Гравитационное взаимодействие в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Михайлов, Юрий Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Михайлов Юрий Сергеевич
ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В СТАБИЛИЗИРОВАННОЙ МОДЕЛИ РЭНДАЛЛ-СУНДРУМА
01 04 02 — теоретическая физика
Автореферат диссер гации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
□□3449118
Москва - 2008
003449118
Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики имени Д В Скобельцына Московского государственного университета имени М В Ломоносова
Научный руководитель
доктор физико-математических наук Волобуев Игорь Павлович
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук Лобанов Андрей Евгеньевич
кандидат физико-математических наук Либанов Максим Валентинович
Ведущая организация
Отдел теоретической физики Института физики высоких энергий, г Протвино
Защита состоится 23 октября 2008 г в 16 ч 30 мин на заседании диссертационного совета Д 501 002 10 в Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119991, г Москва, Ленинские горы, МГУ им M В Ломоносова, Физический факультет, ауд СФА
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ им M В Ломоносова
Автореферат разослан " 13 " сентября 2008 г Ученый секретарь
диссертационного совета Д 501 002 10 доктор физико-математических наук
профессор
Грац Ю В
Общая характеристика и актуальность работы
В последнее время большое внимание уделяется моделям "мира на бране", в которых поля Стандартной модели предполагаются локализованными на трехмерном многообразии - мембране, или просто "бране", -вложенном в объемлющее многомерное пространство В моделях мира на бране дополнительные измерения могут иметь большой или даже бесконечный размер и приводить к экспериментально наблюдаемым эффектам
Выло замечено, что если поля Стандартной модели локализованы на бране в многомерном пространстве, и пространство дополнительных компактных измерений имеет большой объем, то стандартная формула теории Калуцы-Клейна для связи многомерной и четырехмерной гравитационных постоянных позволяет решить проблему иерархии гравитационного взаимодействия А именно, при наличии дополнительных измерений константа гравитационного взаимодействия в многомерной теории может быть сравнима с константой электрослабого взаимодействия, что соответствует фундаментальному энергетическому масштабу порядка 1 ТэВ, однако эффективная четырехмерная константа взаимодействия на бране имеет обычную величину, соответствующую энергетическому масштабу порядка 1016 ТэВ Таким образом, при энергиях порядка нескольких ТэВ гравитационное взаимодействие за счет калуца-клейновских мод многомерного гравитационн-го поля может быть сравнимым по силе с электрослабым взаимодействием Поэтому предсказываемые такими теориями эффекты могут быть проверены уже в ближайшее время в экспериментах на коллайдерах Именно возможность обнаружения больших и бесконечных дополнительных измерений является основной причиной, по которой они представляют интерес
Наиболее известной и интересной с феноменологической точки зрения моделью с дополнительными измерениями является модель Рэндалл-Сундрума Она описывает систему из двух бран, взаимодействующих с гравитацией в пятимерном пространстве-времени В этой модели метрика фонового решения является неплоской, и проблема иерархии решается благодаря экспоненциальному фактору в выражении для метрики
Однако у модели Рэндалл-Сундрума имеется существенный недостаток расстояние между бранами не фиксируется параметрами модели Это при-
водит к тому, что в эффективной четырехмерной теории появляется безмассовое скалярное поле - радион Константа связи этого попя с материей на бране с отрицательным натяжением, где предположительно локализованы поля Стандартной модели, оказывается настолько большой, что это противоречит экспериментальным данным даже на уровне классической гравитации
Данная проблема была решена введением в теорию дополнительного пятимерного скалярного поля, - поля Гольдбергера-Вайза Стабилизация размера дополнительного измерения в этом случае определяется минимумом эффективного потенциала этого скалярного поля Так как поле ра-диона соответствует флуктуациям компоненты метрики, отвечающей дополнительному измерению, фиксация размера дополнительного измерения приводит к появлению у поля радиона массы, что делает такую теорию феноменологически приемлемой
Однако почти во всех работах по феноменологии модели Рэндалл-Сундрума по-прежнему рассматривается нестабилизированнная модель, в которую масса радиона вводится "руками" Такой подход представляется непоследовательным, так как появление массы у радиона приводит к изменению его константы связи с полями материи и к изменению значений всех параметров модели Рэндалл-Сундрума Таким образом, методы корректного изучения линеаризованной гравитации в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума достаточно важны, в частности они позволяют получить согласованные значения для массы и константы связи радиона
Основной целью диссертации является детальное изучение гравитационного взаимодействия в линейном приближении в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума Особое внимание уделяется выделению физических степеней свободы модели, для чего выбирается удобная физически обоснованная калибровка В этой калибровке решаются уравнения движения для флуктуаций метрики и скалярного поля как в свободном случае, так и в случае наличия материи на бранах, строится эффективный лагранжиан теории и вычисляются массы и эффективные константы связи для скалярных и тензорных возбуждений, важные с экспериментальной точки зрения
Научная новизна и практическая ценность
Предложенный в работе подход позволил впервые детально проанализировать ряд явлений, возникающих в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума Его отличительной чертой является последовательное использование лагранжева описания линеаризованной гравитации и в его рамках детальное изучение скалярного сектора модели, что позволяет получить согласованные значения массы и константы связи с полями Стандартной модели для низшего скалярного возбуждения - радиона Следует отметить, что большинство полученных результатов справедливы для произвольного вида стабилизирующих потенциалов, что дает возможность для построения новых, интересных с экспериментальной точки зрения, моделей
Все результаты работы получены с использованием корректных теоретических методов, сочетающих в себе ясность физического подхода и строгость математического аппарата, и обладают внутренней согласованностью
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1 Построен лагранжиан второй вариации для флуктуаций метрики и скалярного поля в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума с произвольным фоновым решением Исследована его калибровочная инвариантность и найдена удобная калибровка, позволяющая выделить физические степени свободы модели
2 Для произвольного стабилизированного фонового решения этой модели найдена специальная подстановка, позволяющая расцепить уравнения движения для тензорных и скалярных степеней свободы Эти уравнения приведены к виду Штурма-Лиувилля, и исследованы общие свойства их решений
