Инвариантные множества и бифуркации динамических систем с ударами

Крыжевич, Леонид Святославович.

Инвариантные множества и бифуркации динамических систем с ударами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Крыжевич, Леонид Святославович. АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Инвариантные множества и бифуркации динамических систем с ударами»

Автореферат диссертации на тему "Инвариантные множества и бифуркации динамических систем с ударами"

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ им.А.А.ХАРКЕВИЧА РАН

005007301

УДК 517.911.5:534.1 На правах рукописи

Крыжевич Сергей Геннадьевич

Инвариантные множества и бифуркации динамических систем

с ударами

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 2 ЯН В 2012

Москва - 2011

005007301

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Афендиков Андрей Леонидович;

доктор физико-математических наук, профессор Белых Владимир Николаевич;

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Бланк Михаил Львович.

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук.

Защита состоится 17 января 2012 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 002.077.03 ИППИ РАН Большой Каретный переулок, 19, стр.1, Москва, ГСП-4, 127994

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИППИ РАН.

-4-Х УУ

Автореферат разослан " " ' ^ 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Соболевский А. Н.

Общая характеристика работы

В инженерных задачах появление хаоса, как правило, считается неприятным явлением, так как приводит к непредсказуемому поведению решений. Однако, возможно создание таких технических устройств, в которых целенаправленное генерирование хаотических колебаний приведет к улучшению их работы.

Несмотря на потребность прикладной механики и техники в развитии методов исследования инвариантных множеств сильно нелинейных динамических систем, устойчивости их решений и механизмов возникновения хаотических колебаний, а также в исследованиях по анализу конкретных виброударных систем, работы в этих направлениях на настоящий момент еще находятся в начальной стадии, в связи с чем тема диссертации представляется актуальной.

Актуальность разработки теоретических подходов. Особенностью большинства математических моделей ВУС является наличие того или иного условия импульсного типа, затрудняющего применение численных методов. Даже для простейших систем, описываемых в промежутках между ударами линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, при построении приближенного решения могут возникнуть проблемы, связанные с тем, что для определения моментов времени, соответствующих ударам,- приходится решать трансцендентные уравнения. В ряде виброударных систем возникают эффекты, нехарактерные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, такие, как например, негладкость или даже разрывность интегральных многообразий, соответствующих точкам покоя. Эти явления не позволяют с формальной точки зрения применить основные результаты теории динамических систем, в частности, обосновать возможность применения численных методов и интерпретировать их результаты. Поэтому представляется целесообразным разработать методы, позволяющие выяснить структуру неблуждающих множеств динамических систем, задаваемых негладкими и разрывными отображениями. Также актуальна проблема построения математических моделей систем с ударами, адекватных экспериментальным данным.

История вопросов, затронутых в диссертации. Систематическое изучение виброударных систем началось еще в работах Ньютона и Гука. Ими были предложены простые и удобные в использовании математические модели удара, основанные на законе сохранения импульса и законе сохранения энергии. Эти модели, несмотря на свою простоту, часто дают достаточно точное описание поведения движений ВУС. Более точными являются модель Герца, а также модель, в которой ударное взаимодействие рассматривается как добавление в правую часть обобщенных функций. В дальнейшем, мы будем называть виброударной системой не только механическую систему с соответствующими свойствами, но и ее математическую модель.

К настоящему времени изучены такие свойства решений систем с ударами, как существование, единственность и непрерывность решений по начальным данным и параметрам. Исследовались бифуркации, характерные для такого рода систем. Особый интерес

вызывает проблема наличия хаотических инвариантных множеств у систем с ударами.

Одной из первых теоретических работ по в этой области была статья Холмса (1982), в которой показывалось наличие хаотических инвариантных множеств в системе, описывающей колебания мяча, подскакивающего на гармонически осциллирующей поверхности. Описаны бифуркации, приводящие к возникновению так называемых странных аттракторов. В качестве одной из причин возникновения хаотических колебаний указывалось наличие периодических колебаний, имеющих в некоторый момент времени удар с малым значением компоненты скорости, нормальной по отношению к ограничителю, при условии, что в момент удара сила действует в сторону от ограничителя. Это явление получило название grazing - скольжение (Нордмарк, 1991). Еще одной важной причиной появления странных аттракторов является наличие периодических решений с большим, в пределе бесконечным, числом ударов за период. Это явление получило название стука или бесконечно-ударного режима (в англоязычной литературе - chatter или rattle).

Важным частным случаем ВУС являются биллиарды, то есть системы соответствующие равномерному и прямолинейному движению в промежутках между ударами. В отличие от ВУС общего вида, для биллиардов существует большое количество результатов, описывающих хаотическую динамику систем. В этой связи следует упомянуть работы Синая, Бунимовича, Долгопята и ряда других авторов, связанные с исследованием метрических свойств биллиардов и так называемых кусочно-растягивающих отображений (эргодичность, существование СБР-меры, оценки энтропии и т.п.)

И все же, несмотря на обилие работ по изучаемой теме, оставались открытыми следующие принципиально важные в теоретическом и прикладном отношении вопросы.

1. Существует ли аналитический критерий наличия у ВУС общего вида хаотических колебаний?

2. Применимы ли классические методы хаотической динамики к исследованию ВУС общего вида?

Цели работы. Целями диссертационной работы являются разработка методов исследования инвариантных множеств и бифуркаций сильно нелинейных динамических систем, их апробация на

примере систем с ударами, а также анализ основных свойств инвариантных множеств виброударных систем и механизмов возникновения в таких системах хаотических колебаний. Для достижения данной цели решены следующие задачи.

1. Доказан ряд теорем, предоставляющих достаточные условия наличия хаотического инвариантного множества в виброударных системах общего вида. Изучены несколько неизвестных ранее механизмов появления гомоклинических точек и инвариантных множеств, описываемых "символической динамикой".

2. Изучены основные математические модели виброударных систем и описаны такие их свойства, как диссипативность, конвер-гентность, наличие предельных циклов и т.п.

3. Проведено описание бифуркаций, характерных для ВУС. Показано, каким образом множества неблуждающих точек диффеоморфизма сдвига на период меняются при этих бифуркациях.

4. Исследована локальная структура устойчивых и неустойчивых многообразий ВУС в окрестности периодических решений, в частности, показано, при каких условиях они не являются гладкими.

5. Описаны две причины неустойчивости решений ВУС - обгон и скольжение, первая из которых связана с наличием большого количества ударов за период, а вторая — с наличием удара с малой скоростью. Приведены оценки показателей Ляпунова периодических решений ВУС.

6. Показано, что гиперболические инвариантные множества виброударных систем, так же, как и гиперболические множества гладких динамических систем, структурно устойчивы.

7. Получены коэффициентные условия хаотического поведения решений кусочно-линейной системы, описываемой двумя уравнениями второго порядка.

8. На примере ВУС описан неизвестный ранее механизм появления хаоса в окрестности негиперболической точки покоя.

Новизна и ценность результатов диссертации. Для ВУС общего вида впервые получены аналитически обоснованные достаточные условия существования хаотического инвариантного множества. Гипотезы, выдвинутые ранее на основе результатов численных и натурных экспериментов были обобщены и получили теоретическое подтверждение. Так, например, впервые теоретически

доказано (теоремы 2 и 3), что в окрестности бифуркации скольжения могут возникать "странные аттракторы". В ряде случаев даже удалось получить коэффициентные критерии наличия хаотического инвариантного множества. Так, например, теорема 5 предоставляет условия наличия хаоса в системах с ударами, не требующие априорной информации о наличии периодического решения ВУС с определенными свойствами. Предложены принципиально новые методы оценки показателей Ляпунова двумерных систем. Создан принципиально новый метод исследования динамики в окрестности негиперболической точки покоя; для этого случая предложена принципиально новая модель хаотической динамики. Все основные результаты диссертации снабжены примерами конкретных систем, в которых наблюдаются описываемые явления.

Объем и структура диссертации. Работа содержит 293 страницы машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 412 наименований. Каждая из глав делится на несколько разделов.

В главах 2,3 и 4 изложены наиболее важные с точки зрения автора результаты. Первая глава содержит, в основном, определения и технические результаты, необходимые для дальнейшего изложения материала. Описываются различные математические модели систем с ударом, обсуждается взаимосвязь между ними и их гомологические инварианты. Обсуждаются существование, единственность решений, зависимость решений от начальных данных и параметра, диссипативность, сохранение инвариантных множеств при малых возмущениях параметров системы. Для виброударных систем общего вида показывается, что гиперболические инвариантные множества обладают свойством структурной устойчивости. При помощи этой модели доказано существование и единственность предельных циклов виброударных систем. Этот результат позволяет распространить классические теоремы Драгилева и Левинсона-Смита на случай ВУС.

В главах 2 и 3 приводятся новые методы обнаружения хаотических инвариантных множеств и новые способы оценки показателей Ляпунова сильно нелинейных систем. В главе 2 изучается так называемый механизм скольжения. Предполагается, что при значениях параметра, близких к бифуркационному, имеется периодическое

решение, имеющее удар, которому отвечает малая нормальная компонента скорости. При выполнении условий общего вида один из показателей Ляпунова является бесконечно большим положительным, а второй бесконечно большим отрицательным. Для систем с одной степенью свободы это гарантирует гиперболичность появляющегося инвариантного множества, которое при выполнение ряда условий общего вида является хаотическим. Показывается, что отображение сдвига на период, отвечающее рассматриваемой ВУС, имеет трапсверсальную гомоклиническую точку. Исследовано два возможных случая: в первом из них периодическое решение имеет в некоторый момент времени удар с малой скоростью, а во втором подходит достаточно близко к ограничителю. В ряде случаев, например, для системы, рассмотренной в разделе 2.3, "излом" инвариантных поверхностей, приводящий к появлению хаоса, может возникать и тогда, когда периодическое движение не характеризуется наличием какого-либо малого параметра, такого, как скорость удара или расстояние до ограничителя в некоторый момент времени.

В главе 3 изучаются различные механизмы появления хаотических инвариантных множеств в различных виброударных системах. В разделе 3.2 рассматривается механическая система с одной степенью свободы, описываемая в промежутках между ударами уравнением Льенара. Предполагается, что правая часть периодична и имеет ровно два корня на периоде. Значение периода Т рассматривается, как большой параметр системы. Предлагаются достаточные условия наличия у рассматриваемой виброударной системы при больших значениях Т хаотического инвариантного множества. Описано явление нарастающей асинхронности ударов близких решений (обгон), являющееся причиной появления у этой динамической системы неустойчивости. Приведены оценки показателей Ляпунова. Исследуемая система не интегрируется даже в промежутках между ударами; никаких априорных предположений о наличии периодического решения не делается. Причина возникновения неустойчивости в рассматриваемой системе — явление обгона, то есть нарастающей асинхронности моментов ударов близких решений.

Обгон связан с появлением у некоторого периодического решения рассматриваемой системы большого количества ударов с малой

скоростью за период. Это может быть вызвано как увеличением периода правой части, так и уменьшением коэффициента восстановления г, характеризующего потерю энергии при ударе. Показано, что при выполнении некоторых условий общего вида в полуокрестности значения параметра, отвечающего бифуркации стука, рассматриваемая система имеет хаотические инвариантные множества.

В случае, когда число степеней свободы рассматриваемой механической системы больше единицы, точка покоя отображения за период, соответствующая рассматриваемому периодическому решению, может оказаться негиперболической. Несмотря на наличие двух бесконечно больших показателей Ляпунова, сказать что-либо про остальные показатели за исключением того, что они ограничены первыми двумя, не удается. Таким образом, приходится, как это сделано в разделе 4.1, работать с множествами, про гиперболичность которых ничего сказать нельзя. Этот случай может быть исследован при помощи методов теории частично гиперболических инвариантных множеств. Приводится оригинальный алгоритм построения множества так называемых допустимых дисков. На множестве этих дисков вводится динамическая система, определяемая при помощи исходной. Показывается, что предлагаемая система имеет инвариантное множество, обладающее рядом свойств хаотического инвариантного множества, которые сохраняются при. малых возмущениях параметров исходной виброударной системы.

Применяемый метод может быть использован для исследования свойств негиперболических положений равновесия диффеоморфизмов общего вида, не связанных, вообще говоря, с ВУС. В частности, как показано в разделах 4.2 и 4.3, возможно получить обобщение классической теоремы Смейла-Биркгофа о наличии хаотического инвариантного множества в окрестности трансверсаль-ной гомоклинической точки, соответствующей гиперболическому положению равновесия, как на случай негиперболического положения равновесия, так и на случай нетрансверсальной гомоклинической точки.

Методы исследования. В диссертации использованы методы топологии, а также качественной теорий дифференциальных уравнений и динамических систем. Помимо этого, в рамках диссертации

предлагаются новые, не имеющие аналогов, методы, позволяющие исследовать структуру множеств установившихся колебаний сильно нелинейных динамических систем. Приводится метод, позволяющий оценивать показатели Ляпунова, соответствующие решениям ВУС (теоремы 2 и 5, нумерация соответствует нумерации утверждений в тексте автореферата). Другой метод, приводимый в настоящей работе (теоремы 2 и 3), позволяет найти точки изгиба пер-роновых поверхностей, соответствующие не только виброударным, по и вообще кусочно гладким динамическим системам. Наличие таких изгибов при выполнении определенных условий, приводимых в настоящей работе, может привести к появлению гомоклиниче-ской точки, что проверяется с использованием методов хаотической динамики. Изучение явления обгона (теорема 5) дает новую возможность обнаружения так называемой "подковы Смейла", для чего также разработаны специальные методы. При доказательстве теорем 7 и 8, помимо прочего, разработаны методы, позволяющие строить отображения так называемых допустимых дисков, имеющие хаотические инвариантные множества. Это позволяет описывать хаос в окрестности негиперболических точек покоя динамических систем.

С целью иллюстрации полученных результатов, в главы 2 и 3 диссертации включены с соответствующими ссылками результаты численных и натурных экспериментов, выполненных другими авторами.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Предложено несколько принципиально новых методов выявления хаоса в кусочно-гладких системах. Продемонстрировано, каким образом наличие импульсного условия может привести к появлению негладкости устойчивых и неустойчивых многообразий, соответствующих периодическим решениц. Показано, при каких условиях такой "излом" влечет наличие трансверсальных гомокли-нических точек (теоремы 2-7).

2. В связи с этим исследована бифуркация скольжения, характерная для систем с ударами и возникающая при изменении числа ударов периодического решения. Приведено и аналитически проверено несколько достаточных условий общего вида, при выполнении которых в параметрической окрестности этой бифуркации

возникают хаотические колебания (теоремы 2 и 3).

3. Проведено детальное аналитическое описание бифуркации стука, а именно показано, каким образом наличие периодического решения с достаточно большим количеством ударов на периоде может приводить к возникновению хаоса. В этом случае также исследована структура устойчивого и неустойчивого многообразия и теоретически обосновано наличие трансверсальной гомоклиниче-ской точки. Продемонстрированы причины появления стука, такие, как уменьшение коэффициента восстановления удара и увеличение периода системы (теоремы 4 и 5).

4. Для одного важного с прикладной точки зрения случая виброударной системы с одной степенью свободы получены коэффициентные условия наличия хаотического режима, не требующие априорной информации о наличии у рассматриваемой системы периодического решения с определенными свойствами. А именно, для системы, описываемой в промежутках между ударами уравнением Льенара с правой частью большого периода, сформулированы достаточные условия наличия хаотического инвариантного множества. Показано, что, как и в случае стука, возникающего при уменьшении коэффициента восстановления, основной причиной возникновения хаоса служит неустойчивость, порождаемая появлением большого количества ударов с малой скоростью (теоремы 4 и,5).

5. Установлена одна из основных причин наличия хаоса в виброударных системах — нарастающая асинхронность ударов. Приведен ряд результатов, показывающих, как такой тип неустойчивости может приводить к появлению "подков Смейла". В частности, для кусочно-линейных систем приведены коэффициентные условия существования хаотического инвариантного множества (теорема 5).

6. Во всех рассматриваемых задачах предлагаются новые методы оценки показателей Ляпунова, соответствующих решениям виброударных систем. Ценность этих методов состоит в том, что они работают для наиболее проблемных с прикладной точки зрения случаев, таких, как, например, наличие удара с малой скоростью или большое число ударов за период (теоремы 2,5,7).

7. Для виброударных систем приведены теоремы о существовании, единственности решений, зависимости решений от начальных данных и параметров, диссипативности, сохранении инвариантных множеств при малых возмущениях параметров системы. Для сис-

тем с ударами общего вида показано, что гиперболические инвариантные множества структурно устойчивы (теорема 1). 8. Для систем с несколькими степенями свободы, в тех случаях, когда не удается установить гиперболичность инвариантных множеств, строятся множества так называемых допустимых дисков, каждый из которых близок к центральному неустойчивому многообразию точки покоя, соответствующей периодическому решению ВУС. На множестве допустимых дисков строится отображение, представляющее собой комбинацию применения к допустимому диску итерации отображения сдвига на период и продолжения полученного диска. Подобного рода построения также не имеют аналогов в предшествующих работах. Поскольку эти методы годятся для изучения динамики в окрестности негиперболической точки покоя, они могут иметь применения, далеко выходящие за рамки теории ВУС (теорема 7).

Методы, используемые при решении этих проблем, позволили получить следующие результаты, не являющиеся основными в этой работе, но представляющие большой интерес с точки зрения теории динамических систем.

1. Получен критерий наличия бесконечного множества периодических точек диффеоморфизма в окрестности негиперболического положения равновесия. Приведены условия, при выполнении которых факт наличия такого множества является грубым по отношению к малым возмущениям диффеоморфизма.

2. Получены принципиально новые достаточные условия наличия бесконечного числа периодических точек в окрестности нетранс-версальной гомоклинической точки диффеоморфизма.

Апробация работы. Основные результаты были изложены и обсуждены на следующих конференциях и семинарах.

1. XIX Международная конференция "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы конечных и граничных элементов." Санкт-Петербург, 30 мая - 2 июня 2001 г.

2. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная И.Г.Петровскому. Москва, 16 -22 мая 2004 г.

3. Международная конференция "Четвертые Окуневские чтения". Санкт-Петербург, 22 -25 июня 2004 г.

4. Четвертая международная конференция "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения". Москва, 14-21 августа 2005 г.

5. Международная конференция "Еругинские чтения XII", Минск. 16 - 19 мая 2007 г.

6. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная И.Г.Петровскому. Москва, 21 -26 мая 2007 г.

7. Международный Конгресс "Нелинейный Динамический Анализ 2007", посвященный 150-летию со дня рождения академика А. М. Ляпунова. С.-Петербург, 4-10 июня 2007 г.

8. International Conference (ICFMA-2008). The University of Burdvvan, Burdwan, west Bengal, India. 16 - 19 января 2008 г.

9. Fifth European Congress of Mathematics, Amsterdam, 14 - 18 июля 2008 г.

10. Пятая международная конференция "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения". Москва, 17-24 августа 2008 г.

11. X Белорусская математическая конференция. Минск, 3-7 ноября 2008 г.

12. International Congress of Mathematical Physics 2009. Prague, August, 2-8, 2009.

13. International Conference of Physics and Control (PhysCon09). Catania, Italy, September, 1 -4, 2009.

14. Research Workshop on Bifurcations in Oscillators with Elastic and Impact Constrains. 4, November — 6, November, 2009, Imperial College of London, UK.

15. International Congress of Mathematicians (ICM2010). Hyderabad, India, August, 19 - 27, 2010.

16. Еругинские чтения 2011, Новополоцк, 12-14 мая 2011г.

17. The 6-th SEAMS-GMU 2011 International Conference on Mathematics and Its Applications, Yogyakarta, Indonesia, July, 12-15, 2011.

18. The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August, 14-21, 2011.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1 - 15], приведенных в конце автореферата.

Краткое содержание работы

Постановка задачи.

В настоящей работе мы будем считать, что динамика рассматриваемой системы в промежутках между ударами описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка

Хк ~ -¿1) • • • > Хп, Ёт ¿О) к = 1,. . . , П.

