Геодезические и голоморфно-проективные отображения параболических келеровых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИ!» ПКДЛГОГПЧКСКИП ГОСУДАРСТВЕННЫ!) УНИВЕРСИТЕТ им. IÏ. II. ЛЕНИНА

СпсцналпзнропаннмП сонет 1С 053.01.02

II« праиах |>\кошки

M'j\cei¡ ШИХА

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ГОЛОМОРФПО-ПРОЕКТПВПЫЕ OTOIH'A/KEIJ !!Я ПА РЛВОЛИЧЕСКИХ КЕЛЕГ'ОНЫХ IIРОСТРАИСТП

Специальность 0 l.Ol.O'î Геолютрнн » типологии

Автореферат на соискание ученой степени кандидата фшпко-íia тематических наук

Москва —1993

Г /ю

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии Одесского государственного университета им. 11. II. Мечникова.

II а у ч н ы й руководится ь:

кандидат физико-математических паук, доцент МИКЕШ П.

О фццпадьные оппоненты:

доктор физико-математических (паук, профессор КИРИЧЕНКО 1). Ф.

кандидат физико-математических па\'к, доцент ШАИДРЛ И. Г.

Ведущая организация Московский государственны!"! университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится «13» декабря 11)93 года 1! 1С часог, на заседании специализированного сонета К 053.0J.01i но защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук 1! Московском педагогическом государственном университете им. В. II. «Не ни в а по адресу: 107 МО, Москва. Краснопрудная ул., И, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета но адресу: 119882, Москва, М. Пироговская ул., I. I

Автореферат разослан «10» ноября 1993 года.

Ученый секрет

I. Актуальность тем;. Диссертационная работа посвящена изучению геодезических н других специальных диффеоморфизмов римано-еых пространств, наделенных нильпотентноЯ козариантно постоянной структурой.

Геометрия пространств со структурами находится п центре внимания не одного поколения геометров. В 1Ж5 г. П.А.Широкой .

»V

начат изучать специальные римнюЕЦ пространства, которые назвал А-пространствами, снабженные конариан-гно постоянной структурой ' Р, удовлетворяющей условию - /-*--£. Из других соображений эти пространства исследовались.Э.Колером [2] и в литературе, кок правило, называются келеровнми. Дня гиперболическоп (Я** Е^ а параболической О) структур аналог А-пространств бия

введен П.К.Рашевсшш [3] и В.В.Вгсзневскга [4] соответственно;. По аналогии эти пространства называют гиперболически я параболически келеровыми. Указанные пространства изучались во многих ра- , ботах.

Одшзд.из направлений является изучение специальных диффеоморфизмов оффинносвязшсс и риманових пространств,

Нага исследованио посвящено изучения геодезических и годо-норфм-проективных отображений ^-параболически келаровых пространств (в тератологии В.В.Бканевского [4) , (Б] - параболических Л-пространств, ранг которых равен

Геодезические отображения, поторыз начал изучать Э.Бэльтра-•г.:, разв'шолись з трзх основных направлениях: изучение обцих ззконокэрюстей (Т.Леви-Чтаита, Г.Взйль, Т.Томас, А.С.Солодовников, Г.И.Кручаович, Н.С.СинвкоВ' [б] ,.Й.Мляеи, В.Е.Березовский ' С?"]) } 2) интегрирован;« основных ураензний ^Т.Леви-Чивита, П.Л.Широков, Л.3.Петров, Г.И.Голиков, Г.И.Кручковет, А.В.Амшо-ва [8])} 3) изучение геодезических отображений специальных прост-

ранств этим вопросам посвящено несколько сот работ различных авторов.

Геодезические отображения келеровых пространств изучались в работах Н.Кобурна, С.Бохнера, К.Яно, К.Яно и Т.Нагано, В.П.Вест-лейка [9] , Кора Митсуру, й.Микеша [10]..

Подобные вопросы для гиперболически келеровых рассматривались А.В.Кармазиной, И.Н.Курбатовой [П]^, Л.Микешем и Г.А.Стар-ко [12] . Нами исследованы геодезические отображения щ-пара-боличебки келеровых пространств.

Аналогией геодезических отображений являются голоморфно-проективные отображения ГПО келеровых, гиперболически и параболически келеровых пространств.