3 В модели со стабилизированным решением, отвечающим экспоненциальной зависимости фонового скалярного поля от координаты дополнительного измерения, изучена связь энергетических масштабов четырехмерной и пятимерной гравитации В приближении слабой зависимости этого поля от координаты дополнительного измерения решены
уравнения для тензорных и скалярных полей, а также найдены массы и константы связи калуца-клейновских мод с материей на бранах Построен эффективный четырехмерный лагранжиан теории, который описывает безмассовый гравитон, массивные гравитоны и набор массивных скалярных полей
4 Исследованы уравнения движения для флуктуаций метрики и скалярного поля в случае наличия материи на бранах Найдена калибровка для четырехмерного тензорного поля, позволяющая выделить физические степени свободы модели, и для некоторых вариантов расположения материи и наблюдателя на бранах найдены решения уравнений движения Получены соответствующие формулы для Ньютоновского предела модели
Все перечисленные выше результаты были получены либо при непосредственном участии автора, либо самим автором
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на семинаре Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ, XXVIII Международной конференции по фундаментальным проблемам физики высоких энергий и теории поля, Протвино, Россия, 2005, XII Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, Москва, 2005; Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов 2006", Москва, 2006, Российском семинаре "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" СКАСОБ-2007, Казань-Яльчик, 2007
Содержание диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения
и списка цитированной литературы Объем диссертации составляет 99 страниц Список литературы содержит 73 ссылки
Введение содержит краткое изложение темы исследования, целей работы и общей структуры диссертации Здесь также представлен обзор ли-
торатуры по теме диссортции
В первой главе описаны основные модели "мира на бранс" - АОБ-сценарий, модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами (ПБЬмодель), а также стабилизированная И31-модель Обсуждаются их свойства и особенности Особое внимание уделяется нестабилизированной модели Рэндалл-Сундрума Эта модель основана на, точном решении для гравитации, взаимодействующей с двумя бранами в пяшмерном пространстве-времени Е — М х Б1/г2 Метрика этого решения имеет вид
¿в2 = е-^п^йх'Чх" + ¿у2 = 1Мис1хм<1х", а (у) = к\у\ + с, (1)
где = ¿гад(—1,1,1,1) обозначает плоскую метрику Минковского, параметр к имеет размерность массы и связан с пятимерной космологической постоянной, индексы М, N — 0,1,2,3,4, а у = х4, 0 < у < £ обозначает координату дополнительного измерения Плоские браны расположены в точках у — 0 (брана 1) и у — Ь (брана 2), и при кЬ ~ 35 на бране 2 решается проблема иерархии гравитационного взаимодействия Константу с удобно выбирать, в зависимости от того, на какой бране находится наш мир, так, чтобы координаты {хбыли галилеевы на этой бране, то есть чтобы индуцированная на бране метрика = ¿гад{—1,1,1,1)
Такое фоновое решение существует для любого значения расстояния между бранами Ь, то есть оно оказывается нестабилизированным В линеаризованной теории над этим фоновым решением появляется скалярная и безмассовая с четырехмерной точки зрения мода - радиоп, которая отвечает флуктуациям расстояния между бранами и очень сильно взаимодействует с материей на бране в точке у = Ь, на которой предположительно находится наш мир Наличие такой частицы противоречит имеющимся экспериментальным данным Поэтому в конце главы кратко обсуждается решение этой проблемы в рамках стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума, в которой радион приобретает массу благодаря наличию дополнительного пятимерного скалярного поля
Во второй главе изучается модель Рэндалл-Сундрума, стабилизированная с помощью пятимерного скалярного поля Действие модели имеет
вид
- / (Л1(0)5(у) + А2(0)5(у - Ь)) уГ=д<Рх,
где к = уНитСг, С? есть пятимерная гравитационная постоянная, д^ обозначает индуцированную на мембранах метрику, и д = (1е1д!Ш
Для любого стабилизированного фонового решения этой модели, имеющего вид
¿й2 = е-2А{у)щЛхЧх" + йу2 = 1ми{у)<1хм<1хм, ф(х,у) = ф{у)
путем параметризации метрики и поля как
9\т(ог, у) = тмлгЫ + к^л/лг(ж, у), = </>Ы + к/(х,у),
подсгановки этого представления в действие модели и сохранения членов второго порядка по возмущениям получен так называемый лагранжиан второй вариации в модели Рэндалл-Сундрума со скалярным полем
ТЬу = -\i4shMN V5 + 2 V* Л ум -2 ум Л*™ V5 ~ Vй + (Л')2 [¡кАтЬмм - Ьк] -
-А"
ЬмкЬ™ - \НН + ¡НМЛМ,/] + ^ - \ИН) +
Ц (н^ЪГ - \Щ [А1(%) + А25{у - Ь)}+
Ц(Ф') № + \ЬммЬ.мм + Л/г« - 2НшЬш)~
+ К[%5(у) + <%5(у - £)]) - Гф'И + 2дм!фЪ^--ам/5м/ - /2(0 + + ф5(У - Ь))'
Здесь /г — у, Л = ЧриЫ"', а \/м обозначает ковариантную производную в смысле метрики 'yмN Следует заметить, что этот лагранжиан аналогичен лагранжиану нсстабилизированпой модели Рэндалл-Сундрума
и фактически отличается oi него только наличием скалярного поля Однако если положить в нем ф — const и учес1ь уравнения для фоновых конфигураций полей, то лагранжианы полностью совпадут
Из этого ла1ранжиана получены уравнения движения для полей, описывающих возмущения над произвольным стабилизированным фоновым решением
Исследована калибровочная инвариантность этого лагранжиана, и показано, что можно наложить калибровку
(e~2Ah4i)' - |к2е~2Аф'1 = О, V = 0 (2)
Эта калибровка вместе с подстановкой
V- = ¿V - ^l^h-Ai (3)
позволяет расцепить уравнения движения и выделить физические степени свободы модели Показано, что сектор тензорных полей отщепляется от скалярного сектора и имеет ту же структуру, что и тензорный сектор нестабилизированной модели Уравнения для тензорных и скалярных мод приведены к форме Штурма-Лиувилля, и исследованы их общие свойства При выборе потенциалов во всем пространстве и на брапах в виде
ш = WW+рЦф - <М2, \,(Ф) = -\¥(ф)+- hf,
существует точное стабилизированное решение для фоновой метрики и скалярного поля, обобщающее решение Рэндалл-Сундрума
ds2 = e-2AMr,llvdx»dxv + dy2, А(у) = к\у\ + ^-е-2^+с, ф(у) = ф\ e~"l'Jl
Параметры потенциалов к, и, ф^, Pi,2, обезразмеренные фундаментальным пятимерным масштабом теории М = следует считать положитель-
ными величинами порядка 0(1), т е в параметрах модели не должно со-
держаться иерархического различия масштабов Расстояние между брана-ми для этого решения выражается через параметры модели как
Далее в диссертации рассматривается стабилизированная модель Рэндалл-Сундрума, основанная на этом точном решении С помощью развитых в начале главы методов на фоне этого решения изучена линеаризованная гравитация, и в явном виде найдены уравнения для тензорных и скалярных мод Поскольку фоновое решение для метрики намного сложнее решения в нестабилизированной модели Рэндалл-Сундрума, эти уравнения не удается решить точно Поэтому в работе предложено приближение малых и, иЬ -С 1 Из явного вида потенциала У(ф) следует, что при и —0 зависимость от скалярного поля в нем пропадает, и он превращается в пятимерную космологическую постоянную, а стабилизированная модель переходит в нестабилизироваиную Поэтому приближение малых и будет приближением малого отклонения от нестабилизированной модели Рэндалл-Сундрума
