Глобальные теоремы существования для многомерных уравнений сжимаемых неньютоновских жидкостей в пространствах Орлича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Мамонтов Александр Евгеньевич

ГЛОБАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ СЖИМАЕМЫХ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА

01 01 02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

СЮ344Ь

Новосибирск, 2008

1 8 СЕН 200

003446140

Работа выполнена в Институте гидродинамики им М А Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук

Официальные оппоненты д ф -м н , проф А А Амосов

д ф -м н , проф С К Водопьянов д ф -м н , проф В В Шелухин

Ведущая организация Московский государственный

университет им М В Ломоносова

Защита состоится « » октября 2008 г в 15 00 на заседании диссертационного совета Д 003 015 04 при Институте математики им С Л Соболева СО РАН по адресу 630090, Новосибирск, пр ак Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в бибчиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат разос чан 20 августа 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета к ф -м н

I. Аннотация1

Основной целью диссертационной работы является доказательство теорем существования «в целом» по времени и входным данным для уравнений многомерного движения вязкой сжимаемой неньютоновекой жидкости В связи с необходимостью оценки плотности изучается поведение решений транспортного уравнейия с нерегулярными коэффициентами (особенно неограниченной дивергенцией коэффициента) Оказывается, что этот вопрос, а потому и вся исходная задача, естественным образом решаются с помощью аппарата пространств Орлича. В связи с этим возникает другая вспомогательная задача — об экстраполяции линейных операторов в пространствах Орлича, которая решается в диссертации с помощью интегральных преобразований и представлений М-функций В качестве еще одного приложения предложенных экстраполяци-онных методов приведена проблема единственности для уравнений Эйлера.

II. Общая характеристика работы

11.1. Актуальность темы и ее разработанность в литературе.

Исследование уравнений механики сплошных сред является задачей, относящейся как к области механики и физики, так и математики Ее актуальность обусловлена многочисленными приложениями, особенно ярко проявившимися в последнее столетие Принятые в современной науке подходы требуют, чтобы формз'лировка и анализ физических моделей сопровождались их математическим исследованием Возникающие при этом математические задачи оказываются весьма интересными, своеобразными и требовательными к применяемому математическому аппарату, приводя нередко к разработке специальных оригинальных подходов Преодоление возникающих трудностей явилось одним из основных стимулов развития математики Развитый при этом новый инструментарий обогатил как саму математику, так и возможности ее при ложений

Необходимо также у помянуть, что доказательство теорем о математической корректности физических моделей способствует обоснованию и развитию численных методов, значение которых в последнее время чрезвычайно возросло

Для приложений особенную ценность представляют теоремы о существовании решений «в целом», т е для любых интервалов времени и любых, сколь угодно больших, входных данных

Все сказанное относится и к одной из наиболее известных моделей в механике сплошных сред — модели вязкой сжимаемой жидкости (ВСЖ), описываемой системой дифференциальных уравнений в частных производных

1 + сИриНО, (1)

р (ж + (и'у)и) 55 + сИри ® и) = + р£ (2)

'Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 07-01-00309) и гранта Президента РФ (проект МК-213 2008 1)

— это сокращенная форма моде пи (без уравнения энергии), возникающая в механике при описании некоторых классов течений и сред, и являющаяся естественным математическим приближением для полной системы Даже в таком сокращенном виде модель достаточно богата с точки зрения при-1 ожений и представляет серьезные математические трудности Так, уравнение (1) имеет гиперболический тип по р, а (2) — парабочический по ц, так что вся система не имеет опреде пенного типа, теория таких систем (смешанного типа) развита еще недостаточно полно, и при исследовании (1), (2) необходимо прибегать к специальным подходам

В системе (1), (2) р есть плотность жидкости, и — вектор скорости, Р

— тензор напряжений, это неизвестные функции пространственных переменных х € К" и времени вектор внешних массовых сил Г считается заданной функцией от х Операторы V и сЬу действуют по х Система (1), (2) незамкнута — не хватает опреде тающего уравнения (ОУ) дня напряжений Р = ¥(р, и) Его выбор означает выбор определенной среды и пи. точнее, среды с классом течений Физический смыст понятия «жидкость», как правило, отождеств чяемого с посту татами Стокса, приводит к тому, что ОУ обязано иметь вид

где В = Бут(У®и) = ((У®и) + (Х7®и)*)/2 — тензор скоростей деформаций а { Л (О)} — его основные инварианты ОУ реальных сред достаточно сложны, и >же их описание представляет значительную трудность Чаще всего при исспедовании системы (1), (2) выбирают ОУ (3) с линейной зависимостью Р от В (закон Стокса)

в котором давление р и коэффициенты вязкости Л, р могут быть функциями2 от р В сну чае (4) уравнения (1), (2) описывают ньютоновскую жидкость тогда сЬуР = —Х7р(р) + /лДи + (А + /л)Уё]Д'и, и (1), (2) превращаются в уравнения Навье—Стокса ВСЖ. Все прочие модели называются неньютоновскими, в их число входят и более общие ситуации, чем (3) Мы ограничимся ОУ (3), что соответствует неньютоновским жидкостям дифференциального типа первого порядка Даже для таких сред и даже в несжимаемом случае теория разрешимости развита недостаточно почно

Нас интересует проблема разрешимости «в целом» начально-краевых задач для (1), (2) История этого вопроса показывает усчовность разделения на ньютоновский и неньютоновский случаи Впрочем, по второму случаю результатов значитечьно меньше, и особенно в сжимаемом случае подавляющее большинство работ посвящено ньютоновско-

2но обычно Л и особенно у. считаются постоянными

(3)

р = (-р 4 ДЖуи)! + 2рЗ,

(4)

му О У (4) В развитии теории разрешимости уравнений (1), (2), (4) можно условно выдечить несколько этапов.

Первый этап — локальная теория — был начат в 1950-е гг в работах D Graffi и J Sernn'a и пережил свой расцвет в 1960-70-е гг благодаря работам таких авторов как J Nash, А И Вольперт, С И Худяев, N Itaya, В А Солонников, A Tarn Определенным итогом этого этапа можно считать работу A Matsumura и T.Nishida (1980), в которой была впервые показана глобальная во времени (хотя пока локальная по начальным данным) разрешимость в многомерном случае Впрочем, локальные (по времени или данным) результаты появлялись и после этого3

Начало второго этапа — глобальной одномерной теории — можно связать с работой Я.И Канеля (1968), расцвет этой теории пришелся на 197080-е гг, когда благодаря работам авторов N Itaya, А Таги, А В Кажихов, В В Шелухин, В Б Николаев, С Я Белов, В А Вайгант, А А Папин, А А Амосов, А А Злотник, Т Nagasawa, S Kawashima, Т Nishida, S Yanagi, M Okada, В Kawohl, D Hoff и др , была построена целостная теория глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши в случае п = 1 В 1980-90-е гг 4 акцент был в значительной степени смешен на исследование решений с разрывными данными

В случае тг > 1 для системы (1), (2) долгое время не было каких-либо глобальных результатов В связи с этим интерес представляют работы, касающиеся специальных классов многомерных течений5, и по приближенным моделям для (1), (2), (4) в многомерном случае6

На рубеже 1980-90-х гг произошел прорыв в многомерной глобальной теории для системы (1), (2), (4), который был подготовлен многими работами, содержавшими ряд плодотворных идей Так, была исследована' ключевая роль так называемого эффективного вязкого потока (эффективного вязкого давления) S = (Л + 2^)divu - р(р) В работах W Е и D Serre было (в одномерном случае) открыто ключевое коммуникативное соотношение для слабых пределов8 SpP — S JF, доказанное и использованное затем в многомерном случае Р L Lions'oM Для транспортного уравнения (включая (1)) R J DiPema и Р L Lions усовершенствовали аппарат ренормализации, играющий ныне ключевую роль в математической теории ВСЖ

Первая попытка решения двумерной задачи9 была предпринята M Ра-

3А VaJli, PSecchi, A Matsumura, TNishida, NYamagata, D Hoff, К Zumbrun, G Lukaszewicb, A Tani

4B А Вайгант, А А.Амосов, А А Злотник, В В Шелухин, D Serre, D Hoff, M Padula, A Novotny, Song Jiang, R Zarnowski

5B Б Николаев, D Hoff, H Fujita Yashima, R Bena.bidallah, В В Шелухин (1980-90-e it)

6A В Кажихов, В А Вайгант, Lu Mm, S Ukaj и автор (1990-е гг )

7D Hoff, A Novotny, P.L Lions, B.A Вайгант, A В.Кажихов, D Serre, N Masmoudi, Б Feireisl, H Petzeltova

8для достаточно малых a > 0, черта означает слабый предел

"в ограниченной области, р = р

dula (1986) Несмотря на наличие пробелов, эта работа содержит плодотворные идеи — в частности, об эффективности оценок в классах Орлича Наконец, появились работы PL Lions'a (1993, 1998) о глобальной разрешимости уравнений (1), (2), (4) при р = ру с достаточно большими у (показатель адиабаты) и произвольным п (для начально-краевой задачи) Дальнейшее развитие этого результата, включая снижение 7, предпринято в работах Е Feireisl, S Matusu-Necasova, H.Petzeltová, I Straskraba Имеются резупьтаты и по стационарным задачам — как локальные10, так и глобальные11

Все упомянутые результаты касаются слабых обобщенных решений в связи с этим особую роль играют работы В А Вайганта и А В Кажихова (1995-1996), в которых построены более гладкие (в том числе классические) решения ньютоновской системы (1), (2), (4), но при п = 2, Л = Х(р) Для классических уравнений Навье—Стокса ВСЖ, даже при п = 2, проблема глобального существования гладких решений, и вообще, проб тема единственности глобальных решений, остаются открытыми Открыты и многие другие важные проблемы дальнейшего снижения показателя 7 дня глобального существования хотя бы слабых решений, распространения результатов на случай теплопроводной жидкости, и т д

Среди упомянутых работ не уделено внимания неньютоновскому случаю12 Это связано со спецификой найденных методов и их жесткой «привязке» к ньютоновскому характеру ОУ Нужно подчеркнуть, что неньютоновские ОУ лучше описывают поведение реальных сред к тому же их роль оказалась важной в проблеме турбулентности13 С математической точки зрения теория разрешимости (особенно в классах достаточно регулярных решений) для неньютоновских уравнений сложнее, т к тогда в правой части (2) вместо линейного оператора Ламе возникает квазилинейный эллиптический оператор от и С другой стороны, это придает проблеме дополнительный математический интерес и стимулирует ее изучение Для многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости результаты весьма немногочис ленны В нескольких работах14 были построены так называемые мерозначные решения15 Эти результаты приведены в небольшом разделе монографии чешских авторов J Malek, J Ñecas, M Rokyta, M Ruzicka (1996), которая в остальном посвящена несжимаемым неньютоновским жидкостям, проблема существования хотя бы слабых обобщенных решений для случая сжимаемых неньютоновских жидкостей была обозначена в этой монографии как нере-

10М Padula, J Heywood, H Beirao da Veiga, A Novotny, A Matsumura, T Nishida, A Valli, R Farwig, С A Назаров, К Pileckas, PPenel,

"P L Lions, E Feireisl, A Novo, A Novotny, I Straskraba, П И Плотников, J Sokolowski

12если не считать нескольких работ по одномерным движениям

13R S Rivlin (1957), Y N Huang, К R.Rajagopal (1996), A Yoshizawa, S Nisizima (1993)

14S Matusu-Necasova, A Novotny, J Necas, M Shilhavy, J.Neustupa (1990-1994)

15т e такие, которые получаются без обоснования слабого предельного перехода в нелинейных вязких членах

шенная В определенной степени ее решение достигнуто в работах автора, лежащих в основе настоящей диссертационной работы

С другой стороны, в несжимаемом случае16 теория разрешимости уравнений неньютоновской жидкости развита несравненно лучше Начало этому положено в работах О А Ладыженской (1967-1968), где были показаны существование и единственность решений для широкого класса неньютоновских несжимаемых жидкостей, по существу степенных — с достаточно быстрым ростом коэффициента вязкости17 Отметим также работу S Kamel (1970), где аналогичные результаты были получены для более общих диссипативных потенциалов V, т е потенциалов в представ пении

В настоящее время представление (5) (имеющее физические основания) — стандартная техника в теории несжимаемых неньютоновских жидкостей, впрочем, обычно ограничиваются частным случаем18 V(B) = Г(|В|) — это так называемые обобщенные ньютоновские жидкости К настоящему моменту в теории несжимаемых неньютоновских жидкостей имеется ряд результатов19 о снижении скорости роста потенциала и обобщении вида V, а также о повышении гладкости решений

Особое положение в этой теории занимают модели вязкопластических жидкостей Шведова—Бингама20, которые находят свое применение при изучении движений таких сред, как пасты, цементы, суспензии, некоторые виды нефтей, буровые растворы В несжимаемом случае здесь также построена развитая теория В работах Г Генки (1937), А А Ичьюшин (1940) решен ряд плоских задач, причем в последней работе впервые предложена вариационная формучировка, позднее занявшая преоб тадающее место в теории21 П П Мосоловым и В П Мясниковым (1965-1981) предпринято одно из первых систематических исстедований моде та Бингама, но в рамках некоторых упрощений (стационарность или линеаризация) В книге

1бт е когда в (1), (2), (3) полагают р = const

17Что характерно, эти работы были своего рода попыткой решения проблемы единственности для классических трехмерных уравнений Навье—Стокса несжимаемой жидкости, нерешенной до сих пор и попавшей теперь в число «проблем тысячелетия» Это еще-раз показывает тесную связь между ньютоновской и неньютоновской моделями

183десь и далее для тензоров |А|г = А А, А В = ^

190 А Ладыженская, ГА Серегин, J Malek, J NecasTM Rokyta, M Ruzicka, Н Bellout, F Bloom

2°Их характерны»: свойством является отсутствие жидкого течения в случае, если напряжения в рассматриваемом объеме не превышают заданного порога текучести, в противном случае течение происходит по закону вязких жидкостей Таким образом, в этих средах возможно образование твердотельных зон (ядер), которые со временем могут исчезать, появляться и менять форму Эти среды не являются жидкостями в смысле постулатов Стокса, но их традиционно все же именуют жидкостями

21 Следует, однако, отметить, что эквивалентность исходной (дифференциальной)

и вариационной формулировок не является математически очевидным фактом

(П П.Мосолов, 1978) и не всегда имеет место

Г Дюво и Ж Л Лионса (1972) доказаны теоремы существования и единственности для вариационной формулировки без упрощений (хотя вопрос о связи вариационной постановки с исходной решен формально)

В настоящее время для вариационного подхода в теории несжимаемой жидкости Бингама имеется масса результатов22, в которых показывается дальнейшая регулярность решений и рассматриваются более общие ОУ В связи с тем, что в вариационном подходе затруднительно непосредственное изучение поведения ядер, в ряде недавних работ23 был предложен возврат к исходной дифференциальной постановке24 в модели Бингама, что позволило подробнее изучить многомерные движения несжимаемой среды Бингама и начать (при п = 1) Изучение сжимаемого случая Имеются также работы25 по неоднородной несжимаемой жидкости Бингама Но глобальная теория многомерных движений сжимаемой среды Бингама не развивалась

Как видно из приведенного обзора, при серьезных успехах в глобальной многомерной теории сжимаемой ньютоновской и несжимаемой неньютоновской жидкостей, теория еще далека от своего завершения Методы, развитые для уравнений ВСЖ, жестко «привязаны» к ньютоновским ОУ, и напротив, подходы, разработанные для неньютоновских жидкостей, существенно используют несжимаемость26 В случае одновременного учета сжимаемости, многомерности движения и неньютоновского характера ОУ (3) оставалась открытая проблема нужны теоремы существования <гв целом» по времени и входным данным слабых и сильных решений

Такт; образом, основным объектом исследования являются уравнения многомерного движения ВСЖ, в особенности с неньютоновскими ОУ

11.2. Цель диссертационной работы — доказательство теорем существования «в целом» по времени и входным данным для моделей многомерного движения вязких сжимаемых неньютоновских жидкостей (что удается достичь с привлечением теории пространств Орлича), а также исследование поведения в пространствах Орлича дифференциальных операторов, входящих в систему дифференциальных уравнений ВСЖ

11.3. Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. Работа носит теоретический характер Все результаты в ней формулируются в виде математических теорем и сопровождаются строгими доказательствами

J2Y Kato (1993), J U Kim (1987), О А Ладыженская, ГА Серегин, M Fuchs (19872000)

гзВ В Шелухин, И В Басов, J Malek, М Ruzicka

"когда решение есть тройка, функций р, и и Р, т к в твердотельных зонах Р «не зависит» от р, и

25M.B6hm (1985), Б Fernandez-Cara, F Guillen, RR Ortega (1997), И В Басов, В В Шелухин (2007)

26когда нет принципиальной проблемы оценки плотности, в то время как именно для нерегулярных решений учет сжимаемости особенно важен

В работе широко используются теоремы вложения, методы теории функций и функционального анализа (включая выпуклый анализ, теорию симметричных пространств и интегральные преобразования), теории нелинейных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики (прежде всего, обобщенных решений)

Для доказательства существования решений начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных используется построение приближенных решений (с помощью регуляризации коэффициентов и входных данных, попудискретизации по времени, метода Га-леркина с привлечением принципов о неподвижных точках нечинейных операторов) с одновременной оценкой этих приближенных решений далее осуществляется предельный переход с использованием методов компактности, монотонности и обоснованием слабого предельного перехода в нелинейных членах При этом оценки приближенных решений для наглядности дополнительно оформляются в виде априорных оценок гладких решений исходной задачи

Для формупировки оценок решений широко испочьзуется аппарат пространств Орлича Следует отметить, что несмотря на по лу вековую историю теории этих пространств и их применений в теоремах вложения и оценках решений дифференциальных уравнений27, эта теория еще далека от своего завершения В связи с этим диссертация в значите чьной степени посвящена развитию методов пространств Орлича Так, разрабаг тываются и применяются экстраполяционные методы оценки поведения функций и операторов в пространствах Орлича, для чего испочьзуется техника интегральных преобразований и изучаются интегральные представления N-функций

При исследовании единственности решений доказываются и применяются утверждения типа леммы Гронуолла (Осгуда) с неограниченным коэффициентом в многомерном спучае

II.4. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, и их научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты автора

1 Впервые28 доказаны теоремы существования слабых решений «в цепом» по времени и входным данным для уравнений многомерного движения вязкой сжимаемой неньютоновской жидкости (Главы 4-6) Это сделано для следующих трех подмоделей (т е трех видов ОУ)

a) модель Бюргерса (Глава 4 Теорема 4 3 6),

b) модель с давлением (Глава 5 Теорема 5 2 5)

"В связи с упомянутой спецификой назовем таких авторов, как М А Красносельский, Я Б Рутицкий, В И Юдович, Ю А Дубинский, С И Похожаев, И В Скрыпник. М И Вишик, N Thidinger, Т К Donaldson, J G Hempel, J G Morns, R Adams, R О Neil, A Kufner, S Fucik, О John, G Talenti, A Ciancni, все авторы, занимающиеся теорией экстраполяции — см п II4 5

28 ср обзор в п II1

с) модель Бингама (Глава б Теорема 6 3 2)

2 Показано, что все слабые решения того же класса удовлетворяют законам сохранения массы и энергии (Главы 4-6 Теоремы 4.3 5, 4 3 7, 5 2 5, 6 3 2, Лемма 5 2 3, Предложение 5 2 6. п 4 41) Эти соотношения являются нетривиальными для слабых решений (хотя естественны и нужны с позиций механики) и требуют доказательства Ранее аналогичный факт доказывался (для ВСЖ) только для ньютоновских моделей29

3 Впервые получены точные условия на неограниченную divu, гарантирующие однозначную глобальную разрешимость задачи Коши для уравнения неразрывности (1) и сопряженного уравнения переноса, и сформулированы точные классы дня решений (Глава 2) Ранее эта проблема рассматривалась либо30 в случае divu, ограниченной по х, либо31 в виде достаточных условий В работе найдено точное неулучшаемое условие и построены соответствующие контрпримеры Те же условия являются критерием для утверждения типа леммы Гронуолла (Осгуда) в многомерном случае Результат для уравнения переноса распространен на случай слабой нелинейности

4 Разработана техника дальнейших априорных оценок дня уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, позволяющая повышать гладкость построенных решений (Глава 7) Ранее «продвинутая»32 система априорных оценок для неодномерных уравнений вязкой жидкости предлагалась только для двумерных уравнений ньютоновской ВСЖ33, или же для несжимаемой жидкости34 (также в основном для п = 2)

5 Разработаны

a) метод экстраполяции операторов из Lp в пространства Орлича,

b) представления пространств Орлича как экстраполяционных

на основе интегральных преобразований и представлений N-функций, позволяющие конструктивно формулировать поведение функций и операторов в пространствах Орлича (Глава 3) Ранее аналогичные результаты касались либо внутренних свойств шкалы35, либо36 частных случаев, или давались в терминах, затрудняющих конструктивную формулировку экстраполяционных свойств во всей промежуточной шкале

6 В качестве еще одной ил люстрации экстраполяционных методов (Главы 3) получено простое условие на неограниченный вихрь (в простран-

"Р L Lions, E.Feireisl, A Novotny, П И.Плотников, J Sokolowski

30R J DiPerna, P L.Lions, F Bouchut, F Colombini, N Lemer, L Ambrosio, С DeLellis,

M Lecumberry, S Maniglia, G Cnppa, N DePauw

31B И Юдович, A В Кажихов, В В Шелухин, B.Desjaidins

32 т е гарантирующая более чеы слабое решение

33В А.Вайгант, А.В Кажихов

мО А. Ладыженская, Г А Серегин, J Malek, J Ñecas, M Rokyta, M Ruzicka, P Kaplicky,

J Stara

35И Б Симоненко

3SS Yano, R Kerman, В Jawerth, M Milman, С В Асташкин, К.В Лыков,

ЕИ Бережной, А А Перфильев, G Kaxadzhov, С Ф Лукомский, M КгЬес, С Capone,

A Fiorenza, и др

ствах Орлича), при котором имеет место единственность решения для уравнений Эйлера (Приложение А) Ранее аналогичный результат бьп получен37 в виде труднопроверяемого семейства оценок в Ьр, в то время как в диссертации получено одно условие в классе Орлича 11.5. Теоретическая и практическая значимость результатов.

Выводы работы.

