Интерполяция в круге и конечносвязных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

/ 6 СЕН №

РСОСКЙСГСГЙ ГОСУД.и-'СТВЕШШЛ 1ЩЛЛ)П1ЧИ]Кйй ЭТ5ШЗРСЙТБГ кмени Л.Й.ГЕРЦШ

СПЩ5М1ШРОВАШ-)Цк1 СОВЕТ К 113.05.14

Нр .правах рукописи

РШШ Сергей Евгеньевич

ИНТГРПОШЦШ В КРУГЕ И КОНЕЧНОС&ЧЗШХ ОБЛАСТЯХ ■01.01.01 - 'НАТШТИЧЕСЮЙ АНАЛИЗ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание -ученой степени кандидата физгаго-матеиатических наук

САМГГ-ПЕТЕРЕУРГ

1993

Работа выполнена в Российском государственном педагогическом университете им. А.И.Герцена.

Научный руководитель -доктор физико-математических.наук, профессор Н.А.ШИРОКОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.Б.АЛЕКСАНДРОВ, кандидат физико-математических наук, доцент А.М.КОТОЧИГОВ

Ведущая организация - Российский государственный педагогический университет, г. Москва.

Зашита состоится "<Р " ^ЛмУЛ^Я 1993 г. в часов на заседании' Специализированного Совета К 113.05.14 п Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена по адресу: К'Пеи, СПб, наб. р. Мойки, 43, корп. I , ауд. 210, мат емат ячеек ий Факульт ет.

О диссертацией можно отклониться в библиотеке университета по едхчюу: СПб, наб. р, Мойки, 48, Оунааченголь"ая библиотека.

Асторефепат рапослпи 0С*4АЯ 1993 г.

Учешй секретарь О • «. Специйли»кропанного Совета Чо^У» ». 0 Б.Ю.ЯМ1Л

4

ОБЩАЯ ХЛОДГ&ЛСГШ РЛГОП1

йкттал^кость тт/н диссертации определяется той роль», кото-рул играют задачи интерполяции и их приложения б комплексном анализе и теории операторов начиная со знаменитой работы Л.Карлесоиа 1962г., в которой было получено решение проблем! "короны". После этого были обнаружены ватные связи интерполяционных задач с описанием базисов й биоо^огональных систем з различных-функциональных пространствах, безусловно сходящимися спектральными разложениями, проекторами на корневые подпространства, теоремами вложения в различных классах аналитичес -ких и гашонических Функций, описанием конечнопогожденных

уоо '

ареалов лгебры П и равномерных алгебр, заключенных ме.чду

Нсо I оо И Ь ,

С помощь» ограниченных операторов интерполяции было построено эффективное решение Э -проблемы в круге и полуплоскости, создан аппарат для конструктивного разложения Фе^феруака -Стейна функций из БШ., получено описание интерполяционных

Ц00 У'Р

пространств между п и Н

Наряду_с приложениями развивалась и сама теория интерполяционных задач. Основополагающие работы Л.Карлесона, Д.Ньюмена и У.Хе'Ь.-гана послулили примером для многочисленных обобщений. Узке в начале.60-ых годов Г.Шапиро.А.Шилдсом и В.П.Кабайлой были доказаны интерполяционные теореяа з классах Харди Н^ при 0 < <+ со, а в работах С.Л.Виноградова 1965 г. полнилась интерполяция степенными рядами. Новы!! этап в развитии задач свободной интерполяции аналитическими фующпями наступив в 70-е годы, когда с помощью биоотогональних систем М.И.Д'крбшк*-иа было получено полное и эМсктшвдсе гоясипе интврполяпношю?.

