Группы, насыщенные заданными множествами конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

РУБАШКИН Артем Геннадьевич

ГРУППЫ, НАСЫЩЕННЫЕ ЗАДАННЫМИ МНОЖЕСТВАМИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2005

Работа выполнена в Красноярском государственном аграрном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шлепкин А К.

Официальные оппоненты:

Защита состоится 04 марта 2005 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Мазуров В.Д.

доктор физико-математических наук, профессор Сучков Н.М.

Ведущая организация:

Иркутский государственный педагогический университет

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических на/ доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

При описании групп Шункова с условием примерной минимальности (А.К. Шлёпкин [10]) анализировался контрпример с заданными периодическими подгруппами и системой конкретных конечных простых неабелевых подгрупп. Естественно было рассмотреть группы без условий минимальности, но с заданными системами конечных подгрупп. Так появилось понятие насыщенности группы некоторыми системами конечных групп. Группа G насыщена группами из множества групп если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G (возможно совпадающей с К), изоморфной некоторой группе из ¡ЕЯ. Пусть группа О насыщена группами измножества ЭТ и для любой X € ЭТ в G найдется подгруппа Ь ~ X. В этом случае будем называть множество насыщающиммножеством групп для G.

Насыщенность является естественным обобщением локального покрытия группы [5]. В начале 80-х годов В.В. Беляев [3] и независимо А.В. Боровик, С. Томас, Б. Хартли и Г. Шют доказали следующую теорему: Если локально конечная группа G локально покрывается множеством подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.

Если группа локально покрывается некоторым множеством конечных групп, то она локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Так, группы Новикова-Адяна В(т, п) для нечетных п [1] насыщены одной циклической группой порядка п. Примеры периодических групп без инволюций, насыщенных группами из множества, состоящего из любого конечного числа конечных групп без инволюций, дают периодические произведения [2]. Этот перечень можно существенно расширить примерами групп из [7].

В связи с приведенной выше теоремой появился следующий вопрос, вошедший в Коуровскую тетрадь под номером 14.101:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга ?

Частичным решениям этого вопроса посвящен ряд работ А.К. Шлёп-кина и А.И. Созутова [8] - [13].

Для того чтобы понятие насыщенности работало эффективно, необходима достаточно "густая сеть" конечных подгрупп с нетривиальными пересечениями, по которой могла бы распространяться "кристализация по насыщенности" до локальной конечности всей группы [9]. В приведённом вопро-

се такая сеть состоит из диэдральных подгрупп диэдра, порождённьж парами инволюций. Если период свободной бернсайдовой группы В(т,п) четен, то в ней естественно возникает сеть конечных диэдральных подгрупп. За последнее десятилетие получен ряд фундаментальных результатов по группам В{т,п) чётных периодов. Отметим здесь результаты СВ. Иванова, И Г Лысёнка и О.Ю. Ольшанского. Как оказалось, конечные подгруппы в таких группах содержатся в прямых произведениях X £>2*+1 X... X Г>2*+1 групп диэдра порядков 2щ И 2*+1, где п = 2кЩ, (п1,2) = 1 [6, 16]. Другими словами, бернсайдовы группы достаточно большого чётного периода насыщены прямыми произведениями указанных групп диэдра, взятых в конечном числе.

В 1967 г., когда уже были известны "экзотические" свойства бернсай-довых групп нечётного периода п > 4381, В.П. Шунков неожиданно доказал [14], что периодическая группа с конечной обособленной подгруппой чётного порядка локально конечна. В дальнейшем аналогичные результаты были получены для групп со слабыми условиями конечности [15]. Напомним, что необязательно периодическая бесконечная группа называется слабо (сопряженно) бипримитиено конечной, если в ней любая пара (сопряженных) элементов одного и того же простого порядка порождает конечную подгруппу. Если это свойство наследуют все сечения группы по конечным подгруппам, то такая группа называется (сопряженно) бипримитиено конечной. Сейчас эти группы называются также группами Шункова. Группа Шункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической [15]. Поэтому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях элементов конечных порядков, в частности:

Составляют ли элементы конечного порядка в группе Шункова, насыщенными либо группами диэдра, либо конечными простыми группами, характеристическую подгруппу — периодическую часть?

Под периодической частью T(G) группы G здесь понимается подгруппа, порожденная всеми элементами конечного порядка из О, при условии, что она периодическая.

Изучение в диссертации периодических групп, насыщенных группами диэдра, с одной стороны, инициировано вопросом 14.101 из Коуровской тетради, с другой стороны, эти исследования представляют интерес в связи с указанными выше достижениями комбинаторной теории групп. Цель диссертации.

Настоящая диссертация посвящена изучению периодических и смешанных групп Шункова, насыщенных либо группами диэдра, либо заданными множествами конечных простых неабелевых групп.

Методы исследования.

Применяются методы теории групп. Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Практическая ценность.

Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы как в дальнейших исследованиях в теории групп, так и при чтении специальных курсов по алгебре. Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения и трёх глав основного текста. Список литературы состоит из 90 наименований. Работа изложена на 76 страницах текста, набранного в редакционно-издательской системе Ш^Х. Основные результаты.