1 Доказаны теоремы о глобальной разрешимости для важного класса моделей механики сплошных сред — уравнений сжимаемых неньютоновских жидкостей, что открывает новые перспективы в исследовании свойств этих моделей и их применении для описания движений реальных сред

2 Методы и априорные оценки, применяемые при доказательстве теорем существования, могут быть использованы для разработки численных методов решения рассматриваемых задач

3 Диссертация является опытом успешного систематического применения теории функций, теорем вложения и пространств Орлича в математическом моделировании и задачах для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных разработанные методы могут быть эффективны в других задачах теории дифференциальных уравнений, математической физики и механики сплошных сред

4 Разработанные в диссертации экстраполяционные методы могут применяться при изучении свойств операторов (в частности, дифференциальных) в шкале симметричных пространств

5 Результаты и методы работы активно используются при выполнении научно-исследовательских работ (см п II 6)

II.6 Апробация работы. Результаты по теме диссертации получены

в ходе выполнения следующих научно-исследовательских проектов

1 Институт гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН бюджетные темы 0120 0 406875. 0120 0 706888

2 Российский Фонд Фундаментальных Исследований проекты 96-01-01524, 99-01-00622, 02-01-00645, 05-01-00131, 07-01-00550

3 Грант Президента РФ по поддержке ведущих на\гчных школ НШ-7525 2006 1

4 ОЭММПУ РАН проекты 3 13 1, 4 13 2

5 Государственный комитет РФ по Высшему образованию проекты ЗН-201-96, ЗН-335-99

6 Федеральное Агентство по Образованию, проект 8247 (ЭН-301-05)

7 Президиум РАН молодежный проект № 102 (6-й конкурс-экспертиза)

8 Президиум СО РАН проект № 17 по итогам Лаврентьевского конкурса молодежных проектов

37В И Юдович (1995)

Результаты работы докладывались на научных семинарах (2007-2008 гг)

1 «Математические проблемы механики сплошных сред», ИГиЛ СО РАН, Новосибирск (рук чл -корр РАН П.И Плотников)

2 «Математика в приложениях», ИМ СО РАН, Новосибирск (рук акад РАН С К Годунов)

3 Семинар МЭИ (ТУ) по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию, Москва (рук проф Ю А Дубинский)

4 Общегородской семинар по математической физике им В И Смирнова, ПОМИ, Санкт-Петербург (рук проф Н Н Уральцева, проф В М Бабич, проф В А Сотонников и проф Г А Серегин)

5 Семинар отдела теории функций МИАН, Москва (рук акад. РАН С М Никольский, чл -корр РАН ЛД Кудрявцев, чл -корр РАН О В Бесов и чл -корр РАН С И Похожаев)

6 «Избранные вопросы математического анализа», ИМ СО" РАН, Новосибирск (рук проф Г В Демиденко)

7 Семинар по геометрическому анализу, ИМ СО РАН, Новосибирск (рук проф С К Водопьянов)

8 Семинар кафедры общей математики ФВМиК МГУ, Москва (рук акад РАН В А Ильин и акад РАН Е И Моисеев)'

9 Семинар кафедры дифференциальных уравнений МГУ, Москва (рук проф В А Кондратьев и проф Е В Радкевич)

10 «Вычислительная математика, математическая физика, управ пение», ИВМ РАН, Москва (рук проф Г М Кобечьков, проф В И Лебедев и проф А В Фурсиков)

11 «Прикладная гидродинамика», ИГиЛ СО РАН, Новосибирск (рук чл -корр РАН В В Пухначев)

12 Семинар лаборатории волновых процессов ИМ СО РАН, Новосибирск (рук чл -корр РАН В Г Романов)

13 «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа», ИМ СО РАН, Новосибирск (рук проф В С Белоносов и д ф -м н М В Фокин)

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях-

1 Международная конференция «Дифф уравнения и смежные вопросы теории функций» (совм заседания сем им И Г Петровского и Моек мат об-ва, 19-я сессия) Москва, МГУ, 20-24 января 1998 г

2 Seventh International Conference on Hyperbohc Problems- Theory, Nume-ncs, Applications Zürich, Switzerland, 9-13 февраля 1998 г

3 Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), поев памяти С Л Соболева Новосибирск, ИМ СО РАН, 22-27 июня 1998 г

4 Seventh International Conference on Navier—Stokes Equations and Related Nonhnear Problems Italy, Ferrara, 13-17 сентября 1999 г

5 Третья Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механи-

ки сплошных сред», Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, 9-12 ноября 1999 г

6 Межд конф «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», поев 100-летию акад С М Никольского Москва, МИАН, 23-29 мая 2005 г

7 Межд конф «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», поев 105-летию со дня рожд акад М А Лаврентьева Новосибирск, 27-31 мая 2005 г

8 Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» Воронеж, ВГУ, 27 января — 2 февраля 2007 г

9 Межд конф «Дифф уравнения и смежные вопросы», поев памяти И Г Петровского (XXII совм. заседание Моек мат об-ва и сем им И Г Петровского) Москва, МГУ, 21-26 мая 2007 г

10 Межд конф «Дифф уравнения, теория функций и приложения», поев 100-летию со дня рожд акад И Н Векуа Новосибирск, 28 мая — 2 июня 2007 г

11 Пятая межд конф по мат моделированию, поев 75-летию со дня рожд акад В Н Монахова Якутск, 24-28 июля 2007 г

12 Всероссийская конф «Проблемы механики спл сред и физики взрыва», поев 50-летию ИГиЛ СО РАН Новосибирск, 17-22 сентября 2007 г

11.7. Публикации. Личный вклад автора. Основные результаты диссертации (см п II 4) получены автором и опубликованы в [1-16] (см п IV) Из них 12 работ — в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторских диссертаций Из содержимого совместных публикаций [2,7,13] (соответствующих материал)' Главы 2 диссертации) и [12] (соответствующей материалу Приложения А) в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие автору, и материал, необходимый для замкнутости формулировок

11.8. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, 7 глав, Приложений А и В, Заключения и списка литературы, включающего 433 наименовання Работа изложена на 334 страницах и содержит 2 таблицы

III. Краткое изложение содержания диссертации

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, предварительную формулировку изучаемых проблем и обзор их современного состояния, обоснование целесообразности применяемых подходов и краткий обзор содержания диссертации

Глава 1 носит подготовительный характер — в ней содержатся вспомогательные сведения из теории функций, функционального анализа и дифференциальных уравнений Большинство из них являются известными фактами и приводятся для удобства Через Ьм, Ем и Км обозначаются соответственно пространство Орлича, его сепарабельная часть и

к пасс Орлича, порожденные Ы-функцией М Символы ШкЬм и \¥кЕм обозначают пространства Соболева—Орлича, построенные на Ьм и Ем соответственно Выражение М означает ^функцию, двойственную (дополнительную) кМ,а-!и-« суть стандартные порядки на ^функциях Из материала Главы 1 автору принадлежит, в частности, описание негативных пространств Соболева—Орлича, приведенное в п 1 2 Здесь нерефлексивность пространств Орлича и другие особенности приводят к новым по сравнению с пространствами Соболева тонким моментам стандартные определения негативных пространств становятся здесь неэквивалентными и приводят к различным пространствам

В Главе 2 основной задачей является исследование классов корректности для линейного уравнения переноса

^ + <Ири) = Ь, (6)

т е классов для к и особенно для и, для которых можно гарантировать корректность задачи

р|«=о = Ро (7)

для (б), и классов, в которых при этом строится само решение р Это необходимо для дальнейшей оценки плотности из (1) в системе ВСЖ Для простоты в Главе 2 рассматривается периодическая задача Коши, т е задача (6), (7), в которой предполагается периодичность всех величин по х* с периодами 7*, так что в качестве области определения решений можно

п

рассматривать цилиндр СЦт = П х (О, Т), где Я = I"] (0,а качестве

к=1

краевых условий выступает условие периодичности Большинство результатов Главы 2, и в частности те, которые используются далее, сохраняют силу и при других краевых условиях

Задачу (6), (7) удобно анализировать параллельно с сопряженной

§ + и УС = д, С\ыт = Ст (8)

Как упоминалось в п II4 3, в случае неограниченной38 сЬуц для задач (6), (7) и (8) в работах других авторов не было разработано теории о корректности В Главе 2 это удается сделать с помощью формулировки требований на сЬуи и на решения р, С в терминах классов Орлича При этом ключевую роль играет класс выпуклых функций39

+оо .

, „ 1 / ЬЛф)

= |М| |Ь1Ш*в+00|, (9)

38А именно такая ситуация возникает прй рассмотрении слабых решений системы (1)-(2)

зэ3десь отсутствие нижнего предела в интеграле означает, что его выбор не играет роли (это может быть любое положительное число)

состоящий из быстро (экспоненциально) растущих функций, порождающих пространства Орлича, лежащие между Lx и всеми Lp (р < оо)

В п 2.1 изучаются внутренние свойства класса (9) и вопрос о минимальных требованиях на и, обеспечивающих корректное построение характеристик дня (6), (8)i

(x(i),t), х(0)=хо (10)

Оказывается, что требование V®u € L^, М € К. в точности соответствует (ввиду теорем вложения) модулю непрерывности и по х, достаточному (и вообще говоря необходимому, по теореме Осгуда) для единственности в (10) Если же М К., то строится Пример 2 14 поля и = и(х) (при п = 2) такого, что divu = 0, диагональная часть тензора V ® и лежит в 1»л/(П), но весь тензор V®u g £i(fi), и в результате две разные характеристические поверхности выходят из одной прямой на плоскости {t = Т}, порождая нетривиальное решение однородной задачи (8) Результаты п 2 1 не используются далее, но они интересны как иллюстрация роли класса К. и требования

u € Li(0,r, И^(«)), (11)

которое играет существенную роль ниже40

В п 2 2 исследуются минимальные требования на коэффициент / в неравенстве типа Гронуолла (Осгуда)

i

J ipdx^ J J fifrcbcds + A(t), (12)

f! 0П

гарантирующие возможность оценки для ф Эта проблема играет фундаментальную роль при доказательстве теорем единственности для дифференциальных уравнений в частных производных, в частности (6) и (8)i Одним из основных в п 2 2 является

Утверждение 2.2.2. Если А = 0 ф е Li+€(Qt), е > 0, / е Km(Qt) с некоторой М € К. то из (12) (при ф ^ 0 / > 0) вытекает ф = 0

В Утверждениях 2 2 3 и 2 2 4 этот факт обобщается на случаи А / 0 (тогда удается дать оценку на ф, превращающуюся при sup |А| —* 0 в ф = 0) и функций ф, знакопеременных по t при этом если ф еще и знакоперемен-на по х, то все результаты теряют силу, как показано соответствующим примером Отметим, что другими авторами41 результат типа Утверждения 2 2 2 был получен только в виде более сильного достаточного условия на /; либо же (В И Юдович, 1995) было найдено неулучшаемое условие, но в труднопроверяемом виде системы оценок в Lp

40Как и во всех работах, упомянутых в п II4 3

41В И Юдович, А В Кажихов, В В Шелухин, В Desjardms

В п 2 3 для задач (6), (7) и (8) формулируются классы корректности Ключевую роль здесь играет соотношение (подробно изученное в п 2 6)

М(рф'(р) - Ф (р)) = ф(р) (13)

между К-функцией М (порождающей класс Орлим а для сЬуц) и И-функ-цией Ф (порождающей класс для р), а также функцией Ф = Ф (для С) В Утверждении 2 31 выводятся априорные оценки гладких решений

1И|£те(0,г,£ф(П)) 1+У М(&уи)(11роI(п)+11^11¿1 (о.т.х^,(п)))> (14)

Ят «г

которые имеют место при условии М € /С В Утверждениях 2.3 4 и 2 3 5 показывается существование слабых решений задач (6), (7) и (8) в классах, диктуемых оценками (14), (15), или в более близких к Ь\ и Ьх классах (т е для Фх -«< Ф, Фх Ф вместо Ф и Ф), при этом требуется

<1т1 € Км{$т), М&К (16)

В Утверждении 2 3 6 показан аналогичный факт, но для крайнего случая, т е в рамках (16) решения задач строятся в классах, диктуемых оценками

ИНк^о,т,Ш)) ^ 1ЫЬ,(п) + Н^ИыЧт)- (17)

ИСН^вт-) < НСтИ^п) + 11511^,(0^^(0)) (18)

В п 2 4 для доказательства единственности решений задач (6), (7) и (8) дополнительно к (16) требуется (11) Сначала в Утверждении 2 41 доказывается единственность слабого решения (которое теперь назовем обобщенным решением) задачи (8) класса (18) на основе Утверждения 2 2 2 Затем дается

Определение 2.4.2. Пусть выполнено (11) (16) а входные данные задачи (6), (7) — класса (17) Обобщенным решением задачи называется функция р класса (17), удовлетворяющая соотношению двойственности

11(Р9 + ^)с1х<1з = I йШтЛх - I роф)сЬс (19)

о п п п

дчя всех 4 € (О,Г), д и Ст класса (18), где С есть обобщенное решение задачи (в смысле Утверждения 2 41)

ДА

^ + 11 УС = 5, си = ст 16

Это позволяет в Утверждении 2 4 3 показать существование и единственность обобщенного решения (6), (7) в смысле Опредетения 2 4 2, а также, аналогичным образом, в Определении 2 4 4 и Утверждении 2 4 5 построить единственное обобщенное решение той же задачи класса (14) Наконец, в Определении 2 4 6 и Утверждении 2 4 7 (снова с помощью двойственности, аналогично (19), но в обратную сторону) строится единственное обобщенное решение задачи (8) класса (15) Такой же результат верен во всех промежуточных пространствах между и L\ и между и Lx В п 2 5 показана существенность требования М € £ в результатах пп 2 2-2 4 А именно, для любых М £ К. и Т > 0 строятся контрпримеры

a) Ф € Loo(Qr), / € мо, Т, ЬмШ такие, что ф ф 0. / ^ 0, ф ^ 0, но (12) выполнено с А = 0 — Пример 2 5 1

b) С € LX(QT), u € Li{Q,T,WlLM{ti))> С & 0, но С есть решение (8) с д = 0, Ст = 0 - Пример 2 5 2

c) Та же и, что и в п Ь), р € ¿»(Qr-c) (Ve > 0), р <£ ¿i(<3r) — решение (6) ch — 0 (здесь даже ро € ¿»(П)), но supp p(t) стягивается в точку (т е p(t) —> 5) при t Т, так что задача (6), (7) не имеет решения даже в классе Lx(0, T,Li{Q)) - Пример 2 5 3

В итоге по пучена корректность задач (6), (7) и (8) при устовиях (11), (16) в Kiaccax Орлича, бнизких к Lx(0, Т, Li(fi)) для р и к Loo{Qt) ДЛЯ С, и в самих этих пространствах, причем чем «хуже» М (те чем медленнее она растет) тем уже почоса в шкале отведенная для Ьф и При «переходе функции М через границ}' класса К.» корректность нарушается, хотя оценки в граничных классах (17), (18) сохраняют сипу42

В п 2 6 изучено соотношение (13), на котором строились резучьтаты пп 2 3, 2 4 — показано, что оно возможно для N-функций тогда и только тогда, когда М € К, а Ф об падает свойством (£Ф'(0 -$(£))/$(£) 0 ПРИ £ —> оо, что и означает упомянутое расположение Lt> межд\ L\ и всеми Li+e (и соответственно Lg, между Lx и всеми Lp, р < оо)

Оставшиеся пп 2 7-2 11 Главы 2 посвящены обобщению результатов для уравнения (1) на квазилинейный случай

g + div(pu)-Mp) -0 (20)

от

Точные формулировки результатов о существовании и единственности решения задачи (20), (7) приведены в Теоремах 2 11 3-2 11 5, которые здесь не выписаны, т к это требует долгих предварительных построений Отметим лишь, что по-прежнему существенно используются (16) и аналог (11) вместо И7/), а от ш требуется лишь

42Такны образом, хотя очевидными (и налагающими формально минимальные требования на вектор и) являются оценки решений задач (6), (7) и (8) в Lj и Lx, но классами корректности оказываются пространства Орлича.

1 непрерывность и монотонность на всей оси Е,

2 в окрестности ±оо — рост быстрее линейной функции, и подходящий знак sgnot(s) — sgns,

3 некоторые ограничения на характер (но не скорость) роста на ±оо Глава 3 играет вспомогательную роль, хотя ее результаты представляют самостоятельный интерес Основным итогом Главы 3 является

Теорема 3.12.1. Пусть линейный оператор А 6 £(LP) при р б (а,/?), где 1 < а < 0 < +оо причем РНд^) < Ctp(p), где у е üa{0) Пусть ф ^ О — решение уравнения

М40}~<Р, (21)

т е ядро преобразования FUitT с характеристикой <р Тогда А € C(Lm, где Ф е С{0), Ф -< М, произвольна (Mt — пороговая функция преобразования Fф^), а М = FV,CT[$] (с любым а) В частности, при 0 = +оо верно И Л € ¿(¿оо.^М.)

Поясним понятия, участвующие в формулировке Теоремы 3 12 1 Символ Q<,{0) означает множество измеримых на [а, 0) функций <р, для которых существует решение ■ф ^ 0 уравнения (21) в нем

/+оо \i/p

МсЩ{р) = ( J rjj(s)spds ) — преобразование Меллина с точностью

до степени 1 /р а отношение wj ~ значит C\uj\{p) < шч(р) ^ С2Ш\(р) при р 0 Далее, FUiCr есть интегральное преобразование типа свертки +00

с ядром ф FVjI7[$](t)) = f ф(з)Ф(ь,з)(Ь Термин «характеристика» пояс-

о

нен ниже Символ С{0) означает множество N-функций, эквивалентных43 аналитическим функциям вида

0

Ф(в) = J xip)spdp, X е L¡(a, 0), 0 G suppx, х>0 (22)

a

Пороговой для Fфр функцией называется такая М», что FVi„[M»] —> оо при конечных значениях аргумента44

Теорема 3 12 1 описывает экстраполяцию линейных операторов вправо45 со шкалы Lp в пространства Орлича Ее новизна заключается в полном и конструктивном описании свойств операторов во всех промежуточных пространствах, а не только в конце шкалы (Loo), а также в применяемом методе (интегральные преобразования и представления) Фактически

43в смысле стандартной эквивалентности ~ N-функций

44Такие функции как F^fAÍ.] порождают Lx в качестве «своих» пространств Ор-лича.

45Этот результат легко распространяется на нелинейные операторы, а для линейных операторов (с помощью двойственности) переформулируется для экстраполяции влево, но эти обобщения не приводятся в диссертации за ненадобностью для ее основных целей

в Главах 4-6 используется только случай 0 = +оо, который представлен в Теореме 3 12 1 наиболее полно, как видно далее

В п 3 1 дается описание класса С(0), для которого применима Теорема 3 12 1 Введем обозначения

¡3

Ф(и) С

шФ(р) = тт-^, Р,[Ф](и) = I шФ(р)ирф

а

— эти величины имеют смысл для всех

Ф е Т>(0) = { Ф | Ф(л) »- з1, У7 < 0, Ф(з) -« £ }

Легко видеть, что С{0) С Т>(0), и необходимо дать достаточные условия для С(0) Оказывается, что хотя класс функций вида (22) достаточно узок, но эквивалентные им функции (т е С(0)) образуют богатый подкласс в Т>(0), поддающийся конструктивному описанию без необходимости восстановления веса х в разложении (22) Особенно удобен случай 0 — +оо, когда в класс £ = { Ф € Х>(+оо) | Ф ~ Роо[Ф] } С С(+оо) попадают «почти все» Ф € Р(+оо), а именно, достаточно Ф(з) >- ехр(1и 5 1п 1п г) плюс некоторые необременительные ограничения на характер (но не скорость) роста Ф на оо

В п 3 2 изучаются свойства преобразования Показано, что оно сохраняет отношения -!, Ч! и ~ и тем самым действует на классах К-функцип (т е на пространствах Орлича) На степенных функциях не повышает скорость роста Р ,/,,<,[гр] = ц?(р)ьр, где <р = Ма\Ф] — так называемая характеристика (в общем случае скорость роста повышается) Третий (помимо ядра ф и характеристики у>) способ описания ТРу^

— это его пороговая функция, она связана с характеристикой формулой

+оо

М, (у) = J ф~р(р)урс1р Оказывается, что при изменении <р с точностью 1

до ~ образы Гу1<7 от фиксированной функции (или класса) меняются в пределах одного класса эквивалентности, т е Рй/7 как оператор на пространствах Орлича остается тем же — это и позволяет решать уравнение (21) с точностью до ~

В п 3 3 даются описание класса йа(0) и алгоритм решения уравнения (21), т е восстановления ядра ф преобразования по его характеристике у — это необходимо для применения Теоремы 3 12 1 Хотя образы преобразования Меллина всегда аналитичны, и процедура его обращения требует выхода в комплексную плоскость С, но нам нужно обращать Ма с точностью до что и позволяет рассматривать неаналитические <р и строить у без выхода в С, причем в терминах асимптотики <р в окрестности точки 0 Например, в класс ПД+оо) попадают все функции </>. скорость роста которых достаточно мала46, а характер роста достаточно регуляр-

4бналример, заведомо достаточно не быстрее рл\ N >0

ный47 существуют богатые классы и более быстро растущих <р € Qa(+oo), эти классы можно размножать произведениями представителей, что соответствует сверткам ядер Во всех случаях построен алгоритм асимптотического вычисления ^ через ^ из функциональных уравнений Ответ не зависит от выбора а и а, так что эти числа можно выбирать для удобства аналитических представлений, если таковые найдутся (например, из таблиц преобразований), так что индекс с в С1а(0) не означает зависимости от а

В п 3 4 приведена сводка результатов пп 3 1-3 3 и даются ответы на некоторые дополнительные вопросы, возникшие в этих пунктах

Пп 3 5-311 посвящены смежной задаче — описанию пространства = { и 6 Lp(ü) | Vр € [а, 0) IMU, < Cuj{p) } с нормой

IMk-, = s»p S (23)

Такого рода шкала оценок возникает в связи с теоремами вложения и в прикладных задачах48 Описание множеств вида (23) — стандартная задача теории экстраполяции49

В п 3 5 даны общая постановка проблемы и исторический обзор В пп 3 6-3 11 с помощью техники интегральных представлений, развитой в пп 3 1-3 4, описывается место пространств в шкале симметричных пространств, и прежде всего пространств Орлича Для этого требуются обозначения50

9

Ы/М») = 8с„[Ф](р) = = шах ^

В п 3 6 изучается поведение операторов In^g, Sc¿ и методы их обращения В п 3 7 изучаются вложения пространств Luj друг в друга в терминах порядков порождающих функций ш

В п 3 8 приводятся основные результаты пп 3 5-3 lio связи с пространствами Лоренца, Марцинкевича и Орлича Для приложений особенно важен частный случай «близости к Loo», когда оказывается, что (при Ф € £ и/или ш 6 Scoo[£]) пространства Орлича и пространства совпадают, если Ф и ш связаны эквивалентными равенствами Ф = In«,Mi ш = Scoop]

В п 3 9 изучается класс Sc^if], возникший в п 3 8

■"например, при N = 1 это значит гладкость и вогнутость <р

JSB А Вайгант, А В Кажихов, В.В Шелухин, В И Юдович, С И Похожаев, И В Симоненко

49Более того, именно через это описание, как правило, и решается проблема экстраполяции операторов — сы работы авторов, упомянутых в п II4 5, мы же решаем эти две проблемы независимо и др>гими методами

50Infl определен на 9 > const > 0, а Sc¡3 — на V(p), отыетиы что Р j = о Sca

В пп 3 10, 3 11 изучается вопрос об оптимальности результатов п 3 8, и в частности показывается, что в случае несовпадения Ьф и м возникающий «зазор» все же меньше, чем получаемый из общих соображений теории симметричных пространств, основанных на анализе фундаментальных функций

В п 3 12 резюмируются результаты всей Главы 3 пп 3 5-3 11 — в виде сводной диаграммы вложений, а пп 3 1-3 4 — в виде Теоремы 3 12 1

Глава 4 открывает блок результатов, непосредственно отвечающих на основной вопрос диссертации о теоремах существования для системы (1)-(3) Главной задачей в этой главе является прозрачная иллюстрация основных идей в простейшей ситуации А именно, в качестве ОУ (3) взято

Р = A(|divu|2)divu I + 2¿í(|D|2)B, (24)

что соответствует модели обобщенной ньютоновской жидкости, являющейся естественным обобщением классической модели (4) В связи с отсутствием давления (и плотности вообще) в (24) систему уравнений (1), (2), (24) естественно назвать моделью Бюргерса с нелинейной вязкостью Для этой системы ставится первая начально-краевая задача в цилиндре QT = П х (0, Т)

/>|<=о =Ро> 0, pu|í=0 = w, (25)

иЫх(од-) = 0, (26)

где Í) с К" - ограниченная область с гладкой границей, число Т > 0 произвольно Естественно предположить mes({ p0=Û}n{w^0}) = 0, тогда величина51

Uo(x) = fw(x)/po(x), ро(х) > 0,

I произвольным образом продолжено, />о(х) = О

вводится корректно в том смысле, что w = рощ Коэффициенты вязкости для определенности принимаются в виде

A (s) = exp(v^), p(s) = exp(se°), (27)

где со = const > 0

В п 4 1 формулируются априорные оценки гладких решений задачи (1), (2), (24)-(26) Для этого используются обозначения52

s s

A(s) = I A(£)d£, M (s) = J Фа(и) = uln°u, Фа = Фа,

"Предполагая выполненными какие-либо свойства начального поля скоростей ио, мы подразумеваем, что они справедливы хотя бы для одного из его продолжений на множество { ра = 0 }, и именно это продолжение будет браться в качестве начальных данных для скорости

52 Представление для Ф» понимается в смысле главной части, т е при и Э> 1

X = { v € Якс(Я) I |divv|2 б Еа(П), |B(v)|2 g Ем{П), v|an = 0 }, X = { v 6 £i,ioc(ft) I |diw|2 G £Л(П), |B(v)|2 G Lu(n), v|«j = 0 } ,

/ ч1/2

NU = Mix = (j| |diw|2 ||iA(n) + II |B(v)|2 ||£if(n)J

В Лемме 412 при условии а > 2 4- 1/ео получены оценки для следующих величин

1 f (A(|divu|2)|divu|2 4- 2/î(|B|2)|B|2) dxdt — I энергетическая оценка QT

2 11Р11 Loo (о (п)) - из (1) на основе (14), (27) и п 1

3 llulliooio.T.x) + I Р \ut\2dxdt — II энергетическая оценка

Qt

Отметим, что ввиду Главы 2 быстрый рост А в (27) существен для оценки р При доказательстве априорных оценок существенно используется

Утверждение 4.1.1. Гладкие векторные поля v в ÇI, исчезающие на границе, удов четворяют при всех a > 2 оценке

Il IV ® v|2 ||wn) ^ С2(П)|| |B(v)|2 ||Uo_2(n)

— это результат применения Теоремы 3 12 1 к оператору D(v) i—> V © v, который (ввиду неравенства Корна) ограничен во всех Lp (2 < р < 4-оо) с нормой Ср (т е (р{р) = р)

В п 4 2 строятся приближенные решения pm, um задачи (1), (2), (24)-(26) уравнение (1) решается точно, а (2) — смысле Галеркина—Фаэдо, с регуляризацией конвективных членов

В п 4 3 доказываются основные результаты Главы 4 На основании априорных оценок утверждается *-слабая сходимость приближенных решений к некоторым пределам

peLoo(0ir,L#e(n))> 0, и u G Loo(0,T,~X), (28)

что после достаточно стандартных рассуждений о предельном переходе в конвективных членах позволяет получить для этих функций уравнение (1) и (вместо (2)) уравнение

^^ + div(/ju ® u) = divP + pi (29)

(понимаемые в обобщенном смысле), где

Р = wk* lirnP(um), divP G ¿2(0, T, W-lL*a(n)) (30)

