Характеристические функционалы вероятностных мер в ds-группах и смежные вопросы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

, ордшл ж'нша.и .0рди1а октябрьской революции матшатический институт им. в.а.стшова ан ссср

На правах рукописи

ТЛРИГ'ЛЛДЗЕ Ваяа Изетович

' / . . ' > ■ '

" --УДК 519.2

характеикяичвские функционалы вероятностных мрр

в кз-грушах и смвшые вопросы

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА г З^ЭО

Работа выполнена в Институте вычислительной математики им. Н.И.Мусхелишвили АН Грузинской ССР

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор В.В.СЛЗОНОВ,

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. СУДАКОВ,

доктор физико-математических . наук Д.Х.ЮТГАРИ

Ведущая организация - Институт математики и

кибернетики АН Литовской ССР

Защита состоится "_и __________ 1990'г.

в часов на заседании специализированного совета Д. 002.38.03 при Математическом институте им. В.А.Стеклова ЛИ СССР (117966 ГСП-1, Москва, ул. Вавилова, 42).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке. Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР.

Автореферат разослан " " 1990 г. .

Ученый секретарь специализированного совета,

доктор физико-математических-наук . А.С.ХОЛ0Ю

Вероятностные меры в бесконечномерных пространствах становятся привычными объектами теории вероятностей и других областей анализа. После первых основополагающих работ Р.Фреше, Н.Винера, А.Н.Колмогорова в дальнейшем развитии различных аспектов теории вероятностных распределений в бесконечномерных.пространствах, сыграли определяющую роль работы Ю.В.Прохорова, И.М.Гельфанда.Р.Фор-те, Л.Ле-Кама; фактическое современное состояние теории обусловлено работами их последователей Э.Мурье, В.В.Сазонова, Р.А.Мин-лоса, В.Н.Судаиова, Н.Н.Вахания, К.Ферника, Р.М.Дадли, А.Бодри-кяна, Л.Шварца, Ь.Морэ, Ж.Низье, Д.Х.Муштари, М.Талаграна и др.

Метод характеристических ф"нкций является одним из мощных методов, используемых в традиционных разделах теории вероятностей. Хотя адаптация лого метода к проблемам теории вероятностных распределений в бесконечномерных пространствах встречает некоторые принципиальные трудности, метод характеристических функционалов остается, пожалуй,наиболее действенным аналитическим методом и в этом случае. Задача описания характеристических функционалов, с которой связаны основные результаты данной диссертации,занимает в теории центральное место. Она привела к важным понятиям цилиндрической меры (слабого распределения).радонизуицего оператора, обобщенного случайного процесса,ковариационного оператора.Ре-вение различных вариантов этой задачи способствовало возникновению или новому осмысления важных геометрических понятий теории банаховых пространств и теории операторов (тип,котип,свойство Радо-па-Цикодима,гюгьберт-шмидтовские,ядерние,суммирующие операторы).

Целью настоящей работы является исследование вопросов теории вероятностных распределений в топологических абелсвих группах с достаточно богатой дуальной группой ч в ОБ -группах. Классические объекты 1- локальпо компактные'вбелеви группы и бесконечномерные банахов« «*еметраиства являются примерами таких групп. Резуль-

тати диссертации, подробное описание которых приводится ниже,можно разделить на две группы. Первая группа результатов касается обитх вопросов, среди которых особое место занимают ковариационные операторы. Описан класс ковариационных операторов мер с сильным вторым порядком и выяснена связь между ковариационными операторами и центральной предельной теоремой. Вторая группа результатов относится к методу характеристических функционалов мер в DS-груипах. В рассматриваемой общей ситуаций получена теорема единственности и найден класс групп, для которых характеристические функционалы допускают топологическое описание; показано, что из полученных результатов следуют все известные до сих пор, а также и некоторые новые утверждения для случал метризуемых топологических векторных пространств.

Применяемая нами методика использует уточненный вариант теоремы Стоуна-Всйерштрасса, теорему Рисса, интегралы от векторных функций, ковариационные операторы, векторные мартингалы, связь между положительно определенными функционалами и случайными гомоморфизмами, метод компактификации Бора и топологию Бора группы; мы вводим и применяем свойство аппроксимации топологической группы,

Полученные результаты могут быть применены для изучения выборочных свойств случайных процессов, для изучения гармонизуемых случайных процессов, в математической теории интеграла фейкмаиа, в теории представлений групп и т.д.

Результаты диссертации докладывались на Семинаре по вероятностным распределениям в функциональных пространствах в Институте вычислительной математики им. Н.И.Мусхелишвили дн Грузинской ССР, на семинаре отдела теории функций и функционального анализа Математического института им. А.М.Размадзе АН Грузинской ССР, на семинаре отдела теории вероятностей Математического института им. В.А.Стекпова ЛИ СССР, на международных Вильнюсских конференциях

по теории вероятностей и математической статистике (1981,1985, 1989 г.г.), па 4-м Советско-Японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Тбилиси,1982 г.), на I Всемирном конгрессе общества Бернулли (Ташкент, 198Г> г.), на Семинаре по устойчивости стохастических систем (Харьков, 1988 г.), на международных конференциях по теории вероятностей в векторных пространствах в Польше (Чебеиювице, 1977 г.; Блажеевко, 19/9 г.; Ланцют, 1987 г.), на У1 международной конференции по математической статистике и теории вероятностей в Польше (Висла, 1978 г.). на Семинарах Польша-ГДР по теории банаховых пространств (Геор-генталь, 1981, 19Ш г. г.).