Рассмотрим также эквивалентную систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка

хк = Ук5 Ук = /к^,х1,у1,...,хп,уп,ц), А; = 1,... ,п. (1)

Здесь 4 6 Е - независимая переменная, Хк,ук € К - фазовые переменные, а ¡л € 3 = Э 0 - параметр. Предполагаем, что непрерывная функция / : М2п+1 х 3 —► М™, компонентами которой являются функции /к, периодична по £ с периодом Г, С1 - гладкая по своим аргументам кроме, возможно, первого. Множество таких правых частей обозначим символом X/ = ^¡{3,п,Т).

Условимся обозначать символом соЦах,..., ат) вектор-столбец, состоящий из элементов ах, ..., ат. Положим

х = со1(х1,..., хп) — со1(:г 1, х); х — у = со1(г/ь..., уп) = со1(уь у)\ / = со1(/ь • • •, /п) = со1(/ь /); гк = со\{хк,ук), к = 1,...,п; г = со1(21,..., гп) = со1(2х, г).

Обозначим символом | • | евклидову норму.

Основным условием удара,.рассматриваемым в настоящей работе, является следующее. Фиксируем некоторую С1 — гладкую функцию г : 3 —> (0,1].

Условие 1. Если в некоторый момент времени £ о выполнено условие Х].(£о) = О, то х(Ьо + 0) = х(£о — 0),

+ 0) = -г(м)У1(^о - 0), у{1 о + 0) = у(10 - 0).

Если же г^о) — 0 и число таково, что на отрезке [¿0,^1] имеет место неравенство (£, ^ 0, то (Ь) — 0 на всем отрезке [¿О;^]-Что касается компоненты г(Ь) решения она удовлетворяет на этом отрезке системе

%к = Ук'у Ук = к = 2,...,п.

Виброударную систему, заданную уравнениями (1) и импульсным условием 1 будем обозначать символом (А).

Топологическое пространство виброударных систем.

Фиксируем размерность п, длину периода Т и отрезок ■/, на котором меняется параметр //.. Виброударная система, заданная уравнениями (1) и условиями удара 1, однозначно определяется своей правой частью / и коэффициентом восстановления г.

Введем топологию на множестве X = Х(.}, п, Т) виброударных систем, отождествляемом с X; х С1 (7 —> (0,1]). Это будет минимальная топология, в которой для любой пары (/о, г о) € Л" и любого Я > 0 множество

,г)€Х: зир(1^)ем (|/(4, г,/х) - /0(М,м)|+

+ Ир) - го(м)1 + У

открыто.

Определение решения виброударной системы (А).

Приведем два определения, для решений, имеющих конечное число ударов на отрезке и для решений с произвольным числом ударов. Разумеется, первое из них, гораздо более простое, является частным случаем второго. Заметим, что во всех основных результатах диссертации решения рассматриваются на ограниченных отрезках, где они имеют конечное число ударов, либо на луче или прямой, однако при этом моменты ударов не имеют конечных точек сгущения.

Определение 1. Функция

г(Ь) = со1(®1(0, У1(0> • • -, ®п(0> УпШ

называется решением виброударной системы (А) с конечным числом ударов на отрезке (а,Ь), если существует конечное число моментов времени (ударов) ¿х,.. -, € (а, Ь) (положим для удобства ¿о = а, = Ь), таких, что выполнены следующие условия.

1. Все компоненты функции г(р), кроме г/х(0) непрерывны на отрезке (а, 6), функция 2/1 (¿) не имеет точек разрыва; кроме, возможно, (<х,..., ¿ту)-

2. Функция Жх(^) неотрицательна на (а, 6) и обращается в нуль в точках ¿х,..., ¿дг и только в них.

3. Для любого к = 1,..., N

У1(«* + 0) = -г(/хЫ«*-0). (2)

4. На каждом из отрезков (^,^+1) функция з(г) является решением системы дифференциальных уравнений (1).

Для полноты картины, приведем определение решения виброударной системы с произвольным числом ударов.

Определение 2. Функция

г(£) = со1(®1(<),У1(<), • • • Уп(*))

называется решением виброударной системы (А) на отрезке (а, 6), если существует дизъюнктное разбиение (а, Ь) = /+ и /о и ■ Множество = {г е (а,Ь) : Хх(г) > 0}, соответствующее безударным движениям, открыто, а множество

/_={*€ (а,Ь) : «х(«) = О, Д (0,0, х2(0> Уз(0> соответствующее скольжениям вдоль ограничителя, замкнуто.

1. Все компоненты функции кроме ух(0-/ непрерывны на отрезке (а,Ь), функция у\(1) не имеет точек разрыва, кроме, возможно, точек множества /о-

2. Функция 21 (¿) положительна в точках множества /+ и обращается в нуль в точках множества /о и 1~ ■

3. На каждом из подотрезков множества 1+ функция г{Ь) является решением системы дифференциальных уравнений (1).

4. Множество 1о не более, чем счетно, и все его точки сгущения, если таковые есть, принадлежат множеству

5. Для любого ¿о € /о выполнено условие (2).

6. На любом подотрезке множества компонента г(Ь) является решением системы

Хк = Ук\ Ук = 1к(1,0,г,ц), к = 2,..., п.

В общем виде, для таких решений единственности нет, что иллюстрируется простым примером уравнения ¿ = -1с ограничителем при х = 0 и коэффициентов г < 1. Решение х = 0 не будет единственным "назад", так как любое решение обнуляется за конечное время.

Существование, единственность и зависимость решений от начальных данных и параметров.

Так как в моменты ударов одна из компонент решения меняется скачком, классическая теорема об интегральной непрерывности в данном случае неприменима. Тем не менее, справедливы следующие утверждения (здесь и далее после номера теоремы или леммы в скобках приводится номер соответствующего утверждения в тексте диссертации).

Лемма 1 (лемма 1.2.1). Пусть при некотором ¿¿о система (А) имеет решение с начальными данными г(Ьо) = го, определенное на отрезке [£_,£+] Э Предположим, что первая компонента Х\{1) решения на отрезке [£_,£+] имеет ровно N корней

< т^ < ... < < «+,

причем значения второй компоненты у\ в этих точках удовлетворяет неравенствам у$т° — 0) ф 0, = 1,..., Щ. Тогда найдется такое ¿о > 0, что если — /10| < ¿о, к1 — < 1^1 — ¿о\ < ¿о> то решение £ь г1, цх) системы (А), соответствующее значению РЧ параметра ¡л и начальным данным -г^г) = г1, имеет на том же промежутке ровно N корней \,г1,ц$ ^ = 1,..., ЛГ). При этом

как моменты ударов Tj(íi, z1, /ui), так и соответствующие значения скоростей

Vj = y(Tj(h, z1, ßi) + z1, цг)

С1 - гладко зависят от своих аргументов.

Фиксировав решение z(t), введем обозначение

U5o = {(íi, z1, щ) : \fii - /¿oí < ío, \zl - zq\ < S0, |ti - t0| < ¿o}-

Очевидным следствием леммы 1 является следующее утверждение.

Лемма 2 (лемма 1.2.2). Пусть выполнены условия леммы 1 и ¿о - величина, существующая в силу этой леммы. Предположим, что оно столь мало, что числа тр, определенные по формулам

т+ = maxír^íi,*1,/^) : (íi,*1^) е USo}, tJ = тт^^ьгг1,/^) : (íi,z*,ßi) € U$„},

удовлетворяют неравенству

í_ < Tf < < r2~ < T2+ < . . . < Гц ^ r^ < t+.

Тогда на любом из отрезков [íi,t¿~), (т^, т2_ ), ..., (r^,í+] решение z(t, ti, z1, fxi) есть С1 - гладкая функция своих аргументов, где t пробегает соответствующий отрезок, а (íi,z\/íi) € U5o.

Структурная устойчивость.

Рассматривается система (А), заданная уравнениями (1) и условиями 1.

Введем в рассмотрение функцию Х-(5)> такую, что X-(s) — О если s ^ 0; x-(s) = 1) если 5 < 0. Для фиксированного значения г € (0,1] положим а = — lnr/тг. Функцию f(t,x,y) доопределим на множестве R2n+1 \ Л так, чтобы полученная функция оставалась кусочно-гладкой. Пусть ß > 0 - большой параметр, положим rj(x) = 1 при

h(n,x,y) = —2aßx~{xi)yi ~ (1 + a2)/x2X-(zi)zi.

Рассмотрим отображение g(t,x,y), компонентами которого являются функции gk, периодичное с периодом Т по первому аргументу, непрерывное и С1 - гладкое по второму и третьему аргументам и малое по норме в С0 вместе со своими первыми производными по х и по у. Введем в рассмотрение системы

Хк = Ук, Ук = fk(t,x,y) + gk(t,x,y), к = 1,...,п; (3) ¿к = Ук, Ук = fk(t,x,y)+gk(t,x1y) + 51kh{fi,x,y), к = 1,...,п.

(4)

Здесь — символ Кронекера.

Будем обозначать виброударные системы, описываемые системой (1) и указанными выше условиями удара, тем же символом (Л), а системы, заданные соотношениями (3), символом (D). Положим 2 = (х, у) и рассмотрим zr{t,to,zo) - решение задачи Коши для системы (D) с начальными данными z(Iq) = zq. Рассмотрим Zg>flir(t,to,zo) и ZgiT(t, t0,zQ) - решения соответствующих задач для систем (4) и (D) на тех участках времени, где они определены однозначно. Рассмотрим отображения сдвига, заданные формулами: Sr(z0) = z{T, 0, ¿о),

Sg!r(z0) = Zgir(T, о, z0), sw(zo) = Zg,n,r(T> z0)•

Теорема 1 (теорема 1.4.1). Пусть го € (0,1] и отображение S = Sro имеет гиперболическое инвариантное множество К с (0,+оо) х к, такое, что 2дг,Г0(^, 0, zo) ф 0 для любого zq е К, t € [0,Т]. Пусть U - окрестность множества К, замыкание которой U и его образ S(U) не пересекаются с осью Оу. Справедливы следующие утверждения.

1) Для любого е > О найдется такое S > 0, что если

г€(го-«5,го + 5)П(0,1], дд

max \g(t, z)\ < 5, max

dz^

<S,

то отображение Здг определено в некоторой окрестности С/о компакта К в Л и найдется такой гомеоморфизм кд>г '■ К —> Кд,г С Щ, что тах\Нд г(х) - х\ < е, а Кд,г является гиперболиче-

х ак '

ским инвариантным множеством гомеоморфизма £д1г, причем /г5|Г(5(х)) = для любого х € К.

2) Пусть го S (0,1]. Для любого е > 0 найдутся такие цо > 0,

6 > 0, что если ц > Цо, то найдется такой гомеоморфизм

Vg,ii,r0 ■ К Kgilitro С К2, что тах^^Дх) - х\ < е, а Кд^г<3 -

х€К

гиперболическое инвариантное множество гомеоморфизма Sg^ro, причем r)gilhro ,^г0{т1д,11,г0{х)) для любого X G К.

Бифуркация скольжения.

В главе 2.1 изучается бифуркация, связанная с изменением числа ударов периодического решения.

Условие 2. Существует непрерывно зависящее от /х € J семейство Т - периодических решений

<p(t, н) = colц), <f\(t, /¿),..., <p%(t, /х), (pl(t, fi))

системы (Л), обладающее следующими свойствами (рис. 1).

1. При (j, ^ 0 компонента (t, ц) имеет на [0, Т) ровно N+1 корень

Tq{H),...,TN{H).

2. Скорости ударов У/;(/¿) = 1р\(ть(ц)+0, fi)) таковы, что для любых fi€J,k = l,...,N

У0(ц)> 0 при [i>0, У0(0) = 0,

/Г(го(0),^(т0(0)), 0) = фо> 0, YkUi) > 0.

Здесь <p(t,n) =col(<p%(t,p),<p%(t^),...,<pZ(t,ix),(pl{t,ti)).

3. Моменты времени и скорости удара У/Дм) непрерывно зависят от параметра Ц на области определения.

Не умаляя общности, можно считать, что to(ju) = 0. Фиксировав малое в > 0, рассмотрим отображение сдвига для системы (А), заданное формулой S(z°) = S^g^z0) — z(T - в + 0, Положим z^g = (р(—в,ц). Рассмотрим матрицу

А = lira _(T-0 + O,0,z°,O)

Пусть До = det А. Обозначим элементы матрицы А символами a,ij, а элементы матрицы А~1 символами ац, столбцы матриц А и

А2

символами Aj и Aj соответственно, строки матрицы А-1 символами Aj. Если n > 1 и й12 ф 0 рассмотрим матрицу А — (а¿у) размера 2п — 2 х 2п — 2, определенную по формулам

a,ij = -aij+2<ii+2 2/ai2 + a-i+2 j+2, г., j = 1,..., 2n - 2.

Аналогично, при п > 1 и а\2 ф 0, определим матрицу А = (а^)

йу =-0:^+20:1+22/0:12 + 0:1+2^+2, М = 1,.-.,2п-2.

Пусть выполнено по крайней мере одно из следующих условий. Условие 3.

1. Либо п — 1, либо у матрицы А нет собственных чисел на единичной окружности в С.

2. а12 > 0, «12 ф О, а1как2 < ~ап- (5)

Условие 4.

1. Либо п = 1, либо у матрицы Л нет собственных чисел на единичной окружности в С.

2. с*12 > 0, 012 Ф О, а1как < -а12. (6)

Теорема 2 (теорема 2.1.1). Пусть выполнено условие 2 и одно из условий 3 или 4. Тогда существуют такие значения цо > О и в > 0, что для всех /х € (0,/¿о) существуют такое натуральное число то и такое компактное множество К^д, инвариантное по отношению к что выполнены следующие условия.

1) Найдется такая окрестность 17^д множества К^д, что сужение в является диффеоморфизмом. Инвариантное множество К^д гиперболично.

2) Множество диффеоморфизма в хаотично в смысле Дивени, то ссть бесконечно, гиперболично топологически

транзитивно (содержит плотную орбиту) и периодические точки плотны в нем.

В диссертации приводятся примеры виброударных систем, удовлетворяющих условиям теоремы 2 и показывается, что внутренность множества таких систем в топологии множества X непуста. То же самое справедливо и для приводимых ниже теорем 3 и 7.

Ключевым утверждением в доказательстве теоремы 2 является следующая лемма.

Лемма 3 (лемма 2.1.4). Положения равновесия г^в отображения Б^в являются гиперболическими точками покоя седлового типа. Соответствующие перроновы многообразия IV3 и трансвер-сально пересекаются в некоторой точке р ф г^в (рис- 2).

Vv п

l.cs

Далее будем рассматривать семейство периодических решений, изображенное на рисунке 1 и соответствующее ц < 0. Эти периодические движения будут проходить рядом с ограничителем, но не касаться его.

Условие 5. Существует семейство Т - периодических решений

v(Í,m) = co1(^(Í,M),^(Í,M),---,<(Í,M),^(Í,M))1 te®, /¿eJ

системы (А) со следующими свойствами.

1. Для любой пары (¿о, До) 6 [0,Т) х J, такой, что <pf{t0,Ho) Ф 0 функция <p{t,n) непрерывна в окрестности точки (íoi^o)-

2. Для любого /х € J компонента tpf(t,/i) имеет N корней

ri(/x) < . . < TN(fl)

на периоде [О,Г). Значения Tj(fi), равно как и скорости

-4>\{Tj(jt)- 0,ц)), j = l,...,N непрерывно зависят от параметра ц.

3. При ц, > О других корней компонента ipf(t,ii) не имеет. При /i = 0 функция <pf(t,0) имеет ровно один дополнительный корень t = 0.

4. Нормальные компоненты скорости Yk(/i) = —^(r^/i) — 0,/и)) таковы, что для любых ц 6 J, к = 1,..., ЛГ

Vi(OiO) — 0> /i(0)0)0,^(0,0),0) — 0о > 0, Yk(p) > 0,

minr^) > 0, тахтдг(//) < Т.

li6J /iGJ

Здесь ф (t, ц) = col{^f {t, /i), $ (t, /х),..., <рхп (t, ii), (i, ц)) •

Рассмотрим матрицу А = limii)e_>0+ DS^z^g). Обозначим элементы матрицы Л символами a,ij, а ее столбцы символами Aj.

Условие 6. Матрица А является гиперболической седловой, то есть у нее нет собственных чисел на единичной окружности в С, причем по крайней мере одно собственное число по модулю больше 1, а другое - меньше.

Пусть Ms - пространство, натянутое на собственные и дополнительные векторы матрицы Л, по модулю меньшие единицы, а Ми - пространство, определенное аналогичным образом для собственных и дополнительных векторов, соответствующих собственным числам, модули которых больше 1. Пусть к — dimM5, тогда dimM" = 2n - к, 1 < к < 2п.

Условие 7. Оба пространства Ms и Ми не содержатся целиком в гиперплоскости 7rj, заданной условием х\ — 0.

В этом случае пересечения указанных пространств с плоскостью щ трансверсальны. Обозначим -к\'и = Ms<u. Выберем в пространствах Ms и Ми базисы ef, е|,..., esk и е^, е^,..., e£n_fc таким образом, что ef J_7rJ, e^-L^; е® е тг|, ej е тг^ при j > 1. Обозначим элементы векторов ej символами е?-, а 6 {s, и}; г, j = 1,..., 2п. Отметим, что оба элемента е\х ненулевые; не умаляя общности, считаем их положительными. Положим

R' = 4i/4i, = e2l/eil> Ra = a22/a12, Ra=a22/*12.

Условие 8. Либо а12 > 0, {В,и - Я3)/ - > 0, либо а12 > О, (Я5 - Я")/(Яа - > 0.

Теорема 3 (теорема 2.2.1). Пусть выполнены условия 5-8. Тогда существуют такие значения /лд > 0 и 9 > 0, что для всех ¡1 £ (0,/¿о) отображение Б^в имеет хаотичное по Дивени инвариантное множество.

На рисунке 3 показано, каким образом в рассматриваемой системе возникает гомоклиническая точка.

.Г

Ср.

Бифуркация стука.

Рассматривается виброударная система, описываемая в промежутках между ударами следующими уравнениями с параметром

х = У, y = F(t,x,y,fi), х,у€ R. (7)

Считаем, что правая часть F : R3 1 ограничена С3 гладка по своим аргументам на множестве R х Л х I, где Л = {(ж, у) : х > 0}, I = [0, //], ß* > 0. Предполагаем, что найдется такое Т = Т(/х) > О, непрерывно зависящее от /х, что F(t + Т, х, у, ß) = F(t, х, у, /х). Положим f(t,fi) = F{t,0,0,/х). Считаем, что число корней функции /(•, ц) на периоде [0, Т(ц)) не зависит от /х, не равно нулю и все эти корни простые.

Система (7) определена для х ^ 0, предположим, что имеет место условие удара 1.

Пусть имеется семейство Т - периодических решений системы (A) ip(t,fi) = col(ipx(t,fi),<py(t,{i)), непрерывно зависящее от своих аргументов в окрестности любой точки (to,Mo)> такой, что

Ух(^О) м) Ф О- Будем предполагать, что найдутся такие /х_,/х+ € I, Ц- < что

\/це\1Л-,1А+] 31°:<рхЦ°,ц) = 0, 0. ■

Обозначим через ,г(£,£о,2о,/х) решение задачи Коши для системы (Л) с начальными данными + 0) = г^ (при условии, что такое решение однозначно определено в момент £). Для фиксированного решения г(Ь) = со1(х(£),у^)) рассматриваемой системы будем называть моментом удара любой корень функции х(Ь).

Обозначим через 71 С [/¿_,/и+] множество значений д, при которых решение ц) не обращается в нуль при £ € [0,Г]. Это множество открыто в топологии отрезка [/х_,/х+]. Предположим, что найдутся такие до, сг > 0, что выполнено следующее условие:

(/*о,/*о + <0 еП. (8)

Не умаляя общности, считаем //о = 0. Обозначим го = г(0). При каждом ¡х € 72. количество ударов решения д) конечно и найдется такое > 0, что для каждого в 6 (0, во) отображение сдвига -¡чД^о) = - 0,2о, /х) непрерывно дифференцируемо по пе-

ременной в окрестности точки г/1г0 = 0,/х). Пусть

V* € (0,ТХ]. (9)

Отсюда следует, что решение </>(¿,0) обращается в ноль при £ = 0. Предполагаем, что

Нтт£|а12(0,д, > 0. (10)

/4,0—»0

Здесь 012(0, Д, - правый верхний элемент матрицы дг(в,Т-в,г0ф)

Теорема 4 (теорема 3.1.2). Пусть у системы (7) существует семейство Т - периодических решений <р(Ь, ¡л) (£ 6 К, /< £ (0, <т)) и выполнены условия (8) - (10). Тогда найдутся такие последовательности —>■ 0 (0 < < для любого к £ М) и такое в0 > О, что для любых в е [0,во), ¡1 € и^г^к > ^к ) отображение Б^в имеет

гиперболическое хаотическое по Дивени инвариантное множество К.

