Геометрические свойства симметричных пространств измеримых операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

КРЫГИН Андрей Васильевич

Ташкент-^1991

Работа выполнена в Ташкентском государственном университете имени В. И. Ленина, Ташкентском институте инженеров железнодорожного' транспорта имени Акмаля Икрамова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент В. И. ЧИЛИН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Д. П. ЖЕЛО-БЕНКО

кандидат физико-математических наук Ш. М. УСМАНОВ

Ведущая организация: Воронежский государственный

университет

Защита диссертации состоится « Я » НОЛ^клХ- ^991 г. ^ -:-(-

в часов на заседании специализированного совета К 067. 02. 10 по присуждению степени кандидата физико-математических наук в Ташкентском государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 700095, Ташкент, 95, Вузгородок, ауд. А-205.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ташкентского государственного университета.

Автореферат разослан « 2£ > С^лТрл г-

/

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-маг. наук, доцент^й "

£

А. К. ВАРИСОВ

I.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работах Р.Шаттена.И.Ц. Гохберга и М.Г.Крейна было положено начало изучению симметрично-нормированных идеалов компактных операторов в алгебре 8(Н) всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Н , являющихся некоммутативным аналогом симметричных пространств числовых последовательностей.

Активное развитие некоммутативного интегрирования, основанного на теории алгебр фон Неймана, построение которой было заложено в работах Ф.Дж.Мюррея и Да.фон Неймана, сделало естественным рассмотрение нового класса банаховых пространств -симметричных пространств измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана. Такие пространства являются аналогом симметричных пространств измеримых функций на произвольном пространстве с мерой. Начало самой теории некоммутативного интегрирования было заложено в работах И.Сигала и Ф.Стайнс-принга. Дальнейшее свое развитие эта теория нашла в работах А.Конна, Х.Косаки, Е.Нельсона, В.И.Овчинникова, Ф.Дж.Ецона, М.А.Муратова, В.И.Чилина, Ф.А.Сукочева, Т.Фака. Ф.Хиаи.Б.де Пагтера, П.Г.Додцса, Т.К.Доддс, Н.В.Трунова, А.Н.Шерстнёва и других. Следует такке указать на исследования Ш.А.Ашова и Н.В.Трунова, связанные с построением теории неассоциативного интегрирования на йордановых алгебрах.

Впервые некоммутативные симметричные пространства на алгебрах фон Неймана, отличных от В(Н) рассматривались в работах В.И.Овчинникова. В случае алгебры В(И) класс некоммутативных симметричных пространств совпадает с классом

симметрично-нормированных идеалов компактных операторов. Таким образом, теория некоммутативного интегрирования явилась тем необходимым инструментом, который позволил продолжить соответствие между симметричными пространствами последовательностей и симметрично-нормированными идеалами в В>(И) на случай произвольных симметричных пространств функций и ассоциированных с ниш некоммутативных симметричных пространств на аЛгебрах фон Неймана. Дальнейшему изучению свойств таких пространств посвящены работы Ф.Дк.Ецона, А.М.Медаитова, Ф.А.Сукочева.В.И. Чллина, П.Г.Додцса, Г.К.Додас, Е.деДагтера, К.Шу и других авторов. Отметим также предложенный А.М.Бикчентаевым метод построения некоммутативных Р - нормированных идеальных пространств измеримых операторов.

Наиболее интересными и содержательными примерами симметричных пространств измеримых операторов являются некоммутатив-ше и - пространства, пространства Орлича, Лоренца, Мар-цинкевича. Свойства этих пространств подробно изучались в работах М.А.Мурагова, О.Е.Тихонова, Н.Б.Трунова, В.И.Чилина, А.Н.Шерстнёва, А.Катоволоса, Х.Косаки, Ф.Дя.Ецона, А.М.Меджи-това.

Одним из ванных направлений в теории банаховых пространств является геометрический аспект этой теории. В связи с этим в развивающейся теории некоммутативных симметричных пространств возникает необходимость изучения геометрических свойств этих пространств. Эти исследования, как в случае симметрично-нормированных идеалов, так и в случае некоммутативных симметричных пространств на произвольных алгебрах фон Неймана уже получили отражение а серии работ Н.Томчак-Ёгер-канн, К.Маккарги, Дн.Арази, С.Квапеня, А.Падчинского.В.И.Чи-

лина, Ф.А.Сукочева, Т.Фака, К.Шу.

Цель р. а б о т н. Цель исследований, представленных в диссертации, заключается в изучении геометрических свойств некоммутативных симметричных пространств измеримых операторов, присоединенных к полуконечным алгебрам фон Неймана.