-

задачи с уэльыи ограниченной кратности в классах П в круге >1 полуплоскости, а Н.К.Никольский и В.Й.Васшишм с помощью сассыотреник плодотворных связей задач интерполяции со спектральными разложениями и задачами описания базисов получаны теооемн об интерполяции еостков аналитических функций в

и<* и2,

классах п • в и в круге,. причем кратности уже ы предполагались ограниченными. В работах С.А.Виноградова, Е.М.Динькина, А.М.Коточигова, С.В.Хрущева, Н.А.Широкова били рассмотрены

задачи свободной интерполяции аналитическими в единичном круге функциями, гладкими (в широком смысле слова) »плоть до гганиш, причем в работе А.М.Коточигова был впервые отмечен Ифедо "слипания" точек интерполяционной последовательности, то есть невыполненно для н«Д> услопия редкости и, тем более, известного условия Кавлесона, гарантировавшего разреюшость «аторполяниоиных задач в классах-лардн.

Однако, все эти результата били -получены лишь для канонических односвязьш областей - единичного круга я полуплоскости. У.оклтстэ составляет ли;иь теорема В.?.'.Мартиросяна ои пн! ериолгцпи в классах Хит.ди л угловой области для 1 < р <+оо. Стг;;г-: у;й интерполяционных множеств в произвольных одно-связник и Ме'огосвгоннх областях сравнительно коло изучена ца?-" пяя яадач кьтелполигай с яростши узлами} извостш .лишь услой'.е ЖлСапяесона-П.Ььсшшнга, необходимое и достаточное для разрешимости интерполяции с простыми узлами г» классе П в конечноелязнс облвсти. и теорема Е.Стаута, доказавшего,

что кит*.-рполянионная в пространстве в конечносвязной облноти носло/'ов» ельнооть разбивается на насколько иитерполя-««■■чп'их пося<?цовптельностой, сгув^иицихся к табличном граничным контурам.

Реферируемая работа являе-ся дальнейшим продолжением исследований интерполяции аналитическими Функциями в классах Харди и В.И.Смирнова в круге и конечносвязных областях.

Цель работы. I. Получить по возможности наиболее точные явкие -оценки норм интерполирующих функций через параметры множества, на котором осуществляется интерполяция, в задачах об интерполяции с повторяющимися значениями " кратной интерполяции с узлами ограниченной кратности в классе И в круге.

2. Проследить связь между задачей об интерполяции с повторяющимися значениями и задачей об интерполяции ростков в И .

3. Описать интеополяцконные последовательности в задача

цоа

о П -естественной интерполяции, поставленной Н.А.Вироковш в 1979 г. г. обобщить её на случай повыпенной гладкости данных интерполяции.

4. Доказать теоремы влокения для Функций классов Харди и Смнпнова в конечносвязных областях и их производных, являшдн-еся аналогами теорем вложения Л.Карлесона и Ф.Шамояна.

5. Обобщить теоремы об интерполяции с птюстымп узлами и углами ограниченной коатности в классах Н^ в круге на случай классов Харди-Смирнова в достаточно широком классе односвяз » них и конечносвязных областей.

Методика исследования представляет собой сочетание методов классической-теории аналитических Функций с общими теоремами о линейных ограниченных операторах в банаховых пространствах, а также использование аппарата мер Карлесона и техники оценок I ппоизведений Блякке, имеющей источником обзор С.Л.Виноградова 1 и П.П.Хапина. Определение смешанных классов Харди-Сгарнопа и 1 описание граничных свойств Дующий этих классов основано на подходе, гаэпиток Г.Ц.Тумартешшм и С.Я.Хошмсокон.

рс

ченной последовательности комплексных чисел

С П°°

найдется Функция У с П , удовлетворяющая условию

^М = гЛ'д. при АеАа, а>1 .

Основным результатом является следующая

Теорема I, Ка множестве J\. разрешима интерполяционная задача с ловторямимися значениями тогда и только тогда, когда удовлетворяет условию

ийЫВ, 0)|=.$>0

Л\ДЙ

п.

П этом случае для последовательности 'Ш наищется интерполирующая Функция с нотмой, не превосходящей

М

С (4) ¡Ми где

- абсолютная постоянная.