Основными результатами работы можно считать следующие:

1. Доказана конечность периодических групп ограниченного периода, насыщенных группами диэдра.

2. Найдена факторизация G = ABC = АСВ = ВСА = СВА (локально) конечным диэдром А и (локально) циклическими подгруппами В, С произвольной периодической группы G 2-ранга > 1, насыщенной группами диэдра.

3. Установлены существование и строение периодической части в группе Шункова, насыщенной конечными группами диэдра.

4. Простые группы L2^) над произвольными локально конечными полями охарактеризованы как периодические группы, насыщенные группами из множества всех конечных простых проективных специальных линейных групп размерности 2.

5. Доказана конечность периодических групп, насыщенных конечными простыми неабелевыми группами из конечного множества, не содержащего групп, в централизаторах силовских 2-подгрупп которых есть элементы нечётного порядка > 5.

6. Найдена конечная периодическая часть в группе Шункова, насыщенной группами из произвольного конечного множества конечных простых групп.

7. Установлены существование и строение периодической части в группах Шункова, насыщенных конечными Z-группами.

Содержание диссертации.

В главе 1 приведены известные определения и результаты, использующиеся в доказательстве основных результатов диссертации (главы 2, 3). Часть из них были получены в процессе работы и приведены с доказательствами.

В главе 2 исследованы периодические группы, насыщенные группами диэдра, или, если говорить в терминах определения насыщенности, группы, насыщенные группами из множества ÍR, где ÜH — множество всех различных конечных групп диэдра.

Уточним здесь некоторые определения. Произвольная группа, порожденная двумя инволюциями, называется группой диэдра, или диэдром, если она к тому же конечна, то конечным диэдром. Будем называть группу локально конечным диэдром, если она является объединением бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров. Эти новые термины введены в тексте диссертации для того, чтобы избежать длинных и не совсем точных словосочетаний типа "локально конечная локально диэдральная группа".

В главе получены свойства группы, насыщенной группами диэдра, представляющие самостоятельный интерес. Так, в лемме 11 установлена локальная конечность централизаторов инволюций, а в лемме 14 — сопряжённость силовских 2-подгрупп. Перечислим основные результаты главы. Теорема 2. Периодическая группа ограниченного периода, насыщенная группами диэдра, конечна.

Как уже упоминалось, группы В(т, п) для достаточно больших чётных п, не локально конечны и насыщены прямыми произведениями конечных групп диэдра [6, 16]. Теорема 2 указывает, что ограничение на число прямых множителей до одного в насыщенности вместе с условием конечности периода приводит к локальной конечности группы. В случае неограниченности периода группы, имеет место

Теорема 3. Если G — периодическая группа, насыщенная группами диэдра и S — её силовская 2-подгруппа, то либо S — группа порядка 2 и G — (локально) конечный диэдр, либо G = ABC = АСВ = ВС А = С В А, где А — централизатор некоторой инволюции z из центра S, В — 0(Cq(v)), V — произвольная инволюция из S, отличная от z, и С — 0{Cg{zv))- При этом А — (локально) конечный диэдр, а В, С — (локально) циклические группы.

Существуют ли не локально конечные группы, удовлетворяющие теореме 3, пока не известно. Для групп Шункова ситуация более определённа. Теорема 4. Группа Шункова, насыщенная группами диэдра, обладает периодической частью являющейся (локально) конечным диэдром.

В главе 3 изучаются периодические группы, насыщенные группами из множества £Н, где 5Я состоит из конечных простых неабелевых групп. Следующая теорема завершает результаты из [8] - [12], посвященные периодическим группам, насыщенным группами из множества 94 = {Ь2(Ка)\а С /}, где Ка — конечное поле, а I — некоторое множество индексов. Теорема 5. Бесконечная периодическая группа О, насыщенная группами из множества УК, изоморфна простой группе Ь2 (Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Доказательство теоремы 5 существенно опирается на результаты главы 2 и стало возможным только после изучения групп, насыщенных группами диэдра.

Обозначим через $ множество, состоящее из конечных простых неабелевых групп со следующим свойством: Пусть К € & И 5 ее силовская 2-подгруппа. Тогда Ск($) содержит элементы нечетного порядка и все они имеют порядок больше трех.

Теорема 6. Пусть периодическая группа О насыщена конечными простыми неабелевыми группами из конечного множества имеющегопустоепере-сечение с 5- Тогда О конечна и изоморфна некоторой группе множества 91.

Отметим, что при доказательстве указанного результата существенно использовалось строение централизатора силовской 2-подгруппы в конечной простой неабелевой группе, полученное А.С. Кондратьевым и ВД. Мазуровым [4].

В последних двух основных результатах диссертации, как и в теореме 4, снова рассматриваются смешанные группы Шункова. Теорема 7. Группа Шункова, насыщенная группами из произвольного конечного множества конечныхгрупп, обладает периодической частью, изоморфной одной из групп множества 9

Теорема 8. Группа Шункова, насыщенная конечными простыми Х-груп-пами обладает периодической частью Т(О) изоморфной либо Ь2{Р), либо $1(0), где Р иО подходящие локально конечные поля. Апробация.