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-1б1. Часть результатов диссертации улучшпет я обобщает соответствующие утверждения совместных публикаций £17-24

Работа состоит из введения, двух глав (содержащих II параграфов; параграфы в свою очередь делятся на пункты), списка литературы (содержащего Солее 210 наименований) и занимает 324 страницы машинописного текста.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертациг Первая глава содержит 6 параграфов. Здесь изучаются 05-группы и 03 -пространства, измеримая структура, радон от меры в топологических пространствах, случайные элементы и индуцированные ими отображения, сильный и слабый порядки и ковариационные операторы.

Первый параграф содержит нузише для дальнейшего изложения сведения из теории топологических групп и векторных пространств. Многие из них приводятся в модифицированном,удобном для нас виде.

В диссертации 1Я, обозначает поле действительных чисел,С - поле комплексных чисел, Т={ДеС- 1Н - 1} - единичную окружность в С -. Т относительно умножения и топологии, индуци-

роаашюй из С, есть компактная абслева группа.

Для (абелевой) группы X отображение Х~»Т называется характером, если

Если X - топологическая группа, то X' обозначает множество всех непрерывных характеров. X относительно поточечного умноже-. ния характеров есть абелева группа и называется дуальной (или топологически дуальной) группой к X •

Топологическая абелева группа . X называется

-группой,

если X разделяет точки X , т.е. если из того, что 'х^,х^еХ и ос*, следует существование Р) е X' со свойством -Ь Сх,.) . Всякая локально компактная топологическая абелева группа (сокращенно -

ЬСА

-группа) есть 0$-группа. Этот известный важный факт во многом обусловливает полезность понятия ЬСА-группы. Источником других примеров 05-групп являются 0 2-пространства.

Мы рассматриваем векторные пространства над "Р- или над С , а также над общими недискретными локально компактными телами (сокращенно

1С

-телами) К • Считается фиксированным некоторый нетривиальный непреривкый характер ^ : К-^Т' аддитивной группы К .Если К = Я , то берется *Х«:)=еа:риО, -¿еЦ, несли К-С , то 5С(1)=ехрО.Ре-Ь)7 ^бС ( Ке - действительная часть).

Для топологического векторного пространства (ТВП) X обозначим Д множество всех непрерывных линейных функционалов сс*: X -> ¡К • X* относительно естественных операций есть векторное пространство и называется сопряженным (или топологически сопряженным) пространством к X » Поскольку X по сложению есть топологическая группа, то для X имеется и дуальная группа

X' . Имеет место равенство

Х'={*.**: ос*€Х*> (I)

и соответствие ос —>■ яшяется групповым изоморфизмом

между X* и X* •

ТОП X называется 05 -пространством, если X разделяет точки X • Из (I) следует, что если ТВП X является ОБ -пространством, то X по сложению есть Об-группа. В частности, произвольное хаусдорфово локально выпуклое пространство (ЛВП) над 'К- или над С по сложению есть 05 -группа. Поэтому, результаты, получаемые дал "безразмерного" объекта -05 -группы - применимы и для бесконечномерных ЛВП.

Для 05-группы X изучена топология Бора сг(Х, X'),которая, по определению, есть слабейшая топология з X , относительно которой непрерывны все характеры Я в X' « Значение этой топологии иллюстрирует следующее утверждение.

Предложение I. Пусть X - произвольная 05-группа, Х0СХ, X ~ замкнутая подгруппа. Равносильны следующие

утверждения

(1) Х/Х0 СС,1Ь 0 Б-группа.

(2) Для каждого элемента ге Х\ Х0 существует ЛеХ' со свойством &(Хо) ={-!},

(3) Х0 замкнута в топологии Бора <г(Х,Х')*

Рассмотрены вопроси топологизации дуальной группы и сопряженного пространства. Показано, в частности, что если дуальную группу X' снабдить топологией поточечной сходимости, то будем иметь

(Х')'=Х .

Будем говорить, что топологическая абелева группа X обладает свойством аппроксимации, если существует такая сеть (и^,.

непрерывных гомоморфизмов Х-*" X • что сходится к тождественному гомоморфизму в топологии компактной сходимости и при каждом о16 А- подгруппа ^(Х) локально предкомпактна. Такое определение согласуется с обычно принятым понятием свойства аппроксимации для ТШ1.

Параграф завершается рассмотрением некоторых конкретных примеров 0 8-групп и ОБ-пространств. Среди них есть примеры "чистых" ОЙ-групп, т.е. таких 05-групп, которые не являются ни ЬСА -группами, ни 05-пространствами.

Б § 2 изучена измеримая структура в общности, позволяющей применять полученные результаты для 0 б-групп.

Пусть X - множество, (У, 3)) - измеримое пространство, Г - некоторое семейство отображении |; Х-5" V • Наименьшая сг -алгебра подмножеств X . относительно которой измеримы все отображения Г , обозначается й- (X, Г ) и называется

цилиндрической а-алгеброй (относительно пары (Х,Р) ).£(Х,Г) порождается алгеброй цилиндров С(Х,П) • которая состоит из множеств вида

где пеN, ... ВеФ".

Как обычно, $(Х) обозначает борелевскую ст-алгебру топологического пространства X .

Хаусдорфово топологическое пространство X называется сус-линским, если оно есть непрерывный образ некоторого полного сепа-рабельиого метрического пространства.

Теорема I. Пусть X - суслинское пространство, У - хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, Г1 _ некоторой разделяющее семейство непрерывных отображений У. Тогда

Я(Х)=£(Х,Г).

Аналогичный результат ранее бил изБестен для случая, когда X - полное сспарабслыюе метризуемоо ТЛИ и Гс X » а также для случая счетного Г .

