Гидродинамика и тепломассообмен при выращивании объемных кристаллов карбида кремния

Кулик, Алексей Викторович

Гидродинамика и тепломассообмен при выращивании объемных кристаллов карбида кремния тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Кулик, Алексей Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Гидродинамика и тепломассообмен при выращивании объемных кристаллов карбида кремния»

Автореферат диссертации на тему "Гидродинамика и тепломассообмен при выращивании объемных кристаллов карбида кремния"

На правах рукописи

КУЛИК Алексей Викторович

ГИДРОДИНАМИКА И ТЕПЛОМАССООБМЕН ПРИ ВЫРАЩИВАНИИ ОБЪЕМНЫХ КРИСТАЛЛОВ КАРБИДА

КРЕМНИЯ

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена в Балтийском Государственном Техническом Университете «Военмех», Санкт-Петербург, Россия.

Научный руководитель: кандидат технических наук,

с.н.с. Ю.М. Циркунов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

проф. Е.М. Смирнов,

доктор физико-математических наук, с.н.с. Ю.Е. Горбачев.

Ведущая организация: Физико-технический институт

им. А.Ф. Иоффе РАН.

Защита состоится << Г» ^^(СоЪрО 2004 года в /б °%асов на заседании диссертационного совета Д 212.229.07 в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» (195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, корп. 1, кафедра гидроаэродинамики).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Автореферат разослан

«4-» нояс>Р9

2004 года.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Д.К. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Одним из наиболее перспективных широкозонных полупроводниковых материалов, используемых в производстве высокотемпературных и силовых электронных приборов, является карбид кремния ^Ю). Это связано с тем, что в SiC сочетаются такие важные свойства, как высокое напряжение пробоя, высокая теплопроводность, а также химическая и радиационная стойкость. Основной технологией получения объемных кристаллов SiC является сублимационный рост. Это газофазный метод, идея которого заключается в сублимации исходного материала — порошка SiC, транспорте образующихся паров и последующей их конденсации на затравочном кристалле. Понимание физико-химических процессов, протекающих в ростовой камере в процессе сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния, исключительно важно для получения кристаллов SiC высокого качества и большого диаметра. Экспериментальное исследование данной технологии представляет собой чрезвычайно трудоемкую и дорогостоящую процедуру, так как ввиду крайне высоких температур, характерных для этого процесса (свыше 2200° С), какие-либо наблюдения или измерения практически невозможны. В связи с этим, весьма актуальной становится задача численного моделирования процесса роста. В настоящее время достаточно детальная математическая модель этого процесса, включающая в себя решение задач эволюции фронта растущего кристалла и массопереноса в порошковом источнике, находится в стадии активной разработки. Она является достаточно сложной и поддается только численному анализу. Последний позволяет существенно уточнить особенности ростового процесса и отчасти осуществить его оптимизацию при меньшем количестве физических экспериментов.

Цели работы

1) Разработка математической модели технологического процесса выращивания объемных кристаллов

ную структуру течения газовой смеси в ростовой камере с учетом многочисленных физико-химических явлений, а также сопряженный теплообмен во всей ростовой установке, включая ее индукционный нагрев.

2) Программная реализация метода решения задачи газодинамики и массопереноса в ростовой камере и теплообмена во всей ростовой установке.

3) Анализ течения и физико-химических процессов, протекающих в ростовой камере, выявление общих закономерностей и специфических черт таких процессов, а также факторов, существенно влияющих на процесс роста кристалла.

4) Параметрическое исследование сублимационного роста, направленное на изучение зависимости эффективности использования источника, скорости роста и формы кристалла от основных технологических параметров, таких как положение обмотки индуктора, мощность нагрева и давление в системе.

5) Выбор и программная реализация эффективных алгоритмов оптимизации, применимых для задач роста кристаллов из паровой фазы. Решение задач оптимального проектирования и оптимального управления с использованием разработанного аппарата для численного моделирования процесса сублимационного роста кристаллов SiC.

Основные положения, выносимые на защиту

1) Математическая модель технологического процесса сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния и алгоритм численного решения задачи о течении и тепломассопереносе в процессе сублимационного роста кристаллов.

2) Результаты исследования процесса сублимационного роста объем-дых кристаллов карбида кремния. Результаты параметрического исследования влияния положения обмотки индуктора, мощности нагрева и давленая в системе на эффективность использования источника, скорость роста и форму кристалла.

3) Результаты решения задач оптимального проектирования и опти-

мального управления в применении к процессу роста объемных кристаллов из газовой фазы.

Научная новизна работы

1) Впервые сформулирована и апробирована двумерная модель процесса роста объемного кристалла SiC из паровой фазы, включающая в себя течение многокомпонентной газовой смеси в ростовой ячейке и в пористой химически реагирующей среде, сопряженный теплообмен, гетерогенные химические реакции. Модель позволяет исследовать эволюцию формы растущего кристалла и параметров порошковой засыпки источника.

2) В результате выполненного численного исследования детально проанализированы процессы тепломассообмена, сопровождающие сублимационный рост объемных кристаллов. Впервые проанализирована эволюция параметров порошковой засыпки в ходе длительного ростового процесса с учетом процессов сублимации и рекристаллизации гранул порошкового источника. Обнаружено, что неравномерное распределение температуры в объеме порошкового источника приводит к существенно неоднородной скорости испарения материала источника и, как следствие, к низкой эффективности его использования из-за рекристаллизации.

3) Исследовано влияние технологических параметров на процессы тепломассопереноса в ростовой установке и, как следствие, на рост кристалла и эволюцию параметров порошковой засыпки. Установлено, что наиболее эффективным способом управления формой растущего кристалла является изменение положения обмотки индуктора. При этом контроль скорости роста может осуществляться путем варьирования мощности нагрева и давления в системе, которые не оказывают существенного влияния на форму кристалла.

4) Впервые сформулирована и решена задача многопараметрической оптимизации применительно к процессу сублимационного роста кристаллов SiC, включая оптимизацию геометрии ростового тигля (задача оптимального проектирования) и оптимизацию режимов ростового процесса (задача оптимального управления).

Достоверность полученных результатов

Проведение серии тестовых расчетов показало хорошее совпадение результатов, полученных с помощью программного пакета, разработанного в процессе выполнения данной работы, с опубликованными эталонными решениями и экспериментальными данными. Решение задач конвекции и массопереноса в реальных ростовых установках верифицировано с использованием экспериментальных данных, полученных в исследовательских и промышленных установках, по скорости роста и форме кристалла, областям графитизации и рекристаллизации в порошковом источнике.

Практическая ценность работы

1) Комплекс прикладных программ, разработанный при непосредственном и активном участии автора диссертации, позволяет оперативно выполнять методические расчеты, а также решать сопряженные задачи конвекции, теплообмена и роста объемных кристаллов в исследовательских и промышленных ростовых установках. Созданный комплекс программ может быть использован для выбора оптимальных условий проведения технологического процесса, а также при проектировании нового оборудования для выращивания объемных кристаллов.

2) Результаты, полученные автором диссертации, позволили выявить влияние технологических параметров на процессы испарения/осаждения в порошковой засыпке, на скорость роста и форму растущего кристалла.

3) Разработанная в диссертации модель и методика оптимизации может быть использована для решения задач оптимального проектирования конструкции других ростовых установок и оптимального управления процессом сублимационного роста кристаллов.