Общая методика 'выполнения исследований. В работе используются методы теории некоммутативного интегрирования, теории симметричных функциональных пространств, теории банаховых решеток, теории некоммутативных симметричных пространств, а также обычная техника функционального анализа.

Научная -новизна. В работе исследованы различные геометрические свойства некоммутативных симметричных пространств. Предложено обобщение понятия оператора блочного проектирования в пространстве всех локально интегрируемых операторов, присоединенных к произвольной полуконечной алгебре фон Неймана. Изучены свойства этого оператора. Описано множество крайних точек Еыпуклого вполне симметричного множества локально интегрируемых операторов, присоединенных к непрерывной полуконечной алгебре фон Неймана. Получен общий вид крайних точек единичного шара некоммутативного пространства Лоренца. Получены условия доя локальной равномерной выпуклости и равномерной выпуклости некоммутативных симметричных пространств и симметрично-нормированных идеалов компактных операторов. В частности, получено решение задачи о равномерной выпуклости симметрично-нормированного идеала компактных операторов,сформулированной Дя.Арази. Установлен критерий р> - выпуклости и 0. — вогнутости некоммутативного симметричного пространства.

Теоретическая и практическая значим.ость. Результаты и метода диссертации можно использовать мя развития теории банаховых пространств измеримых операторов, а также для изучения различных геометрических свойств некоммутативных симметричных пространств.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ХУ школе по теории операторов в функциональных пространствах (Ульяновск, 1990 г.), на городском семинаре до функциональному анализу при кафедре функционального анализа ТашГУ им.В.И.Ленина (1987-1989 гг.), на конференциях молодых ученых ТашГУ им.В.И.Ленина (1988-1989 гг.), на конференции молодых ученых Института математики АН УзССР (1988 г.).

Публикации. Но результатам диссертации опубликованы статьи [I - Ю] . Работа [5] выполнена автором совместно с А.М.Медаитовым, работы [6 - 8] - совместно с Ф.А.Су-кочевым, работы [9,10] - совместно с Ф.А.Сукотевш и научным руководителем В.Н.Чилиным.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, предварительных сведений (§1), двух глав, разбитых на восемь параграфов и списка литературы из 106 наименований. Общий объем работы 150 страниц машинописного текста.

П. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается тема исследования, приводится обзор содержания диссертации и кратко излагаются основные результаты работы.

В § I, содержащем предварательные сведения, приведены определения измеримых и интегрируемых операторов, некоммутативных симметричных пространств, а также необходимые сведения из теории некоммутативного интегрирования, теории симметричных пространств и теории банаховых решеток. Здесь не вводятся основные обозначения; приведем некоторые из них.

Пусть М- - полуконечная алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве Н , I* - точный нормальный полуконечный след на М , 1 - единица в М , решет-

ка всех проекторов из М , (М,- пространство всех ^ -измеримых операторов, присоединенных к м , с rn.fi) - пространство всех - интегрируемых операторов из . Перестановкой оператора X С ) называется функция

^ (О, |чйу) —- [ О , <хз ) , определенная равенством

||. 11^ - норма в М . Положим равным р^ (х) , если ^1(1) = °°

и равным О , если |И(А) < . Для операторов

ЙХМ.ц) запись Шу обозначает, что 6

* Jfcs(y)°l■S дм любого ¿е(о,у*(/)> .Если и уЧ^С одновременно, то применяется обозначение Я &^ . Орбитой оператора X. &

называется множество = Подмножество IV Я ^

называется вполне симметричным, если из W вытекает,

что O(^) g W . Линейный оператор Т на t?(M,jH-)+M

называется допустимым, если он является сжатием в обеих нормах l-llj и 1'//^ пространств я М .Если W - выпуклое вполне симметричное множество из //(Ai, f-) +

'А- ( О '

+ М , то через W ойозначается множество j /£: lí (о,J^lí))+

для некоторого

zeW и

всех , где f - невозраставдая переста-

новка функции ///. Банахово пространство (E(M,J4), II • II^^ yw))~

с. (M,J4) + M называется симметричным пространством на

алгебре М , если из Л G , Ц^ £Ш,Ь<\ ,

ус.(у) é Д íx) при всех te(o,J*(i)) следует

У* ЕСМ.р.) и "Х,1Ш,Г}-

В случае, когда М.- ,<¿) , О < o¿ ¿ + <хз t приве-

денное определение совпадает с определением симметричного пространства функций на (O,o¿). Нормированное пространства (В(М.,р-), И'Иеш - L?(M,Jl)-+M называется ассоциированным с симметричным пространством функций //• II£ )— £■ ll(0,ot) + CtO,cL), o/*j*U) , если

