. 1982. Т. 52. С. 581-582.

18. Лабунцов Д.А. Анализ процессов испарения и конденсации// ТВТ. 1967. Т. 5, N 4. С. 647-654.

19. Муратова Т.М., Лабунцов Д.А. Кинетический анализ процессов испарения и конденсации// ТВТ. 1969. Т.7, N. 5. С. 959-966.

20. Коган М.Н., Макашев Н.К. О роли слоя Кнудсена в теории гетерогенных реакций и в течениях с реакциями на поверхности. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. N 6. С. 3-11.

21. Яламов Ю.И., Ивченко И.Н., Мурадян С.М. Теория испарения сферических капель при произвольных числах Кнудсена // ДАН СССР. 1981. Т. 258, N 5. С. 1106-1110.

22. Sone Y., Onishi Y. Kinetic theory of evaporation and condensation. Hydrodynamics equation and slip boundary condition //J. Phys. Soc. Japan. 1978. V.44, N. 6. P. 1981-1984.

23. Sone Y. Theory of evaporation and condensation. Linear and nonlinear problems //J. Phys. Soc. Japan. 1978. V.44, N. 1. P. 315-320.

24. Латышев А.В., Юшканов А.А. Скачок температуры и слабое испарение в полиатомном газе //Изв. РАН. МЖГ. 1998. N 5. С.182-189.

25. Латышев А.В., Юшканов А.А. Скачок температуры и слабое испарение в молекулярных газах. // Ж. эксперим. и теор. физ. 1998. Т. 114. N. 9. С. 956 971.

26. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в газе с вращательными степенями свободы// Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 95. N. 3. С. 530-540.

27. Береснев С.А. Черняк В.Г. Испарение капли в поле оптического излучения // Теплофиз. высок, температур. 1991. Т. 29, N 3. С. 577-581.

28. Коган М.Н. Некоторые вопросы молекулярной газовой динамики // Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике / Изд. отдел ЦАГИ. 1977. С. 55-100.

29. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана // Неравновесные явления: уравнение Больцмана. Под ред. Либовица Дж., Монтеролла Е.У.; Пер. с англ. М.: Мир, 1986. С. 182-204.

30. Анисимов С.И.// Об испарении металла, поглощающего лазерное излучение. Ж. эксперим. и теор. физ. 1968. Т.1. N 1. С.339.

31. Crout P.D. An application of kinetic theory to problems of evaporation and sublimation of monoatomic gases //J. Math. Phys. 1936. N 15. P. 1-54.

32. Knudsen M. The kinetic theory of gases. Some modern aspects. London: Methuen. 1934. 64 p.

33. Schrage R.W. A Theoretical Study of Interphase Mass Transfer. Columbia University Press: N.Y. 1953. 103 p.

34. Zwick S.A. Note on evaporation // J. Appl. Phys. 1960. V. 31. P. 1735-1741.

35. Ytrehus T. Theory and experiments in gas kinetics in evaporation // Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y.: AIAA, 1977. Pt. 2. P. 1197-1212.

36. Labuntsov D. A. Kryukov A.P. Analysis of intensive evaporation and condensation // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1979. V. 22, N 7. P. 989-1002.

37. Найт Ч.Дж.// Математическое моделирование быстрого поверхностного испарения при наличии противодавления. Ракетная техника и космонавтика. 1979. N 5. С.81.

38. Algie S.H. Kinetic theories of evaporation //J. Chem. Phys. 1978. V. 69(2), 15 Jul. P. 543-583.

39. Cercignani C. Strong evaporation of polyatomic gas.// Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y. Potter AIAA. 1981. Pt.l. P. 305-320.

40. Frezzotti A. Numerical Investigation of the Strong Evaporation of a Polyatomic Gas.// Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. 1991. V.2. P.1243-1251.

41. Кузнецова И.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. К вопросу о состоянии бинарной газовой смеси вблизи испаряемой поверхности при интенсивном испарении // ТВТ. 1991. Т. 29. N.1. С. 128-133.

