Группы когомологий малых размерностей над абелевыми группами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1 КОЯ 1527

На правах рукописи

ШАПОШНИКОВА Елена Вакильевна

ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ НАД АБЕЛЕВЫМИ ГРУППАМИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре алгебры Томского государственного университета.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор БЕККЕР И.Х.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ТУГАНБАЕВ АА.

кандидат физико-математических наук, доцент МАНОВЦЕВ АА.

Ведущая организация - Институт математики СО РАН.

-/•3 НС

Защита состоится «..„.„..».....,-й........... 1997 г. в ........часов на

заседании диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В.И. Ленина по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

£*£- "¡Г

Автореферат разослан «....„..:..»....................1997 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета

КАРАСЕВ ГА

Актуальность темы. Изучение групп кошмологий малых размерностей— одна из тенденций развития современной когомологической теории групп.

В рамках когомологической теории групп решаются самые разнообразные и важные задачи из различных областей математики: топологии, геометрии, алгебры (теории расширений групп, теории Галуа, теории групп, теории алгебр, теории представлений и т.д.). Интересное применение получила эта теория в теоретической физике (например, при изучении явления квантовой аномалии). При этом в приложениях встречаются почти исключительно когомологии малых размерностей: 0, 1, 2 и изредка 3. Поэтому, не умаляя важности общей теории, без развития которой невозможно единообразное изучение групп когомологий, следует считать изучение групп когомологий малых размерностей, исходя из их теоретико-групповой интерпретации, актуальной задачей современной алгебры.

Алгебраические предпосылки теории групп когомологий появились в работах Шура [1], Шрайера [2], Брауэра [3] и Бэра [4,5]. За десятки лет цо появления общего определения гомологий и когомологий групп эти-уш учеными в связи с различными математическими проблемами были зведены и изучались объекты, позже получившие название групп когомо-тогий малых размерностей. Это были факторгруппа группы скрещенных хшоморфизмов по подгруппе главных скрещенных гомоморфизмов (груп-га Я1), группа классов эквивалентных наборов факторов (группа Я"2), и 1аже группа Н3 появилась в алгебраическом контексте в работе Тейхмюл-гера [6]. Выход в свет в 60-ые годы основополагающих книг А.Картана, ^.Эйленберга "Гомологическая алгебра" [7] и С.Маклейна "Гомология" [8] онаменовал рождение когомологической теории групп как самостоятель-юй математической дисциплины с собственными методами и собственным [редметом изучения. Современное состояние теории групп кошмологий тражено, например, в книге К.С. Брауна "Когомологии групп" [9].

Известной интерпретацией первой группы когомологий является сле-ующая. Пусть Г(О)— голоморф абелевой группы (7, то есть полупрямое асширение группы (7 с помощью группы АгИ;(7. Обозначим через Л'(Г) руппу всех внутренних автоморфизмов голоморфа, через Л<?(Г)— группу сех автоморфизмов голоморфа, отображающих группу в на себя. Первая руппа когомологий Н1(АпХО,С) группы АиЪО над группой С изоморфна «кторгруппе Аз(Г)/Л'(Г) [10]. Таким образом, если всякий автоморфизм эломорфа группы (7 является внутренним, то Н1(Аи1С, й) = 0, то есть ривиальность первой группы когомологий над группой — необходимое словие совершенности голоморфа этой группы.

Следует отметить также связь групп когомологий с группами расширений. Известно, что Я*(П,С) = Ех^и(г,С) [11, с.111.], где г[П]— групповое кольцо, а С— П-модуль (п > 1). Однако единых подходов к описанию групп Ех^вд^, (?) (групп ЕхЬя(А,В), где А,В— Д-модули, Л— произвольное ассоциативное кольцо) нет. Не считая некоторых частных случаев, немного известно как о свойствах элементов групп Ех^щ^.С) (Ех<;д(А,5)), так и о строении самих групп расширений. Вычисление же групп £Р(П, й) с помощью известных общих методов (резольвент, спектральных, точных последовательностей) даже в случае достаточно простых по строению конечных групп Н небольших порядков требует немалых усилий. Поэтому подходы, позволяющие изучать группы НП(П, <?), исходя из взаимосвязей между свойствами групп П и б, представляют определенный интерес.

