Геометрическое квантование и обменные алгебры в квантовой механике и двумерной теории поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДША ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.В.А.СТЕЮЮВЛ ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

На правах рукописи У »К 519.4

АЛЕКСЕЕВ Антон Юрьепич

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ И ОБМЕННЫЕ АПГЕЕГЦ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ И ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

(01.01.03 - математическая физика)

Авторе фе{лт

диссертации на соискание ученой степени кандидата ^изйко-мвтомятических наук

Ленинград 19У0-

Работа выполнен:! и лаборатории математических проблем физики Ленинградского отделения Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.

Научный руководитель: академик Л.Д.Фаддеев

Официальные оппоненты: доктор фиэ.-матем.наук, профессор В.Н.Попов

кандидат физ.-ыатем.наук А.Ю.Морозов

Ведущая организация: Математический институт им.В.А.СтеклоБа

Защите состоится с£У среЛро а1991 г. в часов на заседании специализированного совета Д 002.38.С4 при Ленинградском отделении ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР (Ленинград, наб.р.Фонтакки, д.27, комн.311).

Автореферат разослан <?/_ 1991 г.

Ученый секретарь Совета/^] л [ )

профессор ^А.П.Осколков

СБЩЛЛ ХАГАКТЕРКСГИКА РАБОТН

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ.

Данная работа лежит на стыке трех крупных направлений в современной математической физике:

1) теории геометрического квантования;

2) конформной теории поля;

3) теории квантовых групп.

Геометрическое квантование, восходящее к теореме Бореля--Вейля о реализации представлений компактных групп в сечения/ расслоений над их коприсоединешшми орбитами, является формальной математической схемой, позволяющей дать геометрическую реализацию представлений. Еще в 60-х годах Л.Д.Фкдцеевым и А.А.Кирилловым была предложена идея рассмотреть настоящую квантовую механику на орбитах и построить представление групп в пространстве состояний соответствующей квантовой системы. В настоящей диссертации эта задача рассматривается дня групп

Физическая реализация геометрического квантования позволяет установить тесную связь с конформной теорией поля. Развитый в середине 80-х годов "бутстрапный" подход дает сильные результаты, такие как замкнутость операторной алгебры для конечного числа первичных полей или факторизация корреляционных функций в произведения аналитических и антианалитических конформных блоков. Однако остается неясной математическая природа этих эффектов. Геометрический подход к конформной теории поля позволяет регулярно объяснять подобные феномены.

Еще одним нетривиальным эффектом является появление в конформной теории квантовых групп. Возникает задача гамильто-новой интерпретации этого явления. Это задача рассмотрена в диссертации. В ходе анализа возникает такие интересные объекты, как киральная конформная теория и обменная алгебра. Обменные алгебры являлись предметом интенсивного изучения з

теории интегрируемых систем. В диссертации сни рассматриваются в классическом и квьнтовом случае для модели V/ 2 /УV/.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

1. Реализация физической версии метод? геометрического квантования для компактных групп.

2. Установление св^и конформной теории поля с геометрической теорией бесконечномерных алгебр.

3. Интерпретация квьнтовой группы как симметрии модели

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ.

Основу методики исследования составляют гамильтонов подход к теории поля и идеи Д.Д.Фаддеева о реализации квинтовых систем на орбитах группы ЗО (3)-

НАУЧНАЯ 110ШЗНА.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Гостроены переменные Дарбу на коприсое.циненных орбитах группы вО 60 .

Вычислена классическая обменная алгебра в модели и показана ее симметрия относительно пуассонова действия группы.

3. Построена квантовая обменная алгебра в модели ^'¿А/Ь' и докяэанз ее совместность с алгеброй токов с леренормирован-кым центральным зарядом.

ЯРАКтаЧЕСКАЯ ¡1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕЕЯОСТЬ.

Основным идеологическим выводом работы можно назвать понимание конформной теории как геометрической модели, в которой действует квантовая симметрия. Аналогичная конструкция может Сыть применена для различных бесконечномерных алгебр.