Если же в качестве дата« интерполяции на серии J\.r рас-

■ г , Н 00

сматривать значения функции £ п , получим следующий результат:

Теорема 2. Рапглпимость интерполяционной задачи

АбАЛ , а»1- .и\Г.

дня произвольного ограниченного по норме набора Функций

' ' ИЭ ^ равносильна, услоги» ") на

Множество .Д. . При этом существует тггерпсчгарукпдо Функция с нотой но более.

Реферируемая работа являемся дальнейшим продолжением исследований интерполяции аналитическими Функциями в классах Харда и В.й,Смирнова в круге и конечносвязных областях.

Цель работа. I. Получить по возможности наиболее точные явные -оценки норм интерполирующих функций через параметры множества, .на котором осуществляется интерполяция, в задачах об интерполяции с повторяющимися значениями " кратной интерполяции с узлами ограниченной кратности в классе П в круге.

2. Проследить связь нему задачей об интерполяции с повторяющимися значениями и задачей об интерполяции ростков в Н .

3. Описать интерполяционные последовательности в задаче

о П -естественной интерполяции, поставленной Н.А.Широковым в 1979 г. г обобщить её на случай повыпенной гладкости данных интерполяции.

4. Доказать теоремы вложения для функций классов Харди и Смирнова в конечносвязных областях и их производных, являющиеся аналогами теорем вложения Л.Карлесона и Ф.Шамояна.

5. Обобщить теоремы об интерполяции с простыми узлами и углами ограниченной кратности в классах П^ в круге на случай классов Харди-Смирнова в достаточно широком классе односвяз -них и конечносвязных областей.

Методика исследования представляет собой сочетание методов классической-теории аналитических Функций с общими теоремами о линейных ограниченных операторах в банаховых пространствах, а также использование аппарата- мер Карлесона и техники оценок произведений Бляшке, имевшей источником обзор С.А.Виноградова и П.П.Хашша. Определение смешанных классов Харди-Смирнова н описание граничных свойств Функций этих классов основано на подходе, газпнтом Г.Ц.Тумагтсинмм и С.Я.Харинсоном.

Научна^ новизна. Все результаты, полученные в работе в рачках названных выше задач 1-5, являются новыми. Впервые в количественном, чисто аналитическом аспекте прослежена связь между интерполяцией с повторяющимися значениями и кратной интерполяцией, позволившая получить лучшие ( из известных в настоящее время ) оценки норм интерполирующих функций. Доказаны новые теоремы вложения в широком классе конечносвяз-гак областей, сформулирован в терминах функции Грина оператора Лапласа кпитешй разреанмости краткой интерполяционной задачи с узлами огсаниченной кратности в смешанных классах Х- .-¡ди-Смишова. Следует отметить, что большинство теорем толе ет хагактер необходимых и достаточных условий.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит чисто ■теоретический характер. Её результаты и методы исследован™, ыяно использовать как в-самой теории аналитических Функций, чак и в '¡лектрьльной теории операторов в простри.¡ствах Харди и их аналогов а круге и конечносвязиых областАл. Они могут ¡быть использованы.также при разработке-специальных курсов по год-ии Функций для математических специальностей университетов пед.чг-огпчнскйх институтов.

• Апробация ..робод!. Результат«, диссертации -неоднократно док лады,на семинарах по комплексному анализу и спектральной гпо:>ии в Санкт-Г'Ътогбупгском государственном университете и Петербургском отделении ^токсического института Российской А.кпч'-;1-.;яи Шук, 'на кг т.Ггегенянях "Комплексны!! анализ и д.иф)-|'1с'>!;!71ип.пыше'.уравнения'-' (Черноголовка, .1981, 1£€3, 198'/) , гкчпгнп.М) мсйд.И.м.Днп^йчиш'в 1-пети'л-уто Математики АН Армении,

'Торценсвскне чтения" в Российском государств и-.чиО'.- по:>.«»гогичеокок-.ун.тэрси-нзте, г .ОашгётЛоторбург.

Публикации• Основгае результаты диссертации опубликованы п 6 научных заботах.