Результаты диссертации докладывались автором на "Мальцевских чтениях" в 2002-2004 гг., семинарах "Алгебра и Логика" и "Теория групп" (НГУ), на ХЬП Международной научной студенческой конференции в 2004 г. "Студент и научно-технический прогресс", проходившей в г. Новосибирске, Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения профессора А.И. Кокорина "АЛиК-2004", проходившей в г. Иркутске. Они неоднократно обсуждались на семинарах при КрасГУ, КрасГАУ и КрасГА-СА.

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [17] - [28].

Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №03-01-00356, 0501-00708) и Красноярского краевого фонда науки, грант №иР0202С.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору А.К. Шлёпкину за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны.

Список литературы

[1] Адян СИ. Проблема Бернсайда и тождества в группах.- М.: Наука, 1975.

[2] Адян СИ. Периодические произведения групп // Тр. мат. ин-та АН СССР им. ВА Стеклова.-Т. 142.- М.: Наука, 1976- С. 3-21.

[3] Беляев В.В. Локально конечные группы Шевалле // Исследования по теории групп- Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984.- С. 39-50.

[4] Кондратьев А.С, Мазуров ВД. 2-сигнализаторы конечных простых групп // Алгебра и логика- 2003-Т. 42, № 5 - С. 594-623.

[5] Конторович П.Г., Пекелис А.С., Старостин А.И. Структурные вопросы теории групп // Матем. зап. Уральск, ун-та.- 1961- №3.- С. 3-50.

[6] Лысёнок И.Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. матем- 1996-Т. 60-С. 4-5.

[7] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. -М: Наука, 1989.

[8] Созутов А.И., Шлёпкин А.К. О некоторых группах с конечной инволюцией, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. заметки- 2002.- Т. 72, №3.- С. 433-447.

[9] Созутов А.И. О некоторых группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Математические системы.- Красноярск: КрасГАУ.-2004.-№3.-С. 101-110.

[10] Shlepkin А.К. Shunkov groups with primary minimality conditions. I, II, III// Siberian Advan. Math.- 1998.- V. 8, №3.- P. 114-131; 1999.- V. 9, №1.- P. 62-89; №5.- P. 502-521.

[11] Шлёпкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. труды.- 1998.- Т. 1, №1.-G. 129-138.

[12] Шлёпкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами С/з(2п) // Алгебра и логика.- 1998.- Т. 37, №5.- С. 606-615.

[13] Шлёпкин А.К. О периодической части некоторых групп Шункова // Алгебра и логика- 1999-Т. 38, № 1 - С. 96-125.

[14] Шунков В.П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы // Алгебра и логика.- 1967.- Т.6, №3.- С. 113-124.

[15] Шунков В.П. Мр-группы- М.: Наука, 1990.

[16] Ivanov S.V. The free Bumside groups of sufficiently laxge exponents // Int. J. of Algebra and Computation-1994.- V. 4.- P. 2.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[17] Васильева О.В., Рубашкин А.Г., Шлёпкин А.К. О периодических группах, насыщенных группами диэдра // III Всесибирский конгресс женщин-математиков: Тез. док. / Под ред. д.т.н. Л.Ф. Ноженковой-Красноярск: ПФК "ТОРРА".- 2004,- С. 33-34.

[18] Васильева О.В., Рубашкин А.Г., Шлёпкин А.К. О периодических группах, насыщенных группами диэдра // Вестник КрасГУ: физ.-мат. науки.- Красноярск, 2004- № 3 - С. 16-18.

[19] Кузнецов АА., Рубашкин А.Г., Филиппов КА. О периодических группах, насыщенных группами 2") // Алгебра, логика и кибернетика: Мат-лы межд. конф.- Иркутск, 2004.- С. 63.

[20] Кузнецов АА., Рубашкин АГ., Филиппов КА О периодических группах, насыщенных 51/2(?) // Мат-лы XXII регион, науч.-техн. конф.-Красноярск: КрасГАСА, 2004- С. 7.

[21] Рубашкин А.Г. О периодических группах, насыщенных группами

// Математические системы.- Красноярск: КрасГАУ.- 2004.- №3- С. 40-59.

[22] Рубашкин А.Г., Филиппов КА. О существовании периодической части в группах Шункова, насыщенных группами диэдра // Студент и научно-технический прогресс: Математика: Мат-лы XLII межд. науч.-студен. конф.- Новосибирск, 2004.- С. 15-16.

[23] Рубашкин А.Г., Филиппов КА О группах Шункова, насыщенных конечными простыми Z-группами // Математические системы.- Красноярск: КрасГАУ.- 2004.- №3.- С. 103-116.

[24] Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простым группами // Математические системы-Красноярск: КрасГАУ- 2004-№2- С. 96-100.

[25] Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. Об одном классе периодических групп // Математические системы.- Красноярск: КрасГАУ.- 2004.- №2.- С. 101-110.

[26] Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Сиб. матем. журн.- 2004.- Т. 45, №6.- С. 1397-1400.

[27] Shlepkin A.K., Rubashkin A.G. Groups saturated by a finite set of groups // Siberian mathematical journal- 2004- V. 45, №6 - P. 1140-1142.

