Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Рыжков Илья Игоревич

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДМОДЕЛИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОДИФФУЗИИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2005

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН

Научный руководитель: доктор физико математических наук,

профессор В.К. Андреев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор О.В. Капцов

кандидат физико-математических наук

С.В. Головин

Ведущая организация:

Институт механики УНЦ РАН, г. Уфа

Защита состоится 27 сентября 2005 г. в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан ". августа 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Макаренко

Црё-ч 2№</05 £

JfâbC ОБЩАЯ ХАРАКТЕРНО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Известно, что математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одним из наиболее мощных и универсальных методов исследования таких уравнений служит групповой анализ. Систематическое применение методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начато Л.В. Овсянниковым и его школой в конце 50-х годов прошлого века. В работах JI.B. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В В. Пухначева и других авторов были впервые изучены групповые свойства уравнений гидродинамики, а также показано, каким образом эти свойства можно использовать для решения физически важных задач. В настоящее время наряду с указанными авторами исследования в этой области продолжаются В.К. Андреевым, О.В. Кап-цовым, C.B. Хабировым, А.П. Чупахиным, C.B. Головиным и др. В 1991 г. Л.В. Овсянниковым была предложена программа ПОДМОДЕЛИ, направленная на систематическое изучение групповых свойств моделей механики сплошной среды. В настоящее время ведется активная работа по реализации этой программы для уравнений газовой динамики.

Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье Стокса и другие. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа, микроконвекции, а также конвекции с учетом эффекта термодиффузии. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. Поэтому является актуальной задача качественного исследования таких моделей с помощью методов группового анализа. Групповой анализ является единственным общим методом построения точных решений дифференциальных уравнений независимо от их типа. Точные решения играют важную роль в понимании качественных особенностей многих явлений и процессов.

Настоящая диссертация посвящена изучению модели термодиффузии бинарной смеси методами группового анализа дифференциальных уравнений. Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике (разделение изотопов в Ж1 , определение состава нефти, нанесение покрытий н

Основу модели термодиффузии бинарной смоги составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями диффузии и переноса тепла (используется приближение Обербека-Буссинеска) Точные решения уравнений данной модели рассматривались в работах ряда авторов (ГЗ Гершуни. Е.М. Жуховицкий, Б И. Николаев, А.А Тубин, Г.Д. Рабинович и др). Значительная часть этих работ посвящена исследованию устойчивости соответствующих движений Систематическое исследование модели термодиффузии с помощью методов группового анализа еще не проводилось. Поэтому изучение групповых свойств данной модели и их использование для построения точных решений является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы заключается в изучении групповых свойств модели термодиффузии бинарной смеси, построении инвариантных подмоделей, их интегрировании и физической интерпретации найденных точных решений.

Методы исследования. В работе используется техника группового анализа и методы общей теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна и основные результаты. Впервые проведен групповой анализ модели термодиффузии бинарной смеси: найдены преобразования эквивалентности и решена задача групповой классификации уравнений относительно параметров. Использование преобразований эквивалентности позволило существенно упростить систему уравнений (в частности, привести уравнение диффузии к однородному уравнению). Изучены групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла в предположении, что поле скоростей удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса. Построен новый пример точного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса.

Проведена классификация инвариантных решений: построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков для бесконечномерной алгебры операторов, допускаемой двумерными уравнениями модели. Выписаны соответствующие инвариантные подмодели рангов 2 и 1. Большая часть последних проинтегрирована в явном виде. Найдены новые классы точных решений и обобщения ранее известных решений на случай термодиффузионного движения бинарной смеси. Построены точные решения трехмерных уравнений, описывающие стационарное вращательно симметричное движение. Дана физическая интерпретация найденных решений (движение в вертикальных, наклонных и цилиндрических слоях при наличии продольных градиентов температуры и концентрации) Изучено влияние эффекта термодиффузии на режим течений.

Предложен новый подход к классификации бесконечномерных алгебр Ли. В качестве классифицирующего признака используется нормализатор под-

алгебры. Введено понятие преобразования подобия и сформулирована задача классификации подалгебры, базис которой зависит от произвольных функций. Эта задача может быть эффективно использована для классификации инвариантных решений дифференциальных уравнений и изучения групповых свойств соответствующих факторсистем (подмоделей)

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, групповой анализ дифференциальных уравнений, теория групп и алгебр Ли. Проведенное исследование модели термодиффузионного движения вносит вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной модели, а также в теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузии. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами. Данная работа соответствует концепции программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на максимальное извлечение возможностей, заложенных в свойствах симметрии дифференциальных уравнений механики сплошной среды.

Найденные точные решения дают качественную информацию о процессах конвекции, диффузии и термодиффузии в вертикальных, наклонных и цилиндрических слоях, а также позволяют оценить влияние параметров задачи на режим течений. Эти решения также можно использовать в качестве тестовых задач для численных методов. Сведение неоднородного уравнения диффузии к однородному может быть существенно использовано при интегрировании уравнений модели. Предложенный автором подход к проблеме классификации подалгебр бесконечномерной алгебры Ли вносит вклад в теорию Ли и ее приложения к дифференциальным уравнениям.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на IV Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003); 35-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2004); Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004): Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Че-ботаревские чтения по проблемам современного группового анализа и его приложениям в нелинейной механике" (Казань, 2004): XX Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Абрау-Дюрсо. 2004): Десятой международной конференции по современному групповому анализу (МОвТЪ'Ш X) (Ларнака, Кипр. 2004); VI Международной конференции "Лаврентьевские чтения по матема-

тике, механике и физике" (Новосибирск, 2005); Конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск. 2003—2005); семинаре под руководством академика J1.B. Овсянникова в ИГиЛ СО РАН; семинаре под руководством профессора М.В. Фокина и профессора B.C. Белоносова в ИМ СО РАН; семинаре под руководством профессора В.К. Андреева в ИВМ СО РАН; семинаре под руководством профессора О.В. Капцова в ИВМ СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, который содержит 75 наименований. Общий объем диссертации 168 страниц, включая 8 рисунков и 20 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, приведен обзор литературы по теме исследования, дано описание структуры диссертации и изложены основные результаты. Далее описывается модель термодиффузии бинарной смеси. В приближении Обербека- Буссинеска предполагается, что плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации легкой компоненты: р = /эо(1 — 0\Т — 0гС). Здесь ро — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а Т и С — малые отклонения от средних значений; — коэффициент теплового расширения смеси, 02 ~ концентрационный коэффициент плотности (02 > 0)- Движение смеси описывается системой уравнений

гн +(и- V)u =--Vp + vAu - g(AT + 02С),

Ра

Tt + u-VT = X&T, (1)

Ct + и ■ VC = dAC -I- ad AT, divu = 0,

где и — вектор скорости, р — отклонение давления от гидростатического, v коэффициент кинематической вязкости, х коэффициент температуропроводности, d — коэффициент диффузии, а — —dr/dTo — параметр термодиффузии, dr - коэффициент термодиффузии, Т0 средняя температура, g вектор ускорения свободного падения. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации. В случае нормальной термодиффузии а < 0, при этом тяжелая компонента стремится перейти в область пониженной температуры, а легкая компонента — в область повышенной температуры. Для аномальной термодиффузии а > 0, и направление движения компонентов меняется на противоположное.