Идейным источником данной работы является цикл работ Й.Х. Бек-кера [12—16], где получены условия равенства нулю первых групп когомологий над широкими классами абелевых групп. Предложенный И.Х. Беккерои подход к изучению групп когомологий Л^Ф,(?), где Ф < АтйСг, основывается на использовании взаимосвязей между свойствами абелевых групп и свойствами их групп автоморфизмов. Этот подход позволяет применить теорию абелевых групп к исследованию групп когомологий. Здесь данный метод исследования получил дальнейшее развитие и применен к новым классам абелевых групп.

Так как группы когомологий (гомологий) являются абелевыми группами, то их изучение средствами теории абелевых групп представляется естественным и интересным направлением в теории групп когомологий малых размерностей. По словам Л.Фукса, теория когомологий групп является областью математики, в которой широкое применение теории абелевых групп может быть очень плодотворным. Однако как абелевы группы группы когомологий фактически не изучались, и работы, относящиеся к этой тематике, неизвестны.

Методы ИССЛеДОВаНИЯ. В диссертации используются методы теории абелевых групп и модулей, методы когомологической теории групп.

Цель работы. Изучение групп когомологий малых размерностей над абелевыми группами.

Научная ПОВИЗНа. Результаты работы новые. Основными являются следующие:

1) получены условия тривиальности первых групп когомологий над следующими классами абелевых групп: 5-сепарабельными и обобщенно сепарабельными группами без кручения, группами без кручения ранга 2, смешанными сепарабельными группами;

-52) доказано, что группы когомологий малых размерностей (0, 1) над смешанными сепарабелъными абелевыми группами также сепарабельны; полнено описание первых групп когомологий над абелевыми группами без кручения с сильно однородными кольцами эндоморфизмов; доказана реализуемость произвольной абелевой группы в качестве первой группы когомологий Н1(Ф,<2), где С?— абелева группа, Ф— группа ее автоморфизмов.

Практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты работы могут быть использованы при изучении голоморфов абелевых групп, аффинных групп модулей и колец, групп расширений. Методы изучения групп когомологий малых размерностей, развиваемые в данной работе, могут быть применены при вычислении групп когомологий над модулями, кольцами и другими алгебраическими системами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на VI симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990), на Международной конференция по алгебре, посвяшрнной памяти А.й. ПГиршова (Барнаул, 1991), на симпозиуме "Абелевы группы" (Бийск, 1994), докладывались на семинаре кафедры алгебры МПГУ и неоднократно обсуждались на алгебраических семинарах Томского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ:

1. Беккер И.Х., Шапошникова Е.В. Первые группы когомологий над 5-сепарабельными абелевыми группами// VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Львов: Львовский госуниверситет им. Й.Я. Франко, Институт прикладных проблем математики и механики АН УССР, 1990. С. 17.

2. Беккер И.Х., Шапошникова Б.В. Скрещенные гомоморфизмы в Б-се-иарабельные абелевы группы без кручения// Абелевы группы и модули. Гомск: Изд-во Том. ун-та, 1991. Вып. 10. С. 9-16.

3. Беккер И.Х., Шапошникова Е.В. Первые группы когомологий над Целевыми группами без кручения ранга 2// Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.й. Ширшова. Тезисы докладов. 1овосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1991. С. 20.

4. Беккер И.Х., Шапошникова Е.В. Первые группы когомологий над абелевыми группами без кручения ранга 2// Абелевы группы и модули. Гомск: Изд-во Том. ун-та, 1994. Вып. 11, 12. С. 53-62.

5. Шапошникова Б.В. Первые группы когомологий над обобщенно се-гарабельными абелевыми группами без кручения// Симпозиум "Абелевы руппы". Тезисы выступлений участников. Бийск: НИЦ БиГПЙ, 1994. С. 9-40.