Система, описываемая в промежутках между ударами уравнением Льенара с правой частью большого периода.

Рассматривается виброударная система, описываемая в промежутках между ударами уравнением

x+p{x)x + q{x)=f{t). (И)

Предполагается, что функции р и q имеют порядок гладкости С3 и

р{х) ^ро>0, w2{x) = q'{x) - р2(х)/4 >0, 161 (12)

Считаем, что удар является абсолютно упругим, то есть г = 1.

Теорема 5 (теорема 3.2.1). Пусть коэффициенты уравнения (11) удовлетворяют условиям (12), а правая часть f(t) имеет вид f(t) — f(tT0/T), где / является С3 — функцией периода То, имеющей два простых корня на периоде: t = 0 и t = т^. Тогда существует такое Т > 0, что если Т > Т, то отображение 5 сдвига на период имеет хаотическое по Дивени инвариантное множество К.

Асинхронность, как причина сложной динамики в системах с "мягким" ударом.

Рассмотрим кусочно-линейную систему, описываемую уравнениями вида

' х +р+х + q+x = f+(t) = а+ sin(w(f - в+)) + 6+ при х ^ 0; х + р-х + q-х = /_(<) = а_ sin(u(t - в_)) + Ь_ при х < 0.

(13)

Любое решение системы (13) существует и единственно на любом отрезке [ti, t2], на котором оно не обращается в нуль вместе с производными. Пусть р± < 0, р± < 4д±. Положим Т = 2т:/и.

Условие 9. Периодические решения обоих уравнений (13) не лежат целиком в областях х ^ 0 или х ^ 0.

Условие 10. Существует периодическое решение ip{t) рассматриваемой системы, имеющее ровно два простых нуля на периоде.

Оно находится из краевых условий вида

ф+(Т0) = = Ф-(П) = Ф-{10 +Т) = 0; ф+(Т0) - ф-{То + Т); MTi) = Ф-Ш T1<t2<tl+T-, ф+(Ь)> 0 Vi€[ii,i2], ф~(р)^0 vi g [t2,h +Т].

He умаляя общности, Го = 0. В некоторой окрестности Uq значения

(0,У0) eX^S1 хЕ+

определена С1 - гладкая функция Fq : Uq —> X, ставящая в соответствие моменту времени £о перехода из отрицательной области значений х в положительную и скорости уо фазу следующего по времени перехода tj mod Т (из положительной области значений в отрицательную) и скорость у\ соответствующих решению x(t) с начальными данными {to,0,yo)- При этом Fo{0,Yo) = (7\,Yi). Аналогично, найдется окрестность U\ точки (Т\, Yj) и отображение Fi : U\ —> X, ставящее в соответствие данным (t\,yi) данные, соответствующие следующему по времени переходу (на этот раз, из отрицательной области в положительную), причем Fi(Tu Yi) = (0, Уо)- Положим F = FioF0. Тогда точка (0, У0) является неподвижной по отношению к отображению F. Будем предполагать, что

Tr£F(0,Y0) > 1 + До, (14)

что гарантирует тот факт, что точка покоя 0\ =. (0, Уо) отображения F является седлом. Обозначим символами Wfoc и Wj"c локальные устойчивое и неустойчивое многообразия точки Oi, а символами Ws и Wu - их инвариантные замыкания. Пусть ф - полярный угол на плоскости Oty. Мы введем в рассмотрение числа all" < и конусы Ks = {(f,y) : ф mod тг 6 (a!,as+)}-, Ки = {(t,y) : ф mod 7г € (а1,а+)}. Обозначим граничные прямые этих конусов символами Ls й Lv. Условие 11.

1. квг\ки = ф.

2. Пусть Ms л Ми - касательные к многообразиям Ws и W" в точке (0,У0). Тогда Ms с Кв, Ми с Ки.

3. Пусть Р - стандартное накрытие плоскостью цилиндра

С = S\ х R.

Тогда множество Р~1(Р{Кв) р) Р(Ки)) содержит четырехугольник Сограниченный прямыми из множеств Р~1(Р(Ь^и)) и целиком лежащий в множестве, заданном условием у > 0.

4. Возьмем тот из прообразов Смножества Р(<3), который целиком лежит в конусе К3, а также прообраз С}и, целиком лежащий в множестве Ки. Предполагаем, что их можно выбрать целиком лежащими в области у > 0. Обозначим символами С* и С" треугольники, являющиеся замыканиями выпуклых оболочек множеств даи{(0,Ко)} и <Зии((0,1о)} (рис.4).

5. Пусть ги е Си\ {(0, Г0)}, г3 е С" \ {(0,Уо)}- Тогда для любого и5 6 К5, и" 6 Ки выполнены условия

Р(ги) ф 0, Р{г*)ф% ¿еЬОР(ги)фО, ¿еЬБР{г3)фО, ИР{ги)уи 6 Ки, ВР~1{г3)у3 € К3.

Условие 12. Для любых {х0,уо) € С$1)Си и Ь <Е [0,Г] выполнено неравенство г(^,0,хо,Уо) Ф 0-

Теорема 6 (теорема 3.4.1). При сделанных предположениях, а именно при выполнении неравенства (14) и условий 10-12, дискретная динамическая система, заданная отображением F, имеет гиперболическое хаотическое по Дивени инвариантное множество, поведение решений на котором описывается символической динамикой.

Негиперболические инвариантные множества.

Рассмотрим ВУС, определяемую уравнениями (1) и условиями удара 1. Будем считать, что эта система удовлетворяет условию 2 и при этом выполнено одно из соотношений (5) или (6) (для определенности считаем, что выполнено (5)).

Тогда одно из собственных чисел матрицы В = (обо-

значим его через Л+) является бесконечно большим, а другое — А_

есть бесконечно малая величина при /х —► 0. Собственные числа А± имеют кратность 1. Все остальные собственные числа А* матрицы О удовлетворяют соотношениям \/Х+ —> 0, А_/А{ —> 0 при /х —> 0 для любого г = 1,..., 2п — 2.

Обозначим символом Еи пространство, натянутое на собственный вектор, соответствующий А+, через Ея — аналогичное пространство для А_, а через Ес — линейную оболочку собственных и дополнительных векторов, соответствующих остальным собственным числам матрицы И. Эти пространства Е3, Еи и Ес условимся называть устойчивым, неустойчивым и центральным. Из принципа сведения вытекает существование в окрестности точки г^д устойчивого, неустойчивого, устойчивого центрального и неустойчивого центрального многообразий. Мы будем обозначать их символами IVя, М?"", и XVис соответственно.

Лемма 4 (лемма 4.1.1). При выполнении условия 2 и неравенств (5) многообразия ЦГи и IV 50 трансверсально пересекаются в точке q ф г^.

Рассмотрим в окрестности С/ точки г^д, содержащей точку д, координаты С = со1(С3, С, С°) = со1(С8, С", С?, • ■ • ,<2п-2). такие, что точка г^д соответствует значению ( — 0, точка д соответствует координатам (Сд,0,> 0. Компоненты связности пересечений многообразий IV3, IVй, IV110 и \Уис с окрестностью 17, содержащие точку г^в, задаются условиями С" = Сс = 0> С '= Сс = 0, С" .= 0 и = 0 соответственно. Компонента пересечения многообразия ТУ" с окрестностью II, содержащая точку д, задается условиями

С5 = Сд, Сс = Сдс-

Положим Ё^о = к о Б^д о к 1, где /1 - диффеоморфизм перехода от координат г к координатам Выберем положительные числа еи, г8 и ес и окрестности Щ, С/] с II:

и0 = {С = (С*,С"гСс) : 1С5| < е', |С"1 < 1СС| ^ £с}, их = {С = (С, С, С) ■ 1С* - С|1 < 1Си| < |СС| < £с}

таким образом, чтобы выполнялись следующие условия (рис. 5).

1. С/0 П их = 0, то есть < (3/2, ес >

2. Пусть Па - проекция на первую координатную ось, соответствующую \У3. Для любых точек Сх = (С® > Си> С°) и Сг = (С|> Си> Сс) имеет место соотношение |Пх(Г/М,(Сх)) - ГВД^Сг))! < К?"- СНА

Определим допустимый диск в области Ui (г = 0,1) как множество, целиком содержащееся в области Ui и представляющее собой график С1 - гладкой функции С — ц{С,С)> определенной при ICI < £U> Кс| < ес, такой, что

тах|Г>Ч(С,С)|<1-

На множестве Т>ц допустимых дисков рассмотрим метрику, порожденную С1 - метрикой в пространстве функций, графиками которых эти диски являются.

Выберем ei 6 (0, ес] так, чтобы образ любого допустимого диска В в какой-либо из областей Ui при отображении содержал допустимый диск, определенный в более узкой области

Выберем значение £2 таким образом, чтобы образ любого диска, допустимого в множестве Vo при отображении F™g , содержит диск, допустимый во множестве

(с •• le - g ici ^ ic - g ^ £2},,

a также диск, допустимый во множестве

{CICK^ICK^ICK^}.

Положим 6е = min(£i,£2), M = mi + m.2- Тогда из сказанного выше следует, что образ любого допустимого диска из множества U0 U Ui при отображении Fffg содержит как диск, допустимый в

множестве Vo = {С : |CS| ^ £S> |С"| ^ £U> |СС| ^ ¿с}> так и диск, допустимый в множестве Vi = {С : |Cs~Cql < ICI < |Сс-<дс| <

Рассмотрим некоторое вложение J пространства Т>у дисков, допустимых на одном из множеств Vi, в пространство Т>и, удовлетворяющее условию Липшица: существует константа L > 0, такая, что dist(J(Di), J(D2)) ^ Ldist(Di,D2) для любых Dh2 6 XV-

В диссертации предлагался следующий способ построения вложения J: точки границы диска D € XV соединялись с границей соответствующей области Uï прямыми вида

{с = col(Cs, с, С) ■ С = Cl, с = С2, С = тс3, т е Щ,

и к полученному диску применялась процедура сглаживания.

Применяя к некоторому допустимому диску D, лежащему в любом из множеств Ui, отображение F^g, получим два диска Dq и D\, являющихся допустимыми во множествах Vq и Vj, причем, не умаляя общности, можем считать, что для полученных дисков условие (13) примет вид max | £с)| ^ 1/2. Поло-

жим Gi(D) = J(DY), i — 0,1. Рассмотрим множество Е, состоящее из односторонних последовательностей из нулей и единиц вида а = {afc £ {0,1} : к € N}. Определим метрику по формуле d(a,b) = Y2%L0\ak-h\/2k.

Теорема 7 (теорема 4.1.2). Пусть виброударная система (А), заданная системой обыкновенных дифференциальных уравнений (1) с условиями удара 1 удовлетворяет всем условиям теоремы 2 за возможным исключением условия 3. Тогда для любого фиксированного вложения J, удовлетворяющего условию Липшица с константой, равной 1, существует непрерывное вложение H множества Е, состоящего из односторонних последовательностей из нулей и единиц в топологическое пространство допустимых дисков, такое, что ai о H = F о Gi, г € {0,1}, где cri - добавление к элементу а Е Е нуля или единицы слева.

Множество допустимых дисков, существующее в силу теоремы 7, сохраняется при малых возмущениях коэффициентов системы (1). Найдется такое S > 0, что для любого диффеоморфизма F, такого, что |F(a;) - F^glx)] ^ S, \DF[x) — DF^0{x)\ ^ S для любого х € U0\JUi, найдется множество К, состоящее из допустимых дисков и обладающее теми же свойствами, что и множество К для отображения F^q.

Негиперболические точки покоя диффеоморфизмов общего вида.

Методы, использованные при доказательстве теоремы 7, могут быть применены для изучения свойств динамических систем, гораздо более общего вида, чем ВУС.

Говорим, что точка покоя 0 отображения Р сильно условно неустойчива, если одно из многообразий удовлетворяет следующим условиям. .

1) Существует окрестность Щ начала координат и непрерывное отображение V : Щ —'■ [0,+оо) такие, что У(х) = 0 тогда и только тогда, когда х € и У(Е(х)) ^ У(х) для всех х е с/оП^р_1(с/о);

2) неподвижная точка 0 сужения асимптотически устойчива.

В дальнейшем мы будем обозначать символом именно это специально выбранное многообразие (как следует из результатов Хирша, Пью и Шуба, оно единственно).

Будем говорить, что точка покоя 0 отображения Р сильно условно устойчива, если она является сильно условно неустойчивой по отношению к диффеоморфизму Р-1. В этом случае

у/а _ = ЦГ™^-1), = И^Р) - И^(Р-1).

В дальнейшем, мы предположим, что выполнено одно из следующих симметричных условий.

Условие 13. Точка покоя 0 диффеоморфизма Р сильно условно устойчива. Существуют диски гиС5 С У/™ и гии С У/и, трансвер-сально пересекающиеся в некоторой точке р ф 0.

Условие 14 (рис. 6). Точка покоя 0 диффеоморфизма Р сильно условно неустойчива. Существуют диски и)8 С И75 и ги™ С \Уси, трансверсально пересекающиеся в некоторой точке р ф 0.

Теорема 8 (теорема 4.3.1). Пусть Р € X, и выполнено одно из условий 13 или 14. Тогда для любой окрестности и начала координат найдется число 5 > 0 такое, что для любого С £ X, удовлетворяющего условию

¿^в) < 5

существует бесконечное множество Pg С U со следующими свойствами.

1) Любая точка q & Pg является периодической по отношению к G;

2) для любого т <£ N найдется точка q 6 Pg такая, что минимальный период q больше т;

3) card ~Pg — Н.

Замечание. Множества Pg, соответствующие различным отображениям G, могут быть негомеоморфными. Более того, некоторые из них могут быть счетными, а некоторые - иметь мощность континуум.

Оказывается, что к теореме 8 сводятся некоторые случаи нетрансверсального пересечения инвариантных многообразий гиперболической точки покоя.

Будем говорить, что два С1 - гладких подмногообразия W1 и W2 евклидова пространства R" пересекаются квазитрансверсалъно в точке р если dim W1 + dim W2 — пи существует окрестность U точки р и С1 гладкая система координат £ = со1(т/, £) в U со следующими свойствами. Обозначим через и)1 и w2 компоненты связности пересечений Wsf)U и Wu f| U, содержащие точку р. Тогда

1. dim С = dim Ж2,

2. многообразия {(О, С)} и W1 трансверсально пересекаются в точке р,

3. отображение £ : U —> £{U) - локальный диффеоморфизм,

4. Ç(x) = 0 для любого ïgffi1,

5. существует ô > 0 такое, что множество w2 является графиком функции г] = g((), |С| < причем отображение g гладко при всех С 0 < |С| < 5.

Будем говорить, что два подмножества Ws и IVй евклидова пространства Кп пересекаются квазитрансверсалыю в точке р, если существует окрестность U точки р, такая, что компоненты связности ws и wu пересечений Wsр) U и Wu f) U, содержащие точку р суть С1 гладкие многообразия, пересекающиеся в этой точке ква-зитрансверсально (рис.7).

Например, квазитрансверсально кубическое касание гладких кривых в К2.

Следствие (теорема 4.4.1). Пусть ^ € X таково, что х = 0 -гиперболическая точка покоя. Пусть ^ может быть С1 линеаризовано в некоторой окрестности V точки 0. Пусть соответствующие устойчивое и неустойчивое многообразия (И^ и \¥и) пересекаются квазитрансверсально в точке р ф 0. Тогда для любой окрестности V начала координат существует бесконечное подмножество П € V со следующими свойствами:

1) каждая точка д 6 П является периодической для диффеоморфизма Г]

2) для любого т € N найдется такая точка д € П, минимальный период которой больше т;

3) сагс! П = Н.

В основе доказательства этого следствия лежит идея замены координат, делающей квазитрансверсальное пересечение инвариантных многообразий трансверсальным. При этом хотя точка покоя перестает быть гиперболической, для нее по-прежнему выполняются условия теоремы 8.

Заключение.

В диссертационной работе изучаются хаотические режимы виброударных систем и описываются бифуркации, приводящие к их появлению. Для исследования используются различные модели удара, применяются различные, в том числе и принципиально новые методы теории удара, качественной теории динамических систем и хаотической динамики. Приводятся принципиально новые критерии наличия странных аттракторов. Получены общие результаты о наличии бесконечного числа периодических траекторий в окрестности нсгиперболической точки покоя и гиперболической точки покоя с нетрансверсальным гомоклиническим пересечением инвариантных многообразий.

Итак, основные результаты диссертации сводятся к следующим.

1. Предложена новая математическая модель виброударных систем.

2. Для этой и ряда других, в том числе классических, математических моделей виброударных систем получены результаты о существовании, единственности и зависимости решений системы от начальных данных и параметра.

3. Предложен метод отыскания гомоклинических пересечений кусочно гладких инвариантных многообразий точек покоя виброударных систем.

4. Приведены достаточные условия наличия в окрестности так называемой бифуркации скольжения (grazing).

5. Получены достаточные условия возникновения хаотических режимов при уменьшении коэффициента восстановления, характеризующего удар.

6. Для систем с одной степенью свободы показано, что наличие большого числа ударов на периоде может приводить к возникновению хаоса даже в случае упругого удара.

7. Предложены новые методы оценки показателей Ляпунова, соответствующих решениям виброударных систем.

8. Приведен ряд новых методов, использующих техники топологической и гладкой динамики и позволяющие исследовать окрестности негиперболических точек покоя динамических систем.

Публикации автора по теме диссертации

1. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. О структурной устойчивости неавтономных систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 10. С. 1325-1333.

2. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. Хаотические режимы колебаний виброударной системы // Прикладная математика и механика.

2005. Т. 69, Вып 1. С. 15-29.

3. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. Пример хаоса в системе с ударами // Международная конференция "Четвертые Окуневские чтения", 22-25 июня 2004 г., Санкт-Петербург, Россия. Материалы докладов. Том III. Симпозиум "Пуанкаре и проблемы нелинейной механики". СПб, 2005. С. 65-75.

4. Крыжевич С. Г. Установившиеся колебания в простейших механических системах с условиями удара // Вестник молодых ученых. Серия "Прикладная математика и механика" № 3, 2005. С. 64-76.

5. Kryzhevich S. G. Volpert V. А. On different types of solvability conditions for differential Operators // Electronic Journal of Differential Equations Vol. 2006(2006), No. 100, pp. 1-24.

6. Крыжевич С. Г. Свойства решений уравнений типа Дуффинга с условиями удара // Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления" № 2, 2006. С. 1-25.

7. Крыжевич С. Г. Хаотические инвариантные множества виброударных систем с одной степенью свободы // Доклады АН РФ,

2006, т.410, № 3, С. 311-312.

8. Крыжевич С. Г. Структурная устойчивость инвариантных множеств виброударных систем // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер.1, Вып.1, 2007 г., С. 55-61.

9. Крыжевич С. Г. Метод симметризации и предельные циклы виброударных систем // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер.1, Вып.2, 2007 г., С. 27-31.

10. Крыжевич С. Г. Бифуркация касания и хаотические колебания виброударных систем с одной степенью свободы // Прикладная математика и механика Т.72, Вып.4, 2008, С. 539-556.

11. Крыжевич С. Г., Сколяров А.Ю. Методы аппроксимации неустойчивых многообразий точек покоя автономных систем // Труды Санкт-Петербургского математического общества Т. 14, 2008, С. 41-58.

12. Крыжевич С. Г. Хаотические режимы систем, описываемых уравнениями Льенара с большим периодом правой части и условиями удара // Прикл. математика и механика. Т.74, №5, 2010. С.751-773.

13. Крыжевич С.Г. Коэффициентные условия хаоса в кусочно-линейных системах // Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления №4, 2010.

