Граничные задачи целочленных блужданий на счетной цепи Маркова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

ТКБЕ7ЧАВА Роланд Сергеевич

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ЕЯУВДАНШ НА СЧЕТНОЙ ЦШИ МАРКОВА

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации, на соиокание ученой степени Кандидата физико-математических наук,

Киев - 1992

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ЕРАТШЧУК Н.С.

Официальные оппоненты! доктор физико-математических наук, профессор ПОРТШКО Н.И.,

кандидат физико-математических наук, доцент

ЗЕРАКВДЗЕ З.С.

Ведущая организация! Киевский универоитет им.Т.Г.Шевченко.

Защита диссертации состоится "___"______199 г. в

чаоов на ваоедании специализированного совета Д 016.50,01 при Институт^ математики АН Украины по адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул. Репина, 3.

О диооертацией можно ознакомиться в (Зийлиотене института.

Автореферат разослан "_"___199 г.

Ученый секретарь специализированного совета ГУСАК Д.В.

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темн. Граничные задачи для различных классов случайных процессов являются одним из наиболее важных разделов теории вероятностей. Они находят широкой применение в математической статистике, теории обслуживания, теории надежности и т.д. Большое влияние на развитие и становление теории граничных задач ддя случайных блужданий оказали работы А.Я.Хкнчина, А.Н.Колмогорова, А.А.Боровкова, В.С.Королюка, А.В.Скорохода, Ф.Спитцера, Л.Такача я др. По сушеотву^в этих работах был заложен фундаиен* современной теории граничных задач дай широкого класса марковских и полумарковских процессов. Существенный вклад был также сделай в работах Б.Л.Рогозина, Д.В.Гусака, В.М.Щуренкова( А.А.Могульокого, Н.С.Бра-тийчука, З.Л.Прэсмана, Кемпермана, Й.Ншгхема и др» В исследований аоимптотичеокше свойств граничных фунядаойалой,помимо уже перечисленных авторов, оущзственяпй вклад внесли Ю,В.Бэровоккх, В.И.Логов, 'А.А.Новиков, В.Р.Хаджибаев. Расширение класса изучаемых процесоов требует привлечения новых идей и методов. Исследований какого-либо граничного функционала часто выполняется по сЛедупщеЙ схеме; получение представления для распределения (или характеристической функции) данного функционала, исследование полученного представления разнообразными аналитическими методами. ТЬкая схем активно разрабатывается в настоящее время в работах Н.С.Вратийчука, В.И.Лотова и некоторых других авторов. Сюда же относится й йаотсяцрл диссерта-1 ция. В ней нсследуютоя граничные ф/ннциойалы» связанные о пересечением уровня суммами случайных величин, задании т счетной цепи Маркова. Если цепь конечна, то задачи таком типа изучались в работах З.Л.Пресмака, X,Миллера, Д.В.1УсаКа (для Процессов о незави< оимнмй приращениями йа конечной цэпи Маркова). Н.С.Ератпйчуком эти результаты бши перенесена на Ьлучай счетной цепи Гйркова. При этом возникла необходимость создания нового аппарата исследования.поскольку переход от конечной и очетиой цепи Маркова связан с принципиальными трудностями .

Йастоякая работа является продолжением Исследований Н.С.Вра-тийчуКа. В ней рассмотрен случай, когда отдельные слагаемые принимают целочисленные значения, тогда МК в упомянутых исследованиях •Н.С.Ератййчука основные результаты в исследовании свойств функцио-

налов били получена в предположении, что распределение отдельных слагаемых непрерывно. Предположение о дискретном распределении слагаемых позволило ослабить некоторые из ранее известных условий.

Кроме того, в настоящей работе больше внимания уделено граничным функционалам, связанным о Ляужданием на интервале, т.е. при наличии двух границ. Отметим, что '•ранее такие задачи практически не рассматривались.

Таким образом, тема диссертаций непосредственно Примыкает к исследованиям По теории граничных аадач для случайных процессов и, следовательно, является актуальной.

Целью работы является: а) изучение граничных задач, связанных о достижением уровня целочисленным случайна.! блужданием на счетной цепи Маркова) б) изучение двугранных еадач для непрерывных снизу блужданий на счетной Цепи Маркова.

Методика исследования. Решение интегральных матричнозначных уравнений на полуоси, факторнзацяонные тождества для блувданий на счетнозначной цепи Маркова; при изучении асимптотических свойств распределений широко используется метод перейала.