Из теоремы I в частности следует, что борелевскал cr -алгебра суслинской DS -грушш порождается непрерывными характерами. Отметим также, что если X - DS -пространство над R или над С , то

л(х,х')=£(х,х4 есхд'^есх.х*).

Ш приводим также различные утверждения об измеримых группах и векторных пространствах, о стп'ктуре бэровской сг -алгебры, о структуре.измеримых отображений со значениями в метризуемых пространствах. Показано, например, что если бзровская сг-алгебра компактной абелевой группы совпадает с борелевской сг -алгеброй, то группа метризуема.

5 3 посвящен радоновым мерам в общих топологических пространствах. Здесь приняты следующие обозначения.

J-усли X, Y - топологические пространства, то CCXjY) обозначает множество всех непрерывных отображений j: Если Y - нормированное пространство, то C^(X',Y) обозначает векторное пространство всех ограниченных непрерывных отображений, снабженное обычной Slip-нормой II ■ 11 .

Для хаусдо]|фова топологического пространства X обозначим mix-, К) множество всех радоновых мер ц : $)()()-> \\i где ||< есть либо R , либо С . "Ш (X) обозначает множество всех положительных (конечных) радоновых мер, а MX)- множество всех радоновых вероятностных мер.

Подмножество F С С (X; С) называется самосопряженным,если из J £ р вытекает, что функция f , комплексно сопряженная к j , также принадлежит F .

Теорема 2. Пусть X - такое хаусдорфово топологическое пространство, что С(Х)'Е) разделяет точки X » ,

Р с С^ (X } К ) - некоторая разделяющая точки X самосопряженная подалгебра, содержащая К , и ЦеКТКХ} С) . Имеют место следующие утрарядстш.

(1) Если дон каждого $€ Г

V

то |4 = о •

(2) Если для каждого {е Г

то решх^ю. х

(3) ЕСли для каждого ^е Р ■

]"| {1гс1р г о,

то |{ £.0. х

Приведено два доказательства этой теоремы - одно из них является прямым, а другое использует метод компактификации Стоуиа-Чеха. Из теоремы 2 выводятся затем все утверждения типа теоремы единственности для характеристических функционалов. Модельным в этом отношении.является следующее утверждеш!е.

Следствие. Пусть X - хаусдорфово топологическое пространство, Г с С(Х;Т) - некоторая разделяющая подгруппа и р € Ж(Х",С). Тогда если

1^ = 0 У4еГ, х

то ^ =■ о .

Подчеркнем, что в этих утверждениях не предполагается наличие в X какой-либо алгебраической структуры. Следствие показывает также насколько бедным может быть множество единственности гля радоновых мер.

Б этом же параграфе с единой точки зрения изложены некоторые факты, касающиеся существования радоновых мер, слабой топологии ю пространстве мор, бесконечных радоновых мер. Показано, л частности, что если в топологической группе существует ненулевая право-инвариантная мера Радона, то эта группа локально компактна. Это утверждение представляется более прямым обращением теоремы Хаара, чем известная теорема Л.Вейля.

В § 4 изложен,в основном, традиционный материал о сходимости но вероятности измеримых отображений со значениями в метризуе-мых пространствах.

Пусть (£?) ^; "О - вере -тиосткое пространство. Через

V ■ X ) • или сокращенно, через Ьо(0;Х), обозначается множество всех классов эквивалентности сепарабельнозначних измеримых отображений £ : С?-» X с топологией сходимости по вероятности (т.е. по мере V ). Отмечается, что если X -метризуемая топологическая группа, то X ) - также мет-

ризуемая топологическая группа. Обращено внимание на редко рассматриваемую, но важную для целей настоящей диссертации мультипликативную группу Ь„(0',Т) комплексных случайных величин. Рассмотрены отображения, индуцированные случайными элементами, и получена следующая их характеризация, использующая распределения.

Теорема 3. Пусть л') - вероятностное пространство,

X - хаусдор^юво топологическое пространство, компактные подмножества которого метризуемы, V - метризусмое сепарабелыюе топологическое пространство, Гс С ( X ; V ) - разделяющее подмножество. Тогда для отображения Т: Г->Ьо(0-У) следующие утверждения эквивалентны.

(а) Т индуцируется случайным элементом ^ ; ^X с радоновым распределением.

(б) Существует такая радонова вероятностная мера ^ в X , что при всех пе N и £ V

Чт^-.Т*,,} = '

С помощью этой теорем» показано, например, что в довольно общей ситуации, из того, что распределение некоторой случайной функции сосредоточено в пространство непрерывных функций, вытекает, что случайная функция допускает выборочно непрерывную модификацию. Причем это утверждение получено без использования понятия сепарабелыюй случайной функции.

В § 5 изучены случайные элементы с сильным или слабим р-м порядком со значениями в Г-нормированных, или, более общо, в локально Г -выпуклых пространствах.

Пусть - пространство с. мерой и X - г-нор-

мированное пространство над 1К. € {]Я, С } . Измеримое отображение ^ : $2 -> X называется отображением с сильным р-м порядком (о если

сМси)^ оо. " (2)

£2 Х

Множество классов эквивалентности всех сепарабелыюзначных отображений £ : £2 X с сильным р -м порядком обозначается "V) X ) , или сокращенно, Ьр(Т2 ; X) . Ото множество с обычно определяемой структурой является ггнп(г,р) -нормированным пространством.