14. Крыжевич С. Г. Хаос в виброударных системах с одной степенью свободы в окрестности возникновения стука — I // Дифферент уравнения. Т.46, №10, 2010. С. 1403-1408.

15. Крыжевич С. Г. Хаос в виброударных системах с одной степенью свободы в окрестности возникновения стука — II // Дифферент уравнения. Т.47, №1, 2011. С. 29-37.

Подписано к печати 16.10.11. Формат 60x84 % . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5283._

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-4043, 428-6919

<2 Р

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Крыжевич, Леонид Святославович.

Введение.

1 Вспомогательные результаты и сведения о свойствах решений систем с ударами

1.1 Постановка задачи.

1.2 Существование, единственность и зависимость решений от начальных данных и параметров.

1.3 Диссипативность виброударной системы и устойчивость ее периодических решений в целом.

1.4 Структурная устойчивость.

1.5 Системы с разрывными правыми частями на клеточных комплексах и их алгебраические инварианты.

2 Негладкость инвариантных многообразий, как причина появления хаотических инвариантных множеств

2.1 Бифуркация скольжения

2.2 Другие возможности наличия гомоклинической точки.

2.3 Скольжение в натурных и численных экспериментах.

3 Асинхронность ударов в окрестности периодического решения

3.1 Хаотическая динамика в окрестности стука.

3.2 Системы, описываемые уравнением Льенара с правой частью большого периода.

3.3 Случаи единственности периодического решения.

3.4 Асинхронность, как причина сложной динамики в системах с "мягким" ударом.

3.5 Численные эксперименты.

4 Негиперболический хаос в дискретных динамических системах

4.1 Негиперболическое скольжение.

4.2 Пример.

4.3 Негиперболические гомоклинические точки диффеоморфизмов.

4.4 Нетрансверсальные гомоклинические точки.

4.5 Доказательство леммы 4.3.1.

Введение диссертация по математике, на тему "Инвариантные множества и бифуркации динамических систем с ударами"

Актуальность выбора темы диссертации. Инвариантные множества кусочно-гладких динамических систем, устойчивость соответствующих решений (движений) и механизмы возникновения хаотических колебаний в таких системах относятся к разделам теории дифференциальных уравнений, имеющим непосредственное практическое применение. Тем не менее, круг методов, разработанных для исследования таких задач, на настоящий момент, весьма ограничен. По ряду методологических причин изучение кусочно-гладких систем полезно начать с одного из их видов, называемых виброударными. Так называют механические системы, совершающие колебательные движения, в процессе которых их отдельные звенья (массы), между которыми имеется зазор, испытывают соударения. Такие системы рассматриваются в задачах расчетов часовых механизмов, нелинейных электрических цепей, передаточных механизмов [103], [252], [376], демпферов ударного действия [120], [229], [231], [377], машин для погружения и выдергивания строительных конструкций [295], разрушения и обработки горных пород, разработки полезных ископаемых и мерзлых грунтов, вибромолотов [406], шейкеров, роторов с зазорами в подшипниках [254], [257], [325], расчетов слеминга при качке корабля, взаимодействия колес скоростных поездов с рельсами [296], [306], колебаний в неоднородной среде, вибродиагностики, позволяющей определить степень износа изделия и т.п. Существенной структурной особенностью любой виброударной системы (ВУС) является наличие одной или нескольких ударных пар. Ударной парой называют совокупность двух звеньев системы, движущихся с соударениями, происходящими при определенных взаимных расположениях этих звеньев. Виброударным воздействиям часто подвергаются машины, приборы, передачи и устройства точной механики, работающие в сложных динамических условиях [21, с. 306]. Возникающие при этом динамические явления приходится рассматривать как неприятный, но неизбежный побочный эффект, сопутствующий нормальной работе устройства. Этот эффект часто связан с появлением в динамических системах, испытывающих регулярные возмущения на дискретных частотах, хаотических колебаний с широким частотным спектром. В частности, к виброударным системам можно отнести совершающие изгибные колебания валы механизмов, машин и приборов при наличии ударной пары в виде частей (деталей) подшипников, закрепленных на валу и в корпусе. Соударения в кинематических парах приводят к возникновению динамических ошибок, к изменению частотного состава вибрационных процессов и к появлению резонан-сов, непредсказуемых традиционными расчетными методами, к увеличению динамических нагрузок на звенья, снижению долговечности и надежности механизмов, к изменению диссипативных свойств механической системы.

Исследования в этой области имеют важное значение при изучении оптимальных параметров механизмов с ограничителями и зазорами, в задачах подавления шумов, вибродиагностики и оценки надежности. Для обеспечения безопасности машин, механизмов и устройств все более широко начинают использоваться расчеты, связанные с их функционированием в нештатных условиях. В качестве типичного примера работы в подобных условиях можно указать систему виброамортизации некоторого объекта, снабженного ограничителями хода. Если объект подвергается, например, нештатному силовому возбуждению, то в некоторые моменты времени он может (пусть и с относительно небольшой скоростью в начале процесса) ударяться об ограничители. В такой ситуации, как показано в настоящей диссертации, возможны режимы хаотических колебаний, для которых могут быть актуальны оценки максимального ударного импульса (необходимые для расчета предельной прочности ограничителей и объекта), либо среднего его значения и продолжительности виброударного режима (требуемые для расчета долговечности). Аналогичные задачи возникают и при расчетах работоспособности других устройств и конструкций (например, трубок теплообменников, устанавливаемых с зазорами в промежуточных опорах), у которых возникновение виброударных режимов отрицательно сказывается на динамической прочности [30]. Для ряда технологических процессов виброударные режимы при некоторых условиях оказываются более эффективными, чем чисто вибрационные. Это относится к строительным машинам (например, для погружения и выдергивания свай и других строительных конструкций), виброинструментам, транспортным устройствам, вибрационным просеивающим машинам (грохотам), к литейным машинам, виброплощадкам для уплотнения бетонной смеси и др. Для многих типов машин (например, для всевозможных молотов, виброотбойных инструментов, машин для виброударных испытаний и т. п.) виброударные движения являются единственно возможными по условиям их функционирования. Для таких машин и устройств, воспроизводящих полезные виброударные процессы, весьма актуальными являются проблемы помехоустойчивости. Для большинства виброударных систем характерна неоднозначность колебательных движений, которые могут реализовываться в системе при заданных условиях. Поэтому малые возмущения, действующие на виброударную систему в процессе ее работы, могут приводить к переходам системы из окрестности заданного периодического режима колебаний в окрестность какого-либо другого, нерасчетного (неприемлемого) режима колебаний. Такие же замечания можно сделать и по отношению к многочисленным вариантам гасителей колебаний ударного типа. Хорошо известна высокая эффективность методов виброгашения и виброизоляции, основанных на использовании эффекта соударений [22, с. 354-361]. Демпферы ударного действия просты по конструкции и надежны в работе, особенно для гашения высокочастотных колебаний. По этим причинам их широко применяют в механизмах, приборах и машинах и изучают в традиционных вузовских общетехнических дисциплинах [94]. Как динамические системы с ударами полезно рассматривать также вибрирующие устройства и инструменты для металлообработки, бурения, разрушения и обработки горных пород, разработки полезных ископаемых и мерзлых грунтов, корабли, находящиеся в условиях качки и ударов днища (однокорпусные суда) или соединительного моста (катамараны) о волны и т.п.

Из сказанного выше следует, что в инженерных задачах появление хаотических инвариантных множеств, как правило, считается неприятным явлением, так как приводит к непредсказуемому поведению решений. Однако можно предположить, что возможно создание таких технических устройств, в которых целенаправленное генерирование хаотических колебаний приведет к улучшению их работы. В частности, из работ Ю. С. Осипова [75] и К. В. Фролова [98] следует, что рациональная хаотизация колебаний режущих инструментов на металлообрабатывающих станках приводит к повышению точности изготовления деталей и чистоты их поверхности. Простыми конструктивными средствами можно добиться подобной хаотизации на основе использования эффекта соударения инструмента (например, токарного резца) или узла станка с некоторым упором.

Процессы и явления, эквивалентные виброударным в части математического описания, наблюдаются также в электрических и физических приборах и устройствах, относящихся к нелинейным электрическим цепям, импульсной технике и микроскопии [183]—[185].

Несмотря на потребность прикладной механики и техники в развитии методов исследования инвариантных множеств существенно нелинейных динамических систем, устойчивости их решений (движений) и механизмов возникновения в них хаотических колебаний, а также в исследованиях по анализу конкретных виброударных систем, работы в этих направлениях на настоящий момент еще находятся в начальной стадии.

Актуальность разработки теоретических подходов. Одной из особенностей большинства математических моделей ВУС является наличие того или иного условия импульсного типа, затрудняющего применение численных методов. Даже для простейших систем, описываемых в промежутках между ударами линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, при построении приближенного решения могут возникнуть проблемы, связанные с тем, что для определения моментов времени, соответствующих ударам, приходится решать трансцендентные уравнения. В ряде виброударных систем возникают эффекты, нехарактерные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, такие, как например, негладкость или даже разрывность интегральных многообразий, соответствующих точкам покоя. Эти явления не позволяют с формальной точки зрения применить основные результаты теории динамических систем, в частности, обосновать возможность применения численных методов и интерпретировать их результаты. До последнего времени не было известно критериев, позволяющих выявить наличие хаотического инвариантного множества у виброударной системы общего вида. Поэтому представляется целесообразным разработать методы, позволяющие выяснить структуру неблуждающих множеств динамических систем, задаваемых негладкими и разрывными отображениями.

Таким образом, достоверный анализ особенностей движений динамических систем с ударами, их устойчивости, инвариантных множеств и бифуркаций приобретает все более важное значение как для практики машиностроения и приборостроения, так и для теории дифференциальных уравнений.

История вопросов, затронутых в диссертации. Краткие библиографические сведения. Систематическое изучение виброударных систем началось еще в работах Ньютона и Гука. Ими были предложены простые и удобные в использовании математические модели удара, основанные на законе сохранения импульса и (для упругого удара) законе сохранения энергии. Эти модели, несмотря на свою простоту, дают достаточно точное описание поведения движений ВУС. Более точными являются модель Герца, а также модель, в рамках которой ударное взаимодействие рассматривается как добавление в правую часть обобщенных функций (см., например [78], [352]). Описание этих моделей приводится ниже. Вместе с тем, даже для простейших примеров систем с одной степенью свободы, описываемых линейным уравнением и ньютоновскими условиями удара, найти решение в аналитическом виде непросто, так как определение моментов времени, соответствующих ударам, связано с решением трансцендентных уравнений. Это обстоятельство серьезно замедляло развитие теории ВУС. Несмотря на это, к началу 80-х годов XX века были получены следующие результаты.

Изложенный в работах [11], [40] материал дает представление о методах расчета простых (одноударных и симметричных двухударных) режимов одномассных и симметричных двухмассных ВУС и правильных режимов одномерных многомассных ВУС. Были намечены точные методы анализа динамики двумерных ВУС различной структуры [4], [14], [37], [38], [40], [68]. Выполнены исследования многоударных режимов [385], [386], а также бесконечно-ударных [72], [95], которые называют скользящими или режимами с квазипластическим ударом.

Получены результаты, связанные с оптимальным управлением ВУС [7], [34], синтезом оптимальных устройств виброударного действия [5], [60], [61] и анализом стохастических режимов движения ВУС [8], [31], [36], [70], [304]. Такое расширение круга проблем, разрабатываемых в теории ВУС, обусловлено большим разнообразием прикладных задач и стало возможным благодаря интенсивной разработке применяемых методов исследования. Наряду с дальнейшим развитием точных аналитических методов припасовывания [40] и точечных отображений [11], большое внимание уделялось приближенным методам расчета ВУС [3], [9], [17], [18], [33]. Во многих случаях ВУС изучались методами аналогового [31], [63], [87], [304], [334] и натурного [39], [40] моделирования. Дополнительные библиографические сведения по ранним работам в рассматриваемой области можно найти в работах [11], [14], [39], [40], [60].

С начала 80-х годов теория виброударных систем получила мощное развитие, связанное в первую очередь, с интенсивным развитием качественной теории динамических систем, и, во-вторых, с появлением доступных персональных компьютеров. Это в свою очередь, вызвало интерес к теории численных методов, применимых к исследованию кусочно-гладких динамических систем.

Хотя математические модели виброударные системы не сводятся к одним только обыкновенным дифференциальным уравнениям, их свойства в значительной мере совпадают со свойствами классических динамических систем. К настоящему времени изучены такие свойства решений систем с ударами, как существование, единственность и непрерывность решений по начальным данным и параметрам [352]. Вопросы структурной устойчивости применительно к ВУС исследовались в статье [159]. В статьях [139], [140], [337] изучались фундаментальные свойства удара, проводились классификации виброударных систем. Исследовались бифуркации, характерные для такого рода систем [24], [42], [43], [45] - [47], [50], [52], [96], [99], [100], [111], [122], [134], [149], [164], [171], [191], [192], [200], [224], [247], [246], [250], [260], [279], [281], [282], [291], [335], [346], [379], [407] (см. также ссылки в указанных работах).

Начиная с 80-х годов особый интерес авторов вызывает проблема наличия хаотических инвариантных множеств у систем с ударами. В книге Дивени [188] приводится следующее определение хаотического инвариантного множества.

Определение 0.0.1. Пусть M - гладкое многообразие, F : M —M -диффеоморфизм. Компактное инвариантное гиперболическое подмножество К G M называется хаотическим, если выполнены следующие условия.

1. Множество К бесконечно.

2. Периодические точки отображения F плотны в К.

3. Существует точка ро G К, орбита которой

О(р0) = {Fk(pо) :ke Z}} всюду плотна в К.

В основном в этой диссертационной работе мы будем пользоваться именно этим определением хаотического инвариантного множества.

Тем не менее, приведем определения еще двух хаоса, не эквивалентных имеющемуся, однако так или иначе возникающих в виброударных системах.

Определение 0.0.2. [284]. Непрерывное отображение F : M —» M метрического пространства M в себя называется хаотическим по Ли-Йорке, если имеется несчетное инвариантное подмножество S С М, называемое перемешиваемым и удовлетворяющее следующим условиям.

1. Для любых двух точек х,у Е S, х ф у limsup \Fnx — Fny\ >0.

Tl—>00

2. Для любых двух точек х,у Е S, х ф у liminf \Fnx — Fny\ =0. n—>00

3. Для любых двух точек х Е М, у Е PerF limsup \ Fnx — Fny\ > 0. n—>00

Здесь Per F - множество периодических точек отображения F.

Наиболее известным примером, точнее семейством примеров отображений, удовлетворяющим приведенному выше определению, являются отображения отрезка [0,1] в себя, имеющее точку периода 3, например логистическое отображение х' = 4т(1 — х).

Следующее определение, впервые приведенное Я.Г.Синаем [91], цитируется по книге [13]. Рассмотрим семейство динамических систем (Т, X, /1), где X - фиксированное компактное подмножество евклидова пространства с борелевской а - алгеброй, Т - фиксированное несингулярное измеримое отображение X в себя, а ¡1 - одна из вероятностных мер на X. Здесь несингулярность отображения Т понимается в следующем смысле. Для любого измеримого множества А, лебегова мера которого положительна (тп(А) > 0), мера прообраза А тоже положительна т(Т~1(А)) > 0. Предполагаем, что тп(Х) > 0.

Обозначим символом Л4(Х) множество вероятностных мер на X. Для любой меры /1 Е Л4 определим ее образ Тц формулой

Рассмотрим так называемый оператор Перрона-Фробениуса Р?, действующий на множестве Сх{Х) функций, суммируемых с относительно меры Лебега и определяемый формулой {рРтНйт — / Н{х)1р{Тх)дт,. ¿X 7х

Будем говорить, что отображение Т является слабо перемешивающим, если соответствующий оператор Перрона-Фробениуса не имеет собственных функций за исключением постоянных.

Замкнутое подмножество Л С X будем называть аттрактором системы, если существует его открытая окрестность 17, такая, что Т17 С 17 и сШ{Тп(х),А) О при п —> оо для любой точки X Е 17.

Определение 0.0.3. Стохастическим аттрактором отображения Т будем называть пару (Л, состоящую из замкнутого множества Л С X и вероятностной меры (Лт, таких, что

1. Л — это аттрактор отображения Т с областью притяжения [/ С X;

2. под действием отображения Т образы любой гладкой (абсолютно непрерывной по отношению к мере Лебега) вероятностной меры ¡1 Е Л4(Х) с носителем в 17 слабо сходятся в среднем по Чезаро к мере ¡1т'

1 п — 1 П к=О

3. имеются натуральное число и и разбиение множества А на непересекающиеся Ти - инвариантные подмножества Л^ . Аи, такие, что ТЛ^ = Лг+1 при г < V и ТАи — А\, а ограничения системы (Т1/, цт) являются слабо перемешивающими при любом г.

Мера /¿т, фигурирующая в этом определении, часто называется мерой Синая-Боуэна-Рюэлля или СБР-мерой.

Определение 0.0.4. Говорим, что динамическая система (Т, X. ¡j) эр-годична, если для всех измеримых подмножеств А, В С X.

Обзор результатов по хаотической динамике в системах с ударами.

Во многих работах [24], [43], [45] - [47], [52], [111], [119], [121], [123], [132], [151], [152], [167], [171], [191], [198], [218], [238], [274], [289], [292], [293], [311], [361], [379], [396], [398], [407] было отмечено, что в системах с ударами могут наблюдаться хаотические колебания. Так, в статье [238] изучались колебания мяча, подскакивающего на гармонически осциллирующей поверхности. В качестве модели таких колебаний приводилась следующая дискретная динамическая система. Пусть tk ~ моменты ударов решения, уь ~ соответствующие скорости, а Т - период колебаний поверхности. Рассматриваемая динамическая система задавалась отображением, ставящим в соответствие скорости у^ и фазе Tk — tk mod Т величины Ук+i и r^+i, отвечающие удару с номером к + 1. Показывалось, что если период Т достаточно велик, то эта динамическая система имеет гиперболическое инвариантное множество, аналогичное по свойствам знаменитой "подкове Смейла" [92], [93]. В работах [46] и [58] изучались движения по прямой точечной массы под действием восстанавливающей силы, внешней силы, силы трения и абсолютно упругих ударов о неподвижный ограничитель. Предполагалось, что период внешней силы является большим параметром. Приводились условия, достаточные для того, чтобы отображение сдвига рассматриваемой виброударной системы имело гиперболическое хаотическое инвариантное множество. Кроме того, изучалось, когда рассматп-1 риваемая система имеет единственное периодическое решение, устойчивое в целом. В статье С. П. Горбикова и А. В. Меньшениной [24] изучались системы с неупругим ударом. У систем такого рода могут быть решения с бесконечным числом ударов на конечном временном интервале [72]. Показывалось, что наличие периодического решения с бесконечным числом ударов за период приводит к появлению инвариантного множества, обладающего всеми свойствами "подковы Смей л а" за исключением разве что гиперболичности. Условия наличия хаоса по Ли-Йорке в виброударных системах исследовались в работе [1].

Существование стохастических аттракторов и эргодичность отображений, возникающих при моделировании так называемых биллиардов, изучалась в работах [157, 168, 193, 258] и [408], а также во многих других. Аналогичный вопрос для более общего класса так называемых кусочно-растягивающих отображений исследовался в работах [12, 13, 20, 124, 138] и [408]. Детальный обзор результатов, связанных с эргодической теорией сильно нелинейных систем приведен в работах [13, 42, 91, 259] и [411].

В совместной работе автора с В. А. Плиссом [58] и ее обобщениях [46], [47] исследовалось поведение решений системы с условием абсолютно упругого удара, описываемой в промежутке между ударами линейным уравнением второго порядка с кусочно-постоянной правой частью. Для рассматриваемой системы приводились условия, достаточные для наличия странного аттрактора и условия устойчивости в целом периодического решения рассматриваемой системы. Описывались механизмы возникновения хаотических режимов.