Для предельного перехода в вязких членах, т е «снятия черты с Р», ключевую роль играет

Теорема 4.3.5. Всякая тройка функций р, и, Р класса (28), (30), удо-вчеггворяюшая (1), (29) (25), (26) удовлетворяет также энергетическому равенству (при почти всех Ь £ (О, Т))

^ У /з|и|2 |5=< У уо0|и0|2^х+J Jf Щ\l)dxds-J ^ ри fdxds = О

п п о п о п

В доказательстве этой теоремы центральным моментом является включение р|\7 <2>и| € ¡^{(¡т), гарантируемое рассматриваемым классом решений Отсюда ясно, что, ввиду «плохих» свойств р (хуже любого Ь\+е — см п 2 6) требуется «почти ограниченность» V 8>и, что и влечет необходимость быстрого роста (27) коэффициентов вязкости

Ввиду Теоремы 4 3 5 удается применить стандартные рассуждения метода монотонности и получить окончательный результат

Теорема 4.3.6. Пусть коэффициенты вязкости в задаче (1) (2) (24)-(26) даются формулами (27) причем ео ^ 1/2 Пусть также { € Ьоэ(С2т), Ро £ Ьфа(£Т), а > 4, ио € X, число Т > 0 произвольно Тогда в <5т существует решение указанной задачи класса (28) При этом уравнения (1), (2) выполнены как равенства в пространстве Ьг(О, Т, ИЛ_1£.Фо(А)), начальные данные (25) принимаются по непрерывности в *-слабой топологии Ь$а (О), а краевое условие (26) понимается в смысле обращения и в 0 на 30. х (О, Т) как непрерывной по х € П функции при почти всех I 6 (О, Т)

Теорема 4.3.7. Всякое слабое решение задачи (1), (2) (24)-(26) класса (28) удовлетворяет при почти всех £ € (О, Т) энергетическому равенству

\ / 1=4 / РоЫ2<&+УI Р(и) 0(и)<Йсс!5 = У У ри ídxds

П П О П О П

В п 4 4 доказано выполнение закона сохранения массы

У р(<,х)сЬс = У /эо(х)сйс (31)

п п

(при почти всех t € (О, Т)) для слабых решений рассматриваемого класса03 и сделаны дополнительные замечания об обобщении результатов п 4 3

1 снятие ограничения ^ 1/2 в Теореме 4 3 6 или требований на рост А

2 обобщение (24) до более общих ОУ (аналогичных Главе 5, но пока без давления)

53Ср Предложение 5 2 6 ниЖе

Глава 5 посвящена обобщению результатов Главы 4 на достаточно общие ОУ стоксовых54 сред При этом удобно сменить обозначения для тензора напряжений, написав вместо (2) уравнение

^^ + div(pu ® u) = divP7 + pi (32)

ОУ будем рассматривать вида

P^-pI + Ptu), (33)

т е допускать наличие давления р = р, а от вязких членов Р(и) требовать выполнения четырех аксиом

Al) Р коэрцитивен, т е L(u) = /Р(и) D(u) dx ^ /M(|D(u)|)<ix при

и п

всех и € X,

А2) Р монотонен, те/(P(u) -P(v)) D(u -v) dx > 0 при всех u, v € X, л

A3) Р() действует, в определенном смысле, ограниченным образом / M(|P(u)|) dx^C1+C2J M(|B(u)|) dx для всех u € X п п

А4) а также Р непрерывен в следующем смысле Р(и - ev) —► Р(и)

♦-слабо в Ljj(n) при е —> 0 для всех u,vel Здесь обозначено

А' = { u € Luoc(fi) I D(u) € Ьц(П), и\аа = 0 }, ||и||А- = ||0(и)||^(п,

(34)

с N-функцией М, удовлетворяющей ограничению роста

M(s) ^ exp(s), s ^ so = const (35)

(аналогично (27)) Требованиям А1-А4 удовлетворяют, например, тензоры

n

P(u) = 2A'((trD)2)(trD) I + 2ir;(|D,|2)D2-1 (36)

с произвольным N € N, если все Г5 и Л — неубывающие выпуклые функции класса С1, причем M(f) = 2f2r'j(f2) есть N-функция, удовлетворяющая Дз-условию, и Г] растет существенно быстрее всех прочих коэффициентов В этом случае (33) имеет вид (5) с

V = A((trD)2) + £rs(i042) (37)

S=1

Для системы (1), (32), (33) рассматривается та же задача (25), (26) Несмотря на сходство постановок с Главой 4, в Главе 5 появляются существенные отличия

мт е удовлетворяющих постулатам Стокса — в отличие, например, от сред Бингша, рассматриваемых в Главе 6

I энергетическая оценка теперь обеспечивает р € ¿«(О, Т, Од-

нако для интегрируемости р|V ® и| (необходимой для доказательства энергетического равенства и теоремы существования) этого недостаточно55, поэтому оценка р из (1) методами Главы 2 по-прежнему необходима, что и влечет требование вида (35)

Теряет силу II энергетическая оценка, обеспечивавшая в Главе 4 ограниченность {(и^} (несмотря на невыполнение уравнения (2) приближенными решениями в методе Галеркина—Фаэдо), необходимую для предельного перехода в конвективных членах В связи с этим в качестве метода построения приближенных решений приходится прибегать к полудискретизации по времени (для удобства с одновременным сглаживанием конвективных членов и параболической регуляризацией)

рк~рк-1 + сИркЫн) = еД Рк, (38)

т

ркщ-рь-1ик-1 + ¿1У{ркЩ 0 (щ)л) = а1Ур(иА) _ чрк + (39)

dpi дп

= о, U* |5П= о (40)

len

кт

— здесь к > I, &(х) = J 1(й,х)ск, при к = 0 функции иь рк

{к-»т

взяты равными соответственно ио и усреднению рот от ро с радиусом усреднения 1/тп

В п 5 1 показана разрешимость релаксированной стационарной задачи (38)—(40) для и*, рк при т < т0(е, К)

В п 5 2, в целом аналогично56 Главе 4, получен основной рез^ льтат Главы 5

Теорема 5.2.5. Пусть заданы f € Кц0П(С]т) (0 > 7/2 Т > 0 - про-извочьные), ро € Ь$в(П) ро ^ 0, и такое w) что \vfpo Ьу^иррро) Тогда в <?г существует решение задачи (1) (32) (33), (25), (26) в классе р е ¿оо(0, Т, ¿ф„(Г2)), р ^ 0, и е У При этом уравнение (1) выполнено в пространстве Ьм(0, Т, И/_1Ьфа(П)) а (32) — в У* начальные данные (25) принимаются по непрерывности в пространстве Их X", краевое условие (26) понимается в смысле значений непрерывной по Гельдеру (по х при всех Ь) функции Всякое решение указанного класса удовлетво-

55Н)ЖН0 тогда V®u 6 L<¡¡, что ввиду Теоремы 3 12 1 приводит к требованию € L оо Если же р обладает лучшими свойствами благодаря методам Главы 2, то от D достаточно суммируемости в экспоненциальных пространствах Орлича, и Утверждение 4 11 обеспечивает суммируемость p(V®u|

5бХотя и в усчовиях худшей суммируемости u по t и новых сложностей с наличием давления

ряет энергетическому равенству (для почти всех I € (О, Т))

+ \ +/У(Р(и) 0(и) - рп ■ Г)<ЬоЬ = О

п 0 о п

Решение есть предел приближений Роте сходящихся к (р, и) *-слабо в £оо(0, Г, Ьф3(П)) х У причем плотность сходится почти всюду и сильно в Ьр(О, Т, Ьфт(Г2)) при всех р < оо 7 < /3 В Теореме 5 2 5 обозначено

К = { v € Ьцос(«г) I »(V) € ЬиШ* = 0 }, (41)

н\г = ИВДИ^ед

Также доказано выполнение закона сохранения массы для слабых решений рассматриваемого класса

Предложение 5.2.6. Для всякой пары функций и € ¿1(0, Г, X) р € ¿оо(0, Т, Ьфв(П)), 0 > 2, удовлетворяющей (1), (25)\, имеет место соотношение (31) (для почти всех I € (О, Т))

Глава 6 посвящена гчоб&чьной разрешимости для модели сжимаемой неньютоновской жидкости Шведова—Бингама Рассматривается та же система (1), (2), в которой тензор напряжений Р переобозначен через Рг

+ сИри ® и) = сЬРг + р{ (42)

Аналогично несжимаемому случаю, ОУ сред Бингама записывается в виде

Рг = Р/ + Рь, (43)

где Р/ — тензор напряжений стоксовой жидкости (уточнен далее), а Рь есть многозначная функция от В, задаваемая формулой

[любой Юр, В = 0,

т е в тех точках, где В = О, тензор Р(, принимает вполне определенные значения, но априори неизвестные (не выражающиеся через р и и), и потому решение системы (1), (42)-(44) есть уже не пара (р, и), как в стоксовом случае, а тройка (р, и, Р) Здесь Р — некоторая ограниченная выпуклая об часть в пространстве §„ симметричных тензоров ранга 2, действующих в К", причем 0 € Р, р(О, ЗР) = 1, т е Р вписана в единичный шар пространства §„, р» ^ 0 — заданное (постоянное) пороговое напряжение, а Т — тензорное поле, действующее из единичной сферы 5[ С §„ в <9Р

Другими словами, ptV есть область напряжений, соответствующих твердотельному движению57, а Т определяет связь напряжений и скоростей деформаций при выходе напряжений в критическую зону p,dV

В Главе б общий «несферический» случай (44) рассмотрен в связи с тем, что это не требует серьезных дополнительных усилий по сравнению со сферическим случаем (когда V есть единичный шар в Sn, а Т — тождественное отображение), обычно рассматриваемым в литературе

Для системы (1), (42)-(44) ставится та же задача (25), (26), что и для стоксовых ОУ (т е при р„ = 0), рассмотренных в Главе 5 Таким образом, естественно решать задачу (1), (42)—(44), (25), (26) с помощью регуляризации тензора Рь, т е аппроксимации58 его стоксовьши тензорами РьЕ

В п 6 1 приводится точная формулировка модели Так, формулируется класс рассматриваемых стоксовых тензоров — он аналогичен Главе 5

Pf = + (45)

где Р удовлетворяет аксиомам А1-А4 (см изложение Главы 5) и нескольким дополнительным, а именно, уточненной непрерывности А5) Если B(ue) —» В(и) почти всюду в Qt. и В(и£) ограничены в K\¡{QT), то Р(и£) -» Р(ц) в V'(QT)

и требованиям типа выпуклости t

А6) Интеграл / L(u)ds задает функционал от и, *-слабо полунепрерыв-о

ный снизу, т е если B(ue) —> В(и) *-слабо в Lji/(Qí), то t t f L(u)ds ^ Iimmf f L(uc)ds o o

t t A7) Если B(u£) -* B(u) *-слабо в £лД<3<), и f L{u)ds > limsup /L(u.e)ds,

o o

то для некоторой последовательности B(u£J —> B(u) почти всюду в Qt

Здесь смысл обозначений М иЬ прежний (см Al, (34) и (35)) В качестве примера, тензоров Р, удовлетворяющих аксиомам А1-А7, можно указать класс (36) с теми же ограничениями на Л и Г6, которые были оговорены после аксиом А1-А4, плюс (для выполнения А5-А7) Л, Г^ € С3 и строгая выпуклость функций Л'(С2)С2 и Г^(С2)£2

От бингамовской составляющей, т е от поля Т в представлении (44), требуется выполнение следующих аксиом

"Таким образом, твердотельные зоны (ядра) предполагаются несжимаемыми, что является естественным приближением реальной ситуации в этих зонах напряжения малы, и в них сжимаемостью можно пренебречь В жидких зонах напряжения могут быть велики, и учет сжимаемости естествен

58Точная формулировка того, в каком смысле эта аппроксимация имеет место, здесь не приводится за недостатком места. Отметим лишь, что в сферическом случае вполне подходит аппроксимация Иосиды, а в несферическоы случае она не вполне удобна с позиций физического смысла.

Bl) T — непрерывное отображение, В2) ц{Ш) = Т(В) В > 0 при всех В € 5Ь ВЗ) Т(В2) Bi < T(Bi) Ii = p(Bi) при всех Вь12 € Si Тривиальный пример описанного класса тензоров Рь дается вышеупомянутым сферическим случаем, когда /х = 1

В п 6 2 приводятся нетривиальные классы пар (V, Т) (т е «несферических» Рь), удовлетворяющих аксиомам В1-ВЗ, а также обосновывается построение аппроксимирующих тензоров

В п 6 3 получен основной результат Главы б Прежде чем его формулировать, дадим определения

Определение 6.1.3. Задачей А называется задача (1), (42)-(45), (25), (26) в которой тензор Р обладает свойствами А1-А7 с ограничением (35), а поле Т — свойствами В1-ВЗ

Определение 6.3.1. Задачей Ае называется задача (1), (42) (45) (25) (26) замыкаемая соотношением Рг = Р/ + РьЕ

Разрешимость задачи Ае следует из Теоремы 5 2 5 Теорема 6.3.2. Пусть заданы тензорная функция Р() со свойствами А1-А7при ограничении59 (35), поле Т со свойствами60 В1-ВЗ, число Т > О и входные данные того же класса, что и в Теореме 52 5 Тогда 1 Задача А имеет в Qr решение класса р € Loо(0,Т, ЬфДП)), p ^ О и € Y (см (41)) удовлетворяющее энергетическому равенству

2 Уравнение (42) (замыкаемое соотношениями (43)-(45)) удовлетворяет-

ся этим решением в том смысле, что P¡,(u) = р.Т при D Ф 0, а на

множестве {В = 0} величина Р<,(и) есть впочне определенный тензор Р(, со значениями из множества

3 Решение (р, и) есть предел решений (рек, щк) некоторой последовательности задач Леи сходящихся к нему в смысле

(рЕ,и£,Р(и£),РьЕ(и£)) (/э,и,Р(и),Р6(и))

♦-слабо в ¿«ДО, Т, ЬФз(П)) х У х %(дг) х Ь^Ят),

причем (р€к,В(и€к)) (р,В(и)) сильно в £р(0, Т, (П)) х Ьр(Ят) с любыми Р < +00 Ф, -Ч< Фд, и почти всюду в <2т

4 Уравнение (1) выполнено для рассматриваемого решения в пространстве Ьщ(О, Т, И/_11/фа(П)). а (42) — в У*, начальные данные (25) принимаются по непрерывности в пространстве хХ*, а краевое

59например, в виде (36) с вышеописанными ограничениями на коэффициенты

""например, в стандартное сферическом виде с тождественным полем Т

П

О П

ус ловле (26) понимается в смысте значений непрерывной по Гель деру (по х при всех Ь) функции

Глаза 7 посвящена проблеме построения «продвинутой»61 системы априорных оценок решений уравнений (1), (2) для неньютоновских ОУ Новизна предлагаемых методов состоит в одновременном учете сжимаемости, многомерности и неньютоновского характера ОУ В связи с поставленной целью удобно записать (1), (2) в виде

^ + рйт1 = 0, (46)

<21

с1и

(47)

= /ж, (48)

где — вспомогательный вектор, рассматриваемый как новая неизвестная функция, а

(I д _ .,„.

+ и у (49)

— оператор материальной производной

В п 7 1 предлагается система энергетических тождеств для системы (46)—(49), замыкаемой ОУ вида (обобщение (5) на сжимаемый случай)

Эти тождества выводятся из системы (46)-(49), рассматриваемой как уравнения для величин (р, и), и из подходящим образом (а именно, так чтобы не возникали новые производные от плотности) построенных ее дифференциальных продолжений, рассматриваемых как уравнения для величин (р, V), (р, (р, V ® и т д При этом основные операции (в том числе построение дифференциальных продолжений) производятся над •уравнением импульса (47), а уравнение неразрывности (46) и вспомогательное уравнение (48) играют роль своеобразных связей, позволяющих исключать возникающие производные от р Чтобы из этих тождеств получить оценки, необходимо изучить свойства регулярности решений квазилинейной эллиптической системы

= р (51)

Ж 1

В п 7 2 получены энергетические тождества для (51), и в модельном случае периодических краевых условий62 для потенциалов вида (37) вы-

61т е такой, которая могла бы обеспечить глобальное существование более регулярных решений, чем слабые

^Впрочем, другие краевые условия также возможны

ведена ключевая II энергетическая оценка

Ф(В)сгх<С||П|12(п), (52)

где

+

п

Ф(В) = 2A'((trB)2)]Vtr»l2 + ¡Vx((trB)2)|2+

g [25(2, - mm2) Е | D1"1^ |2 +1 V^(|B'|2)|2], e e

*(£) = J \/ТЩлч +1, иД) = J V», +1

o o

В п. 7 3 на модельном примере (модель Бюргерса, т е р = 0 в (50), краевые условия периодичности по х и начальные данные (25)) показано, как энергетические тождества для (46)-(50) и оценка (52) позволяют продвинуться дальше по сравнению с I, II энергетическими оценками Главы 4, а именно, получить ключевую III энергетическую оценку

1М|Мо,гЛ(Г1)) + IIDMIIfcWri ^ с (53)

В п 7 4 на основе (53) получены дальнейшие оценки для величин llp||teo(0,r,u^(n)). ll/'í!Uoo(0,7',¿j(n))i IIV ® Uí||¿2(Qr), IldivPll^oj^cn)) и IPIiioo(o,T,wi(n))c некоторыми г и 5, обсуждаются дальнейшие перспективы и препятствия в тесно связанных проблемах оценок для (51) и (46)—(50), и проблема единственности

Приложение А содержит результат, не входящий в число первостепенных в диссертации он приводится как интересная, по мнению автора, иллюстрация того, как экстраполяционные методы, разработанные в Главе 3, могут работать в других областях, помимо уравнений (1), (2) А именно, рассмотрена классическая проблема глобального существования и единственности решений для уравнений Эйлера

д\

-57 + (v V)v + Vp = f; djvv = 0 (54)

<71

на примере задачи в ограниченной области П С 1" с гладкой границей

v|t=o = v0; v п|вПх(о,Т) = 0 (55)

Центральный результатом Приложения А является доказанная в п А 3 Теорема А.11. Решение задачи (54), (55) в классе

+00

rotV е LM{О, Т, LM{Ü)), М € = i М J ^^ds = +оо | (56)

существует (при п = 2) и единственно (при любых п), где давление р определяется с точностью до аддитивной функции от времени

Существование решения задачи (54), (55) в этом классе (при п = 2) показано в п А.2 аналогично работам В И Юдовича (1963, 1995), а при доказательстве единственности центральной идеей является использование Теоремы 3.12 1 с Л rotv t-> O(v), ip(p) = p, ß = +oo — оказывается (п A 1), что тогда при М € К.\ в Теореме 3 12 1 в точности получится Ф € /С, что позволяет применить Утверждение 2.2 2 с / = |B(v)|

При этом, как показано в п А 4 (Утверждение А 17) на основе результатов п 3 8, условие (56) эквивалентно найденным В И Юдовичем (1995)63, однако это выясняется лишь апостериори, а формулировка (56) намного проще

Заключение содержит краткое резюме основных результатов, полученных в диссертации, и перечень некоторых нерешенных проблем

Приложение В содержит список некоторых употребляемых в диссертации обозначений и терминов, собранный воедино для удобства читателя

IV. Публикации автора по теме диссертации Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах IV. 1. Публикации в журналах из списка ВАК

1 Мамонтов А Е Существование глобальных решений многомерных уравнений Бюргерса сжимаемой вязкой жидкости ДАН, 1998, Т 361, N2 С 161-163

2 Кажихов А В , Мамонтов А Е Об одном классе выпуклых функций и точных классах корректности задачи Коши для уравнения переноса в пространствах Орлича Сиб мат журн , 1998, Т 39, N 4 С 831-850

3 Мамонтов А Е Существование глобальных решений многомерных уравнений Бюргерса сжимаемой вязкой жидкости Мат Сб, 1999, Т 190, N 8 С 61-80

4 Мамонтов А Е О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье—Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости I Сиб мат журнал, Т 40, 1999, N 2 С 408-420

5 Мамонтов А Е О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье—Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости II Сиб мат журнал, Т 40, 1999, N 3 С 635-649

6 Мамонтов А.Е Оценки глобальной регулярности для многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости Мат Заметки, 2000 Т 68 вып. 3 С 360-376.

7 Королев О И, Мамонтов А Е О классах корректности задачи Коши дая слабонелинейного уравнения переноса Вестник НГУ, серия «маг тематика, механика, информатика», 2003, Т III, вып 2 С 46-61

63 В наших обозначениях они формулируются в терминах пространств ж

ц

8 Мамонтов А Е Интегральные представления и преобразования N-функций I Сиб мат журнал, Т 47, 2006, N 1 С 123-145

9 Мамонтов А Е Интегральные представления и преобразования N-функций II Сиб мат. журнал, Т 47, 2006, N 4 С. 811-830

10 Мамонтов А.Е Шкалы пространств Lp и их связь с пространствами Орлича Вестник НГУ, серия «математика, механика, информатика», 2006, Т VI, вып. 2. С 33-56

11 Мамонтов А Е Существование глобальных решений многомерных уравнений сжимаемой жидкости Бингама Мат заметки, 2007, Т 82, вып 4 С 560-577

12 Мамонтов А Е, Уваровская М И Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости условия существования и единственности решений Прикл мех техн физ , 2008, Т 49, N 4(290) С 130-145

13 Kazhúhov A V, Mamontov A E Transport Equations and Orlicz spaces, in the book "Hyperbolic Problems Theory, Numerics, Applications Seventh International Conference in Zurich, February 1998 V II" (International Series of Numerical Mathematics, Vol 130), 1999, Birkhauser, Basel—Boston—Berlin P 535-544 Editors Michael Fey and Rolf Jeltsch

14 Mamontov A E Global Regularity Estimates for Multidimensional Equations of Compressible Non-Newtonian Fluids Annali dell'Umversitá di Ferrara (Nuova Sene), Sezione VII, Scienze Matematiche, Vol XLVI, 2000, P 139-160

15 Mamontov A E Extrapolation from Lp into Orlicz spaces via integral transforms of Young functions J of Anal and Appl, 2006, V 4, N 2,

16 Мамонтов А Е Глобальная разрешимость многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, транспортное уравнение и пространства Ортача Труды С-Петерб мат об-ва, 2008, Т 14 С 145-181

Ротапринт Института гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН 630090, Новосибирск, пр акад Лаврентьева, 15

IV. 2. Прочие публикации

Р 77-118

Подписано в печать 23 06 2008 Формат бумаги 60 х 84 1/16 Тираж 100 экз

Заказ № 238 Объем 2 п л Бесплатно

Введение.

0.1 Актуальность теорем о математической корректности для уравнений механики сплошных сред.

0.2 Уравнения движения вязких сжимаемых жидкостей.

0.3 Уравнения движения неньютоновских сжимаемых жидкостей 11 0.4 Обзор результатов по разрешимости уравнений вязких сжимаемых жидкостей.

0.5 Обзор результатов по разрешимости уравнений несжимаемых неньютоновских жидкостей.

0.6 Проблематика диссертации.

0.7 Краткий обзор по теории пространств Орлича и экстраполяции

0.8 Краткий обзор содержания диссертации.

0.9 Публикации и соавторство

Глава 1. Подготовительные сведения.

1.1 Пространства Орлича.

1.2 Пространства Соболева—Орлича.

1.3 Свойства *-слабой топологии.

1.4 Прочие вспомогательные утверждения.

Глава 2. Точные классы корректности уравнений переноса в пространствах Орлича.

2.1 Класс /С и траектории.

2.2 Исследование неравенства (2.0.5).

2.3 Априорные оценки и существование решений задач (2.0.1), (2.0.2) в случае М е /С.

2.4 Единственность решений и классы корректности.

2.5 Контрпримеры в случае М ^ /С.

2.6 Вспомогательные операторы Ли В.

2.7 Обобщение на случай наличия слабой нелинейности — общие соображения.

2.8 Предварительные сведения. Формулировка базовых условий на нелинейность ш в (2.7.1).

2.9 Анализ соотношения (2.8.9).

2.10 Два пути вывода оценки (2.8.6)1. Формулировка всех условий на нелинейность ш.

2.11 Корректность задачи (2.7.1)-(2.7.3).

Глава 3. Интегральные преобразования функций Юнга и экстраполяционные свойства пространств Орлича.

3.1 Интегральные представления ^функций.

3.1.1 Случай (5 = +оо.

3.1.2 Случай (3 < +оо.

3.2 Специальные интегральные преобразования

И-функций.

3.3 Восстановление по его характеристике

3.3.1 Описание класса А.

3.3.2 Описание класса В.

3.3.3 Описание класса С.

3.4 Предварительные итоги.

3.4.1 Резюме пп. 3.1-3.3.

3.4.2 О функции Шф и операторе Р^.

3.4.3 О природе класса Т>((3).

3.4.4 О суперпозиции и упорядочивании преобразований ¥ф1(Т в терминах их пороговых функций.

