Геометрические вопросы теории мероморфных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Тематика исследования. О структуре изложения.

ВВЕДЕНИЕ п.1. Определения и основные результаты теорий Р.Неван-линны и Л.Альфорса. п.2. Формулировки основных результатов. гл. I. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ТИПА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Р.НЕВАНЛИННЫ И Л. АЛЪФОРСА.

§1. Дефектные знвчения и струтура поверхностей наложения. 48 Дополнение к

§1. Перенос основных теорем теории поверхностей наложения на один класс поверхностей в

§2. О геометрической структуре образа круга при отображениях мероморфными функциями.

§3. О распределении сумм а-точек мероморфных функций.

§4. Распределение сумм а-точек и римановы поверхности класоа Р;

§5. Исключительные значения ассоцированные с логарифмическими производными мероморфных функций. гл. II. ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ ПРИ МЕРОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.

§1. Теоремы искажения п.1.1. Распределение искажений при отображениях мероморфными функциями, п.1.2. Искажения по аргументам п. 1.3. Некоторые соотношения связанные с теоремами искажения.

§2. Геометрический подход к проблеме трансцендентной разветвленности. III п.2.1. Истории вопроса и идеи. п.2.2. Теоремы о развет-вленности римановой поверхности над. кривой Г и их связь с теорией поверхностей наложения Л.Альфорса.

§3. Свойство близости а-точек мероморфннх функций.

§4. Распределение точек на окружности » образы которых при отображении мероморфной функцией лежат на фиксированной кривой.

§5# Доказательства. п.5.1. Теоремы искажения для функций класса F p(D). п.5.2. Оценки суммы Бляшке для голомлофной в О Функции w. п.5.3. Геометрическая конструкция доказательства теорем искажения. п. 5.3 . Некоторые вспомогательные утверждения, п.5.4. Доказательства результатов

§§ I - 3 . п.5.5. Модифицированная теорема искажения, как теорема о близости а-точек. п.5.6. Доказательства теорем 4.1 и 4.2.

§6. Дополнение. Некоторые модификации принципа длины и площади. гл. III. СВОЙСТВО БЛИЗОСТИ а-ТОЧЕК И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.

§1. Свойство близости а-точек и свойство а-точек располагатьсяпачками . ^

Некоторые оценки величин отклонений мероморфных функций конечного нижнего порядка.

§3. О взаимном расположении асимптотических мест и а-точек мероморфных функций.

§4. О необходимом условии существования решения общей интерполяционной задачи. гл. 1У. СВОЙСТВО БЛИЗОСТИ а-ТОЧЕК МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ И СТРУКТУРА ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ РИМА-НОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

§1. Основные результаты, следствия, обсуждения п.Т.1. Основные результаты. п.1.2. Связь со второй основной теоремой теории распределения значений. Вывод соотношения дефектов, п.1.3. Свойство близости а-точек мероморфных функций, п.1.4. Выделение однолистных областей на римановой поверхности функции w п.1.5. О структуре первой основной теоремы теории поверхностей наложения Л.Альфорса. п.1.6. Теоремы I.I и. I.I как теоремы о кругах наполнения п. 1.7. Теоремы о лучах Бореля. п. 1.8. Некоторые обобщения и аналоги. п.1.9. Литературные примечания.

§2. Предварительные сведения и построения. п.2.1. Подсчет констант в основных теоремах теории поверхнос тей наложения Л.Альфорса. п.2.2. Построение областей Вс^с)- "скелетов дракона".

§3. Построение областей В^ и ЬХи^О^СО) и их свойства. Доказательства основных теорем.