42. Siewert С.Е., Thomas Jr J.R. Strong evaporation into a half space // J. of Applied Mathematics and Physics. 1981. V. 32. P. 421-433.

43. Siewert C.E., Thomas Jr J.R. The three dimensional BGK model // J. of Applied Mathematics and Physics. 1982. V. 33. P. 208-218.

44. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации) // Изв РАН. МЖГ. 1993. N. 6. С. 143-155.

45. Кузнецова И.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. К вопросу об интенсивном поверхностном испарении // ТВТ. 1991. Т. 29. N. 5. С. 1038

46. Кузнецова И.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Применение метода Мотт-Смита к решению задачи о сильном испарении с плоской поверхности.// Теплофизика высоких температур. 1992. Т.ЗО. N 2. С.345-350

47. Анисимов С.И., Рахматулина А.Х. Динамика расширения пара при испарении в вакуум // ЖЭТФ. 1973. Т. 64. N 3. С. 869-876.

48. Мотт-Смит Г.// Решение уравнения Больцмана для ударной волны Механика. 1953.N 1. С.72-85.

49. Murakami М., Oshima К. Kinetic approach to the transient evaporation and condensation problem // Int. Symp. on RarefiedGas Dynamics. Porz-Wahu:DFVLR-Press. 1974. Pt. 2. P. F.6-1 -F.6-9.

50. Абрамов A.A., Коган M.H., Макашев H.K. Численное исследование процессов в сильно неравновесных слоях Кнудсена // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. N 3. С. 72-81.

51. Yen S.M., Akai T.J. Nonlinear Numerical Solutions for an Evaporation Effusion Problem // Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Progress in Astronautics and Aeronautics. 1977. N. Y. V. 51. Part. 2. P. 1175-1187.

52. Абрамов A.A. Решение задачи о сильном испарении газа методом Монте-Карло // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N 1. с. 185-187.

53. Сильное испарение газа с двумерной периодической поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. N. 2. С. 132-139.

54. Мажукин В.И., Прудковский П.А., Самохин A.A. О газодинамических граничных условиях на фронте испарения //Математическое моделирование. 1993. Т. 5. N. 6. С. 3-10.

55. Мажукин В.И., Прудковский П.А., Самохин A.A. Изменение энтропии на фронте испарения // Математическое моделирование. 1994. Т. 6. N. 11. С. 3-10.

56. Sibold D., Urbassek Н.М. Monte Carlo study of Knudsen layers in evaporation from elemental and binary media // Phys. Fluids A. 1993. V. 5. N. 1. P. 243-256.

57. Найт Ч.Дж. Нестационарное испарение в переходном режиме с поверхности в вакуум // Аэрокосмическая техника. 1983. Т. 1. N. 2. С. 83-89.

58. Бронин С.Я., Полищук В.П. Кнудсеновский слой при испарении и конденсации // ТВТ. 1984. Т. 22, N 3. С. 550-556.

59. Брыкин Н.В., Воробьев B.C., Шелюхаев Б.П. Состояние пара вблизи испаряемой поверхности //ТВТ. 1987. Т.25, N 3. С. 486474.

60. Cercignani С. Strong evaporation of a polyatomic gas // Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y. 1981. V.l. P.305-320.

61. Абрамов A.A., Коган M.H. Сильная дозвуковая конденсация одноатомного газа.// Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. N 1. С.165-169.

62. Абрамов A.A., Коган М.Н. О режиме сверхзвуковой конденсации газа.// Докл. АН СССР. 1984. Т.278. N 5. С.1078-1081.

63. Yen S.M.//Numerical Solutions of Nonlinear Kinetic Equations for a One-Dimensional Evaporation-Condensation Problem. Computers and Fluids. 1973. V.l. P.367-374.

64. Yen S.M. Numerical Solutions of the Boltzmann and Krook equations for a condensation problem // Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y. 1981. V.2. P.356-362.

65. Ytrehus Т., Alvestad J. A Mott-Smith solution for nonlinear condensation.// Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y. 1981. V.l. P.330-345.