[28] Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика.- 2005- Т. 44, № 1.- С. 110-119.

Подписано в печать 24.01.05. Формат 60 х 86/16

Бумага тип. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,75 Заказ № 2165 Тираж 100 экз.

Издательский центр

Красноярского государственного аграрного университета 660017, Красноярск, ул. Ленина, 117.

04.01—04.

-J

т i

« ' г ? -î o ФЕВ 2005" -

V

Введение

1. Используемые результаты

1.1. Элементарные сведения.

1.2. Группы с инволюциями.

1.3. Сведения о конечных простых неабелевых группах.

1.4. Группы, насыщенные конечными простыми подгруппами.

1.5. Свободные группы конечного периода.

2. Группы, насыщенные группами диэдра

2.1. Периодические группы, насыщенные группами диэдра.

2.2. Периодические группы, насыщенные группами диэдра и имеющие вид = #АЛГ.

2.3. Существование периодической части в группе Шункова, насыщенной группами диэдра.

3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами

3.1. Периодические группы, насыщенные Ь2(рп)

3.2. Группы, насыщенные конечным множеством групп.

3.3. Группы Шункова, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами

В теории бесконечных групп естественным образом выделились направления связанные с различными условиями конечности. Перечислим некоторые из них: периодичность, локальная конечность, условия обрыва различного рода цепочек подгрупп, конечность определенным образом порожденных подгрупп. Каждое из перечисленных выше условий само по себе или в сочетании с другими представляет собой крупное направление в теории групп. За последние годы в теории бесконечных (периодических) групп решены многие старые проблемы, предложены различные конструкции периодических групп, построено много серий примеров [1-3,10,12,13,20,21,24,26,27,29-33,43,44,62]. Примеры Е.С. Голода, А.И. Созутова, A.B. Рожкова [10,34,36,37] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. В настоящее время бесконечные группы со слабыми условиями конечности интенсивно изучаются (см. монографии [58,59]).

При описании групп Шункова с условием примарной минималь-(% ности (А.К. Шлёпкин [64]) анализировался контрпример с заданными периодическими подгруппами и системой конкретных конечных простых неабелевых подгрупп. Естественно было рассмотреть группы без условий минимальности, но с заданными системами конечных подгрупп. Так появилось понятие насыщенности группы некоторыми системами конечных групп [48].

Группа G насыщена группами из множества групп если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G (возможно совпадающей с К), изоморфной некоторой группе из D\.

Пусть группа G насыщена группами из множества дК и для любой X е в G найдется подгруппа L ~ X. В этом случае будем говорить, что G насыщена множеством групп ÜH, а само множество ÜH называть насыщающим множеством групп для G.

Как оказалось, насыщенность является естественным обобщением покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторовича [17,18]. В конце 60-х годов П.Г. Конторо-вич, A.C. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [19]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [19,21]. В начале 80-х А годов В.В. Беляев [4] и независимо A.B. Боровик, С. Томас, Б. Хартли и Г. Шют доказали следующую теорему:

Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, содержащим множество подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.

Если группа обладает локальным покрытием, содержащим некоторое множество конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а л для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так группы Новикова-Адяна В(т,п) для нечетных п [1,2,26,27], насыщены одной циклической группой порядка п. Примеры периодических групп без инволюций, насыщенных группами из множества, состоящего из любого конечного числа конечных групп без инволюций, дают периодические произведения [2]. Этот перечень можно существенно расширить приме-fr рами групп из [29-32]. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена подгруппами из конечного множества. То же самое справедливо для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как по [52] они обладают бесконечными локально конечными подгруппами.

В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возникает следующий вопрос, вошедший в Коуровскую тетрадь под номером 14.101 [22]:

Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?

Частичным решениям этого вопроса посвящён ряд работ А.К. Шлёпкина и А.И. Созутова [40,41,49,50,53].

Для того, чтобы понятие насыщенности работало эффективно, необходима достаточно "густая сеть" конечных подгрупп с нетривиальными пересечениями, по которой могла бы распространяться "кристали-зация по насыщенности" до локальной конечности всей группы. В приведённом выше вопросе такая сеть состоит из диэдральных подгрупп, порождённых парами инволюций, и содержащих их конечных простых подгрупп. Здесь большая роль принадлежит простому но фундаментальному факту, что две инволюции в периодической группе всегда порождают конечную подгруппу, которая к тому же достаточно прозрачно устроена — полупрямое произведение циклической подгруппы на подгруппу порядка 2.

Как уже упоминалось, понятие насыщенности связано с известными примерами не локально конечных групп бернсайдова типа. Хорошо известно, что группы В(т,п) достаточно большого нечётного периода, периодические произведения С.И. Адяна и многие группы А.Ю. Ольшанского, C.B. Иванова и др. расщепляемы, при этом каждая конечная подгруппа содержится в подходящей компоненте расщепления. В частности, в этих группах нет указанных выше сетей, и с помощью понятия насыщенности возможно лишь изучение компонент расщепления. Как уже отмечено выше, инволюции в периодической группе в некотором смысле мешают её расщеплямости. Если период свободной бернсайдо-вой группы В(т,п) чётен, то в ней естественно возникает сеть конечных диэдральных подгрупп. Видимо поэтому путь комбинаторной теории от нечётных периодов к чётным оказался достаточно длинным. Однако за последнее десятилетие получен ряд фундаментальных результатов по группам В(т,п) чётных периодов. Отметим здесь результаты C.B. Иванова, И.Г. Лысёнка и А.Ю. Ольшанского [24,25,29-33,62]. Как оказалось конечные подгруппы в таких группах содержатся в конечных прямых произведениях заданных групп диэдра. Другими словами, бернсай-довы группы достаточно большого чётного периода насыщены прямыми произведениями конечных групп диэдра, взятых в конечном числе.