щих по-новому интерпретировать все результаты, в которых фигурируют дефекты, и изучением сумм CL-точек, для которых, как ока- 8 залосъ, справедливы соответствующие аналоги основных теорем Р.Неванлинны.Имеют место соотношения и в большинстве приложений характеристики Т(Х) и TV) взаимозаменяемы.Из (12) вытекает, что исключая, быть может, не более чем - 12 счетное множество значений CL , ёса)-0 и УСО(.)=0- Тем самщ теорема 2 ж соотношение дефектов указывают на замечательную общность в распределениях кожчества CL-точек для большинства значений а . в 1935 году в своей теории поверхностей наложения Л.Альфорс указал новый, метрике-топологический подход к основным теоремам теории распределения (см. fl], гл.ХШ). В частности, им был доказан следующий (непроинтегрированный) аналог второй основной теоремы Р.Неванжнны.В § I главы I данной работы изучается как раз вопрос о точечном варианте первой основной теоремы. При этом, попутно приобретается новая информация о связи дефектных значений с геометрической структурой римановой поверхности функции VV (см.[4]).Введем теперь некоторую величину у(Х; d) , характеризующую структуру этих участков ^ г/^ .Величина У(Х,(Х) определяется структурой О'/^ в окрестности точки d и сама характеризует эту структуру, показывая суммарное количество целочисленных оборотов дут Y ^ вокруг точки <Х .Аналогичную величину можно определить и в случае конечной ояносвязной поверхности наложения над римановой сферой с гладкой границей ^ F . В самом деле, пусть F - поверхность, получаемая из р стереографическим отображением.Если граница Э г поверхности г задается функцией if-lfC"^) )2:1 = 1 , то величина V(P,Ci) определяется как выше, аналогично величине У(^,<Я) при Ъ- d..Теорема 1.2. Пусть Р - конечная односвязная, с гладкой границей поверхность наложения над римановои сферой. Тогда для любого (X €. выполняется равенство где |К1-=^ к с а ) ^ eoH.&i-==oo.Отметим, что в определении величины vCt,Ci) , являющейся аналогом неванлинновской функции приближения т.С^,Л) , формально нет указаний о близости граничных дуг 3 Гы к 0L , хотя качественно такой вывод тагл содержится: "большое" число оборотов при "малой" длине ог,^ (условие регулярной исчерпываемоети) означает, что дуги с) rL должны сжиматься вокруг точки СХ, .Теоремы 1.2 и 1.4 содержат в качестве следствия некоторые высказывания из дифференциальной геометрии в целом, о которых подробнее будет сказано в дополнении к § I главы I.Теорема 1.2 восполняет отсутствовавшую в теории поверхностей наложения Л.Алъфорса первую основную теорему в случае, когда роль областей выполняют точки.Введем теперь две величины, с которывж ниже мы будем связывать более подробное изучение геометрической структуры ^ /^ .Б пользу такой "рациональности" строения о FL говорит следующий результат [8^.В § 3 главы I исследуется поведение алгебраических сумтл (X-точек в круге (Zl ^ *L , в которых естественно учитываются не только их количество (как в теориях Р.Неванжнны и Л.Альфорса), но и аргументы.Сформулируем полученные результаты, которые можно рассматривать как аналоги основных теорем теории распределения и теории поверхностей наложения (см. [ ю Т ) .Интересно, что для величин В и С выпо-лняется аналог тождества Картана. Именно, имеет место равенство - 20 В основном тексте работы приводятся также аналоги второй основной теоремы.В § 4 главы I устанавливается обращение аналога второй основной теоремы д.ля суглм 0L -точек функций одного частного класса (см. ClSl). Задача обращения второй основной теоремы, т.е. выяснение случаев, когда там имеет место асимптотическое равенство, исследована Коллингвудом при довольно общих предположениях (см. [12], а также [13]). Однако его формулировки содержат большое число факторов, характеризующих поведение мероморфной функции.В работах по теории распределения значений мероморфных функций получение окончательных результатов зачастую упирается в оценки логарифгжческих производных. Значительное число работ посвящено оценкаьл интеграла В ряде работ для v\/er\ приводятся оценки величин ei г. гдеДс^,СХ) определено выше, Однако до сих пор оценки логарифмических производных фигурировали как вспомогательные, технические средства.Теорема 5.1 (см. [20]). ПустьW6/Л и \у^<оо ,(а^)^конечный набор попарно различных комплексных чисел. Тогда существует такая абсолютная постоянная \\< со , что на некоторой неограниченной последовательности значений Ъ выполняется неравенство 211 Р(ч,а^) ^K(A,,+i)Tct). (34) Из теоремы 5.1 вытекает следующий аналог соотношения дефектов Р.Неванлинны.Следствие I. Для мероморфной в С функции W при условии 7V^ <оо множество {л • JD(ее) > 0 | , где t-^oo Тех) не более, чем счетно, и имеет место неравенство Следовательно значения (X для которых ос)СЛ)> и можно рассматривать как исключительные. Их можно сравнить с дефектными и исключительными значениями в смысле В.П.Петренко, т.е. такими, 1x1=4. > о.Теорема I.I устанавливает оценку искажений Гу .