-66. Шапошникова E.B. Первые группы когомологий над обобщенно се-парабельньши абелевыми группами без кручения// Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. Вып. 13,14. С. 243-247.

7. Шапошникова Б.В. О равенстве нулю первых групп когомологий над смешанными сепарабельными абелевыми группами.— Томск, 1997.— iO е.//Рукопись депонирована в ВИНИТИ 12.03.97, №748-В97.

8. Шапошникова Б.В. Первые группы когомологий как абелевы группы.— Томск, 1997.— 30 с.//Рукопись депонирована в ВИНИТИ 12.03.97, W49-B97.

В совместных работах постановка задачи и выбор метода исследования принадлежат И.Х. Беккеру. Диссертанту принадлежат формулировки и доказательства результатов.

Структура И объём работы. Диссертация выполнена на 83 страницах машинописного текста и состоит из введения и трех глав. Библиография содержит 39 наименований.

Содержание диссертации

Работа посвящгна изучению условий тривиальности первых групп когомологий над абелевыми группами из различных классов (главы I, И) и исследованию свойств групп когомологий малых размерностей как абеле-вых групп (глава III).

Введение содержит краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности решаемых задач и краткое содержание диссертации.

Под П-модулем (Ф-модулем) подразумевается модуль над целочисленным групповым кольцом Z[n] (Z[$]), где П (Ф)— некоторая мультипликативная группа. Первая группа когомологий группы П лад П-модулем G определяется как факторгруппа ЛГ^П,^) = Z1(U,G)fBl(ÜiG), где

П,С7)— группа всех скрещенных гомоморфизмов из П в G, то есть всех отображений из П в G, для которых справедливо }{ху) = /(®)+®/(у), 1,1/6 П; ß^n.G)— подгруппа всех главных скрещенных гомоморфизмов, то есть скрещенных гомоморфизмов вида f(x) = а - ха, где а— фиксированный элемент группы G.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена изучению условий равенства нулю первых групп когомологий G) над абелевыми группами без кручения. Основным рабочим предположением при этом является наличие в группе автоморфизмов Ф регулярного автоморфизма <7, ограничение которого на каждом прямом слагаемом группы С? есть регулярный автоморфизм этого прямого слагаемого.

-7В работе в целом большое место занимает изучение групп когомо-логий малых размерностей над абелевыми группами сепарабельными в различных смыслах. Так §1 содержит условия равенства нулю первых групп когомологий над 5-сепарабельными группами, где 5— система абелевых групп без кручения конечного ранга, для которой справедлив аналог теоремы Бэра-Куликова-Капланского.

Для З-сепарабельных групп С? через &(<?) обозначается множество прямых слагаемых группы (7, изоморфных группам из ¿У. При вычислении первой группы когомологий Н1(Ф, С?) над 5-сепарабельной группой (? требуется выделить в подмножество тех прямых слагаемых, тривиальность первых групп когомологий над которыми эквивалентна тривиальности первой группы когомологий над самой группой

Основными определениями являются следующие [13]. Подгруппу Н группы в назовем х-эндоморфной в б, х е Е(О), если всякий раз из того, что уд — Л € В, где д € б, следует д € И. Здесь Е(О)— кольцо эндоморфизмов группы С?. Через Ф// будем обозначать группу автоморфизмов подгруппы II группы <7, индуцированных автоморфизмами из Ф < Ат^С?, через <рц— автоморфизм подгруппы Н группы б, индуцированный автоморфизмом 6 АпЮ. Множество П(О) назовем <т-точным, если условие Нот (А, В) Ф 0 для групп А, В € П(<3) влечет существование такого мономорфизма ц : А В, что д(А)— (с — ст)-эндоморфлая подгруппа в В. Понятие ст-точности множества работает во всех

параграфах, где речь идет о сепарабельных группах. Важным является также понятие изолированной в группы А, то есть такой группы,

что Нот(/4, В) — 0 для любой группы В € П(Сг) \ {А}. Для ¿'-сепарабельных групп с ^-точными множествами О(О) изолированность прямого слагаемого А в эквивалентна его характеристичности в й.