0.1 Актуальность теорем о математической корректности для уравнений механики сплошных сред

Исследование уравнений механики сплошных сред является задачей, относящейся как к области механики и физики, так и математики. Ее актуальность обусловлена многочисленными приложениями, особенно ярко проявившимися в последнее столетие. Как область механики, физики и математики, эта проблема имеет почти трехсотлетний возраст, и в течение этого срока неоднократно менялись доминирующие подходы к ее решению и сами понятия о том, что же понимать под решением. Принятое в современной науке мировоззрение требует, чтобы формулировка и анализ физических моделей сопровождались их соответствующим математическим исследованием. А именно: после формулировки модели в механике сплошных сред получается, чаще всего, система дифференциальных уравнений в частных производных, требующая своего исследования на предмет существования и единственности решений различных краевых задач, а также их качественных свойств. Получаемые при этом результаты имеют двоякое значение:

1. они помогают при моделировании физических явлений и позволяют лучше понять природу реальных процессов;

2. они дают необходимое теоретическое обоснование корректности модели.

Как правило, процессы обоснования математической корректности модели и ее применения идут параллельно, хотя с формально-логической точки зрения первый процесс должен предшествовать второму. Такому формальному порядку вещей препятствует то обстоятельство, что задача теоретического обоснования математической корректности модели оказывается, как правило, достаточно трудной, что сдерживает прогресс в этой области, так что модель применяют, не дожидаясь доказательства теорем существования и единственности. Такое положение дел, по-видимому, неизбежно, но, однако, не отменяет необходимости доказательства указанных теорем. С одной стороны, сама реализация физических процессов могла бы поставить под сомнение необходимость математического обоснования существования решений модели, но, как было убедительно показано Адамаром более 100 лет назад, для сохранения логической целостности процесса моделирования, следует проверять любую модель на математическую корректность, что подразумевает, в частности, доказательство теорем существования и единственности.

Как показали многочисленные опыты, возникающие при этом математические задачи являются весьма интересными и требовательными к применяемому математическому аппарату. Преодоление возникающих трудностей явилось одним из основных стимулов развития математики. Развитый при этом новый инструментарий обогатил как саму математику, так и возможности ее приложений.

Необходимо также упомянуть, что доказательство теорем о математической корректности физических моделей способствует обоснованию и развитию численных методов, значение которых в последнее время чрезвычайно возросло.

Таким образом, изложенные аргументы достаточно ясно показывают актуальность проблемы доказательства теорем существования и единственности для уравнений механики сплошных сред.

0.2 Уравнения движения вязких сжимаемых жидкостей

Основной задачей диссертации является исследование уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости и возникающих в ходе него смежных вопросов теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. Нас будут интересовать указанные уравнения с позиций теории дифференциальных уравнений (т. е. с математической точки зрения), однако естественно сохранить максимальную идейную связь с исходными понятиями механики. В связи с этим уместно дать краткие комментарии о происхождении этих уравнений, механическом смысле входящих в нее величин и тех допущений, которые мы будем применять при исследовании этих уравнений.

Как известно [146], [106], [153], [163], [419], движение вязких сжимаемых жидкостей описывается следующей системой1 дифференциальных уравнений в частных производных: + <йу(/Ш) = 0, (0.1) р (ж + (и'У)и) = + ' (0'2) р + (и • V)= (НуЬ + Р : В + д, (0.3) где р — плотность жидкости, и — вектор скорости, Е — внутренняя энергия, Р — тензор напряжений, О — тензор скоростей деформаций, Ь — вектор потока тепла, £ — вектор внешних массовых сил, д — плотность источников тепла. Все указанные величины являются функциями от пространственных переменных хе!" (по этим переменным действуют операторы V и (Ну) и времени Ь. С точки зрения физики, наибольший интерес представляет случай п = 3, в определенных классах течений п = 1 или п — 2, а с позиций математического исследования системы (0.1)—(0.3) допустимы

1 ( ди' Ои' \ любые натуральные п. Тензор Р = 8ут(У®и), т. е. Д^ = - I —^ + 1; и ^С/Х^ (УХ^ у п

Р : Р = У] РцОц. Как правило, величины ¥ и д заданы, а остальные — искомые.'

Система (0.1)—(0.3) не замкнута, т. к. число уравнений в ней (п + 2) меньше числа неизвестных. Чтобы замкнуть систему, требуется добавить

1Ввиду (0.1) уравнение (0.2) допускает эквивалентную дивергентную запись д(ри) т <Цу(ри ® и) = ЛуР + pf. к ней так наз. определяющие уравнения, т. е. соотношения, связывающие между собой неизвестные величины и характеризующие свойства моделируемой среды. Как правило, это соотношения вида где в — температура. Как отмечено в [143], выбор тех или иных определяющих уравнений конкретизирует не только среду, но и определенный класс течений, для которого эта модель допустима. Это особенно важно понимать при исследовании применимости классических моделей, таких как модель с постоянными коэффициентами вязкости. Определяющие уравнения реальных сред достаточно сложны, и даже их описание (не говоря уже о решении соответствующей системы (0.1)—(0.3)) представляет значительную трудность — см. например [419], [19]. В подавляющем большинстве исследований (как при моделировании, так и при математическом изучении) вводят ряд упрощающих предположений, после которых система (0.1)—(0.3) принимает достаточно «обозримый» вид. Так, одним из таких традиционных упрощающих предположений является хорошо известный закон Стокса:

Р = (-р + А<1пги)1 + 2/Д)>, (0.4) который, по существу, не имеет твердого физического обоснования, а принимается ввиду традиционного принципа начинать рассмотрение с линейных функций. В этом случае правая часть уравнения (0.2) принимает вид линейного эллиптического оператора Ламе с добавком — Чр (см. (0.7)), что облегчает исследование модели. В пользу (0.4) можно привести традиционное рассуждение о малости Ю) (т. е. слабом отклонении от состояния покоя), которое, как правило, в дальнейшем (после построения решений) не проверяется. Впрочем, этот факт не перечеркивает значение модели (0.4) ввиду большого числа интересных результатов, полученных для нее (как теоретических, так и прикладных), в том числе показывающих достаточно хорошее описание ею реальных течений. Не следует также забывать, что дифференциальные уравнения механики сплошных сред выводятся из интегральных законов сохранения в рамках ряда априорных предположений о решениях, которые затем также не принято проверять, и тем не менее теоретическая и прикладная ценность этих уравнений не вызывает сомнения. Однако, из приведенного рассуждения ясно, что закон Стокса (0.4) не занимает какого-либо исключительного положения среди всех возможных определяющих соотношений, если не считать его традиционности и удобства ввиду простоты2. Рассмотрение более общих определяющих уравнений сдерживается лишь соответствующим усложнением модели, хотя это необходимо для приложений и интересно в теоретическом плане. В диссертации пойдет речь как раз о таких более общих соотношениях. Интересно также отметить, что при изучении турбулентных движений ньютоновских жидкостей (как с экспериментальных позиций, так и из соображений статистической термодинамики) возникают определяющие уравнения неньютоновского типа [143], что еще раз подтверждает зависимость определяющих уравнений от классов течений и важность неньютоновских моделей.

Еще одним распространенным упрощающим предположением является отделенность уравнения энергии (0.3) от остальной системы (0.1), (0.2). Такое явление наблюдается в ряде случаев, описание которых является задачей механики и выходит за рамки нашего обзора; отметим, например, известные случаи изэнтропических и изотермических течений (при условии, что Р не зависит от 9). Тогда 9 не входит в (0.1), (0.2), что позволяет решить эту систему независимо, а затем уже найти 9 из (0.3). Как показал опыт многочисленных математических исследований, целесообразно начинать с указанного случая, поскольку дальнейшее распространение результатов на случай полной системы (0.1)—(0.3) представляет нередко меньшие трудности (см. об этом, например, [165]). В диссертации мы будем действовать в рамках указанного предположения.

2Более того, в реальных жидкостях убывание вязкости с ростом градиентов скоростей и давления встречается не реже (и даже чаще), чем рост (см. например [143]), так что модель Стокса (0.4) не более и не менее физически адекватна чем широко используемая (в том числе в диссертации) модель с коэффициентами вязкости, растущими как функции от инвариантов тензора скоростей деформаций, или ситуация растущего Л (р), рассмотренная в [39].

0.3 Уравнения движения неньютоновских сжимаемых жидкостей

Итак, мы будем рассматривать систему (0.1), (0.2) (так наз. «сокращенную систему уравнений вязкой сжимаемой жидкости»), замыкаемую определяющим уравнением вида

Остановимся подробнее на описании связи (0.5). Существует несколько подходов к вопросу о том, что следует понимать под жидкостью. Один из наиболее распространенных был предложен Стоксом (см. [153]), который сформулировал 4 аксиомы жидкой среды. Приведем сразу тот результат, к которому приводят эти аксиомы: связь (0.5) обязана иметь вид [419] где Js{3) — основные инварианты тензора Ю). Вопрос о том, до какого порядка должен быть полином в (0.6) (тесно связанный с физическим смыслом этого соотношения, особенно при п > 3), несуществен ввиду теоремы Гамильтона—Кэли, позволяющей выражать высшие степени тензоров через низшие. Если постулировать, что связь (0.6) линейная по В, то получим (0.4); в этом случае величины А, ¡л называются коэффициентами вязкости, а р — давлением (ввиду того, что их физический смысл в самом деле таков), все они, вообще говоря, могут быть функциями от р [143]; но, как правило, Ли// считаются постоянными, и тогда задание определяющего уравнения (0.5) сводится к описанию уравнения состояния газа р = р(р). Такое рассмотрение оправдано в рамках вышеупомянутого рассуждения о малости отклонения течения от состояния покоя, т. е. малости величины |D|2 = Ю> : D. Жидкости с определяющим уравнением Сток-са (0.4) принято называть ньютоновскими, а прочие — неньютоновскими. Теория последних весьма обширна и до сих пор не приведена к единообразному виду (если это вообще возможно — см. например [419]), математических результатов для них гораздо меньше (см. обзор ниже). Как правило, выбор конкретного определяющего уравнения (0.6) для неньюто

Р = Р(/>, D).

0.5)

71— 1

0.6) новских жидкостей диктуется соображениями простоты, математического удобства и хотя бы какой-то степенью физической адекватности. Наиболее распространенным примером является модель обобщенных ньютоновских жидкостей: Р = — р! + /3(|Ю>|2)Ю>, среди которых особую роль играют так наз. степенные жидкости: /?($) = ва.

Следует, однако, отметить, что термин «неньютоновская жидкость» чрезвычайно обширен и включает в себя так наз. жидкости дифференциального типа высших порядков (что означает вхождение в (0.5) не только самого О, но и его материальных производных с1кЗ/сИк), и жидкости интегрального типа (с памятью). Подробнее с современным взглядом на этот предмет можно ознакомиться по работам [143], [376]. В диссертации мы будем рассматривать только неньютоновские жидкости дифференциального типа I порядка, что и означает определяющее уравнение вида (0.6). Даже для таких жидкостей, и даже в несжимаемом случае, теория разрешимости не развита достаточно полно, как отмечено в [143]; подробнее этот вопрос обсуждается ниже.

Особо следует оговорить вид (0.6) при Р = 0, т. е. структуру напряжений в жидкости, движущейся как твердое тело. Четвертая аксиома Сток-са требует, чтобы в этом случае Р = — £>1, где р — некоторый скаляр (он имеет смысл давления). По построению, уравнения (0.6) автоматически удовлетворяют этому требованию. Вид р = р(р) задан изначально (он определяется из физических соображений при построении модели). В так наз. модели Бюргерса по определению полагают р = 0. Распространенной является модель р = Ср, возникающая, например, в изотермических движениях совершенных газов. Имеются интересные (как с физических, так и математических позиций) случаи, в которых связь (0.5) имеет более общий вид чем (0.6); другими словами, когда применяются другие трактовки понятия «жидкость», чем по Стоксу (нестоксовы жидкости). К таким ситуациям относится модель Шведова—Бингама, в которой нарушена упомянутая четвертая аксиома Стокса: среда совершает твердотельное движение не только в случае Р = — р1, но и если Р = —р(/э)1 + Р;, где добавок Р' принимает значения в некоторой критической области пространства напряжений (не превышающих порог текучести). Среды Бингама традиционно также называются жидкостями (вязкопластическими).

Все перечисленные модели соответствуют определенным физическим предположениям, т. е. описывают определенные типы сред и/или течений, и требуют своего математического исследования в том смысле, как это описано в п. 0.1. Такое исследование является интересной математической задачей, которая далека от своего решения (см. обзор ниже). Такое положение можно объяснить, в частности, тем, что, независимо от выбора определяющих уравнений, замыкающих систему (0.1)—(0.3) или (0.1), (0.2), она является весьма сложной нелинейной системой. Входящие в нее уравнения импульса (0.2) и энергии (0.3) являются параболическими, в то время как уравнение неразрывности (0.1) есть уравнение первого порядка (т. е. гиперболического типа), и в итоге вся система не имеет определенного типа. Теория таких систем (составного типа) развита еще недостаточно полно. В случае неньютоновских определяющих уравнений (0.6) проблема осложняется еще и квазилинейным эллиптическим оператором от и, возникающим в правой части (0.2) (вместо линейного оператора Ламе в ньютоновском случае (0.4)), что, с другой стороны, придает задаче дополнительный математический интерес.

В диссертации будет проведено математическое исследование некоторых из вышеперечисленных моделей. Более точные формулировки задач будут приведены ниже в пп. 0.6, 0.8, а также в начале каждой главы, посвященной той или иной проблеме.

0.4 Обзор результатов по разрешимости уравнений вязких сжимаемых жидкостей

Сделаем краткий обзор известных результатов о существовании и единственности решений задач для уравнений (0.1), (0.2), (0.5). По этой теме накоплен огромный материал, который невозможно охватить в рамках нашего обзора. Поэтому мы ограничимся лишь упоминанием тех результатов, которые наиболее близко связаны с результатами диссертации или используемыми в ней методами.

Подавляющее большинство результатов, как уже говорилось, относится к модели ньютоновской жидкости (0.4). Несмотря на то, что диссертация посвящена неньютоновским жидкостям, уместно упомянуть основные вехи на пути развития теории разрешимости уравнений (0.1), (0.2), (0.5) вообще. Во-первых, это естественно сделать потому, что модель Стокса есть частный случай модели вязких сжимаемых жидкостей в целом, а во-вторых, обе ветви нельзя отделить друг от друга — развитие одной стимулируется развитием другой. Кроме того, как мы увидим далее, одним из стимулов развития математической теории неньютоновских жидкостей является желание преодолеть сложности, возникающие при анализе ньютоновской модели.

Итак, начнем с краткого обзора результатов по классическим уравнениям Навье—Стокса сжимаемой вязкой жидкости, соответствующих случаю, когда связь (0.5) имеет вид (0.4), так что (0.2) принимает форму р + (и • У)и + Ур(р) = дАи + (Л + /¿)УсНуи + р£. (0.7)

Начало систематическому изучению корректности начально-краевых задач для системы (0.1), (0.7) положено в работах Д.Граффи [251] и Дж.Сер-рина [398], в которых были доказаны теоремы единственности для классических решений. После этого следовал долгий период развития локальной теории: доказывались теоремы существования «в малом» по времени или входным данным. Для задачи Коши следует прежде всего назвать работы Дж.Нэша [338], А.И.Вольперта и С.И.Худяева [46], Н.Итайя [270]; для начально-краевых задач — работы В.А.Солонникова [157], А.Тани [413],

A.Мацумуры и Т.Нишиды [328]; при этом последний результат особенно интересен тем, что он глобальный по времени (хотя и локальный по начальным данным) — см. также [261], [260], [265], [330]. Другие результаты о локальной разрешимости содержатся в работах [421], [422], [382], [329], [312], [414], [415], [259]. См. также обзоры в [408], [18], [345], [424].

Огромный пласт составляют исследования по глобальной разрешимости для уравнений (0.1), (0.7) в случае п = 1, т. е. одномерного движения с плоскими волнами. Пионерскими в этой области являются работы Я.И.Канеля [83], Н.Итайя [271], [272], А.Тани [412], А.В.Кажихова и

B.В.Шелухина [72], [283], [82], достаточно полная теория была построена благодаря исследованиям А.В.Кажихова [73], [77], [71], [74], [75], В.В.Ше-лухина [166], С.Я.Белова [26], [27], [28], [194], [29], В.Б.Николаева [80], [81], [134], А.А.Амосова и А.А.Злотника [4], [2], [5], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [61], [62], [63], [64], [65], [66], [180], [181], [17], В.А.Вайганта [32], [33], [34], [42], и других авторов [335], [336], [337], [281], [429], [356], [282], [256], [257], [409], [327]; см. также монографию [18].

Дальнейшее развитие одномерной теории теории выходит за рамки нашего обзора. Частичное представление об этом можно получить, например, по материалам диссертаций А.А.Амосова [3], В.А.Вайганта [37] и обзорам, в них содержащимся.

Следует отметить результаты, занимающие своего рода промежуточное положение между одномерной и многомерной теорией — это работы по специальным классам неодномерных течений (осесимметричным, сферически симметричным и сдвиговым) — такие, как результаты В.Б.Николаева [133], [135], [136], В.В.Шелухина [168] и Д.Хоффа [258], см. также [246], [247].

По многомерным течениям общего характера, т. е. системе (0.1), (0.7) (и вообще, (0.1), (0.2), (0.5)) при п > 1, долгое время не было каких-либо результатов о глобальной разрешимости3. Произошедший в последние 15 лет «прорыв» в этой области был подготовлен многими работами, содержавшими ряд плодотворных идей. Так, в [78], [38], [112], [47], [195], [311], [284], [40], [41] (часть этих работ более поздние) были исследованы некоторые приближенные модели, что сохраняет свое значение и поныне ввиду того, что глобальная проблема далека от своего окончательного решения. В статье В.А.Вайганта [35] были построены примеры разрушающихся решений в классах, в которых ранее (В.А.Солонниковым в [157]) были построены локальные решения, что обозначило необходимость уточнения классов корректности задач (т. е. пересмотра определяющих уравнений или перехода от классических к обобщенным решениям) — см. также [433],

3Однако, следует отметить работы А.В.Кажихова [69], [70], [18] по уравнениям неоднородной несжимаемой жидкости, получающимся из (0.1), (0.7) при добавлении дополнительного уравнения сНуи :; 0; а этом случае уравнение (0.1) упрощается, и облегчаются оценки плотности. Эти результаты сыграли существенную роль в становлении глобальной теории для системы (0.1), (0.7). См. также [102].

36]. В работах Д.Хоффа и Д.Серра [264], [256], [257], [258], [260], [262], [259], [263] было изучено поведение особенностей разрывных решений4. Д.Хоффом [261], А.Новотны [350], В.А.Вайгантом и А.В.Кажиховым [39] была исследована ключевая роль так наз. эффективного вязкого потока (эффективного вязкого давления) 5 = (А + 2/л)<И\и — р(/з), эта идея далее развивалась в [264], [326], [306], [239], [232]. В работах У.И [226] и Д.Серра [396] было (в одномерном случае) обнаружено ключевое коммуникативное соотношение для слабых пределов БрР = в • ра (для достаточно малых а > 0), доказанное и использованное затем П.-Л.Лионсом в многомерном случае в [306] на основе результата [207]. В связи с проблемой разрешимости для уравнения Больцмана [220] Р.Дж.ДиПерной и П.-Л.Лионсом был развит аппарат ренормализации транспортного уравнения [219].

Первая попытка решения двумерной задачи (в ограниченной области при р = р) для классических уравнений (0.1), (0.7) была предпринята М.Падулой в работе [364]. Несмотря на то, что эта работа оказалась ошибочной (см. [366], [367]), в ней содержатся некоторые плодотворные идеи, в частности, об эффективности оценок решений системы (0.1), (0.7) в пространствах Орлича. Интересно, что в [364] было заявлено решение трехмерной проблемы при 7 > 3/2 (что в итоге и было сделано Э.Файрайзлом), но не был должным образом обоснован предельный переход р = р.

Следующей вехой стала работа П.-Л.Лионса [304] (см. также [303]), в которой был анонсирован результат о глобальной разрешимости уравнений (0.1), (0.7) при р = р1 с достаточно большими 7 и произвольным п (для начально-краевой задачи). Правда, полное доказательство этого результата появилось лишь спустя 5 лет в монографии [306]. Данный результат (см. также [308]) обобщил вышеупомянутые идеи и показал, что слабая регулярность эффективного вязкого потока влечет глобальную разрешимость для (0.1), (0.7) при достаточно больших 7. Дальнейшее развитие этого результата, включая снижение 7 (с 7 ^ 9/5 у Лионса до 7 > 3/2)

4Впрочем, одномерная теория разрывных решений имеет достаточно богатую историю — см., например, работы В.В.Шелухина [167], Д.Серра [394], [395], Д.Хоффа [254], [255], А.А.Амосова и А.А.Злотника [6], [8], [9], [10], [И], [12], [13], [15], [16], [3], а также [248]. предпринято в работах Э.Файрайзла с соавторами [237], [232], [239], [234].

Следует также упомянуть работы работы Э.Файрайзла, А.Новотны и М.Падулы [231], [350], [137], [352], [351], опубликованные в период 1993— 1998 гг. и содержащие некоторые плодотворные идеи (в частности, метод декомпозиции), способствовавшие успешному решению проблем в работах [304], [39] и [427] (см. также обзор этой темы в диссертации [37]).

Как можно заметить из [371], развитие теории разрешимости стационарных и нестационарных задач тесно связано и идет параллельно. Локальные теоремы существования для стационарных задач были доказаны М.Падулой и Дж.Хейвудом [253], [363], [368], [365], Х.Бейрао да Вейгой [189], [190] на основе [191], А.Новотны и М.Падулой [137], [352], [353], см. также [329], [422], [229], [349], [339], [354], [423], [425]. Глобальные теоремы существования для стационарных задач принадлежат П.-Л.Лионсу [306], Э.Файрайзлу [234], А.Ново, А.Новотны и И.Штрашкрабе [346], [347], [355], П.И.Плотникову и Ж.Соколовски [369], [139], [370], [140], [372], [371]; см. также [241]. Современный обзор по стационарным задачам можно найти в [372], [140].

Современное состояние теории разрешимости уравнений ньютоновской вязкой сжимаемой жидкости отражено достаточно полно в монографиях [306], [234], [355] и статье [165], из которых, впрочем, явствует, что эта теория далека от своего завершения. Дальнейшие пути развития намечены в [309], [234]. В частности, можно отметить нерешенность проблем распространения полученных результатов на случай полной системы (0.1)-(0.3), описывающей теплопроводную жидкость; предельных переходов по параметрам (Ма, Рг и т. д.); поведения решений вблизи границы; повышения гладкости построенных решений и их единственности; дальнейшего снижения показателя адиабаты 7 (в соотношении р = р1), и пр. Об этом можно почитать в [165], [236], [235], [233] и упомянутых работах [309], [234].

В период 1993-1998 гг., когда в среде специалистов не было ясности о том, является ли проблема глобальной разрешимости многомерных уравнений (0.1), (0.7) решенной, особую важность имели работы В.А.Вайганта и А.В.Кажихова [39], [427], в которых были доказаны глобальные теоремы существования обобщенных и классических решений для двумерных уравнений (0.1), (0.7) при Л = Л(р). Эти результаты не потеряли своей актуальности и сейчас, когда проблема повышения гладкости построенных слабых решений Лионса остается неприступной, и неясно, удастся ли сделать это для постоянных коэффициентов вязкости (ср. вышеупомянутую работу [35]) .

Если говорить о неньютоновских жидкостях, то выделение их в отдельный класс в нашем обзоре имеет смысл лишь при рассмотрении многомерных течений, поскольку для одномерных движений с плоскими волнами результаты о разрешимости в том числе и неньютоновских уравнений (т. е. для нелинейной вязкости) имеются среди вышеупомянутых работ по одномерным задачам — в этом случае наличие нелинейности в правой части уравнения импульса не создает принципиальных новых сложностей. Исключение составляют лишь модели типа Бингама, о которых мы отдельно скажем далее.

Для многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости результаты весьма немногочисленны. В работе С.Матусу-Нечасовой и А.Но-вотны [331] на основе работ [341], [342] и [348] были построены так наз. мерозначные решения (в смысле мер Янга), т. е. такие, которые удовлетворяют (0.5) лишь в специальном вероятностном смысле (см. также [343], [291]). Эта деятельность резюмирована в монографии [317], которая достаточно полно отражает состояние на 1996 г. всей теории неньютоновских жидкостей. Большая часть этой монографии посвящена несжимаемым жидкостям, а сжимаемый случай затронут лишь в небольшом разделе, содержащем указанный результат. Проблема существования хотя бы слабых обобщенных (а не мерозначных) решений для случая сжимаемых неньютоновских жидкостей обозначена в [317] как нерешенная. Для степенных жидкостей она остается таковой и до сих пор, но в настоящей диссертации удалось решить ее для случая «быстрорастущих коэффициентов вязкости», что является первым шагом на пути решения классической проблемы степенных жидкостей; также здесь намечены основные вехи, которые, на наш взгляд, нужно преодолеть на пути полного решения этой проблемы.