Личный вклад автора

Автором проведен анализ характерных времен и линейных масштабов газодинамических и физико-химических процессов при выращивании объемных кристаллов методом сублимации и получены оценки характерных значений параметров подобия. На основе этих оценок предложена и обоснована математическая модель процессов переноса в ростовой камере.

Разработан алгоритм сопряженного расчета течения и массопереноса в газовой фазе и пористой среде. Алгоритм реализован на языке C++ в рамках пакета программ "Виртуальный Реактор". Выполнено тестирование разработанного программного обеспечения.

Автором численно исследована эволюция формы растущего кристалла и параметров порошковой засыпки. Совместно с экспериментаторами выполнена верификация модели процесса сублимационного роста кристаллов SiC.

Автором выбраны, реализованы и адаптированы для задач роста кристаллов из газовой фазы эффективные методы оптимизации. Разработан "Оптимизационный Модуль" для пакета программ "Виртуальный Реактор".

Автором осуществлены все необходимые расчеты и проведен анализ полученных результатов.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на российских и международных конференциях и семинарах: Европейской конференции по карбиду кремния и родственным материалам ECSCRM-98 (Монпелье, Франция, 1998), 11-ой Американской конференции по выращиванию кристаллов и эпитаксии ACCGE-11 (Таксон, США, 1999), 10-ой Европейской конференции по алмазам и родственным материалам Diamond-99 (Прага, Чехия, 1999), 3-ем Международном семинаре "Карбид кремния и родственные материалы" (Великий Новгород, Россия, 2000), Международной конференции MRS (Сан-Франциско, США, 2000), Международной конференции ICCG13-ICVGE11 (Киото, Япония, 2001), Четвертой международной конференции "Рост монокристаллов и тепломассоперенос" ICSC-01 (Обнинск, Россия, 2001), 4-ом Международном семинаре "Карбид кремния и родственные материалы" (Великий Новгород, Россия, 2002), Х-ой Национальной Конференции по Росту Кристаллов НКРК-2002 (Москва, Россия, 2002), Европейской конференции по карбиду кремния и родственным материалам ECSCRM-2002 (Линчепинг, Швеция, 2002), Международной

конференции по полупроводниковым кристаллам ICSSC-2002 (Закопане, Польша, 2002), Пятой международной конференции "Рост монокристаллов и тепломассоперенос" ICSC-03 (Обнинск, Россия, 2003), Международной конференции по карбиду кремния и родственным материалам ICSCRM-2003 (Лион, Франция, 2003), 4-ом Международном симпозиуме по моделированию роста кристаллов IWMCG-4 (Фукуока, Япония, 2003), 5-ом Международном семинаре "Карбид кремния и родственные материалы" (Великий Новгород, Россия, 2004), семинарах ООО "Софт-Импакт" (2000), сектора численного моделирования ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН (2003) и кафедры плазмогазодинамики БГТУ "Военмех" (2003).

Публикации по теме диссертации

Основные результаты работы изложены в восемнадцати научных публикациях.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 82 наименований и трех приложений. Работа изложена на 175 страницах машинописного текста и включает 6 таблиц и 72 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, ее научное и практическое значение, сформулированы основные задачи работы.

Первая глава диссертации содержит обзор литературных данных по тематике работы. Рассматриваются основные свойства карбида кремния и методы получения объемных кристаллов SiC. Проведенный анализ литературы показывает, что наиболее перспективной технологией получения объемных кристаллов карбида кремния является метод сублимационного роста. Идея этой газофазной технологии заключается в сублимации исходного материала — порошка SiC, транспорте образующихся паров и последующей их конденсации на затравочном кристалле. Схема установки для

Рис. 1. Схема ростовой установки. 1 — графитовый тигель, 2 — затравочный кристалл, 3 — порошок SiC, 4 — газовый зазор ростовой камеры, 5 — графитовая изоляция, 6 — газовый зазор между тиглем и изоляцией, 7 — обмотка индуктора

г, т

сублимационного выращивания кристаллов SiC представлена на рис. 1. В первой главе также описывается история развития и современное положение вопроса о численном моделировании технологии сублимационного роста SiC и делается вывод о том, какие физические явления и механизмы переноса должны быть учтены в модели данной технологии.

Вторая глава содержит описание математической модели сублимационного роста SiC. Для выбора адекватной модели течения и массопере-носа в ростовой камере оцениваются величины чисел подобия, характерных для данной задачи. Исходя из проведенных оценок, решение задачи о тепломассопереносе в газовой области ростовой камеры осуществляется с помощью уравнений Навье-Стокса для ламинарного существенно дозвукового течения многокомпонентной газовой смеси. Коэффициенты молекулярного переноса для чистых газов и коэффициенты диффузии в бинарной смеси вычисляются по формулам, являющимся результатом решения уравнения Больцмана методом Энскога-Чепмена. Для расчета коэффициентов вязкости и теплопроводности смеси используются аппроксимации Уилки и Мэйсона-Саксены, соответственно, а эффективные коэффициенты диффузии вычисляются по формуле Уилки. Течение и тепломассопере-нос в пористой среде порошковой засыпки расчитывается в рамках модели

Дарси-Бринкмана-Форхаймера. Коэффициент проницаемости и инерционный коэффициент вычисляются по формулам Эргуна. В качестве модели структуры пористой среды используется модель перекрывающихся сфер. Модель сопряженного теплообмена во всей ростовой установке учитывает перенос тепла механизмами теплопроводности, конвекции и радиации. Для расчета источников джоулева тепловыделения решаются уравнения Максвелла. Для моделирования длительного процесса применяется квазистационарный подход. При этом модель способна предсказывать эволюцию в течение процесса формы растущего кристалла и свойств порошковой засыпки.

Характерной особенностью настоящей модели являются специфические граничные условия, задаваемые на непроницаемых границах, на которых протекают гетерогенные химические реакции. Для решения задачи о химическом взаимодействии поверхности и газовой смеси применяется квазитермодинамический подход. При этом учитывается наличие стефановского потока, возникающего вследствие процессов испарения/конденсации, и его влияние на общее течение в ростовой камере.

Третья глава посвящена описанию численного метода решения задачи о гидродинамике и тепломассообмене в ростовой установке. Задача решается в многоблочной геометрии с использованием неструктурированных сеток. Для дискретизации определяющих уравнений используется метод конечных объемов. Расчет поля течения осуществляется с помощью метода SIMPLEC. При этом, сеточные узлы для хранения значений давления и компонент скоростей совпадают, т.е. применяется так называемая совмещенная сетка. В третьей главе содержится также описание результатов решения тестовых задач и исследование сеточной сходимости для различных схем аппроксимации конвективных слагаемых. В качестве тестовых выбраны: задача о естественной тепловой конвекции в квадратной каверне и задача о естественной тепловой конвекции в каверне, частично заполненной пористой средой. Сравнение результатов тестовых расчетов с опубликованными данными показывает хорошее совпадение с эталонными

Рис. 2. Фрагмент расчетной сетки для области, включающей в себя тепловой узел, обмотку индуктора и окружающее пространство

решениями и результатами экспериментов.

Четвертая глава содержит результаты численного исследования процесса сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния. В разделе 4.1 содержится описание расчетной области и методических расчетов, направленных на изучение сеточной сходимости. На рис. 2 представлен фрагмент расчетной сетки, использовавшейся для проведения вычислений.