E(Mfylxel¿(fllfyH: а VV4-

Если симметричное пространство (£, //• 11£) £ + С

oL*- -правильное (т»е. его норма порядково не~

прерывна), то ассоциированное с ним пространство (£(А!,уч),

М ' ук.) на алгебре М является правильным симметричным пространством на алгебре М . Если IV - выпуклое подмножество банахова цространства X , то через &х. IV обозначается множество всех крайних точек из V , Банахово пространство ( X, I' 11% ) называется локально равномерно выпуклым, если из условий , хеХ , я хп. ч, ' ш,1у при вытекает,

что II х. I) —«- о при Л- —ее , и равномерно выпуклым, если из условий X , II ^ ,

1, II ^ ^ IIх -- 2 при выте-

кает, что Х-п.'У*. Их —0 ЯР3 а—°° • Е^710 сш_ метричное пространство а <■ о1 + оо локально равномерно выпукло или равномерно выпукло, то оно правильно.

Первая г л а в а ( §§ 2-6 ) посвящена описанию крайних точек выпуклых вполне симметричных множеств,в частности, единичных шаров в некоммутативных пространствах Лоренца.

В § 2 строится допустимый оператор в являющийся аналогом оператора блочного проектирования в симметрично-нормированных идеалах в В>(И) . Основным результатом § 2 является

Предложение 2.3. Пусть £ е Д ,

кфуп.; п., т. - {, 2, ... . Тогда для любого X е. существует единственный элемент

- го -

<Р(Х)& такой, что Ъ(<Р(Х)) £ уэ ;

где Ъ(Ф(х)) _ правый носитель ФС*) , и ФС*)^ -

ддя любого П.* 1,2,... . Отобраке-ние Ф : М —+ М линейно, поло-

жительно, Ф(х) < к дая любого ££ (М„н) + М , а, 1фоае того, если £ С (М.,1*-) (соответственно,

л да

£ М ), ТО 21 с рядом, сходя-

щимся по норме пространства ¡.*(М, р) (соответственно, в сальной операторной топология в М ).

Построенное в предложении 2.3 линейное отобракение называется оператором блочного проектирования в порожденным проектораш £ , л * -1,2,... . Этот оператор

ыокет быть записан в силу доказанного в виде -

= 21 , 2-£ I М. Из предложения 2.3

вытекает следующее свойство предпорядка Ч

Следствие 2.4. Пусть Р £ Р(М) , л=

1и

{ м-

ос. е. /_ (М, Н) + М . Тогда р х. Р я.

н.-i 1у>-

ЕЕцЭ одно свойство оператора блочного проектирования получено в следствии 5.20.

§ 3 посвящен доказательству свойств перестановок измеримых операторов, которые будут использованы при доказательстве основной теоремы § 5. Эти свойства, представляющие также и самостоятельный интерес, содержатся в следующих двух предложениях.

Предложение 3.1. Пусть

х ^у^, (х) 4 , у*0 . Тогда существует такое число 5>0, .что у* + р >у* (X). Предложение 3.5. Пусть £ ¿(М.,р)+М,

/7*. Тогда у-о .

В § 4 описываются крайние точки выпуклых вполне симмет-

{ со

ричных множеств функций из КО)+ (<0\ где(0,£,т) - пространство с непрерывной б" - конечной мерой г . Дли

обозначения перестановки функции Х- ш) + г со) наряду с и ' используются обозначения

и £.(*?).

Теорема 4.9. Пусть ТУ - выпуклое вполне симметричное множество из .Тогда

в том и только в том случае,когда * £ ед: И^ и /х.1 х(<х>) п.в.

С помощью этой теоремы доказывается теорема о крайних точках орбиты локально интегрируемой функции.

Теорема 4.10. Пусть х> % £ + С(&).

Тогда л: £ йс О^у) в том и только в том случае, когда •X.- у и (X/ ^ £(<**) п.в.

§ 5 посвящен описании крайних точек выпуклых вполне симметричных множеств измеримых операторов. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 5.16. Пусть М - непрерывная полуконечная алгебра фон Неймана, у*. - точный нормальный полуконечный

след на М , Щ - непустое выпуклое вполне симметричное подмножество в (М, у") + М . Тогда ех.Иг в том и

только в теш случае, когда ех. Ш я выполнено одно

из следующих условий:

- соответственно левый, правый носители , - центральный носитель проектора р , /ж/ - модуль .