Акэлиз действия квантовой группы в модели V/ 2 Ы Vv' может послуг.ить прообразом для установления точной связи между представлениями бесконочиоыерньтх алгебр и квантовых групп.

АПРОБАЦИЙ РАБОТЫ.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по

кьантовой теории поля в ЛОМИ им.В.А.Стеклова АН СССР, на Международной конференции по моделям теории поля в малых раз-ие[ -остях (Венгрия, Дебресен, 1990) и на Международной конференции "Квантовые группы и конформная теория поля" ММИ км. Эйлера АН СССР (Ленинград, 1990). ПУБЛИКАЦИИ.

По материалам диссертации опубликовано 2 работы. ОБЪЁМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация объемом -90 страниц машинописного текста состоит из зводення, 7 параграфов и заключения. Библиография содержит 30 наименований.

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ сформулированы основные задачи, рассматриваемое в диссертации, кратко изложены схемы их исследования, сформулированы результаты по параграфам. Дано краткое описание геометрического квантования, конформной теории поля и теории квантовых групп применительно к тематике диссертации. Выделены основные эффекты конформной теории поля:

1) замкнутость операторной алгебры для конечного числа перьичных полей;»

2) факторизация корреляторов на конформные блоки

< ViUi.Zx) • - . VUHk.,hO> ---

J,J 1 J

3) нвантово-групповая симметрия обменной алгебры

М*) az(y)^= и2 (j) и £ (х)[/1Ъу) + Щ-*)]. «>

Здесь Vi - вертексные операторы,

- конформные

блоки, U- - киряльные взртексные операторы. fii1* - квзнтор.ыа

R, -матрицы.

В ПАРАГРАФЕ I.

-При помоши методи Бйркерна-Джонсона-Лоу полуг^енн тотдест-ьп Уорда для геометрической квантовой механики мли теория поля на примере квантовой механики на орбите коприсоедикен-ногс действия группы Л

Для геометрического действия

_ S = J cU = <1 , (3)

гда 1 - каноническая симплектьческая 2 -ijopua на орбитч,

-^H^dU]-^. <«

Здесь X , У ~ генераторы группы С- , а С , 1Q. - коммутатор в соответствующей алгебре . Таким образом, группе дейстзу ? в пространства состояний квантовой системы на орбите.

В ПАРАГРАФЕ 2 явно построены переменные Дарбу на копри-соединенньи орбитах групп Я> U (Ю и SO 00- Для S Ij" ( h.} орбита параметризуется целочисленным наборои

. . .

Тогда (Терма «I ыожег быть представлена в виде

/v-1 . . н-2. ...

оL = L ^ ^ ^ ^ <+ + ¿VAi-j , (5)

где - угловые переменные, ц к удовлетворяют уелозикм Гельфанда-Цетлкна

> > . • (6)

Аналогичные результаты получены для групп S'JGOc чогным

и нечетным Yi. :

- t-i

fL = Z. + ^Uu-i

г Л г-1 . "

где 11

а для последних элементов строки

... ' ' (8)

Переменные задают орбиту и посля квантования становятся старшими весями представ,, .'ния.

В ПАРАГРАФЕ 3 при ломэащ получсннмс е nsparpa-.f« 2 координат .Дарбу точно вычисляется функциональный интеграл для действия вида

- и, о)

где Н - фикция от переменных Гелъфднда-Цеглина & или |т). В честности, характер представления группы > Действующего в пространстве состояний Н ^ 3 систеш ча орбигс, проходящей через точку h о , равен

X^XiiO, (Ю)

где % - старший вес неприводимого представления з Бесом ¿\в г Тем самым показана эквивалентность развиваемого подхода стандартному геометрическому квантсракию. Зачгтин. что конструкция отличается ст иэьестнсЯ оормута характеров Кириллов.-,, поскольку та использует орбиту, проходя-ауо через точку Р . где ^ - полу?;'>/ма полсдительныг корней. " -

В ПАРАГРАФЕ 4 рассматривается Т (;- и модельное пространство как примеры других гнсчетрииеск'ос теорий. ДеЧстяио