Каждый элемент 16 (О) X ) индуцирует линейный оператор

который определяется условием Т^ зс*= ос*° ^ у х*£ X *•

Предложение 2. Пусть X - некоторое Г -нормированное пространство, 0<р<оо и Ьр(Р-,Х) • Тогда Т^Х^ЦС^Ю является * - р-кллзиядершш оператором. Другими словами, найдет-

ся такал последовательность (х„) элементов X . что и

1Т!**1гб(£1х*6гп)1РЛ

Из этого предложения следует в частности, что если £ е 1р(ЙX) , то Т^ : К) является р-суммирующим

оператором и что Т^ есть непрерывный оператор на X в топологии компактной сходимости.

Исследована структура мер с сильным р-м порядком в метри-зуешх локально Г-выпуклых пространствах. Показано, • что каждая такая мера есть непрерывный лилейный образ некоторой мери с сильным р-м порядком в г-нормированном простраястве. Причем полученный, результат позволяет заключить, что в полном счетно-гильбертовом пространстве каждая мера получается из мгрч в некотором гильбертовом простраястве. В частности, это так для ядерных пространств Фрешс.

Пусть теперь X - 05 -пространство над 1К-€{1?,С}. Ска-лярно измеримое отображение £: С? X называется отображением со слабым р-м порядком (о<р<£«>), если

X

Каждое отображение ^ : со слабым р -м порядком также

индуцирует линейный оператор

. Однако,

если, например, X бесконечномерное банахово пространство,то из (3) не следует (2). Поэтому вопрос о непрерывности операторов, индуцированных случайными элементами со слабым р-м порядком нужно исследовать отдельно..Следующее утверждение, которое нами было получено совместно с Н.Н.Вахания и А.Тортра, позволяет во многих случаях доказать требуемую непрерывность.

- -

Теорема 4. Пусть X - полное ЛВП над |<[.£(К,€} , пространство с мерой <х> , Т: Х*->

- лннейный оператор. Предположим, что л>(!Э)<оо и оператор Т: X* > КС) непрерывен, или равностепенно непрерывные

подмножества X * метризусмы в топологии сГХ , X^ и оператор секвенциально непрерывен. Тогда если

. Т(х*)с I «С),

то

Т: Х^ -> 1рС&) КО

*

есть непрерывный оператор.

13 этой теореме индекс т у Х^ (соответственно,индекс сту X * ) означает, что X* снабжается топологией Макки Т ( X* X)(соответственно, слабой топологией X) )•

С помощью этой теоремы доказывается непрерывность индуцированных операторов и интегрируемость по Петтису случайных элементов в различных важных случаях.

5 6 посвящен ковариационным операторам. Первая из рассматриваемых здесь задач состоит в установлении того, что если

у) - пространство с мерой, X - 05-пространство над К £{11,0} и' £ : С2-»Х - отображение со слабым вторым порядком, то корреляционный оператор К ^ отображения 5 действует из X в X . Другими словалм, нужно показать существование такого оператора К. Х*-Х , что

X

Доказывается, что такой оператор существует, если X - полное ЛН11 и выполняется одно из следующих условий (1)

- сепарабсльное подмножество. (2) (£2)<•"«> л "Vя ^ 1 - радонова мора в X

(3) X - ядерное пространство.

(4) X ~ мстризуемое и рефлексивное пространство.

В перечисленных случаях если ) = 1 , то существует

среднее т (интеграл Неттпса) от | и ковариационный оператор случайного элемента £ также действует из X в X Другими словами, существует оператор К ^ ; X X со свой-

ством .

X

Ыы описываем класс корреляционных операторов радоновых вероятностных мер с силышм вторым порядком в пространстве фреше X Доказываем, что этот класс совпадает с классом операторов , представимнх в виде

к: Х*->Х

Кх* = £ а:п , X ,

где (Ьг„) - сильно 2-суммяруемая последовательность элементов X . Из этого описания следует, что корреляционный оператор радоновой вероятностной меры с сильным вторым порядком является ядерным (в частности, ядерным является корреляционный оператор произвольной гауссовской радновой меры; последнее утверждение отвечает на вопрос Р.М.Додчи (1969 г.)). Мы доказываем, что если банахово пространство X не изоморфно гильбертову, то в X существует радонова вероятностная мера, корреляционный оператор к* которой является ядерным, однако

У

Охарактеризованы то ядерные операторы, которые все же гарантируют наличие сильного второго порядка:

Теорема 5. Пусть X - банахово пространство и К: X X - эрмитовой положительный оператор, для которого сспариболь-

но. 1\илюстыш сл едущие утверждения.

(а) Лля каждой радоновой вероятностной меры Ц в X со сла-

бШ.1 ВТОРИМ ПОРЯДКОМ И С К., = Я ИМССМ I ИХ 11*4^ )<(;г)< С*?.

(б) К представим в виде иБит • гдо Б - эр-митопнй положительный ядерный оператор в некотором гильбертовом пространстве И и ц; И —> X - непрерывный линейный оператор.

Найдена аналогичная характеризация для операторов Х*~>Х , обладающих следуицим свойством: каждая центрированная радонова вероятностная мера р вХ с К^ = удовлетворяет центральной предельной теореме. Из этого результата выведено, что в С существует центрированная мера с винеровской ковариа-

циой, не удовлетворяющая центральной предельной теореме. Это утверждение отвечает на вопрос, поставленный М.Хан (1977).

Вторая глава содержит 5 параграфов. В этой главе изучено понятие характеристического функционала для мер в 03 -группах. Получена теорема единственности, поставлена» изучена задача описания класса характеристических функционалов вероятностных мер, на^!дон класс групп, для которых эта задача разрешима, исследована задача описания для комплексных и векторных мер, установлены некоторые алгебраические свойства класса всех характеристических Функционалов.