В работе де Соуза и Кальдаса [367] предлагается оригинальный метод нахождения показателей Ляпунова, соответствующих минимальным инвариантным множествам ВУС. Петерка [336] обнаружил наличие хаоса с перемежаемостью у виброударной системы с двумя ударами на периоде в окрестности бифуркации типа седло-узел. Были разработаны некоторые методы управления хаосом. Ху [240] предложил метод управления хаосом в системах с разрывной правой частью на примере линейного осциллятора с гармонической правой частью. В качестве управляющего параметра выбирается положение упругого ограничителя. Алгоритмы синхронизации двух ударных осцилляторов были продемонстрированы в статье Ли и Яна [277]. В работах де Соуза и соавторов [368], [369] показано, как с помощью управления с обратной связью можно подавлять хаотические колебания. В статье Ягасаки [409] обсуждалась возможность применения к виброударным системам известного в хаотической динамике метода Мельникова. В работах [25] и [221] виброударные системы исследовались с использованием адиабатических инвариантов. Экспериментальные исследования некоторых типов кусочно-линейных осцилляторов с хаотическим поведением решений приведены в работах Верчигроха и Сина [404].

Путем численного и экспериментального моделирования получено описание некоторых сценариев перехода к хаотическим колебаниям. Описаны бифуркации, приводящие к возникновению "странных аттракторов". Как оказывается, все классические сценарии появления хаоса, такие, как каскад бифуркаций удвоения периода, бифуркации Хопфа, бифуркации типа седло-узел, вилка и т.п. могут иметь место и для систем с ударами [100], [111], [122], [134], [180], [247], [282], [337], [406], [407]. В качестве одной из причин возникновения хаотических колебаний многими авторами [52], [146] - [149], [164] - [171], [200], [309], [317], [318], [366] указывалось наличие периодических решений, имеющих в некоторый момент времени удар с малым значением компоненты скорости, нормальной по отношению к ограничителю при условии, что в момент удара сила действует в сторону от ограничителя. Это явление получило название grazing - скольжение [95], иногда оно также называется касанием. Бифуркация скольжения связана с наличием решения, имеющего в некоторый момент времени удар с малой скоростью. При изучении устойчивости скользящего периодического решения приходится сталкиваться с трудностями, связанными с появлением сингулярности отображения сдвига на период. Для того, чтобы избежать такого рода эффектов, А. Нордмарк [317] предложил метод, связанный с рассмотрением разрывных отображений, ставящих в соответствие временной фазе и скорости каждого из ударов, фазу и скорость, соответствующую следующему по времени удару. Этот подход, похожий на использованный в статье [270], позволяет избежать рассмотрения сингулярностей, связанных со скольжением.

В работах Е. М. Павловской, М. Верчигроха и соавторов [325]—[329], [401] этот метод получил развитие. Предлагаемый подход состоит из трех этапов. Во-первых, рассматривается отображение Пуанкаре, соответствующее колебаниям без ударов. Во-вторых, динамика точки в окрестности точки скольжения приближается непрерывными функциями, дающими в пределе требуемое разрывное отображение. В конечном итоге, отображение за период, соответствующее скользящему решению, представляется в виде комбинации двух решений, упомянутых выше. Эта схема исследований применяется для описания движений материальной точки, имеющей соударения с жестким неподвижным ограничителем. В работе [328] предлагается модель колебаний с ударом, сочетающая наличие поступательной и колебательной компонент, а также вязкоупругого взаимодействия, соответствующего удару.

Другой причиной появления странных аттракторов является наличие периодических решений с большим, в пределе бесконечным, числом ударов за период [24], [46], [47], [150], [238], [378], [390]—[392], [396], [397]. Это явление получило название стука или бесконечноударного режима (в англоязычной литературе - chatter или rattle). Имеются некоторые теоретические результаты [24] о существовании сложной динамики в окрестности бесконечноударных режимов, при которых имеется периодическое решение с бесконечным числом ударов на периоде. В настоящей работе исследуются два механизма появление стука, а именно увеличение периода и уменьшение коэффициента восстановления, характеризующего потерю энергии при ударе. В обоих случаях аналитически доказывается наличие странного аттрактора в окрестности стука. В отличие от результатов статьи [24] и других аналогичных работ, автор показывает наличие гиперболического инвариантного множества, описываемого подковой Смейла. Такое множество сохраняется при малых возмущениях параметров системы.

И все же, несмотря на обилие работ по изучаемой теме, оставались открытыми следующие важные в теоретическом и прикладном отношении вопросы.

1. Можно ли привести аналитический критерий наличия у ВУС общего вида хаотических колебаний?

2. Применимы ли классические методы хаотической динамики к исследованию ВУС общего вида?

В рамках настоящей диссертационной работы дается положительный ответ на оба этих вопроса.

Цели работы. Целями диссертационной работы являются разработка методов исследования инвариантных множеств и бифуркаций существенно нелинейных динамических систем, их апробация на примере систем с ударами, а также анализ основных свойств инвариантных множеств виброударных систем и механизмов возникновения в таких системах хаотических колебаний. Для достижения данной цели решены следующие задачи:

2. Изучены основные математические модели виброударных систем и описаны такие их свойства, как диссипативность, конвергент-ность, наличие предельных циклов и т.п.

4. Исследована локальная структура перроновых многообразий ВУС в окрестности периодических решений, в частности, показано, при каких условиях они не являются гладкими.

Новизна и ценность результатов диссертации. Для ВУС общего вида впервые приведены аналитически обоснованные условия, достаточные для существования хаотического инвариантного множества. Гипотезы, выдвинутые различными авторами на основе результатов численных и натурных экспериментов были обобщены и получили теоретическое подтверждение. Так, например, было проверено (теоремы 2.1.1 и 2.2.1), что в окрестности бифуркации скольжения могут возникать "странные аттракторы". В ряде случаев даже удается получить коэффициентные критерии наличия хаотического инвариантного множества. Так, например, теорема 3.2.1 дает условия наличия хаоса в системах с ударами, не требующие априорной информации о наличии периодического решения ВУС с определенными свойствами.Все основные результаты диссертации снабжены примерами конкретных систем, в которых наблюдаются описываемые явления. Используемые при доказательстве теорем 2.1.1, 4.1.2, 3.1.2, 3.2.1 и 3.4.1 методы нахождения гомоклинических точек и "подков Смейла" применимы не только к исследованию не только ВУС, но и других кусочно-гладких динамических систем. Идеи, приведенные в главе 4 (теоремы 4.1.2,4.3.1,4.4.1), дают принципиально новый метод исследования динамики в окрестности негиперболической точки покоя. На множестве так называемых допустимых дисков, С1 - близких к центральному неустойчивому многообразию изучаемого положения равновесия, рассматривается динамическая система, порождаемая исходной. Для такой динамической системы удается применить многие результаты теории гиперболических инвариантных множеств, в том числе, классической теории хаоса. При выполнении дополнительных предположений (наличие функции Ляпунова специального вида) удается показать наличие бесконечного множества периодических точек в окрестности негиперболической точки покоя.

Структура работы. Диссертация содержит 293 страницы машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 412 наименований. Каждая из глав делится на несколько разделов. Большинство из разделов состоят из нескольких параграфов. Нумерация формул, теорем, лемм, определений, условий, замечаний и рисунков выполняется по следующему закону: <номер главы>.<номер раздела>.<номер объекта в текущем раздело. При этом теоремы и леммы нумеруются двумя отдельными списками.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Итак, основные результаты диссертации сводятся к следующим.

1. Предложена новая математическая модель виброударных систем.

4. Приведены достаточные условия наличия в окрестности так называемой бифуркации скольжения (grazing).

7. Предложены новые методы оценки показателей Ляпунова, соответствующих решениям виброударных систем.

Благодарности.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке лаборатории им. П. JI. Чебышева (грант 11.G34.31.0026 Правительства РФ), Совета по грантам при Президенте Российской Федерации (гранты МК-489.2007.1 и МК-4032.2009.1), программы государственной поддержки ведущих научных школ (грант НШ954.2008.1), РФФИ (05-01-010079 и 08-01-08001), научной программы Минобрнауки РФ "Университеты России", UK Royal Society и благотворительного фонда Владимира Потанина.

Автор благодарит Д. В. Аносова, M.JI. Бланка, А. С. Городецкого,

A. П. Иванова, Ю. С. Ильяшенко, О. Макаренкова, С. Ю. Пилюгина,

B. А. Плисса, Я. Г. Синая, С. К. Смирнова, С. Б. Тихомирова, Ф.Л. Черноусько, М. Akhmet, S. Banerjee, A. Champneys, D. Chillingworth, H. Dankowitz, Shaobo Gan, C. Grebogi, R. Ortega, G. Rega, M. Schatzmann, G. Sell, M. Wiercigroch и A.Wilkinson за советы и замечания.

Заключение.

В диссертационной работе изучаются хаотические режимы виброударных систем и описываются бифуркации, приводящие к их появлению. Для исследования используются различные модели удара, применяются различные, в том числе и принципиально новые методы теории удара, качественной теории динамических систем и хаотической динамики. Приводятся принципиально новые критерии наличия странных аттракторов. Получены общие результаты о наличии бесконечного числа периодических траектории в окрестности негиперболической точки покоя и гиперболической точки покоя с нетрансверсальным гомокли-ническим пересечением инвариантных многообразий.

Изучались следующие бифуркации систем с ударами. Бифуркация скольжения.

Рассматривается система, описываемая системой (1.1.2) состоящей из 2п обыкновенных дифференциальных уравнений с условиями удара 1.1.5. Пусть выполнены условия 2.1.2 - 2.1.4. Тогда найдутся такие значения ро > 0 и > 0, что для любых ¡1 е (0,^о), 9 £ (0,#о) существует хаотическое инвариантное по отношению к отображению Б2 в множество К

Если справедливы те же предположения за исключением условия 2.1.3 и рассматриваемая виброударная системы диссипативна, отображение Б2 в имеет негиперболичное хаотическое инвариантное множество.

Если система удовлетворяет условиям 2.2.1 - 2.2.4, то хаотическое инвариантное множество существует, несмотря на то, что исходное семейство периодических решений могло вовсе не иметь ударов. Бифуркация стука. Рассматривается механическая система с одной степенью свободы, описываемая уравнением (1.1.1) или, соответственно, системой (1.1.2) с условиями удара (1.1.6).

Бифуркация стука соответствует ситуации, когда число ударов, соответствующих периодическим решениям некоторого семейства, непрерывно зависящего от параметра, неограниченно увеличивается при изменении значений параметра.

Если уравнение (1.1.2) имеет частный вид (1.3.1) и удовлетворяют условиям (3.2.1) и (3.2.2), то существует такое Т > 0, что если Т > Т, то отображение S имеет хаотическое инвариантное множество К.

Как показывает теорема 3.1.1, бифуркация стука сопровождается каскадом бифуркаций скольжения, которые также могут приводить к появлению хаоса, хотя и не являются его единственной возможной причиной.

Хаотические инвариантные множества возникают и при приближении значения параметра системы к критическому, соответствующего потере единственности периодического решения. Точнее, если система (3.1.1) удовлетворяет условию (3.1.2) и существует такое а > 0, что (О, сг) G Л, причем выполнены условия (3.1.3) - (3.1.5), то найдется такое G (Xi,T), что для любого а > 0 существуют такие значения во > 0, <71 G (0, <т), что если справедливы неравенства (3.1.8), то для любых О е [0,$о)> I1 £ (0> ^î) отображение S^e имеет гиперболическое хаотическое инвариантное множество К.

Важнейшими результатами диссертации являются теоремы 2.1.1, 2.2.1, 4.1.2, 3.1.2 и 3.2.1, предоставляющие достаточные условия наличия хаотических колебаний в системах с ударами. Все эти теоремы так или иначе используют наличие в рассматриваемой системе малого или большого параметра, обеспечивающего существование периодического решения, имеющего удар (или последовательность ударов) с малой скоростью. Однако, в некоторых случаях, имеющих прикладное значение, результаты этих теорем могут быть применены к системам, периодические решения которых не имеют ударов с малой скоростью.

Пусть система (1.1.1) имеет вид

X + P{t)x + Q(t)x = f(t), (5.6.1) где P(t) и Q(t) - непрерывные матричные функции, a f(t) - непрерывная векторная функция, причем все эти функции имеют период Т по аргументу t. Рассмотрим виброударную систему, определяемую уравнениями (5.6.1) и условиями удара 1.1.5. Замена переменных ж = < (5.6.2) сводит систему (5.6.1) к виду

Z + P№ + Q№ = Kf(t), причем вид условия 1.1.5 сохраняется. Обозначим полученную виброударную систему символом (В). Если система (А) имеет периодическое решение ip(t), система (В) имеет решение iup(t), скорости ударов которого есть величины порядка О (к). Таким образом, выбрав малый параметр к и воспользовавшись заменой (5.6.2), можно применять методы, предлагаемые в этой диссертации, к системам, не имеющим априорно периодического решения с ударами малой скорости. Иногда применение замены (5.6.2) оправдано и в том случае, когда система (1.1.1) нелинейна. Например, уравнение (1.3.1) примет вид = «/(*)> при чем справедливость условий (3.2.1) и (3.2.2) сохранится независимо от выбора параметра к.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Крыжевич, Леонид Святославович., Санкт-Петербург

1. Алексеев В.М. Об асимптотическом поведении решений слабо нелинейных систем дифференциальных уравнений // Докл. Акад. Наук СССР, 1960, Т. 134, №2. С. 247-250.

2. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. М.: Наука, 1967. 210 с.

3. Асташев В. КБабицкий В. И. Виброударное взаимодействие вязкоупругих стержней // Машиноведение, 1974, №5, С. 3 — 9.

4. Асташев В. К. Бабицкий В. И., Дольник Е. С. Об одном способе возбуждения колебаний // Известия АН СССР. МТТ, 1972, №1, С. 45 49.

5. Ашавский А. М. Синтез оптимальных виброударных механизмов. // Научные труды ВУЗов ЛитССР. "Вибротехника 1973, Т.20, №3. С. 139 143.

6. Бабицкий В. И. Теория виброударных систем. М., Наука, 1978, 352 с.

7. Бабицкий В. И., Кобринский А. Е. Периодические движения двухмассовой колебательной системы в полости / В кн.: Теория машин и механизмов, вып. 103—104. М., Наука, 1964, с. 56—70.

8. Бабицкий В. И., Коловский М. 3. Колебания линейной системы с ограничителями при случайных нагрузках // Известия АН СССР. МТТ, 1967, №3, С. 147-151.

9. Бабицкий В. И., Коловский М. 3. К теории виброударных систем // Машиноведение, 1970, М, С. 25-30.

10. Бибиков Ю. Н. Критерии абсолютной устойчивости двумерных систем с нестационарными нелинейностями / Метод теории Ляпунова в анализе динамики систем. Сб. статей. Новосибирск. "Наука 1987. С. 189-193.

11. Беспалова Л. В., Неймарк Ю. И., Фейгип М. И. Динамические системы с ударными взаимодействиями и теория нелинейных колебаний // Известия АН СССР. МТТ, 1966, №1. С. 151-159.

12. Бланк М. Л. Сингулярные явления в хаотических динамических системах // ДАН РАН. 1993. Т. 328, вып. 1. С. 7-11.

13. Бланк М. Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: МЦИМО, 2001. - 352 с.

14. Блехман И. И., Джанелидзе Г. И. Вибрационное перемещение. М., Наука, 1964. 413 с.

15. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Мир, 1979, 245 с.

16. Брин М.И., Лесин Я. Б. Частично гиперболические динамические системы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1974. Т. 38, вып. 1. С. 170-212.

17. Брунштейн Р. Е., Кобринский А. Е. Периодические движения системы, содержащей шарик в полости // Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1959, №1. С. 10—21.

18. Брунштейн Р. Е., Кобринский А. Е. Об устойчивости периодических движений виброударных систем // Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1960, №5. С. 10—16.

19. Брунштейн Р. Е., Кобринский А. Е. К исследованию динамики и устойчивости виброударных систем // Труды Института машиноведения. Семинар по теории машин и механизмов. 1961, вып. 83. с. 46-54.

20. Бунимович Л. А., Синай Я. Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С.212—226.

21. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Т. 2. Колебания механических систем. Под редакцией д-ра физ.-мат. наук И. И. Блехмана. М.: Машиностроение, 1979 — 1981 г. 504 с.

22. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Т. 4. Вибрационные процессы и машины. Под редакцией д-ра техн. наук Э. Э. Лавендела М.: Машиностроение, 1981 г. 384 с.

23. Волъперт В. А., Крыжевич С. Г. О разрешимости нелинейных эллиптических краевых задач на неограниченных цилиндрах // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер. 1. Вып. 4., 2004. С. 31-39.

24. Горбиков С. П. Меньшенина A.B. Бифуркация, приводящая к хаотическим движениям в динамических системах с ударными взаимодействиями // Дифференц. уравнения, 2005, Т. 41, №8, С. 1046-1052.

25. Горелышев И. В., Нейштадт А. И. Об адиабатической теории возмущений для систем с упругими отражениями // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70, №1. С.6—19.

26. Городецкий А. С. Регулярность слоев частично гиперболических множеств и приложения // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70, №6. С. 19 44.

27. Городецкий А. С., Ильяшенко Ю. С. Некоторые новые грубые свойства инвариантных множеств и аттракторов динамических систем // Функц. анализ и его прил., Т. 33, №2, 1999. С. 16—30.

28. Городецкий А. С., Ильяшенко Ю. С. Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом / Динамические системы, автоматы и бесконечные группы, Сборник статей, Тр. МИ АН, 231, Наука, М., 2000. С. 96-118.

29. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 560 с.

30. Диментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. 368 с.

31. Диментберг М. Ф., Меняйлов А. И. Некоторые стохастические задачи динамики виброударных систем // Известия АН СССР. МТТ, 1976, №4, С. 63 70.

32. Евстигнеев В. Применение метода полных бифуркационных групп для анализа сильных нелинейных осцилляторов и виброударных систем. Дисс. на соискание уч. степени, докт. физ-мат. наук, Рижский технический университет, Рига, Латвия. 2008. 146 с.

33. Журавлев В. Ф., Привалов Е. А. Исследование методом усреднения вынужденных колебаний гироскопа с ударным поглотителем // Известия АН СССР. МТТ. 1976, №3, С. 18 22.

34. Израилович М. Я. Построение оптимального периодического движения одномассовой виброударной системы при ограничениях на амплитуду и импульс возбуждающей силы // Машиноведение, 1972, №1, С. 42 45.

35. Каток А. Б. Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М. 1999. 768 с.

36. Кобринский А. А. Вынужденное движение виброударной системы со случайным коэффициентом восстановления / / Машиноведение, 1969, №4, С. 7 12.

37. Кобринский А. А. К динамике вибродвигателя // Известия АН СССР. МТТ, 1976, №2, С. 42 47.

38. Кобринский А. А., Кобринский А. Е. Одноударные периодические движения двумерной частицы на вибрирующей плоскости. // Машиноведение, 1972, №5, С. 3-10.

39. Кобринский А. Е. Механизмы с упругими связями. Динамика и устойчивость. М., Наука, 1964, 390 с.

40. Кобринский А. Е., Кобринский А. А. Виброударные системы. М., Наука, 1973. 591 с.

41. Кобринский А. Е., Шляхтин А. В., Ямщикова М. Н. К теории машин виброударного действия // Труды ИМАШ. Семинар по теории машин и механизмов, 1960, вып. 79, С. 27—43.

42. Козлов В. В., Трещёв Д. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ. 1991. 168 с.

43. Крыжевич С. Г. Об асимптотических свойствах решений систем с малой нелинейностью в окрестности особой точки // Мат. заметки. 2004. Т. 75, №5. С. 683-692.

44. Крыжевич С. Г. Установившиеся колебания в простейших механических системах с условиями удара // Вестник молодых ученых. Серия "Прикладная математика и механика"№3, 2005. С. 64—76.

45. Крыжевич С. Г. Свойства решений уравнений типа Дуффинга с условиями удара // Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления" №2, 2006. С. 1—25.

46. Крыжевич С. Г. Хаотические инвариантные множества виброударных систем с одной степенью свободы // ДАН РАН, 2006. Т.410, №3, С. 311-312.

47. Крыжевич С. Г. Структурная устойчивость инвариантных множеств виброударных систем // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер.1, Вып.1, 2007 г., С. 55—61.

48. Крыжевич С. Г. Метод симметризации и предельные циклы виброударных систем // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер.1, Вып.2, 2007 г, С. 27-31.