Основным результатом этого параграфа является следующий Теорема 1.5 Пусть в— Б-сепарабелъная абелева группа, а е Ф < А иЮ.

1. Если группа Н\Ф, (7) = 0, то группа .Я^Фси6») - 0 <^иг любой изолированной группы <?; 6 П(С7).

2. Если группа Н1[= 0 для любой изолированной группы € О(б) о множество о-точное, то группа Н1(Ф,С) = 0.

В §2 получены условия тривиальности первых групп когомологий над группами без кручения ранга 2. Основные результаты этого параграфа следующие.

Теорема 2.4 Пусть <7— не 2-делимая сильно неразложимая однородная

абелева группа без кручения ранга 2, Ф = (<р0) х П (<рд = Дп) х П Д

¿6/ ¿6/

п = 2,4.

1. В случае п = 2 группа Д"1(Ф,б!) ф 0 тогда и только тогда, когда

-87; 6 22 для любого г 6 } и Оц Ф 0.

2. В случае п = 4 группа Н^Ф.б) Ф 0 тогда и только тогда, когда 7i € 2Z для любого i£Jue+<po& 2 Е^СИ).

Здесь / = {г € Г; (с - £ 2Е(С)}, Ся = {д € <?; г»;» € 1тф>, » €

= I» -к = ^ € Е(О), V,- = 11'Кк + /,-ч/3) е Е(е), с - = /г1*^ е

Е(<3), UiiVi,ki,li € : С}Е(£) —> (3(\/3)— изоморфизм между кольцом квазиэндоморфизмов группы й и квадратичным полем. Теорема 2.6 Пусть С?— не 2-делимая сильно неразложимая абелева группа без кручения ранга 2, у которой ]Г(С?)| = 2, С}Е(С}) ^ Ф < АиИЗ « Ф{д3), = (е). 5 таком случае группа Н1^?^) Ф 0 тогда и только тогда, когда для некоторых 0 ф а,Ь Е <2 элемент х — ауд\ + (|у2 + Ьу)д% существует в группе б для любого у € Нот((д\)*,{д2)*).

Здесь {51,52}— максимальная линейно независимая система элементов группы <2.

В качестве примера сформулированы условия равенства нулю первых групп когомологий над 52-сепарабельными группами, где £2— система абелевых групп без кручения рангов 1 и 2.

В §3 рассматриваются первые группы когомологий над обобщенно сепарабельньшн группами без кручения. При введении понятия "обобщенная сепарабельность" роль класса групп ранга 1 играют однородные группы без, кручения. Главная трудность этого параграфа заключается в том, что для обобщенно сепарабельных групп неизвестен аналог теоремы Фукса о сепарабельности прямого слагаемого. Здесь через обозначается множество всех однородных прямых слагаемых группы б.

Для обобщенно сепарабельной группы С множество групп Б — {А; € 0(0); * € 1} назовем

1) изолированным справа, если для любой группы А,- € £> Нот(А;, В) = О для любой группы В € П(С!) \ 5 (сумму групп £ А; изолированного

справа множества в будем называть изолированной справа группой);

2) изолированным слева, если для любой группы А,- е 5 Нот(В, А,) = О для любой группы В 6 П((?) \ 5;

3) связанным, если для любой пары групп А,- и А;- из 5 Нот(А,-, А;) ф О и Нот(А/, А,) ф 0.

Показано, что сумма групп изолированного справа множества является сервантной вполне характеристической подгруппой (лемма 3.1), а изолированного справа и слева множества— прямым слагаемым группы С? (лемма 3.2). Основным результатом §3 является

Теорема 3.3 Пусть С?— обобщенно сспарабелънал абелева группа, <г € Ф < АиЮ.

-91. Если группа Н1^^) = 0, то группа Л^Фс^С;) = 0 для любой изолированной справа группы €

2. Если а) группа Ф) = О для любой изолированной справа

группы б, б б) множество а-точное; в) любое изолированное справа связанное множество 5" С П(О), мощности больше 1, изолировано и слева, то группа -ЕГ^Ф, й) = 0.