66. Hatakeyama M., Oguchi H. Kinetic approach to nonlinear condensation of flowing vapor.//Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Paris. 1979. V.2. P. 1293-1303.

67. Крюков А.П. Одномерная стационарная конденсация при скоростях движения пара, сопоставимых со скоростью звука // Изв. РАН. МЖГ. 1985. N. 3. С. 176-180.

68. Крюков А.П. Влияние коэффициента конденсации на течение пара с до- и сверхзвуковыми скоростями // Изв. РАН. МЖГ. 1988. N. 2. С.189-192.

69. Necmi S., Rose J.W. Film condensation of mercury // Int. J. Heat Mass Transfer. 1976. V. 19. P. 1245-1256.

70. Oguchi H., Hatakeyama M. One-dimensional nonlinear condensation //Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y. 1981. V.2. P.321-329.

71. Mayer E., Tracy R., Collins J.A., Triplett M.J. Condensation of rarefied supersonic flow incident on a cold flat plate // Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y. 1966. V. 2. P. 329-259.

72. Maxwell J.C. Theory of heat. L.: Longmans. Green. 1888. 333 p.

73. Фукс H.A. Испарение и рост капель в газообразной среде. М.: Изд-во АН СССР. 1958. 91 с.

74. Макашев Н.К. Испарение, конденсация и гетерогенные химические реакции при малых значениях числа Кнудсена // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. 5. N. 3. С. 49-62.

75. Бутковский А.В. Конвективное испарение водяных капель // Докл. АН СССР. 1990. Т. 312. N. 1. С. 85-88.

76. Бутковский А.В. Влияние коэффициента конденсации на сильное испарение перегретых капель // ТВТ. 1991. Т. 29. N. 4. С. 745-749.

77. Chernyak V. The kinetic theory of droplet evaporation //J. Aerosol. Sci. 1995. V. 26. n. 6. P. 873-885.

78. Takata S., Sone Y., Lhuillier D., Wakabayashi M. Evaporation from or Condensation onto a Shere: Numerical Analysis of the Boltzmann Equation for Hard-Sphere Molecules // Computers Math. Applic. 1998. V. 35. N. lh. P. 193-214.

79. Жук В.И. Кинетика испарения сферической капли. В сб.: Численные методы в динамике разреженного газа. Вып. 2. М.: ВЦ АН СССР. 1975. С.69-90.

80. Жук В.И. Сферическое расширение пара при испарении капли // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. N. 2. С. 96-102.

81. Sone Y., Sugimoto Н. Kinetic theory analysis of steady evaporating flows from a spherical condensed phase into a vacuum // Phys. Fluids A. 1993. V. 5. N. 6. P. 1491-1511.

82. Булгакова H.M., Плотников М.Ю., Ребров А.К. Моделирование стационарного испарения в вакуум // Изв. РАН. МЖГ. 1997. N. 6. С. 137-143.

83. Edwards R.H., Collins R.L. Evaporation from a spherical source into a vacuum //Int. Symp. on Rarefied gas dynamics. N.Y. Acad. Press. 1969. V.2 P. 1489-1496.

84. Sakurai A. Three-dimensional steady, radial flow of viscous, heat-conducting, compressible fluid // Quart. Journ. Mech. and Applied Math. 1958. V. XI. Pt. 3. P. 274-289.

85. Бергельсон В.И., Голубь А.П., Немчинов И.В., Попов С.П. Образование плазмы в слое паров, возникающих под действием излучения ОКГ на твердое тело // Квантовая электроника. 1973. Т. 1. Вып 4(16). С. 20-27.

86. Добкин А.В., Малявина Т.Б. Немчинов И.В. Квазистационарное сферически-симметричное течение интенсивно излучающей плазмы, нагреваемой лазерным излучением // ПМТФ. 1988. N. 1. С. 3-11.

87. Лесскис А.Г. Титов А.К., Юшканов А.А. Эффекты неравновесности плазмы парового ореола в поле интенсивного излучения // ПМТФ. 1991. N. 2. С. 3-7.