Основные результаты в этом направлении содержатся в работах Т.Оцуки, Я.Тасиро [13] , Я.Тасиро, К.Яно, С.Исихара, В.В.Домаше-йа, Й.Микеша С14], [б] для ГПО келеровых пространств. Для ПЮ гиперболически келеровых пространств - М.Прванович [15] , И.Н.Курбатовой [16] , й.Микеша и Г.А.Старко [12] , Й.Микеша

Голоморфно-проективные отображения параболически келеровых пространств было введено.В.В.Вшшевскил [51 и получены основныо уравнения этих отображений.

Геодезические и голоморфно-проективные отображения обобща- • лись во многих направлениях. Одним из направлений является исследование голоморфно-проективных отображений пространств со структурами, результаты в атом направлении изложены в монографии В.В.Вишневского, А.П.Широкова и В.В.Шурыгнна [5] .

Другим направлением являются почти геодезические отображения Н.С.Синякова [6] , которые включают голоморфно-проективные • отображения келеровых, гиперболически и параболически келеровых пространств. Различные специальные типы почти геодезических

отображений изучались Я.Микешем [17] и И.Н.Курбатовой [16]. С другой стороны, голоморфно-проективные отображения рассматриваешь пространств являются частнии случаем Г -планарпых отображений, ввсдвнша Я.Микешем и Н.С.Сшшоенм [18] . В последнее время в печати появляется много статей, посвященных различным аффннорныы структурам на многообразиях, например, Л.Грел [19], В.Ф.Киричон-«о [20], И.Г.Шандра [21] и других.

Большинство всох отих теорий использует классический диффз-рзнциально-геометрический аппарат теории сзигзностзй и римановнх метрик ка мюгообразилх.

Краткий обзор показывает, что гя-параболически кедерош пространства изучались во многих направлениях, вместе с теп вопроси геодезических и голоморфно-проективных отображений таких пространств либо вопсе не рассматривались, либо в таких исследованиях многие вопроси оставались открытнми, гюатому тема данной диссертации, в которой исследуются геодезические и голоморфно-проективные отображения ^-параболически иелеровых пространств язллзтся вполне актуальной.

2. Такии образом, целью дашюй диссвртационной работы является

в) изучений эквидистантных т-парэболичоски калерових пространств!

б) исследование геодез;:чоск:к отображений щ-параоолич'ески волерових пространств;

' в) исследование общих закономерностей гоиоыорфю-проектнвшге отображений Щ-параболичзски волвровых пространств;

г) исследование голокорфт-проективных отображений специальной п-параболнчески кояэровш: пространств.

- с

3. Нагнан новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту

1) исследованы 1Г2-параболически келерови пространства, до-лускакхцие конциркулярные векторные поля и найдены их метрики;

2) изучены геодезические отображения 172-пораболически келе-рових пространств;

3) получены новые общие закономерности для голоморфно-проективных отображения ^-параболически келеровых пространств;

4) исследованы голоморфно-проективные отображения голоморф-но-прооктивно плоских <эт-параболически келеровых пространств;

Ь) выделены .^-параболически келеровц пространства, не допускающие нетривиальные голоморфно-проективные отображения.

4. Теоретическая н практическая ценность. Исследование носит теоретический характер. Основные результаты диссертации иогут быть прикен-зны для дальнейшего развития теории диффеоморфизмов пространств с аффиннорниыи структурами, а токяе они могут использоваться в различных приложениях: в вопросах моделирования физических полей, оптимизации движений механических систем, динамических процессов в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде. ■

5. Метод исследований. Исследования ведутся локально, в класса достаточно гладких функция с использованием тензорных методов.

6. Апробация работы. Диссертация и отдельные ее части докладывались на: заседаниях семинара кафедра геометрии и топологии Одесского госуниверсктета; международных конференциях по дифференциальной геометрии в г.Казани (Татарстан) и г.Оаавэ (Чехия) ;'• республиканской конференции, посвященной 200-яетию II.И.Лобачевского

в г.Одесса; на научном семинаре ШГУ нм.В.И.Ленина, руководитель проф. В.Ф.Кирнченко. ■

7. Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в статьях [23]-[27]. В совместных работах [25]-[2.7] научному руководителю Я.!'и капу. принадлежит постановка задачи.

8. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав 9 параграфов и списка литератур«. В диссертации принята сквозная нумерация параграфов. Для формул и теорем применяется двойная индексация, где первая ш»Ьра означает иоызр параграфа, а вторал - номер формулы теоремы в я том параграфа.

9. Краткое содержание диссертации

Первая глава диссертации посвяг^она изучения м-параболичэс-

кн келеровых пространств.

В §1 вводится понятие яг-параболически ие.юрова прсстовнст-1/0(м)

са К , это р;глгнови пространства, в которых наряду с метри-

\ 'к

ческим тензором существует аЭДдшорная структура F^(^x.)

ранга Ш >, & , удовлетворяющая следум^им условиям:

гр^.+ ^о * о. рк. = о а)

гдэ " , " обозначает ковариантнуо производную.

В частности, четномерные пространства К. называем параболически келзрознми Кп . Пространства а терминологии З.В.Вгагневского [4], [бЗ называются параболическими А-пространствами.

Здесь введена операция сопряхония индексов

Тт"" й Т '"Р*. Тт"" й

Ь"' Л'"» ^ ) 1.« л

л получены свойства этой операции, и основных объектов в пространство Пространство можно отнести к система координат X. , в которой р\х) = # где - единичная

\У 0 /

матрица ранга па. Эту систему называем адаптированной'. В адаптированной системе координат получено общее представление метричве-

- в -

кого тензора пространства . Более специальное строение получено в работе [б]. Далее рассматриваем приводимые пространства 1/0(*) п •

Во втором параграфе рассмотрены эквидистантные [б] «-параболически келеровы пространства. В таких пространствах по опреде-

сК

ланию существуют^конциркулярные поля j , удовлетворяющие условиям (j> , где^ - инвариант, векторное поле ^ , удовлетворяет условию где - производная Ли в направлении 'J . Вектор , для которого имеет место последнее условие, мы называем аналитическим.

1/ 0{WV) г К.

В пространстве ¡\п с аналитическим вектором J существует адаптированная система, в которой либо либо J = На основании ятого результата удалось доказать следующую теорему:

Теорема 2.4 В любом эквидистантном основного типа параболически келеровом пространстве К. существует адаптированная

и*

система координат, в которой ненулевые компоненты метрического тензора выражаются формулами:

С - ¿ярСг*') J

3,.tnsn/Zi cai- йЦ^^

^р , П. - функции, зависящие от Х^эс*,.^ ОС*1^ 3L - функция, .независящая от X и 3Cifw.

С другой стороны, любое риманово пространство,метрический тензор которого имеет указанное строение для произвольных

где

функций С е С ^ указанных переменных (при условии,

что # 0) является эквидистантным основного типа параболичес-

ки келеровым пространством.

Б § 3 введено понятие т-параболичесни сасакиевых пространств

г!0{т.)

рп , являвшихся естественной аналогией сасакиовых пространств. Доказана

Теорема 3.2 Пусть эквидистантное ритланойо пространство основного типа отнесено к канонической системе координат

сЬ1= е(ЫуО + Ну) с1$2где е -¿1 , Н^1) - некоторая

непостоянная функция от <^¡3*= (у* у*

лзтрическая фopía некоторого (п-0-марного пространства V/ , а, А = 3} ..., п.

Тогда является т-параболически келоровым пространст-

г ' •

воы тогда и только тогда, когда ) и являет-1

ся -параболически сасакиевыи пространством.

Примечание. Функция И^') определена с точность» до ненулевого постоянного множителя.

Это исследование позволило найти в некоторой системе коорд! нат строениэ метрик всех параболически сасакиевых пространств:

?а1 =

ГДО ^ , H и Са1 - объект, участвующие в теореме 2.4.

Вторая глава посвящена изучению геодезических отображений Ы-параболически келеровых пространств.

Отображение р;шанова пространства V^ на риманово пространство V называет геодезическим, если любая геодезическая линия Vn переходит в геодезическую линию V ,

В § 4 рассматриваем общиэ вопроси и случай, когда при геодезическом отображении сохраняются структуры соответствущих пространств. Доказана

Теорема 4.2 tn-параболически келеровы пространства нз допускают друг на друга нетривиальные геодезические отображения при условии сохранения структурного аффинора.