Раздел 4.2 посвящен изучению начальной стадии ростового процесса. Решение уравнений Максвелла в области, включающей в себя тепловой узел реактора, обмотку индуктора и окружающее пространство, позволяет найти распределение источников джоулева тепловыделения в ростовой системе, которые необходимы для расчета теплового поля. Распределение температуры в тепловом узле реактора в начальный момент времени показано на рис. 3. Расчеты показывают, что тепловое поле в реакторе характеризуется сильной неоднородностью. Эта неоднородность распределения температуры приводит к тому, что материал порошкового источни-

ка также испаряется очень неоднородно, что приводит к возникновению областей испарения и конденсации пара на поверхностях гранул. Распределение областей испарения материала порошка и конденсации пара на гранулах представлено на рис. 4, а. Зоны, в которых интенсивно протекают гетерогенные химические реакции, сопровождающиеся процессами испарения/конденсации, узкие и занимают сравнительно малую долю объема порошковой засыпки. Значительная часть объема, располагающаяся в центре засыпки, находится в состоянии равновесия; химические реакции между паром и поверхностью гранул там практически не протекают.

Схема течения, реализующегося в ростовой камере, представлена на рис. 4, б. Серый прямоугольник на этом рисунке соответствует порошковой засыпке. Течение имеет вынужденно-конвективный характер, определяемый процессами испарения/конденсации. На этом рисунке хорошо видно, что все линии тока начинаются у стенки тигля, в зоне, где наблюдается сублимация гранул SiC порошка (область линии DF на рис. 4, а).

Рис. 4. (а) Расположение областей испарения материала порошка (белый цвет) и конденсации пара на гранулы (черный цвет). (б)-(г) Картина течения в ростовой камере в начальный момент времени и через 12 ч и 24 ч

после начала процесса

Далее часть газовой смеси, образовавшейся в результате испарения гранул, просачивается через пористую среду засыпки, поступает в газовый зазор, пересекает его и, в конечном итоге, осаждается на затравочном кристалле. Значительная часть газа, испарившегося в "горячей" области засыпки, течет вниз к донной части ростовой камеры, где этот газ осаждается на поверхностях гранул. Аналогичным образом дело обстоит и с верхней зоной осаждения — существенная доля пара, просачивающегося через пористую среду порошка вверх по направлению к затравочному кристаллу, не достигает газового зазора, оседая в приповерхностном слое засыпки. Также, отчетливо видно, что некоторое количество пара, попавшего в газовый зазор, "разворачивается", возвращается в засыпку и также оседает в приповерхностном слое. Факт осаждения материала на гранулах порошковой засыпки подтверждается экспериментальными наблюдениями. Так,

например, в работе [PJ. Wellmann et al., J. Crystal Growth 216 (2000) p. 263] отмечается формирование "плотного диска" на поверхности засыпки, вызванное конденсацией паров в ее приповерхностной области.

Раздел 4.3 посвящен изучению развития ростового процесса во времени. На рис. 5 показано изменение во времени распределения пористости по объему порошковой засыпки. Белый цвет на этом рисунке показывает высокую пористость, т.е. области испарившегося материала, а черный цвет — низкую пористость и, соответственно, зоны плотного материала. Из рисунка видно, что процессы сублимации (Sm > 0) и рекристаллизации < 0) гранул порошка приводят с течением времени к образованию протяженных областей полностью испарившегося материала и уплотненного вследствие осаждения паров материала. Зона сублимировавшего порошка располагается в периферийной части источника у внутренней стенки графитового тигля, а плотный материал образует структуры, по форме напоминающие диски, в верхней и нижней частях источника. При этом, в центральной части порошковой засыпки, которая находится в условиях, близких к равновесию, существует зона, в которой в течение всего ростового процесса не происходит существенного изменения пористости.

Изменение пористости материала порошковой засыпки должно приводить к перераспределению в объеме засыпки интенсивности протекания гетерогенных химических реакций на поверхностях гранул и, следовательно, процессов сублимации/рекристаллизации. На рис. 5 представлено распределение по объему засыпки источников массы в различные моменты времени. Хорошо видно, что процессы полного испарения гранул и уплотнения порошка приводят к смещению областей интенсивного протекания процессов испарения/конденсации на периферию испарившегося и уплотненного материала, соответственно.

Изменение параметров порошковой засыпки существенным образом влияет на картину течения в ростовой камере. На рис. 4, в, г показана структура течения через 12 часов и через 24 часа после начала процесса. На этих рисунках серыми линиями в объеме порошковой засыпки показа-

Оч 12ч 24ч

Ш%ГТГ I 111М11ГТ

015 0 26 0 37 0 48 0 60 0 71 0 82 0 93

Оч 12ч 24ч

015 0 11 006 002 002 0 06 0 11 0 15

Рис. 5 Изменение во времени пористости порошковой засыпки (вверху) и источников массы за счет процессов испарения/конденсации б1"1, кг/(м3 с) (внизу) Начальная пористость равна 0,7

Рис. 6. (а) Распределение скорости роста ^ [мкм/ч] по радиусу растущего кристалла в различные моменты времени в течение ростового процесса, (б) Эволюция формы кристалла в течение ростового процесса. Прямоугольник в верхней части рисунка — затравочный кристалл. Профили построены с шагом в 4 часа. Общее время роста — 36 часов

ны области сублимации и рекристаллизации гранул (см. рис. 5). Хорошо видно, что линии тока исходят из областей интенсивного испарения материала засыпки, а заканчиваются они или на поверхности растущего кристалла или в областях осаждения внутри самой порошковой засыпки.

На рис. 6, а представлено распределение скорости роста V^ по радиусу кристалла в различные моменты времени. Видно, что в течение процесса величина скорости роста уменьшается, а ее распределение становится более равномерным. Такое поведение также подтверждается экспериментальными наблюдениями (см., например, [М. Selder et al., J. Crystal Growth 211 (2000) p. 333]). Изменение в течение процесса профиля скорости роста по поверхности кристалла приводит к сложному характеру изменения формы кристалла в ходе его роста. Необходимо отметить, что видоизменение формы кристалла в свою очередь приводит к изменению распределения температуры в системе и, следовательно, влияет на все физико-химические процессы, протекающие в ростовой камере. Эволюция формы кристалла в

Рис. 7. Зависимость скорости роста [мкм/ч] в центре кристалла (сплошная линия) и на его периферии (пунктирная линия) в начальный момент времени от смещения обмотки индуктора Аг

течение ростового процесса представлена на рис. 6, б.

В разделе 4.4 анализируется влияние технологических параметров на процессы тепломассообмена в ростовой установке и, как следствие, на рост кристалла и эволюцию порошковой засыпки. В качестве параметров выбраны мощность нагрева, положение обмотки индуктора и давление в системе.

Обнаружено, что изменение положения обмотки индуктора приводит к изменению как скорости роста кристалла, так и его формы. На рис. 7 представлена зависимость скорости роста в начальный момент времени в центре кристалла и на его периферии от смещения обмотки индуктора. Данный график показывает, что при перемещении обмотки происходит изменение величины скорости роста и ее распределения по поверхности кристалла. Кроме того, смещение обмотки индуктора существенным образом влияет на характер процессов сублимации/рекристаллизации материала порошковой засыпки. Установлено, что мощность нагрева и давление в системе существенно влияют на величину скорости роста, но практически не изменяют форму кристалла.