(т.e.L^*t^/^)) в зависимости от характеристики А(Х) . Из нее следует, что "быстрый" рост uixjy) возможен только для функций с "быстро" растущей характеристикой. Кроме того, из произвольности (^ следует, что относительные росты LC't, Гу) для различных V взаимосвязаны, что позволяет рассматривать теорему I.I как теорему о "распределении искажений".Из теоремы I.I вытекает следствие, аналогичное соотношению дефектов в теории Р.Неванлинны, относящееся уже к распределению искажений, точнее, распределению искажений длин.Изучение рассматриваемого вопроса в общем случае Р.Неванлинна связывал с изучением понятия дефектного значения. Он предлагал рассматривать дефект значения 0L функции W как меру транс- 26 цендентной разветвленности R ^ над точкой Л. (CM.[II, тХП, п.271-272). Это предложение основано на следующем наблюдении.Однако, как выяснилось позднее, понятие дефекта не находится в непосредственной связи с трансцендентной разветвленностъю римановои поверхности, так как для различных классов функций были построены примеры дефектных неасимптотических значений, и с другой стороны, примеры, когда наличие трансцендентных особых точек римановои поверхности над значением а не приводит к дефектности значения ft. (см. I , стр.274).В § 2 гл.П предлагается другой подход к изучению трансцендентной и алгебраической разветвленности ^^v ' основанный, в отличие от подхода Р.Неванлинны, на конкретной связи трансцендентных особых точек римановои поверхности и асимптотических линий функции W .Теорема 2.1. Пусть W€: ^ < оо , Тогда для существует такая постоянная зависящая только от \ ^ , что неравенство Ссх,Г) ^ к Тех) (37) выполняется на некоторой неограниченной последовательности значений t .Теорема 2.2 содержит подход к вопросу описания алгебраической и трансцендентной разветвленности /ху^. В суглме СхХуГ) фигурируют только такие интервалы, которые имеют в качестве концевой точки хотя бы одну алгебраическую или трансцендентную точку. Заметим, что для любого из этих интервалов прообраз его, начиная с некоторого t , имеет пересечение с кругом )^|<г^ . Следовательно, начиная с этого Ъ , величина Сс%Г) получает приращение, равное единице, т.е. в величине Сс*Ь,Г) фиксируется соответствующая концевая точка разветвления (трансцендентная и.ли алгебраическая). Поэтому оценки сверху величин CctjV) являются в то же время оценками трансцендентной и алгебраической разветвление- 28 сти римановои поверхности над / .В § 3 главы П приводится "свойство бжзости d -точек мероморфных функций", которое характеризует взаилшое расположение а -точек для различных значений d .Будем пользоваться следующими обозначениями: Z^ C^^ X) (X -точки функции W ; Га при псг.а) ^ исч, €), Vy^Ctj(Xyb) - некоторая перенуьлерация OL -точек и о -точек, лежащих в круге |2:|<'L ( iC-кратные точки учитываем К-раз).Значительно позднее в работах Н.Уильфа Г301 и Геллерштейна и Ж.Коревара [3ll этот результат был передоказан. В дальнейшем порядки величин rCi-)') оцениваются в ряде работ, среди которых, по-видимому, наиболее законченные результаты приводятся в работе Геллерштейна [32] и недавней заглетке Н.Майлза и Д.Таусенда [ЗЗ}.В частности, в [321 показано, что если W - целая функция, а / - неограниченная алгебраическая кривая, то имеют место соотношения (40) и Там же доказано, что (41) выполняется, есж Р - ограниченная алгебраическая кривая и замыкание / содерлщт неванлинновское дефектное значение функции vV .В заметке ГззТ анонсированы следующие результаты: Если w целая функция, Р - ещшичная окружность, то тогда (42) Тем самым дан ответ на вопрос Ж.Коревара, приведенный в обзоре нерешенных задач У.Хеймана f35J.Мы покажем, что на самом деле д-ля мероморфной в D функции выполняются следующие неравенства: XuD^R))dR ^ ZLbCwCD)) SCD)] , (50) О которые в силу их геометрического содерл^ания являются аналогагли принципа длины и площади. Эти неравенства содержатся как частные случаи в более общем результате § 6.В § I главы Ш выявляется новая закономерность поведения CL-точек мероморфных (и псевдомероморфных) в (L функций, которая, в определенном смысле предельно, уточняет оценки, характеризующие "свойство бжзости Я.-точек" (см. § 3 главы П); обнаруживает свойство OL-точек располагаться "пачками"; с другой стороны усиливает основные утверждения в теориях Р.Неванлинны и Л.Альфорса - соотношения дефектов.Основной результат главы Ш (теорема I.I) затрагивает ряд нерассмотренных ранее факторов, характеризующих геометрическое поведение мероморфных функций.Таким образом, теорема I.I позволяет получить один из основных выводов теории распределения значений, вытекающий из соотношения дефектов: количества Ц - и ь-точек функции W^-z) , лежвлще в круге \^1 ^ Х , асимптотически "близки" для "большинства" значений dm v G.L . В целом же теорема I.I отражает более общую и точную закономерность распределения (Х- и ^-точек "свойство близости (X -точек", которое заключается в том, что помимо близости ко-личества этих Я- и 6^-точек, "близки", одновременно, их модули и аргументы. Поясним качественно это.