Вторая глава посвящена изучению условий равенства нулю первых групп когомологий нал смешанными сепарабельными абелевыми группами и состоит из двух параграфов (§4,5). В §4 рассматриваются группы Н1^, С), где С?— смешанная сепарабельная группа, а группа автоморфизмов Ф удовлетворяет основному предположению из главы I, то есть содержит регулярный автоморфизм а, ограничение которого на любом прямом слагаемом группы <7 есть регулярный автоморфизм этого прямого слагаемого. Это предположение позволяет применить к вычислению группы .БГ^Ф, б) над смешанной сепарабельной группой <3 тот же подход, что и в главе I. При этом из того факта, что рассматриваемая группа £7 имеет автоморфизм а е Ф,с указанным выше свойством,следует, что 2-компонента группы б равна нулю и Л1(Ф,-, С?,-) = 0 для любого прямого слагаемого (7, = Z(pÍ!). Однако в отличие от сепарабельных и 5-сепара-бельных групп без кручения тривиальность первой группы когомологий над смешанной сепарабельной группой даже в этом случае не эквивалентна тривиальности первых групп когомологий над характеристическими прямыми слагаемыми ранга 1. Так как с появлением в сепарабельной группе С? периодической части обогащается класс прямых слагаемых без кручения ранга 1 и усложняются взаимосвязи между такими прямыми слагаемыми.

Для смешанной сепарабельной группы С? обозначим через 0(0) множество всех прямых слагаемых ранга 1 группы С?, через Т((?)— множество различных типов всех прямых слагаемых без кручения ранга 1 группы С?. <г-точность множество П(С7) понимается так же,как и в §1.

Введем следующее определение. Будем говорить, что ранг типа <(<?;) группы без кручения ф 6 равен 1, если существует прямое разложение (? = <.?,-© & такое, что дополнительное прямое слагаемое С не содержит прямых слагаемых группы С?, изоморфных б,-. В противном случае будем считать, что г(*(С;)) > 1.

Множество Э С Й(С?) назовем изолированным в Я(О), если для любой группы А Е 5 Нош(Л, В) = 0 для любой группы В 6 й(О) \ в. В частности, если 5 — {<?;}, то группу С; будем называть изолированной в Я(<?) группой. Показано (лемма 4.2), что сумма групп изолированного множества 5 С П((?)— вполне характеристическая подгруппа смешанной

сепарабельной грушгы (?. Легко видеть, что для прямого слагаемого б,-группы С? изолированность в П(С) эквивалентна его характеристичности.

Рассмотрим три подмножества множества

= {группы без кручения Gi € П(С?), изолированные в Й(С?)}, то есть Ох (С?)— это множество всех вполне характеристических прямых слагаемых без кручения ранга 1 группы <3;

= {группы без кручения ф € 0(6"); = 1 и <((?,-) макси-

мален в Т(С)};

П3(С) = {группы без кручения (7, е г(*((7,)) = 1 и если для

Су е > «(ф), то (с--- О}, а, = <т0>}.

Ясно, что С С Теперь можно сформулировать

главное утверждение этого параграфа.

Теорема 4.5 Пусть й— смешанная сепарабелъная абелева группа, а 6 Ф < АиЮ.

1. Если группа Я*(Ф,С) = 0, то группа — 0 для любой группы Gi Е Пз(<7).

2. Группа Н\Ф,(7) = 0, если

а) при а — —е, группа Я^Фс^С,) = 0 для любой группы б; 6

б) при а ф -с, группа Я^Фс^О = 0 для любой группы <?,- € ^(б) и множество <т-точное.

Получены следствия теоремы 4.5 для групп без кручения.

Перейдем к §5. Цель данного параграфа— получить условия тривиальности первых групп когомологий над смешанными сепарабельными группами с ненулевой конечной 2-компонентой. В более общем виде эту задачу можно сформулировать так: получить условия равенства нулю первой группы когомологий над полухарактеристически прямо разложимой группой в = О! ©<?2, (Ною(С?1,02) = 0), где прямое слагаемое (?1 не имеет регулярного автоморфизма, принадлежащего группе Ф, а Сг имеет такой автоморфизм. Для решения поставленной задачи используются точные когомологические последовательности.