49. Крыжевич С. Г. Хаос в окрестности бифуркации скольжения. / Международный Конгресс "Нелинейный Динамический Анализ 2007 посвященный 150-летию со дня рождения академика А. М. Ляпунова С.-Петербург, 4 — 10 июня 2007 г. С. 355.

50. Крыжевич С. Г. Бифуркация стука / Международная конференция "X Белорусская математическая конференция"(3 — 7 ноября 2008 года, Минск) Тезисы, С. 36.

51. Крыжевич С. Г. Бифуркация касания и хаотические колебания виброударных систем с одной степенью свободы // Прикладная математика и механика. Т.72, Вып.4, 2008, С. 539—556.

52. Крыжевич С. Г. Хаос в виброударных системах с одной степенью свободы в окрестности возникновения стука — I // Дифференц. уравнения. Т.46, №10, 2010. С. 1403-1408.

53. Крыжевич С. Г. Хаос в виброударных системах с одной степенью свободы в окрестности возникновения стука — II // Дифференц. уравнения. Т.47, М, 2011. С. 29-37.

54. Крыжевич С. Г. Хаотические режимы систем, описываемых уравнениями Льенара с большим периодом правой части и условиями удара // Прикл. математика и механика. Т.74, №5, 2010. С.751-773.

55. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. О структурной устойчивости неавтономных систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, №10., С. 1325-1333.

56. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. Хаотические режимы колебаний виброударной системы // Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69, Вып 1. С. 15-29.

57. Крыжевич С. Г., Сколяров А. Ю. Методы аппроксимации неустойчивых многообразий точек покоя автономных систем // Труды Санкт-Петербургского математического общества Т. 14, 2008, С. 41 58.

58. Лавендел Э. Э. Синтез оптимальных вибромашин. Рига, Зинатне, 1970. 252 с.

59. Лавендел Э. Э., Виба Я. А. Особенности оптимального синтеза виброударных систем // Научные труды ВУЗов ЛитССР. Вибротехника, 1973, Т.20, №3, С. 47 54.

60. Леви-Чивита Т., Амалъди У. Курс теоретической механики. В 2-х т. Т. 2. М., изд. иностр. лит., 1951. 555 с.

61. Ленский А. Н., Лобода В. М. Моделирование контактных взаимодействий тел в виброударных системах //В кн.: Механика машин, вып. 33 34. М., Наука, 1972, С. 129-144.

62. Леонов Г. А. Локализация аттракторов неавтономного уравнения Льенара методом разрывных систем сравнения // Прикладная математика и механика. 1996, Т. 60, Вып. 2. С. 332 — 340.

63. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. В 2-х ч. Ч. И. Гостехиздат, 1958, 580 с.

64. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., Наука, 1956. Т.2, 474 стр.

65. Лященко Н. Я. Об одной теореме разделения системы дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1954. Т. 97, №6. С. 965 -967.

66. Малкин Д. Д. Косой удар и основные закономерности виброперемещения //В кн.:Механика машин, вып. 33 — 34. М., Наука, 1972, С. 145 162.

67. Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М. Мир. 1980. 368 с.

68. Метрикин В. С. К теории виброударника со случайно изменяющимися параметрами // Известия ВУЗов. Сер. Радиофизика. Т. 13, 1970, №4. С. 585 592.

69. Нагаев Р. Ф. Правильные импульсные движения в одномерной системе // Прикладная математика и механика. Т. 31, 1967, №2. С. 242 254.

70. Нагаев Р. Ф. Общая задача о квазипластическом ударе // Известия АН СССР. МТТ, Т.З, 1971. №8. С. 94 103.

71. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л: ОГИЗ, 1947, 452 с.

72. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. 304 с.

73. Осипов Ю. С. Динамические системы: моделирование, оптимизация, управление, Сб. научных трудов, Тр. ИММ, 12, №1, 2006, 248 с.

74. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М., Мир, 1986, 301 с.

75. Пановко Я. Г. Введение в теорию механического удара. М., Наука, 1977, 224 с.

76. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л., Изд-во "Политехника 1990, 272 с.

77. Лесин Я. Б. Лекции по теории частичной гиперболичности и устойчивой эргодичности. М. МЦНМО. 2006, 144 с.

78. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений. Изд-во Ленингр. ун-та, 1988., 160 с.

79. Пилюгин С. Ю. Пространства динамических систем. М,—Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований, 2008. 272 с.

80. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний, "Наука М.-Л., 1964, 367 с.

81. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР, Мат. сер. 1964. Т. 28, Вып. 6, С. 1297-1324.

82. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977, 304 стр.

83. Плисс В. А. Существование гиперболического интегрального множества специальной периодической системы.// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №5. С. 800-806.

84. Плисс В. А. Неблуждающее множество специальной гиперболической системы.// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №6. С. 966-975.

85. Рагулъскене В. Л. Виброударные системы. Вильнюс, Минтис, 1974. 320 с.

86. Рагульскис К.М., Виткус И. П., Рагулъскене В. Л. Самосинхронизация механических систем. Вильнюс, Минтис, 1965. 186 с.

87. Русаков И. Г., Харкевич А. А. Вынужденные колебания системы, ударяющейся об ограничитель // Журнал теоретической физики, Т. XII, 1942, вып. 11 12. С. 715-721.

88. Синай Я. Г. Динамические системы с упругими отражениями. Эр-годические свойства рассеивающих биллиардов // УМН, 1970, том 25, выпуск 2(152). С. 141 192.

89. Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 192-212.

90. Смейл С. Диффеоморфизмы со многими периодическими точками // Математика. 1967. Период, сб. перев. иностр. статей. №4. С. 69-78.

91. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук. 1970, Т. 25, №1, с. 113 185.

92. Теория механизмов и машин. Под ред. К.В. Фролова, М.: Высшая школа, 1987, 496 с.

93. Федосенко Ю. С., Фейгин М. И. К теории скользящего режима в динамических системах с соударениями // Прикладная математика и механика. Т. 36. 1972, вып. 5. С. 840 — 850.

94. Фейгин М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. 288 с.

95. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 216 с.

96. Фролов К. В., Гончаревич И. Ф. Прикладная теория виброзащитных систем. М.: Наука, 1981. 391 с.

97. Aidanpaa J. 0., Gupta B. R. Periodic and chaotic behaviour of a threshold-limited two-degree-of-freedom system //J. Sound and Vib., V. 165, 1993. no. 2. P. 305-327.

98. Aidanpaa J., Shen H., Gupta B.: Stability and bifurcations of a stationary state for an impact oscillator, Chaos 4, 1994., P. 621—630.

99. Aime J. P., Boisgard R., Nony L., Couturier G. Nonlinear dynamic behavior of an oscillating tip-microlever system and contrast at the atomic scale // Phys. Rev. Lett. V. 82, 1999, P. 3388-3391.

100. Akhmet M. U. Li-Yorke chaos in systems with impacts // J. Math. Anal. Appl. 2009, V. 351, P. 804 810.

101. Al-shyyab A., Kahraman A. Non-linear dynamic analysis of a multi-mesh gear train using multi-term harmonic balance method: sub-harmonic motions //J. Sound Vib. V. 279, 2005. no. 1-2. P. 417-451.

102. Alligood K. T. Sander E., Yorke J. A. Explosions in dimensions one through three // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. 65 (2007), no 1, 1-15.

103. Amabili M., Sarkar A., Paidoussis M. P. Chaotic vibrations of circular cylindrical shells: Galerkin versus reduced-order models via the proper orthogonal decomposition method // J. Sound and Vib. V. 290, 2006. P. 736-762.

104. D.V. Anosov Geodesic flows on closed Riemannian manifolds of negative curvature, Trudy Mat. Inst. Steklov., 90, 1967, 3—210.

105. Ashhab M., Salapaka M. V., Dahleh M., Mezic I. Melnikov-based dynamical analysis of microcantilevers in scanning probe microscopy // Nonlin. Dyn. V. 20, 1999. P. 197 220.

106. Astashev V.K., Babitsky V.I. Ultrasonic Processes and Machines // Dynamics, Control and Applications. Springer, Berlin, 2007. 332 p.

107. Avsec Ju., Oblak M. Thermal vibrational analysis for simply supported beam and clamped beam //J. Sound and Vib. V. 308, 2007 P. 514-525.

108. Awrejcewicz J., Mrozowski J. Bifurcations and chaos of a particular van der Pol-Duffing oscillator //J- Sound Vibration. V. 132, 1989. P. 89-100.

109. Babitsky V.I. Theory of Vibro-Impact Systems and Applications, Springer, Berlin, 1998.

110. Bainov D.D., Hristova S.G. Existence of periodic solutions of nonlinear systems of differential equations with impulse effect //J. Math. Anal. Appl. V. 125, 1987, P. 192-202.

111. Bainov D.D., Simeonov P.S. Exponential stability of singularly perturbed systems with impulse effect //J. Math. Anal. Appl. V. 151, 1990, P. 462-487.

112. Bainov D. D, Simeonov P. S. On the asymptotic properties of the solutions of systems of differential equations with impulse effect //J. Math. Anal. Appl. V. 158, 1991, P. 1-14.

113. Bainov D.D., Simeonov P.S. Orbital stability of the periodic solutions of autonomous systems with impulse effect // Publ. Res. Inst. Math. Sci. V. 25, 1989. P. 321-346.

114. Banerjee S., Grebogi C. Border collision bifurcations in two-dimensional piecewise smooth maps // Phys. Rev. E. Vol. 59, 1999. P. 4052-4061.

115. Banerjee S., Ing J., Pavlovskaia E., Wiercigroch M. Experimental study of impact oscillator with one-sided elastic constraint // Phil Trans. R. Soc. A., 2008, V. 366, P. 679 704.

116. Banerjee S., Ing J., Pavlovskaia E., Wiercigroch M., Invisible grazings and dangerous bifurcations in impacting systems: The problem of narrow-band chaos // Phys. Rev. E 79 (3) (2009) 037201.

117. Banerjee S., Yorke J. A., Grebogi C. Robust chaos // Physical Review Letters. 1998. V. 80. no. 14. P. 3049-3052.

118. Bapat C. N. The general motion of an inclined impact damper with friction // J. Sound Vib. V. 184, 1995. no. 3. P. 417-427.

119. Barreto E., Casas F., Grebogi C., Kostelich E.J. Control of chaos: impact oscillators and targeting / Interaction Between Dynamics and Control in Advanced Mechanical Systems, Eindhoven 1996, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997, P. 17-26.

120. Batako A. D. L, Lalor M.J., Pnromen P. T. Numerical bifurcation analysis of a friction-driven vibro-impact system //J. Sound and Vib. V. 308, 2007. P. 392-404.

121. Bauer M., Habip S., He B. R., Martienssen W. New type of intermittency in discontinuous maps // Phys. Rev. Lett., V. 68, 1992, P. 1625-1629.

122. Benedicks M., Young L.-S. Absolutely continuous invariant measures and random perturbations for certain one-dimensional maps // Erg. Theory Dyn. Sys. V. 12, 1992. P. 13-37.

123. Berger B. S., Rokni M. Lyapunov exponents for discontinuous differential equations // Quaterly Appl. Math. V.48. 1990. P. 549-553.

124. BergerP. Persistence of stratifications of normally expanded laminations // Comptes Rendus de l'Acadademie de Sciences Paris, Serie I. V. 346, 2008, P. 767-772.

125. Bergman L.A., Kerschen G., McFarland D.M., Nucera F., Vakakis A. F. Targeted energy transfers in vibro-impact oscillators for seismic mitigation // Nonlinear Dyn. V. 50. 2007, P. 651-677.

126. Bentsman J., Miller B. M. The singularity opening approach to control of mechanical systems with constraints / 2nd IFAC Workshop on Lagrangian and Hamiltonian Methods for Nonlinear Control, Seville 2003. P. 293.

127. Binks D., Molenaar J., Van De Water W, De Weger J. Universal bifurcations in impact oscillators, in Interaction Between Dynamics and Control in Advanced Mechanical Systems, Eindhoven 1996, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht 1997, P. 417-424.

128. Bmnig G., Rohrer H., Gerber C., Weibel E. 1982 Tunneling through a controllable vacuum gap // Appl. Phys. Lett. V. 40, 1982. P. 178-180.

129. Bmnig G., Gerber C., Quate C. Atomic force microscope // Phys. Rev. Lett. V. 56, 1986. P. 930-933.

130. Birkhoff J. Nouvelles recherches sur les systèmes dynamiques // Memoiriae Pont. Acad. Sci. Novi Lincaei, sér. 3, V. 1, 1935, pp. 85-216.

131. Blank M. L. Metric properties of e trajectories of dynamical systems with stochastic behaviour // Erg. Theory Dyn. Syst. 1988. V. 8, no.3. P.365-378.

132. Blazejezyk-Okolewska B. Study of the impact oscillator with elastic coupling of masses // Chaos, Solitons and Fractals. V. 11, 2000. P. 2487-2492.

133. Blazejezyk-Okolewska B., Brindley J., Kapitaniak T. Practical riddling in mechanical systems // Chaos, Solitons and Fractals. V. 11, 2000. P. 2511-2514.

134. Blazejezyk-Okolewska B., Czolczynski K., Kapitaniak T. Determination of geometrical conditions of assembly and impacts in classified types of mechanical systems with impacts // European Journal of Mechanics, A-Solids, V. 24, 2005. no. 2. P. 277-291.

135. Bo Deng The Shil'nikov problem, exponential expansion, strong A-lemma, (^-linearization, and homoclinic bifurcation // J. Diff. Equations. V. 79, 1989, P. 189-231.

136. Bo Deng The transverse homoclinic dynamics and their bifurcations at nonhyperbolic fixed points // Translations of the American Mathematical Society. V.331, 1992, no.l. P. 15-53.

137. Boyland P. Dual billiards, twist maps and impact Mechanical Systems, Eindhoven 1996, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht oscillators // Nonlinearity. V. 9, 1996, P. 1411-1438; 1997, P. 417-424.

138. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics: Models, Dynamics and Control, (Lecture Notes in Control and Information Sciences), Berlin: Springer, 1996.

139. Budd C. J. Grazing in impact oscillators, lecture presented at the NATO advanced study institute on Real and Complex Dynamical Systems, Hillerod, Denmark 1993, Univ. of Bristol Research Reports AM-93-09, 1993.

140. Budd C. J. The global behaviour of impact oscillators, lecture presented at the NATO advanced study institute on Real and Complex Dynamical Systems, Hillerod, Denmark 1993, Univ. of Bristol Research Reports AM-93-09, 1993.

141. Budd C. J. Grazing in impact oscillators / Branner B. and Hjorth P. Real and Complex Dynamical Systems. Kluwer Academic Publishers, 1995. P. 47-64.

142. Budd C. J. Non-smooth dynamical systems and the grazing bifurcation / Nonlinear Mathematics and Its Applications, Guildford 1995, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1996, pp. 219—235.

143. Budd C. J, Dux F. Chattering and related behavior in impacting oscillators // Phil. Trans. Roy. Soc. 1994. V. 347. P. 365-389.

144. Budd C. J., Dux F. Intermittency in impact oscillators close to resonance // Nonlinearity, V. 7, 1994, P. 1191-1224.

145. Budd C., Dux F. Cliffe A. The effect of frequency and clearance variations on single-degree-of-freedom impact oscillators //J. Sound Vib. V. 184, 1995. no. 3. P. 475-502.

146. Budd C. J., Lamb H. Scaling of Lyapunov exponents at nonsmooth bifurcations // Phys. Rev. E. V. 50, 1994. P. 84-90.

147. Bunimovich L.A., Pesin Ya. G., Sinai Ya.G., Jacobson M.V. Ergodic theory of smooth dynamical systems. Modern problems of mathematics. Fundamental trends. V. 2. 1985. P. 113—231.

148. Burnham N.A., Kulik A. J., Gremaud G., Bnggs G.A.D. Nanosubharmonics: the dynamics of small nonlinear contacts // Phys. Rev. Lett. V. 74, 1995. P. 5092 5095.

149. Burns K., Wilkinson A. Dynamical Coherence and Center Bunching // Discrete and Continuous Dynamical Systems, V.22, 2008, 89 — 100.

150. Bunimovich L. A. On the Ergodic Properties of Nowhere Dispersing Billiards, // Commun. Math Phys, 65 (1979) pp. 295 312.

151. Buzzi J., Fisher T. Intrinsic ergodicity for certain nonhyperbolic robustly transitive systems. arXiv:0903.3692v3

152. Cao D. Q.; Shu Z. Z. Periodic motions and robust stability of vibrating systems with a clearance // Acta Mechanica Sinica. V. 29, 1997. no. 1. P. 74-83.

153. Cao Q. J., Wiercigroch M., Pavlovskaia E. E., Grebogi C., Thompson J. M. T. Archetypal oscillator for smooth and discontinuous dynamics // Phys. Rev. E, V. 74, 2006. 046218.

154. Carr J. Applications of center manifolds theory. Springer-Verlag, New-York, Heidelberg, Berlin, 1981. 160 p.

155. Cartwright M. L., Littlewood J. E. On the nonlinear equations of the second order: I. The equationy — k( 1 — y2)y + y = b\k cos(At + a), k large // J. London Math. Soc. V. 20, 1945. P. 180-189.

156. Cartwright M. L., Littlewood J. E. On the nonlinear equations of the second order: II. The equationy + kf(y)y + g(y, k) = p(t) = pi(t) + kp2(t) // Ann. Math. V. 48, 1947. P. 474-494; V. 50, 1949. P. 504-505.

157. Casas F., Chin W., Grebogi C., Ott E. Universal grazing bifurcations in impact oscillators // Phys. Rev. E. V. 53, 1996. P. 134-139.

158. Champneys A.R., Lord G. J. Computation of homoclinic solutions to periodic orbits in a reduced water-wave problem // Physica D, V. 102, no. 1-2. P. 101-124.

159. Champneys A.R., Rodrigez Luis A.J. The non-transverse Shil'nikov-Hopf bifurcation, uncoupling of homoclinic orbits and homoclinic tangencies // Physica D. V. 128, 1999, no. 2-4. P. 130158.

160. Chatterjee S., Mallik A. K. Bifurcations and chaos in autonomous self-excited oscillators with impact damping //J. Sound Vibration V. 191, 1996. P. 539-562.

161. Chernov N., Markarian R. Introduction to the ergodic theory of chaotic billiards. IMCA, Lima, 2001, 190pp.

162. Childs D. W. 1982, "Fractional-Frequency Rotor Motion Due to Non-Symmetric Clearance Effects Trans. ASME, J. Engng Power, Vol.104, pp. 533-541.

163. Chin W., Ott E., Nusse H.E., Grebogi C. Grazing bifurcations in impact oscillators // Phys. Rev. E. V. 50, 1994, P. 4427-4444.

164. Chin W., Ott E., Nusse H. E., Grebogi C. Universal behavior of impact oscillators near grazing incidence // Physics Letters A. 1995. V. 201. P. 197-204.

165. Choy F. K., Padovan J. Nonlinear Transient Analysis of Rotor-Casing Rub Events // J. Sound Vibr., Vol. 113, 1987. P. 529-545.

166. Chu F., Zhang Z. Periodic, Quasi-Periodic and Chaotic Vibrations of a Rub-Impact Rotor System Supported on Oil Film Bearing, International Journal of Engineering Sciences, Vol. 35, 1997. P. 963-973.

167. Chu F., Zhang Z. Bifurcation and Chaos in a Rub-Impact Jeffcott rotor system // J. Sound Vibr., Vol.210, 1998. P. 1-18.

168. CicognaG., Santoprete M. Nonhyperbolic homoclinie chaos // Phys. Let. A. V. 256, 1999, P. 25-30.

169. Ciraci S. Tekman E., Baratoff A., Batra I.P. Theoretical study of short-range and long-range forces and atom transfer in scanning force microscopy // Phys. Rev. B. V.46, 1992, no. 10. P. 411-422.

170. Cveticanin L. Oscillator with fraction order restoring force //J. Sound and Vib. V. 320, 2009, P. 1064-1077.

171. Czolczynski K., Blazejczyk-Okolewska B., Kapitaniak T. Impact force generator: self-synchronization and regularity of motion // Chaos, Solitons and Fractals. V. 11, 2000. P. 2505-2510.