Вк-лючение в главу Ш остальных результатов, к изложению которых переходим, обусловлено применением "свойства бжзости а,-точек при их доказательствах.Следствие I из нашей теоремы 3.1 дает ответ на второй вопрос.На этом неравенстве хорошо виден эффект, описанный в начале работы: величина (oCdy^ "в среднем" не превосходит 1/и, ; это означает, что Oty-точки "в среднем" избегают находиться на линиях Р .Аналогичный результат (см. в основном тексте) справедлив в случае, когда вместо OLy-точек, лежащих в "асимптотических" областях Ov., рассматриваются Q -точки, лежащие в областях, ограничиваемых соседними асимптотическими .линиями. Следователь- 39 НО йу-точки избегают находиться не только в областях, в которых W-^ (X , но и в "окрестностях" таких областей.Как отмечается в \_ЪЪ], получение одновременно необходимых и достаточных условий (с обеспечением единственности), задача чрезвычайной трудности: с одной стороны эти проблемы содержат - 40 в себе ряд еще нерешенных задач; с другой стороны такие условия должны, наверняка, содержать в себе еще и не подозреваемые свойства распределения ос-точек рассматриваемых классов.В § 4 главы Ш приводятся некоторые необходимые условия решений задач I ж II, непосредственно вытекающие из обнаруженного в работе [401 "свойства близости OL-точек" мероморфных функщш.Здесь приведем лишь результат, относящийся к задаче II.Эти теоремы отражают свойство близости Л-точек мероморфных функции, притом неравенство (61) отражает, по-существу, вторую основную теорему Р.Неванлинны. Качественно, полученные результаты можно выразить так: чтобы интерполяционная задача имела решение, необходимо, чтобы большинство узлов интерполяции можно было бы сгруппировать в пачки с малырли дш^тами.Изложм результаты главы 1У. Теорема Пикара дала толчок к построению ставших уже классическими теорий, предметы исследования которых можно разделить по двум основным направленияг^ я.В одном из них, развитом в основном французскими математикагли (Г.Жулиа, Ж.Валирон, А.Шйю, И.Дюфренуа), выявляется, что для мероморфной в (^ функции w можно указать в (£ луч <J (Жулия или Бореля) такой, что в угловой области произвольно малого раствора с биссектрисой J \л/ принимает все значения из С , кроме, быть может, двух; тот же вывод остается в силе, если вместо таких угловых областей взять определенные последовательности кружков с "малыми" диаметрами (кругов наполнения).Другое направление - теория распределения значений меро•морфных функций Р.Неванлинны и Л.Альфорса. /' •" U: - 42 Результаты второго направления отличаются точностью количе-' ственного описания CL -точек, однако они не содернат информации о взаимном геометрическом расположении а -точек для разжчных значений d .Преимуществом же результатов первого направления является наличие в них некоторой информации такого рода.Далее будет показано, что основные результаты обоих направлений можно по-новому осветить привлекая к рассмотрению понятие, очень бжзкое к кругам наполнения.Точность, с которой будут описаны количественные и метрические параметры совокупности областей u^Ct^) и их w/ -образов, позволит с единой позиции рассмотреть и усижть основные выводы обоих направлений, а также, что важнее, выявить новые стороны поведения мероморфных функций.Как показывает неравенство (66) теорема I.I заключает в себе "свойство близости Ct-точек", приведенное в главе Ш, с тем, 44 несущественным, отличием, с каким разнятся определения областей ^liX) в главах Ш и 1У. Следующая закономерность, выявляемая с помощью модификации теоремы I.I, описывает структуру однолистных областей на римановои поверхности Р .Известные применения теории однолистных функций к изучению мероморфных носят эпизодический характер и относятся к случаям, когда риманову поверхность К^ удается эффективно разбить на листы. Как на это неоднократно указывалось в литературе, вряд ли в общем случае возмо;:ШО эффективное разбиение на листы. Представляется, что в общем случае такое разбиение на листы могла бы успешно заменить информация следующего типа: выделение из римановои поверхности Р по возможности большего числа однолистных областей (в которых w однозначна), которые образованы удалением из плоскости по возможности минимального кожчества областей с малыми диаметрами. Если при этом области, в которых W однозначна, "почти" исчерпывают поверхность /-^^^ , то "почти" на всей поверхности могут действовать теоремы теории одножстных функщо.Рассмотрение задачи естественно проводить на поверхности г^ , являющейся стереографичесютм отображением на сферу Римана поверхности Р, , с тем, чтобы уметь оценивать "малость" удаляемых окрестностей бесконечности.Отметим, что ж число четыре и оценка г С^) в этой теореме точные. Отметим также, что из этой теоремы можно вывести уточнение первой основной теоремы теории поверхностей наложения Л.Алъфорса.Перейдем к резулътатагл первого направления.Легко показать, что и этот результат не может являться преде льныгл.