Первая глава посвящена групповому анализу трехмерных уравнений термодиффузии. В этом случае в уравнениях (1) следует положить х = (хг,х2,х3), и — (и1, и2, и3), g = (0,0, где § - ускорение свободного падения (ось х3 направлена вертикально вверх). Рассматривается задача групповой классификации системы (1) относительно содержащихся в ней параметров. Это позволяет выяснить зависимость групповых свойств модели от того, какие эффекты учитываются при ее построении (термодиффузия, зависимость плотности от температуры и концентрации). Результаты классификации представлены в табл. 1, где в первых трех столбцах указаны значения постоянных а,/?1,/?2, в четвертом — базисные операторы, а в пятом — дополнительные операторы, допускаемые в случае <1 = х- В последней строке таблицы при указанном значении параметра а допускается оператор Л1.

Таблица 1. Результаты групповой классификации

а 02 Операторы

0 0 0 -^Ч) Ни Я0, Z, Тх, Т3, С1, С3 Г2,с2

0 0 Ф 0 Хо, Х\2, Я„ Но, Z2, V2, Т\Т3 гр2

0 Ф0 0 Хо, Х12, Н„ Щ, 2\, С1, С3 с2

0 фо х0, х12, я„ н0, г3,11\, {¡2 Яь Яг

ф0 0 0 Хо, Хц, Ни Но, Z,R,L, Т3, С3

фо 0 фо Хо, Х12, Я,, Но, г3, [/2, Т3

0 Хо, Х12, Н„ Щ, Zз,U\, С3, Ь

¿0 7^0 Хо, Хи, Н„ Но, гзМи а = №~х)/02<1,(1фх--111

Х0 = д(, Хц = х1дх, - Х>дх. + и1ди, - и}ди,, я0(7°) = /Ч, Я,(Л = Гдх. + /Я- - РО^ГЛ, г, j = 1,2,3 (г < Д

г = 2Ьдг + Ххдхх + Х2дх1 + х3дх% - ихдил - и2диг - и3диз - 2рдр,

г/! = ро&х% + и2 = + /%хдс, (2)

Т1 = Тдт, Т2 = СЗг, Т3 = дт, Сх = Сдс, С2 = Тдс, С3 = дс, Я = Т1 + Сх, Яг — Т1 - /З1Р21 с2, Я2 = С1 - 020Х1 Т2, гх = г-ът\ 2г = г-ъс1, = я, (аТ + {\-х^1)С)дс.

Здесь = /'(¿), /° — произвольные гладкие функции.

При решении задачи групповой классификации преобразования эквива-

лентности параметров не учитывались. Как показывают вычисления, эти преобразования порождаются следующими операторами:

Ё, — Тдт - осда - Адд, Е2 = Сдс + ада - Рздь, Е3 = С&г-

Еа = Тдс + - 1 )да - &дв1, Еъ = + х1дх1 + х2дх1 + х3дхг - -

+ хдх + бдл + ид„, Е6 = рдр + род^, Е7 = рхдвх + -

Оператор Ег допускается только в случае а = 0, й = х- В работе также была проведена групповая классификации уравнений модели с учетом преобразований эквивалентности. В частности, если параметры а,(3\,02 одновременно отличны от нуля, и й Ф х> т0 с помощью этих преобразований в системе (1) можно сделать а = 0, = ¡32 = ро = V = § = 1. Преобразование, позволяющее исключить член а<1АТ из уравнения диффузии, порождается оператором Ец и имеет вид С = С + ай(х — (1)~1Т. В результате уравнение диффузии становится однородным относительно функции С. Этот факт широко используется при построении инвариантных решений.

Далее рассматривается случай, когда параметры а, (3\, (3% одновременно отличны от нуля (таким образом, учитывается эффект термодиффузии и зависимость плотности от температуры и концентрации). Из табл. 1 следует, что в рассматриваемом случае уравнения (1) допускают бесконечномерную алгебру Ли операторов, которую можно представить в виде полупрямой суммы Ь — Ьъ © Ь°° пятимерной подалгебры Ьъ с базисом

Х1 = ди Х2 = тх% + 021дс, Х3 = Ро&х% + р-{1Эг,

ХА = 2£д, + х1дх1 + х2дхг + хгд7? - - и2дп? - и3диз-

-2рдр - 3Тдт - 3Сдс, Хъ = хгдх2 - х2дх> + ихди2 - и2ди>

и бесконечномерного идеала Ь°°, образованного операторами

Нг(Л = Гдхг + Дди. - р0х'Гидр, #о(/°) = fдp, г = 1,2,3.

Здесь для удобства дальнейших вычислений введены новые обозначения операторов. Предполагается, что а Ф (3\(с1 — и оператор не допускается. Система (1) также обладает дискретными симметриями

¿1 : х1 = —х1, и1 = —и1; <¡2 : х2 = — х2, и2 = —и2;

= и3 = -и\ Т=-Т, С = -С. (3)

Для выделения существенно различных (относительно действия допускаемой группы преобразований) инвариантных решений требуется построить оптимальную систему подалгебр алгебры Ли Ь. Вначале строится оптимальная

система для алгебры Ли L5. Эта алгебра представима в виде прямой суммы подалгебры L4 = Xt} и своего центра {Х5}. Это позволяет сна-

чала построить оптимальная систему QL4, содержащую 20 представителей, а затем — оптимальную систему вL5, которая содержит 54 представителя. На основе этой системы находится оптимальная система первого порядка Q\L из 15 представителей.

В первой главе также изучены групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла. Предположим, что в системе (1) Д = /32 = 0 (или g = 0). Тогда уравнение импульса и уравнение неразрывности образуют систему уравнений Навье-Стокса, решение которой дается функциями u(t, х), р (t, х). Подставляя это решение в уравнения диффузии и переноса тепла, получаем

Tt + u(t,x)-VT = x&T, Ct + u(t, х) ■ VC = dAC + adAT. (4)

Представляет интерес следующий вопрос: какие преобразования допускают эти уравнения в зависимости от вида функции u(t, х)? Таким образом, возникает задача групповой классификации системы относительно компонентов вектора скорости. В полной постановке эта задача не рассматривается. В работе были изучены групповые свойства уравнений (4) в предположении, что u(t, х) есть произвольное решение уравнений Навье-Стокса.

При решении описанной задачи был построен новый пример точного решения уравнений Навье-Стокса в отсутствии массовых сил (g = 0). Вводятся обозначения х — (x,y,z), и = (и, v, w). Решение ищется в виде

и = xAz(t, z) + yB(t, z), v = xC(t,z) + yDz{t,z), w = -A(t,z) - D(t,z).