В работе показано, что в этом приближении влияние скалярного поля на тензорные возбуждения сводится к перенормировке параметра к нестаби-лизированной модели, который заменяется на к = к — В результате формулы для масс тензорных возбуждений и для связи четырехмерных и пятимерных гравитационных постоянных получаются из соответствующих формул нестабилизированной модели заменой к —» к
Анализ скалярного сектора показал, что в этом приближении уравнение для флуктуаций скалярного поля могут быть решены точно На основе этих решений были найдены формулы для спектра скалярных возбуждений В частности, для массы первого возбуждения - радиона - в приближении
малых и/к была получена простая формула
£ = (5)
о /?2 + Ак
Как и следовало ожидать, в пределе и 0, который соответствует переходу стабилизированной модели в нестабилизироваиную, масса радиона обращается в нуль
Для физических степеней свободы расемафинаомой модели получен эффективный четырехмерный лагранжиан, который описывает бсзмассовый гравитон, массивные гравитоны и набор массивных скалярных полей
оо
5е// = -I Е/<1х {дч^д^ + т\Ък*%„) -
к=О оо
-¡12 {ди(ркд"9к + 1*кЧ>ш) к=1
где Ьра - безмассовый гравитон, Ь7^ при п > О - массивные тензорные моды, а <рп - канонически нормированные скалярные поля (в частности, ц>\ есть поле радиона) Далее в этом разделе также приведены уравнения для спектра масс тензорных и скалярных возбуждений Заметим, что в модели появляются ноля, отсутствующие в обычной четырехмерной теории гравитации и обладающие универсальным по форме взаимодействием с полями Стандартной модели, константа связи которого имеет порядок ТэВ~1 Таким образом она представляет интерес с точки зрения феноменологии
Необходимо еще отметить, что явный вид фоновых полей и потенциалов использовался только для получения спектра масс и констант связи Все результаты, связанные с выбором калибровки, расцеплением уравнений движения и структурой скалярного сектора, справедливы в любой модели, стабилизированной с помощью скалярного поля
В третьей главе изучается гравитационное взаимодействие на бранах Здесь получено общее соотношение, связывающее мае сы Планка на бранах и фундаментальный пятимерный энергетический масштаб М рассматриваемой стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума без использования каких-либо приближений
(>-")} (6)
В этой формуле 7 есть неполная гамма функция, и для удобства введено обозначение Ь — константа с входит в определение А{у) и выбирается таким образом, чтобы координаты {х^} были галилеевы на соответствующей бране
В рамках приближения иЬ 1, используемого в настоящей работе, была нолучена связь фундаментальной пятимерной гравитационной констан-
ты с соответствующими четырехмерными для обеих бран В частности для браны в точке у = Ь, на ко юрой предположительно находится наш мир, было получено выражение
_ 1
М2Р1 = М3-г-, (7)
к
откуда видно, что гравитационное взаимодействие на этой бране подавленно благодаря экспоненциальному фактору, то есть на этой бранс может быть решена проблема иерархии Для этого достаточно положить М ~ & ~ 1 ТэВ, а кЬ ^ 35 Тогда параметр и может быть порядка десятков ГэВ, а масса радиона может быть порядка сотен ГэВ
Также рассмотрен ряд других приближений, для которых были получены связи пятимерных и четырехмерных энергетических масштабов, и проанализированы возможные значения массы радиона В частности, было замечено, что для некоторых значений параметров стабилизированной модели может сложится ситуация, при которой некоторый единый энергетический масштаб будет справедлив для обеих бран Эта ситуация описывается уравнением
Л(0) - АЩ, (8)
из которого получается следующее значение параметра Ь
м
Как уже было отмечено, функция А(у) имеет достаточно сложный вид, и точно решить уравнения для скалярного и тензорного поля не представляется возможным Поэтому опять используется приближение иЬ <С 1, которое представляется достаточно физически обоснованным В этом случае связь энергетических масштабов в терминах массы радиона и расстояния между бранами имеет вид
.— м3 с?'2
М2Р1 = 4^—е^г (Ю)
Если положить массу радиона (ц ~ 100 ГэВ, то экспонента в этом выражении порядка единицы, при этом М ~ 1012 — ЮП/ЪВ Этот энергетический масштаб появляется, например, в модели Великого объединения с
группой 50(10), нарушенной до 5С/(4) х ¿>[/(2) х 5[/(2), как промежуточный масштаб, на котором нарушается кварк-лептонная симметрия 51/(4) Конечно в этом сценарии можно рассмотреть фундаментальный пятимерный энергетический масштаб примерно равным 10 ТэВ, но в этом случае радион оказывается очень тяжелым, хотя низшие возбуждения тензорного поля остаются в пределах энергии 1 ТэВ
Таким образом, мы получили, что в подходе „снизу-вверх", то есхь когда в стабилизированной модели мира на бране многомерная гравитация рассматривается с точки зрения наблюдателя на нашей бране (в точке у = Ь), размер дополнительного измерения порядка Ь ~ ТэВ"1 получается естественным путем Легчайшая скалярная мода - радион - в большинстве стабилизированных сценариев может иметь массу порядка 100ГэВ, при этом его КК-моды, так же как и КК-моды гравитона обычно имеют массы порядка нескольких ТэВ В большинстве сценариев фундаментальный гравитационный многомерный масштаб имеет порядок ТэВ Однако, в случае „симметричного" сценария этот масштаб может быть значительно больше и принимать значения в пределах 1012 — 10ГэВ
В этой главе также было исследовано взаимодействие флуктуаций метрики и скалярного поля с материей на бранах В частности, найдена константа взаимодействия п-ой моды скалярного поля с полями Стандартной модели на нашей бране, она определяется выражением
. - А. М
у/32М3~ \ к / \ к Для радиона эта константа взаимодействия принимает вид
При этом, для определенных выше значений параметров, она может принимать значения порядка е^1 ~ 5 ТэВ, то есть она получилась того же порядка, что и в дестабилизированной модели Этот результат важен для изучения феноменологии радиона
Наличие дополнительного измерения с размером ТэВ~1 открывает новые возможности для изучения моделей, в которых присутствуют КК-моды
различных полей в многомерном пространств и на бране Наличие полой с массами порядка Ь~1 ~ 1 ТэВ и константами связи с полями Стандартной
экспериментальной проверки этих моделей на ускорителях
В четвертой главе были исследованы уравнения движения в случае наличия материи на бранах Оказалось, что в этом случае не существует поперечно-бесследовая калибровка для четырехмерного тензорного ноля, найденная во второй главе для свободной теории Поэтому найдена новая калибровка, приводящая к четырехмерной калибровке де Дондера для тензорных степеней свободы и позволяющая выделить физические степени свободы модели В этой калибровке для некоторых вариантов расположения материи и наблюдателя на бранах найдены решения уравнений движения для произвольного тензора энергии-импульса материи Затем эти формулы применены для исследования ньютоновского предела теории При этом в физически наиболее интересном случае, когда наблюдатель и материя расположены на второй бране, вклад поля радиола в ньютоновский потенциал определяется вторым слагаемым в выражении