Для короткой точной последовательности 0 —► С?! —► С2 —► бз —* О П-модулей точна последовательность групп когомологий [9, с.87]

О Я°(П, СО Я°(П, С2) Я°(П, Сз) (1)

-> Я1(П, вО -> Я^.СУа) Н\П, <?3) -»- - . •

Пусть Г— нормальная подгруппа группы П. Тогда точна последовательность [8, с.449]

JEf2(II/r,Gr) Я2(П,С).

Так как в условиях данного параграфа первые группы когомологий над периодическими прямыми слагаемыми ранга 1 группы G могут быть ненулевыми, рассмотрены условия тривиальности таких групп когомологий. При этом предварительно доказаны две леммы о свойствах автоморфизмов групп Z(pi), где р— простое число, к £ N.

Лемма 5.1 Нерегулярные автоморфизмы группы 2%j>k) и только они имеют порядки, являющиеся степенями число р.

Лемма 5.2 Пусть <р— автоморфизм порядка п группы Z(pk). Тогда

1) при либо tr-f </э + ... + <ря-1 = 0, если <р регулярен, либо Кег(е + ifi •+ ... -f v3"-1) — -М/ - <р), если <р нерегулярен;

&) прир = 2 либо е + <р 4- ... + <рп~1 = 0, либо Кег(с + <р + ,.. + <р"-1) = 1т(е - <р).

Теорема 5.3 Пусть G— циклическаяр-группа, Ф— произвольная группа ее автоморфизмов.

1. При р^2 группа Н1{ Ф, G) = 0.

2. При р — 2 группа Н1(Ф, G) Ф 0 тогда и только тогда, когда либо а) Ф — (ip), где tp удовлетворяет условию е+v +... + <р3'-1 = 0, о(<р) — 21, при этом Н1(Ф,С) = Д2); либо б) Ф— группа нециклическая, при этом Я3(Ф,С?) = Д2) или В\Ф,С) 2(2) Ф Д2).

Основной результат этого параграфа— условия тривиальности первой группы когомологий Я!(Ф, G) над полухарактеристически прямо разложимой группой G = G] ® С2, где только одно прямое слагаемое G2 имеет регулярный автоморфизм, содержащийся в группе Ф. Через J обозначается подгруппа элементов группы G, неподвижных относительно автоморфизмов из Ф. Предполагается, что группа автоморфизмов Ф содержит автоморфизмы, индуцированные на прямых слагаемых G\ и С2. Тогда Ф = Ф х ($! х Ф2), где Ф ~ 0 < Hom(G2,Gi), Ф1 и Ф2— группы автоморфизмов групп Gi и G2, индуцированных автоморфизмами из Ф. Теорема 5.7 Яусшь G = Gi ф G2> HorriGi,G2) = 0, <r2 6 Ф = Ф1 ч (Ф1 х Ф2) < ¿uiG.

i. Ям» Я1(*1»С?1) = 0, ЯЧФа.^з) = 0, Я1(Ф2, /) = 0, Я*(Ф,GJ* = 0, пк>я1(Ф.<г) = о.

5. Вели Я*(Ф, G) = о, то Я*(Ф3, Ga) = 0, Я"1^.J) =

В случае характеристического разложения группы G = G\ ® G2 (HomfGLGj) = Hom(Gx,Ga) = 0), <г3 € Ф < AutG, получен более полный ответ на вопрос о равенстве нулю группы Я*( Следствие 5.8 Пусть G — G\ ф G7, Hom(Gi,G2) = Hom(Gi,Gi) = 0, т2 е Ф < AutG. Группа ffJ(®,G) = 0 тогда и только тогда, когда ff^Gi) = 0, Я1(Ф2, G2) = 0, Н1\[Ф2) J) S Яот(Ф2, J) = 0.