Положим D = A, D = 7А, С = -*i~lA, где 7 / 0 — произвольная постоянная. Подстановка решения в систему приводит к уравнениям

2AAZZ - А\ + А2 - 2E(t) = 0, At- vAzz = 0, (5)

при этом давление определяется по формуле р = poE(t)(x2+y2)-2poA2+q{t) с произвольной функцией q(t). В работе было найдено общее решение системы (5), которому соответствует точное решение уравнений Навье-Стокса

и = e~ut(x(X cos z — ц sin z) + jy(\ sin z + ju eos z)) + т^у,

v = e~l4(-7~Ix(Asin2 + fj, eos z) + y(Acosz - /ísinz)) - T7-1x,

w = ~2e~ut (A sin z + ц eos z) — 2т,

p = рае-ш{{A2 - ц2) eos 1z - 2A/x sin 2z - (A2 + fx2)(x2 + y2)/2) -- Ароте~'Л(Х sin z + ц eos z) + рот2(х2 + y2)/2 + q(t), rp,eq(t) = q(t)—p0e~2vt(\2+fj,2) — 2poT2, и A, fi, т — произвольные постоянные.

Во второй главе изучаются групповые свойства уравнений термодиффузии в плоском случае. Используются следующие обозначения: х — (х1, z3), и ■= (и1,и3), g — (0, —g). Как показывают вычисления, результаты группового анализа трехмерных уравнений могут быть перенесены на двумерный случай путем ограничения действия допускаемой группы на пространство переменных t, гг1, х3 и1.и3,р,Т,С (см. табл. 1 и список (2)). Необходимость отдельного рассмотрения двумерного случая связана с тем, что при понижении размерности системы уменьшается число базисных операторов допускаемой '

алгебры Ли, которая является бесконечномерной. Это позволяет полностью построить оптимальную систему подалгебр не только первого, но и второго порядков.

Далее рассматривается случай, когда параметры а, /?х, /?2 одновременно отличны от нуля. Тогда двумерные уравнения (1) допускают алгебру Ли операторов L, для которой справедливо разложение L = L4@L в полупрямую сумму четырехмерной подалгебры L4 с базисом

Xi = ди Х2 = роgx3dp + ¡3^дс, Хг = pogx3dp + (З^&г,

Х4 = 2tdt + х1дх< + х3дхз - uldui - и3диг - 2рдр - 3Тдт - 3Сдс

и бесконечномерного идеала L°°, образованного операторами

я, (Л = f%. + /Я" - Рох'ГЛ, Яо(/°) = fdp, г = 1,3.

Частный случай о = Pi(d — х)/02d (см. табл. 1) здесь не рассматривается (таким образом, оператор R\ не допускается). Двумерная система (1) также обладает дискретными симметриями d\, из (3).

На основе оптимальной системы 6L4, найденной в главе 1, для алгебры L были построены оптимальная система второго порядка, содержащая 58 представителей, и оптимальная система первого порядка, которая приведена в табл. 2. Для подалгебр, базис которых зависит от произвольных (нефиксированных) функций, в третьем столбце указаны специальные преобразования. Они порождаются действием внутренних автоморфизмов алгебры L, дискретных автоморфизмов и линейных преобразований базиса на < функции f1, f3. Рассматриваются только те преобразования, которые оставляют неизменной конечномерную составляющую базисных операторов. Эти преобразования не позволяют "упростить" функции, однако разбивают каждую подалгебру на классы подобных. Каждый класс однозначно определяется конкретным видом функций и содержит подалгебры, в которых эти функции связаны указанным в таблице соотношением. Это соотношение будем называть преобразованием подобия. Используются обозначения: а > О, & 6 R, с ^ 0 — произвольные постоянные, S — {0,1}.

ю

Таблица 2. Оптимальная система подалгебр 61L

i Базис Преобразование подобия

]

2 Х, + Х2

3 Х\ ■+- \Хг 4* A3

4

5 я0(А = с/0 (at + Ь)

6 - Хз + Я0(/°), ф 0 7b(<) = (-l)V1/2/V + i)

7 нлп + яз(/3) /'(t) = (-1 )scfl(at 4 b) f3(t) = cf3(at + b)

8 х2 + нх{р) + н3(!3) /4i) = (-l Ya-'fl(at + b) f3(t) = a-1f3(at + b)

9 \Хъ + Хг + Hl(fl) + H3(f3) f\t) = {-l )'а-2ГЫ + Ь) }3{t) = a~2f3(at + b)

Алгоритмы классификации конечномерных алгебр Ли, используемые в работе, хорошо известны и успешно апробированы на многочисленных примерах. Однако задача классификации бесконечномерных алгебр Ли еще не получила окончательного решения. Существующие методы не всегда удается эффективно использовать в бесконечномерном случае. Поэтому представляется актуальным поиск новых классифицирующих признаков для бесконечномерных алгебр Ли. В работе показано, что одним из таких признаков может служить понятие нормализатора.

Пусть L — алгебра Ли операторов, S С L — ее подалгебра. Нормализатор S в L есть множество всех элементов X € L, для которых коммутатор [У, X] е S для любого У G 5. Рассмотрим алгоритм вычисления нормализатора подалгебры S в бесконечномерной алгебре L. Будем считать, что этой алгебре соответствует группа преобразований пространства переменных х. Условимся, что следующие индексы принимают указанные значения: i = 1,...,щ j = 1,... ,т; k, I = 1,...,г, и используется правило сумми-i рования по повторяющемуся индексу.

Предположим, что базис алгебры L можно разделить на две составляющие — конечномерную Х\,..., Хп и бесконечномерную Я^/1),..., Яга(/т). Здесь Hj{f3) — оператор, координаты которого зависят от произвольной гладкой функции fJ(х). Далее, пусть базис подалгебры S дается г операторами Yk — \ыХг + Hj(fkj). где \кг - некоторые постоянные, fk]{x) — произвольные (нефиксированные) функции. Для нахождения нормализатора подалгебры S запишем условие того, что коммутаторы базисных операторов 5

и

с оператором общего вида X = к'Х, + Н^д3) £ Ь лежат в 5:

[Ук,Х]=цк1У1еЗ. (6)

Здесь /лк1 — некоторые постоянные. Приравнивая коэффициенты при одинаковых операторах в (6), получим систему уравнений относительно координат операторов X, У* и постоянных цк1 (эти уравнения могут быть как алгебраическими, так и дифференциальными). Нормализатор Б в Ь находится путем решения данной системы и выбором из координат оператора X независимых. Заметим, что в эту систему входят функции /кЦх) Такая система является классифицирующей, так как устанавливает зависимость нормализатора подалгебры от вида функций в ее базисе. Таким образом, возникает задача классификации: используя определение нормализатора, найти все специализации произвольных функций для данной подалгебры 5 С Ь; вычислить нормализаторы подалгебр, соответствующих полученным специализациям. Итогом решения задачи является таблица, в которой указаны возможные типы произвольных функций и нормализаторы соответствующих подалгебр.