В § I введено понятие характеристического функционала и доказана теорема единственности. Это сделало в несколько более обще» ситуации - для случая 0 в -моноида. Однако, доя простоты мы ограничимся здесь случаем 0 51-группы.

Пусть X - 05-группа и

И: ФООС - мера. Харак-

тсристический функционал (преобразование Фурье-Стильтьеса, преобразование Фурье - синонимы) р : X '—* С меры ц определяется равенством

р(*) = ЛеХ'. •

. X ^

Аналогично, если У - некоторая топология в X . мажорирующая

топологию поточечной сходимости и V-- Ж(X^ ) С - мера,

то полагаем

X л V

После изучения свойств непрерывности р и "V и установления

полезной формулы

] V Ыр = I р X X'

доказана теорема единственности в следующем виде. Теорема в. Дует;.

X - 05 -группа, I с Л - некоторая разделяющая подгруппа, , ~ комплексные радоновы меры в X . Равносильны следующие утверждения.

(а)

(б) ¡5<С*)=р1СА) УДеХ'.

(в).

Таким образом, радонова мера однозначно определяется сужением своего характеристического Функционала на произвольную разделяющую подгруппу дуальной группы X' • Импликация (в)=Ма) особенно важна для не локально компактных 03 -групп. В силу этой импликации получаем, например, что радонова мера -у в Х^ одно-

V

значпо определяется Функционалом V

13 случае ОБ-пространства X , имея в виду совпадение (I),

л V*

естественно считать, что функционал р задан на А , т.е.

В этом случае теорема единственности принимает вид.

Теорема V. Пусть X - DS-пространство над LC -телом К- , Ye X* ~ некоторое разделяющее векторное подпространство, Рч» Hi " кошиексние радоновы мери в X . Равносильны следующие утверждении.

(а) = ^

(б) Voc*eX*

(в) р„(х*)=р,.(сс*) Voc^eY.

Отметим, что в случае K = 1R. и сенарпбелыюго банахова пространства X импликация (<>)=?■ (а) птой теоремы била отмечена уже А.Н. Колмогоровым (1935), а в случае ЛШ над 1R импликация (а) получена ЮЛ!. Прохоровым (1960).

Н этом же параграфе охарактеризованы действительные, симметричные, эрмитовы и положительные меры в терминах их характеристических функционалов.

II 3 2 ставится и анализируется задача описания класса характеристических функционалов вероятностных мер.

Пусть X - 0£-группа. Задача состоит в характорлэчции в тех или иных терминах таких функционален ^ : X ' ■ •> Í , которые является характеристическими Функционалами радоновых вероятностных mojí в X • Множество всех таких функционалов обозначим ¿M (X) .т.е.

Аналогично, пусть [} - некоторая групповая топология в X .мажорирующая топологию поточечно;', сходимости. Обозначим

«Л(Х' V^KX'g.))

J ' v

» этом случае ставится задача описания класса JM(X,r).

Отпрпавннм результатом для пас является теорема Ьохнера (-!_(с;,л:1-1'.'мко1!а), для формулировки которой in помигал, что комплекс-

ный функционал у_ на (мультипликативной) группе & называется

положительно определенным, если

п

при всех пе!У, С,, с„еС, ■■■>%€

Бзли 6 - топологическая группа, то обозначим 17(6.) множество всех непрерывных положительно определенных функционалов у, ■. таких, что 1 .

Если X - 0£>-группа, то Х^- обозначает дуальную группу X' » снабженную топологией . В частности, Хс обозначает X с топологией компактной сходимости.

Теорема Бохнсра (-Вейля-райкова) утверждает, что если X -локально компактная абелева группа, то

сЯСХ)-П(Х^), ЖХ'С)=ГКХ).

Вели X - произвольная 0$-группа, то включение

<Й(Х)сП(Х;) (4)

»

остается в силе. Аналогично, если X - произвольная метризуе-мая РЯ-грунпа, то

Лоес)еП(Х). (5)

Однако, если, например, X ~ бесконечномерное банахово пространство, то оба включения (4) и (5) являются строгими.

Первыми результатами для бесконечномерных пространств били теоремы Сазонова и Минлоса. П.В.Сазонов (1958) показал, что если X - сепарабелыюп гильбертово пространство, то в X -X можно ясно указать такую Топологию ¿Г , что

ЛСХ)=ПСХ^). (6)

- го -

Примерно в то же самое время Р.Л.Миплос показал, что если X -ядерное счетно-гильбертово пространство, то

/иХс) = Л(Х). (7)

Шло выяснено, что топология ¡Г и X , для когорои выполняется равенство (6), существует не дал всех бесконечномерных ДНИ (Б.Б,Судаков, Л.М.Ьершик (!%:;)).

Для произвольной О^-грунны X топологию (У в X (если она существует) назовем допустимой топологией, если

Другими словами, тот факт, что ¿Г есть допустимая топология означает следующее: положительно определенный функционал ^ .• X -> С , 1 , является характеристическим функционалом радоновой вероятностной моры в X в том и только в том случае, если у непрерывен в топологии ^Г .

05-группа X . для кото]юн в X существует допустимая , топология, называется группой со свойством Сазонова.

Л.Х.Муитари ({у73) впервые указал бнлчхови пространства, неизоморфные гильбертову, обладающие свойством Сазонова. Такими оказались, в частности, пространства ^ , 1 < 4 Я, . Впоследствии он же показал, что все банаховы пространства со свойством аппроксимации, вложишо в , обладают свойством Сазо-

нова и что вложимость в Ь0(!«?)'К) является для этого и необходимым условием. В частности, пространства не обладают свойством Сазонова. Отметим также результат Л.Мадрецкого (1ПЯГ>), которнй показал, что каждое сспмрабсльное нсархимедово банахово пространство над (неархимедовым) Ю-полем обладает свойством Сазонова. В } 3 гл.II получен результат для общего

случая ДО-групп, из которого, в частности, следуют все перечисленные результаты, относящиеся к метризуемым пространствам.