Пятая глава посвящена решению задачи об оптимизации процесса сублимационного роста кристаллов с помощью разработанного аппарата для численного моделирования этой технологии. В главе рассматрива-

Аг. ст

Рис. 8. Формы кристалла, полученные в результате решения задачи оптимального управления процессом. Сплошные линии — расчетные профили кристалла, пунктирные линии — требуемые профили. Профили построены с шагом в 4 часа, а) Плоский фронт кристаллизации, б) Слегка выпуклый фронт кристаллизации. в) Сильно выпуклый фронт кристаллизации.

ется общая формулировка задачи оптимизации (Раздел 5.1), анализируются существующие методы численной оптимизации и выбираются наиболее эффективные методы (Раздел 5.2). В разделе 5.3 формулируется и решается задача оптимального проектирования реактора для роста кристаллов В этой задаче осуществляется оптимизация теплового поля в ростовой системе путем изменения геометрии ростового тигля. В разделе 5.4 рассматривается задача оптимального управления процессом роста объемных кристаллов Целью решения задачи является достижение роста кристалла заданной формы. Параметрами управления являются мощность нагрева и положение обмотки индуктора. Были решены три задачи: обеспечение плоского фронта кристаллизации в течении всего процесса, обеспечение слегка выпуклого фронта и сильно выпуклого фронта. В каждой из них задается требуемая скорость роста кристалла и его форма. На рис. 8 представлена эволюция профиля кристалла во времени, полученная в результате расчетов, в сразнении с требуемыми профилями в те же моменты. Полученные результаты демонстрируют высокую гибкость разработанного подхода и возможность его применения для эффективного управления реальными ростовыми процессами.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1) Разработана математическая модель и численный алгоритм для исследования процесса сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния. Модель включает в себя уравнения существенно дозвукового течения многокомпонентной газовой смеси в газовой области ростовой камеры и в пористой среде порошковой засыпки, уравнения сопряженного теплообмена с учетом переноса тепла механизмами теплопроводности, конвекции и радиации и уравнения Максвелла для расчета источников джоулева тепловыделения. Для моделирования длительного ростового процесса используется квазистационарный подход. Установлено, что модель адекватно описывает процесс сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния.

2) Обнаружено, что в течение ростового процесса скорость роста кристалла уменьшается, а ее распределение по поверхности кристалла становится более равномерным. Показано, что заметно неравномерное распределение температуры в объеме порошкового источника приводит к тому, что материал источника испаряется очень неоднородно, что приводит к низкой эффективности использования источника (< 10%) из-за его рекристаллизации.

3) Установлено, что наиболее эффективным способом управления формой растущего кристалла является изменение положения обмотки индуктора. При этом контроль скорости роста может осуществляться путем варьирования мощности нагрева и давления в системе, которые не оказывают существенного влияния на форму кристалла.

4) Впервые поставлена и решена задача оптимизации сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния на основе развитой численной модели процесса. Для решения задачи использовались методы численной оптимизации. Найдены: наилучшая геометрия ростового тигля с точки зрения желательного распределения температуры в ростовой камере (задача оптимального проектирования) и законы изменения во времени положения и мощности индуктора, обеспечивающие получение кристал-

лов формы близкой к заданной (задача оптимального управления).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] M.S. Ramm, E.N. Mokhov, S.E. Demina, M.G. Ramm, S.Yu. Karpov, A.D. Roenkov, Yu.A Vodakov, A.S. Segal, A.N. Vorob'ev, A.V. Kulik, Yu.N. Makarov. Optimization of sublimation growth of SiC bulk crystals using modeling, Materials Sci. Engineering В 61-62 (1999), pp. 107-112.

[2] S.Yu. Karpov, A.V. Kulik, LA. Zhmakin, Yu.N. Makarov, E.N. Mokhov, M.G. Ramm, M.S. Ramm, A.D. Roenkov, Yu.A Vodakov. Analysis of sublimation growth of bulk SiC crystals in tantalum container, Journal of Crystal Growth 211 (2000), pp. 347-351.

[3] LA. Zhmakin, A.V. Kulik, S.Yu. Karpov, S.E. Demina, M.S. Ramm, Yu.N. Makarov. Evolution ofthermoelastic strain and dislocation density during sublimation growth of silicon carbide, Diamond and Related Materials 9 (2000), pp. 446-451.

[4] M.S. Ramm, A.V. Kulik, LA. Zhmakin, S.Yu. Karpov, O.V. Bord, S.E. Demina, Yu.N. Makarov. Modeling of PVT growth of bulk SiC crystals: general trends and 2" to 4" reactor scaling, Mat. Res. Soc. Proc. 616 (2000), pp. 227-233.

[5] A.B. Кулик, О.В. Борд, С.Е. Демина, М.С. Рамм, СЮ. Карпов, Ю.Н. Макаров. Роль депозитов в сублимационном росте обьемных кристаллов карбида кремния, В сб. Карбид кремния и родственные материалы: Сборник докладов III Международного семинара / Составитель В.Е. Удальцов; НовГУ им. Ярослава Мудрого. — Великий Новгород, 2000 г., с. 44-52.

[6] M.V. Bogdanov, A.O. Galyukov, S.Yu. Karpov, A.V. Kulik, S.K. Kochuguev, D.Kh. Ofengeim, A.V. Tsirulnikov, M.S. Ramm, A.I. Zhmakin, Yu.N. Makarov. Virtual reactor as a new tool for modeling and optimization of SiC bulk crystal growth, Journal of Crystal Growth 225 (2001), pp. 307-311.

[7] M.V. Bogdanov, A.O. Galyukov, S.Yu. Karpov, A.V. Kulik, S.K. Kochuguev, D.Kh. Ofengeim, A.V. Tsirulnikov, LA. Zhmakin, A.E. Ko-missarov, O.V. Bord, M.S. Ramm, A.I. Zhmakin, Yu.N. Makarov. Virtual reactor: a new tool for SiC bulk crystal growth study and optimization, Mat.

Sci. Forum, 353-356 (2001), pp. 57-60.

[8] A.V. Kulik, S.E. Demina, S.K. Kochuguev, D.Kh. Ofengeim, S.Yu. Karpov, A.N. Vorob'ev, M.V. Bogdanov, M.S. Ramm, A.I. Zhmakin, A.A. Alonso, S.G. Gurevich, Yu.N. Makarov. Inverse-computation design of a SiC bulk crystal growth system, Mat. Res. Soc. Proc. 640 (2001), pp. Hl.6.1-Hl.6.6.

[9] A.V. Kulik, M.V. Bogdanov, D.Kh. Ofengeim, S.K. Kochuguev, S.E. Demina, S.Yu. Karpov, A.I. Zhmakin, M.S. Ramm, Yu.N. Makarov. Modeling and optimization of SiC bulk crystal growth by sublimation technique, Рост монокристаллов и тепломассоперенос / Труды четвертой международной конференции. Обнинск: ГНЦ РФ ФЭИ, 2001, с. 698-705.