Рассмотрим теперь внутренние автоморфизмы алгебры Ь и линейные преобразования базиса подалгебры 5, действующие на функции /к(х) = (/"(ж),.. -,/кт{х)) в операторах Ук по формуле /к(х) Г(^(Х(х))) и оставляющие неизменной конечномерную составляющую базисных операторов Ук- Предположим, что отображения х —* Х(х) и /* —* F(/fc) являются взаимнооднозначными Преобразования указанного вида будем называть преобразованиями подобия (см. примеры в табл. 2). Эти преобразования не позволяют "упростить" произвольные функции, однако разбивают подалгебру на классы подобных. Каждый класс однозначно определяется конкретным видом функций. Принимая во внимание преобразования подобия, сформулируем задачу классификации следующим образом: для данной подалгебры 5 С Ь найти все специализации произвольных функций, используя определение нормализатора; из подалгебр, соответствующих полученным специализациям, выбрать неподобные и вычислить их нормализаторы в Ь. Выбирать следует такие подалгебры, в базисе которых произвольные функции имеют наиболее "простой" вид (этого можно добиться, используя найденные преобразования подобия).

Предположим, что алгебра операторов Ь допускается некоторой системой дифференциальных уравнений Тогда задача классификации позволяет выделить некоторые типы инвариантных решений, которые могут быть построены относительно данной подалгебры, а также выяснить (хотя бы частично) групповые свойства соответствующих факторсистем. Преобразования подобия подалгебры представляют собой преобразования эквивалентности соответствующей факторсистемы, отнесенные к произвольным функциям. Та-

ким образом, сформулированную здесь задачу можно эффективно использовать для классификации инвариантных решений и изучения групповых свойств соответствующих факторсистем (подмоделей). В работе была проведена классификация подалгебр 1.5- 1 9 из системы QiL. В частности, для подалгебры 1 7 выделено 14 случаев специализации произвольных функций.

Третья глава посвящена построению инвариантных подмоделей уравнений термодиффузии, их интегрированию и физической интерпретации найденных точных решений. В плоском случае используются стандартные обозначения х = (х,у), и — (u,v). Для двумерных уравнений (1) выписаны инвариантные подмодели рангов 2 и 1, которые строятся на основе подалгебр из оптимальных систем OiL и 02L соответственно. Оптимальная система вг£ содержит 58 представителей, для 34 из которых существуют инвариантные решения. В работе изучены 18 инвариантных подмоделей ранга 1, описывающих стационарные и автомодельные решения. Большая часть подмоделей проинтегрирована в явном виде, при этом найдены новые классы точных решений, а также обобщения ранее известных решений.

В качестве примера рассмотрим подмодель, порождаемую подалгеброй {Xi, XX2 + X¡ ± #з(1)}. Инвариантное решение имеет представление

и = и(х), v = v(x), р = Р{х) ± pog(A + 1)у2/2,

Т — Т'(х) ± /?f V> С = С(х)± А/?2-у

Подстановка решения в систему дает и = «о, Р = ро, где Щ, ро произвольные постоянные. Предположим, что щ = 0, и введем обозначение а = ±g(d(Pi — 02a) + ■ Если а < 0, то решение исходной

системы имеет вид (с, — произвольные постоянные):

и = О, V — ±(3\ Х72(сз ch -ух + с4 sh 72: — с5 cos 72 — c?, sin 71), Т — С3 Ch 72; 4- С4 sh 7£ + С5 COS JX + Сд Sin 7 X + fo(C]X + C2) ± (3\ly, (7)

С = (XPa/fod - а) (сз ch jx + c4 sh ух + C5 eos jx + sin jx) --A(cix + c2)±A/3f1i/, p = ро ± pog(X + l)y2/2, 7 = ±>^.

При a > 0 и а — 0 решение также выписывается в элементарных функциях.

Решение (7) можно интерпретировать следующим образом. Пусть имеется бесконечный вертикальный слой жидкости толщиной 2h между двумя твердыми стенками. На стенках задано линейное распределение температуры по координате у Кроме этого, между ними имеется постоянная разность температур 26 На границах должны быть выполнены условия прилипания и отсутствия потока вещества Предполагается, что в слое также существует постоянный вертикальный градиент концентрации, и расход жидкости через любое поперечное сечение равен нулю.

Рис. 1. Профили скорости в плоском (а) и цилиндрическом (б) слоях.

Введем характерные масштабы расстояния h, скорости gßiQh?/и, давления poghß\Q, температуры 9 и концентрации /?iÖ//?2- Уравнения и граничные условия переписываются в безразмерных переменных Параметр а. от знака которого зависит вид решения, принимает вид а = Ra(e + 1) + Raj. Запишем решение задачи для случая о < 0:

и = 0,

72(£ + 1)

D

sh 7х sin 7 х

sh7

SII17

1

Р0 + 2

Ra

• +

Rad

GrPr GrSc

T

Ra(e +1)

D

sh *yx ^ sin 7X

sh 7 sin 7

7 Ra^, Ra

-I--—(ctg 7 + cth 7)x + nnj;,

D

Gr Pr

(8)

C =

(Rae + Rad)(f + 1)

D

sh 7a; ^ sin7x

sh7

sin 7

7Ra^. , . Rad

-(ctg 7+ cth 7)x + -p^rzV,

D

Gr Sc"

7 = ^/-Ra(e + 1) - Rad, D = 2Ra(e + 1) + 7Ra,i(ctg7 + cth7).

Здесь Gr = gßiöh3/v2 — число Грасгофа, Pr = v/\ - число Прандтля, Sc = v/d — число Шмидта, e = —aß^/ßi — параметр термодиффузии, Ra = gßi Ah4/их — число Рэлея, Rad = gßiBh* ¡vd — концентрационное число Рэлея, А и В — вертикальные градиенты температуры и концентрации соответственно. Зависимость профиля скорости в сечении у = 0 от параметра термодиффузии приведена на рис. la (Ra = 300, Ra,* = 0). Прямым х = ±1 отвечают нагретая и холодная стенка соответственно. При нормальной термодиффузии е > 0, а при аномальной термодиффузии е < 0. При е = — 1 имеет место механическое равновесие. Отметим, что данное решение приближенно описывает движение жидкости в средней части слоя конечной высоты, которая значительно больше его толщины. Решение (8) и соответствующие формулы для случаев а > 0 и а — 0 обобщают ряд ранее известных решений

уравнений свободной конвекции на случай термодиффузионного движения бинарной смеси.

В третьей главе также рассматривалась задача о стационарном движении смеси в наклонном слое, ограниченном нагретой твердой стенкой и свободной границей, которые являются прямыми линиями. Показано, что решение одной из подмоделей ранга 1 можно интерпретировать указанным образом.

В работе были изучены две инвариантные подмодели ранга 1 трехмерных уравнений, описывающие стационарное вращательно -симметричное движение в цилиндрической системе координат (г, ip, z). В первой подмодели все искомые функции зависят только от г, а для второй подмодели инвариантное решение имеет представление

U = U (г), V = V(r), W = W(r),

p = P(r)±pog(\ + l)z2/2, T = T'(r)±ß{lz, С — C'(r) ± Xß^z.