где С?2 есть гравитационная постоянная на этой бране, М обозначает массу точечного источника, г есть расстояние от источника в галилеевых координатах, а ¿41-масса радиона
Для анализа полученного результата полезно провести сравнение с нестабилизированной моделью, где соответствующее выражение для ньютоновского предела имеет вид
Видно, что здесь вклад радиона в е2кь раз сильнее, чем вклад безмассового гравитона, и в конечном счете приводит к такой же сильной гравитации на бране, что и в многомерном пространстве Это означает, что в случае безмассового радиона на бране 2, где расположен наш мир, реализуется
модели порядка Ь ~ 1 ТэВ 1 дает потенциально интересную возможность
(13)
(14)
сильная скалярная гравитация, что прямо противоречит экспериментальным данным
Таким образом, в отличие от нестабилизированной модели, где вклад скалярного поля в ньютоновское взаимодействие существенно превышал вклад от тензорных полей, скалярное взаимодействие в нашем случае подавленно благодаря экспоненциальному фактору е~'"г При этом, для определенной выше массы радиона, почувствовать изменение ньютоновского потенциала можно лишь на расстояниях порядка Ю-13 см, что существенно превышает возможности современного эксперимента
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации
• Получен лагранжиан второй вариации для флуктуаций метрики и скалярного поля в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума с произвольными потенциалами скалярного поля во всем пространстве и на бранах, изучена его калибровочная инвариантность
• Явно выделены физические степени свободы модели, для чего найдена удобная физически обоснованная калибровка С помощью этой калибровки и специальной подстановки расцеплены и решены уравнения движения Показано, что сектор тензорных полей отщепляется от скалярного сектора и имеет ту же структуру, что и тензорный сектор нестабилизированной модели Анализ скалярного сектора показал, что в модели отсутствует безмассовая скалярная мода, что соответствует стабилизации расстояния между бранами
• Построен эффективный четырехмерный лагранжиан теории, который описывает безмассовый гравитон, массивные гравитоны и набор массивных скалярных полей При специальном выборе фонового стабилизированного решения найдены массы и константы связи физических полей с материей на бранах Показано, что при определенных значениях параметров модели масса радиона может быть порядка сотен ГэВ, а обратный размер дополнительного измерения и массы тензорных полей могут быть порядка 1 ТэВ Константа связи радиона с материей на
нашей бране оказалась того же порядка, что и в нестабилизированной модели при тех же значениях параметров
• Получены уравнения движения и калибровка в случае наличия материи на бранах Для некоторых вариантов расположения материи и наблюдателя на бранах найдены решения уравнений движения Показано, что соответствующие формулы для Ньютоновского предела, в отличие от нестабилизированной модели, не противоречат экспериментальным данным
Публикации
1 Е Е Boos, Yu S Mikhailov, M N Smolyakov, I P Volobuev Energy scales in stabilized brane world models — Nucí Phys В 2005 v 717, p 19-33
2 E E Boos, Yu. S Mikhailov, M N Smolyakov, I P Volobuev Physical degrees of freedom m stabilized brane world models — Mod Phys. Lett A, 2006, v 21, p 1431-1449
3. Э Э Боос, И П Волобуев, Ю С Михайлов, М Н. Смоляков Линеаризованная гравитация в модели Рэндалл-Сундрума со стабилизированным расстоянием между бранами — ТМФ 2006 Т 149 №3 с 339-353
4 И П Волобуев, Ю С Михайлов, М Н Смоляков Ньютоновский предел в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума — ТМФ 2008 Т 156 №2 с 226-236
Подписано к печати jS 09 08 Тираж -/00 Заказ НА
Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ
Введение .,.
1 Модели с дополнительными измерениями
1.1 ADD-сценарий.
1.2 Модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами.
1.3 Стабилизированная RS1 модель
2 Линеаризованная гравитация в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума
2.1 Лагранжиан второй вариации для стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума.
2.2 Выбор калибровки.
2.3 Уравнения движения для тензорного и скалярного полей.
2.4 Приближение малого возмущения метрики Рэндалл-Сундрума
2.5 Выводы по Главе 2.
3 Гравитационное взаимодействие на бранах
3.1 Энергетические масштабы стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума.
3.2 Гравитационное взаимодействие на бранах.
3.3 Выводы по Главе 3.
4 Взаимодействие с материей на бранах
4.1 Линеаризованные уравнения движения.
4.2 Ньютоновский предел.
4.3 Выводы по Главе 4.
Возможность того, что' наше пространство-время имеет более трех пространственных ' измерений, привлекает интерес физиков па протяжении многих лет. Еще в девятнадцатом веке Э. Мах, обсуждая работы И. Гербарта, писал: "Ограничение конструкции пространства тремя измерениями совершенно лишено основания, и именно на этот пункт следовало бы обратить преимущественное внимание. По истечении целого столетия именно такие вопросы могли бы получить совершенно новую физиономию" [1]. Действительно, на протяжении двадцатого века решению этой проблемы уделялось значительное внимание, причем интерес к ней то возрастал, и она оказывалась в центре внимания, то затухал. А в конце двадцатого века эта проблема прочно заняла одно из центральных мест в теоретических исследованиях по физике высоких энергий.
Рождение многомерного подхода обычно связывают с работой Т. Калуцы 1921 года [2]. Основная идея этой работы заключалась в попытке объединить четырехмерную гравитацию и электромагнетизм в рамках единой пятимерной теории гравитации. Предложенная Калуцей пятимерная теория опиралась на три основных положения. Во-первых, это уже отмеченный факт: увеличение размерности пространства-времени с четырех до пяти. Во-вторых, допущение того, что пятое измерение существенно отличается от четырех классических макроскопических измерений. Это, в частности, проявляется в независимости компонент пятимерной метрики от пятой координаты, что получило название условия цилиндричиости. В-третьих, оказалось необходимым предположить, что уравнения Эйнштейна в пятимерном пространстве-времени получаются из прямого геометрического обобщения действия Эйнштейна-Гилберта, т.е. имеющего вид скалярной кривизны пятимерного пространства-времени, проинтегрированной по этому пространству.
В этой работе Т. Калуцей были получены очень интересные результаты. А именно, оказалось, что при сделанных предположениях система из пятнадцати уравнений Эйнштейна в пятимерном пространстве-времени распадается на систему из десяти обычных четырехмерных уравнений Эйнштейна, на четыре уравнения Максвелла и еще одно дополнительное уравнение для скалярного поля. При этом в десяти четырехмерных уравнениях Эйнштейна автоматически возникает тензор энергии-импульса электромагнитного поля, который в теории Эйнштейна приходилось вводить в правую часть волевым образом. Также из принципа соответствия с обычной четырехмерной теорией следовал вывод, что пятая координата обязательно должна быть пространственной. Таким образом, в теории Калуцы речь шла о четырехмерном пространстве, существование которого предполагалось в ряде гипотез XIX века [1, 3, 4, 5].