Изучение произвольных периодических групп с инволюциями фактически началось с работ В.П. Шункова. Благодаря исследованиям П.С. Новикова и С.И. Адяна тогда уже были известны непривычные, можно сказать экзотические свойства свободных бернсайдовых групп нечётного периода п > 4381. Конечные подгруппы этих групп оказались циклическими порядка п, совпадали со своими нормализаторами в группе и попарно пересекались по единичной подгруппе. В частности, каждая из этих подгрупп составляла со всей группой пару Фробениу-са, т. е. была обособленной. Математическая общественность тем самым была подготовлена к необычному поведению произвольных периодических групп. Но в 1967 г. В.П. Шунков неожиданно доказал [54], что периодическая группа с конечной обособленной подгруппой чётного порядка является локально конечной группой Фробениуса. Эта теорема — предтеча знаменитых результатов о группах с регулярными инволюциями. Её доказательство существенно использовало конечность обособленной подгруппы и конечность подгрупп периодической группы, порождённых парой инволюций. Оценив важность последнего свойства, вскоре В.П. Шунков вводит понятия бипримитивно конечных, сопряжённо би-примитивно конечных и других классов групп со слабыми условиями конечности. Необязательно периодическая бесконечная группа называется слабо (сопряженно) бипримитивно конечной, если в ней любая пара (сопряженных) элементов одного и того же простого порядка порождает конечную подгруппу [55], т. е. по данному копируют поведение инволюций в периодической группе. Если это свойство наследуют все сечения группы по конечным подгруппам, то такая группа называется (сопряженно) бипримитивно конечной. Сейчас эти группы называются также группами Шункова. Подчеркнём, что группа Шункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп [45]. Поэтому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях элементов конечных порядков, в частности, составляют ли элементы конечного порядка в группе характеристическую подгруппу — периодическую часть?

Под периодической частью Т(С) группы С, здесь понимается подгруппа, порожденная всеми элементами конечного порядка из С, при условии, что она периодическая.

Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шункова, насыщенных либо группами диэдра, либо заданными множествами конечных простых неабелевых групп. Основные решаемые в диссертации вопросы в указанных классах групп:

1) конкретизация строения изучаемых периодических групп;

2) доказательство локальной конечности некоторых периодических групп;

3) характеризация локально конечных простых групп лиева ранга 1 в классе периодических групп с помощью понятия насыщенности;

4) установление в рассматриваемых группах Шункова периодических частей и доказательства их локальной конечности.

Изучение в диссертации периодических групп, насыщенных группами диэдра, с одной стороны продиктовано потребностями характериза-ции локально конечных простых групп лиева типа в связи с указанным выше вопросом 14.101 из Коуровской тетради. С другой стороны, эти исследования оказались интересными и востребованными в связи с упомянутыми выше направлениями комбинаторной теории групп.

Остановимся подробнее на содержании диссертации. В главе 1 приведены известные определения и результаты, использующиеся в доказательстве основных результатов диссертации (главы 2, 3). Часть из них были получены в процессе работы и приведены с доказательствами.

В главе 2 исследованы периодические группы, насыщенные группами диэдра, или, если говорить в терминах определения насыщенности, группы насыщенные группами из множества где — множество всех различных конечных групп диэдра.

Уточним здесь некоторые определения. Произвольная группа, порожденная двумя инволюциями, называется группой диэдра, или диэдром, если она к тому же конечна, то конечным диэдром. Будем называть группу локально конечным диэдром если она является объединением бесконечной возрастающей цепочки конечных диэдров. Эти новые термины введены в тексте диссертации для того, чтобы избежать длинных и не совсем точных словосочетаний типа "локально конечная локально ^ диэдральная группа".

В главе получены следующие полезные свойства групп, насыщенных группами диэдра:

Лемма 11. Для любой инволюции t е G централизатор Cc(t) — (локально) конечный диэдр.

Лемма 14. Все силовские 2-подгруппы группы G сопряжены.

Перечислим основные результаты главы 2:

Теорема 2. Периодическая группа ограниченного периода, насыщенная группами диэдра, конечна.

Как показали И.Г. Лысёнок [24] и C.B. Иванов [62] группы В{т,п) для достаточно больших чётных п, не локально конечны и насыщены прямыми произведениями конечных групп диэдра. Теорема 2 указывает, что ограничение на число прямых множителей до одного вместе с условиями ограниченности периода и насыщенности приводит к локальной конечности группы.