Приведем некоторые следствия из теоремы 5.16. Следствие 5.18. Пусть ^ е + М . Если

Д (я:_)= й ^ 10 ц£ 0(х) в том и только в том случае, когда X. я у . Если 70 , то у С всс. О (х) в том

и только в том случае, когда Я&у , г(%))=0

Следствие 5.20. Пусть €■ Р(М) , Ф , П-^ун. , к., м. - 1,1,... , Ф- оператор блочного проектирования в + М , порожденный |Д} ,

, = 0 ■ Тогда <Р(Х)Я:Х в том и

только в том случае, когда = .

§ 6 посвящен описанию крайних точек пространств Лоренца. Сначала исследуется коммутативная ситуация. Пространство Лоренца А^(О) на пространстве (О, ,т) с б'- конечной мерой ^ , построенное по непрерывной возрастающей вогнутой $унк~ ции на Ц>,оо), = 0 состоит из всех г - изме-

римых функций на О , для которых Н II. =

тГЙ?) 71V

= ] йС(1)с1ч'(±)< , Будем обозначать через Л^(О) а

^ г

единичный шар пространства Лоренца. Положим £ = пьип | У; Ц>(£) постоянна на (У, <*>)] и <*> , если Ч'Ш строго

возрастает; £ * постоянна на Со, у]] .

Теорема 6.1. х. £ всс А^ тогда и

только тогда, когда ос. имеет вид х(л>)~ , где

у(ЧЛ))

, а множество

удовлетворяет одному

из следующих условий:

а) ¿**< г (А) * ;

б) А - атом и г (А ) <■ ;

в),А=0 , в случае Ща») = йш.

Теоремы 5.16 и 6.1 позволяют дать описание множества крайних точек единичного шара А^ ( М ) некоммутативного пространства Лоренца

- I в слУ436» когда алгебра М

является непрерывной.

Теорема 6.2. Пусть Я - непрерывная полуконечная алгебра фон Неймана, у* - точный нормальный полуконечный след на М .

а) Если 4>(аз)-оо или ук- а) < <*> , то

К? №'}*•)' I 1Щ)) и : и£М - частичная изомет-

рця, удовлетворяющая условию <^ (Iй-!) < }■

б) Если Ч?(*>) =0. с« и ) - аз (Т0

в* Кг (Кр Ь { щрош)) и : иеМ ~ частичная из0~

мегрия, удовлетворяющая одному из условий:

±**<(1-и?и)М({1-ии*) = {о}}.

Б случае, когда функция У строго вогнута, получено описание крайних точек единичного шара пространства Лоренца на произвольной полуконечной алгебре фон Неймана.

Теорема 6.6. Пусть М - полуконечная алгебра фон Неймана, уН - точный нормальный полуконечный след на М , У - строго вогнутая возрастающая непрерывная функция на ГО,со) , (¿уо)=0 .

а) Если - 00 или , то

еж Л* (ДуО = щрцщ и '■ и £ М - частичная

изометрия, удовлетворяющая условию ^ (Ш-1) < аа] ■

б) Если Ч/(а")< <*> и , то. А1, (М, Н) - I -(- и. : ие М - частичная

V ) I у^аип)

изометрия, удовлетворяющая одному из условий:

(#- и*и.) М ({- .

Вторая г л а в а (§§ 7-9) посвящена исследованию таких геометрических свойств некоммутативных симметричных пространств как локальная равномерная выпуклость, равномерная выпуклость, р - выпуклость и ^ - вогнутость.

Основные результаты § 7 и- § 8 могут быть сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема (теоремы 7.1 и 8.2). Пусть М - полуконечная алгебра фон Неймана, р- - точный нормальный полуконечный след на М , 1 - единица в М , (Е(М,р), II- НЕ(м ^ ) -

симметричное пространство на алгебре Я , ассоциированное с локально равномерно выпуклым (равномерно выпуклым) симметричным пространством (Е, II-/1£) функций на [0,с1), <¡¿=^(4) Тогда ( II- И^щ р) - локально равномерно выпукло

(соответственно, равномерно выпукло ).

Получены такке варианты этик теорем для атомических алгебр фон Неймана.

Теорема (теоремы 7.12 и 8.4). Пусть, Е - сепара-бельное симметричное пространство последовательностей действительных чисел, СЕ - симметрично-нормированный4идеал компактных операторов в &(Ю , ассоциированный с £ . Следующие условия эквивалентны:

1. СЕ локально равномерно выпукло (равномерно выпукло).

2. Е локально равномерно выпукло (соответственно, равномерно выпукло).