Этот вопрос тесно связан с уже в значительной степени развитой техникой для несжимаемых неньютоновских жидкостей (т. е. модели, получающейся из (0.1), (0.2), (0.5) при р = const), так что уместно сделать следующий

0.5 Обзор результатов по разрешимости уравнений несжимаемых неньютоновских жидкостей

Пионерскими в этой области были работы О.А.Ладыженской [92], [94], в которых были показаны существование и единственность решений для достаточно широкого класса неньютоновских несжимаемых жидкостей. Независимо Ж.-Л.Лионсом [104] был получен аналогичный результат, но с V О и вместо Ю> в (0.5), что физически не оправдано. В этих работах рассмотрены степенные жидкости с достаточно большой степенью а. С.Канелем [275] были получены аналогичные результаты для более общих диссипативных потенциалов V, т. е. потенциалов в представлении5 р=-*1 + -0!Г

Следует отметить, что представление тензора напряжений через потенциал — достаточно распространенное явление в механике сплошных сред, имеющее глубокие физические корни и особенно интенсивно изучавшееся в теории упругости (см. [162], [58]); при рассмотрении наиболее общих представлений существенную роль играет понятие поливыпуклости, введенное Дж.Боллом [184]. Впрочем, в механике неньютоновских жидкостей чаще всего ограничиваются потенциалами вида У(Ю>) = Г(|В|2) (и, в свою очередь, чаще всего Г(з) ~ ва). В диссертации мы будем рассматривать более общие У, хотя и не ставим себе цель достичь максимальной общности.

В последнее время в развитии теории несжимаемых неньютоновских жидкостей можно наблюдать 2 направления. Первое состоит, грубо говоря, в снижении показателя а (что важно для приложений, т. к. описывает и случай убывающих вязкостей) и обобщении вида У, а второе — в повыэКак и для векторных градиентов, тензорный градиент —— есть тензор с компонентами

Ж r dR,,, шении гладкости решений (этот вопрос тесно связан с теорией регулярности для ньютоновских уравнений — см. обзор ниже). Здесь можно назвать работы О.А.Ладыженской и Г.А.Серегина [294], [295] (в этих двух работах рассмотрены и среды типа Бингама), [99], [100], [101], [148], [149] (см. также [244], [391], [245]); чешских авторов монографии [317] с соавторами: [193], [318], [317]. Мерозначные решения построены и в несжимаемом случае в работах [316], [340], [317].

Особое положение в этой теории занимают вязкопластические жидкости Шведова—Бингама. Их характерным свойством является отсутствие жидкого течения в случае, если напряжения в рассматриваемом объеме не превышают заданного порога текучести, в противном случае течение происходит по закону вязких жидкостей. Таким образом, в этих средах возможно образование твердотельных зон (ядер), которые со временем могут исчезать, появляться и менять форму. В качестве современных прикладных примеров можно указать на работы [183], [201], [209]. Первоначально модель таких сред была сформулирована Ф.Н.Шведовым [404] и Ф.Бингамом [196] в простейшем случае сдвиговых течений (эти авторы экспериментально изучали такие среды в указанных течениях). Для течений произвольного характера (несжимаемый случай) эта модель была выписана К.Гогенемзером и К.Прагером [266], [373] (см. также [357], [48], [67]). В работах Г.Генки [48] и А А.Ильюшина [67] был решен ряд плоских задач, причем в [67] впервые предложена вариационная формулировка, позднее занявшая преобладающее место в теории благодаря успехам П.П.Мосолова, В.П.Мясникова, Г.Дюво, Ж.-Л.Лионса и их последователей. Следует, однако, отметить, что эквивалентность исходной (дифференциальной) и вариационной формулировок не является математически очевидным фактом (см. об этом [128]) и не всегда имеет место. В статье П.П.Мосолова и В.П.Мясникова [129] было предпринято одно из первых систематических исследований модели Бингама на предмет математических теорем существования и единственности в вариационной формулировке; это было сделано в рамках некоторых упрощений (стационарность, линеаризация). В работах этих же авторов [130], [132] эта деятельность резюмируется, но, опять же, нестационарный случай рассматривается без конвективных членов. В книге Г.Дюво и Ж.-Л.Лионса [57] были доказаны теоремы существования и единственности для вариационной формулировки без упрощений и теоремы о предельном переходе по вязкости (к уравнениям идеальной жестко-пластичности), но вопрос о связи вариационной постановки с исходной решен формально. Более подробно исторический обзор по этой теме можно найти в [132] и [85].

В настоящее время для вариационного подхода в теории несжимаемой жидкости Бингама имеется масса результатов. Отметим работы И.Като [280], И.Кима [288], О.А.Ладыженской, Г.А.Серегина и М.Фукса [244], [242], [147], [295], [243], в которых показывается дальнейшая регулярность решений и рассматриваются более общие определяющие уравнения. В связи с тем, что в вариационном подходе затруднительно непосредственное изучение поведения ядер, В.В.Шелухиным был предложен возврат к исходной дифференциальной постановке в модели Бингама. В его работах с соавторами [185], [319], [401] этот подход был применен для одномерных движений сжимаемой жидкости и многомерных — несжимаемой; в последнем случае была строго показана эквивалентность двух подходов, показано предельное соотношение между средами Бингама и аппроксимирующими их стоксовыми жидкостями, исследовано поведение ядер.

Для сжимаемого случая, кроме упомянутой «одномерной» работы [185], не было известно результатов о разрешимости «в целом». Они будут предъявлены в диссертации. Промежуточное положение занимает модель неоднородной несжимаемой жидкости Бингама, которая исследуется в работах [197], [240] (вариационный подход) и [186] (дифференциальный подход). В диссертации мы также будем придерживаться последнего подхода по причине, во-первых, упомянутой перспективности для дальнейшего изучения ядер, а во-вторых, ввиду того, что для неоднородной (а тем более сжимаемой) среды уравнение (0.1) в любом случае следует писать отдельно от вариационного неравенства, и вариационный подход теряет свое удобство.

Упомянем также интересную проблему выбора «физичных» краевых условий для системы (0.1), (0.2) — см. об этом, например, [143], [165], [105], [269].

0.6 Проблематика диссертации

Из сделанного обзора ясно, что для многомерных движений неньютоновской сжимаемой жидкости, описываемых системой (0.1), (0.2), (0.5), не было известно глобальных теорем существования, в то время как учет сжимаемости особенно важен при рассмотрении нерегулярных решений (ср. [35], [218], [262], [263], [264]). Требуемые теоремы существования были доказаны лишь в работах автора [115], [114], [116], [117], [119], [322], [123], [124], [118] и составляют одно из основных положений диссертации. Те трудности, которые возникают при этом, с одной стороны, тесно связаны с глобальной проблематикой для классической системы Навье—Стокса (0.1), (0.7), а с другой — с теорией неньютоновских несжимаемых жидкостей. Кроме того, некоторые возникающие здесь проблемы носят характер, уникальный именно для этого класса задач. Так, в связи с вопросом о глобальной разрешимости уравнений (0.1), (0.2), (0.5) возникли задачи о свойствах решений уравнения (0.1) в специальных пространствах Орлича [79], [86], [285], [124] или об экстраполяционных свойствах линейных операторов в этих пространствах [113], [120], [121], [122], [124]. Решение этих вопросов составляет остальное содержание диссертации (если не считать Приложения А, соответствующего работе [125] и стоящего несколько особняком). Они интересны как сами по себе, так и потому, что позволяют решить главную задачу о глобальной разрешимости системы (0.1), (0.2), (0.5).

Поясним сказанное подробнее. В нескольких из вышеперечисленных работ по глобальной разрешимости уравнений (0.1), (0.7), появившихся в 1980-90-е гг., ярко проявилась роль пространств Орлича в формулировке оценок решений. Так, например:

1. В «задаче о совершенном газе», т. е. при п = 2, р = р [364] оценка на р формулируется в пространстве Орлича Ьф, где Ф($) = s In s (см. п. 1.1). Кроме того, в этом случае оценка для и также получается в пространстве Орлича, т. к. энергетическая оценка дает и € И^1, а в случае п = 2 теорема вложения Соболева (ситуация предельного 2 показателя) дает u £ Z/ф, где Ф(з) = es , как было замечено еще

В.И.Юдовичем [169], Ю.А.Дубинским [55] и С.И.Похожаевым [141]. Эта задача служит хорошей иллюстрацией того факта, что пространства Лебега Ьр не всегда достаточны для описания свойств решений дифференциальных уравнений, т. к. в случае «загрубления» и «насильственной» замены оценок в пространствах Орлича на таковые в «ближайших» Ьр получается информация о решении, которой может оказаться недостаточно для дальнейшей работы.

2. Как и следует ожидать, трудности в оценках для р являются основным препятствием при попытках распространить известные результаты для несжимаемых жидкостей на случай сжимаемых. В перечисленных выше работах по многомерным глобальным теоремам найден ряд приемов для преодоления этих трудностей, они в существенной степени сводятся к анализу свойств уравнения неразрывности (0.1), которое в определенном смысле является «уравнением для р» (в отличие от (0.7), являющегося в определенном смысле «уравнением для и»), при этом существенную роль в этих приемах играет ньютоновский характер определяющего уравнения.

Если же рассматривать неньютоновские жидкости, то анализ уравнения (0.1) остается фактически единственным средством (эта мысль будет обоснована далее — например, см. конец введения к Главе 5). Другими словами, возникает вспомогательная задача о решениях уравнения (0.1), в котором и рассматривается как известный коэффициент, а требуется сформулировать свойства р в терминах свойств и. По этому вопросу особенный интерес представляют работы Р.Дж.ДиПерны и П.-Л.Лионса [219], и А.В.Кажихова и В.В.Шелухина [286]. В первой из них дан исчерпывающий ответ на поставленный вопрос в терминах пространств Лебега, но этот ответ все же неудовлетворителен в применении к системе (0.1), (0.2), (0.5), т. к. фигурирующие в нем требования на и слишком обременительны (а именно, ограниченность сНуи) . В [286] были предложены некоторые достаточные условия на и в терминах пространств Орлича, при которых можно строить обобщенные решения (0.1). Во многом эти идеи исходят еще от В.И.Юдовича (см., например, [170]). Возникает естественный вопрос об исчерпывающем исследовании уравнения (0.1) в пространствах Орлича. Это сделано автором в соавторстве с А.В.Кажиховым и О.И.Королевым в работах [79], [86], что составляет содержание Главы 2 диссертации, в начале которой приведены подробный исторический обзор по обобщенным решениям транспортного уравнения и обоснование необходимости его исследования в пространствах Орлича.

3. В вышеупомянутых работах [39], [286] ключевую роль сыграли оценки неизвестных функций в шкале пространств Lp, р <Е (ро,+оо), т. е. оценки вида

Ро^Р< +оо, (0.8) где существенна скорость роста и. Такого рода оценки нередко возникают и при исследовании других уравнений, например, системы Эйлера: см. работы В.И.Юдовича [171], [169], [431]. Подробнее обзор этого вопроса сделан в п. 3.5 диссертации, где обсуждается необходимость исследования связи множеств функций с оценками вида (0.8) с пространствами Орлича. Такое исследование проведено в работе автора [122], вошедшей в Главу 3 диссертации. Благодаря этому исследованию удается точнее осмыслить уже имеющиеся результаты (как по уравнениям вязкой сжимаемой жидкости, так и по другим моделям), а также появляется готовый математический аппарат для дальнейшей работы.

С другой стороны, в связи с системой (0.1), (0.2), (0.5), к необходимости использования и дальнейшей разработки методов пространств Орлича мы приходим ввиду следующих причин. Имеется определенная параллель между исследованиями указанной системы и системы уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, получающейся из (0.1), (0.2), (0.5) при р = const. Напомним кратко современное состояние теории уравнений Навье—Стокса несжимаемой вязкой жидкости (ньютоновской). Этой модели посвящено большое число работ, начиная с классических исследований Ж.Лерэ [297], [298], [299], в которых была доказана однозначная разрешимость (локальная, а для некоторых задач — даже глобальная) для п = 2, а при п = 3 в задаче Коши показана однозначная разрешимость локально по времени или по начальным данным. При п = 3 существование «в целом» (по времени и данным) слабых решений установил Э.Хопф [268], но класс, в котором это решение было построено, слишком широк для единственности, как было показано О.А.Ладыженской [96]. Такие слабые решения получили название «слабых решений Лерэ—Хопфа» («турбулентных решений»). Возникает задача построения глобальных решений в том же классе, где можно доказать их единственность. Эта задача была для большинства случаев успешно решена О.А.Ладыженской и математиками ее школы: для п = 2 в [91], [90], [293] (сначала для малых данных — в [84], в том числе при п = 3), для п = 3 при наличии осевой симметрии (включая ось) — в [95] (см. также работу М.Р.Уховского и В.И.Юдовича [164]), эти результаты резюмированы в монографии [97]. Существенную роль при этом сыграли исследования системы Стокса, выполненные К.К.Головкиным и

B.А.Солонниковым [156], [49], [50] (см. также обзор в [158]). В настоящее время имеются также результаты А.С.Махалова, В.П.Николаенко,

C.Лейбовича, Е.С.Тити и Г.М.Кобелькова по трехмерным движениям, близким к осесимметричным [314] и с другой спецификой [126], [289], [290], но общий трехмерный случай остается нерешенным (в плане однозначной разрешимости «в целом») — это предмет одной из конкурсных «задач тысячелетия», сформулированных6 Clay Mathematical Institute в 2000 г. [230], см. также [406]. В отличие от [230] (где требуется построение С°°-ре-шения), О.А.Ладыженская понимала задачу как построение глобального решения в классе единственности [98], но так или иначе проблема открыта. В настоящее время в ее решении принято продвигаться путем доказательства (вслед за самим Лерэ) дополнительной регулярности решений Лерэ—Хопфа вне «малых множеств» или при дополнительных ограничениях (см., например, [375], [68], [91], [400]), и, с другой стороны, получения условных теорем единственности (см., например, [68], [98], [97], [399]). В этом вопросе существенную роль сыграло понятие «подходящих слабых

6См. http://www.claymath.org/millenium решений» (т. е. удовлетворяющих энергетическому неравенству), предложенное в работе Л.Каффарелли, Р.Кона и Л.Ниренберга [199] (другие версии см. в [301], [296]) в связи с идеями В.Шеффера [378], [377], [380], [379] (см. также [188], [192]). Современное состояние по локализации особенности решений Лерэ—Хопфа и «проблеме тысячелетия» в целом можно понять по работам [301], [296], [152], [68], [390], [98], [387], [151], [417], [305], [249], [250], [150], [384], [385], [386], [393], [389], [392], [432], [388]. Понятие подходящего слабого решения является, таким образом, средством для изучения регулярности решений, но оно имеет и естественный физический смысл, а в ряде случаев доказательство энергетического равенства является необходимым этапом в построении решения (см. далее). Лерэ и Хопфом было доказано неравенство, для работ Ладыженской характерно непременное обоснование равенства; см. также [400], [402]. В рассматриваемой ниже работе [94] энергетическое равенство играет ключевую роль, так же как и в настоящей диссертации. Как видно, например, из [165], в сжимаемом случае энергетическое равенство существенно при исследовании предельных переходов по Ma, Fr и т. п.

Из сделанного обзора видно, что в несжимаемом случае острие проблемы находится на доказательстве единственности решений, в то время как в сжимаемом — на существовании. Параллель же состоит в том, что в обоих случаях естественно привлечь неньютоновские определяющие уравнения как средство заполнения тех пробелов, которые остаются в ньютоновском случае. Для несжимаемой жидкости этот прием был употреблен О.А.Ладыженской в [94], где были доказаны глобальное существование и единственность обобщенных решений системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости при 77- = 3 за счет выбора нелинейного (неньютоновского) закона напряженного состояния (0.5), а именно, уравнения степенных жидкостей: Р = —pi + ¿¿(|Ю>|)Р, где fi(s) = sa с достаточно большим а. Эта работа (см. также [92], [93]) ярко показала, как неньютоновские модели позволяют в определенном смысле заполнить пробелы, возникающие для модели Стокса (0.4). С другой стороны, в [94] видно, какие новые трудности появляются при анализе нелинейного эллиптического оператора, возникающего в правой части (0.2) в случае нелинейного закона (0.5).

Одной из основных целей диссертации (Главы 4,5) является, в определенном смысле, распространение результата [94] на случай сжимаемой жидкости. В этом случае все проблемы, имеющиеся для несжимаемых неньютоновских жидкостей (см. [94], [317]), возникают в сочетании с проблемой оценки плотности, описанной выше. В связи с тем, что естественными классами для таких оценок в рассматриваемом нами случае являются пространства Орлича, возникает необходимость анализа свойств дифференциальных операторов в этих пространствах. Например, из оценки симметричной части V ® и, т. е. тензора Р, необходимо получать оценки всего V (8> и. В случае пространств Орлича эта проблема не является решенной. И вообще, теория этих пространств сейчас еще переживает тот период, когда далеко не все вопросы получили в ней достаточное освещение или получают его только в самое последнее время (см. обзор в п. 0.7). С этим обстоятельством и связан тот факт, что в данной диссертации, помимо исследования свойств решений дифференциальных уравнений (прежде всего (0.1), (0.2)) с помощью теории пространств Орлича, содержатся также результаты, вносящие вклад в саму эту теорию.

Так, упомянутая оценка V (8) и через Ю) сводится к анализу свойств вторых производных7 от решения V уравнения Пуассона Дг> = К при известных свойствах И в пространствах Орлича. Ввиду хорошей изученности оператора к н-> И2у в Ьр, эту задачу естественно решать экстра-поляционными методами. Подробнее обзор этой проблемы изложен ниже в п. 0.7, а также в начале Главы 3 диссертации. В этой главе обоснован конструктивный метод экстраполяции линейных операторов из Ьр в пространства Орлича, с использованием которого в следующих Главах 4-6 удается получить требуемые теоремы существования для моделей вида (0.1), (0.2), (0.5).

Кроме того, отдельные новые вспомогательные утверждения о свойствах пространств Орлича, принадлежащие автору, содержатся в Главе 1.

Таким образом, часть диссертации посвящена проблеме экстраполяции в пространствах Орлича, которая играет здесь вспомогательную роль, но сама по себе является интересным самостоятельным разделом анализа. В

73десь и далее обозначаем О^к = \7Х ® — все вторые производные И по х. связи с этим естественно привести следующий

0.7 Краткий обзор по теории пространств Орлича и экстраполяции

Сам В.Орлич занимался пространствами типа и лишь слегка затронул то, что теперь называется его именем (см. [359], [360]). Собственно «пространства Орлича» вошли в математику в 1950-х гг. благодаря работам М.А.Красносельского и Я.Б.Рутицкого (см. например их раннюю работу [87]), изложивших свою теорию в монографии [88] (более современное изложение приведено в [292]). Введенные изначально с целью исследования интегральных уравнений с нестепенными нелинейностями, пространства Орлича вскоре были использованы как удобный инструмент для формулировок тонких теорем вложения и экстраполяционных результатов8. В работе В.И.Юдовича [169] приведена экстраполяционная процедура, приводящая к оценке решений эллиптических уравнений в пространствах Орлича (а фактически к теореме вложения в случае предельного показателя), хотя в явном виде эти термины там не произносятся. Ю.А.Дубинский [55] уже явно сформулировал указанную теорему вложения (а также вложения в гельдеровы классы), а С.И.Похожаев [141] показал неулучшаемость такой теоремы по порядку роста целой порождающей функции. По-видимому, независимо, Н.Трудингером (частично — с соавторами) был получены аналогичные результаты [418], [223], показана неулучшаемость этих простейших теорем вложения [252], и начато, вслед за Р.О'Нейлом [358], систематическое изучение пространств Соболева— Орлича и теорем вложения в них [223]. Аналогичные теоремы вложения получены Р.Адамсом [173]; все эти результаты приведены в [292], но они не являются точными. Основы для точных теорем вложения были заложены в работах Дж.Таленти [410], [411], нашедшего точное условие вложения в

8Впрочем, также началось применение пространств Орлича для формулировки классов разрешимости дифференциальных уравнений с нестепенными нелинейностями — одной из первых работ об этом была статья М.И.Вишика [45] об эллиптических системах (см. обзор по этой теме в книге [155]). В диссертации подобное будет делаться для стационарных и эволюционных уравнений, связанных с (0.1), (0-2), с нестепенными коэффициентами.

Loo; и наконец, для всех пространств Соболева—Орлича точные теоремы вложения были получены А.Чьянки [205], [206].

Уже по работам [169] и [141] была ясна тесная связь между теоремами вложения и утверждениями экстраполяционного типа. Такого рода утверждения естественно доказывать, работая сразу в шкале симметричных пространств, а не только пространств Орлича (хотя для приложений к дифференциальным уравнениям более удобны окончательные формулировки для пространств Орлича), как это и делается в [205], [206].

Теория симметричных (перестановочно-инвариантных) пространств возникла в 1960-х годах (см., например, монографии [89], [302]), и за прошедшие 40 лет превратилась в один из крупных разделов функционального анализа. Одним из ее подразделов является теория экстраполяции, целью которой является заключение о поведении функций и операторов вблизи концов какой-либо шкалы пространств, исходя из заданного поведения внутри шкалы. Необходимость в экстраполяционных утверждениях возникает, например, в связи с тем, что ряд важных операторов анализа действует ограниченно в шкале Lp при 1 < р < +оо, но неограниченно в концах этой шкалы. Первым результатом в этой области является теорема С.Яно [430] (см. также изложение в книге [60]). В ней идет речь о линейных операторах, действующих в Lp при р G (1,1 + е) или р € (ро, +оо) с нормой, оценивающейся величиной вида С(р— 1)~а или Сра соответственно, и делается вывод о поведении в L\ или L^ соответственно. Теорема Яно распространена Р.Керманом [287] на более общие оценки нормы оператора. Следует также упомянуть работу И.Б.Симоненко [154], в которой рассматриваются в основном внутренние (интерполяционные) свойства шкалы.

Систематическая разработка теории экстраполяции началась около 20 лет назад. Здесь следует назвать прежде всего работы Б.Яверса и М.Милмана [273], [274], [332], [333]. В настоящее время в этой области работают такие авторы, как С.В.Асташкин и К.В.Лыков [23], [20], [21], [22], [108], [109], [110], [111]; Е.И.Бережной и А.А.Перфильев [31], Г.Караджов [278], С.Ф.Лукомский [107], [313], и другие (см., например [200], [361], [362], [227], [344]).

Указанные результаты в подавляющем своем большинстве касаются экстраполяции вблизи Ь\, а не Ь^, как это требуется в связи с целями диссертации. Также неудобство перечисленных результатов для нужных нам приложений состоит в том, что они (в случае экстраполяции операторов) формулируются в терминах только крайних пространств шкалы (например, если шкала есть Ьр при ро < р < +оо, то в терминах Ь^). При этом предполагается, что промежуточные пространства можно заполнить с помощью интерполяции, однако эта процедура приводит к неконструктивным формулировкам и может не покрыть всю шкалу. Именно такая ситуация возникает при вышеупомянутой оценке решений уравнения Пуассона в пространствах Орлича. В связи с этим автором в работе [113] был предложен конструктивный метод экстраполяции линейных операторов из Ьр в пространства Орлича, основанный на применении интегральных преобразований. В [113] был рассмотрен весьма частный случай, и его распространение на общую ситуацию проведено в Главе 3 диссертации. Дополнительные штрихи к обзору по этому вопросу и точная постановка экстраполяционных задач приведены в начале Главы 3 и в п. 3.5.

0.8 Краткий обзор содержания диссертации

Фактически мы уже сделали обзор содержания значительной части диссертации, но для полноты и ясности приведем теперь полный обзор9. Для удобства в начале каждой главы ее содержание комментируется дополнительно. Также резюме диссертации приведено в Заключении, где результаты сгруппированы по их типу, а не месту в тексте.

Диссертация (помимо настоящего Введения) состоит из 7 глав, 2 приложений, Заключения и списка цитированной литературы. Главы разбиты на пункты и (некоторые пункты) на подпункты. Нумерация формул и утверждений (а также определений, замечаний и т. п.) сквозная по всему тексту и тройная (за исключением Введения и Приложения А): вида ]М.т.к, где N — номер главы, т — номер пункта, а к — номер формулы (утверждения, и пр.) в пункте. При этом утверждения, определения и т. п.

93десь он приводится по главам. В Заключении приводится сжатый обзор результатов, сгруппированных «по темам», вместе с перечнем открытых проблем. объекты находятся под единой нумерацией, т. е., например, за Утверждением ]Ч.т.к следует Определение ]Ч.т.(к+1), и т. п. В Приложении А нумерация формул и утверждений двойная и начинается с буквы А, остальные черты такие же, как и в главах.

В Главе 1 содержатся некоторые вспомогательные сведения из теории функций, функционального анализа и дифференциальных уравнений. Большинство из них являются известными фактами и приводятся для удобства. Автору принадлежит описание негативных пространств Соболева— Орлича, приведенное в п. 1.2. Здесь нерефлексивность пространств Орлича и другие особенности приводят к новым по сравнению с пространствами Соболева тонким моментам; стандартные определения негативных пространств становятся здесь неэквивалентными и приводят к различным пространствам.