Научная новизна. Получены локальные предельные теоремы для распределений граничных функционалов, связанных с достижением уровня. Впервые рассмотрены случайные блуждания, заданные на счетной цепи Маркова при наличии двух границ. Для таких йлулданий проведен асимптотический анализ изучаемых распределений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа является составной частью широкой программы исследований по теории граничных задач для случайных процессов. Задачи, рассмотренные в ней, могут найти применение при изучении случайных блужданий на счетнозначной цепи Маркова в схеме "серий". Результаты для граничных функционалов при наличии двух границ могут быть использованы при решении задач в теории надежности и контроля.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах по теории вероятностей и математической статистике Грузинского техуниверситета и Ин-та математики АН Украины и опубликованы в 3 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 6 параграфов, и списка литературы из 30 наименований.

СОДЕРНАНИБ РАБОТЫ

Пусть на одном вероятностном пространстве заданы!

1. Однородная, неприводимая, равномерно оргодачная цепь Маркова х^ со счетным фазовым пространством I й матрицей переходных вероятностей Р * (P¿¿).

2, Семейство случайных величин , , >. принимающих целые значения, независимых в совокупности, независящих от

х^ и efty(k) = ЬУ ■ ,b>-t> к" Ó, ti,.и *

Положим ^

(sh<sh.)~ однородный по времени марковский процосо, аддитивный по первой координате.

Постоянно предполагается, что выполнено Оледуюцэе условие. Ат. Дня некоторых <r I, > 1

¿<o

SUp N 0+& < оа .

Ч

Положшл

А(л) « СM{s4 » (Р, (a¿¡.Ш)) А%)*(А

£т / <г е J

где f(. (S) = Al 3 Ч .

В § 1,1 приведены результата о свойствах матрицы А($) при \L í Sé . Эти результаты были раннез получены Н.С.Дзатийчуком, однако, предположение о диокретнсоти распределений случайных величин позволило ослабить некоторые из условий, приведенных в работах Н.С. Вратийчука. Основными из зтях результатов можно считать следующие две теоремы.

Теорема 2. Можно'указать 3, такие, что

0f й Для áeCs.iS+l существуют единственные векторы .1(5) « (X¿($)) • i/(3) » (y¿ (s)) е , дм которых

* ^ГЗ),

z(£) &($) A(S) = ЛУЗ),

a zís) = (¡m ^ja (.n'(S) - перронов корень матрицы A(s) . л—« Ч

При ВТОМ

Inf > О, fr СО) - it 8,t

. Inf xi(&)>0, £¿(0) - sc¿ ,

•рде - стационарное распределение цепи jvn .

Положим R (S) - спектральный радиуо оператора А (£) , а'1 * R(s¿) . ^ в min, f * та* (faf.) » R(s),

ít(») - корни уравнения &R(&)*t , í.íííí+ • ],

Л,?, V s* é s- <*) * , A = xR'áJb),

II (3) к С (3) fh(S)) * ' 1

ТВорема. 5. Существует & >a ,йе зависящее от .г-и такое, что справедливо представление

.[ . П(з.м) H(sfw) « (Е-зШ) »--г-+ ----* 21 s Wk(ay,

ß.w-e a |S| s a¿U) , s¿st(tL),

а для операторов (я) справедливы оценки;

-к

S • О (sx W2¿) , к — ■

В этом же пара:рафе показано, что функции, участвующие в разложении (I), могут Сыть аналитически продолжены по г в некоторую область, содержанию отревок [tj -£, tj *&].

В § 1.2 изучается факторизация оператора £-¿A(s) и свойство компонент факторизации. Указанная факторизация имеет вид

Е -zAcs) (E-Ajx,s))(E \3¡<{, (2)

« - lsl-f,

где A (í,s) - ¿. S Q (3,k)i + ■ k*o

n*' 0<m<n

ZÍ L

Аш(Я,*)* I Я С (A,k),

ka-oú

С(я,к)= £ atn(Pt{ MP зп*алшк, Хъ-j}) .

Nil 0<t)t<Jl

Факторизация (2) в случае конечной цепи X^ получена и исоле-дована Э.Л.Пресманом. Он же изучал возможность распространения этой факторизации на область |д| л у . Айалогичныо вопросы в случае очетной цепи х^ ручались ^эатийчукоМ Н.С. В настоящей работе удалось несколько ослабить условия Й.О»БратнЯчука, при которых факторизация (2) справедлива при laUij я в этих услЬвиях изучены аналитические свойства функций А +(S) .

Результаты этого параграфа вспслюгательнн для дальнейших исследований.