Этот результат получен из более общих рассуздениЯ и подобен ранее доказанным свойствам келеровых пространств относительно геодезических отображений, получениях К.Япо, Т.Кагано,В.Вестлей-кон [9] .

Далее в згон параграфе показываем, что т.-параболически келеровы пространства, допускают геодезические отображения, если в

них существует сходящееся аекторное паю. В случае, когда в К.

,/оап) п

существует непостоянное сходящееся векторное поле, то 1\ мог-но отнести к системе координат ^ такой, что

ds2 = eidfft V^ot?2,

где e-±i, ois2-

- метрика некоторого v»i-— параболически сасакиева пространства.

Это пространство геодезически соответствует двух параметрическому семейству римановых пространств Уп :

где оС , (Ъ -постоянные такие, что <*-ФО} 1+/Ыу^ф О. Отображение будет нетривиальным при и при отом

пространства по необходимости не являются -я^параболичес-

ки келеровши.

В § 5 рассматриваем геодезические отображения между двумя М-парабол!гчоскк келеровыми пространствами. В лемме 5.1 показываем, что по необходимости сохраняется тензор Римана, а в лемме 5.2 находим необходимые и достаточные условия, когда риманово пространство V допускает геодезическое отображение на • т-парабо-лнчеспи келерово пространство. Построен нетривиальный припер двух неплоских Ш-параболически келеровых пространств, находя- • щихся в нетривиальном геодезическом соответствии.

Третья глава посвящена изучению голоморфно-проективных отоб--рааений т-параболически келеровых пространств. В 5 б вводим определение основных понятий. Кривую Л: х'ТО называем аналитически пленарной .в , если для оз касательного вектора Я -= с1хн/Ы± выполняется условие:

где Р», - некоторые функции указанных параметров.

■> > ./ООП) ¡7°&)

Отображение К на К называем голоморфно-прооктив-п п ' -.Щм)

и

ным, если при нем любая аналитически Планерная кривая К. п пе-

тго (м)

реходит в аналитически планарвгуи кривую Кп Доказана

Теорема 6.1 т-параболически келерово пространство допускает голоморфно-проективное отображение на т-'параболнчески келерово пространство К ' ^ тогда и-только тогда, когда в общей по отобраяешго система координат. X -'выполняются соотношения

'у дчЬ

г >

nh ° pli» '« 1уИ>") гтосм) rt .

где I и I объекты связности К и К » 4ч ~ неко-х) ■ lJ __п. ft I

торый ковектор, ^ = <|Y , oL - ненулевая постоянная.

Указанные уравнения эквивалентны выполнению соотношений

- метрический тензор Кп

Здесь показана связь ГПО с Р-планарными отображениями, введенными Й.Микешем и Н.С.Сншоковым [35

В параграфе 7 получена другая форма основных уравнений теории голоморфно-проективных отображений м-параболически келеровых пространств. Указанные выше основные уравнения ГПО являются нелинейными относительно неизвестных величин, а ниже указанные уравнения являются линейными. Имеет место

1/ о(т)

Теорема 7.1 Для того, чтобы келерово пространство допускало голоморфно-проективное отображение, необходимо и достаточно, чтобы в этом пространстве существовал неособенный симметрический дважды ковариантный тензор , удовлетворяющий уравнениям:

- ЙГ V0

при некотором векторе Л; .

Отображение будет нетривиальным при ^ О , Решения основных уравнений связаны соотношениями вида:

а-. > ^ ,

где 11 1^11 = В ^ ^ II » инвариант , удовлетворяет условию

Отсюда установлено, что эквидистантные основного типа пространства изучению которых посвящен § 2, допускают нетривиальные голоморфно-проективные отображения.

Анализом условий интегрируемости основных уравнений получена:

Теорема 7.2 171-параболически келерово пространство ' допускает нетривиальное голоморфно-проективное отображение тогда я только тогда, когда следующая замкнутая линейная система уравнений типа Коши имеет решение относительно невырожденного симметрического тензора + ^ » ненулевого вектора и инварианта "С" г . .

Vе '¿V + я<« Ы >'

*ч • * Vм?-, ;

^ - ЯХ * «V ИГ,

где тензоры М - , М^ и М* определены внутренними объекта-ми К л .