Из теоремы I.I вытекает своеобразное "соотношение дефектов" для угловых областей Д ^ - О ) . Здесь мы приведем лишь его следствие, которое позволяет сразу усижть предыдущие результаты Валирона, причем приводимая оценка с точностью до постоянной (а не порядка) уже не улучшаема.Следствие. При Р> ^ существует такой луч ^ , что для любого £ > О неравенство Ь^ {п^а,%,а)/Асг)] :^ t/±Z (70) выполняется для всех а в (С , исключая не более двух Я. .Отметим, что аналоги приведенных результатов имеют место для псевдомероморфных функций, а также для мероморфных и псевдомероморфных в |2.|^гч.<оо функций, имеющих "быстрый рост".48 гл.1. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ТИПА ОСНОВНЫХ ТЕОРШ Р.НЕВАНЛИННЫ И Л.АЛЬФОРСА. § I. Дефектные значения и структура поверхностей наложения В первой основной теореме Л.Алъфорса роль значений сх, переходит к областям и в ней рассматривается вопрос о том, сколько раз полностью накрывает эту область образ круга |2:|^ Ч- при отображении функцией \л/(2) . Однако аналог первой основной теоремы для значений CL (когда область вырождается в точку) отсутствует (см. в С И , стр.351 интересные рассуждения, почему нельзя область непосредственно стянуть в значение GL ).Введем величину V(t,CL) , которая характеризует структуру этих участков ^ R^ .Величина VC^,CL) определяется структурой о г^ в окрестности точки 01, и сама характеризует эту структуру, показывая суммарное количество целочисленных оборотов дуг j/^ вокруг точки CL .Аналогичную величину можно определить и в случае конечной, односвязной поверхности наложения над римановои сферой с гладкой границей Ьг . В самом деле, пусть г - поверхность, полученная из такой поверхности F стереографическим отображением на плоскость.Если граница о г поверхности г задается функцией то величинаv(Г"^ (Х) задается как выше, аналогично величине у(^Л) приг=1.Отметим, что в определении величины VCt.,a) являющейся аналогом неванжнновской функции .приближения »пл-(1^ а) нет упоминания о близости граничных дуг ЪИ^ к 0L хотя качественно такой вывод в определении содержится "большое" число оборотов при "малой" длине ^г,^ (условие регулярной исчерпаемости) рзначает, что дуги о г^ должны сниматься вокруг точки OL. ' Теоремы 1.2 и 1.4 содержат в качестве следствия некоторые высказывания из дифференциальной геометрии в целом, о которых подробнее будет сказано в дополнении к § I, главы I.Теорема 1.2 выполняет отсутствующую в теории поверхностей наложения Л.Альфорса первую основную теорему в случае, когда вместо областей D рассматриваются значения а е к ) .Отсюда и из теоремы 1.2 имеем liuCi-jft-')-V(^ ;<^ JI'^ tiLCX.) однако в геометрическом плане, предпочтительно пользоваться величиной y(tf(X) , так как смысл величины j^vC^<-, Л) в [2], [з1 не указывается и навряд ли он прост.Доказательство теоремы I.I следует из двух лемм (см. [ 41).Теорема I.I следует из лемм I и 2.Отсюда и из очевидных соотношений A(i,w)=A(F) , La.v.)- Lr r ) "-''^ вытекает неравенство (1.3).Доказательство неравенства (1.4) ((1.5)) вытекает из неравенства (1.2) ((1.3)) и второй основной теоремы Л.Альфорса.Замечание I. Из неравенств (I.I), (1.2) вытекает интерпретация принципа аргумента С другой стороны, в терминах VCtjft.) уже сам принцип аргумента, по существу, является аналогом первой основной теоремы, поскольку последнее равенство можно переписать так Замечание 2. Из лемглы I.I вытекает аналог тождества Картана (не зависящий от теории поверхностей наложения) в виде А(ч)= f ^cs^'^) dO + KL(X) (J_2QJ о в самом деле, продифференцировав тождество Картана ([l], стр.179, формула 15) по Clt^vC получим равенство применив к левой части которого неравенство 1.2 леммы I.I получим I.I5.Дополнение к § I. Перенос основных теорем теории поверхно- 58 стей наложения на один класс гладких поверхностей в Кз..Вежчина v(F,u) интерпретируется на поверхности как количество "оборотов" нормалей к поверхности, в точках дуг Ул^Л) , вокруг 0L - направления. Учитывая это геометрическое содержание величины у(Г,а) , обозначим ее в терминах поверхности v(A,ft) .Из теорем 1.2, 1.4 и приведенных выше интерпретаций сразу следуют аналоги этих теорем для поверхностей М , в которых все величины наглядно описываются в терминах поверхности /Л .Теорема 1.2^. Пусть 1л гладкая поверхность в К , сферический образ которого есть поверхность наложения, удовлетворяющая условия1\л теоремы 1.2. Тогда для любого CL-направления имеем где ) k| ^ К(^) = toKst < оо.Теорема 1.4? Пусть г\ гладкая поверхность в Кз , удовлетворяющая условиям теоремы 1.2^.Если теперь предпололсить, что полную поверхность А можно исчерпать последовательностью подповерхностей /\^ /, так, чтобы &иа L O V l - О (условие, аналогичное условиягл регулярной исчерпьгоаемости поверхностей наложения), то по аналоши можно ввести понятие дефекта <Х -направления ^_>оо Ъ(1Л^) и получить аналог соотношения дефектов Легко можно указать класс поверхностей, удовлетворяющих поставленным условиям и кроме того условию "регулярной исчерпаемости".

1. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции, Гостехиздат, 1941, М-Л.

2. Ozaki S., Ono J., Ozawa М. On the function-theoretic identities Science reports, Tokyo, Bunriica Daigaku, Аф, 1951 »H 35,p.157-160

3. Hallstrom G. Warteverteilungssatze pseudomeromorpher funktionen.Acta Akad.aboensis. 1958, v.21, И 9, p.3-23

4. Барсегян Г.А. Дефектные значения и структура поверхностей наложения, Изв. А.Н. Арм. ССР, т. 12, 1977,46-53.

5. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии, Гостехиздат, 1947.

6. ФиниковС.П. Теория поверхностей, ГТТИД934.

7. Гольдберг А.А. Мероморфные функции, Итоги науки и техники, сер. Мат. анализ, 1973,т. 10.

8. Барсегян Г.А. О геометрической структуре образа круга при отображении мероморфными функциями, Матем. сборник, 1978, Т.Ю6,М, 35-43.9» Miles J. Bounds on the ratio n(r,a )/A(r) for meromorphic functions.-Trans. Amer.Math.Soc.,1971, v.162, p.383-393

9. Барсегян Г.А. 0 распределении сумм а-точек мероморфных функций, ДАН СССР, т.237, №4, 1977,761-763.1.. Гольдберг А.А., Островский И.В., Распределение значений мероморфных функций, Наука, 1970.

10. Collingwood, E.F. Sufficient conditions for reversal of the second funeamental inequaliti of meromorphic functions. Journal d9Anal. Math.,1952, v.153, N 2. p. 29-50

11. Виттих Г., Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям, Физматгиз, I960.

12. Teichmuller 0, Eine umkehrung des zweites Hauptsatzes. Deutche Math., 1937, 1 2, 96-107

13. Барсегян Г.А., Распределение сумм а-точек и римановы поверхности Fq , Мат. заметки, 1979, т.25,Щ, 51-59.

14. Puchs W.H.I., А Theorem on the Nevanlinna deficiencies of meromorphio functions of finite order, Ann. Math, 1958, 68, N 2, 203-209

15. Puchs W.H.I., Proof of a conjecture of G.Polya concerning gar series, III. J. Math, 1963, 7, N4, 661-667

16. Mues E., Uber eine Vermutung von Hayman, Math. Z., 1971, 119, N 1, 11-20

17. Петренко В.П., Рост мероморфннх функций, Харьков, Вища Школа, 1978.

18. Барсегян Г.А., Исключительные значения, ассоцированнне с логарифмическими производными мероморфннх функций, Изв. АН Арм. ССР,т. 16.« 5, 1981, 408-423.

19. Петренко В.П., Рост мероморфннх функций конечного нижнего порядка, Изв. АН СССР,1969, т.33, П2, 414-455.

20. Барсегян Г.А., Новые результаты в теории мероморфннх функций, ДАН СССР,т.238,№ 4, 777-780.

21. Барсегян Г.А., 0 геометрии мероморфных функций, Матем. сборник, т. 114(156), JK 2, 1981, 179-226.

22. Неванлинна Р., О распределении значений однозначных аналитических функций, Успехи мат. наук, 1939, № 6, 183-222 ( перевод С немецкого" Abkandlungen ans dem Math.Seminar. derHamburgschen Universität, 8, И 4,(1930),р.351-400).

23. Ahlfors L., Zur Theorie Uberlagerungsflechen-Acta Math., 1935, t.65, Ii 3-4, s.157-194

24. Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, 1962,т.2, ИЛ.

25. Стоилов С,, Топологические принципы теории аналитических функций, 1964, Наука.

26. Барсегян Г.А., Геометрический подход к проблеме разветвлен-ности римановых поверхностей, ДАН СССР, 1977, т.237,№4,761-763.

27. Gelfone A. Uber die harmonischen funktionen , Труда физ-мат ин-та АН СССР,1934, В 5, 149-158.

28. Wilf H.S., The argument of an entire function.-Bull.Amer. Math. Soc., 1961, v.67, p.488-489

29. Hellerstein S., Korevaar J. The real values of an entire function. -Bull. Amer. Math.Soc., 1964, v.70, p.608-610

30. Hellerstein S. The distribution of values of a meromorphic function ane theorem H.S. Wilf.-Duke Math.J., 1965, v.32, H 4, p. 749-764.

31. Miles J., Townsend D. On the imaginary values ofi meromorphic functions-"Lecture Notes Math.",1977, V.599, p.93-95

32. Miles J., Townsene D., Imaginary values of mcromorphic functions.- Indiana Univ.Math.J.,1978, V.27, Ю» p.491-503

33. Hayman W.K. Research problem in functions theory.- London Math. Soc., Lect. ITote ser 12,1974, p. 143-154

34. Барснгян i.A., Распределение нулей мнимых частей мероморф-ных функций, Матем. заметки, 1978, т.24,вып.2,183-194.