Структура п объем работе. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов, и списка литературы, содержащего 50 названий габот советских и зарубежных математиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий анализ истории вопроса и литературы, отражающий развитие и современное состояние изучаемое в диссертации интерполяционных задач, обзор получешшх результатов по главой и параграфам, а также.вводятся основные обозначения, используемые на протяжении работы:

классы Харди в открытом единичном круге Юфпн} комплексной плоскости;

Фактор Бляшке с нулем А, | < 1 :

х ^ 1-Хг *

^ £ произведение Бляшке с нулями в точках мно~ег.т-

А

Первая -глава состоит из трех параграфов; в ней мы имеем дело исключительно с пространство!,! П

(©О

я

открытом круге, в центре внимрчия- находится связь залач интерполяции с простыми узлами и узлами ограниченной кратности и получение возможно более точнее оценок норм пнтерполирущих Функций.

В §1 рассмотрена задача об интерполяции с повтогяг«г.т'кся

// А а7) т-

значениями на /» -точечных сериях 11/¿"^А Ьудем говорить, что на мнртестпе А > 1 , раг.рептма иитерполттгч-

нвя эадачл с повторяюпимися значениями, если для оттяни-

ченной последовательности ^ ^"{Чг}^ ~ комплексных чисел найдется функция € Н , удовлетворяющая условию •

£(Х)=игп,. пг,и АеДп , .

я. при л

Основных: Результатом является следующая

Теорема I, Ка множестве ■J\, разрешима интерполяционная задача с повторяющимися значениями тогда и только тогда, когда удовлетворяет условию

тЗ-АЬ 0)1 <0

> П. а-

П этом случае для последовательности Я^ найдется интерполирующая Функция с нормой, не превосходящей

.ж

- абсолютная постоянная.

Если же в качестве данных интерполяция на серии рас-

г ^ И00 *

сматривать значения функции € Н , получим следующий

результат:

Теорема 2. Разп-етимость интерполяционной задачи

ЯЩЫ АеАл . ..ий-.

дня произвольного ограниченного по норме набора функций

» ^ > из И равносильна-условию (Сц^ на множество А • При этом существует интерполирующая Функция с ношой на более

л

о

р

ш

К]

Условие ) есть не что иное, как кодификация известного

условия Карлесона для М -точечных серий. Теоремы I и 2 будут

верш и для серий, содержащих не более точек.

Из теоремы 2, расщепляя узел Д интерполяции кратности

(с в простых узлов и стягивая их затем к Д , с

V л

помощью предельного перехода получается следующая теорема о кратной интерполяции:

Теорема 3. Пусть - натуральное число. Разрешимость интерполяционной задачи

доя произвольного ограниченного по норме набора функций {^¡^Д из Н имеет место в тем и только в том случае, когда множество А удовлетворяет условию Карлесона, причем существует интерполирующая функция с нормй, не превосходящей

С gf» «ÍL.

31-

на в . ст

ле Во втором параграфе с помощью теоремы Карлесона об иптерпо-

См: ляпни ограниченных Функций, заданных внутри линий уровня,из его

знамени-гой работы о "короне" результаты §1 переносятся на слу-Хя] чай серий произвольной, вообще говоря, неограниченной длины.

К£15 Необходимым и достаточным условием окапывается так называемое

тар условие Каллесона-Ваеюнина

тог. обо

fV

"А 1 а>1 ■'Ч

Олвдуе" отметить, что результаты этого параграф;; могут быть внгечоии m результатов Н.К. Никольского и В "!.Вясюнина, однако

Условие (С^ есть не что иное, как кодификация известного

условия Карлесока для М -точечных серий. Теореш I и 2 будут

верны и для серий, содержащих не более Д1 точек.