Но как идеи Т. Калуцы могут согласоваться с тем очевидным фактом, что мы наблюдаем в точности три пространственных измерения? Ответ, который в неявной форме содержится в работе Т. Калуцы и который позднее был выражен в явном виде и уточнен шведским математиком О. Клейном в 1926 г. [6, 7], состоит в том, что структура пространства нашей Вселенной может допускать как бесконечные, так и свернутые, или компактные измерения. Таким образом, хотя мы наблюдаем только три пространственных измерения, рассуждения Калуцы и Клейна показывают, что это не исключает существования дополнительных компактных измерений, по крайней мере, если они достаточно малы. Вселенная вполне может иметь больше измерений, чем доступно нашим макроскопическим органам чувств. Кроме того, О. Клейн объединил первоначальное предположение Калуцы с идеями квантовой механики, и это привело его к выводу о том, что дополнительное циклическое измерение по размерам сопоставимо с планковской длиной Ipi = 1 /Mpi, что далеко выходит за рамки современных возможностей экспериментального изучения.
Впоследствии теории, основанные на гипотезе о существовании дополнительных компактных пространственных измерений, стали называть теориями Калуцы-Клейна. Однако, хотя исходная идея была многообещающей, последующий детальный анализ показал, что она находится в серьезном противоречии с экспериментальными данными. Простейшие попытки включить в теорию электрон приводили к предсказанию отношения его массы к заряду, которое существенно отличалось от экспериментально измеренных значений. Поскольку сразу разрешить эту проблему не удалось, интерес к теориям Калуцы-Клейна постепенно угас.
Новое возрождение интереса к теориям Калуцы-Клейна началось в шестидесятых годах прошлого века. В это время в работе [8] было дано обобщение подхода Калуцы-Клейна на случай неабелевых калибровочных полей. В этом случае пространство дополнительных измерений представляет собой неабелеву группу Ли, а многомерная теория гравитации сводится к четырехмерной теории, содержащей гравитационное, неабелево калибровочное и скалярные поля. Однако оказывается, что аналогично полной теории Калуцы, возникающие из многомерной метрики скалярные поля взаимодействуют с калибровочным полем неминимально и обладают существенно нелинейным самодействием.
Отметим также появившиеся в это же время работы [9, 10], в которых в рамках гипотезы о существовании дополнительных измерений пространства-времени развивался геометрический подход к теории слабых взаимодействий. В этих работах, в частности, впервые были рассмотрены спинорные поля в пространстве-времени с дополнительными измерениями.
Следует отметить, что в конце двадцатого века логика развития теории поля привела к тому, что гипотеза о многомерном пространстве-времени стала фактически общепринятой. Это связано с тем, что первоначально математическая формулировка многих схем объединения, таких как теории супергравитации с N > 4 и теория суперструн, оказывалась возможной только в пространствах с определенным числом измерений, большим четырех [11, 12,13, 14, 15, 16] (так называемые критические размерности). Таким образом, спустя полвека идея Калуцы обрела новый смысл.
Во всех этих теориях ненаблюдаемость дополнительных измерений пространства-времени по-прежнему объяснялась их малым порядка планковской длины - размером. Новый подход к проблеме ненаблюдаемости дополнительных измерений появился благодаря работам В. Рубакова и М. Шапошникова [17]. В 1983 году они предложили новый сценарий для многомерных теорий, основанный на идее локализации полей Стандартной модели на доменной стенке. При этом дополнительные измерения могут иметь большой или даже бесконечно большой размер, оставаться ненаблюдаемыми в области "низких" энергий и приводить к экспериментально наблюдаемым эффектам в области достаточно высоких энергий [18]. В пределе бесконечно тонкой доменной стенки в многомерном пространстве возникает новый объект, который называют "мембраной", или просто "браной".
Следующий этап развития теорий с дополнительными размерностями пространства-времени связан с появлением так называемого АДД сценария [19, 20]. В этих работах было замечено, что если поля Стандартной модели локализованы на бране в многомерном пространстве и пространство дополнительных компактных измерений имеет большой объем, то стандартная формула теории Калуцы-Клейна для связи многомерной и четырехмерной гравитационных постоянных позволяет решить проблему иерархии гравитационного взаимодействия. А именно, при наличии дополнительных измерений константа гравитационного взаимодействия в многомерной теории может быть сравнима с константой электрослабого взаимодействия, что соответствует фундаментальному энергетическому масштабу порядка 1 ТэВ1 однако эффективная четырехмерная константа взаимодействия на бране имеет обычную величину, соответствующую энергетическому масштабу порядка 1016 ТэВ. Таким образом, при энергиях порядка нескольких ТэВ гравитационное взаимодействие за счет калуца-клейновских мод многомерного гравитационнго поля может быть сравнимым по силе с электрослабым взаимодействием. Поэтому предсказываемые такими теориями эффекты могут быть проверены уже в ближайшее время в экспериментах на коллайдерах (см. например [21, 22]). Именно возможность обнаружения больших и бесконечных дополнительных измерений является основной причиной, по которой они представляют интерес.
АДД сценарий отличается простотой и ясностью объяснения слабости гравитационного взаимодействия в четырехмерном пространстве-времени. Однако сделанное в его рамках предположение об отсутствии у браны натяжения (т.е. плотности энергии) представляется слишком грубым приближением. Действительно, брана без натяжения не обладает энергией покоя, и в соответствии с СТО с ней не может быть связана физическая система отсчета. Если же попытаться рассмотреть в рамках АДД сценария браны с натяжением, то легко увидеть, что гравитационное поле браны нельзя учесть в рамках теории возмущений.
Эта проблемы была решена в модели Рэндалл-Сундрума [23]. Данная модель основана на точном решении для системы из двух бран с натяжением, взаимодействующих с гравитацией в пятимерном пространстве-времени. Дополнительное (пятое) измерение представляет из себя так называемый орбифолд, а браны расположены в его неподвижных точках, в результате чего они не являются динамическими элементами теории. Структура орбифолда накладывает определенную симметрию на все поля модели, в частности, гравитационное поле должно быть симметричными по отношению к отражениям относительно положения бран. В этой модели метрика фонового решения является неплоской, и проблема иерархии решается благодаря экспоненциальному фактору в выражении для метрики.
В моделях [19, 23] дополнительные измерения имеют конечный размер. Однако в моделях "мира на бране" это не обязательно должно быть так. Например, в работе [24] описана модель, в которой одно бесконечное дополнительное измерение и одна брана. Хотя в этом случае иерархия между четырехмерными электрослабым и гравитационным масштабами уже не может быть объяснена геометрией пятимерного пространства-времени, модель предлагает некоторые интересные следствия. К тому же оказалось, что в этом случае нулевая с четырехмерной точки зрения мода гравитона оказывается локализованной на бране, и на достаточно больших расстояниях в пределе слабого поля гравитация на бране соответствует четырехмерной эйнштейновской гравитации.