35. Барсегян Г.А., Геометрический подход к проблеме разветвлен-ности римановых поверхностей, ДАН Арм. ССР, 1977,т.65,216-220.

36. Хейман В.К., Многолистные функции, 1960,И1.

37. Евграфов М.А. »Аналитические функции, 1968,Наука.

38. Барсегян Г.А., Свойство близости а-точек мероморфных функций, Матем. сборник, 1983, 120(162),№1, 42-67.4,1. Weitsman A., A theorem on Nevanlinna deficiencies, Acta mathematika, 128, 1-2, 41-53, (1972).

39. Хейман B.K., Мероморфные функции, M. Мир, 1966.

40. Петренко В.П., Некоторые оценки логарифмической производной мероморфной функции, Изв. АН Арм. ССР, 1964,т.17, №1, 23-37.

41. Петренко В.П., 0 величинах дефектов мероморфной функции, ДАН СССР, 1964,т.158, №5, 1030-1033.

42. Петренко В.П., 0 величинах дефектов мероморфной функции,Теория функций,функц.анализ и их прилож.,1965,вып.1,57-70.

43. Петренко В.П., Некоторые оценки величин дефектов мероморфной функции, Сиб. мат. ж., 1966,т.7,№6, I3I9-I336.

44. Островский И.В.»Казакова И.В., Замечание о дефектах мероморф-ных функций малого порядка, Уч. зап. Харьк. ун-та,1964,138, Зап. мех-мат. фак. и Харьк. мат. о-ва, 30, 70-74.

45. Bombieri Е., Ragnedda Р., Sulle deficienze delle funzioni mero-morfe di ordine inferiore finito, Rend. Sem. Pac. Sei. Univ. Cagliari, 1967, 37, 23-38.

46. Петренко В.П., Асимптотические свойства одного класса мероморф-ных функций, Вестн. Харьк. ун-та,1970,вып.34,№53, 82-98.

47. Петренко В.П., 0 росте мероморфных функций конечного нижнего порядка и величинах их дефектов,Сиб.мат.ж.,1967,т.8,№5,1156-1189.

48. Гольдберг A.A., Еременко А.Э., Об асимптотических кривых целых функций, Мат.сборник,1979,109(151),№4,555-581.

49. Барсегян Г.А., 0 взаимном расположении асимптотических мест и a-точек мероморфных функций, Изв. АН Арм.ССР, 1983,т.18, №2, 124-133.Miles J., A note on Ahlfors' theory of covering surfaces.-Proc. Amer. Math. Soc., 1969, v.21, N.1, p.30-32.

50. Гыка Б.О., Замечание к теории поверхностей наложения Альфорса, Теория функций,функ. анализ и их приложения,1974,№20,70-72.

51. Nevanlinna R, Uber die Konstruktion von meromorphen Punktion mit gegebenen Wertzuordnungen, 1965, Wiss.Abh.der Arbeitgemeinschaft fur Forschung des L.N.ÏÏ, b.33, 579 582.

52. БарсегянГ.А., 0 необходимом условии существования решения общей интерполяционной задачи, Изв. АН Арм. ССР,

53. Барсегян Г.А., Единый подход к основным результатам о дефектах, лучах Бореля, кругах наполнения, ДАН СССР, 1983, т. 271, № I, II- 14.

54. Hiong K.L. Sur les fonctions méromorphes d'ordre infini. C.R. Acad. Sci., 1933, t.196.nor

55. Hiong K.L. Some properties of the mefdjâhic functions of infinite order. Science reports of the National Tsing Hua Univ., serie A, 1935, t.3.

56. Milloux H. Une propriété générale des fonctions entieres d'ordre infini, C.R. Acad. Sci., 1930, t.191.

57. Milloux H. Remarques sur les fonctions entieres. Bull. Sc. math., 2e série, 1930, t.54.

58. Milloux H. Sur une inégalité de la théorie des fonctions et ses applications. C.R. Acad. Sci., 1932, t.194.

59. Milloux H. Sur les bondes de determination infinie des fonctions entieres. Comptes rendues du Congres de Ziirich, 1932, t.2.

60. Milloux H. Quelques propriétés des fonctions entieres d*ordre infini, distribution de leurs valeurs. Ann. Ecole Norm., 3e série, 1932, t.¿1-9.

61. Valiron G. Sur les directions de Borel de certaines fonctions entieres d'ordre infini. C.R. Acad. Sci., 1932, t.194.

62. Valiron G. Méthodes de sommation et directions de Borel. Annali R. Scuola normale di Pisa, 2e série, 1933, t.2.

63. Rauch A. Sur les "bandes de divergence de certaines fonctions d*ordre infini. C.R. Acad. Sci., 1934, t.198.

64. Valiron G. Sur les directions de Borel des fonctions méromorphes d»ordre nul, C.R. Acad. Sci., 1935, t.200.

65. Cartwreight. Sur les directions de Borel des fonctions entieres d*ordre fini. C.R. Acad. Sci., 1932, 194.

66. Cartwreight. Sur quelques propriétés des directions de Borel des fonctions entieres d'ordre fini. C.R. Acad. Sci., 1932, 194.