Если группа автоморфизмов Ф содержит регулярный автоморфизм <г, индуцирующий регулярные автоморфизмы и на <?ь и на то условие !Г3(Ф2,«0 — 0 выполняется, и равенство нулю группы Н1(Ф,0) эквивалентно одновременному равенству нулю групп когомологий над характеристическими прямыми слагаемыми ^(Фх,^) и /Г^Фз,^)- Если же прямое слагаемое <?х не имеет регулярного автоморфизма из Ф, то группа Н1{Ф, С?) может быть отлична от нуля, в то время как группы Н1(Ф1,С1) и Н1{Фц С^) нулевые (теорема 5.10).

В третьей главе изучаются свойства групп когомологий малых размерностей (0 и 1) как абелевых групп.

Доказана теорема, описывающая первую группу когомологий £Г1(Ф,й) над группой (7, обладающей регулярным автоморфизмом а € С(Ф) (С(Ф)— центр группы Ф), как подгруппу неподвижных относительно индуцированного действия группы Ф элементов некоторой факторгруппы группы С. Такое описание, во-первых, показывает, что всегда, когда речь идет о первой группе когомологий Я1(Ф,Сг), все сказанное одновременно относится к нулевой группе когомологий Н°{Ф, С?/(е — о)С). Во-вторых, это описание позволяет определенные свойства группы С? перенести на группу Нх{Ф,0). Так показано, что свойство сепарабельности переносится на первую группу когомологий £Га(Ф,С), если С?— сепара-бельная абелева группа.

Теорема 6.3 Пусть О— смешанная сепарабельная абелева группа, с Е Ф < АиЮ. Тогда Н1{Ф,С)— сепарабельная периодическая группа. Следствие 6.4 Если О— вполне разложимая группа, а £ Ф < АиЮ> то Нх(Ф,0)— прямая сумма конечных циклических групп.

Далее изучается группа когомологий Н1(Ф,0), где (3— группа без кручения, а Ф обладает тем свойством, что всякий эндоморфизм вида с — ц>, где <р € Ф, есть целое кратное некоторого автоморфизма группы (7. Например, <7 может быть группой без кручения ранга 1 или группой без кручения с сильно однородным кольцом эндоморфизмов. Получено описание таких групп когомологий в терминах групп С и Ф. Теорема 6.С Пусть б?— абелева группа без кручения, Ф— группа ее автоморфизмов такая, что для любого е Ф <р € Ф справедливо е — = кф, где к вКф б АиЮ, и С(Ф) ф е. Тогда Н\Ф, = Е (с - <р)0.

Отсюда получены условия тривиальности групп 1У1(Ф,С;), где группы Ф и С такие, как сказано выше.

Следствие 6.7 Пусть (7— абелева группа без кручения, Ф— группа ее автоморфизмов такая, что для любого е Ф <р 6 Ф справедливо е— <р = кф, к е ТУ, ф € АиЪй, и С(Ф) ф е. Группа Н1(Ф,С) = 0 тогда и только тогда,

когда НОД{к 6 Ы; е - <р = кф, <г ф <р € Ф, ф € А«й7} = 1.