Помимо рассмотренных вариантов, существуют экзотические сценарии, в которых дополнительные измерения имеют совсем другую структуру. Например модели с временными дополнительными измерениями (см. [25, 26, 27]). Также в последнее время появились модели с так называемыми "универсальными дополнительными измерениями" [28, 29, 30]. В таких моделях предполагается, что поля Стандартной модели находятся не только на бране, а во всем пространстве, что достаточно близко по идее к первоначальным предположениям Калуцы и Клейна. В частности, в последних работах этого направления [31, 32, 33, 34, 35] считается, что все поля Стандартной модели, кроме поля Хиггса, распространяются в дополнительных измерениях; поле Хиггса предполагается локализованным на бране с отрицательным натяжением. При этом разные лептоны и кварки локализованы у разных бран, что позволяет объяснить иерархию их масс.
К сожалению, практически все вышеперечисленные модели не лишены недостатков, что не позволяет построить на их основе реалистическую теорию. Например, модель Рэндалл-Сундрума с двумя бранами, или RS1 модель, предсказывает появление скалярной и безмассовой с четырехмерной точки зрения моды - радиона, которая очень сильно взаимодействует с материей на бране, на которой предположительно находится наш мир. Эта мода соответствует флуктуациям бран по отношению друг к другу, расстояние между которыми, в свою очередь, может принимать произвольные значения. Поэтому принято говорить о „нестабилизированном" расстоянии между бранами, что и проявляется в безмассовости радиона. Наличие безмассовой скалярной частицы, слишком сильно взаимодействующей с полями Стандартной модели, противоречит имеющимся экспериментальным данным.
Для решения этой проблемы были разработаны механизмы стабилизации дополнительного измерения, которые позволяют сделать эту скалярную моду массивной. Наиболее известным является механизм, описанный в работе [36], где стабилизация достигается путем введения пятимерного скалярного поля с некоторыми потенциалом во всем пространстве и дополнительными потенциалами па бранах. Однако в этом подходе не учитывается влияние скалярного поля на фоновую метрику решения. Этот недостаток преодолен в работе [37], где найдены точные решения уравнений движения для всех полей. В результате стабилизация размера дополнительного измерения достигается благодаря граничным условиям для скалярного поля на бранах, а масса радиона определяется величиной отклонения фоновой метрики от решения Рэндалл-Сундрума.
Похожий механизм стабилизации дополнительного измерения был описан в работе [38], где предлагается искать стабилизированные решения в пятимерной теории гравитации Бранса-Дикке [39, 40, 41, 42]. Преимущество этого подхода заключается в том, что в теории гравитации Бранса-Дикке скалярное поле присутствует изначально и его можно использовать для стабилизации размера дополнительного измерения. При этом решение для фоновой метрики имеет в точности тот же вид, что и в модели Рэндалл-Сундрума, а фоновое решение для скалярного поля также имеет простую экспоненциальную форму.
Тем не менее, почти во всех работах по феноменологии модели Рэндалл-Сундрума по-прежнему рассматривается нестабилизированнная модель, в которую масса радиона вводится "руками". В данной диссертации показывается, что такой подход представляется непоследовательным, так как в стабилизированной модели масса радиона, а также константы связи с материей на бранах выражаются через фундаментальные параметры модели, то есть не являются независимыми.
В данной диссертации изучается линеаризованная гравитация на фоне стабилизированного решения Рэндалл-Сундрума. На защиту выносятся следующие результаты:
1. Построен лагранжиан второй вариации для флуктуаций метрики и скалярного поля в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума с произвольным фоновым решением. Исследована его калибровочная инвариантность и найдена удобная калибровка, позволяющая выделить физические степени свободы модели.
2. Для произвольного стабилизированного фонового решения найдена специальная подстановка, позволяющая расцепить уравнения движения для тензорных и скалярных степеней свободы. Эти уравнения приведены к виду Штурма-Лиувилля, и исследованы общие свойства их решений.
3. В модели со стабилизированным решением, отвечающим экспоненциальной зависимости фонового скалярного поля от координаты дополнительного измерения, изучена связь энергетических масштабов четырехмерной и пятимерной гравитации. В приближении слабой зависимости этого поля от координаты дополнительного измерения решены уравнения для тензорных и скалярных полей, а также найдены массы и константы связи калуца-клейновских мод с материей на бранах. Построен эффективный четырехмерный лагранжиан теории, который описывает безмассовый гравитон, массивные гравитоны и набор массивных скалярных полей.
4. Исследованы уравнения движения для флуктуаций метрики и скалярного поля в случае наличия материи па бранах. Найдена калибровка для четырехмерного тензорного поля, позволяющая выделить физические степени свободы модели, и для некоторых вариантов расположения материи и наблюдателя на бранах найдены решения уравнений движения. Получены соответствующие формулы для Ньютоновского предела модели.
Все перечисленные выше результаты были получены либо при непосредственном участии автора, либо самим автором. Предложенный в работе подход позволяет построить самосогласованную линеаризованную теорию гравитации в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами. Отличительной чертой работы является последовательный анализ скалярного сектора. При этом показано, что масса скалярной моды - радиона выражается через параметры модели и ее нельзя вводить "руками".
Научная достоверность результатов работы определяется использованием корректных теоретических методов, строгостью применяемого математического аппарата и внутренней согласованностью результатов.
Общее число публикаций в реферируемых журналах по теме диссертации — 4. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43, 44, 45, 46] и докладывались на семинаре Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ; XXVIII Международной конференции по фундаментальным проблемам физики высоких энергий и теории поля, Протвино, Россия, 2005; XII Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, Москва, 2005; Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам „Ломоносов 2006", Москва, 2006; Российском семинаре „Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" GRACOS-2007, Казань-Яльчик, 2007; (часть результатов опубликована также в виде трудов конференций [47, 48, 49, 50]).
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 99 страниц. Список литературы содержит 73 ссылки.
4.3 Выводы по Главе 4
В данной главе были исследованы уравнения движения в случае наличия материи на бранах. Найдены калибровка, позволяющая выделить физические степени свободы модели, и для некоторых вариантов расположения материи и наблюдателя на бранах найдены решения уравнений движения для произвольного тензора энергии-импульса материи. Затем эти формулы применены для исследования ньютоновского предела теории. В отличие от нестабилизированной модели, где вклад скалярного поля в ньютоновское взаимодействие существенно превышал вклад от тензорных полей, скалярное взаимодействие в нашем случае подавленно благодаря экспоненциальному фактору При этом, для определенной выше массы радиона, почувствовать изменение ньютоновского потенциала можно лишь на расстояниях порядка Ю-13 см, что существенно превышает возможности современного эксперимента.
Заключение
В диссертации была изучена линеаризованная гравитация в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума. В работе получены следующие результаты:
• Получен лагранжиан второй вариации для флуктуаций метрики и скалярного поля в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума с произвольными потенциалами скалярного поля во всем пространстве и на бранах, изучена его калибровочная инвариантность.
• Явно выделены физические степени свободы модели, для чего найдена удобная физически обоснованная калибровка. С помощью этой калибровки и специальной подстановки расцеплены и решены уравнения движения. Показано, что сектор тензорных полей отщепляется от скалярного сектора и имеет ту же структуру, что и тензорный сектор нестабилизированной модели. Анализ скалярного сектора показал, что в модели отсутствует безмассовая скалярная мода, что соответствует стабилизации расстояния между бранами.