172. Dankowicz H., Jerrelind D. Control of near-grazing dynamics in impact oscillators // Proc. R. Soc. A 8 November 2005, V. 461 no. 2063. P. 3365-3380.

173. Dankowicz H., Nordmark A. B. On the origin and bifurcations of stickslip oscillations // Physica D. V. 136, 2000. P. 280-302.

174. Dankowicz H., Piiroinen P. Exploiting discontinuities for stabilization of recurrent motion // Dyn. Syst. V. 17, 2002. P. 317-342.

175. Dankowicz H., Piiroinen P., Nordmark A. B. Low-velocity impacts of quasiperiodic oscillations. // Chaos, Solitons, Fractals. V. 14, 2002. P. 241-255.

176. Dankowicz H., Zhao X. Characterization of intermittent contact in tapping mode atomic force microscopy. //J. Comput. Nonlin. Dyn. V. 1, 2006. P. 1-7.

177. Dankowicz H., Zhao X. Unfolding degenerate grazing dynamics in impact actuators // Nonlinearity V. 19. 2006. P. 399-418.

178. Dankowicz H., Zhao X. Local analysis of co-dimension-one and co-dimension-two grazing bifurcations in impact microactuators. Physica D. V. 202, 2005. P. 238-257.

179. Davis MKoenders M. A. Oscillated densely packed granular media immersed in a fluid // J. of Sound and Vib. V. 308, 2007. P. 526-540.

180. Derjagum B.V., Muller V.M., Toporov Y.P. Effect of contact deformations on the adhesion of particles //J. Colloid Interface Sci. V. 53, 1975. P. 314-326.

181. Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1987. 336 p.

182. Diamond P., Kloeden V., Krasnosel'skij M.and Prokovskii A. Robustness of dynamical systems to a class of nonsmooth perturbations // Nonlinear Anal. V. 26, 1996. R 351-361.

183. DiazL. J. Persistence of cycles and hyperbolic dynamics at heteroclinic bifurcations // Nonlinearity 8 (1995), P. 693 713.

184. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. Stochastic and/or chaotic response of a vibration system to imperfectly periodic sinusoidal excitation // Int. J. Bifurcation and chaos. V. 15, 2005. no. 6. P. 2057-2061.

185. Doelman A., Verhulst F. Bifurcations of strongly nonlinear self-excited oscillations // Math. Methods Appl. Sci. V. 17, 1994. P. 189-207.

186. Dolgopyat D., Chernov N. Particle's drift in self-similar billiards, Ergodic Theory and Dynamical Systems. V. 28, 2008. P. 389-403.

187. Dumitru I., Marsavina L., Faur N. Experimental study of torsional impact fatigue of shafts // J. Sound and Vib. V. 308. 2007. P: 479-488.

188. Ehrich F. F. Spontaneous Sidebanding in High-Speed Rotordynamics // Trans. ASME, J. Vibr. Acoust., Vol. 114, 1992. P. 498-505.

189. Feckan M. Ordinary differential equations with discontinuous nonlinearities // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena V.41, 1993. P. 431-444.

190. Feeny B. Non-smooth Coulomb Friction Oscillator // Physica D, Vol. 59, 1992. P. 25-38.

191. Foale S, Bishop S. R. Dynamical complexities of forced impacting systems // Phil. Trans. Royal Society of London. V. 338(A), 1992. P. 547-556.

192. Fredriksson M.H., Borglund D., Nordmark A.B. Experiments on theonset of impacting motion using a pipe conveying fluid // Nonlin. Dyn. V. 19, 1999, P. 261-271.

193. Fujita H., Dai K., Mita M., Tensaka, S. 2004 Electrostatic impact driving microactuator. United States Patent no.: UC 6,774533 B2.

194. Ganesan, R. Dynamic Response and Stability of a Rotor-Support System with Non-Symmetric Bearing Clearances // Mechanism Machine Theory, Vol.31, 1996. P. 781-798.

195. Garcia R., Perez R. Dynamic atomic force microscopy methods // Surf. Sci. Rep. V. 47, 2002, P. 197-301.

196. Garcia R., San Paulo A. Attractive and repulsive tip-sample interaction regimes in tapping-mode atomic force microscopy // Phys. Rev. B. V.60, 1999. P. 4961-4967.

197. Garcia R., San Paulo A. Dynamics of a vibrating tip near or in intermittent contact with a surface. // Phys. Rev. B. V. 61, 2000. P. 381 384.

198. Gastaldi F., Monteiro Marques M.D.P., Martins, J.A.C. A two-degree-of-freedom quasistatic contact problem with viscous damping // Adv. Math. Sci. Appl. V.5, 1995. P. 421-455.

199. Gendelman O.V., Manevitch L.I. Reflection of short rectangular pulses in the ideal string attached to strongly nonlinear oscillator // Chaos, Solitons and Fractals V. 11, 2000. P. 2473-2477.

200. Giessibl F.J. Advances in atomic force microscopy / / Rev. Mod. Phys. V. 75, 2003, P. 949 983.

201. Gleyzes P., Kuo P. K., Boccara A. C. Bistable behavior of a vibrating tip near a solid surface // Appl. Phys. Lett. V. 58, 1991. P. 2989 -2991.

202. Glocker Ch., Pfeiffer F. Multiple impacts with friction in rigid multibody systems // Nonlinear Dynamics, V. 7 1995, P. 471—497.

203. Gonehenko M.S., Gonchenko S. V. On cascades of elliptic periodic points m two-dimensional symplectic maps with homoclinic tangencies // Regular and Chaotic Dynamics. V. 14, 2009, no. 1. P. 116-136.

204. Gonchenko S. V., Shil'mkov L.P. On two-dimensional area preserving mappings with homoclinic tangencies that have infinitely many generic elliptic periodic points // Zapiski POMI V.300, 2003. P. 155-166.

205. Gonchenko S. V., ShiVnikov L. P., Sten'kin O. V., Turaev D. V. Bifurcations of Systems with Structurally Unstable Homoclinic Orbits and Moduli ^-Equivalence // Computer Mathematics and Applications. V. 34, 1997, no. 24. P. 111-142.

206. Gonchenko S. V., ShiVnikov L. P., Turaev D. V. Quasiattractors and Homoclinic Tangencies // Computers Mathematics and Applications. V. 34, 1997, no. 2-4. P. 195-227.

207. Gonchenko S. V., ShiVnikov L. P., Turaev D. V. Homoclinic tangencies of arbitrary order in conservative two-dimensional mappings // Dokl. Akad. Nauk. V. 407, 2006, no. 3. P. 299-303.

208. Gonsalves D.H., Neilson R.D., Barr A.D.S. A Study of Response of a Discontinuously Nonlinear Rotor System // Nonlinear Dynamics, Vol.7, 1995. P. 451-470.

209. Gontier C., Toulemonde C. Approach to the periodic and chaotic behaviour of the impact oscillator by a continuation method // European J. Mech. A. Solids. V. 16, 1997. P. 141-163.

210. Goodman F. O, Garcia N. Roles of the attractive and repulsive forces in atomic-force microscopy // Phys. Rev. B. V. 43, 1991, P. 4728 — 4731.

211. Gorbikov S.P. Men'shenina A. V. Statistical description of the limiting set for chaotic motion of the vibro-impact system // Automation and remote control, V. 68, 2007, No. 10, P. 1794-1800.

212. Gorelyshev I.V., Neishtadt A.I. Jump in adiabatic invariant at a transition between modes of motion for systems with impacts // Nonlinearity. 2008. V.21. P. 661-676.

213. Gorodetski A., Kaloshin V. How often surface diffeomorphisms exhibit infinite number of sinks // Advances in Mathematics. V. 208, 2007, P. 710-797.

214. Grabec I. Chaotic Dynamics of the Cutting Process // Int. J. Mach. Tools Manufact., Vol.28, 1988. P. 19-32.

215. Grebogi C., Pavlovskaia E., Wiercigroch M. Modeling of an impact system with a drift. // Physical Review E, 2001, V. 64 056224.

216. Grigas V., Tolocka R. T., Ziliukas P. Dynamic interaction of fingertip skin and pin of tactile device // J. of Sound and Vib. V. 308. 2007. P. 447-457.

217. Haberman R. Slow Passage through the Nonhyperbolic Homoclinic Orbit Associated with a Subcritical Pitchfork Bifurcation for Hamiltonian Systems and the Change in Action // SIAM Journal of Applied Mathematics. V. 62, 2001, no 2. P. 488-513.

218. Halse C., Homer T. M., di Bernardo M. C-bifurcations and period-adding in one-dimensional piecewise smooth maps // Chaos, Solitons and Fractals. V. 18, 2003. no. 5. P. 953-976.

219. Hammel S.M., Yorke J. A., Grebogi C. Numerical orbits of chaotic processes represent true orbits // Bull. AMS. 1988. V. 19, no. 2.P. 465-469.

220. Han P. R. S., Luo A. C. J. Chaotic motion of a horizontal impact pair // J. Sound Vib. V. 181, 1995. no. 2. P. 231-250.

221. Hastings W. F., Mathew P., Oxley P. L. B. A Machining Theory for Predicting Chip Geometry, Cutting Forces, etc., from Material Properties and Cutting Conditions // Proc. R. Soc. Lond. A, Vol.371, 1980. P. 569-587.

222. Heiman M.S., Bajaj A. K., Sherman P. J. Periodic motions and bifurcations in dynamics of an inclined impact pair //J. Sound Vib. V. 124, 1988. no. 1. P. 55-78.

223. Hejmo W. Sensitivity to switching-function variations in a timeoptimal positional system // Internat. J. Control. V. 39, 1984, P. 19-30.

224. Hemsel T., Stroop R., Oliva Uribe D., Wallaschek J. Resonant vibrating sensors for tactile tissue differentiation // J. Sound and Vib. V. 308. 2007. P. 441-446.

225. Hmdmarsh D., Jefferies D.J. On the motions of the offset impact oscillator // J.Phys A: Math. Gen. V. 17, 1984. P. 1791-1803.

226. Hinrichs N., Oestreich M., Popp K. Dynamics of oscillators with impact and friction //J. Chaos, Solitons and Fractals, Special issue: Nonlinearities in applied engineering systems, 1996.

227. Hirsch M. W, Pugh C. C., Shub M. Invariant Manifolds, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg, 1977. 154 pp.

228. Hoffmann P.M., Oral A., Grimble R.A., Ozer H.O., Jeffery S., Pethica J. B. 2001 Direct measurement of interatomic force gradients using an ultra-low amplitude AFM. Proc. R. Soc. A. V.457, 2001. P. 1161.

229. Holmes P. J. The dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table // J. Sound. Vib. V. 84, 1982. P. 173-189.

230. Holmes P. J. Poincare, celestial mechanics, dynamical systems theory and "chaos". // Phys. Reports, V. 193, 1990, no.3. P. 137-163.

231. Hu H. Y. Controlling chaos of a periodically forced nonsmooth mechanical system // Acta Mechanica Sinica, V. 11. 1995. no. 3, P. 251-258.

232. Hu S. Differential equations with discontinuous right-hand sides //J. Math. Anal. Appl. V. 154, 1991, P. 377-390.

233. Ing J. Near grazing dynamics of piecewise linear oscillators, Ph.D. Thesis, University of Aberdeen, 2008.

234. Ing J., Pavlovskaia E., Wiercigroch M., Dynamics of a nearly symmetrical piecewise linear oscillator close to grazing incidence: Modelling and experimental verification // Nonlinear Dyn. Vol.46, 2006. P. 225-238.

235. Ing J., Pavlovskaia E., Wiercigroch M., Banerjee S. Experimental study of impact oscillator with one-sided elastic constraint // Phil. Trans. R. Soc. Vol.366, 2008. P. 679-704.

236. Ing J., Pavlovskaia E., Wiercigroch M., Banerjee S. Bifurcation analysis of an impact oscillator with a one-sided elastic constraint near grazing // Physica D. V. 239 (2010) no. 3. P.312-321.

237. Ivanov A. P. Stabilization of an impact oscillator near grazing incidence owing to resonance //J. Sound Vib. V. 162, 1993. No 3. P. 562-565.

238. Ivanov A. P. Bifurcations in impact systems // Chaos, Solitons and Fractals V.7, no. 10, 1996. P. 1615-1634.

239. Jalili N., Laxminarayana K. A review of atomic force microscopy imaging systems: application to molecular metrology and biological sciences // Mechatronics. V. 14, P. 907-945.

240. Jerrelind J., Stensson A. Nonlinear dynamics of parts in engineering systems // Chaos, Solitons and Fractals V. 11, 2000. P. 2413-2428.

241. Jin D. P., Hu H. Y. Periodic vibro-impacts and stability of a dual component system // Acta Mechanism Sinica, V. 13, 1997. no. 4. P. 366-376.

242. Johnsona A. A., Storey R.J. The impact fatigue properties of iron and steel //J. Sound and Vibration V. 308, 2007. P. 458-466.

243. Kahraman A., Singh R. Non-linear dynamics of a geared rotor-bearing system with multiple clearances // J.Sound Vib. V. 144, 1991. no. 3. P. 469-506.

244. Karpenko E. V., Wiercigroch M., Cartmell M. P. Regular and Chaotic Dynamics of a Discontinuously Nonlinear Rotor System // Chaos, Solitons and Fractals, Vol.13, 2002. P. 1231-1242.

245. Karpenko E. V., Wiercigroch M., Pavlovskaia E.E., Cartmell M. P. Piecewise approximate analytical solutions for a Jeffcott rotor with a snubber ring // Int. J. Mech. Sci. V. 44, 2002. no. 3. P. 475-488.

246. Karpenko E.V., Pavlovskaia E.E., Wiercigroch M. Bifurcation Analysis of a Preloaded Jeffcott Rotor // Chaos, Solitons and Fractals, Vol.15, 2003. P. 407-416.

247. Karpenko E. V. Nonlinear Dynamics of a Jeffcott Rotor with Imperfections. PhD thesis. University of Aberdeen. 2003.

248. Karpenko E. V., Wiercigroch M., Pavlovskaia E. E., Neilson R. D. Experimental verification of Jeffcott rotor model with preloaded snubber ring // J. Sound Vib. V. 298, 2006. no. 4-5. P. 907-917.

249. Katok A., Strelcyn J.-M. Invariant Manifolds, Entropy and Billiards; Smooth Maps with Singularities. Springer-Verlag. 1986, 183 p.

250. Keller G. Stochastic stability in some chaotic dynamical systems // Mh. Math. 1982. V. 94. P. 313-333.

251. Kelley A. The Stable, Center Stable, Center, Center Unstable, Unstable Manifolds // J. Diff. Equations. V. 3, 1967, no.3. P. 546-570.

252. Krivtsov A. M, Wiercigroch M. Dry Friction Model of Percussive Drilling // Meccanica Vol.34, 1999. P. 425-434.

253. Krivtsov A. M., Wiercigroch M. Penetration Rate Prediction for Percussive Drilling via Dry Friction Model // Chaos, Solitons and Fractals, Vol.11, pp. 2000. P. 2479-2485.

254. Kryzhevich S. G., Pliss V. A. Chaotic oscillations of a vibroimpact system / International Conference "Differential equations and related topics dedicated to I.G.Petrovskii. Abstracts (Moscow, May 16 — 22, 2004).

255. Kryzhevich S. G. Chaotic and Periodic Regimes in Single Degree of Freedom Systems / The Fourth International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Moscow, August 14 21, 2005), P. 54.

256. Kryzhevich S. G. Invariant sets of dynamical systems with impacts. / Международная конференция "Еругинские чтения XII Минск, Беларусь. 16 — 19 мая 2007 г. Тезисы. С. 26 — 27.

257. Kryzhevich S. G. On grazing bifurcation of vibro-impact systems / Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященная И.Г.Петровскому. Москва, 21 — 26 мая 2007 г. С. 165.

258. Kryzhevich S. G. Chaotic Invariant Structures in Nonhyperbolic Dynamical Systems // International Conference-(ICFMA-2008) the University of Burdwan, Burdwan, west Bengal, India. 2008. Abstracts. P. 3 4.

259. Kryzhevich S. G. Weakly Hyperbolic Chaotic Sets. The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Moscow, August 17 24, 2008), Abstracts, P. 39.

260. Kryzhevich S. G. Persistence of invariant sets of vibro-impact systems // Journal of the Calcutta Mathematical Society. 2005, V. 2, no. 2. P. 25-31.

261. Kunze M., Kiipper T., You J. On the application of KAM theory to discontinuous dynamical systems //J. Differential Equations, V. 139, 1997, P. 1-21.

262. Laghdir M., Monteiro Marques M.D.P. Motion of a particle submitted to dry friction and to normal percussions // Portugal. Math. V. 52, 1995, P. 227-239.

263. Laghdir M., Monteiro Marques M. D. P. Dynamics of a particle with damping, friction, and percussional effects //J. Math. Anal. Appl. V. 196, 1995. P. 902-920.

264. Lamb H. Impacting Oscillators and Non-Smooth Dynamical Systems, Ph.D.thesis, University of Bristol, 1993.

265. Lamb H. Chaotic, regular and unbounded behaviour in the elastic impact oscillator, Phys. D. V. 82, 1995. P. 117-135.

266. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Edited by F. Pfeiffer and P. Wriggers. Vol. 1: Glocker C. Set-Valued Force Laws: Dynamics of Non-Smooth Systems. 222 p. 2001.

267. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Edited by F. Pfeiffer and P. Wriggers. Vol. 18: Leme R. I., Nijmeijer H. Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems 236 p. 2004.

268. Lee J. Y., Yan J. J. Control of impact oscillator // Chaos Solitons and Fractals. V. 28, 2006. no. 1. P. 136-142.

269. Lee S.I., Howell S.W., Raman A., Reifenberger R. Nonlinear dynamics of microcantilevers in tapping mode atomic forcemicroscopy: a comparison between theory and experiment // Phys. Rev. B. V. 66, 2002. P. 115-409.

270. Leine R. I., Van Campen D. H., Van de Vrande B. L. Bifurcations in nonlinear discontinuous systems // Nonlinear Dynamics. 2000. V. 23. P. 105-164.

271. Leonov G.A., Ponomarenko D. VSmirnova V B. Local Instability and Localization of Attractors. From Stochastic Generator to Chua's Systems // Acta Applicandae Mathematicae. 1995. V. 40. P. 179-243.

272. Lend S., Reg a G. Periodic solutions and bifurcations in an impact inverted pendulum under impulsive excitation // Chaos, Solitons and Fractals V. 11, 2000. P. 2453-2472.

273. Li G. X., Rand R. H., Moon F. C. Bifurcations and chaos in a forced zero-stiffness impact oscillator // Internat. J. Non-Linear Mech. V. 25, 1990. P. 417-432.

274. Li Q. H., Lu Q. S. Analysis of motions of two-degrees of freedom vibro-impact system // Acta Mechanica Sinica V. 33, No 6., 2001., P. 776—786 (Chinese, English summary).

275. Li T. Y., Yorke J. A. Period three implies chaos // Amer. Math. Monthly. 1975. V. 82. P. 49-68.

276. Liu G., Parker R. G. Impact of tooth friction and its bending effect on gear dynamics // J. Sound Vib. V. 320, 2009. P. 1039-1063.

277. Lenci S., Rega G. Periodic solutions and bifurcations in an impact inverted pendulum under impulsive excitation // Chaos, Solitons and Fractals V. 11, 2000. P. 2453-2472.

278. Lewowicz J. Lyapunov functions and topological stability //J. Diff. Equations. V. 38, 1980. P. 192-209.

279. Liu S.-Y., Yu X., Zhu S.-L. Study on the chaos anti-control technology in nonlinear vibration isolation system //J. Sound Vib. V. 310, 2008. P. 855-864.

280. Long X.-H., Lin G., Balachandran B. Grazing bifurcations in an elastic structure excited by harmonic impactor motions // Physica D. V. 237, 2008. no. 8. P. 1129-1138.

281. Los J. E. Non-normally hyperbolic invariant curves for maps in R3 and doubling bifurcation // Nonlinearity. V. 2, 1989, no. 1. P. 149-174.

282. Luo A. G.J. Period-doubling induced chaotic motion in the LR model of a horizontal impact oscillator // Chaos, Solitons and Fractals. V. 19, 2004. P. 823-839.