Подстановка решения в систему дает U = щ/r. Указанные подмодели проинтегрированы в случае Uo = 0. Найденные точные решения можно интерпретировать следующим образом. Рассмотрим бесконечный слой жидкости, заключенный между двумя вертикальными коаксиальными цилиндрами радиусов Г\ и Г2 (ri < гг). Предполагается, что в слое имеется постоянная разность температур 20 между стенками (внутренний цилиндр считается более нагретым), а также вертикальный градиент температуры. На стенках выполняются условия прилипания для скорости и условие отсутствия потока вещества. Далее, ставятся условия равенства нулю расхода и отсутствия вертикального градиента концентрации. Переход к безразмерным переменным осуществляется так же, как и в задаче для плоского слоя. За характерный масштаб длины принимается толщина слоя h = г 2 — г\. Дополнительным безразмерным параметром является отношение радиусов цилиндров 5 = гх/т^. Из граничных условий следует V = 0, и движение происходит лишь в направлении оси г. Зависимость профиля скорости в сечении z = 0 от параметра термодиффузии показана на рис. 16 (здесь 5 = 0.3 и вертикальный градиент температуры отстутствует). Значение г* — 0 соответствует внутреннему цилиндру, а г* = 1 внешнему, при этом г* = r/h — ¿(1 — ¿)-1. Отметим, что при е = — 1 имеет место механическое равновесие (W = 0).

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Проведена групповая классификация двумерных и трехмерных уравнений конвекции бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии.

2. Выполнена классификация инвариантных решений (построены оптимальных систем подалгебр первого и второго порядков для бесконечномерной алгебры Ли допускаемых операторов).

ц ¿542.0 12830

3. Найдены точные решения инвариантных подмоделей уравнитаи термодиффузии и указана их физическая интерпретация (решены задачи о движении смеси в вертикальных, наклонных и цилиндрических слоях).

4. Предложен метод классификации подалгебр бесконечномерной алгебры Ли и описаны его приложения к классификации инвариантных решений дифференциальных уравнений.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рыжков И.И. Оптимальная система подалгебр для уравнений термодиффузии // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9, Jf« 1. С. 95-104.

2. РЫЖКОВ И.И., Андреев В.К. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 4. С. 508-517.

3. рыжков И.И., андреев В.К. Групповые свойства уравнений термодиффузии в плоском случае // Материалы всероссийской молодежной научной школы-конференции "Чеботаревские чтения по проблемам современного группового анализа и его приложениям в нелинейной механике". Казань, 2004. С. 11-18.

4. РЫЖКОВ И.И. Построение оптимальной системы подалгебр для уравнений термодиффузии в специальном случае // Труды 35-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2004. С. 160-164.

5. рыжков И.И. Групповая классификация уравнений термодиффузии // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. Красноярск, 2003. С. 62-72.

6. Рыжков И.И. Групповой анализ уравнений термодиффузии в двумерном случае // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. Красноярск, 2004. С. 65-69.

7. Ryzhkov I.I. Symmetry Analysis of the Thermal Diffusion Equations in the Planar Case // Proceedings of 10th International Conference on MOdern GRoup ANalysis. Larnaca, Cyprus. 2005. P. 182-189.

Подписано в печать 01.08.2005 г. Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036 Академгородок, Красноярск

Введение

Глава 1. Групповой анализ трехмерных уравнений термодиффузии

1.1 Групповые свойства уравнений модели.

1.2 Преобразования эквивалентности.

1.3 Групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла

1.4 Структура допускаемой алгебры операторов.

1.5 Схема классификации подалгебр

1.6 Оптимальные системы подалгебр ©L4 и QL5.

1.7 Оптимальная система подалгебр первого порядка.

Глава 2. Групповые свойства уравнений термодиффузии в плоском случае

2.1 Групповая классификация.

2.2 Структура допускаемой алгебры операторов.

2.3 Оптимальная система подалгебр первого порядка.

2.4 Оптимальная система подалгебр второго порядка.

2.5 О нормализаторах подалгебр в бесконечномерной алгебре Ли

2.6 Классификация подалгебр из оптимальной системы ©iL

Глава 3. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии

3.1 Инвариантные подмодели ранга 2.

3.2 Инвариантные подмодели ранга 1.

3.3 Термодиффузия в плоских слоях.

3.4 О вращательно-симметричных решениях трехмерных уравнений.

3.5 Термодиффузионное движение в слое между вертикальными коаксиальными цилиндрами.

Известно, что математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одним из эффективных инструментов исследования таких уравнений служит групповой анализ — математическое направление, предметом которого является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений.

Групповой анализ дифференциальных уравнений как научное направление возник в работах выдающегося норвежского математика XIX в. Софуса Ли (1842-1899). Им было начато систематическое исследование непрерывных групп преобразований с целью создания теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичной теории Абеля решения алгебраических уравнений. Основные идеи и результаты С. Ли, касающиеся групп преобразований, были впоследствии развиты в многочисленных работах, однако дифференциальные уравнения на долгое время остались в стороне от этого развития. В середине XX в. американский математик Г. Бирк-гоф применил теорию групп к построению классов частных решений уравнений механики сплошной среды [6]. Решения, которые обладают свойством инвариантности относительно некоторой группы преобразований, оставляющей систему уравнений неизменной, он назвал "симметричными". Им также была исследована взаимосвязь теории групп преобразований с теорией размерности и подобия.

Систематические исследования по применению методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начаты Л.В. Овсянниковым и его школой в конце 50-х годов прошлого столетия [25,26]. В работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В.В. Пухначева, Л.В. Капитанского,

Ю.Н. Павловского, А.А. Бучнева, В.О. Бытева и других авторов впервые были изучены групповые свойства дифференциальных уравнений механики жидкости и газа, а также показано, каким образом эти свойства можно использовать для решения физически важных задач [8,9,18,19,21,34,36,37]. В настоящее время наряду с указанными авторами исследование уравнений механики сплошной среды продолжается В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, G.B. Мелешко, С.И. Сенашовым, G.B. Хабировым, А.П. Чупахиным, С.В. Головиным и др. [2,3,15,23,51,55,56,58,61,66,68]. Из работ зарубежных авторов отметим монографию П. Олвера [33].

В 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике J1.B. Овсянниковым была предложена концепция программы ПОДМОДЕЛИ, направленная на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды [27]. Под руководством JI.B. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации этой программы для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, используемых в групповом анализе, а также к расширению его теоретической базы. В частности, были обобщены результаты по построению нормализованных оптимальных систем подалгебр [28,29], а также введены понятие гс-автономии [30] и понятие регулярного и нерегулярного частично инвариантного решения [31]. Что касается исследования других моделей, то здесь следует отметить работы [61,62], которые посвящены систематическому изучению уравнений Навье-Стокса с помощью теоретико-групповых методов.

Кратко остановимся на основных понятиях и алгоритмах группового анализа [26], используемых в дальнейшем. Если система дифференциальных уравнений Е остается неизменной, когда зависимые и независимые переменные подвергаются преобразованиям некоторой группы G, то говорят, что система Е допускает группу G. Фундаментальное свойство допускаемой группы состоит в том, что группа G действует на множестве решений системы Е, переводя любое решение системы снова в решение.