Если период группы не ограничен, то насыщенность группами ди-ф эдра приводит к следующей конкретизации её строения:

Теорема 3. Если G — периодическая группа, насыщенная группами диэдра и S — её силовская 2-подгруппа, то либо S — группа порядка 2 и G — (локально) конечный диэдр, либо G = ABC — АС В = ВС А = СВА, где А — централизатор некоторой инволюции z из центра S, В = 0(Cg{v)), v — произвольная инволюция из S, отличная от z, и С = 0(Cg{zv)). При этом А — (локально) конечный диэдр, а В,С — (локально) циклические группы.

Существуют ли не локально конечные группы, удовлетворяющие теореме 3, пока не известно.

В группах Шункова изначально дана богатая сеть конечных подгрупп, поскольку в них каждая пара сопряжённых элементов любого простого порядка порождает конечную подгруппу. Этого достаточно для полного определения строения изучаемых групп:

Теорема 1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами диэдра, локально конечна.

Теорема 4. Гоуппа Шункова, насыщенная группами диэдра, обладает периодической частью, которая является (локально) конечным диэдром.

В главе 3 изучаются периодические группы, насыщенные группами из множества где УК состоит из конечных простых неабеле-вых групп. Естественный вопрос о локальной конечности периодической группы, насыщенной конечными простыми неабелевыми группами изучался различными авторами [7-9,41]. Приводимый ниже результат является завершением серии работ, посвященных доказательствам локальной конечности периодических групп, насыщенных группами из множества Ж = {Ь2{Ка)\а £ /}, где Ка — конечное поле, а I — некоторое множество индексов. Оказывается, что все такие группы (локально) конечны и изоморфны Ь2(Р) для подходящего локально конечного поля Р.

Теорема 5. Бесконечная периодическая группа С, насыщенная группами из множества изоморфна простой группе Ь2(Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Теорема 5 при дополнительном условии конечности её силовской 2-подгруппы ранее была доказана А.К. Шлёпкиным [52], при условии существования в ней сильно вложенной подгруппы — А.И. Созутовым и

А.К. Шлёпкиным в [41], а при ограничении на характеристику групп из КН — в работах [8]. Доказательство теоремы 5 существенно опирается на результаты главы 2 и стало возможным только после изучения групп, насыщенных группами диэдра.

Примеры периодических не (локально) конечных групп, насыщенных конечным множеством конечных групп (даже одной группы простого порядка р > 665) хорошо известны — это В(т,р). Однако, для случая, когда состоит из конечного множества конечных простых неабелевых групп, аналогичные примеры не локально конечных групп неизвестны. В теореме 6 доказано, что в большинстве случаев таких примеров просто не может быть.

Выделим следующими обозначениями довольно узкий подкласс из всего массива конечных простых неабелевых групп. Обозначим через £ множество, состоящее из групп Е$(д), где q нечетно и > 3, и групп где д нечетно и либо £(п) = 2, где ¿(п) — число слагаемых в двоичном разложении числа п, (д — 51)2> > 3, либо п > 2, ¿(п) ф 2,

7-<Я)2' о (3,9—¿1) >

Теорема 6. Пусть периодическая группа О, насыщена конечными простыми неабелевыми группами из конечного множества имеющего пустое пересечение с Тогда (7 конечна и изоморфна некоторой группе множества

Отметим, что при доказательстве указанного результата существенно использовалось строение централизатора силовской 2-подгруппы в конечной простой неабелевой группе [16].

Густая сеть конечных подгрупп в группах Шункова позволяет получить более определённый результат. В последних двух основных результатах диссертации, как и в теореме 4, снова рассматриваются смешанные группы Шункова.

Теорема 7. Группа Шункова, насыщенная группами из произвольного конечного множества конечных групп, обладает периодической частью, изоморфной одной из групп множества

Теорема 8. Группа Шункова, насыщенная конечными простыми Z-гpynnaмu обладает периодической частью Т((?) изоморфной либо Ь2(Р), либо где Р и ф подходящие локально конечные поля.

Результаты диссертации докладывались автором на "Мальцевских чтениях" в 2002-2004 гг., семинарах "Алгебра и Логика" и "Теория групп" (НГУ), на Х1Л1 Международной научной студенческой конференции в 2004 г. "Студент и научно-технический прогресс", проходившей в г.Новосибирске, Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения профессора А.И. Кокорина "АЛиК-2004", проходившей в г.Иркутске. Они неоднократно обсуждались на семинарах при КрасГУ, КрасГАУ и КрасГАСА.

Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-01-00356) и Красноярского краевого фонда науки (грант № 11Е0202С).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [67-78].

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору А.К. Шлёпкину за постановку задачи, помощь в работе и внимание с его стороны.

1. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.- М.: Наука,- 1975.

2. Адян С.И. Периодические произведения групп // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова.- Т. 142.- М.: Наука, 1976.- С. 3-21.

3. Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. заметки.- 1972.- Т. 11, №3.- С. 319-328.

4. Беляев В.В. Локально конечные группы Шевалле // Исследования по теории групп.- Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984.- С. 39-50.

5. Боровик В.В., Вложения конечных групп Шевалле в периодические линейные группы // Сиб. матем. журн.- 1983.- Т. 24, №6.- С. 2635.

6. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы.-М.: Наука, 1968.

7. Васильева О.В., Ребрик К.П. О группах Шункова, насыщенных SL2{K2) // Мат-лы XXXVIII Межд. науч. конф.- Новосибирск.-2000.- С. 4-5.

8. Васильева О.В., Шлёпкин А.К. О периодической части в группе Шункова // Мат-лы XXVII Межд. студ. конф.- Новосибирск, 1999.

9. Васильева О.В., Шлёпкин A.K. О периодических группах с элементарной абелевой силовской 2-подгруппой порядка 8 // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.- 2000 №1- С. 48-53.

10. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых группах // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1964.- Т. 28, №2.- С. 273-276.

11. Горенстейн Д. Конечные простые группы.- М.: Мир, 1985.

12. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функцион. анализ и его приложения.- 1980.- Т. 14, №1.- С. 53-54.

13. Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техники. Современные проблемы матем. Фундам. направления.- 1990.- Т. 58.- С. 191256.

14. Калачева С.И. Квазислойно-конечные и квазислойно-нормальные группы: Дис. канд. физ.-мат. наук / С.И. Калачева.- Красноярск, 2004.- 68 с.

15. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.В. Основы теории групп.- М.: Наука, 1982 С. 288

16. Кондратьев A.C., Мазуров В.Д. 2-сигнализаторы конечных простых групп // Алгебра и логика 2003 - Т. 42, №5 - С. 594-623.

17. Конторович П.Г. Инвариантно покрываемые группы // Матем. сб.-1940.- №8.- С. 423-430.

18. Конторович П.Г. Инвариантно покрываемые группы, II // Матем. сб.- 1951.- №28.- С. 79-88.

19. Конторович П.Г., Пекелис A.C., Старостин А.И. Структурные вопросы теории групп // Матем. зап. Уральск, ун-та.- 1961.- №3.-С. 3-50.

20. Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1959.- Т. 23, №1.- С. 3-34.

21. Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда.- М.: Наука.- 1986.

22. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп.- Изд-е 15-е.- Новосибирск.- 2002.

23. Курош А.Г. Теория групп.- М.: Наука, 1967.

24. Лысёнок И.Г. О проблеме Бернсайда для нечетных показателей п > 115 // Междунар. конф. по алгебре. Новосибирск. 21-26 авг. 1989г.: Тез. докл. по теории групп.- Новосибирск,- 1989.- С. 75.

25. Лысёнок И.Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. матем.- 1996.- Т. 60.- С. 4-5.

26. Новиков П.С. О периодических группах // ДАН СССР.- 1959.- Т. 127.- С. 749-752.

27. Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах, I, II, III // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1968.- Т. 32, №№1,2,3.-С. 212-244, 251-524, 709-731.

28. Нужин Я.Н. О строении групп лиева типа ранга 1 // Матем. заметки.- 1984.- Т. 36, №2.- С. 149-150.

29. Ольшанский А.Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами // ДАН СССР.- 1979.- Т. 245, №4.- С. 785-787.

30. Ольшанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1980.- Т. 44, №2 С. 309-321.

31. Ольшанский А.Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков // Алгебра и логика.- 1982. Т. 21, №5.- С. 553618.

32. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.- М: Наука, 1989.

33. Ольшанский А.Ю., Шмелькин A.JI. Бесконечные группы // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы матем. Фун-дам. направления.- 1989.- Т. 37.- С. 5-113.

34. Рожков A.B. Условия конечности Шункова // Межд. конф. по алгебре.- Санкт-Петербург.- 1997.- С. 268-269.

35. Санов И.Н. Решения проблем Бернсайда для периода 4 // Учен, записки ЛГУ. Сер. матем 1940- №10 - С. 166-170.

36. Созутов А.И. О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса // Сиб. матем. журн.- 1994.- Т. 35, №4.- С. 893-901.

37. Созутов А.И. О примерах ассоциативных нильалгебр // Матем. заметки.- 1995.- Т. 57, №3 С. 445-450.

38. Созутов А.И. О группах Шункова без элементарных абелевых подгрупп ранга 2 // Межд. алгебр, конф. памяти А.К. Фадеева.: Санкт-Петербург 1997 - С. 286-287.

39. Созутов А.И. О существовании в группе /-локальных подгрупп // Алгебра и логика.- 1997 Т. 36, №5 - С. 573-598.

40. Созутов А.И. О некоторых группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.-2004.- №3.- С. 101-110.

41. Созутов А.И., Шлёпкин А.К. О некоторых группах с конечной инволюцией, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. заметки 2002 - Т. 72, №3.- С. 433-447.

42. Созутов А.И., Шунков В.П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами // Алгебра и логика.- 1977.- Т. 16, №6.- С. 711-735.

43. Сущанский В.И. Периодические р-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда // ДАН СССР.- 1979.- Т. 247, №3.-С. 557-561.

44. Сущанский В.И. Сплетения и периодические факторизуемые группы // Мат. сб.- 1989.- Т. 180, №8.- С. 1073-1093.

45. Череп A.A. О множестве элементов конечного порядка в биприми-тивно конечной группе // Алгебра и логика.- 1987.- Т. 26, №4.-С. 518-521.

46. Шлёпкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности // Алгебра и логика.- 1983.— Т. 22, №2.- С. 226-231.

47. Шлёпкин А.К. О полных 2-подгруппах в сопряженно бипримитивно конечной группе с условием примарной минимальности // Алгебра и логика.- 1985.- Т. 24, №2 С. 240-245.

48. Шлёпкин A.K. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // III межд. конф. по алгебре, 23-28 авг. 1993.- Сб. тез.- Красноярск.- С. 369.

49. Шлёпкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Алгебра и логика.- 1998.- Т. 37, №2.- С. 224-245.

50. Шлёпкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами С/з(2п) // Алгебра и логика 1998.- Т. 37, №5.- С. 606-615.

51. Шлёпкин А.К. О периодической части некоторых групп Шункова // Алгебра и логика.- 1999.- Т. 38, №1- С. 96-125.

52. Шлёпкин А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: Дис. док. физ.-мат. наук / А.К. Шлёпкин.- Красноярск, 1998.163 с.

53. Шлёпкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми подгруппами // Матем. труды.- 1998.- Т. 1, №1.- С. 129-138.

54. Шунков В.П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы // Алгебра и логика.- 1967.- Т. 6, №3.- С. 113-124.

55. Шунков В.П. Об одном классе р-групп // Алгебра и логика.-1970.- Т. 9, №4.- С. 484-496.

56. Шунков В.П. О периодическх группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика.- 1972.- Т. 11, №4.- С. 470-494.

57. Шунков В.П. Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах // Алгебра и логика.- 1973.- Т. 12, №5.- С. 603-614.

58. Шунков В.П. Мр-группы- М.: Наука, 1990.

59. Шунков В.П. О вложении примарных элементов в группе.- Новосибирск: ВО Наука, 1992.

60. Холл М. Теория групп М.: ИЛ, 1962.

61. Hartley В., Shute G. Monomorphisms and direct limits of finite groups of Lie type // Q.J. Math., Oxf. II Ser.- 1984.- V. 35, №137.-P. 49-71.

62. Ivanov S.V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Int. J. of Algebra and Computation.- 1994- V. 4 P. 2.

63. Kegel O., Wehrfritz B. Locally finite groups (North-Holland Mathematical Library, 3), Amsterdam-London, North-Holland, 1973.

64. Sh^pkin A.K. Shunkov groups with primary minimality conditions. I, II, III// Siberian Advan. Math.- 1998 V. 8, №3 - P. 114-131; 1999.- V. 9, №1.- P. 62-89; №5.- P. 502-521.

65. Suzuki M. A new type of simple groups of finite order // Proc. Natl. Acad. Sci. USA.- I960.- V. 46.- P. 868-870.

66. Thomas S. The classification of the simple periodic linear groups // Arch. Math.- 1983.- V. 41.- P. 103-116.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

67. Васильева О.В., Рубашкин А.Г., Шлёпкин А.К. О периодических группах, насыщенных группами диэдра // III Всесибирскийконгресс женщин-математиков: Тез. док. / Под ред. д.т.н. Л.Ф. Ноженковой.- Красноярск: ПФК "ТОРРА".- 2004.- С. 33-34.

68. Васильева О.В., Рубашкин А.Г., Шлёпкин А.К. О периодических группах, насыщенных группами диэдра // Вестник КрасГУ: физ.-мат. науки.- Красноярск, 2004.- №3.- С. 16-18.

69. Кузнецов A.A., Рубашкин А.Г., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных группами Uz(2n) 11 Алгебра, логика и кибернетика: Мат-лы межд. конф.- Иркутск, 2004.- С. 63.

70. Кузнецов A.A., Рубашкин А.Г., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных SX2G7) 11 Мат-лы XXII регион, науч.-техн. конф.- Красноярск: КрасГАСА, 2004.- С. 7.

71. Рубашкин А.Г. О периодических группах, насыщенных группами L2(pn) II Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.- 2004.- №3.- С. 40-59.

72. Рубашкин А.Г., Филиппов К.А. О существовании периодической части в группах Шункова, насыщенных группами диэдра // Студент и научно-технический прогресс: Математика: Мат-лы XLII межд. науч.-студен, конф.- Новосибирск, 2004.- С. 15-16.

73. Рубашкин А.Г., Филиппов К.А. О группах Шункова, насыщенных конечными простыми Z-группами // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ.- 2004.- №3.- С. 103-116.

74. Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простым группами // Матем. сист.-Красноярск: КрасГАУ.- 2004.- №2.- С. 96-100.

75. Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. Об одном классе периодических групп // Матем. сист.- Красноярск: КрасГАУ,- 2004.- №2.- С. 101-110.

76. Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. О группах, насыщенных конечным множеством групп // Сиб. матем. журн.- 2004.- Т. 45, №6.- С. 1397-1400.

77. Шлёпкин А.К., Рубашкин А.Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика 2005 - Т. 44, №1- С. 110-119.

78. Shtepkin А.К., Rubashkin A.G. Groups saturated by a finite set of groups // Siberian mathematical journal.- 2004.- V. 45, №. 6.- P. 1140-1142.