283. Luo A. C.J. Grazing and chaos in a periodically forced, piecewise linear system //J. Vibration and Acoustics. V. 128, 2006. P. 28-34.

284. Luo A. C. J., Chen L. Periodic motions and grazing in a harmonically forced, piecewise, linear oscillator with impacts // Chaos, Solitons and Fractals. V. 24, 2005. no. 2. P. 567-578.

285. Luo A. C. J., Gegg B. C. Stick and non-stick periodic motions in periodically forced oscillators with dry friction //J. Sound Vib. V. 291, 2006. no. 1-2. P. 132-168.

286. Luo G. W., Yao H.M. Dynamics of a small vibro-impact pile driver // Nonlin. Anal.: Real World Applications. V. 9, 2008. no. 4. P. 1361-1377.

287. Luo G. W., Yu J. N., Yao H. M.; Xie J. H. Periodic-impact motions and bifurcations of the vibratory system with a clearance // Chinese Journal of Mechanical Engineering. V. 42, 2006. P. 88-94.

288. Lütstedt P. Time-dependent contact problems in rigid body mechanics / Nondifferential and Variational Techniques in Optimization, Lexington, Ky., 1980, Math. Programming Stud. 1982. P. 103-110.

289. Ma Y., Agrawal M., Banerjee S. Border collision bifurcations in a soft impact system // Phys. Let. A. V. 354, no. 4, 2006, P. 281-287.

290. Ma Y., Ing J., Banerjee S., Pavlovskaia E., Wiercigroch M. The nature of the normal form map for soft impacting systems // Internat. J. Nonlinear Mech. Vol. 43, no. 6, 2008. P. 504-513.

291. Mañe R. Contributions to the stability conjecture // Topology V. 17, 1978. P. 383-396.

292. MarsdenJ.E., McCrackenM. The Hopf bifurcation and its applications. Springer -Verlag, New York, 1976, xiii + 408 pp.

293. Mason J., Homer M., Wilson R. E. Mathematical models of gear rattle in Roots blower vacuum pumps //J. Sound and Vib. V. 308, 2007. P. 431-440.

294. Masri S. F. Forced vibration of a class of non-linear two-degree-of-freedom oscillators // Int. J. Nonlin. Mech. V. 7, 1972. P663 674.

295. Masri S. F., Ibrahim A. M. Stochastic excitation of a simple system with impact damper // Earthquake engineering and structural dynamics. V. 1, 1973. P. 337 346.

296. Matrosov V.M. Attraction and stability in discontinuous systems / Differential Equations: Qualitative Theory, Szeged 1984, North-Holland Publ., Amsterdam-New York 1987. P. 751-770.

297. Meijaard J. P., de Pater A.D. Railway vehicle systems dynamics and chaotic vibrations // Int. J. Non-Lin. Mech. V. 24, 1989. no. 1. P. 1-17.

298. Merchant M. E. Mechanics of Metal Cutting Process. Part I. Orthogonal Cutting and a Type-2 Chip //J. Appl. Phys., Vol.16, 1945. P. 267-275.

299. Miller B. M., Bentsman J. The singularity opening approach to control of mechanical systems with constraints / 2nd IFAC Workshop on Lagrangian and Hamiltonian Methods for Nonlinear Control, Seville, 2003. P. 293-298.

300. Molenaar J., van de Water W., de Weger J. Grazing impact oscillations // Physical Review E Volume 62, No. 2, August 2000. P. 2030 2041.

301. Moreau J.-J. Nonsmooth Mechanics and Applications, CISM lectures, Springer, Berlin-New York, 1988.

302. Murphy K.D., Morrison T.M. Grazing instabilities and postbifurcation behavior in an impacting string //J. Acoustical Society of America, V. Ill, 2002. no. 2. P. 884-892.

303. Muszynska A., Goldman P. Chaotic Responses of Unbalanced Rotor/Bearing/Stator Systems with Looseness or Rubs // Chaos, Solitons and Fractals, Vol.5, 1995. P. 1683-1704.

304. Miiller P. C. Calculation of Lyapunov exponents for dynamic systems with discontinuities // Chaos, Solitons and Fractals V. 5, 1995. P. 1671-1681.

305. Newhouse S. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. V. 13, 1974. P. 9-18.

306. Nguyen D. T., Noah S. T., Kettleborough C. F. Impact behavior of an oscillator with limiting stops. Part I: A Parametric Study //J. Sound Vib. 1986. V. 109. no. 2. P. 293-307.

307. Nguyen V. D., Woo K. C. Nonlinear dynamic responses of new electro-vibroimpact system // J. Sound Vib. V. 310, 2008. P. 769-775.

308. Nordmark A. B. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator // J. Sound Vib. 1991. V. 145. no. 2. P. 279-297.

309. Nordmark A. B. Effects due to low velocity impact in mechanical oscillators // Int. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. V. 2, 1992, P. 597-605.

310. Nordmark A.B. Universal limit mapping in grazing bifurcations // Phys. Rev. E. V. 55, 1997. P. 266-270.

311. Nusse H.E., Ott E., Yorke J. A. Border-collision bifurcations: An explanation for observed bifurcation phenomena // Physical Review E. 1994. V. 49. P. 1073-1076.

312. Nusse H.E., Yorke J. A. Is every approximate trajectory of some process near an exact trajectory of a nearby process? // Comm. Math. Phys. 1998, V. 114? no. 3. P. 363-379.

313. Osinga H.M., Szalai R. Unstable manifolds of a limit cycle near grazing // Nonlinearity V. 21, 2008 P. 273-284.

314. Palis J., Takens F. Hyperbolicity and sensitive chaotic dynamics at homoclinic bifurcations. Cambridge University Press. Cambridge. 1993.

315. Paoli L., Schatzman M. Resonance in impact problems // Math. Comput. Modelling. 1998. V. 28. no. 4-8. P. 385-406.

316. Pavlovskaia E.E., Karpenko E. V. Wiereigroch M. Non-linear dynamic interactions of a Jeffcott rotor with preloaded snubber ring // J. Sound Vib. V. 276, 2004. P. 361-379.

317. Pavlovskaia E. E., Wiercigroch M. Periodic Solutions Finder for Vibro-Impact Oscillator with a Drift //J. Sound Vibr, Vol. 267. no. 4, 2003. P. 893-911.

318. Pavlovskaia E. E., Wiercigroch M. Modelling of vibro-impact system driven by beat frequency // Int. J. Mech. Sei. V. 45, 2003. P. 623-641.

319. Pavlovskaia E., M. Wiercigroch M. Low-dimensional maps for piecewise smooth oscillators // Journal of Sound and Vibration 2007, V. 305 P. 750-771.

320. Pavlovskaia E., Wiercigroch M., Grebogi C. Two-dimensional map for impact oscillator with drift // Physical Review E, 2004, V. 70, 036201.

321. Pavlovskaia E.E., Wiercigroch M., Woo K.-C., Rodger A.A. Modelling of Ground Moling Dynamics by an Impact Oscillator with a Frictional Slider // Meccanica, Vol.38, 2003. P. 85-97.

322. Perez R., Stich Y., Payne M., Terakura K. Surfaceljtip interactions in noncontact atomic-force microscopy on reactive surfaces: Si(lll) // Phys. Rev. B. V. 58, 1998. no. 10. P. 835849.

323. Perron O. Uber Stabiiitat und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen // Math. Z., 29, 1929. P. 129-160.

324. Pesm Ya. B. Lectures on partial hyperbolicity and stable ergodicity // Zurich Lectures in Advanced Mathematics (9783037190036) 2006.

325. Peterka F. Laws of impact motion of mechanical systems with one degree of freedom // Acta Technika CSAV, 1974, no. 5-6. P. 1-11.

326. Peterka F. Bifurcations and transition phenomena in an impact oscillator in non-linear dynamics and chaos in mechanical systems // Chaos, Solitons and Fractals. V. 7, no. 10, 1996. P. 1635-1647.

327. Peterka F., Kotera T., Cipera S. Explanation of appearance and characteristics of intermittency chaos of the impact oscillator // Chaos, Solitons and Fractals. V. 19, 2004. no. 5. P. 1251-1259.

328. Peterka F., Vacik J. Transition to chaotic motion in mechanical systems with impacts // J. Sound Vib. V. 154, 1992. P. 95-115.

329. Pfeiffer F. Dynamical systems with time-varying or unsteady structure // Z. Angew. Math. Mech. V.71, 1991. P. T6-T22.

330. Pinnington, R. J. Collision dynamics of two adjacent oscillators //J. Sound and Vib. 2003, V. 268, No 2. P.343-360.

331. Pliss V. A. Approximation dynamics and the stability of invariant sets // J. Diff. Equations. V. 149, 1998, P. 1-51.

332. Pliss V.A., Sell G.R. Approximation dynamics and the stability of invariant sets // J. Diff. Equations. V. 149, 1998. P. 1-51.

333. Potthast C., Twiefel J., Wallaschek J. Modelling approaches for an ultrasonic percussion drill //J. Sound and Vib. V. 308, 2007. P. 405-417.

334. Pugh C., Shub M. Stably ergodic dynamical systems and partial hyperbolicity, J. Complexity, V. 13, 1997, P. 125 179.

335. PujalsE.R., Sambarino M. Homoclinic Bifurcations Dominated Splitting, and Robust transitivity / In Handbook of Dynamical Systems (Edited by Katok A. and Hasselblatt B.) Elsevier. 2006.

336. Qumn D. D. The dynamics of two parametrically excited pendula with impacts // Int. J. Bifurcation and chaos. V. 15, 2005. no. 6., P. 1975-1988.

337. Quinn D. D., Bairavarasu K. Near-simultaneous impacts // Int. J. of Impact Engineering, V. 32, 2006. no. 6. P. 889-904.

338. Radmacher M., Tillman R. W., Fritz M., Gaub H. E. From molecules to cells: imaging soft samples with the atomic force microscope // Science. V. 257, 1992. P. 1900-1905.

339. Reinfelds A. A reduction principle for discrete dynamical and semidynamical systems in metric spaces // Z. Agnew Math. Phys. 1994. V. 45, No 6. P. 933-955.

340. Rutzel S., Lee S.-I., Raman A. Nonlinear dynamics of atomic-force-microscope probes driven in Lennard-Jones potentials // Proc. R. Soc. A. V. 459, 2003. P. 1925-1948.

341. Sand D., Ruskell T.G., Workman R.K., Chen D. Driven nonlinear atomic force microscopy cantilevers: from noncontact to tapping modes of operation // J. Vac. Sci. Technol. B. V. 14, 1996. P. 864 867.

342. Schneider E., Popp K., Irretier H. Noise generation in railway wheels due to rail-wheel contact forces //J. Sound Vibration V. 120, 1988, P. 227-244.

343. Schatzman M. Uniqueness and continuous dependence on data for one-dimensional impact problem // Math. Comput. Modelling. 1998. V. 28. no. 4-8, P.l-18.

344. Sebastian A., Salapaka M. V.} Chen D. J., Cleveland J. P. Harmonic and power balance tools for tapping-mode atomic force microscope // J. Appl. Phys. V. 89. 2001. P. 64731^-6480.

345. Sharma A., Ananthkrishnan N. Large-amplitude limit cycles via a homoclinic bifurcation mechanism //J. Sound Vib. 2000. V. 236. no. 4. P. 725-729.

346. Shaw S. W. The dynamics of a harmonically excited system having rigid amplitude constraints. I. Subharmonic motions and local bifurcations // Trans. ASME Ser. E, J. Appl. Mech. V. 52, 1985. P. 453-458.

347. Shaw S. W. The Dynamics of a Harmonically Excited System Having Rigid Amplitude Constrains. Part 2: Chaotic Motions and Global Bifurcations // Journal of Applied Mechanics. June 1985, V. 52. P. 459-464.

348. Shaw S. W. Forced vibrations of a beam with one-sided amplitude constraint: theory and experiment //J. Sound Vib. V. 99, 1985. P. 199-212.

349. Shaw S. W., Holmes P. J. A periodically forced piecewise linear oscillator // J. Sound Vib. 1983. V. 90. no. 1. P. 129-155.

350. Shaw S. W., Holmes P. J. A periodically forced impact oscillator with large dissipation //J. Appl. Mech. V. 50, 1983. P. 849-857.

351. Shaw S. W., Holmes P. J. Periodically forced linear oscillator with impacts: Chaos and long-period motions // Phys. Rev. Let. V. 51, 1983. no. 8. P. 623-626.

352. Shaw S. W., Rand R. H. The transition to chaos in a simple mechanical system // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1989. V. 24. no. 1. P. 41-56.

353. Shil'nikov L. P., Turaev D. V. An example of a wild strange attractor 11 Sbornik : Mathematics V. 189, 1998, no. 2-4. P. 291-314.

354. Shub M. Global Stability of Dynamical Systems. Springer-Verlag, New York, 1987. 168 pp.

355. Sikora J., Bogacz R. On dynamics of several degrees of freedom // Z. Angew. Math. Mech. V. 73, 1993. P. T118-T122.

356. Sokolov I. J., Babitsky V. I., Halliwell N. A. Autoresonant vibro-impact system with electromagnetic excitation // J. Sound Vib. V. 308, 2007. P. 375-391.

357. Stefanski A. Estimation of the largest Lyapunov exponent in systems with impacts // Chaos, Solitons and Fractals V. 11, 2000 P. 2443-2451.

358. Stewart D. E. A high accuracy method for solving ODE's with discontinuous right-hand side // Numer. Mathem. V. 58, 1990. P. 299-328.

359. Stewart D. E. High accuracy numerical methods for ordinary differential equations with discontinuous right-hand side // Bull. Austral. Math. Soc. V. 42, 1990. P. 169-170.

360. Stewart D. E., Trinkle J. C. Dynamics, friction, and complementarity problems / Complementarity and Variational Problems, Baltimore 1995, SIAM, Philadelphia 1997. P. 425-439.

361. Stewart D. E., Trinkle J. C. An implicit time-stepping scheme for rigid body dynamics with inelastic collisions and Coulomb friction // Int. J. Numer. Methods Engrg. V. 39, 1996, P. 2673-2691.

362. Straughan B. Explosive Instabilities in Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. 1998, IX, 196 pp.

363. Sun T., Hu H. Y. Nonlinear dynamics of a planetary gear system with multiple clearances // Mechanics and Machine Theory. V. 38, 2003. no. 12. P. 1371-1390.

364. Sung O.K., Yu W. S. Dynamics of harmonically excited impact damper: bifurcations and chaotic motion //J- Sound Vib. V. 158, 1992. no. 2, P. 317-329.

365. Tangasawi 0., Theodossiades S., Rahnejat H. Lightly loaded lubricated impacts: Idle gear rattle //J. Sound and Vib. V. 308, 2007. P 418-430.

366. Thomson J. M. T., Ghaffari R. Chaos after period-doubling bifurcations in the resonance of an impact oscillator // Physics Letters. V. 91A, no. 1, 1982, P. 5-8.

367. Thomson J. M. T., Ghaffari R. Chaotic dynamics of an impact oscillator // Phys. Rew. A, V. 27, no. 3.

368. Tlusty, J. Dynamics of High Speed Milling // Trans. AMSE J. Engng Industry, Vol.108, 1986. P. 59-67.

369. Todd M. D., Virgin L. N. An experimental impact oscillator // Chaos Solitons and Fractals Vol. 8, 1997. P. 699-715.

370. Tolosa J. The Method of Lyapunov Functions of Two Variables // Contemporary Mathematics. V. 440, 2007. P. 243-271.

371. VasiUeva E. V. On the stability of Periodic Points in the Neighborhoods of Homoclinic Points // Doklady Mathematics 71 (2005). no. 1. P. 29-30.

372. Veluswami M. A., Crossley R. F. E. Multiple impacts of a ball between two plates. P. I: Some experimental observations // Translations of ASME. V. 97, ser. B, 1975, no. 3. P. 25-31.

373. Veluswami M. A., Crossley R. F. E., Horvay G. Multiple impacts of a ball between two plates. P. II: Mathematical modelling // Translations of ASME. V. 97, ser. B, 1975, no. 3. P. 31-37.

374. Vivi P., Xia H. Equivariant bifurcation theory for multivalued maps and its applications to neutral functional-differential inclusions //J. Differential Equations Dynam. Systems 3 (1995), P. 121 — 156.

375. Voronina S. V., Babitsky V. I. Modelling of Autoresonant Control of Ultrasonic Transducer for Machining Applications // Journal of Mechanical Engineering Science, V.222(C10), 2008. P. 1957-1974.

376. Wang Q. D., Young L. S. From Invariant Curves to Strange Attractors // Commun. Math. Phys. V. 225, 2002. no. 2. P 275-304.

377. Wagg D. J. Rising phenomena and the multi-sliding bifurcation in a two-degree of freedom impact oscillator // Chaos, Solitons and Fractals. V. 22, 2004. P. 541-548.

378. Wagg D. J. Periodic sticking motion in a two-degree-of-freedom impact oscillator // Int. J. Non-Lin. Mech. V. 40, 2005. no. 8. P. 1076-1087.

379. Wagg, D. J. A note on coefficient of restitution models including the effects of impact induced vibration //J. Sound Vib. 2007. V.300. No 3-5. P. 1071-1078.

380. Wen B. C., Liu F. Q. Theory and application of vibratory mechanism / Beijing: Mechanism industry Press, 1992. P. 254—264.

381. Whiston G. S. The vibro-impact response of a harmonically excited and preloaded one-dimensional linear oscillator //J. Sound Vib. 1987. V. 115. P. 303-319.

382. Whiston G. S. Global dynamics of a vibro-impacting linear oscillator // J. Sound Vib. 1987. V. 118. P. 395-429.

383. Whiston G. S. Singularities in vibro-impact dynamics //J. Sound and Vib., V.152, 1992. no. 3. P. 427-460.

384. Wiercigroeh M. A Note on the Switch Function for the Stick-Slip Phenomenon // J. Sound Vibr., Vol.175, 1994. P. 700.

385. Wiercigroeh, M. Chaotic Vibrations of a Simple Model of the Machine Tool-Cutting Process System // Trans. ASME, J. Vibr. Acoust., Vol.119. 1997. P. 468-475.

386. Wiercigroch M. Modelling of dynamical systems with motion dependent discontinuities // Chaos, Solitons and Fractals V. 11. 2000. P. 2429-2442.

387. Wiercigroch, M., de Kraker, B. eds. Applied Nonlinear Dynamics and Chaos of Mechanical Systems with Discontinuities // Nonlinear Science Series A, Vol.28., 2000. Singapore: World Scientific.

388. Wiercigroch, M., Krivtsov, A.M. Frictional Chatter in Orthogonal Metal Cutting // Philosophical Transactions of the Royal Society of London: Part A, Vol.359 (1781), 2001. P. 713-738

389. Wiercigroch M. Sin V. T. W. Experimental study of base excited symmetrically piecewise linear oscillator // ASME J. Appl. Mech. V. 65, 1998. no. 3. P. 657.

390. Wilkinson A., Pugh C. Shub M. Partial differentibility of invariant splittings // J. Stat. Phys. V. 144. 2004. P. 891-921.

391. Xie J. H. The mathematical model for the impact hammer and global bifurcations // Acta Mechanica Sinica. V. 29, 1997. no. 4. P. 456—463.

392. Xu L., Lu M. W., Cao Q. Bifurcation and chaos of a harmonically excited oscillator with both stiffness and viscous damping piecewise linearities by incremental harmonic balance method //J. Sound Vib. 2003. V. 264. P. 873-882.

393. Wojtkowski M. On the ergodic properties of piecewise linear perturbations of the twist map, Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1982. V. 2. P. 525-542.

394. Yagasaki K. Nonlinear dynamics of vibrating microcantilevers in tapping-mode atomic force microscopy // Phys. Rev. B. V. 70, 2004, P. 245-255.

395. Yoo H.H., Kim S.D., Chung J. T. Dynamic modeling and stability analysis of an axially oscillating beam under going periodic impulsive force // J. Sound Vib. V.320, 2009. P. 254-272.

396. Young L.-S. Stochastic stability of hyperbolic attractors // Erg. Theory Dyn. Sys. 1986. V.6. P. 311-319.

397. Zorev N. N. Metal cutting mechanics. Pergamon Press, 1956.