Пусть Н — подгруппа группы G. Решение системы Е называется инвариантным Н-решением, если соответствующее ему многообразие в пространстве зависимых и независимых переменных является инвариантным многообразием подгруппы Н. Инвариантные Н- решения образуют класс частных решений системы Е. Они выражаются через новые искомые функции (инвариантны подгруппы Н), удовлетворяющие выводимой из Е системе дифференциальных уравнений, которая называется факторсистемой Е/Н. Обычно факторсистема является более простой по сравнению с исходной системой Е, в частности, за счет того, что Е/Н содержит меньшее число независимых переменных. Поэтому факторсистема Е/Н называется подмоделью исходной модели Е. Число независимых переменных в факторсистеме называется рангом подмодели. В стандартном случае четырехмерного пространства событий (три координаты и время), на котором определена система Е, ранг подмодели может принимать значения 3,2,1,0.

Два решения системы Е называются несущественно различными относительно группы G, если одно из них можно перевести в другое некоторым преобразованием этой группы. Если такого преобразования нет, то два решения называются существенно различными относительно группы G. Рассмотрим множество инвариантных Н- решений, получаемых относительно всевозможных подгрупп Н С G. Оказывается, что любые два решения из этого множества несущественно различны, если соответствующие им подгруппы сопряжены (подобны) относительно внутренних автоморфизмов группы G. Действие внутренних автоморфизмов разбивает множество подгрупп группы G на классы подобных. Существенно различные решения получаются относительно различных классов подобных подгрупп. Таким образом, задача перечисления всех существенно различных инвариантных решений сводится к разбиению подгрупп группы G на классы подобных и определению представителей этих классов. Совокупность таких представителей называется оптимальной системой подгрупп и обозначается символом QG. Инвариантные решения, соответствующие подгруппам из 0(7, образуют оптимальную систему инвариантных решений. Все остальные инвариантные решения можно получить из этой системы с помощью действия группы G.

В теории Ли каждой группе преобразований G ставится в соответствие некоторая алгебра дифференциальных операторов L. Это соответствие является взаимнооднозначным и распространяется на подгруппы и подалгебры. При этом внутренним автоморфизмам группы G соответствуют внутренние автоморфизмы алгебры L, действие которых разбивает множество подалгебр алгебры L на классы подобных. Совокупность представителей этих классов называется оптимальной системой подалгебр и обозначается символом QL. Оказывается, что задачу о нахождении оптимальной системы подгрупп QG удобнее решать как задачу построения оптимальной системы подалгебр 0L. По этой системе однозначно восстанавливается оптимальная система инвариантных решений, которая, в свою очередь, дает совокупность инвариантных подмоделей исходной системы дифференциальных уравнений Е.

Дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, часто содержат параметры или функции, которые находятся экспериментально и потому не строго фиксированы. В этом случае говорят, что система Е содержит произвольный элемент А в виде указанных параметров или функций. Группа преобразований, допускаемая системой независимо от имеющегося в ней произвольного элемента, называется основной группой. При любом ограничении произвола элемента А допускаемая системой группа может только расширяться. Так возникает задача групповой классификации: для данной системы дифференциальных уравнений Е найти основную группу и все специализации элемента А, дающие расширение основной группы.

Преобразованием эквивалентности системы Е называется преобразование зависимых и независимых переменных, а также произвольного элемента А, которое изменяет только элемент А, сохраняя структуру системы Е. Такие преобразования образуют группу, которая называется группой преобразований эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности.

Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Стокса, Обербека-Буссинеска и другие. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [22], микроконвекции [38], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [10,59]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования таких моделей с помощью методов группового анализа. Отметим, что групповой анализ является единственным общим методом построения точных решений дифференциальных уравнений независимо от их типа. Точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве "тестовых задач" для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.

Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [3]. Отметим также монографию [2], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя Маран-гони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению модели конвективного движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. В качестве основного метода исследования выступает групповой анализ дифференциальных уравнений.

Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [39,40]. Процесс разделения происходит в термодиффузионной колонне, которая представляет собой две коаксиальные трубы, нагретые до разных температур. Термодиффузия используется для определения состава нефти и разделения ее компонентов [73], нанесения различных покрытий на изделия из металлов, а также играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [7]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [64,72].

Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями тепло- и массопереноса. Используется приближение Обербека-Буссинеска, предназначенное для описания конвективных течений в естественных земных условиях. Предполагается, что плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации легкой компоненты: p = p0(l-(3lT-p2C).

Здесь ро — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а через Т и С обозначены малые отклонения от средних значений; /?1 — коэффициент теплового расширения смеси, fa ~ концентрационный коэффициент плотности (/?2 > 0, так как С — концентрация легкой компоненты). Движение смеси описывается системой уравнений [10,59] ut + (u- V)w = -—Vp + vAu - g(/?iT + (32C),

Po

Tt + u-VT = XAT, (1)

Ct + и • VC = dAC + adAT, divit = 0, где и — вектор скорости, р — отклонение давления от гидростатического, и — коэффициент кинематической вязкости, х ~ коэффициент температуропроводности, d — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффузии, g — вектор ускорения свободного падения. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации. Параметр термодиффузии имеет вид а = —dx/dTo, где dx — коэффициент термодиффузии, Tq — средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения а < 0, а для аномальной термодиффузии а > 0.

В частном случае С — 0, а = 0 система (1) переходит в систему уравнений свободной конвекции однородной жидкости (модель Обербека-Буссинеска). Для данной модели известно достаточно много точных решений, значительная часть которых приведена в монографиях [10,11]. Эти работы посвящены исследованию устойчивости различных типов конвективных течений, а также механического равновесия. Групповые свойства уравнений свободной конвекции в плоском случае изучались в [16], а для стационарных плоских течений — в более ранней работе [20] (см. также монографию [2]). В указанных работах построен ряд точных решений, часть из которых была найдена ранее другими методами.

Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [12,74], посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [10]. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в [13], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [24]. В статье [54] изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры. Отметим также работу [63], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии.

В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений (1), описывающие основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как будет показано в настоящей работе, все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства системы (1) в случае g = 0 изучены в [4], где также построено точное решение, описывающее движение двух смесей с общей поверхностью раздела. Однако систематическое исследование данной модели с помощью методов группового анализа еще не проводилось. В связи с этим изучение групповых свойств уравнений термодиффузии, построение инвариантных подмоделей и их точных решений является актуальной задачей. При этом преследуются две цели: обобщение ранее известных решений на случай термодиффузионного движения бинарной смеси и нахождение новых классов точных решений рассматриваемой модели. Заметим, что физически содержательное точное решение дает описание некоторого процесса в широком диапазоне параметров модели (система (1) содержит восемь постоянных). При численном решении уравнений эти параметры (либо их безразмерные комбинации) необходимо заранее задавать.

Цель диссертационной работы заключается в изучении групповых свойств модели термодиффузии бинарной смеси, построении инвариантных подмоделей, их интегрировании и физической интерпретации найденных точных решений.

Методы исследования. Используются методы группового анализа дифференциальных уравнений: алгоритм вычисления допускаемой алгебры операторов и соответствующей группы преобразований, алгоритм групповой классификации, метод построения оптимальной системы подалгебр, а также алгоритм построения инвариантных решений и соответствующих фак-торсистем (подмоделей). Кроме этого, используются методы общей теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Впервые проведен групповой анализ модели термодиффузии бинарной смеси: найдены преобразования эквивалентности и решена задача групповой классификации уравнений относительно параметров. Использование преобразований эквивалентности позволило существенно упростить систему уравнений (в частности, привести уравнение диффузии к однородному уравнению). Изучены групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла в предположении, что поле скоростей удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса. Построен новый пример точного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса.