[10] M.V. Bogdanov, S.K. Kochuguev, A.V. Kulik, D.Kh. Ofengeim, A.V. Tsiryulnikov, LA. Zhmakin, M.S. Ramm, A.I. Zhmakin, Yu.N. Makarov. SiC bulk crystal sublimation growth in Virtual Reactor, Abstracts of IV international seminar on silicon carbide and related materials, Novgorod the Great, Russia (2002), p. 20.

[11] A.B. Кулик, М.В. Богданов, А.И. Жмакин, СЮ. Карпов, Д.Х. Офенгейм, М.С. Рамм и Ю.Н. Макаров. Роль процессов массоперено-са в пористом источнике при сублимационном росте объемных кристаллов, Тезисы докладов: "Х-ая Национальная конференция по росту кристаллов (НКРК-2002) Москва, 24-29 ноября 2002г.", М., ИК РАН (2002), с. 387.

[12] М.В. Богданов, С.К. Кочугуев, А.В. Кулик, Д.Х. Офенгейм, М.С. Рамм, Е.О. Яворская и А.И. Жмакин. Численное моделирование эволюции фронта объемного кристалла при сублимационном росте SiC, Тезисы докладов: "Х-ая Национальная конференция по росту кристаллов (НКРК-2002) Москва, 24-29 ноября 2002г.", М„ ИК РАН (2002), с. 390.

[13] M.V. Bogdanov, S.E. Demina, S.Yu. Karpov, A.V. Kulik, M.S. Ramm, Yu.N. Makarov, Advances in modeling of wide-bandgap bulk crystal growth, Cryst. Res. Technol. 38, No. 3-5 (2003), pp. 237-249.

[14] M.V. Bogdanov, S.E. Demina, S.Yu. Karpov, A.V. Kulik, D.Kh. Ofengeim, M.S. Ramm, E.N. Mokhov, A.D. Roenkov, Yu.A. Vodakov, YuA Maka-

rov, H. Helava. Modeling Analysis of Free-Spreading Sublimation Growth of SiC Crystals, Mat. Res. Soc. Proc. 742 (2003), pp. 23-28.

[15] E.N. Mokhov, I.S. Barash, A.D. Roenkov, Yu.A. Vodakov, M.G. Ramm, S.Yu Karpov, M.S. Ramm, M.V. Bogdanov, S.E. Demina, A.V. Kulik, Yu.N. Makarov, H. Helava. Sublimation growth of faceted free-spreading SiC bulk crystals, Abstracts of V international seminar on silicon carbide and related materials, Novgorod the Great, Russia (2004), p. 9.

[16] M.V. Bogdanov, D.S. Kalinin, S.Yu. Karpov, S.K. Kochuguev, A.V. Kulik, I.D. Matukov, D.Kh. Ofengeim, M.S. Ramm, Yu.N. Makarov. Modeling of sublimation growth of bulk wide bandgap semiconductor crystals in Virtual Reactor, Abstracts of V international seminar on silicon carbide and related materials, Novgorod the Great, Russia (2004), p. 13.

[17] P.J. Wellmann, Z. Herro, S.A. Sakwe, P. Masri, M. Bogdanov, S. Karpov, A. Kulik, M. Ramm, Yu. Makarov. Analysis of graphitization during physical vapor transport growth of silicon carbide, Mat. Sci. Forum, 457-460 (2004), pp. 55-58.

[18] A.V. Kulik, M.V. Bogdanov, S.Yu. Karpov, M.S. Ramm, Yu.N. Makarov, Theoretical analysis of the mass transport in the powder charge in long-term bulk SiC growth, Mat. Sci. Forum, 457-460 (2004), pp. 67-70.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 4й . Формат 60x84/16. Печать офсетная. Уч. печ. л {¿5. Тираж ЮО . Заказ Л>? .

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29.

»21227

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кулик, Алексей Викторович

Условные обозначения

Введение

1. Обзор литературы

1.1. Карбид кремния, его свойства и основные методы получения

1.2. Обзор литературы по моделированию роста объемных кристаллов SiC.

1.3. Выводы по главе 1.

2. Математическая модель 23 <Д 2.1. Оценка характерных параметров задачи и критериев подобия

2.2. Определяющие уравнения.

2.2.1. Уравнения течения газовой смеси

2.2.2. Вычисление векторов плотностей потоков и коэффициентов молекулярного переноса.

2.2.3. Модель течения и массопереноса в пористой среде

2.2.4. Сопряженный теплообмен.

2.3. Граничные условия.

2.3.1. Условия на оси или плоскости симметрии.

2.3.2. Условия на твердых стенках.

2.3.3. Условия на границах пористой среды

2.3.4. Условия на внешних границах расчетной области для задачи сопряженного теплообмена.

2.3.5. Условия на внутренних границах для задачи сопряженного теплообмена

2.4. Выводы по главе 2.

3. Дискретизация уравнений и метод решения

3.1. Обоснование выбора метода решения уравнений гидродинамики и тепломассопереноса.

3.2. Структура данных.

3.3. Дискретизация обобщенного уравнения переноса.

3.3.1. Дискретизация диффузионного слагаемого.

3.3.2. Дискретизация конвективного слагаемого.

3.3.3. Дискретизация источникового слагаемого.

3.3.4. Общий вид дискретного аналога.

3.4. Расчет поля течения.

3.5. Моделирование длительного ростового процесса.

3.6. Тестирование и методические исследования разработанного алгоритма.

3.6.1. Тепловая естественная конвекция в квадратной каверне

3.6.2. Тепловая естественная конвекция в квадратной каверне, частично заполненной пористой средой

3.7. Выводы по главе 3.

4. Исследование процесса сублимационного роста кристаллов SiC

4.1. Описание расчетной области. Методические расчеты

4.2. Исследование процесса на начальном этапе роста.

4.3. Исследование длительного ростового процесса.

4.4. Параметрическое исследование ростового процесса.

4.4.1. Влияние мощности нагрева.

4.4.2. Влияние положения обмотки индуктора.

4.4.3. Влияние давления в системе

4.5. Выводы по главе 4.

5. Оптимизация процесса сублимационного роста кристаллов SiC

5.1. Постановка задачи оптимизации.

5.2. Методы решения задач оптимизации.

5.3. Оптимизация теплового поля в системе для сублимационного роста SiC путем изменения геометрии системы

5.4. Управление процессом роста объемных кристаллов SiC

5.5. Выводы по главе 5.

Введение диссертация по механике, на тему "Гидродинамика и тепломассообмен при выращивании объемных кристаллов карбида кремния"

Одним из наиболее перспективных широкозонных полупроводниковых материалов, который может быть использован в производстве высокотемпературных, высокомощных и высокочастотных электронных приборов, является карбид кремния (SiC). Это связано с тем, что в карбиде кремния сочетаются такие свойства, как высокие значения напряжения пробоя, теплопроводности, механических характеристик, а также химическая и радиационная стойкость. Однако, в настоящее время, применение карбида кремния в промышленных масштабах сталкивается со значительными трудностями, обусловленными, прежде всего, низким качеством производимых объемных кристаллов. Это связано с наличием в кристаллах структурных дефектов (дислокаций, включений примеси) и макродефектов (микропор, микротрещин).