доя "I * G- имеет вид

гцч ^ С; {у , X . Для модельного пространства Щ

где С- I в Хв£ К. - картановской подалгебре. Показано, что анализ § 2 даег возмокносто построить переменные Дьрбу и гфскввнтовагь Т*£- 11 /И . Пространства состояний

оказываются

нт4= ^ нЛ«Ф Н. _ (13)

где И - пространство неприводимого представления с номером 1 . Таким образок, предложенная конструкция Л1 действительно даот возможность рассмотреть модель неприводимых представлений 0 в пространство состояний.

В ПАРАГРАФЕ 5 енолиэи^егся конструкция (г для расширенной группы пето ль . Оказывается, что

где к - центральный заряд теории, - сопряяеншй ецу угол, а ^ ~ действие модели Весса-Зумино без гамильто-нианн. Таким образом, симплектаческая структура модели совпадает со структурой 3 "Т*£С- после налокения связи к сок^ .

После разложения основного поля 0 на киралъные компоненты 0

^Сх.о - ^(хД)^яМ} (15)

оказываете«, что

причем уравнения движения для ^ и ^К. имеит ,т>Л

то есть = , = СхЧ) . Формула С16)

дает разложение (I) для модели \lJAiVW и объясняет сгжсл конформных блоков как корреляторов в модели.

В ПАРАГРАФЕ б получена классическая обменная алгебра в модели V/^/\/\л/ для группы (к,) . Это пуассоновв алгебра, задаваемая скобкой, обратной к 2-форне

= - (ц-^о)] 1 х . и&>

Обменная алгебра имеет вид

= - ^ и 00 и(.у) [^О (х-ч ) + г'д (ч-* >] } к'

где

г+ =■• С + к , г = - С А .

С - тензорный оператор Казимире алгебры оу. , п . зависит от граничных условий. Предъявлены гра.чкчьые условия, при которых Ч,— - классические 1. -матрица и классические аналоги -символов, появлякдиеск с теории кзат-овьи групп. В первом случае алгебр? (19) инвариантна относите/ьно преобразований

У (.х) 1Д О'.') п.

>

где к снабжена скобками Скляннна

К» и = '£!> .

Таким образом, установлена симметрия обменной алгебры относительно группы Ли-Пуассона, действующей правыми умножениями.

В ПАРАГРАФЕ 7 рассматривается квантовая версия обменной алгебрн (2):

где I, 2 указывают порядок в тензорном произведении. К. матрицы (1+ м Р." содержат параметр дг,-;овации у , равный

<| - С - Тс /1С") . <22)

Показано, что гскн, определяемые ¿орцулой

Л - С- и -а-'-

2Т Ах

удовлетворяют соотношениям алгебры токон

-4С ,ЗД) М;))*I(2.)

п центральны«! зарядом

1с . 1С -А/ . (24)

При стоы используется представление -матрицы в виде

Г -Г21 1±с(ГйУ^ »>

где 5" Р ? Р - постоянные матрицы. Токи оказываются,инвариантами действия квантовой группы.

В ЗАЮ1ЮЧЕ5Ш рассмотрены перспелтийь: развития исследований в данном направлении.

Авгср благодарен своецу научному руководителю Л .Д.Фаддее ну и соавтору по многим работам С.Л.Шаташвили зи внимание и помощь в работе.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. А1чкле«у ?аД1о«У !>., 8из11ав1г/11г а. Отш-Ыац+Доп о*

ayiopleotlc orbits oí compact Lie groups Ъу means of tho functional integral // Journal of üoometry and Physics, ol.O. n.3, 1909, 391-406.

2. Alekseov A., Shatashvlli S. Quantuia g.?oupo and WZJÍW modele // Coninunioatlons in rfathaniatical Phyoios 133, 1990, 353-368.

! '"Г ¡Ulli Я Ф, за к Л, ги р. IuO, у ч. -и а л. л. -,1,5 ; Р7 ß 11 ■-1; г. Кесгтлчтно