В § Э исследуются у - выпуклость и р -вогнутость некоммутативных симметричных пространств. Симметричное пространство ( X, II'Их) на алгебре М или на интервале (О,а1\ О < сС 6 + оо, называется у - выпуклым ( р - вогнутым), + , если существует такая константа М , 0<М<+°°, что дай любого конечного множества хл г х^,..., Хл из X

выполнено

(соответственно,

Наименьшая из таких констант М - называется константой р -выпуклости ( р - вогнутости) пространства X и обозначается

через

АГ'Ш (соответственно, М(р(Х) ). Теорема 9.1. Пусть М - полуконечная алгебра фон Неймана,^ - точный нормальный полуконечный след на М , 1 -единица в М , //• } ) - симметричное прост-

ранство на , ассоциированное с правильным симметричным

пространством < Е, //• II£ ) функций на [о ,с1) , ,

.Тогда

(¿) Если (£,//•//£ ) -/»-выпукло, то (Е(М,м-) ,

(р)

"'"е(М р)) ? ~ ™о. Более того М (Е(М,р))&М (£).

(¿¿) Если (Е, II'ЦЕ ) - р - вогнуто,то С 5СМ,у) ,

II-"^ду^,) - С ~ вогнуто.Более того, (Е(М,^)) й ,

В качестве следствия (следствие 9.8) установлено, что в случае, когда алгебра Я непрерывна, р - выпуклость ( р -вогнутость) правильного симметричного пространства (Е , 1Ь11£ ) функций на , с1-р-(_&) , равносильна р - выпуклости

(соответственно, р - вогнутости) ассоциированного с нам симметричного пространства (Е(М,^)} Н'на алгебре

М . Более того, в этом случае (соответственно,

Завершая обзор диссертации, перечислим основные результаты, выносящиеся на защиту.

I. Описаны крайние точки выпуклых вполне симметричных множеств локально интегрируемых операторов, присоединенных к непрерывной полуконечной алгебре фон Неймана.

- 17 -

2. Описаны крайние точки единичных шаров пространств Лоренца на произвольных полуконечных алгебрах фон Неймана.

3. Получены условия дай локальной равномерной выпуклости, равномерной выпуклости, у - выпуклости и ^ - вогнутости некоммутативных симметричных пространств на полуконечных алгебрах фон Неймана.

Автор выра&ает искреннюю признательность и глубокую благодарность своему научному руководителю Владимиру Ивановичу Чилину за постоянное внимание и большую помощь в работе над диссертацией.

Ш. РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. К р ы г и н A.B. Крайние точки вполне симметричных подмножеств в Li + L^ // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-ыат. наук. 1990. й I. С.15-22.

2. К р ы г и н A.B. р - выпуклость и ^ - вогнутость некоммутативных симметричных пространств // Докл. АН УзССР. 1990. №2. С. 7-8.

3. К р ы г и н A.B. f - выпуклость и ^ - вогнутость некоммутативных симметричных пространств. Рукоп. деп. в ВИНИТИ, № 2027-В90. М.:' ВИНИТИ. 1990. - 15 с.

4. К р ы г и н A.B. Крайние точки единичного шара некоммутативного пространства Лоренца. Рукоп. деп. в ВИНИТИ,

№ 4982-В90. М.: ВИНИТИ. 1990. - 13 с.

5. К р ы г и н A.B. .Меджитов A.M. Изометрии пространств Лоренца. В кн.: "Математический анализ и теория вероятностей". Сб. научных трудов ТашГУ. 1988, С.52-62.

6. К р ы г и н A.B., С у к о ч е в Ф.А, Крайние точки выпуклых вполне симметричных множеств измеримых операторов // Докл. АН УзССР. 1989. Л I. С.5-6.

7. К р ы г и н A.B., С у к о ч е в Ф.А. Равномерная выпуклость некоммутативных симметричных пространств. Рукоп. деп. в ВИНИТИ. № 28I2-B90. М.: ВИНИТИ. 1990. - 5 с.

8. К р ы г и н A.B., С у к о ч е в Ф.А. Локальная равномерная выпуклость некоммутативных симметричных пространств.

В кн.: "1У-школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тез. докл." Ульяновск. 1990. 4.1. С.135.

9. К р ы г и н A.B., С у к о ч е в Ф.А., Ч и л и н В.И. Крайние точки выпуклых вполне симметричных подмножеств измеримых операторов. Рукоп. деп. в ВИНИТИ. И 4028-В89. М.: ВИНИТИ, 1989. - 49 с.

10. К р ы г и н A.B., С у к о ч е в Ф.А.,4 и л и н В.И. Равномерная выпуклость и локальная равномерная выпуклость симметричных пространств измеримых операторов. Рукоп. деп. в ВИНИТИ. J6 5620-В90. М.: ВИНИТИ. 1990. - 23 е.-