Основной технологией получения объемных кристаллов SiC является в настоящее время газофазный метод, идея которого заключается в сублимации исходного материала — порошка SiC и последующей конденсации паров на затравочном кристалле. Понимание физико-химических процессов, протекающих в ростовой камере в процессе сублимационного роста, исключительно важно для получения кристаллов SiC высокого качества и больших размеров. Экспериментальное исследование данной технологии представляет собой чрезвычайно трудоемкую и дорогостоящую процедуру, так как ввиду крайне высоких температур, характерных для этого процесса (свыше 2200° С), какие-либо детальные измерения практически невозможны. В связи с этим, весьма актуальной становится задача численного моделирования сублимационного роста кристаллов SiC. В настоящее время достаточно детальная математическая модель этого процесса, включающая в себя решение задач эволюции фронта растущего кристалла и массопереноса в порошковом источнике, находится в стадии активной разработки. Она является достаточно сложной и поддается только численному анализу. Последний позволяет существенно уточнить особенности ростового процесса и отчасти осуществить его оптимизацию при меньшем количестве физических экспериментов.

Данная диссертационная работа имеет следующие цели:

1) Разработка математической модели технологического процесса выращивания объемных кристаллов карбида кремния, описывающей сложную структуру течения газовой смеси в ростовой камере с учетом многочисленных физико-химических явлений, а также сопряженный теплообмен во всей ростовой установке, включая ее индукционный нагрев.

Первая глава диссертации содержит обзор литературных данных по тематике работы. Рассматриваются основные методы получения объемных кристаллов карбида кремния, описывается история развития и современное положение вопроса о численном моделировании технологии сублимационного роста SiC.

Вторая глава содержит описание математической модели сублимационного роста SiC. Модель включает в себя уравнения существенно дозвукового течения многокомпонентной газовой смеси в газовой области ростовой камеры и в пористой среде порошковой засыпки. При этом учитывается протекание гетерогенных химических реакций на поверхностях кристалла, графитовых стенок тигля и гранул порошковой засыпки. Учитывается влияние стефановского потока на течение в ростовой камере и генерация/поглощение массы в объеме порошка. Также в модель входят уравнения сопряженного теплообмена во всей ростовой установке с учетом переноса тепла за счет теплопроводности, конвекции и радиации. Для расчета распределенного джоулева тепловыделения решаются уравнения Максвелла. Задача формулируется в двумерной осесиммет-ричной постановке. Для моделирования длительного процесса применяется квазистационарный подход.

Третья глава посвящена описанию численного метода решения задачи о гидродинамике и тепломассообмене в ростовой установке. Для дискретизации определяющих уравнений используется метод конечных объемов с использованием неструктурированных сеток. Расчет поля течения осуществляется с помощью метода SIMPLEC. При этом сеточные узлы для хранения значений давления и компонент скоростей совпадают, т.е. применяется так называемая совмещенная сетка. Также в этой главе содержится описание результатов тестовых расчетов, направленных на проверку работоспособности и исследования свойств созданной программы расчета газодинамики и тепломассообмена.

Четвертая глава содержит результаты численного исследования процесса сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния. Анализируются физикохимические процессы, протекающие в ростовой камере и их влияние на процесс роста кристалла. Изучается начальный момент роста и развитие процесса во времени. В этой главе осуществляется параметрическое исследование сублимационного роста, направленное на изучение влияния различных технологических параметров на процессы тепломассообмена в ростовой установке и, в конечном счете, воздействие изменений в этих процессах на рост кристалла и эволюцию порошковой засыпки. Основными параметрами технологии сублимационного роста являются: мощность нагрева, положение обмотки индуктора и давление в системе.

Пятая глава посвящена решению задачи об оптимизации процесса сублимационного роста кристаллов SiC с помощью разработанного аппарата для численного моделирования этой технологии. В главе рассматривается общая формулировка задачи оптимизации, анализируются существующие методы численной оптимизации и выбираются наиболее эффективные из них. Формулируются и решаются задачи оптимального проектирования и оптимального управления для технологии сублимационного роста.

Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:

2) Результаты исследования процесса сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния. Результаты параметрического исследования влияния положения обмотки индуктора, мощности нагрева и давления в системе на эффективность использования источника, скорость роста и форму кристалла.

3) Результаты решения задач оптимального проектирования и оптимального управления в применении к процессу роста объемных кристаллов из газовой фазы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Автор данного диссертационного исследования благодарит своих коллег и соавторов М.В. Богданова, О.В. Ворд, А.Н. Воробьева, С.Е. Демину, И.Ю. Евстратова, А.И. Жмакина, С.Ю. Карпова, С.К. Кочугуе-ва, В.Ф. Мымрина, Д.Х. Офенгейма и А.С. Сегаля за продуктивное сотрудничество и помощь в выполнении настоящего исследования, а также ЮА. Водакова, Е.Н. Мохова и А.Д. Роенкова за предоставление экспериментальных данных и плодотворные дискуссии.

Автор выражает особую благодарность Марку Спиридоновичу Рамму, без которого эта работа была бы невозможна, а также своему научному руководителю Юрию Михайловичу Циркунову.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

5.5. Выводы по главе 5

В данной главе сформулирована и решена задача об оптимизации процесса сублимационного роста кристаллов SiC с использованием разработанной численной модели исследуемой технологии. Рассмотрена общая формулировка задачи оптимизации, проанализированы существующие методы численной оптимизации и выбраны наиболее эффективные из них. Формулируются и решаются задачи оптимального проектирования и оптимального управления для технологии сублимационного роста.

При рассмотрении задачи оптимального проектирования параметром оптимизации являлась форма ростового тигля, контур которой был описан кусочно-линейной функцией. В качестве варьируемых переменных были приняты радиальные координаты узловых точек этой функции. Целью оптимизации было достижение желаемого распределения температуры в ростовой системе (однородное поле температуры в объеме порошкового источника и заданный градиент температуры по радиусу затравки), а целевая функция формулировалась как степень отклонения температурного поля от желаемого. В процессе решения этой задачи обнаружено, что при увеличении габаритов ростовой системы с оптимизированной геометрией температурное поле перестает соответствовать желаемому распределению. Это означает, что при разработке технологии выращивания кристаллов больших диаметров необходима дополнительная, независимая оптимизация системы.

При решении задачи оптимального управления параметрами оптимизации являлись мощность нагрева системы и положение обмотки индуктора. Цель оптимизации — обеспечить рост кристалла заданной формы. Целевая функция при этом характеризовала величину отклонения формы профиля растущего кристалла от желаемой в каждый момент времени. Возможность эффективного управления формой кристалла в процессе его роста продемонстрирована на примере решения трех задач — рост кристалла плоской, слабо выпуклой и сильно выпуклой формы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог выполненному диссертационному исследованию, сделаем следующие выводы:

2) Обнаружено, что в течение ростового процесса скорость роста кристалла уменьшается, а ее распределение по поверхности кристалла становится более равномерным. Показано, что заметно неравномерное распределение температуры в объеме порошкового источника приводит к тому, что материал источника испаряется очень неоднородно, что приводит к низкой эффективности использования источника ( < 10%) из-за его рекристаллизации.

4) Впервые поставлена и решена задача оптимизации сублимационного роста объемных кристаллов карбида кремния на основе развитой численной модели процесса. Для решения задачи использовались методы численной оптимизации. Найдены: наилучшая геометрии ростового тигля с точки зрения желательного распределения температуры в ростовой камере (задача оптимального проектирования) и законы изменения во времени положения и мощности индуктора, обеспечивающие получение кристаллов формы близкой к заданной (задача оптимального управления).