При определении первой группы когомологий для того, чтобы подчеркнуть роль П-модульной структуры иногда пишут 1ЭГ^(П,£г), где значок яф" указывает на фиксированную П-ыодульную структуру. Для коммутативной группы в задание структуры левого П-модуля равносильно заданию гомоморфизма а : П -+ АиК7. Для П-модуля (7 обозначаем л(П) = Ф < А^С. При этом Л°(П,(7) = Я°(Ф,(7), но Я^П.С?) ф Д^Ф.О). Соотношение между группами когомологий Я1(П,(7), где П-модульная структура на (7 произвольная, и группами когомологий /Г^Ф,^), где Ф < АМО, не является простым и известным. Если (7— тривиальный П-модуль, то Д'1(П,С!) ® Нот(П, О). Этот факт снимает вопрос о реализуемости произвольной группы (7 как первой группы когомологий, так как всякая абелева группа в = Бот(Х, й). Однако, если речь идет о группах когомологий Н1(Ф, (7), где Ф < Аи1<7, вопрос о том, какие абелевы группы реализуются в качестве таких групп когомологий представляет интерес (тривиальной П-модульной структуре здесь соответствует только группа Нг((е)> (7) = 0). В частности, во многих случаях, например, если группа автоморфизмов Ф содержит автоморфизм с, являющийся умножением группы С на некоторое рациональное число, или, как показывают теоремы 6.3 и 6.6, если (7— смешанная сепарабельная группа, а а— регулярный автоморфизм из С(Ф), либо (7— группа без кручения с сильно однородным кольцом эндоморфизмов, то первая группа когомологий -ЕГ^Ф^) является периодической группой. Закономерно возникает вопрос: может ли первая группа когомологий Н1(Ф,С) быть группой без кручения? Вопрос о том, какими свойствами обладают группы П1(Ф,0), где (7— абелева группа, Ф < АиЬй, как абелевы группы, связан с вопросом о том, могут ли такие группы Н\ф,С) обладать некоторым заданным свойством (например, быть группами без кручения). Доказана теорема о реализуемости произвольной абелевой группы в качестве группы Н1( ФуО).

Теорема 6.10 Для любой абелевой группы А существуют абелева группа (7 и группа Ф < АиЮ такие, что Н1(Ф,С) = А.

Эта теорема показывает, что класс групп Д1(Ф, <7), где Ф < АиК7, как класс абелевых групп не уже, чем класс абелевых групп ИГ^П,«?), где б— произвольный П-модуль.

Автор выражает глубокую признательность Й.Х. Беккеру за высокий профессионализм в руководстве работой, внимание и поддержку.

-14-

ЛИТЕРАТУРА

1. Schur J. Uber die Daxstellragen der endlichen Gruppen durch gebrochen lineare Substitutionen// J. reine angew. Math., 1904. 127. S. 20-50.

2. Schreier 0. Über die Erweiterungen von Gruppen, I// Monatsch. Math. Phys., 1926. 34. S. 165-180.

3. 3. Brauer R. Uber Zusammenhänge zwischen arithmetischen und invarianten teoretischen Eigenschaften von Gruppen lineare Substitutionen// Sitzungber. Preuss. Akad. Wiss., 1926. S. 410-416.

4. Baer E. A theory of crossed characters// Trans. Amer. Math. Soc., 1953. V. 54. P. 103-170.

5. Baer R. Crossed isomorphisms// Amer. J. Math., 1944. V. 66. P. 341404.

6. Teichmiiller O. Über die sogenannte nichtcommutative Galoische Theorie und die Relation = »,r// Deutsche Math., 1940. 5. S. 138-149.

7. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: ИЛ, 1960.

8. Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966. 543 с.

9. Браун К.С. Когомологий групп. М: Наука, 1987. 543 с.

10. Mills W.H. The automorphisms of the holomorph of a finite Abelian group// Trans. Amer. Mathl. Soc., 1957. V. 85. №1. P. 1-34.

11. Бурбаки H. Элементы математики. Алгебра, глава X. Гомологическая алгебра. М: Наука, 1987. 182 с.

12. Беккер Н.Х. О группах скрещенных гомоморфизмов групп автоморфизмов абелевых групп без кручения// Изв. вузов. Матем., 1973. №7. С. 3-11.

13. Беккер Й.Х. Первые группы когомологий над сепарабельными абе-левыми группами без кручения// Изв. вузов. Матем., 1983. №3. С. 3-11.

14. Беккер И.Х. Первые группы когомологий над межпрямыми суммами Л^-сепарабельных типа Р+ групп// Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1981. С. 20-34.

15. Беккер Й.Х. Об абелевых группах без кручения с периодическими группами автоморфизмов// Изв, вузов. Матем., 1986. №2. С. 3-12.

16. Беккер Й.Х. Первые группы когомологий над слабо транзитивными группами// Абелевы группы и модули. Томск: йзд-во Том. ун-та, 1996. Вып. 13,14. С. 20-34.