Остальная часть второго параграфа посвящена изучению естественного кандидата в допустимые топологии - топологии Фурье, достаточных топологий и эквивалентным характеризациям достаточных и допустимых топологий р терминах случайных гомоморфизмов, линейных операторов и цилиндрических мер.

Пусть X ~ 03-группа. Слабейшую топологию в X , относительно которой непрерывны все функционалы ^ X С, |»е </Ч Г X ) , мы называем топологией Фурье и обозначаем 5ГЛ(Х',Х).- Показано, чтоТ^ГХ^Х) является групповой топологией. Заметим, что для

фиксированной меры )/£</1( X ) слабейшая топология в X' > от~

1 л

носительно которой непрерывен функционал И ,-может не быть

V1

групповой топологией; однако в А всегда существует слабейшая групповая топология ¿ГСр), относительно которой р непрерывен. Топология ЗТр ) совпадает с топологией сходимости по мере [( в

X' .

Топологвд в X называется достаточной топологией,

если

ГКХ^с/ЦХ),

т.е. если произвольный положительно определенный функционал ^ , X С, % (1) = 1 » непрерывный в топологии £Г , является характеристическим функционалом некоторой радоновой вероятностной меры || л X .

Для иллюстрации результатов второго параграфа приведем два утверждения.

Предложение 3. Пусть X - некоторая Об-группа. Эквипа-лентш! следующие утверждения.

(а) X обладает свойством Сазонова,.

(б) Топология Фурье есть допустимая топология.

(и) Топология Фурье Т'ЧХ'.Х) ссть Достаточная топология.

(г) Для каждой меры [цеЛЧСХ) такой, что > О , топология ) есть достаточная топология в X' •

Предложение 4. Пусть X ~ полная метризуемая О^-группа,

- некоторая инвариантная относительно едпигов топология в X • Следующие утверждения эквивалентны.

(а) Т - достаточная топология.

(б) Для каждого вероятностного пространства каждый непрерывный гомоморфизм 'X: X у индуцируется сепарзбслыюзначшш борелевским отображением Й X ■

Исследована топология Фурье в случае 0$-пространств, доказана ее векторность и найдена ее явная форма в случае метризу-ешх локально Г -выпуклых пространств. Обсужден метод цилиндрических мер в случае ОБ-простршютв и 05-групп. Выяснена его меньшая эффективность для задачи описания класса характеристических функционалов в случае 05-групп.

В § 3 найден класс групп, обладающих спойстоим Сазонова.

Пусть X - группа, X ^) - положитель-

но определенный функционал. Тогда равенство

эсх)= /^ТсТрГэс^^у т х,, -х^е X ,

определяет полуметрику на X • Топология определяемая

полуметрикой в X . есть групповая топология. есть

слабейшая групповая топология, относительно которой непрерывен функционал ер .

Положительно определенный функционал ^Х~> С, { на топологической абелевой группе X называется фундаментальным положительно определенным функционалом (Ф.и.о. функционалом),

если совпадает с исходной топологией X •

Теорема В. Пусть X - полная метризуемая 05-группа, на которой существует фундаментальный положительно определенный функционал и которая имеет спойство аппроксимации. Тогда X обладает свойством Сазонова.

Другими словами, эта теорема утверждает, что если группа удовлетворяет сделанным предположениям, то = П ( ).

Из этой теоремы легко вывести, например, что пространства (Д.Х.Цуштгнщ) и пространства Харди Нр при 0 ¿р < 2. обладают свойством Сазонова. В этих случаях функционал

будет ф.п.о. функционалом.

Для пояснения сдасла условия существования ф.п.о. функционала приведем следующее утверждение.

Предложение ¡3. Пусть X - метризуемая топологическая абе-лева группа. Гавносилыш следующие утверждения.

(а) 11а X существует ф.п.о. функционал.

(б) Существует такое вероятностное пространство (.О^,^), что X топологически изоморфно некоторой подгруппе топологической группы ЦСЙ )Т) •

Из теоремы 8 выводится следующее утверждение, которое в слу--час 1К ■= 1Я. представляет собой известный результат Д.Х.Муштари.

Теорема 9. Пусть X - потное метризуемое ОБ -пространство со свойством аппроксимации, вдожимое в , ч>', 1К,) для некоторого вероятностного пространства (СЗ, ^, -V) и для некоторого , ЬС -тела |С . Тогда X обладает свойством Сазонова. •

Отметим, что для пространств фреше над И вложимость в является и необходимым для справедливости этой теореш

(Д.Х.Муштари).

Перед тем как сфор.гулирсшать очередное следствис теоремы В, напомним, что метрика ^ на множестве X называется ультраметрикой, если

? > х t) ¿ rnax (f (ос, ,gc3), , зс,, огг, ос3 е X .

Теорема 10. Пусть X - полная метризуемая DS-группа со свойством аппроксимации, и пусть топология X определяется некоторой инвариантной ультрамстрикой. Тогда X обладает свойством Сазонова.

Из отой теореш выводится следуюшее утверждение, которое в предположении сепарабельности было получено Л. Шдрецким (19Я5).

Следствис. Пусть X - произвольное неархимедово банахово пространство над неархимедовым LС-полем. Тогда X обладает свойством Сазонова.

Мы показываем, что свойство Сазонова наследуется зашнутыми в топологии 1йра подгруппами, а также что счетное произведение групп со свойством Сазонова также обладает свойством Сазонова.