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Кулик, Алексей Викторович, Санкт-Петербург

1. Н. Morkoc, S. Strite, G.B. Gao, М.Е. Lin, В. Sverdlov, М. Burns. Large-band-gap SiC, III-V nitride, and II-VI ZnSe-based semiconductor device technologies, J. Appl. Phys. 76 (3) (1994) p. 1363-1398.

2. Ю.М. Таиров, В.Ф. Цветков. Полупроводниковые соединения ^IVglV ^ g справочнике по электротехническим материалам / Под ред. Ю.В. Корицкого, В.В. Пасынкова, Б.М. Тареева. — Т. 3. — 3-е изд. перераб. — JL: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1988. — 728 с .

3. Yu.A. Vodakov, E.N. Mokhov, M.G. Ramm, A.D. Roenkov. Epitaxial growth of silicon carbide layers by sublimation "Sandvich Method" (I). Growth kinetics in vacuum, Kristall und Technik 14 (1979) p. 729-740.

4. Ю.А. Водаков, E.H. Мохов. Способ получения полупроводникового карбида кремния, А.С. № 403275 (1970).

5. Yu.M. Tairov, V.F. Tsvetkov. Investigation of growth processes of ingots of silicon carbide single crystals, J. Crystal Growth 43 (1978) p. 209-212.

6. Yu.M. Tairov, V.F. Tsvetkov. General principles of growing large-size single crystals of various silicon carbide poly types, J. Crystal Growth 52 (1981) p. 146-150.

7. В.И. Левин, Ю.М. Таиров, М.Г. Траваджян, В.Ф. Цветков, М.А. Чернов. Исследование процесса выращивания монокристаллических слитков SiC из газовой фазы, Неорганические материалы 14(6) (1978) с. 1062-1066.

8. P.J. Wellmann, М. Bickermann, D. Hofmann, L. Kadinski, M. Selder, T.L. Straubinger, A.Winnacker. In situ visualization and analysis of silicon carbide physical vapor transport growth using digital X-ray imaging, J. Crystal Growth 216 (2000) p. 263-272.

9. M. Selder, L. Kadinski, Yu. Makarov, F. Durst, P. Wellmann, T. Straubinger, D. Hofmann, S. Karpov, M. Ramm. Global numerical simulation of heat and mass transfer for SiC bulk crystal growth by PVT, J. Crystal Growth 211 (2000) p. 333-338.

10. D. Hofmann, M. Heinze, A. Winnacker, F. Durst, L. Kadinski, P. Kaufmann, Yu. Makarov, M. Schafer. On the sublimation growth of SiC bulk crystals: development of a numerical process model, J. Crystal Growth 146 (1995) p. 214-219.

11. M. Pons, Б. Blanquet, J.M. Dedulle, I. Garcon, R. Madar, C. Bernard. Thermodynamic heat transfer and mass transport modeling of the sublimation growth of silicon carbide crystals, J. Electrochem. Soc. 143(11) (1996) p. 3727-3735.

12. S.Yu. Karpov, Yu.N. Makarov, M.S. Ramm. Simulation of sublimation growth of SiC single crystals, Phis. Stat. Sol.(b) 202 (1997) p. 201-220.

13. S.Yu. Karpov, A.V. Kulik, I.A. Zhmakin, Yu.N. Makarov, E.N. Mokhov, M.G. Ramm, M.S. Ramm, A.D. Roenkov, Yu.A. Vodakov. Analysis of sublimation growth of bulk SiC crystals in tantalum container, J. Crystal Growth 211 (2000) p. 347-351.

14. I.A. Zhmakin, A.V. Kulik, S.Yu. Karpov, S.E. Demina, M.S. Ramm, Yu.N. Makarov. Evolution of thermoelastic strain and dislocation density during sublimation growth of silicon carbide, Diamond and Related Materials 9 (2000) p. 446-451.

15. M. Selder, L. Kadinski, F. Durst, D. Hofmann. Global modeling of the SiC sublimation growth process: prediction of thermoelastic stress and control of growth conditions, J. Crystal Growth 226 (2001) p. 501-510.

16. M.V. Bogdanov, S.E. Demina, S.Yu. Karpov, A.V. Kulik, M.S. Ramm, Yu.N. Makarov. Advances in modeling of wide-bandgap bulk crystal growth, Cryst. Res. Technol. 38 (2003) p. 237-249.

17. А.П. Бабичев, H.A. Бабушкина, A.M. Братковский и др. Физические величины: Справочник. Под. ред. И.С. Григорьева, Е.З. Михайлова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с.

18. Yu.N. Makarov, A.I. Zhmakin. On The flow regimes in VPE reactors, J. Crystal Growth 94 (1989) p. 537-550.

19. J. Drowart, G. de Maria, M.G. Inghram. Thermodynamic study of SiC utilizing a mass spectrometer, J. Chem. Phys. 29 (1958) p. 1015-1021.

20. L. Kadinski, M. Peric. Numerical study of grey-body surface radiation coupled with fluid flow for general geometries using a finite volume multigrid solver, Int. J. Num. Meth. Heat and Fluid Flow 6 (1996) p. 318.

21. Ю.В. Лапин, M.X. Стрелец. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989. 368 с.

22. Л.В. Гурвич, И.В. Вейц, В.А. Медведев и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание: В 4-х т. М.: Наука, 1978.

23. Э. Оран, Дж. Борис. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир, 1990. 660 с.

24. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Э. Берд. Молекулярная теория жидкостей и газов. М.: ИЛ, 1961. 929 с.

25. N.S. Martys, S. Torquato, D.P. Bentz. Universal scaling of fluid permeability for sphere packings, Phys. Rev. E 50(1) (1994) p. 403-408.

26. Р.И. Нигматулин. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

27. Р.И. Нигматулин. Динамика многофазных сред. Ч. I. М.: Наука, 1987. 464 с.

28. А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко, Е.А. Самарская, В.Ф. Тишкин. Методы математического моделирования окружающей среды. М.: Наука, 2000. 253 с.

29. Е. Skjetne, J.L. Auriault. New insights on steady, non-linear flow in porous media, Eur. J. Mech. B/Fluids 18(1) (1999) p. 131-145.

30. С. Beckermann, S. Ramadhyani, R. Viskanta. Natural convection flow and heat transfer between a fluid layer and a porous layer inside a rectangular enclosure, J. Heat Transfer 109 (1987) p. 363-370.

31. Q.-S. Chen, V. Prasad, A. Chatterjee. Modeling of fluid flow and heat transfer in a hydrothermal crystal growth system: use of fluid-superposedporous layer theory, ASME J. Heat Transfer 121(4) (1999) p. 1049-1058.

32. S. Ergun. Fluid flow through packed columns, Chemical Engineering Progress 48(2) (1952) p. 89-94.

33. E.L. Kitanin, M.S. Ramm, V.V. Ris, A.A. Schmidt. Heat transfer through source powder in sublimation growth of SiC crystal, Mater. Sci. Eng. В 55 (1998) p. 174.

34. M.D. Rintoul, S. Torquato, C. Yeong, D.T. Keane, S. Erramilli, Y.N. Jun, D.M. Dabbs, I.A. Aksay. Structure and transport properties of a porous magnetic gel via x-ray microtomography, Phys. Rev. E 56(3) (1996) p. 2663-2669.