Проведена классификация инвариантных решений: построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков для бесконечномерной алгебры операторов, допускаемой двумерными уравнениями модели. Выписаны соответствующие инвариантные подмодели рангов два и один. Большая часть подмоделей ранга один проинтегрирована в явном виде. Найдены новые классы точных решений и обобщения ранее известных решений на случай термодиффузионного движения бинарной смеси. Построены точные решения трехмерных уравнений, описывающие стационарное вращательно-симметричное движение. Дана физическая интерпретация найденных решений (движение в вертикальных, наклонных и цилиндрических слоях при наличии продольных градиентов температуры и концентрации). Изучено влияние эффекта термодиффузии на режим течений.

Предложен новый подход к классификации бесконечномерных алгебр Ли. Показано, что в качестве классифицирующего признака можно использовать понятие нормализатора подалгебры. Для подалгебры, базис которой зависит от произвольных функций, введено понятие преобразования подобия и сформулирована задача классификации. Эта задача может быть эффективно использована для классификации инвариантных решений дифференциальных уравнений и изучения групповых свойств соответствующих факторсистем.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, групповой анализ дифференциальных уравнений, теория групп и алгебр Ли. Проведенное в работе исследование уравнений термодиффузии бинарной смеси вносит вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной модели, а также в теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузии. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами. Данная работа соответствует концепции программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на максимальное извлечение возможностей, заложенных в свойствах симметрии дифференциальных уравнений механики сплошной среды.

Найденные точные решения дают качественную информацию о процессах конвекции, диффузии и термодиффузии в вертикальных, наклонных и цилиндрических слоях, а также позволяют оценить влияние параметров задачи на режим течений. Эти решения также можно использовать в качестве тестов для проверки корректности и оценки точности численных методов. Упрощение исходной модели путем сведения уравнения диффузии к однородному может быть использовано при интегрировании уравнений модели аналитическими, а также численными методами.

Предложенный автором подход к проблеме классификации бесконечномерных алгебр Ли представляет интерес как с точки зрения теории Ли, так и ее приложений к дифференциальным уравнениям. Многие модели механики сплошной среды допускают бесконечномерные алгебры операторов, однако задача классификации таких алгебр еще не получила окончательного решения. Предложенный алгоритм позволяет продвинуться в решении этой сложной проблемы.

Перейдем к описанию структуры и содержания диссертации.

Первая глава посвящена групповому анализу трехмерных уравнений термодиффузии. В параграфе 1.1 рассматривается задача групповой классификации уравнений модели относительно параметров. При вычислениях предполагается, что параметры a,/?i,/?2 могут обращаться в ноль, означая отсутствие соответствующих членов в уравнениях. Такой подход позволяет изучить зависимость групповых свойств модели от того, какие эффекты учитываются при ее построении (термодиффузия, зависимость плотности от температуры и концентрации). Преобразования эквивалентности параметров вычисляются в параграфе 1.2. Показано, что с помощью этих преобразований из уравнения диффузии можно исключить член adAT, в результате чего данное уравнение становится однородным относительно функции С. Приводятся результаты групповой классификации уравнений с учетом преобразований эквивалентности. В параграфе 1.3 проведен групповой анализ уравнений диффузии и переноса тепла в предположении, что поле скоростей удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса. Построен новый пример точного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса.

Далее изучается структура алгебры операторов L, допускаемой уравнениями модели в случае, когда параметры одновременно отличны от нуля (таким образом, учитывается эффект термодиффузии и зависимость плотности от температуры и концентрации). Эта алгебра представима в виде полупрямой суммы L — L5®L°° пятимерной подалгебры L5 и бесконечномерного идеала L°° с базисом из четырех операторов. В параграфе 1.4 вычислены коммутаторы базисных операторов алгебры L и построена группа внутренних автоморфизмов IntL. Показано, что алгебру L5 можно представить в виде прямой суммы четырехмерной подалгебры L4 и одномерного центра. Далее описывается алгоритм построения оптимальной системы подалгебр. В параграфах 1.6 и 1.7 проводится построение оптимальных систем ©L4, ©L5 и оптимальной системы первого порядка ©i L.

Во второй главе изучаются групповые свойства двумерных уравнений термодиффузионного движения. Необходимость отдельного рассмотрения этого случая связана с тем, что при понижении размерности системы уменьшается число базисных операторов допускаемой алгебры Ли, которая является бесконечномерной. Это позволяет полностью построить оптимальную систему подалгебр не только первого, но и второго порядков. Двумерные подалгебры дают инвариантные подмодели ранга 1 исходной системы, которые представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений и служат источником многочисленных физически содержательных точных решений.

В параграфе 2.1 приводятся результаты групповой классификации уравнений модели как с учетом, так и без учета преобразований эквивалентности. Это связано с тем, что для построения точных решений и их физической интерпретации важно знать групповые свойства уравнений, содержащих все необходимые физические параметры. Структура алгебры операторов L, допускаемой уравнениями в случае, когда постоянные си,/?!,/% одновременно отличны от нуля, изучается в параграфе 2.2 (найдены коммутаторы базисных операторов и вычислена группа внутренних автоморфизмов). Алгебра L представляется в виде полупрямой суммы четырехмерной подалгебры L4 и

QQ бесконечномерного идеала L с базисом из трех операторов. Оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков для алгебры L построены в параграфах 2.3 и 2.4.

Новый подход к проблеме классификации бесконечномерных алгебр Ли предложен в параграфе 2.5. Показано, что в качестве классифицирующего признака можно использовать понятие нормализатора. Для подалгебры, базис которой зависит от произвольных функций, введено понятие преобразования подобия и сформулирована задача классификации. Эта задача заключается в нахождении специализаций произвольных функций путем вычисления нормализатора подалгебры и исследования возникающих при этом случаев. Классификация проводится с точностью до преобразований подобия. В качестве примера рассматривается классификация подалгебр из оптимальной система ©1L. Показано, что предложенный алгоритм может быть эффективно использован для классификации инвариантных решений дифференциальных уравнений и изучения групповых свойств соответствующих факторсистем.

Третья глава посвящена построению инвариантных подмоделей, их интегрированию и физической интерпретации найденных точных решений. В параграфе 3.1 выписаны инвариантные подмодели ранга 2 для двумерных уравнений. В параграфе 3.2 изучаются 18 инвариантных подмоделей ранга 1, которым соответствуют стационарные и автомодельные решения. Большая часть подмоделей проинтегрирована в явном виде. Физическая интерпретация найденных решений дается в параграфе 3.3. Рассматривается задача о стационарном движении смеси в вертикальном слое между двумя твердыми стенками, нагретыми до разной температуры. Предполагается, что в слое также имеются продольные градиенты температуры и концентрации. Приводится точное решение задачи, которое обобщает ряд ранее известных решений уравнений конвекции бинарной смеси (а также однородной жидкости). Изучено влияние эффекта термодиффузии на режим течения. Показано, что при определенном значении безразмерного параметра термодиффузии имеет место механическое равновесие. В том же параграфе найдено точное решение задачи о движении жидкости в наклонном слое, ограниченном твердой стенкой и свободной границей, которые являются прямыми линиями. Далее кратко описывается возможная физическая интерпретация других точных решений подмоделей ранга 1.