67. Dinghas A. Eine Verallgemeinerung des Picard-Borelschen Satzes. Math. Zeitschrift, 1939, 44.

68. Tsuji M. Borel directions of meromorphic functions of finite order. I. Tohoku Math. Journ. 1950, No2, II. Kodai Math. Sem. Rep., 1950, III. Kodai Math. Sem. Rep., 1950.

69. Lee, Ke-chun. Über die Verallgemeinerung einiger. Ergebnisse der Wertverteilungstheorie der meromorphen Functionen. Acta Math. Sinica, 1953, 3, 87-100.

70. Biernacki L, Sur les directions de Borel des fonctions méromorphes. Acta Math., 1930, №>56.

71. Rauch A. Extensions de théoremes relatifs aux directions de Borel des fonctions méromorphes. Journ. de Math., 1933, No12.

72. Valiron G. Points de Picard et points de Borel des fonctions méromorphes dans un cercle. Bull. Sei. Math., 1932.

73. Tsuji M. Borel«s direction of a meromorphic function in a unit circle. J. Math. Soc. Japan, 1955, 7, 290-311.

74. Milloux H. Sur les directions de Borel des fonctions entiereset de leurs dérivées. C.R. Acad. Sei. Paris, 1950, 231, 402-403.*

75. M±lloux H. Sur les fonctions entieres d'ordre fini ou nul. C.R. Acad. Sei. Paris, 1951, 232, 236-237.

76. Linden С. On a conjecture of Valiron concerning sets of indirect Borel points. J. London Math. Soc., 1966, 41, No2, 304-312.

77. Anderson J., Clunie J. Entire functions of finite order and lines of Julia. Math. Z., 1969, 112, No1, 59-73.

78. Colwell P. Meromorphic functions with large sets of Julia points. Nagoja Mat£. J. 1973, 50, 1-6.

79. Colwell P. Julia points of functions meromorphic on a disk. Bull. London Math. Soc., 1972, 4, No3, 327-329.

80. Cain B. Every direction a Julia direction. Proc. Amer. Math. Soc., 1974, 46, Uo2, 250-252.

81. Yang Lo, Chang Kuan-heo. Recherches sur le nombre des valeurs f déficientes et le nombre des directions de Borel des fonctions mêromorphes. Sci. sinica, 1975, 18, No1, 21-37.

82. Drasin D., Weitzman A. On the Julia directions and Borel directions of entire functions. Pj?oc. London Math. Soc., 1976, 32, Ho2, 199-212.

83. Yang Lo, Chang Kuan-heo. Sur la construction des fonctions mêromorphes ayant des directions singulières données. Sci. sinica, 1976, 19, Ho4, 445-459.

84. Гаврилов В;М;, Оповедении мероморфной функции в окрестностисвоей существенно особой точки, Изв. АН СССР , 1966 , 30 ,№ 4, 767-789.Ю7. Yoshida H., On value distribution of function meromorphes in the whole plane, Расif. J., Math., 1976, 64, N.1, 283-295.

85. Toda N. Sur les directions de Julia et de Borel des fonctions al-gebroides. Nagoya Math. J., 1969, 34, 1-23

86. Toda N. Sur les directions de Julia des fonctions algebroides dans z . Nagoya Math. J., 1970, 37, 53-60.

87. Gauthier P. Cercles de remplissage and asymptotic behavior. Canad. J.Math., 1969, 21, No 2, 447-455.

88. Gauthier P. Cercles de remplissage and asymptotic behavior along circuitous parts. Canad. J.Math., 1970, 22, No2, 389-393.

89. Gauthier P., Hwang J. Asymptotic values along Julia rays. Canad. J. Math., 1975, 28, No 6, 1210-1215.

90. Toppila S. Some remarks on exceptional values at Julia lines. Suo-malais, tiedeakat. toimituks, 1970,Sar A, 1, No 456, 20 pp.

91. Toppila S. Linear Picard sets for entires functions. Ann. Acad. Sci. Fenn., 1975, Ser A1, 1, No1, 111-123.

92. Hwang J. Note on a problem of Catherine Renyi about Julia lines. Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1977, 29, No1-2, 67-68

93. Yang Lo. Angular distribution and multiple values between entire functions and their derivatives. Sci. sinica, 1980, 23, No1, 16-39

94. Dufresnou. J. Sur les domeines couvertes par les valeurs d'une fonction meromorphe on algebroide, Ann. Sei. Ecole Norm. Sup.,1941, (3), V.58, 179-259.