• Построен эффективный четырехмерный лагранжиан теории, который описывает безмассовый гравитон, массивные гравитоны и набор массивных скалярных полей. При специальном выборе фонового стабилизированного решения найдены массы и константы связи физических полей с материей на бранах. Показано, что при определенных значениях параметров модели масса радиона может быть порядка сотен ГэВ, а обратный размер дополнительного измерения и массы тензорных полей могут быть порядка 1 ТэВ. Константа связи радиона с материей на нашей бране оказалась примерно того же порядка, что и в нестабилизированной модели при тех же значениях параметров.
• Получены уравнения движения и калибровка в случае наличия материи на бранах. Для некоторых вариантов расположения материи и наблюдателя на бранах найдены решения уравнений движения. Показано, что соответствующие формулы для Ньютоновского предела, в отличие от нестабилизированной модели, не противоречат экспериментальным данным.
Отличительной чертой работы является последовательное изучение скалярного сектора модели, что позволяет получить непротиворечивые значения массы и константы связи для низшего скалярного возбуждения - радиона.
Благодарности
Автор выражает искреннюю и глубокую признательность научному руководителю работы доктору физико-математических наук Игорю Павловичу Волобуеву за постановку задачи, плодотворные обсуждения и поддержку. Также хотелось бы выразить благодарность Э.Э. Боосу, Ю.В. Грацу и М.Н. Смолякову за полезные обсуждения, а также всему Отделу теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ за создание творческой и доброжелательной атмосферы в процессе выполнения этой работы.
1. Э. Мах. Познание и заблуждение. — М.: Изд-во С. Скирмунта, 1909, е.446.
2. Т. Калуца. К проблеме единства физики //Сб."Альберт Эйнштейн и теория гравитации". — М.: Мир, 1979, с.529-534.
3. Б. Риман. О гипотезах, лежащих в основании геометрии //Сб."Альберт Эйнштейн и теория гравитации". — М.: Мир, 1979, с. 18-19.
4. Ю.Б. Румер. Исследования по 5-оптике. — М.: ГИТТЛ, 1956, с. 11.
5. Б.В. Булюбаш. Электродинамика дальнодействия // Физика XIX-XX вв. в общенаучном и социокультурных контекстах. (Физика XIX века). — М.: Наука, 1995, с.244.
6. О. Klein. Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie. — Zeits. Phts., 1962, v. 37, p. 895-906.
7. O. Klein. The atomicity of electricity as a quantum theory law. — Nature, 1926, v. 118, p. 516.
8. R. Kerner. Generalization of the Kaluza-Klein theory for an arbitrary non-Abelian gauge group. — Ann. Inst. H. Poincare 9 (1968) 143-152
9. Б.А. Арбузов. О возможности геометрической интерпретации слабых взаимодействий лептонов. — ЖЭТФ, Т. 46, с. 1285-1294, 1964.
10. Б.А. Арбузов, А.Т. Филиппов. Модель слабых взаимодействий барионов и лептонов. — ЖЭТФ, Т. 51, с. 1389-1401, 1966.
11. Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация. — Пер. с англ. М.: Мир, 1986.
12. Sehwarz J. Superstring theory. — Phys. Rep. 1982, v. C89, N 3, 223 -322.
13. P. Horava, E. Witten. Heterotic and Type I String Dynamics from Eleven Dimensions. Nucl. Phys. В 460 506 (1996); hep-th/9510209
14. A. Lukas, B. A. Ovrut, K. S. Stelle, D. Waldram. Universe as a domain wall. Phys. Rev. D 59 086001 (1999); hep-th/9803235
15. E. Witten. Strong coupling expansion of Calabi-Yau compactification.- Nucl. Phys. B, 1996, v. 471, p. 135-158.
16. J. Polchinski. TASI lectures on D-branes. arXiv:hep-th/9611050, 1996.
17. V.A. Rubakov, M.E. Shaposhnikov. Extra spase-time dimensions: Towards a solution to the cosmological constant problem. — Phys. Lett. B, 1983, v. 125, p. 139-143.
18. В. А. Рубаков. Большие и бесконечные дополнительные измерения.- УФН, 2001, Т. 171, No 9, с. 913-938. (V. A. Rubakov, Phys. Usp. 44 (2001) 871)
19. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali. The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter. — Phys. Lett. B, 1998, v. 429, p.263-272.
20. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali. Phenomenology, astrophysics and cosmology of theories with submillimeter dimensions and TeV scale quantum gravity. — Phys. Rev. D, 1999, v. 59,086004.
21. P. Loren-Aguilar, E. Garcia-Berro, J. Isern, Y.A. Kubyshin. Time variation of G and a within models with extra dimensions. — Class. Quant. Grav., 2003, v. 20, p. 3885-3896.
22. I. Antoniadis. Physics with large extra dimensions. — Eur. Phys. J. C. 2004. V. 33. P. S914.
23. L. Randall, R. Sundrum. Large mass hierarchy from a small extra dimension. Phys. Rev. Lett., 1999, V.83, P. 3370-3373.
24. L. Randall, R. Sundrum. An alternative to compactification. — Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 4690-4693.
25. G.R. Dvali, G. Gabadadze, G. Senjanovic. Constraints on extra time dimensions. arXiv:hep-ph/9910207, 1999.
26. M. Chaichian, A.B. Kobakhidze. Mass hierarchy and localization of gravity in extra time. — Phys. Lett. B, 2000, v. 488, p. 117-122.
27. T.j. Li. Time-like extra dimension and cosmological constant in brane models. Phys. Lett. B, 2001, v. 503, p. 163-172.
28. T. Appelquist, H.C. Cheng, B.A. Dobrescu. Bounds on universal extra dimensions. Phys. Rev. D, 2001, v. 64, 035002.
29. T.G. Rizzo. Probes of universal extra dimensions at colliders. — Phys. Rev. D, 2001, v. 64, 095010.
30. C. Macesanu, C.D. McMullen, S. Nandi. New signal for universal extra dimensions. Phys. Lett. B, 2002, v. 546, p. 253-260.
31. K. Agashe, A. Belyaev, T. Krupovnickas, G. Perez and J. Virzi. LHC signals from warped extra dimensions. — Phys. Rev. D 77 (2008) 015003 arXiv:hep-ph/0612015].
32. K. Agashe, G. Perez and A. Soni. Collider signals of top quark flavor violation from a warped extra dimension. — Phys. Rev. D 75 (2007) 015002 arXiv:hep-ph/0606293].
33. K. Agashe, H. Davoudiasl, G. Perez and A. Soni. Warped Gravitons at the LHC and Beyond. — Phys. Rev. D 76 (2007) 036006 arXiv:hep-ph/0701186].
34. A. L. Fitzpatrick, J. Kaplan, L. Randall and L. T. Wang. Searching for the Kaluza-Klein graviton in bulk RS models. — JHEP 0709 (2007) 013 arXiv:hep-ph/0701150].