В Главе 2 исследуется уравнение неразрывности (0.1) и сопряженное к нему уравнение переноса, а также их модификации при наличии нелинейности в младших членах. Целью исследования является указание точных классов корректности, т. е.:

1. таких условий на коэффициенты уравнения, при которых обеспечена однозначная разрешимость начально-краевых задач (это делается на модельном примере периодической задачи Коши), причем таких, чтобы при их нарушении свойство однозначной разрешимости также нарушалось;

2. классов для решений, в которых удается показать существование и единственность, и вне которых это явление не имеет места.

Точные формулировки результатов приводятся в соответствующих теоремах Главы 2. Оказывается, что классами, в которых следует как задавать условия на коэффициенты, так и искать решения, являются пространства Орлича. Найден класс К для функций Юнга (Г\т-функций) М таких, что10 условие сНу11 £ Км (при наличии некоторых других менее существенных условий) сМб!С является требуемым неулучшаемым условием корректности задачи. Более того, в терминах этого же класса К формулируются

103десь Км означает класс Орлича, точное его определение приведено в Главе 1. критерии для неравенства типа Гронуолла (Осгуда) г о п

0.9) и даже более общего его аналога, здесь требуется дать оценку на ф, доказав что ф = 0) и для единственности траекторий (т. е. характеристик уравнения (0.1)). Эти результаты изложены в пп. 2.1-2.6. В пп. 2.7-2.11 проведено обобщение некоторых из результатов пп. 2.3-2.6 на случай слабо нелинейного уравнения переноса. В начале Главы 2 приведен обзор по проблемам, рассматриваемым в ней. Полученные в Главе 2 результаты далее применяются в Главах 4-6.

Глава 3 посвящена построению метода экстраполяции функций и линейных операторов из ЬР в пространства Орлича, лежащие за пределами этой шкалы, на основе интегральных представлений и преобразований 14-функций. В связи с тем, что для простейших случаев этот метод был уже предложен в работе автора [113], одной из основных задач Главы является доказательство возможности применения соответствующих интегральных представлений и преобразований в общем случае. Решению этой задачи посвящены пп. 3.1-3.4, итог которых подведен в Теореме 3.12.1. В пп. 3.5-3.12 приведено полное описание пространств вида (0.8) и их связи с пространствами Орлича и другими симметричными пространствами. Результаты Главы 3 представляют интерес и с точки зрения теории функций и функционального анализа, но нам они важны прежде всего в связи с их применением в Главах 4,5 и Приложении А.

Глава 4 содержит один из основных результатов диссертации (хотя носит еще во многом модельный характер): Теорему 4.3.6 о существовании глобального решения первой начально-краевой задачи для системы (0.1), (0.2), (0.5) в случае модели Бюргерса, т. е. Р = Р(О), где Р(Р) есть полином вида (0.6) достаточно общего вида, но не зависящий от р. В п. 4.1 строятся априорные оценки решений задачи, при этом существенно используются результаты Глав 2,3. В п. 4.2 строятся приближенные решения задачи. В п. 4.3 осуществляется предельный переход в приближенных решениях, при этом ключевую роль играет Теорема 4.3.5 о том, что всякое решение рассматриваемого класса удовлетворяет закону сохранения энергии, т. е. на нем имеет место энергетическое равенство. В случае слабых обобщенных решений, рассматриваемых в Главах 4-6, доказательство такого равенства является весьма нетривиальным фактом. Для ньютоновской жидкости, когда эта проблема несколько проще, это равенство было доказано в [306], [165], [140], [234], [238]. В случае сжимаемой неньютоновской жидкости результат результат Главы 4 (и аналогично — Глав 5,6) о построении слабых решений с энергетическим равенством является новым. В п. 4.4 приведены замечания о возможностях (или препятствиях) обобщения результатов Главы 4, а также доказано выполнение закона сохранения массы для решений рассматриваемого класса.

Глава 5 посвящена доказательству другого результата диссертации, входящего в число центральных: Теоремы 5.2.5, во многом аналогичной Теореме 4.3.6, но для случая модели с давлением, т. е. в случае, когда в (0.5) присутствует слагаемое р = р. Несмотря на сходство постановок, доказательство результата Главы 5 приходится проводить заново и совершенно другими методами. Так, в этом случае требуются оценки производных по времени как от плотности, так и для импульса для приближенных решений, в связи с чем приближенные решения строятся дискретизацией по времени, что, в свою очередь, означает необходимость обоснования корректности специальных (релаксированных) стационарных задач. Такое обоснование проводится в п. 5.1. В п. 5.2 доказывается упомянутая теорема существования для нестационарной задачи. Также доказывается, что построенное решение удовлетворяет энергетическому равенству. Кроме того, следует отметить, что в Главе 5 рассмотрен более общий вид связи (0.5) — допускаются достаточно абстрактные формы, среди которых полиномиальные являются лишь частным случаем.

В Главе 6 доказывается аналогичный результат для модели Бингама, т. е. для упомянутого в п. 0.3 случая, когда в (0.5) допускается многозначность тензора Р, имеющая вышеописанный прикладной смысл. Предлагается доказательство теоремы существования (Теорема 6.3.2) с помощью специальной регуляризации и сведения к задаче, рассмотренной в Главе 5. Регуляризация состоит в приближении бингамовской среды с помощью стоксовой, как это делается в теоретических исследованиях (см. например [383], [185]) и при численных расчетах (см. например [407]). Основная трудность заключается в обосновании предельного перехода по параметру регуляризации. В начале Главы 6 приведена предварительная постановка проблемы. В п. 6.1 приводится постановка основной «Задачи А» и намечаются пути ее решения, при этом задача ставится в достаточно общем виде (с «несферическими» определяющими уравнениями). В п. 6.2 обосновываются приведенные в п. 6.1 утверждения: о возможности построения специальной аппроксимирующей последовательности стоксовых тензоров (т. е. вспомогательных задач типа рассмотренных в Главе 5) и о существовании нетривиальных классов «несферических» тензоров Р рассматриваемого типа. В п. 6.3 доказывается основная Теорема 6.3.2 посредством предельного перехода от приближенной «Задачи Ае» к «Задаче А».

Глава 7 посвящена вопросу о том, как повысить гладкость решений, построенных в Главах 4-6, и вообще, как построить развернутую систему априорных оценок для системы (0.1), (0.2), (0.5). В определенном смысле это является обобщением метода априорных оценок решений уравнений (0.1), (0.7), развитого в [39], на случай неньютоновских жидкостей и любых п ^ 2; и, с другой стороны, обобщением теории, развитой в [317] (и других работах по регулярности решений неньютоновской несжимаемой модели, упомянутых в п. 0.5), на случай сжимаемых жидкостей. Таким образом, новизна результатов Главы 7 состоит в одновременном учете сжимаемости, многомерности и неньютоновости. В п. 7.1 предлагается общий метод построения энергетических тождеств для системы (0.1), (0.2), (0.5); при этом, в частности, принципиальную роль играет исключение производных от плотности из энергетических тождеств все большего порядка, поскольку оценка этих производных представляет главную трудность и проводится в последнюю очередь. Также оказывается, что ключевую роль играет проблема оценок решений нелинейной эллиптической системы divP(u) = F. (0.10)

В п. 7.2 предлагаются априорные оценки для (0.10). В п. 7.3 показано на примере модельной задачи, аналогичной Главе 4, какие дальнейшие оценки решений можно получить с помощью методов, развитых в пп. 7.1, 7.2. В частности, это означает глобальное существование сильных обобщенных решений указанной модельной задачи. В п. 7.4 приводятся соображения о дальнейшем развитии методов Главы 7 и открытых проблемах в этой области.

Приложение А содержит результат, не входящий в число первостепенных в диссертации, он приводится лишь как интересная, по мнению автора, иллюстрация того, как экстраполяционные методы, разработанные в Главе 3, могут работать в других областях, помимо уравнений (0.1), (0.2), (0.5). А именно, рассмотрена классическая проблема глобального существования и единственности для уравнений Эйлера, описывающих движения идеальных несжимаемых жидкостей. Несмотря на классические результаты В.Волибнера [428], Т.Като [279], В.И.Юдовича [170], [171], в дальнейшем усовершенствованные в работе В.И.Юдовича [431] (более развернутый обзор приведен в начале Приложения А), проблема оптимальных классов корректности для уравнений Эйлера остается открытой. В Приложении А рассматривается начально-краевая задача для этих уравнений в ограниченной области с однородным краевым условием непротекания. Центральный результат Приложения А — Теорема А. 11 о единственности обобщенного решения задачи в классе с неограниченным вихрем из пространства Орлича специального класса. В отличие от [431], здесь результат формулируется в виде одного условия, а не целой шкалы. Результат получается применением методов Глав 2,3. Впрочем, также методами Главы 3 показывается, что полученный результат эквивалентен таковому из [431], но по мнению автора это не лишает результат смысла, т. к. указанная эквивалентность обнаруживается лишь апостериори, а формулировка, полученная в Теореме А. 11, намного проще для применения на практике.

Заключение содержит краткое резюме основных результатов, полученных в диссертации, и перечень некоторых нерешенных проблем.

Приложение В содержит список некоторых употребляемых в диссертации обозначений и терминов, собранный воедино для удобства читателя.

0.9 Публикации и соавторство

Все результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах автора [115], [114], [116], [117], [119], [322], [123], [79], [86], [285], [120], [121], [122], [125], [118], [323], [124] (причем последняя работа в значительной степени суммирует все исследование, изложенное в диссертации).

При этом часть Главы 2 (пп. 2.1-2.6) написана по материалам работ автора [79], [285], совместных с А.В.Кажиховым. Вклад авторов в эти работы трудно разделить, и чтобы сделать изложение замкнутым, эти результаты целиком вошли в диссертацию. Отметим лишь, что среди пп. 2.1-2.6 автору принадлежат, в частности, результаты пп. 2.1, 2.2, 2.5, 2.6, т. е. формулировка класса /С, доказательство его оптимальности и его роли в исследовании неравенства (0.9) и траекторий. Результаты пп. 2.3 и 2.4 получены совместно, они являются окончательной реализацией, в данном случае, идей, заложенных еще в таких работах как [219], [286].

Аналогичные комментарии следует сделать об оставшейся части Главы 2 (т. е. пп. 2.7-2.11), написанной на основе работы [86], совместной с О.И.Королевым. Автору здесь принадлежат, в частности, результаты пп. 2.7, 2.8 и 2.10, т. е. формулировка классов корректности.

Приложение А написано по материалам работы [125], совместной с М.И.Уваровской. В диссертацию вошли только те результаты этой статьи, которые принадлежат автору.

1. Алексеев Г. В. О разрешимости неоднородной краевой задачи для дву-мерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости. Динамика жидкости со своб. границами (Динамика сплошной среды, вып. 24). Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, 1976, С. 15-35.

2. Амосов A.A. Корректность «в целом» начально-краевых задач длясистемы уравнений динамики вязкого излучающего газа. Докл. АН СССР. 1985. Т. 280. N 6. С. 1326-1329.

3. Амосов A.A. Уравнения одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосреднение. Дисс. докт. физ-мат. наук. М., МЭИ(ТУ), 1997, 307 с.

4. Амосов A.A., Злотник A.A. Обобщенные решения «в целом» уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Доклады АН СССР, 1988, Т. 301, N 1, С. 11-15.

5. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость «в целом» системы уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа. Мат. заметки. 1992. Т. 52. Вып. 2. С. 3-16.

6. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость «в целом» одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа с негладкими данными. Дифф. уравнения, 1994, Т. 30, N 4, С. 596-609.

7. Амосов A.A., Злотник A.A. Единственность и устойчивость обобщенных решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа. Мат. заметки. 1994. Т. 55. N 6. С. 13-31.

8. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость «в целом» квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с негладкими данными. Вестник МЭИ. 1994. N 4. С. 7-24.

9. Амосов A.A., Злотник A.A. Единственность и устойчивость обобщенных решений квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды. Дифф. уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1123-1131.

10. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с быстроос-циллирующими свойствами. Доклады РАН. 1995. Т. 342. N 3. С. 295299.

11. Амосов A.A., Злотник A.A. О квазиосредненных уравнениях одномерного движения вязкой баротропной среды с быстроосциллирую-щими данными. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36, N 2. С. 87-110.

12. Амосов A.A., Злотник A.A. Оценка погрешности квазиосреднения уравнений движения вязкой баротропной среды с быстро осциллирующими данными. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. N 10. С. 111-128.

13. Амосов A.A., Злотник A.A. Свойства «в целом» квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Доклады РАН. 1996. Т. 346. N 2. С. 151-154.

14. Амосов A.A., Злотник A.A. О свойствах обобщенных решений одномерных линейных параболических задач с негладкими коэффициентами. Дифф. уравнения. 1997. Т. 33. N 1. С. 83-95.

15. Амосов A.A., Злотник A.A. Полудискретный метод решения уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа с негладкими данными. Изв. ВУЗов. Математика. 1997. N 4. С. 3-19.

16. Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосреднения уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быст-роосциллирующими свойствами. Доклады РАН. 1997. Т. 354. N 4. С. 439-442.

17. Амосов A.A., Казенкин К.О. Разрешимость «в целом» одномерной задачи о заполнении объема вязким баротропным газом с негладкими данными. Вестник МЭИ. 1995. N 6. С. 5-21.

18. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск, Наука, Сиб. отд., 1983, 320 С.

19. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М., Мир, 1978, 312 С.

20. Асташкин C.B. Новые экстраполяционные соотношения в шкале ./^-пространств. Функ. анализ и его прил. 2003. Т. 37. N 3. С. 73-77.

21. Асташкин C.B. Об экстраполяционных свойствах шкалы Lp-пространств. Матем. сборник. 2003. Т. 194. N 6. С. 23-42.

22. Асташкин C.B. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным методом интерполяции. Сиб. мат. журн.2005. Т. 46. N 2. С. 264-289.

23. Асташкин C.B., Лыков К.В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича, «близких» к Ь^. Сиб. мат. журн.2006. Т. 47, N 5. С. 974-992.

24. Бардос К., Тити Э.С. Уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости. Успехи мат. наук, 2007, Т. 62, вып. 3(375), С. 5-46.

25. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М., Наука, 1969, 344 С.

26. Белов С.Я. Разрешимость «в целом» задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1981. Вып. 50. С. 3-14

27. Белов С. Я. О задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 56. С. 22-43.

28. Белов С. Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом. Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1983. Вып. 59. С. 2338.

29. Белов С. Я. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа. Динамика сплошной среды, 1983, вып. 60, С. 34-50.

30. Берг И., Лефстрем И. Интерполяционные пространства. Введение. М., Мир, 1980, 264 С.

31. Бережной Е.И., Перфильев A.A. Точная теорема экстраполяции для операторов. Функц. анализ его его прил., 2000, Т. 34, вып. 3, С. 66-68.

32. Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1990. Вып. 97. С. 3-21.

33. Вайгант В.А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. Задачи мех-ки сплош. среды со своб. границами. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1991. С. 31-52 (Дин. сплош. среды; Вып. 101).

34. Вайгант В.А. О задаче Коши для системы уравнений вязкого газа. Динамика сплошной среды, 1992, вып. 102, С. 3-10.

35. Вайгант В.А. Пример несуществования «в целом» по времени решений уравнений Навье—Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости. Доклады РАН, 1994, Т. 339, N 2, С. 155-156.

36. Вайгант В.А. Проблема существования глобальных решений уравнений Навье—Стокса сжимаемых сплошных сред. Дисс. докт. физмат. наук. Барнаул, Алт. ГУ, 1998, 234 с.

37. Вайгант В.А., Кажихов A.B. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Дифф. уравнения, 1994. Т. 30, N 6, С. 1010-1022.

38. Вайгант В. А., Кажихов A.B. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье—Стокса сжимаемой вязкой жидкости. Сиб. мат. журнал, 1995, Т. 36, N 6, С. 1283-1316.

39. Вайгант В.А., Кажихов A.B. Разрешимость «в целом» начально-краевой задачи для уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Доклады РАН, 1995, Т. 340, N 4, С. 460-462.

40. Вайгант В.А., Кажихов A.B. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье—Стокса сжимаемой вязкой жидкости. Доклады РАН, 1997, Т. 357, N 4, С. 445-448.

41. Вайгант В.А., Папин A.A. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропоного газа с вязкостью, зависящей от плотности. Динамика сплошной среды, 1987, вып. 79, С. 3-9.

42. Введенская Н.Д., Волевич Л.Р. Движение идеальной жидкости с изолированными вихрями. Успехи мат. наук, 1983, Т. 38, N 5. С. 159-160.

43. Введенская Н.Д., Волевич Л.Р. Движение идеальной жидкости с локализованной завихренностью на поверхности вращающейся сферы. М., 1984, Препринт N 68 ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР.

44. Вишик М.И. О разрешимости первой краевой задачи для квазилинейных уравнений с быстро растущими коэффициентами в классах Орлича. Доклады АН СССР, 1963, Т. 151, N 4, С. 758-761.

45. Волъперт А.И., Худяев С.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Мат. Сб., 1972, Т. 87, N 4, С. 504-528.

46. Гатапов Б.В., Кажихов A.B. Существование глобального решения одной модельной задачи динамики атмосферы. Сиб. мат. журн., 2005. Т. 46. N 5. С. 1011-1020.

47. Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического равновесия. Изв. АН СССР, ОТН, 1937, N 2.

48. Злотник A.A. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной баротропной смеси. Мат. заметки. 1995. Т. 58. N 2. С. 307-312.

49. Злотник A.A., Амосов A.A. Обобщенные решения «в целом» уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Докл. АН СССР. 1988. Т. 299. N 6. С. 1303-1307.

50. Злотник A.A., Амосов A.A. Об устойчивости обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. N 4. С. 767-789.

51. Злотник A.A., Нгуен Жа Бао. Свойства и асимптотическое поведение решений одной задачи одномерного движения вязкого баротропного газа. Мат. заметки. 1994. Т. 55. N 5. С. 51-68.

52. Злотник A.A., Нгуен Жа Бао. К поведению при t оо решений одной квазилинейной нестационарной задачи со свободными границами. Дифф. уравнения. 1994. Т. 30, N 6. С. 1080-1082.

53. Ильюшин A.A. Деформация вязко-пластического тела. Уч. зап. МГУ, Механика, 1940, вып. 39.

54. Искауриаза Л., Серегин Г.А., Шверак В. Ьз;00-решения уравнений Навье—Стокса и обратная единственность. Успехи мат. наук, 2003, Т. 58, вып. 2(350), С. 3-44.

55. Кажихов A.B. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений движения неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. Доклады АН СССР, 1974, Т. 216, N 5, С. 1008-1010.

56. Кажихов A.B.K теории краевых задач для уравнений неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Тр. V Всесоюзного семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Ч. II. Новосибирск, изд. ВЦ СО АН СССР, 1975, С. 65-76.

57. Кажихов A.B. Корректность «в целом» смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа. Динамика сплошной среды, 1975, вып. 21, С. 18-47.

58. Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 24. С. 45-61.

59. Кажихов A.B. О краевых задачах для уравнений Бюргереа сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 26. С. 60-76.

60. Кажихов A.B. Некоторые вопросы теории уравнений Навье—Стокса сжимаемой жидкости. Динамика сплошной среды, 1979, вып. 38, С. 33-47.

61. Кажихов A.B. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости. Дифф. уравнения,1979, Т. 15, N 4, С. 662-667.

62. Кажихов A.B. Корректность нестационарной задачи о протекании идеальной жидкости через заданную область. Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики.1980. Вып. 47. С. 37-56.

63. Кажихов A.B. О задаче Коши для уравнений вязкого газа. Сиб. мат. журн., 1982. Т. 23. N 1. С. 60-64.

64. Кажихов A.B. Уравнения потенциальных течений вязкой сжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса: существование, единственность и стабилизация решений. Сиб. мат. журн., 1993. Т. 34, N 3, С. 70-80.

65. Кажихов A.B., Мамонтов А.Е. Об одном классе выпуклых функций и точных классах корректности задачи Коши для уравнения переноса в пространствах Орлича. Сиб. мат. журн., 1998, Т. 39, N 4, С. 831-850.

66. Кажихов A.B., Николаев В.Б. К теории уравнений Навье—Стокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния. Докл. АН СССР. 1979. Т. 246. N 5. С. 1045-1047.

67. Кажихов A.B., Николаев В.Б. О корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1979. Т. 10. N 2. С. 77-84.

68. Кажихов A.B., Шелухин B.B. Однозначная разрешимость «в целом» по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа. Прикл. мат. и мех., 1977, Т. 41, N 2, С. 282-291.

69. Капель Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа. Дифф. уравнения. 1968. Т. 4. N 4. С. 721-734.

70. Киселев A.A., Ладыженская O.A. О существовании и единственности решения для нестационарной задачи вязкой несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, сер. матем., 1957, Т. 21, N 5, С. 665-680.

71. Климов Д.М., Петров А.Г., Георгиевский Д.В. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание. М., Наука, 2005, 400 С.

72. Королев О.И., Мамонтов А.Е. О классах корректности задачи Ко-ши для слабонелинейного уравнения переноса. Вестник НГУ, серия «математика, механика, информатика», 2003, Т. III, вып. 2, С. 46-61.

73. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. К теории пространств Орли-ча. Доклады АН СССР, 1951, Т. 81, N 4.

74. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М., Физматгиз, 1958, 272 С.

75. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М., Наука, 1978, 400 С.

76. Ладыженская O.A. Решение «в целом» краевой задачи для уравнений Навье—Стокса в случае двух пространственных переменных. Доклады АН СССР, 1958, Т. 123, N 3, С. 427-429.

77. Ладыженская O.A. О единственности и гладкости обобщенных решений уравнений Навье—Стокса. Зап. науч. сем. ЛОМИ, 1967, Т. 5, С. 169-185.

78. Ладыженская O.A. Новые уравнения для описания движения вязких несжимаемых жидкостей и глобальная разрешимость краевых задач для них. Труды МИАН СССР, 1967, Т. 102, С. 85-104.

79. Ладыженская O.A. О некоторых нелинейных задачах теории сплошных сред. Труды межд. конгр. математиков (Москва, 1966). М., Мир, 1968. С. 560-573.

80. Ладыженская O.A. О модификациях уравнений Навье—Стокса для больших градиентов скоростей. Зап. науч. сем. ЛОМИ, 1968, вып. 7, С. 126-154.

81. Ладыженская O.A. Об однозначной разрешимости «в целом» трехмерной задачи Коши для уравнений Навье—Стокса при наличии осевой симметрии. Зап. науч. сем. ЛОМИ, 1968, вып. 7, С. 155-177.

82. Ладыженская O.A. Пример неединственности в классе слабых решений Хопфа для уравнений Навье—Стокса. Изв. АН СССР, сер. матем., 1969, Т. 33, N 1, С. 240-247.

83. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., Наука, 1970, 288 С.

84. Ладыженская O.A. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье—Стокса, существование и гладкость. Успехи мат. наук, 2003, Т. 58, вып. 2(350), С. 45-78.

85. Ладыженская O.A., Серегин Г.А. О гладкости решений систем, описывающих потоки обобщенных ньютоновских жидкостей, и оценке размерностей их аттракторов. Доклады РАН, 1997, Т. 354, N 5, С. 590-592.

86. Ладыженская O.A., Серегин Г.А. О гладкости решений систем, описывающих течения обобщенных ньютоновских жидкостей, и об оценке размерностей их аттракторов. Изв. РАН. Сер. матем., 1998, Т. 62, N 1, С. 59-122.

87. Ладыженская O.A., Серегин Г.А. О регулярности решений двумерных уравнений динамики жидкостей с нелинейной вязкостью. Зап. науч. сем. ПОМИ, 1999, Т. 259, С. 145-166.

88. Ладыженская O.A., Солонников В.А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей. Зап. науч. сем. ЛОМИ, 1975, Т. 52, С. 52-109.

89. Ладыженская О.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1964, 540 С.

90. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., Мир, 1972, 587 С.

91. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М., Наука, 1982, 376 С.

92. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., Наука, 1970, 904 С.

93. Лукомский С. Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к Li. Матем. заметки. 2001. Т. 70, N 6. С. 882-889.

94. Лыков К. В. Экстраполяция в шкале L^-пространств и сходимость ортогональных рядов в пространствах Марцинкевича. Вестник Сам-ГУ. 2006. N 2 (42). С. 28-43.

95. Лыков К. В. Критерий сепарабельности экстраполяционного пространства. Вестник СамГУ. 2006. N 4 (44). С. 5-12.

96. Лыков К. В. О дополняемости подпространств симметричного пространства, порожденных сжатиями и трансляциями. Вестник СамГУ. 2006. N 6/1 (46).

97. Лыков К. В. Симметричные пространства, экстраполяционные относительно Lp-шкалы. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Самара, СамГУ, 2006, 107 с.

98. Мамонтов А.Е. Корректность квазистационарной модели сжимаемой вязкой жидкости. Сиб. мат. журн., 1996, Т. 37, N 5, С. 1117-1131.

99. Мамонтов А.Е. Экстраполяция линейных операторов из Ьр в пространства Орлича, порожденные быстро или медленно растущими N-функциями. Актуальные проблемы современной математики, Т. 2, 1996, С. 95-103, Новосибирск, НГУ.

100. Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений Бюргерса сжимаемой вязкой жидкости. Доклады РАН, 1998, Т. 361, N 2, С. 161-163.

101. Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений Бюргерса сжимаемой вязкой жидкости. Мат. Сб., 1999, Т. 190, N 8, С. 61-80.

102. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье—Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. I. Сиб. мат. журнал, Т. 40, 1999, N 2, С. 408-420.

103. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье—Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. II. Сиб. мат. журнал, Т. 40, 1999, N 3, С. 635-649.

104. Мамонтов А.Е. Оценки глобальной регулярности для многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости. Мат. Заметки, 2000. Т. 68. вып. 3. С. 360-376.

105. Мамонтов А.Е. Интегральные представления и преобразования 14-функций. I. Сиб. мат. журнал, Т. 47, 2006, N 1, С. 123-145.

106. Мамонтов А.Е. Интегральные представления и преобразования ]Ч-функций. II. Сиб. мат. журнал, Т. 47, 2006, N 4, С. 811-830.

107. Мамонтов А.Е. Шкалы пространств Ьр и их связь с пространствами Орлича. Вестник НГУ, серия «математика, механика, информатика», 2006, Т. VI, вып. 2, С. 34-57.

108. Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений сжимаемой жидкости Бингама. Мат. заметки, 2007, Т. 82, вып. 4, С. 560-577.

109. Мамонтов А.Е. Глобальная разрешимость многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, транспортное уравнение и пространства Орлича. Труды Санкт-Петербургского мат. об-ва, 2008, Т. 14.

110. Мамонтов А.Е., Уваровская М.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости: условия существования и единственности решений. Прикл. мех. техн. физ., 2008, Т. 49, N 4(290), С. 130-145.

111. Махалов А. С., Николаенко В.П. Глобальная разрешимость трехмерных уравнений Навье—Стокса с равномерно большой начальной завихренностью. Успехи мат. наук, 2003, Т. 58, вып. 2(350), С. 79-110.

112. Моргулис А.Б. О существовании двумерных нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости, допускающих вихрь, не суммируемый со степенью, большей единицы. Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, N 5. С. 209-212.

113. Мосолов П. П. О некоторых математических вопросах теории несжимаемых вязкопластических сред. Прикл. мат. мех., 1978, Т. 42, вып. 4, С. 737-746.

114. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды. Прикл. мат. мех., 1965, Т. 29, N 3, С. 468-492.

115. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязкопластических сред. М., изд. МГУ, 1971.

116. Мосолов П.П., Мясников В.П. Доказательство неравенства Корна. Доклады АН СССР, 1971, Т. 201, N 1.

117. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М., Наука, 1981, 208 С.

118. Николаев В. Б. О разрешимости смешанной задачи для уравнений одномерного осесимметрического движения вязкого газа. Динамика сплошной среды. Новосибирск. Вып. 44. 1980. С. 83-92.

119. Николаев В. Б. Краевая задача для уравнений одномерного баро-тропного движения вязкого газа с немонотонной функцией состояния. Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1983. Вып. 59. С. 130139.

120. Николаев В. Б. Глобальная разрешимость уравнений движения вязкого газа с осевой и сферической симметрией. Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1983. Вып. 63. С. 136-141.

121. Николаев В.Б. Глобальная разрешимость обобщенной системы уравнений Бюргерса в осесимметричном случае. Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1984. Вып. 64. С. 76-81.

122. Новотны А., Надула М. Существование и единственность стационарных решений уравнений сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости при больших потенциальных и малых непотенциальных внешних силах. Сиб. мат. журн., 1993, Т. 34, N 5. С. 120-146.

123. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М., Мир, 1988, 512 С.

124. Плотников П.И., Соколовски Я. Стационарные краевые задачи для уравнений Навье—Стокса с показателем адиабаты 7 < 3/2. Доклады РАН, 2004, Т. 397, N 2, С. 166-169.

125. Плотников П.П., Соколовски Ж. Стационарные решения уравнений Навье—Стокса для двухатомных газов. Успехи мат. наук, 2007, Т. 62, вып. 3(375), С. 117-148.

126. Похожаев С.И. О теореме вложения С.Л.Соболева в случае pl = п. Докл. науч.-техн. конф., секция матем. М., МЭИ, 1965, С. 158-170.

127. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М., Изд. иностр. лит., 1963, 312 С.

128. Раджагопал K.P. О некоторых нерешенных проблемах нелинейной динамики жидкостей. Успехи мат. наук, 2003, Т. 58, вып. 2(350). С. 111-122.

129. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., Мир, 1973, 470 С.

130. Рутицкий Я.Б. О некоторых классах измеримых функций. Успехи мат. наук, 1965, Т. 20, N 4, С. 205-208.

131. Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1. М., Наука, 1970, 492 С.

132. Серегин Г.А. О дифференцируемости локальных экстремалей вариационных задач механики жестко-вязкопластических сред. Изв. ВУЗ, математика, 1987, N 10(305), С. 23-30.

133. Серегин Г. А. Об аттракторах для уравнений, описывающих течение обобщенных ньютоновских жидкостей. Зап. науч. сем. ПОМИ, 1997, Т. 249, С. 256-293.

134. Серегин Г.А. Течение двумерной обобщенной ньютоновской жидкости. Алгебра и анализ, 1997, Т. 9, вып. 1, С. 167-200.

135. Серегин Г.А. Дифференциальные свойства слабых решений уравнений Навье—Стокса. Алгебра и анализ, 2002, Т. 14, N 1, С. 194-237.

136. Серегин Г.А. Новая версия условия Ладыженской—Проди— Серрина. Алгебра и анализ, 2006, Т. 18, N 1, С. 124-143.

137. Серегин Г.А. О локальной регулярности подходящих слабых решений уравнений Навье—Стокса. Успехи мат. наук, 2007, Т. 62, вып. 3(175), С. 149-168.

138. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М., Изд. иностр. лит., 1963, 256 С.

139. Симоненко И.Б. Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича. Мат. Сб., 1964, Т. 63 (105), вып. 4, С. 536-553.

140. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М., Наука, 1990, 448 С.

141. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навье—Стокса. Тр. МИАН СССР, 70 (1964), С. 213-317.

142. Солонников В. А. Об оценках решений нестационарной задачи Сток-са в анизотропных пространствах С.Л.Соболева и об оценках резольвенты оператора Стокса. Успехи мат. наук, 2003, Т. 58, вып. 2(350), С. 123-156.

143. Старовойтов В.Н. Представление решения в задаче о движении точечного вихря в идеальной жидкости. Сиб. мат. журн., 1994, Т. 35, N 2, С. 446-458.

144. Старовойтов В.Н. Единственность решения задачи о движении точечного вихря. Сиб. мат. журн., 1994, Т. 35, N 3, С. 696-701.

145. Старовойтов В.Н. Нерегулярные задачи нидродинамики. Дисс. докт. физ-мат. наук. Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, 2000, 224 С.

146. Съярле Ф. Математическая теория упругости. М., Мир, 1992, 472 С.

147. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М., Мир. 1975, 592 С.

148. Уховский М.Р., Юдович В. И. Асимметричные течения идеальной и вязкой жидкости, заполняющей все пространство. Прикл. мат. мех., 1968, Т. 32, С. 59-69.

149. Файрайзл Э. Асимптотический анализ полной системы Навье— Стокса—Фурье: от течений сжимаемой к течениям несжимаемой жидкости. Успехи мат. наук, 2007, Т. 62, вып. 3(375), С. 169-192.

150. Шелухин В. В. Периодические течения вязкого газа. Динамика сплошной среды, 1979, вып. 42, С. 80-102.

151. Шелухин В. В. О структуре обобщенных решений одномерных уравнений политропного вязкого газа. Прикл. мат. мех., 1984, Т. 48, вып. 6, С. 912-920.

152. Шелухин В. В. Об одном классе сдвиговых течений вязкой сжимаемой жидкости. Прикл. мех. техн. физ. 1996. Т. 37. N 4. С. 50-56.

153. Юдович В.И. О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и решениями эллиптических уравнений. Доклады АН СССР, Т. 138, 1961, N 4, С. 805-808.

154. Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости. Журн. выч. мат. и мат. физ. 1963. Т. 3, N 6. С. 1032-1066.

155. Юдович В. И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область. Мат. Сб., Т. 64 (106), 1964, N 4, С. 562-588.

156. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Изд. Рост, ун-та, 1984, 192 С.

157. Adams R.A. On the Orlicz—Sobolev imbedding theorem. J. Func. Anal., 1977, V. 24, P. 241-257.

158. Ambrosio L. Transport equation and Cauchy problem for BV vector fields. Invent. Math., 2004, V. 158, P. 227-260.

159. Ambrosio LCrippa G. Existence, uniqueness, stability and differentiability properties of the flow associated to weakly differentiable vector fields. Proceedings of the school "Multi-D hyperbolic conservation laws" in Bologna, January 17-20 2005.

160. Ambrosio L., DeLellis C. Existence of solutions for a class of hyperbolic systems of conservation laws in several space dimensions. Int. Math. Res. Not., 2003, V. 41, P. 2205-2220.

161. Ambrosio L., Lecumberry M., Maniglia S. Lipschitz regularity and approximate differentiability of the DiPerna—Lions flow. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 2005, V. 114, P. 29-50.

162. Ambrosio L., Maly J. Very weak notions of differentiability. Preprint available at http://cvgmt.sns.it/papers/ambmal05/.

163. Amosov A.A., Bocharova O.V., Zlotnik A.A. On the asymptotic formation of vacuum zones in the one-dimensional motion of a viscous barotropic gas by the action of a large mass force. Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 1995. V. 10. N 6. P. 463-480.

164. Amosov A.A., Zlotnik A.A. Semidiscrete method for solving quasiaveraged equations of the one-dimensional motion of a viscous heat-conducting gas. Russ. J. Numer. Math. Math. Model. 1997. V. 12. N 3. P. 171-197.

165. Aubin J.P. Une théorème de compacité. C. R. Acad. Se. 1963. V. 256. P. 5042-5044.

166. Azouz /., Shirazi S.A., Pilehvari A., Azar J.J. Numerical simulation of laminar flows of yield-power-law fluids in conduits of arbitrary cross-section. J. Fluids Eng., 1993, V. 115, P. 710-716.

167. Ball J.M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity. Arch. Rat. Mech. Anal., 1977, V. 63, P. 337-403.

168. Basov I. V., Shelukhin V. V. Generalized solutions to the equations of compressible Bingham flows. Z. Angew. Math. Mech., V. 79, 1999, N 3, P. 185-192.

169. Basov I. V., Shelukhin V. V. Nonhomogeneous incompressible Bingham viscoplastic as a limit of nonlinear fluids. J. Non-Newtonian Fluid Mech., 2007, V. 142, Issues 1-3, P. 95-103.

170. Beale J. T., Kato T., Majda A. Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-d Euler equations. Comm. Math. Phys., 1984, V. 94, P. 61-66.

171. Beirao da Veiga H. On the suitable weak solutions to the Navier—Stokes equations in the whole space. J. Math. Pures et appl., 64, 1985, P. 77-86.

172. Beirao da Veiga H. Stationary motions and the incompressible limit for compressible viscous limit. Houston J. Math., 1987, V. 13, N 14, P. 527544.

173. Beirao da Veiga H. An ZAtheory for n-dimensional stationary compressible Navier—Stokes equations, and the incompressible limit for compressible fluids. The equilibrium solutions. Comm. Math. Phys., 1987, V. 109, P. 229-248.

174. Beirao da Veiga H. Existence results in Sobolev spaces for a transport equation. Ricerche Mat., 1987, V. 36, suppl., P. 173-184.

175. Beirao da Veiga H. On the construction of suitable weak solution to the Navier—Stokes equations via a general approximation theorem. J. Math. Pures et, Appl., 1995, V. 64, P. 321-334.

176. Bellout H., Bloom F., Necas J. Young measure-valued solutions for non-Newtonian incompressible fluids. Comm. in PDE, 1994, V. 19, N 11-12, P. 1763-1803.

177. Belov S. Ya. On the initial boundary value problems for barotropic motions of a viscous gas in a region with permeable boundaries. J. Math. Kyoto Univ. 1994. V. 34. N 2. P. 369-389.

178. Bernardi C., Pironneau 0. On the shallow water equation at low Reynolds number. Comm. PDE, 1991, V. 16, N 1, P. 59-104.

179. Bingham E.C. Fluidity and Plasticity. New York, McGrew—Hill Book Co., 1922.

180. Bohm M. On a nonhomogeneous Bingham fluid. J. Diff. Eq., 1985, V. 60, N 2, P. 259-284.

181. Bouchut F. Renormalized solutions to the Vlasov equation with coefficients of bounded variation. Arch. Rat. Mech. Anal., 2001, V. 157, P. 75-90.

182. Caffarelli L., Kohn R.V., Nirenberg L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier—Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math., 1982, V. 35, N 6, P. 771-831.

183. Capone C., Fiorenza A., Krbec M. On extrapolation blowups in the Lp-scale. J. of Ineq. And Applicat. 2006.

184. Carter R.E., Warren R.C. Extrusion stresses, die swell, and viscous heating effects in double-base propellants. J. Rheol., 1987, V. 31, P. 151173.

185. Chemin J.-Y. Fluides parfaits incompressibles, Asterisque, V. 230, 1995.

186. Chorin A. Estimates of intermittency, spectra and blow-up in developed turbulence. Commun. Pure Appl. Math., 1981, V. 34. P. 853-866.

187. Chorin A. The evolution of a turbulent vortex. Comm. Math. Phys., 1982, V. 83. P. 517-535.

188. Cianchi A. Embedding theorems for Sobolev—Orlicz spaces. Universita degli Studi di Firenze, preprint 15, 1994.

189. Cianchi A. Interpolation of operators and the Sobolev embedding theorem in Orlicz spaces. Universita degli Studi di Firenze, Preprint 9, 1995.

190. Coifman R., Meyer Y. On commutators of singular integrals. Trans. AMS, 1975, V. 212, P. 315-331.

191. Colombini F., Lerner N. Uniqueness of continuous solutions for BV vector fields. Duke Math. J., 2002, V. Ill, P. 357-384.

192. Covey G.H., Stanmore B.R. Use of parallel plate plastometer for the characterization of viscous fluids with a yield stress. J. Non-Newtonian Fluid Mech., 1981, V. 8, P. 249-260.

193. DeLellis C. Ordinary differential equations with rough coefficients and the renormalization theorem of Ambrosio (d'après Ambrosio, DiPerna, Lions). Séminaire Bourbaki, Mars 2007, 59ème année, 2006-2007, N 972.

194. Delort J.-M. Existence de nappes de tourbillon en dimension deux. J. AMS, 1991, V. 4, N 3, P. 553-586.

195. Delort J.-M. Existence de nappes de tourbillon sur M2. C. R. Acad. Sci. Paris, 1991, V. 312, N 1, P. 85-88.

196. Delort J.-M. Une remarque sur le problème des nappes de tourbillon axisymetriques sur M3. J. Func. Anal., 1992, V. 108, P. 274-295.

197. DePauw N. Non-unicité du transport pour un champ de vecteurs presque BV. Sémin. EDP, Exp. No. XIX, École Polytech., Palaiseau, 2003.

198. DePauw N. Non unicité des solutions bornées pour un champ de vecteurs BV en dehors d'un hyperplan. C.R. Acad. Sci. Paris, 2003, V. 337, P. 249-252.

199. Desjardins B. A few remarks on ordinary differential equations. Comm. PDE, 1996, V. 21, N 11-12, P. 1667-1703.

200. Desjardins B. Linear transport equations with initial values in Sobolev spaces and application to the Navier—Stokes equations. Diff. and int. eq-s, 1997, V. 10, N 3, P. 577-586.

201. Desjardins B. Regularity of weak solutions of the compressible isentropic Navier-Stokes equations. Comm. PDE, 1997, V. 22, N 5-6, P. 977-1008.

202. DiPerna R.J., Lions P.-L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces. Invent, math., 1989, V. 98, P. 511-547.

203. DiPerna R.J., Lions P.-L. On the Cauchy problem for the Boltzmann equation: global existence and weak stability. Ann. of Math., 1989, V. 130, P. 312-366.

204. DiPerna R.J., Majda A. Concentrations in regularizations for 2-D incompressible flow. Comm. Pure Appl. Math., 1987, V. 40, P. 301-345.

205. DiPerna R.J., Majda A. Reduced Hausdorff dimension and concentration-cancelation for two dimensional incompressible flow. J. AMS, 1988, V. 1, P. 59-95.

206. Donaldson T.K., Trudinger N.S. Orlicz—Sobolev spaces and imbedding theorems. J. Func. Anal., 1971, V. 8, P. 52-75.

207. Dutrifoy A. Existence globale en temps de solutions hélicoidales des équations d'Euler. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math., 1999, V. 329, N 7, P. 653-656.

208. Gérard P. Résultats récents sur les fluides parfaits incompressibles bidi-mensionelles (d'après J.-Y.Chemin et J.-M.Delort). Seminaire Bourbaki, 44ème année (1991-92). N 757. P. 411-444.

209. E W. Propagation of oscilations in the solutions of 1-d compressible fluid equations. Preprint.

210. Edmunds D.E., Krbec M. On decomposition in exponential Orlicz spaces. Math. Nachr., 2000, V. 213, P. 77-88.

211. Evans L.C., Miiller S. Hardy spaces and the two-dimensional Euler equations with nonnegative vorticity. J. AMS, 1994, V. 7, P. 199-219.

212. Farwig R. Stationary solutions of the Navier—Stokes equations for a compressible viscous and heat-conductive fluid. Preprint, Univ. Bonn, 1988.

213. Fefferman C.L. Existence and smoothness of the Navier—Stokes equations. Electronic publication: http://www.claymath.org/millenium.

214. Feireisl E. On the data dependence of solutions to the Navier—Stokes equations of compressible flow. Inst. Math. Czech. Akad., Manuscript, 1998, 27 P.

215. Feireisl E. On compactness of solutions to the compressible isentropic Navier—Stokes equations when the density is not square integrable, Comment. Math. Univ. Carolin., 2001, V. 42, N 1, P. 83-98.

216. Feireisl E. Compressible Navier—Stokes equations with a non-monotone pressure law. Differential Equations, 2002, V. 184, N 1, P. 97-108.

217. Feireisl E. Dynamics of viscous compressible fluids. Oxford Univ. Press, Oxford. 2004 (Oxford Lecture Ser. Math. Appl., 26).

218. Feireisl E. Stability of flows of real monoatomic gases, Comm. Partial Diff. Equations, 2006, V. 31, N 2, P. 325-348.

219. Feireisl E. Asymptotic analysis of the full Navier—Stokes—Fourier system: from compressible to incompressible fluid flows. Math. Inst, of the Acad, of Sci. of the Czech Rep., Manuscript, 2007, 24 P.

220. Feireisl E., Matusu-Necasova S.; Petzeltova H., Straskraba I. On the motion of a viscous compressible fluid driven by a time-periodic external force. Arch. Rat. Mech. Anal. 1999. V. 149, N 1. P. 69-96.

221. Feireisl E., Novotny A. On a simple model of reacting compressible flows arising in astrophysics. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 2005, V. 135, N 6, P. 1169-1194.

222. Feireisl E., Novotny A.H., Petzeltova H. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier—Stokes equations. J. Math. Fluid Mech. 2001. V. 3, N 4. P. 358-392.

223. Fernández-Cara E., Guillén F., Ortega R.R. Some theoretical results for visco-plastic and dilatant fluids with variable density. Nonlinear Anal., Theory, Methods Appl., 1997, V. 28, N 6, P. 1079-1100.

224. Frehse J., Goj S., Steinhauer M. .¿/-estimates for the Navier—Stokes equations for steady compressible flow, Manuscripta Math., 2005, V. 116, N 3, P. 265-275.

225. Fuchs M., Seregin G.A. Regularity results for the quasi-static Bingham variational inequality in dimensions two and three. Math. Z., 1998, V. 227, P. 525-541.

226. Fuchs M., Seregin G.A. Some remarks on non-Newtonian fluids including non-convex perturbations of the Bingham and Powell—Eyring models for viscoplastic fluids. Math. Meth. Models in Appl. Sci., 1998, V. 7, N 3, P. 405-433.

227. Fuchs M., Seregin G. Variational methods for problems from plasticity theory and for generalized Newtonian fluids. Lecture Notes in Mathematics, V. 1749, Springer, 2000, 272 P.

228. Fuchs M., Seregin G.A. A global nonlinear evolution problem for generalized Newtonian fluids: local initial regularity of the strong solution. Computers and Mathematics with applications, 2007, V. 53, P. 509-520.

229. Fujita Yashima H., Benabidallah R. Unicité de la solution de l'équation monodimensionalle on a symmetrie sphérique d'un gas visqueux et calorifère. Rwnd. Cire. Mat. Palermo. Ser. 2. 1993, V. 42. N 2. P. 195-218.

230. Fujita Yashima H., Benabidallah R. Equation a symmétrie sphérique d'un gas visqueux et calorifere avec la surface libre. Annali di Matematica pura ed applicata. 1995. V. CLXVIII. N 4. P. 75-117.

231. Fujita Yashima H., Padula M., Novotny A. Equation monodimensionelle d'un gas visqeux et calorifère avec des conditions initiales moins restrictives. Richerche di Matematica, 1993, V. XLII, N 2, P. 199-248.

232. Galdi G.P. An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier— Stokes Equations, V. I. Springer, 1994.

233. Galdi G.P. An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier— Stokes Equations, V. II. Springer, 1994.

234. Graffi D. II teorema di unicita nella dinamica dei fluidi compressibli. J. Rat. Mech. Anal. 1953. V. 2. P. 99-106.

235. Hempel J.G.R., Morris J.G.R., Trudinger N.S. On the sharpness of a limiting case of the Sobolev imbedding theorem. Bull. Australian Math. Soc., 1970, V. 3, P. 369-373.

236. Hey wood J.G., Padula M. On the uniqueness and existence theory for steady compressible viscous flow in Fundamental directions in mathematical fluids mechanics, Adv. Math. Fluids Mech., Birkhauser, Basel (2000), P. 171-189.

237. Hoff D. Construction of solutions for compressible, isentropic Navier— Stokes equations in one space dimension with nonsmooth initial data. Proc. Royal Soc. Edinburgh, 1986, Sect. A 103, P. 301-315.

238. Hoff D. Global existence for 1-d, compressible, isentropic Navier—Stokes equations with large initial data. Trans. AMS, 1987, V. 303, N 1, P. 169181.

239. Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier—Stokes equations for compressible flow. Arch. Rat. Mech. Anal. 1991, V. 114. P. 15-46.

240. Hoff D. Global well-posedness of the Cauchy problem for nonisentropic gas dynamics with discontinuous initial data. J. Differential Equations. 1992. V. 95. P. 33-74.

241. Hoff D. Spherically symmetric solutions of the Navier—Stokes equations for compressible, isotermal flow with large, discontinuous initial data. Indiana Univ. Math. J. 1992. V. 41. N 4. P. 1225-1302.

242. Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier—Stokes equations for multidimensional heat-conducting flow. Indiana University, 1995. Preprint N 9517.

243. Hoff D. Global solutions of the Navier—Stokes equations for multidimensional compressible flow with discontinuous initial data. J. Diff. Equat. 1995. V. 120. P. 215-254.

244. Hoff D. Strong convergence to global solutions for multidimensional flows of compressible, viscous fluids with polytropic equations of state and discontinuous initial data, Arch. Ration. Mech. Anal., 1995, V. 132, P. 1-14.

245. Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier—Stokes equations for multidimensional flows of heat-conducting fluids, Arch. Ration. Mech. Anal., 1997, V. 139, N 4, P. 303-354.

246. Hoff D. Dynamics of singularity surfaces for compressible viscous flows in two space dimensions, Comm. Pure Appl. Math., 2002, V. 55, N 11, P. 1365-1407.

247. Hoff D., Serre D. The failure of continuous dependence on initial data for the Navier—Stokes equations of compressible flow, SIAM J. Appl. Math., 1991, V. 51, N 4, P. 887-898.

248. Hoff D., Zumbrun K. Multidimensional diffusion waves for the Navier— Stokes equations of compressible flow. Indiana Univ. Math. J., 1995, V. 44, N 2, P. 603-676.

249. Hohenemser K., Prager W. Zeitschrift f. angew. Math. Mech, 1932, V. 12, N 216.

250. Holder E. Uber die unbeschränkte Fortsetzbarkeit einer stetigen ebenen Bewegung in einer unbegrenzten inkompressible Flüssigkeit. Math. Z., 1933. V. 37, P. 727-738.

251. Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen Grundgleichungen. Math. Nachrichten, 4 (1951), P. 213-231.

252. Hoppe R.H.W., Kuzmin M.Y., Litvinov IV.G., Zvyagin V.G. Flow of electrorheological fluid under conditions of slip on the boundary. Abstract and Appl. Anal., 2006, ArticlelD 43560, P. 1-14.

253. Itaya N. The existence and uniqueness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow. Proc. Jap. Acad., 1970, V. 46, N 4, P. 379-382.

254. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation. J. Math. Kyoto Univ. 1974. N 1. P. 129-177.