Общее решение этой системы зависит не более чем от (п+2)(пч)/Я - т(п-т + -0 параметров.

Изучал условия интегрируемости и их дифференциальные продолжения, которыо представляют собой систему линейных уравнений относительно компонент неизвестных тензоров , и Т1 с коэффициентами из К , можно принципиально решить задачу о том, допускает или не допускает заданное пространство кп голоморфно-проективное отображение и с каким произволом.

Для голоморфно-проективных отображений ^.-параболически

|/0(т)

келеровых пространств результаты, полученные аналогичные

тем, которые справедливы для геодезических отображений на римано-вы пространства Гб] , [7] и для'голоморфно-проективных отображений келеровых и гиперболически'келеровых пространств' [Д4] , [}б], Заметим, что теорема 7.2 была получена существенно другими методами. ' • .

В § 8 изучаются щ-параболически келеровы пространства,

которые допускают голоморфно-проективные отображения на плоские пространства. Установлена

•у о(м)

Теорема 8.1 ^-параболически келерово пространство К-п является голбморфно-проективным тогда и только тогда, когда в нам для тензора Риаана выполняются условия

где С-Ы,. ^н^Р,.

Для голоыорфно-проективно плоских пространств К.п найдено строение метрического тензора:

где Р- = Р^ ^ , - римановы координаты, и 'у - компоненты тензора ^¡д и ^ в точке С ^ Установлено, что голоморфно-проективные 1п-параболические пространства К^ сигнатура метрик которых одинаковая знак постоянной С одинаков,' изомэтротны между собой.'

Имеет место аналог теоремы Бельтраии:

Теорема 8.Э Между любыми голоморфно-проективными 1Я-пара-■ болически келеровыми пространствами можно установить нетривиальное голоморфно-проективное отображение.

„ 'г „ |У0(»О

В § 9 выделены пространства К. , которые априори не допускают голоморфно-проективные отображения. Имеет место

Теорема 9.1 Риччи рекуррэнтные т-параболически келеровы пространства г тензор Риччи которых удовлетворяет условию

^ ? I не допускают нетривиальные голоморфно-проективные отображения. .

Полученные результаты подобны исследованиям, проведенным -в работа« Сб1, [141, [к], .[17], [¿1] .

Считаю своим долгом поблагодарить Я.Микеша за постановку

ч '

задачи и постоянное внимание.

Литература

I. Широков П.А. Постоянные поля вектороз и. тензоров в риыаио-вкх пространствах // Изв. Казался. физ.-гат. о-ва.- 1925.-Сер. 2.- 25.- С. 86-114.

П N

<>• КйМог Е. Uber olno beaor!ccn£i77orto Horaiteccha Hatrili // Abh. Math. Sea. Hamburg. Univ.- 1953.- 9.- P. 173-И06.''

3. РошевскиЯ П.К. Скалярное поле в рэсслоешюм пространстве // Тр. сешш. по вектор!, и тензорн. анализу.-Вып.:б;-. 1948.

4. ЕжнввскиЯ В.В. О параболическом аналоге А-пространсгв //•' Изв. вузов. Мат.- I9S8.- I.- С. 29-33.

5. -, Широков А.П., Еур-ггин В.В. Пространства над алгебрами.- " Казгщь: Изд-во Казался. ун-та, IS85.- 262 с.

6. Сшпзттоз Н.С. Гсодеэическпз отобратеппя р:шаноБЫх прост- 1 ранств.- I!.: Наука, 1979.- 255 с.

7» Uikc& J.» BorazoVBtl V. Geodesic mappings of nffine-oon-noted apaceo into Rlesannion орзсоэ // Colloq. isafch.-soc. J.Bolyal 56. Diff. goca. »Eger (Hung.), 1989.- P. 491-'+°'+.

8. Аютюва А.В. Группы преобразований ргегановнх. шогообразкй //

i

Итоги паузи п тохн. Пробл. геометрии /ВИНИТИ, 1990,- 22.-С. 97-163.