В § 1.3 рассмотрен случай непрерывного снизу случайного блуждания (Sn, хл) , для которого найдутся Ig,j0 , такие, что

(¡i0j C-i)>0, a ic/M"0 ДМ всех п-А-г, irjel . Результаты предщдуших параграфов конкретизированы для непрерывного снизу блуждания. В частности, теперь факторизация (2) имеет следующий вид:

Е -я,4(5) = (Е - ¿*Ш))(Е-At(3,s)),

к (я) « I л* ( F\{ sup = S^-t, x^j]). it'l o<m<n-

Подробно изучены свойства функция

к

R(*,k)* E>Z С(а,к)кл(я), ti*0

играющей важную роль при изучении задач о двумя границами. В частности, выяснены условия, когда Цflnpti

Во второй главе изучаются функционалы от блуждания 3 tt .

В §§ 2.1, 2.2 получены локальные предельный теоремы для распределений функционалов от Зц. . Рассматриваются следующие функЦии: *„=/}) , (Р(. { 3U0

, г „ 1ч Oihth

(р | sup sm<u, S^ а к, хп , для Kotopux получены асимпто-

' 0ш<К ! к 'l п

тические разложения по степеням , если квКдУн и

Последние из перечисленных выше функций участвуют в определении компонент факторизации (1).' Этим и объясняется наш интерес к ним. Используя явные представления для указанных функций, а также

fi

технику получения асимптотических разложений, предложенную Ю.В.Боровских, получены требуемые раалокенйя. Чтобы сформулировать некоторые результаты уоловнмоя, что буквами , Ак , В обозначены Некоторые матричцозначные коэффициенты, для которых известен алгоритм их вычисления, а р (f(n)) обозначает матрицу такую, что

II 5(Ш)\1 « о (fW) при « — «»•

Теперь выпишем некоторые разложения. Пусть R'(i)=0, R"(t) тогда для всякого M-ïi ,

L 7 _ К1

„ ...к

tew'

Результаты такого рода дад (fy {s„,в к,У»Г } ) известны из работ Сираждинова С.Х», Форманова Ш.К. и других авторов.

Сформулируем еше одш[ результат! , 2

%К4

(HiУ v^ № *,=/}) * _, *

■ fa*,

е

té)t k*l

В § 2.3 изучаются следующие граничные функционалы: момент лервого дооткйеййй давйя, величина пероскока, исдоскока я веди-чина скачка, накршшюцзго уроаоиь. Для случая непрерывного .-распределения случайных йелишШ ми'функционалы-изучались Н.С.фа-тийчуксм, поэтому (Настоящей .работе приведены -только некоторые результаты, овясаннца оо Ьйв^фикой Досматриваемого блуждания.

В § 2.4 изучаются функционалы, обязанные с моментам последнего пересечения Уровня* Такйё функционалы .для данного класса блуяда^ ний рассмотрены впервые,

Доказана такая теорема. • •.

Теорема I.

3±(3)ßt(i)

. *m'\))---tbO,

где B(k) = sup{k: S^rk) , а для функций IVt(£,k) справедливы оценки .

||Wf (a,k)g « o(s, (j)±sf .

Проведен асимптотический анализ полученных представлений.

В главе Ш для непрерывного снизу йлуаданйй Изучаются

граничные функционалы при наличии двух границ.

Для непрерывного снизу блуждания ( зл t дсл ) rtawmi

Г(Т,л) я inf {/<t в С п. -Т, h] ) ,

где 0 4 п < Т .

В § 3.J получено представление для следующей функции:

il ' Щ*) I' ЩлП 2' Щн) Z(T,K)-i У Щп)

где ^ > >к3 * 0 .

Исследовано ее предельное поведение при л <*> , Т— в случае, когда /?'(/) * 0.

В § 3.2 изучается процесс о отражением Иа уровне и - Т , который задается следующим соотношением:

Для такого блуждания изучены граничные функционала,.связанные с достижением уровнями такие,как молен® первого Достижения, величина перескока и величина скачка, накриЕЭйайго уровень. Помимо Представлений, изучены асимптотические свойства распределений S случае Rr(i) = О . Отметим, что задачи §§ 3.1, 3.2 для блужданий на счетной цепи Маркова рассмотрена впервые.

Ооновныз положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ткебучава P.C. Оптимальная коррекция марковского процесса в стационарном режима // Сообщ. АН Грузии. - 1991. - 141, J* I. -

С. 49-52.

2. Ткебучава P.C. Блуждание на цепи Маркова с отражением // Там жо. - 1992. - ¿1.-0. 48-52.

3. 1ратийчук Н.С., Ткебучава P.C. Локальные предельные теоремы для целочисленных йлувдаНий на цепи Маркова // Докл. АН Украины. - '1992. - № 2. - С. 21-27.