255. Itaya N. A servey on the generalized Burgers' equation with a pressure model term. J. Math. Kyoto Univ. 1976. V. 16. N 1. P. 223-240.

256. Jawerth В., Milman M. Extrapolation Spaces with applications. Mem. of the Amer. Math. Soc. 1991. V. 89, N 440. 82 P.

257. Jawerth В., Milman M. New Results and Applications of Extrapolation Theory. Interpolation spaces and related topics, Haifa, 1990. Israel Math. Conference Proc., 5. 1992. P. 81-105.

258. Kaniel S. On the initial value problem for an incompressible fluid with nonlinear viscosity. J. Math. Mech., 1970, V. 19, N 8, P. 681-707.

259. Kaplicky P., Mdlek JStard J. C1'"-solutions to a class of nonlinear fluids in two dimensions — stationary Dirichlet problem. Зап. науч. сем. ПОМИ, 1999, Т. 259, С. 89-121.

260. Karadzhov G., Milman М. Extrapolation theory: New results and applications. J. Approx. Theory. 2005. V. 133, N 1. P. 38-99.

261. Kato T. On classical solutions of the two-dimensional non-stationary Euler equations. Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V. 25, N 3. P. 188-200.

262. Kato Y. Variational inequalities of Bingham type in three dimensions. Nagoya Math. J., 1993, V. 129, P. 53-95.

263. Kawashima S., Nishida T. Global solutions to the initial value problems for the equations of one-dimensional motion of viscous polytropic gases. J. Math. Kyoto Univ. 1981. V. 21. P. 825-837.

264. Kawohl В. Global existence of large solutions to initial boundary value problem for a viscous, heat-conducting, one-dimensional real gas. Journal of Differential Equations. 1985. V. 58. P. 76-103.

265. Kazhikhov A.V. Sur la solubilité globale des problèmes monodomensionelles aux valeurs initiales-limites pour les équations d'un gas visqueux et calorifère. C. R. Acad. Sei. Paris. Sér. A. 1977. V. 284. P. 317-320.

266. Kazhikhov A. V. The equations of potential flows of compressible viscous fluid at low Reynolds number. Acta Math. Appl., 1994, V. 37, N 1, P. 7781.

267. Kazhikhov A. V., Shelukhin V. К The verification compactness method. Актуальные проблемы современной математики, Изд-во Новосиб. гос ун-та, 1996, Т. 2, С. 51-60.2871 Kerman R.A. Studia Math., 1983, V. 76, P. 183-195.1.J III

268. Kim J. U. On the initial-boundary value problem for a Bingham fluid in a three dimensional domain. Trans. AMS, 1987, V. 304, P. 751-770.

269. Kobelkov G.M. Existence of a solution "in the large" for the 3D large-scale ocean dynamics equations. C.R. Acad. Sei. Paris, Ser. I Math., 2006, V. 343, Issue 4, P. 283-286.

270. Kobelkov G.M. Existence of a solution "in the large" for ocean dynamics equations. J. Math. Fluid Mech., 2007, V. 9, N 4, P. 588-610.

271. Kroner D., Zajaczkowski W. Measure-valued solutions of the Euler equations for ideal compressible barotropic fluids. Preprint 311, SFB 256, Universität Bonn, 1993.

272. Kufner A., Fucik S., John 0. Function Spaces. Prague, Academia, 1977, 454 P.

273. Ladyzhenskaya O.A. Solution "in the large" of the nonstationary boundary value problem for the Naver—Stokes system with two space variables. Comm. Pure Appl. Math., 1959, V. 12, N 3, C. 427-433.

274. Ladyzhenskaya O.A., Seregin G.A. On global stability of the two-dimensional visco-plastic flows. Jyvaskylla—St.-Petersburs Seminar on PDE's and Numerical Methods, Ber. Univ. Jyvaskylla Math. Inst., 1993, V. 56, P. 43-52.

275. Ladyzhenskaya O.A., Seregin G.A. On semigroups generated by initial boundary value problems describing two-dimensional visco-plastic flows. Nonlinear evolution equations, AMS Transi., Ser. 2, 1995, V. 164, P. 99123.

276. Ladyzhenskaya O.A., Seregin G.A. On partial regularity of suitable weak solutions to the three-dimensional Navier—Sokes equations. J. Math. Fluid Mech., 1999, V. 1, N 4, P. 356-387.

277. Leray J. Etude de diverses equations intégrales non lineaires et de quelque problèmes que pose l'hydrodynamique. J. Math. Pures Appl., Serie 9, 1933, V. 12, P. 1-82.

278. Leray J. Essai sur les mouvements plans d'un liquide visqueux que limitent des parois. J. Math. Pures Appl., Ser. 9, 1934, V. 13, P. 331-418.

279. Leray J. Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace. Acta Math., 1934, V. 63, P. 193-248.

280. Lichtenstein L. Grundlagen der Hydromechanik. Berlin, Springer, 1927.

281. Lin F.-H. A new proof of the Caffarelly—Kohn—Nirenberg theorem. Comm. Pure Appl. Math., 1998, V. 51, N 3, P. 241-257.

282. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces 2, Function spaces. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1979, 244 P.

283. Lions P.-L. Existence globale de solutions pour les équations de Navier— Stokes compressible isentropiques. C.R. Acad. Sci. Paris, 1993, V. 316, P. 1335-1340.

284. Lions P.-L. Compacité des solutions des equations de Navier—Stokes compressible isentropiques. Comp. Ren. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math, 1993, V. 317, N 1, P. 115-120.

285. Lions P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 1 — Incompressible models. Oxford Lecture Ser. Math. Appl., V. 3, Clarendon Press, Oxford, 1996.

286. Lions P.-L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 2 — Compressible models. Oxford, Clarendon Press, 1998, 348 P.

287. Lions P.-L. Sur les équations différentielles ordinaires et les équations de transport. C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I Math., 1998, V. 326, P. 833-838.

288. Lions P.-L. Bornes sur la densité pour les équations de Navier—Stokes compressibles isentropiques avec conditions aux limites de Dirichlet. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math., 1999, V. 328, N 8, P. 659-662.

289. Lions P.-L. On some challenging problems in nonlinear partial differential equations, Mathematics: frontiers and perspectives, ed. V. Arnold et, al., Ainer. Malli Soc, Providence, RI, 2000. P. 121-135.

290. Lopes Filho M.C., Nussenzveig Lopes H. J., Xin Z. Existence of vortex sheets with reflection symmetry in two space dimensions. Arch. Rat. Mech. Anal, 2001, V. 158, N 3, P. 235-257.

291. Lu Min, Kazhikhov A.V., Seiji Ukai. Global solutions to the Cauchy problem of the Stokes approximation equations for two-dimensional compressible flow. Science Bull, of Josai Univ., Sp. issue, 1998, N 5, P. 155-174.

292. Lukaszewicz G. An existence theorem for compressible viscous and heat conducting fluids. Math. Meth. Appl. Sci. 1984. V. 6. P. 234-247.

293. Lukomskii S.F. Convergence of Fourier series in Lorentz spaces. East J. on Approx. 2003. V. 9, N 2. P. 229-238.

294. Mahalov A., Leibovich S., Titi E.S. Invariant helical subspaces for the Navier—Stokes equations. Arch. Rat. Math. Anal, 1990, V. 112, N 3, P. 193-222.

295. Majda A. Remarks on weak solutions for vortex sheets with a distinguished sign. Ind. Univ. Math. J., 1993, V. 42, P. 921-939.

296. Malek J., Necas J., Novotny A. Measure-valued solutions and asymptotic behaviour of a multipolar model of a boundary layer. Chechoslovak Math. J., 1992, V. 42, N 117, R 549-576.

297. Malek J., Necas J., Rokyta M., Ruzicka M. Weak and Measure-Valued Solutions to Evolutionary PDEs. London, Weinheim etc., Chapman h Hall, 1996, 318 P.

298. Malek J., Necas J., Ruzicka M. On the non-Newtonian incompressible fluids. Math. Models and Methods in Appl. Sci., 1993, V. 3, N 1, P. 35-63.

299. Malek J., Ruzicka M., Shelukhin V. V. Hershel—Bulkley fluids: existence and regularity of steady flows. Math, models and methods in appl. sci., V. 15, 2005, N 12, P. 1845-1861.

300. Malvern L.E. Introduction to the mechanics of a continuous medium. New Jersey, Prentice—Hall, Inc. Englewood Cliffs, 1969.

301. Mamontov A.E. Orlicz spaces in the existence problem of global solutions to viscous compressible nonlinear fluid equations. Препринт 2-96 Ин-та Гидродинамики им. М.А.Лаврентьева, 1996, 34 с.

302. Mamontov A.E. Global Regularity Estimates for Multidimensional Equations of Compressible Non-Newtonian Fluids. Annali dell'Universita Di Ferrara (Nuova Serie), Sezione VII, Scienze Matematiche, Vol. XLVI, 2000, P. 139-160.

303. Mamontov A.E. Extrapolation from Lp into Orlicz spaces via integral transforms of Young functions. Journal of Analysis and Applications, 2006, V. 4, N 2, P. 77-118.

304. Marchioro C., Pulvirenti M. Euler evolution for singular initial data and vortex theory. Commun. Math. Phys., 1983, V. 91, N 4. P. 563-572.

305. Marchioro C., Pulvirenti M. Mathematical theory of incompressible nonviscous fluids. Appl. Math. Sci., V. 96, Springer-Verlag, New York, 1994.

306. Masmoudi N. Asymptotic problems and compressible and incompressible limits, Advances in mathematical fluid mechanics (Paseky, Czech Republic, 1999), eds. J. Malek, J. Necas, M. Rokyta, Springer, Berlin, 2000, P. 119-158.

307. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat conductive fluids. Proc. Japan. Acad. Ser. A,1979. V. 55. P. 337-342.

308. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive gases. J. Math. Kyoto Univ.,1980, V. 20, N 1, P. 67-104.

309. Matsumura A., Nishida T. Initial boundary value problems for the equations of motion of compressible viscous and heat conductive fluids. Comm. math. phys. 1983. V. 89. P. 445-464.

310. Matsumura A., Yamagata N. Global weak solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compressible flow subject to large external potential forces. Osaka J. Math., 2001, V. 38, P. 399-418.

311. Matusu-Necasova S., Novotny A. Measure-valued solution for non-Newtonian compressible isothermal monopolar fluid. Acta Appl. Math., 1994, V. 37, N 1-2, P. 109-128.

312. Milman M. Extrapolation and optimal decompositions with applications to analysis. Berlin. Springer-Verlag, 1994. 162 P. (Lecture Notes in Math. V. 1580).

313. Milman M. Extrapolation spaces and a. e. convergence of Fourier series. J. of Approx. Theory. 1995. V. 80, N 1. P. 10-24.

314. Morf R., Orszag S., Frisch U. Spontaneous singularity in three-dimensional incompressible flow. Phys. Rev. Lett,., 1980, V. 44. P. 572575.

315. Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas nonfixed on the boundary. J. Diff. Equat. 1986. V. 65. P. 49-67.

316. Nagasawa T. On the outer pressure problem of the one-dimensional polytropic ideal gas. Japan J. Appl. Math. 1988. V. 5. P. 53-85.

317. Nagasawa T. On the one-dimensional free boundary problem for the heat-conductive compressible viscous gas. Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1989. V. 10. P. 83-99.

318. Nash J. Le problème de Cauchy pour les equations différentielles d'un fluide général. Bull. Soc. Math. France, 1962, V. 90, N 4, P. 487-497.

319. Nazarov S., Novotny A., Pileckas K. On steady compressible Navier— Stokes equations in plane domains with corners. Math. Annalen, 1996, V. 304, N 1, P. 121-150.

320. Necas J. Theory of multipolar viscous fluids. In: The mathematics of finite elements and applications VII, MAFELAP 1990, Whiteman J.R. (ed.). Academic Press Limited, Harcourt Brace Jovanovich Publishers. London San Diego - New York, 1991, P. 233-244.

321. Necas J., Novotny A., Shilhavy M. Global solution to the ideal compressible heat-conductive fluid. Comment. Math. Univ. Carolinae, 1989, V. 30, N 3, P. 551-564.

322. Necas J., Novotny A., Shilhavy M. Global solution to the compressible isothermal multipolar fluid. J. Math. Anal. Appl, 1990, V. 162, P. 223241.

323. Neustupa J. Measure-valued solutions of the Euler and Navier—Stokes equations for compressible barotropic fluids. Math. Nachr., 1993, V. 163, P. 217-227.

324. Neves J. On decompositions in generalized Lorentz—Zygmund spaces. Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B. Artie. Ric. Mat. (8), 2001, V. 4, N 1, P. 239-267.

325. Nishida T. Equations of motion of compressible viscous fluids // Patterns and Waves. Qual. Anal. Nonlinear Differ. Equat. Tokyo, Amsterdam. 1986. P. 97-128.

326. Novo S., Novotny A. On the existence of weak solutions to the steady compressible Navier—Stokes equations when the density is not square integrable, J. Math. Kyoto Univ., 2002, V. 42, P. 531-550.

327. Novo S., Novotny A. On the existence of weak solutions to the steady compressible Navier—Stokes equations in domains with conical outlets, J. Math. Fluid Mech., 2006, V. 8, P. 187-210.

328. Novotny A. Viscous multipolar fluids — physical background and mathematical theory. Fortschritte der Physik, 1992, V. 40, N 5, P. 445517.

329. Novotny A. Steady flows of viscous compressible fluids in exterior domains under small perturbations of great potential forces. Math. Model. Meth. Appl. Sci., 1993, V. 3, N 6, P. 725-757.

330. Novotny A. Compactness of steady compressible isentropic Navier— Stokes equations via the decomposition method (the whole Kn). Preprint of the Univ. of Toulon, 1995.

331. Novotny A. Some remarks to the compactness of steady compressible isentropic Navier—Stokes equations via the decomposition method. Comment. Math. Univ. Carolinae, 1996, V. 37, N 2, P. 305-342.

332. Novotny A., Padula M. Lp-Approach to Steady flows of Viscous Compressible Fluids in Exterior Domains. Arch. Rat. Mech. Anal, 1994, V. 126, P. 243-297.

333. Novotny A., Padula M. Physically reasonable solutions to steady compressible Navier—Stokes equations in 3D-Exterior Domains. Math. Ann., 1997, V. 308, P. 438-439.

334. Novotny A., Padula M., Penel P. A remark on the well-posedness of the problem of a steady flow of a viscous barotropic gas in a pipe. Comm. PDE, 1996, V. 21, N 1-2, P. 23-35.

335. Novotny A., Straskraba I. Introduction to the mathematical theory of compressible flow. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, Vol. 27. Oxford University Press, Oxford, 2004.

336. Okada M., Kawashima S. On the equations of one-dimensional motion of compressible viscous fluids. J. Math. Kyoto Univ. 1983. V. 23. P. 5571.

337. Oldroyd J.G. Proc. Cambridge Plilos. Soc., 1947, V. 43, N 100.

338. O'Neü R. C.R. Acad. Sei. Paris, Ser. A-B, 1966, V. 263, P. A463-A466.

339. Orlicz W. Uber eine gewisse Klasse von Räumen vom Typus B, Bull. Intern, de l'Acad. Pol., Serie A, Cracovie, 1932.

340. Orlicz W. Über Räume (LM), Bull. Intern, de l'Acad. Pol., Serie A, Cracovie, 1936.

341. Ostrovsky E. Exponential Orlicz Spaces: new Norms and Applications. Electronic Publ, arXiv/FA/0406534, V. 1, 25.06.2004.

342. Ostrovsky E. Some new moment rearrangement invariant spaces; theory and applications. Electronic Publ., arXiv/FA/0605732, V. 1, 29.05.2006.

343. Padula M. Existence and uniqueness for viscous steady compressible motions. Arch. Rational Mech. Anal., 1986, V. 97, N 1, P. 1-20.

344. Padula M. Existence of global solutions for 2-dimensional viscous compressible flows. J. of Func. Anal., 1986, V. 69, P. 1-20.

345. Padula M. Existence and uniqueness for viscous steady compressible motions. Arch. Rat. Mech. Anal, 1987, V. 97, N 2, P. 89-102.

346. Padula M. Erratum to J. Func. Anal. 69(1986), 1-20 // J. Func. Anal. 1988. V. 76, Issue 1. P. 231.

347. Padula M. Erratum to J. Func. Anal. 69(1986), 1-20 // J. Func. Anal. 1988. V. 77. P. 232.

348. Padula M. Steady flows of barotropic viscous fluids in Classical Problems of in Mechanics, Dipartamento di Matematika Seconda Universita di Napoli, Caserta, 1997, N 1.

349. Plotnikov P.I., Sokolowski J. Concentrations of solutions to time-discretizied compressible Navier—Stokes equations. Comm. in Mathematical Physics. V. 258, N 3, 2005, P. 567-608.

350. Plotnikov P.I., Sokolowski J. On compactness, domain dependence and existence of steady state solutions to compressible isothermal Navier— Stokes equations. J. Math. Fluid Mech., 2005, V. 7, N 4, P. 529-573.

351. Plotnikov P.I., Sokolowski J. Domain dependence of solutions to compressible Navier—Stokes equations, SIAM J. Control Optim., 2006, V. 45, N 4, P. 1165-1197.

352. Seregin G.A. Continuity for the strain velocity tensor in two-dimensional variational problems from the theory of the Bingham fluid. Italian J. Pure Appl. Math., 1997, V. 2, P. 141-150.

353. Seregin G.A. Partial regularity for solutions to the modified Navier— Stokes equations. Зап. научн. семин. ПОМИ, 1999, Т. 259, С. 238-253.

354. Seregin G.A. Interior regularity for solutions to the modified Navier— Stokes equations. J. math, fluid mech., 1999, V. 1, N 3, P. 235-281.

355. Seregin G.A. On the number of singular points of weak solutions to the Navier—Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math., 2001, V. 54, issue 8, P. 1019-1028.

356. Seregin G.A. Local regularity of suitable weak solutions to the Navier— Stokes equations near the boundary. J. Math. Fluid Mech., 2002, V. 4, N 1, P. 1-29.

357. Seregin G.A. Estimates of suitable weak solutions to the Navier—Stokes equations in critical Morrey spaces. Зап. науч. сем. ПОМИ, 2006, Т. 336,C. 199-210.

358. Seregin G.A. Navier—Stokes equations: almost Z/3;00-cases. Journal of mathematical fluid mechanics, 2007, V. 9, P. 34-43.

359. Seregin G.A. Local regularity theory of Navier—Stokes equations. Handbook of mathematical fluid dynamics, V. 4, eds. S.J.Friedlander,D.Serre, North-Holland, Amsterdam, 2007, P. 159-200.

360. Seregin G.A., Acerbi E., Mingione G. Regularity results for parabolic system related to a class of non-Newtonian fluids. Ann. I. H. Poincare. Anal. Non Lineaire, 2004, V. 21, P. 25-60.

361. Seregin G.A., Shilkin T.N., Solonnikov V.A. Boundary partial regularity for the Navier—Stokes equations. Зап. научн. семин. ПОМИ, 2004, Т. 310, С. 158-190.

362. Seregin G.A., Sverak V. The Navier—Stokes equations and backward uniqueness. Nonlinear Problems in Mathematical Physics II, In Honor of Professor O.A.Ladyzhenskaya, International Mathematical Series II, 2002, P. 353-366.

363. Serre D. Solutions faibles globales des équations de Navier—Stokes pour un fluide compressible. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 1986, V. 303, N 13, P. 639-642.

364. Serre D. Sur l'équation monodinsionelle d'un fluide visqueux, compressible et conducteur de chaleur. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I,1986, V. 303, N 14, P. 703-706.

365. Serre D. Variations de grande amplitude pour la densité d'un fluide visqueux compressible. Physica D, 1991, V. 48, P. 113-128.

366. Serre D. La croissance de la vorticité dans les écoulements parfaits incompressibles. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math., 1999, V. 328, N 6, P. 549-552.

367. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion. Arch. Rational Mech. Anal., 1959, V.3, N 3, P. 271-288.

368. Serrin J. On the interior regularity of weak solutions of the Navier— Stokes equations. Arch. Rat. Mech. Anal., 1962, V. 9, P. 187-195.

369. Serrin J. The initial-value problem for the Navier—Stokes equations // Nonlinear problems, Rudolph E. Langer, Univ. of Wisconsin Press, Madison, 1963, P. 69-98.

370. Shelukhin V. V. Bingham viscoplastic as a limit of non-newtonian fluids. J. of math, fluid mechanics, V. 4, 2002, P. 109-127.

371. Shinbrot M. The energy equation for the Navier—Stokes system. SIAM J. on Math. Anal., 1974, V. 5, N 6, P. 948-954.

372. Shnirelman A. On the nonuniqueness of weak solution of the Euler equation. Comm. Pure Appl. Math., 1997, V. 50, N 12, P. 1261-1286.

373. Shwedov F.N. La rigidité de liquides. Rapport Congr. Intern. Phys., Paris, 1900, V. 1, P. 478-486.

374. Simon J. Compact sets in the space Lp(0, T; B). Ann. Mat. Pura Appl.1987, V. 146, P. 65-96.

375. Smale S. Mathematical problems for the next century. Math. Intelligencer. 1998, V. 20, N 2, P. 476-512.

376. Smyrnaios D.N., Tsamopoulos J. A. Squeeze flow of Bingham plastics. J. Non-Newtonian Fluid Mech., 2001, V. 100, N 13, P. 165-189.

377. Solonnikov V.A., Kazhikhov A. V. Existence theorems for the equations of the motion of a compressible viscous fluid. Ann. Rev. Fluid Mech. 1981. V. 13. P. 79-95.

378. Song Jiang. On initial boundary value problems for a viscous heat-conducting, one-dimensional real gas. J. Diff. Eq. 1994. V. 110. P. 157181.

379. Talenti G. Best constant in Sobolev inequality. Ann. Mat. Pura Appl., 1976, V. 110, P. 353-372.

380. Talenti G. An embedding theorem. Essays of Math. Anal, in honour of E.DeGiorgi, Birkhauser Verlag, Boston, 1989.

381. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation. Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1974. V. 10. N 1. P. 209-233.

382. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 1977, V. 13, N 1, P. 193253.

383. Tani A. The initial value problem for the equations of the motion of general fluid with general slip boundary condition. Kyoto University, RIMS-Kokyuroku. 1990. V. 734. P. 123-142.

384. Tartar L. Interpolation Non Lineaire et Régularité. J. of func. anal., 1972, N 9, P. 469-489.

385. Temam R. Navier—Stokes equations. Theory and numerical analysis. Stud. Math. Appl., V. 2, North-Holland, Amsterdam — New York — Oxford, 1977.

386. Trudinger N.S. On imbeddings into Orlicz spaces and some applications. J. Math. Mech., 1967, V. 17, P. 473-483.

387. Truesdell C., Noll W. The nonlinear field theories of mechanics. Berlin, Springer. 1965 (Handbuch der Physik. V. III/3).

388. Turkington B. On the evolution of a concentrated vortex in an ideal fluid. Arch. Rat. Mech. Anal., 1987, V. 97, N 1. P. 75-87.

389. Valli A. An existence theorem for compressible vuscous fluids. Ann. Mat. Рига. Appl. 1982. V. 130. N 4. P. 197-213. Ann. Mat. Рига. Appl.1982. V.132. N 4. P. 399-400.

390. Valli A. Periodic and stationary solutions for compressible Navier— Stokes equations via a stability method. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa.1983. V. 10. N 4. P. 607-647.

391. Valli A. On the existence of stationary solutions to compressible Navier—Stokes equations. Ann. Inst. H. Poincaré, 1987, V. 4, P. 99-113.

392. Valli A. Mathematical results for compressible flows. Preprint N365. Universita degli Studi di Trento. Povo (Trento). 1992.

393. Valli A., Zajaczkowski W.M. Navier—Stokes equations for compressible fluids: global existence and qualitative properties of solutions in the general case. Comm. Math. Phys., 1989, V. 103, P. 259-296.

394. Vishik M. Incompressible flows of an ideal fluid with vorticity in borderline spaces of Besov type. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 1999, V. 32, N 6, P. 769-812.

395. Wolibner W. Un théorème sur l'existence du movement plan d'un fluide parfait, homogène, incompressible, pendant un temps infiniment long. Math. Z., 1933, V. 37, N 1, P. 698-726.

396. Yanagi S. Global existence for one-dimensional motion of non-isentropic viscous fluids. Department of Mathematics, Vaseda University. Tokyo. 1992. Manuscript. 18 P.

397. Yano S. An extrapolation theorem. J. Math. Soc. Japan. 1951. V. 3, N 2. P. 296-305.

398. Yudovich V.I. Uniqueness theorem for the basic nonstationary problem in the dynamics of an ideal incompressible fluid. Mathematical Research Letters, 1995, V. 2, P. 27-38.

399. Zajaczkowski W., Seregin G.A. A sufficient condition of local regularity for the Navier—Stokes equations. Зап. науч. сем. ПОМИ, 2006, Т. 336, С. 46-54.

400. Zhouping Xin. Blow-up of smooth solutions to the compressible Navier— Stokes equations with compact density. Inst, of math. S. New York Univ, 1997.