35. F. Dupret, P. Nicodeme, Y. Ryckmans, P. Wouters, M.J. Crochet. Global modeling of heat transfer in crystal growth furnaces, J. Heat Mass Transfer 33 (1990) p. 1849-1871.

36. Д.А. Франк-Каменецкий. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967. 492 с.

37. A.S. Segal, A.N. Vorob'ev, S.Yu. Karpov, Yu.N. Makarov, E.N. Mokhov, M.G. Ramm, M.S. Ramm, A.D. Roenkov, Yu.A. Vodakov, A.I. Zhmakin. Transport phenomena in sublimation growth of SiC bulk crystals, Mat. Sci. Engin. B61-62 (1999) p. 40-43.

38. S.Yu. Karpov, V.G. Prokofyev, E.V. Yakovlev, R.A. Talalaev, Yu.N. Makarov. Novel approach to simulation of group-Ill nitrides growth by MOVPE, MRS Internet J. Nitride Semicond. Res. 4, 4 (1999).

39. С. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

40. J.H. Ferziger, М. Peric. Computational methods for fluid dynamics, Springer, Berlin, 1999.

41. S.V. Patankar, D.B. Spalding. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows, Int. J. Heat and Mass Transfer 15 (1972) p. 1787.

42. J.P. Van Doormaal, G.D. Raithby. Enhancements of the SIMPLE Method for Predicting Incompressible Fluid Flows, Numerical Heat Transfer 7 (1994) p. 146-163.

43. C.M. Рхи, У.JI. Чоу. Численный расчет турбулентного обтекания профиля с отрывом у задней кромки, Аэрокосмическая техника №7 (1982) с. 33-63.

44. М. Tomadakis, М. Leschziner. Numerical simulation of viscous incompressible flows using a pressure-correction method and ustructured grids, Proceedings of Computational Fluid Dynamics'95 (1997) p. 325332.

45. Yu.E. Egorov, A.I. Zhmakin. Numerical simulation of low-Mach number gas mixture flows with heat and mass transfer using unstructured grids, Comput. Mater. Sci. 11 (1998) p. 204-220.

46. К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т. 2. М.: Мир, 1998. 452 с.

47. А.В. Скворцов. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне, Вычислительные методы и программирование 3 (2002) с. 14-39.

48. R. Barrett, M. Berry, T.F. Chan, J. Demmel, J.M. Donato, J. Dongarra, V. Eijkhout, R. Pozo, C. Romine, H. Van der Vorst. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, www.netlib.org/templates/Templates.html.

49. M. Hortmann, M. Peric, G. Scheuerer. Finite volume multigrid prediction of laminar natural convection: bench-mark solutions, Int. J. Numer. Methods Fluids 11 (1990) p. 189-207.

50. P.J. Wellmann, D. Hofmann, L. Kadinski, M. Selder, T.L. Straubinger, A. Winnacker. Impact of source material on silicon carbide vapor transport growth process, J. Crystal Growth 225 (2001) p. 312-316.

51. M. Pons, M. Anikin, K. Chourou, J.M. Dedulle, R. Madar, E. Blanquet, A. Pisch, C. Bernard, P. Grosse, C. Faure, G. Basset, Y. Grange. State of the art in the modelling of SiC sublimation growth, Mat. Sci. Engin. B61-62 (1999) p. 18-28.

52. G. Augustine, H.McD. Hobgood, V. Balakrishna, G. Dunne, R.H. Hopkins. Physical vapor transport growth and properties of SiC monocrystals of 4H polytype, phys. stat. sol. (b) 202 (1997) p. 137-148.

53. A.S. Segal, A.N. Vorob'ev, S.Yu. Karpov, E.N. Mokhov, M.G. Ramm, M.S. Ramm, A.D. Roenkov, Yu.A. Vodakov, Yu.N. Makarov. Growth of silicon carbide by sublimation sandwich method in the atmosphere of inert gas, J. Crystal Growth 208 (2000) p. 431-441.

54. Э. Полак. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. 376 с.

55. Дж. Ортега, В. Рейнболдт. Итерационные методы решения систем уравнвений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 558 с.

56. А.В. Аттетков, С.В. Галкин, B.C. Зарубин. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. — 440 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIV).

57. R.M. Lewis, V. Torczon, M.W. Trosset. Direct search methods: then and now, ICASE Technical Report 2000-26.

58. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery. Numerical Recipes in C: Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 1993, 994 p.

59. J.A. Nelder, R. Mead. A simplex method for function minimization, Computer Journal 7 (1965) p. 308-313.

60. M.J.D. Powell. An efficient method for finding the minimum of a function of several variables without calculating derivatives, Computer Journal 7 (1964) p. 155-162.

61. R. Fletcher, M.J.D. Powell. A rapidly convergent method for minimization, Computer Journal 6 (1963) p. 163-168.

62. M.S. Ramm, A.V. Kulik, A.I. Zhmakin, S.Yu. Karpov, O.V. Bord, S.E. Demina, Yu.N. Makarov. Modeling of PVT growth of bulk SiCcrystals: general trends and 2" to 4" reactor scaling, MRS Symp. Proc. 616 (2000) p. 227-233.

63. J.E. Meyer. Hydrodynamic models for the treatment of reactor thermal transients, Nucl. Sci. Eng. 10 (1961) p. 269-277.

64. П. Роуч. Вычислительная гидродинамика. M.: Мир, 1980. 616 с.

65. L.-E. Eriksson. A preconditioned Navier-Stokes solver for low Mach number flows, Proceedings of Computational Fluid Dynamics'96 (1996) p. 199-205.

66. H. Bijl, P. Wesseling. A numerical method for the computation of compressible flows with low Mach number regions, Proceedings of Computational Fluid Dynamics'96 (1996) p. 206-212.

67. C.K. Forester, A.F. Emery. A computational method for low Mach number unsteady compressible free convective flows, J. Comput. Phys. 10 (1972) p. 487-502.

68. J.D. Ramshaw, J.A. Trapp. A numerical technique for low-speed homogeneous two-phase flow with sharp interfaces, J. Comput. Phys. 21 (1976) p. 438-453.

69. Д.А. Никулин, Г.С. Потехин, M.X. Стрелец. Приближенная система уравнений для описания нестационарной концентрационной естественной конвекции в бинарных газовых смесях, Изв. АН СССР. МЖГ №5 (1980) с. 57-61.

70. А.И. Жмакин, Ю.Н. Макаров. Численное моделирование гипозву-ковых течений вязкого газа, Докл. АН СССР. МЖГ 280 №4 (1985) с. 827-830.

71. А.И. Жмакин, Ю.Н. Макаров, Д.Х. Офенгейм, М.С. Рамм. Численное моделирование роста кристаллов из газовой фазы: В сб. Вопросыматематической физики и прикладной математики. СПб.: ФТИ им. А.Ф.Иоффе. 2001. с. 208-234.

72. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. — 4-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТ Л ИТ, 2001. — 656 с.

73. Д.В. Сивухин. Общий курс физики: Учеб. пособ.: Для вузов. В 5 т. Т. III. Электричество. — 4-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2002. — 656 с.

74. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля. — 8-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 536 с.

75. P. Raback. Modeling of the sublimation growth of silicon carbide crystals, PhD thesis, Center for Scientific Computing, Espoo, 1999.