Из теоремы 2, расщепляя узел А интерполяции кратности

к в к. простых узлов и стягивая их затем к Д , с А л

помощью предельного перехода получается следующая теорема о кратной интерполяции:

Т е о р е м а 3. Пусть /У - натуральное число. Разрешимость интерполяционной задачи

для произвольного ограниченного по норме набора функций

н

ОО

из и имеет место в тс;.: и только в том случав, когда множество .А удовлетворяет условию Карлесона, причем существует интерполирующая функция с иормй, не превосходящей

/

Во втором параграфе с помощью теореш Карлесона об интерполяции ограниченных Функций, заданных внутри линий уровня,из его знаменитой работы о "короне" результаты §1 переносятся на случай серий произвольной, вообще говоря, неограниченной длины. Необходимым и достаточным условием оказывается так называемое условие Каглесона-Васюнина

Следу©"* отметить, что результаты этого параграф«: могут быть Ш17'сп..-»км из результатов Н,К. Никольского и В "'.Васшина, однако

применяемый в диссертации метод позволяет получить к>: гораздо более коротким и простым путем, минуя рассмотрение спектральных разложений и базисов.

В §3 рассмотрена задача Н.А.Широкова об Н -естественной интерполяции, предложенная им в 1979 г. Назовем Функцию

т .Л-естественной, если существует С((р)такое, что при всех £ /1 выполнено неравенство

Будем говорить, что на множестве разрешила Ц -естест-

венная интерполяционная задача, если для любой ^.-естественной Функции (р найдется йункция Н , для которой

^ (Х) = (|>А) дри А сЛ .

Т е о р м а 4. Следующие условия равносильные:

- на множестве 1\. разрешша задача об Н -естественной интерполяции;

- существует £ 7" 0 такое, что при всех АсУкв круге К (К ~ ^ •! Г2)1 ^ не более одной отличной

от А точки множества /\. и

- множество можно представить в виде объединения двух, удовлетворяющих условию Карлесона.

Иста

-норма кото-

'•о8 не пг-евосходит в«зяичкнн

Условие Г5 -естественной интерполяционной задачи оказывается эквивалентным липинцевости функции <р в псевдогиперболической метрике, что позволяет обобщить теорему 4:

Теорема 5. Следующие условия равносильны:

- для любой функции £ I (А) разделенные разности которой порядка меньше'Л. относительно псевдогиперболической метрики ограничены в совокупности, найдется функция Н , для которой Ш) =<рА) при всех АбА

- множество У\ можно представить в виде объединения не более, чем Л- множеств, удовлетворяю::?« условию Карлесона.

Эта теорема независимо от автора была доказана В.И.Расюии-ннм, Заметим, что эффект "слипания" точек интерполяционного множества был впервые отмечен в 1974 г. А.М.Коточиговим.

Вторая глава посвящена интерполяция в конечносвя-зных областях, для которых производная конформного отображения на круговую каноническую область отделена по модулю от 0 и+СхЭ; в этом случае, как известно, классы аналитических)функций, пред-ставимых интегралами Коши и Грина, совпадают, или, что эквивалентно, совпадают классы Харди с соответствующими классами Смирнова в этой области.

В §4 получены аналоги теорем вложения Ф.Мамояна для классов Харди-Смирнова в односвяэной области, причем отмечено, что в качестве весов моткно брать как расстояние до границы области, так и любую Функцию Грина отой области. Для зтих весов доказаны теоремы о ресовой интерполяции с узлами ограниченной кратности, обобщающие известное для единичного крута результаты.

Переносу от.их теорем на случай конечносвяздах областей прпд-тоствует вспомогательный §5, в котором вводятся смешанные классы Хппди-Пинигова в к'1нечкссряз!!сй области и рассматривается

граничные свойства функций этих классов.

Пусть Сг ■■ ¿"(.-связная область комплексной плоскости с ' граничил»! контурами Г^ , ... , У^ ; ¡р - однолистное конформное отображение области & на круговую каноническую область Л , ограниченную окружностям.: & у , ... , ^-,4; р = (риргу;рп), где * ^ Дб + оо. . ££ -односвязная область, ограниченная и содержащая 0 .

Как отмечено вше, мы считаем, что при всех £ € £х .