Теорема Л. Пусть X - сусли»скос квазиполное ЛШ1 нал ¡Re\1R,C} . Y - некоторое ЛЯП и u: X -> Y - непрерывная линейная биекция. следующие утверждения оквтишштни.

(а) X обладает свойством Сазонова.

(б) Y обладает свойством Сазонова.

Из отой теореш выводится, что пространство £|, при О < р<с 1 с индуцированной из Сг структурой есть предгильбертово пространство, обладакщзе свойством Сазонова, a í_» Со> fU при 9.<cj;¿co . с индущцюРанноЛ из 1-г[о, 1 ] структурой есть ш "дп:лк)01 tobo пространство, но об."п.;',аю' : cpcuctiwm Сазонова,

В § 4 изучается задача описания класса характеристических функционалов комплексных радоновых мер. Здесь вместо понятия положительно определенного функционала использовано понятие ограниченно определенного функционала.

Пусть X - В5-группа. Функционал £: С называется ограниченно определенным, если найдется такое число ^ £-0 , что для — , и Со сп е С имеет место нера-

венство

*=1 1 -хсХ

Если М - комплексная радонова мера в X « то характеристи-

^ \/ > ¡г*

ческий функционал ^ : д с <Ь является ограниченно о преда*: ленным и непрерывным. Вели X - ЬСД-группа, то верно и обратное: каждый непрерывный ограниченно определенный функционал ^ : X С имеет вид ^ - р , где - комплексная

радонова мера в X (теорема Кохнера-Крейна-Эберлейиа).

Исходя из этого, для произвольной 05-группы X топологию Т в X мы называем комплексно достаточной топологией, если произвольный функционал \ ■■ X'—? С , который непрерывен в топологии 0" и ограниченно определен, является характеристическим функционалом некоторой комплексной радоновой меры В X .

Каждый положительно определенный функционал является ограниченно определенным, поэтому комплексно достаточная топология является достаточной топологией. Мы доказываем, что верно и обратное утверждение.

Теорема 12. Пусть X - 05-группа и 3" - некоторая сдвиг-инвариантная достаточная топология в X • Тогда £Г является комплексно достаточной топологией.

Вопрос о справедливости аналогичного утверждения в контексте цилиндрических мер в локально выпуклых пространствах бил поставлен О.Г.Смоляновым; положительный ответ на него в случае топологии Сазонова бол получен Е.Т.Шавгулидзе (1976). Паш результат получен для общего, случая О^-групп и в нем яшшй вид топологии Т несуществен.

Теорема 12 позволяет описать класс характеристических функционалов комплексных радоновых мер.

Следствие. Пусть X - Об-группа со свойством Сазонова, 5Г - некоторая допустимая сдвиг-инвариантная топология в X' . Тогда для функционала £ : Х С следующие утверждения эквивалентны.

(а) ^еУП(У)С).

(б) § ограниченно определен и непрерывен в топологии Я".

рассмотрена также задача описания характеристических функционалов для векторных мер.

Если X - хаусдорфово топологическое пространство и Е -ЛВП над С , то 171 (Х,Е) обозначает множество всех таких векторных мер ||: ¡В (X) Е . что скалярная мера яв-

ляется радоновой для любого е* е Е * .

Теорема 13. Пусть X - суслинская 0£-группа и £ -секвенциально полное МП над С , не содержащее подпространства, изоморфного С0 . Тогда для. отображения $: % С следующие утверждения эквивалентны.

(а) ^ е Ц71 ( X Е ).

(б) с*еЕ*}«=ШХ;С).

Требование на Е не содержать подпространства, изоморфного С0, существенно для справедливости импликации (б) (а) этой теоремы. {,51 показываем, что аналог теоремы 13 для дискретной

группы X справедлив для любого пространства Фреше Е .

В случае классической группы целых чисел для одного класса банаховых пространств Е найдены достаточные условия на векторную функцию f: Т = Z'—* Е для. того, чтобы f = f» , где р - векторная мера конечной вариации. Полученные результаты обобщают классические теоремы С.Н.Бернштейна и Л.Зигмунда на случай векторных функций. С их помощью найдено следующее обобщение теоремы Л.И.Колмогорова о выборочной непрерывности случайных процессов.

Теорема 14. Пусть ^ft), i€ 1R. - некоторый периодический случайный процесс р-го порядка, . Предположим,что

Ур

(EU(bb$(s)lp) й <f(|t-'sl), i,S€D>,0, (8)

где (f: СЬ^Д-^Щ^ - такая возрастающая, непрерывная в нуле функция, что

f «Р^

ctt

(9)

Тогда £ имеет модификацию , все траектории которой непрерывны и, более того, имеют абсолютно сходящиеся ряда Фурье.

'Гот факт, что условия (8) и (9) влекут существсзание выборочно непрерывной модификации, был доказан М.Хан (1977). Ми показали, что с помощью обобщения теоремы.Бернштейна для векторных функций можно получить несколько больше.

В этом же параграфе охарактеризованы дискретные меры в общей ОБ -группе на языке непрерывности их характеристических функционалов.

Последний, пяти ¡г параграф посвящен изучению класса характеристических функционалов в общих -группах (т.е. не требуется наличия свойства Сазонова). Основным результатом параграфа явля-

- 2а -

лсп следующее утверждение, которое решает проблему Ч.Рыл-Нард-зевского для случая Р в -групп.

Теорема 15. Пусть X - 05-группа и X С -

положительно определеН1ше функционалы. Тогда если

то найдется такой характер ^: Т , что

Г^е^(Х) и «"Ч^^Х).