88. Лесскис А.Г., Титов А.Г., Юшканов А.А. Установившееся радиальное движение разогреваемого излучением пара в вакуум от интенсивно испаряющейся частицы металла // Теплофиз. высок. температур. 1995. Т. 33. N. 4. С. 578-582.

89. Sib old D., Urbassek H.M. Kinetic study of evaporation flows from cylindrical jets // Phys. Fluids A. 1991. V. 3. N. 5. P. 870-878.

90. Sony Y., Sugimoto H. Evaporation of a rarefied gas from a cylindrical condensed phase into a vacuum // Phys. Fluids. 1995. V. 7. N. 8. P. 2072-2085.

91. Плотников М.Ю., Ребров А.К. Переход к сверхзвуковой скорости при испарении и инжекции с цилиндрической поверхности в вакуум // ПМТФ. 1996. Т. 37. N. 2. Р.120-130.

92. Мажукин В.И., Пестрякова Г.А. Математическое моделирование процессов поверхностного испарения лазерным излучением // Докл. АН СССР. 1984. Т.278. N. 4. С. 843-847.

93. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М. Наука, 1989. 336 с.

94. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. Т.5. М. Наука, 1976. 584 с.

95. Неизвестный А.И. Результаты экспериментального определения коэффициента конденсации воды. Обзор. Обнинск: Изд-во ВНИ-ИГМИ МПД, 1976. 50 с.

96. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М.: Металлургия, 1966. 196 с.

97. Haynes D.R., Tro N.J., George S.M. Condensation and Evaporation of H20 on Ice Surfaces. J. Phys. Chem. 1992. V. 96. N. 21. P. 85028509.

98. Мизес P. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 588 с.

99. Кузнецова И.А., Юшканов A.A. Граничные условия при интенсивном испарении молекулярного газа с плоской поверхности / / XVI конференция стран СНГ по вопросам испарения, горения и газовой динамики. Тезисы докладов. Одесса. 1993. с. 95.

100. Кузнецова H.A., Юшканов A.A. Граничные условия при сильном испарении сферической частицы в вакуум // Теплофиз. высок. температур. 1993. Т. 31. Т. 1. С. 73-77.

101. Кузнецова И.А. Сильное испарение молекулярного газа // Дисперсные системы. XVII конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 1996. С. 112-113.

102. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Сильная конденсация молекулярного газа // Дисперсные системы. XVII конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 1996. С. 114-115.

103. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Состояние газа вблизи поверхности в режиме дозвуковой конденсации // Теплофиз. высок, температур. 1996. Т.34. N 4. С.614-618.

104. Yu. Yalamov, A. Yushkanov, I. Kuznetsova. One-dimensional supersonic condensation // 20st Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Beijing. China. Book of Abstract. 1996. K13.

105. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Сверхзвуковая конденсация одноатомного газа с учетом коэффициента испарения. // Международный аэрозольный симпозиум IAS-3. Москва. Аэрозоли. 1996. N7. С.10-11.

106. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Сверхзвуковая конденсация одноатомного газа // Теплофиз. высок, температур. 1997. Т.35. N 2. С.342-346.

107. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Сильная дозвуковая конденсация одноатомного газа с учетом коэффициента испарения // Изв. РАН. МЖГ. 1997. N. 2. С.183-190.

108. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Сильная конденсация молекулярного газа // Изв. РАН. МЖГ. 1997. N. 6. С. 168-174.

109. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Влияние коэффициента испарения на сильную конденсацию одноатомного газа/ / Ж. техн. физ., 1997. Т. 67. N. 10. С. 21-25.

110. Кузнецова И.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Граничные условия при интенсивном испарении сферической частицы // Дисперсные системы. XVIII конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 1998. С.90-91.

111. I. Kuznetsova, Yu. Yalamov, A. Yushkanov. One-dimensional supersonic condensation of a polyatomic cas // 21st Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. France. Marseille. Book of Abstract. V. 2. P. 148-149.

112. Жаров A.H, Кузнецова И.А., Юшканов A.A. Интенсивное испарение молекулярного газа // Теплофиз. высок, температур. 1998. Т. 36. N. 1. С. 113-119.