9. I7estla!ra 7Г.J. Hcrsitian срзсоз In geodesio correspondence// Ргос.Аяэг.Hath.Бос.- I95-'K- 5. Я® 2,- P. 301-303. ..

10. Мике-i fi. О сасаптавшс п эквидистантных келеровых'пространствах //Докл. АН СССР.- IS3S.- I.-.C. 33-35.

11. Кармазина А.В., Курбатова-II.Н.' О непоторсс вопросах геодезических отсбрзлс!ПгЯ почт"» эрмитовых. пространств /Одес. пед. . ш-т.- Одесса, 1990.- 14 е.- Бг.блпогр.: 6 назв. Доп. в' • УарШШНГИ 12.03.SO, П 453-УкОО.. ' . '

12. 1.(пкеп й., Старяо Г.А. О гиперболически сасакгевнх п оюзп-

дистантных гиперболически келеровых пространствах // Укр. геометр, сб.- 1989.- 32.- С. 92-98.

13. Otcuici Т., Taahiro Y. On curvo3 la Kalilerian зрасе //

Llath. J. Cfcayaaa Univ.- 1954.- 4.- V. 54-5S. 14; Микеш й. О голоморфно-проективных отображениях келеровых пространств //Укр. геометр, сб.- 1980,- 23.- С. 90-Ев.

15. Prvanovic IS. Projective and confornal fcrbnaiorsations in recurrent and Riccl recurrent Uieaannian opacos // Tonnor.-1962,- 12, № 3.- P. 219-226.

16. Курбатова И.Н. К задаче о кваэиголоморфно-проективных отоб-- ранениях 2Р-пространств /Одес. ун-т.- Одесса, 1979,- 29 с.-

Библиогр.: б назв. Деп. в ВИНИТИ 03.07.79, К? 2429-79Деп.

17. liikeS J. F-planar napping and transforEations // Diff. gsoa. end Appl. Proc. Conf.- Brno, 1986. Commun.- I9S?.-

P. 245-25^.

18. Микеш й., Оинюнов H.C. О квазипланарных.отображениях пространств аффинной связности //Изв. вузов. Мат.- 1983,-

¥ I.- С. 55-61.'

19. Gray A.* Hervella L.U. The sixteen claaaoa of alaoafc lleraiti&n aanifolda and their linear invariants // Ann. di Mat. pura ed appl.- I960.- 125, H" 4.- P. 35-58.

20. Кириченко B.S>. Метода обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий //Итоги науки и техи. Пробл. геометрии /ВИНИТИ, Г386,- 18.- С. 25-71.

21. Шандра И.Г. Расслоешше пространства вполне приводимой связности и аналоги геодезических отображений /Одес. ун-т.-

Одесса, I9B7.- 44 е.- Библиогр.: 12 назв. Деп. в УкрНИИНТИ >

04.02.87, К? 599-УК87.

22. Sakaguchl Т. On the holoraorphically projective correspondence between Kahlerian spaces preserving complex otruc-turo // Hokkaido Math. J. - 1974-.- 3, № 2.- P. 203-212.

Публикации автора: .

23. Шиха M. Голоморфно-проективные отображения т-параболи-чески келеровых пространств //Мехдунар. науч. конф. Доба-чевский и современная геометрия. Тез. докл. Часть I.- ■ Казань, 1992.- С. II5-II6.

24. - Голоморфно-проективные отображения Риччи-рекуррентных

-параболически келеровых пространств //Респ. науч.-метод, понф., посвящ. 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского. Тез, докл. Часть I.-Одесса, 1992.- С. 100-101.

25. -, Мнкеа Л. Голоморфно-проективные отображения ' -пара- , болическя келеровых пространств //Ш Всес.шк. ПонтрЛгинскио чтения. Оптим. управл. Геометрия и анализ. Тез. докл.-Кемзрово, 1990.- С. 49.

26. -, - Параболически келеровы и сасакиевы пространства // Всес. сосец. ш. ученых по дифф. геометр., посвящ. 80-ле-тм Н.В.Ефимова. Тез. докл.- п.Абрау-Дирсо, Ростов-на-Дону, 1990.- С. 112.

27. -, - Голоморфно-проективные отображения параболически ко- ■ леровых пространств /Одос. ун-^.- .Одесса, 1991.- 19 с. -Деп: в УкрНШПИ 08.0Q.9I,. Р 1123-Ук91.