Будем говорить, что аналитическая в области С .функция f принадлежит смешанному классу Хардк-Смирнова Ир (&) , если конечна ^,

- да

где - окружность, отстоящая от на расстояние ^

и пр1. д,".лежащая области /С , а числа выбраны так, что окружности г- , ... , дизъюнктны.

В случае = + соответствующее слагаемое следует понимать как '№(%)! при

Классы ^^г, можно определить к независимо от кон-

формного отображения, если вместо интегралов по (Р (^¿^брать интегралы по линиям уровня Функции Грина области О или потребовать для каждого I , ¿^¿^Л- , существование "о-следовательност!. контуров, сходящейся к , для которой соответствующие интегралы ограничены в совокупности.

Смепш.ншо классы Хардк-Смирнова были впервые введены в ¿1],

г,до били отмечены такта и лов используемые з дальнейием граничные свойства Функций отих классов, завершающие §5.

§§6-7 посвядаи* переносу интерполяционных теорем на случай

скепанных классов ffn(G).b конечносвязной области. Также, как

г

и в случае единичного круга, необходимым и достаточным условием разрешимости интерполяционных задач с узлами ограниченной кратности оказывается то ие условие, что и для простых узлов, переформулированное♦ однако, в терминах функции Грина области Q- . Перейдем к точным формулировкам.

Пусть £ ^ {Zj^J - последовательность точек области С ,

разбитая на подпоследовательности , Л ,

Г"

сгущающиеся к различным граничным контурам J¿ , пронумерованным соответствующим образом; пространство £р (El) есть прямое произведение ¿ñ ({z¡ ) X,А' {, (£ )

¡I А II II / Г1Ь

с нормой, равной суше норм ||*|| ; /у - натуральное число. На пространств (С)ощ)вдетт ттеПавЛ оператор

ЙР(С)

f-p-i ji •tT следующим образом:

Р

^ Г (((А)

Т í= Uí'f fcA i; lP,N Ltl Г l)

где ii¡ j - расстояние от точки ZfJ до J f

Основным результатом второй главы является следующая докапанная в §7

Т р. о р о м а 6. Следующие условия равносильны:

3. Суммы 4 (¿Л) , где ЦЛ%,Ь) - функция Грина области С с полюсом в точке С , ограничены равномерно

по "Ь

4. Суммы 2 0 ГД° " Функция Грина обла-

1

сти (¡-^ с полюсом в точке ^ , ограничены равномерно по £ при каждом £ , .

По теме диссертации автором опубликованы следующие работы:

I. Рукшин С.Е. Интерполяция в смешанных классах Харди//Функцио-нальный анализ, Ульяновск, 1981, с.88-93. . ..р. . ц

2 ^ Шлкл (ФНЧмхПт//

'pj.it 1к Сиш.ШЖМА^I

3. Рукгаин С.Е. Интерполяция с повторявшимися значениями//Укра-инсий математический журнал, т.34, , '1982, с.233-237.

4. Рукшин С.Е. Интерполяция о повторяющимися значениями на сериях произвольной длины// Операторы и их приложения, Л., ЛГПИ, 1983, с.75-79. ■

5. Рукшин С.Е. Кратная интерполяция в смешанных классах

Харди// Операторы и их приложения, Л., Да ПИ, 1983, с.80-82.

/

6. Рукшин С.Е. Естественная интерполяция в пространстве П // Операторы и их приложения, Л., ЛГПИ, 1985, с.83-88.

РУКПИН СЕРГЕЙ ШГИШЕШЧ АВТОРЕФЕРАТ.

Подписано в почать 29.06.93. Ф.б.60x84 1/16. Б.тип. Л 2. Поч.л.1,0. Б.л.0,5. Твроа 100. Зэк. 4Я5. РТП иэд-ва С1ШЭ5. Бесплатно.

Издательство Сапкт-Пвтарбургсхого унивороптота экономика и финансов

!

191023, Санкг-Поторбург, ул. Садовая, 21.