Аналогичный результат в контексте цилиндрических мер в локально выпуклых пространствах получил Я.Росински (1982). Нами проанализированы случаи, когда сами сомножители у. и будут характеристическими функционалами. В качестве иллюстрации полученных результатов приводится новое, более простое доказательство теоремы Борела о том, что каждая гаусссвская радонова мера в любом ЛВГГ имеет непрерывный в топологии Макки характеристический функционал.

Литература

1. Тириеладзо В.И. Некоторые следствия теорем Б.Морэ // Конф. молодых ученых по матем. и механике: СИ. докл. - Тбилиси, IU76. - С. 125-12Я.

2. Тариеладзе В.И. О топологической характериэации почти периодических положительно определенных функций // Респ. школа-семинар "Топологические аспекты теории функций" : Тез. научи, саобщ. - Тбилиси, 1905. - С. 11-12.

3. Тариеладзо В.И. Иродактние цилиндрические.меры и теорема двойственности // Тр. Ин-та вичисл. матом, им. Н.И.Мусхелиш-

. вили АН Грузинской ССР. - 1985. - Т. 25, »2. - С. 60-76.

4. Тариеладзе В.И. Одно применение цилиндрических мер, заданных в группе // 4-я Вильнюсская конференция по теории вероят. и матсм. статистике: Тез. докл. - Вильнюс, 19Я5. - Т.З. - С. 174-175.

5. Тариеладзо В.И. О теореме единственности для преобразования Фурье // Тр. Ин-та вычисл. матем.' им. Н.И.Мусхелишвили АН

. Грузинской ССР. - I9B7. - Т.27, М. - С. 195-207.

6. Тариеладзе В.И. О топологическом описании характеристических функционалов в некоторых группах // Докл. АН СССР. - 19Я7. -Т.295, Й6. C.I320-I323.

7. Тариеладзе В.И. О топологии Фурье дня бесконечномерных пространств // Тр. Ин-та вычисл. матем. им. К.И.^схелищвили ЛИ 1^узш1СК0Й ССР. - 19ВЯ. - Т.28, №1. - C.I79-I9I.

8. Тариеладзе В.И. Топологическое описание характеристических функционалов в некоторых группах // Теория вероят. и ее при-меи. - 1909. - 1'.34, J.4. - C.95-IOG.

9. Tarleladze V.l. Он nuclear covorlnnce operators // Lecture I.'otes in JIath. - 19tfO. - У.82Э. - Г.гв}-?в!>.

-jólo. Tarieladze V.I, Characterization of covariance operators which guarantee the CM // Lecture Hotes in Stat. - 1980. -V.2. - P.548-559.

11. Tarieladze V.I. On a class of radonifying operators // 3-d Vilnius Conference on Prob. Th. and Math. Stat.« Abatr. of Comm. - Vilnius, 1981. - V.3. - P.335-356.

12. Tarieladse V.I. On a refinement of the duality theorem // IV USSR-Japan Symp. on Frob. and Stat.« Abatr. of Comm. -Tbilisi, 1932. - V.2. - P.234-235.

13. Tarieladze V.I. Characteristic functionals and cylindrical measures in DS-groups // Prob. Th. nnd Math. Stat. / Proho-rov et al. (eds). - VNU Science Ргезо, 1986. - V.2. - P. 625-648.

14. Tarieladze V.I. On the characteristic functional of probability measures in topological groups // I World Congress of Bernoulli Society: Abstr. - Tashkent, 1986. - V.2. - P.866.

15. Tarieladze V.I. On the nufficient topologies in the case of Г,roups // V Vilnius Conference on Prob. Th. ancl Hath. Stat, t Abstr. of Coram. - Vilnius, 1989» - V.2. - l'.ia2-183.

16. Tarieladze V.I. -Vector-valued Fourier series and sample continuity of random processes // Lecture Hotos in Math. -1989. - V.1391. - P.

17. Вахания 11.11., Тарисладзе П.И. Ковариационные операторы вероятностных мер в локально выпуклых пространствах // Теория вероят. и ее нримсп. - 1978. - Т.23, гып.1. - С.3-26.

18. Вахания II.Н., Тариеладзе Т1.Н., Тортра Л. О непрерывности случайных линейных функций // Теория воролт. и ее примем. -1901. - вып.1. - С.172-17«.

19. -Вахания II.IU, Тарисладзе П.М., Чобанян С. Л. Вероятностные распределения п банаховых пространствах. - !,].: Наука, 19Я5.-

- 31368 О.

20. Линде В., Тариеладзе В.И., Чойалян с.А. Характеризация некоторых классов банаховых пространств свойствами.гауссовских

*

мер // Теория вероят. и ее примен. - 1980. - Т.25, вып.1. -С.162-167.

21. Линде В., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Одна вероятностная характеризация суммирующих операторов // Матем. заметки. -1981. - Т.ЗО. - С.133-Ш.

22. Chevet G. , Ohoban.yan S.A. , binde W. , Tarieladze V.I. Cnrac-torization dp certaines classes d'espaces.de Bannch par les тевигоп Raucniormes // O.II. Acnd. Se. Paris. - 19??. - 'Г.

2Й5- - P. 793-796.

23. Chobanyan S.A., Tarieladze V.I. Gausoian characterizations of certain Bnnach r.paees // J. Multivar. Anal. - 1977- -V.7. - P.183-203.

24. Tarieladze V.I., Tortrat A., Vakhania N. Prolongement d'une dualité (X,ï) entre espaces vectoriels en une dualité de type (L4, bp) // C.R. Acad. 8c. Paria. - 1977. - T.204. - P. -1561-1564.