35. B. Lillie, L. Randall and L. T. Wang. The Bulk RS KK-gluon at the LHC. JHEP 0709 (2007) 074 arXiv:hep-ph/0701166],
36. W. D. Goldberger, M. B. Wise. Modulus stabilization with bulk fields.- Phys. Rev. Lett., 1999, V. 83, P. 4922-4925.
37. O. DeWolfe, D. Z. Freedman, S. S. Gubser, A. Karch. Modeling the fifth dimension with scalars and gravity. — Phys. Rev. D, 2000, V. 62, 046008.
38. A.S. Mikhailov, Yu.S. Mikhailov, M.N. Smolyakov, I.P. Volobuev. Constructing stabilized brane world models in five-dimensional Brans-Dicke theory. — Class. Quant. Grav. 24:231-242, 2007.
39. P. Jordan. The present state of Dirac's cosmological hypothesis. — Z. Physik, 1959, v. 157, p. 112-121.
40. C. Brans, R.H. Dicke. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Rev., 1961, v. 124, p. 925-935.
41. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, том 3. — Бишкек: Айнштайн, 1997. — 510 с.
42. С. Вейнберг. Гравитация и космология. — Волгоград: Платон, 2000.696 с.
43. Е. Е. Boos, Yu. S. Mikhailov, M. N. Smolyakov, I. P. Volobuev. Energy scales in stabilized brane world models. — Nucl. Phys. B. 2005. V. 717. P. 19.
44. E. E. Boos, Yu. S. Mikhailov, M. N. Smolyakov, I. P. Volobuev. Physical degrees of freedom in stabilized brane world models. — Mod. Phys. Lett. A, 2006, v. 21, p. 1431-1449.
45. Э. Э. Боос, И. П. Волобуев, Ю. С. Михайлов, М. Н. Смоляков. Линеаризованная гравитация в модели Рэндалл-Сундрума со стабилизированным расстоянием между бранами. — ТМФ. 2006. Т. 149. т. с. 339-353.
46. Е. Е. Boos, I. P. Volobuev, Yu. S. Mikhailov, M. N. Smolyakov. Linearized gravity in the Randall-Sundrum model with stabilized distance between branes. — Theor. Math. Phys. 149 (2006) 1591)
47. И.П. Волобуев, Ю.С. Михайлов, M.H. Смоляков. Ньютоновский предел в стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума. — ТМФ. 2008. Т. 156. №2. с. 226-236.
48. А.С. Михайлов, Ю.С. Михайлов. Линеаризованная гравитация в мире на бране в пятимерной теории Бранса-Дикке. — Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии "GRACOS-2007,,9-16 сентября 2007г., Казань-Яльчик, с. 124-128.
49. Э. Э. Боос, И. П. Волобуев, Ю. А. Кубышин, М. Н. Смоляков. Эффективные лагранжианы модели Рэндалл-Сундрума. — ТМФ. 2002. Т. 131. Ш. с. 216.
50. Е. Е. Boos, I. P. Volobuev, Yu. A. Kubyshin, М. N. Smolyakov. Effective Lagrangians of the Randall-Sundrum Model. — Theor. Math. Phys. 131(2) (2002) 629)
51. A. Brandhuber, K. Sfetsos. Non-standard compactifications with mass gaps and Newton's law. JHEP 1999. V. 9910. P. 013.
52. L.P. Grishchuk, A.N. Petrov, A.D. Popova. Exact theory of the (Einstein) gravitational field in an arbitrary backgraund space-time. — Comm. Math. Phys., 1984, v. 94, p. 379-395.
53. I. Ya. Aref'eva, M. G. Ivanov, W. Muck, K. S. Viswanathan, I. V. Volovich. Consistent linearized gravity in brane backgrounds. — Nucl. Phys. B, 2000, V. 590, p. 273-286.
54. Ch. Charmousis, R. Gregory, V. Rubakov. Wave function of the radion in a brane world. Phys. Rev. D. 2000. V. 62. P. 067505.
55. H. Davoudiasl, J.H. Hewett, T.G. Rizzo. Phenomenology of the Randall-Sundrum gauge hierarchy model. — Phys. Rev. Lett., 2000, v. 84, p. 2080-2083.
56. H. Davoudiasl, J.H. Hewett, T.G. Rizzo. Experimental probes of localized gravity: on and off the wall. Phys. Rev. D, 2001, v. 63, 075004.
57. A. V. Kisselev, V. A. Petrov and R. A. Ryutin, Phys. Lett. В 630 (2005) 100 arXiv:hep-ph/0506034].
58. A. V. Kisselev and V. A. Petrov, Phys. Rev. D 71, 124032 (2005) arXiv:hep-ph/0504203].
59. A. V. Kisselev. RS model with a small curvature and gravity effects in e+ e- annihilation into leptons at the LC. — JHEP 0703 (2007) 006 arXiv:hep-ph/0610113].
60. B. Grinstein, D.R. Nolte, W. Skiba. On a Covariant Determination of Mass Scales in Warped Backgrounds. — Phys. Rev. D63 (2001) 105005,
61. M. Toharia. The radion and the perturbative metric in RSI. — Mod. Phys. Lett. A, 2004, v. 19, p. 37-48.
62. C. Csaki, M.L. Graesser, G.D. Kribs. Radion dynamics and electroweak physics. Phys. Rev. D, 2001, v. 63, 065002.
63. Kofman, J. Martin and M. Peloso. Exact identification of the radion and its coupling to the observable sector. — Phys. Rev. D 70, 085015 (2004).
64. V.D. Barger, T. Han, T. Li, J.D. Lykken, D. Marfatia. Cosmology and Hierarchy in Stabilized Warped Brane Models. — Phys. Lett. В 488 (2000) 97.
65. P. Langacker. Grand unified theories and proton decay. — Phys.Rept. 72 (1981) 185.
66. R. Arnowitt and J. Dent. Gravitational forces in the Randall-Sundrum model with a scalar stabilizing field. — Phys. Rev. D 75 (2007) 064001 arXiv:hep-th/0509081.
67. Y. A. Kubyshin. Models with extra dimensions and their phenomenology. hep-ph/0111027, 2001.
68. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теория поля. — M.: Наука, 1967. (L. D. Landau, Е. М. Lifshitz. The Classical Theory of Fields. — Oxford.: Pergamon Press, 1975.)
69. В. M. Бабич, M. Б. Капилевич, С. Г. Михлин. Линейные уравнения математической физики. — М.: Наука, 1964.
70. Б. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. — Том 2. М.: Наука, 1974. 296 с.
71. И.П. Волобуев, М.Н. Смоляков. Точные решения для линеаризованной гравитации в модели Рэндалл-Сундрума. — Теоретич. и Математич. Физика, 2004, т. 139, н. 1, с. 12-28.
72. Е. Е. Boos, V. Е. Bunichev, М. N. Smolyakov and I. P. Volobuev, "Testing extra dimensions below the production threshold of Kaluza-Klein excitations," arXiv:0710.3100 hep-ph].