Стационарные вращательно-симметричные решения трехмерных уравнений рассматриваются в параграфе 3.4. Дается представление допускаемых операторов в цилиндрических координатах и проводится построение части подалгебр из оптимальной системы третьего порядка ©зL. Выписаны соответствующие инвариантные подмодели ранга 1 и найдены некоторые точные решения. Физическая интерпретация этих решений приведена в параграфе 3.5. Рассматривается задача о стационарном движении смеси в вертикальном слое между двумя коаксиальными цилиндрами, нагретыми до разной температуры. Изучено влияние эффекта термодиффузии, а также толщины слоя на режим течения. Отдельно рассмотрен случай, когда кроме поперечной разности температур в слое также имеется продольный градиент температуры. Показано, что при определенном значении безразмерного параметра термодиффузии имеет место механическое равновесие.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты групповой классификации двумерных и трехмерных уравнений конвекции бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии.

2. Классификация инвариантных решений (построение оптимальных систем подалгебр первого и второго порядков для бесконечномерной алгебры Ли допускаемых операторов).

3. Точные решения инвариантных подмоделей уравнений термодиффузии и их физическая интерпретация (решение задач о движении смеси в вертикальных, наклонных и цилиндрических слоях).

4. Метод классификации подалгебр бесконечномерной алгебры Ли и его приложения к классификации инвариантных решений дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах: IV Всероссийской конференции по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003),

35-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2004),

Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004),

Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Чеботаревские чтения по проблемам современного группового анализа и его приложениям в нелинейной механике" (Казань, 2004),

XX Всероссийской школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (Абрау-Дюрсо, 2004),

Десятой международной конференции по современному групповому анализу (MOGRAN X) (Ларнака, Кипр, 2004),

VI Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005),

Конференции молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2003-2005 гг.),

Конференции молодых ученых Красноярского научного центра (Красноярск, 2004),

Теоретическом семинаре Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН под руководством академика Л.В. Овсянникова,

Семинаре лаборатории дифференциальных уравнений и смежных вопросов анализа Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством профессора М.В. Фокина и профессора B.C. Белоносова,

Семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН "Математическое моделирование в механике" под руководством профессора В.К. Андреева,

Семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН "Математические модели и методы интегрирования" по руководством профессора О.В. Капцова.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [41-50] и [70,71].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.К. Андрееву за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также к.ф.-м.н. А.А. Родионову за обсуждение и полезные замечания.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты НШ 902.2003.1 и 05-01-00836-а) и Красноярского краевого фонда науки (проект 12F003M).

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты диссертационной работы:

1. Проведен групповой анализ модели термодиффузии бинарной смеси в двумерном и трехмерном случаях. Найдены преобразования эквивалентности и решена задача групповой классификации уравнений относительно параметров. Это позволило выяснить зависимость групповых свойств модели от того, какие эффекты учитываются при ее построении (термодиффузия, зависимость плотности от температуры и концентрации). Установлено, что с помощью преобразований эквивалентности уравнение диффузии можно привести к однородному уравнению, в результате чего исходная система существенно упрощается.

2. Показано, что при учете эффекта термодиффузии, а также зависимости плотности от температуры и концентрации, уравнения модели допускают бесконечномерную алгебру Ли операторов, которую можно представить в виде полупрямой суммы конечномерной подалгебры и бесконечномерного идеала. Проведена классификация инвариантных решений (построены оптимальные системы подалгебр первого порядка для трехмерной модели и первого и второго порядков для двумерной модели).

3. Для двумерных уравнений выписаны инвариантные подмодели рангов один и два. Большая часть инвариантных подмоделей ранга один проинтегрирована в явном виде. Найдены новые классы точных решений и получены обобщения ранее известных решений уравнений свободной конвекции на случай термодиффузионного движения бинарной смеси. Построены точные решения трехмерных уравнений, описывающие стационарное вращательно-симметричное движение.

4. Дана физическая интерпретация части найденных решений. Показано, что эти решения описывают стационарное движение бинарной смеси в следующих конфигурациях: наклонный слой, ограниченный твердой стенкой и свободной границей; плоский вертикальный слой при наличии продольных градиентов температуры и концентрации; вертикальный слой между двумя коаксиальными цилиндрами при наличии поперечной разности температур, а также продольного градиента температуры. Исследовано влияние эффекта термодиффузии на режим течений. Установлено, что при определенном значении безразмерного параметра термодиффузии для всех рассмотренных течений имеет место механическое равновесие.

5. Изучены групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла в предположении, что поле скоростей удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса. Построен новый пример точного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса.

6. Предложен новый подход к проблеме классификации бесконечномерных алгебр Ли. Показано, что в качестве классифицирующего признака можно использовать понятие нормализатора подалгебры. Для подалгебры, базис которой зависит от произвольных функций, введено понятие преобразования подобия и сформулирована задача классификации. Эта задача заключается в нахождении специализаций произвольных функций путем вычисления нормализатора подалгебры и исследования возникающих при этом случаев. Показано, что данная задача может быть эффективно использована для классификации инвариантных решений дифференциальных уравнений и изучения групповых свойств соответствующих факторсистем.

1. аврамовиц М., стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.

2. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 319 с.

3. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. 352 с.

4. АНДРЕЕВ В. К. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии // Труды III международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2002. С. 13-17.

5. БИРИХ Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ. 1966. № 3. С. 69-72.

6. БИРКГОФ Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1963. 244 с.7. бокштейн Б.С. Термодиффузия // Соросовский образовательный журнал. 1999. № 4. С. 40-43.

7. Гершуни Г.З., жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

9. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин J1.E. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси // ПММ. 1980. Т. 44, Вып. 5. С. 823-830.

10. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

11. ИБРАГИМОВ Н.Х. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1967. 60 с.

12. ИБРАГИМОВ Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

13. Катков в.Л. Точные решения некоторых задач конвекции // ПММ. 1968. Т. 32, Вып. 3. С. 482-487.

14. КАПИТАНСКИЙ Л.В. Групповой анализ уравнений Навье-Стокса и Эйлера при наличии вращательной симметрии и новые точные решения этих уравнений // ДАН СССР. 1978. Т. 243, № 4. С. 901-904.

15. ОВСЯННИКОВ Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1962. 240 с.

16. ОВСЯННИКОВ Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

17. ОВСЯННИКОВ Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск, 1992. 12 с.

18. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, Вып. 4. С. 30-55.

19. ОВСЯННИКОВ Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333, № 6. С. 702-704.

20. ОВСЯННИКОВ Л.В. О свойстве ^-автономии. Докл. РАН. 1993. Т. 330, № 5. С. 559-561.

21. ОВСЯННИКОВ Л.В. Регулярные и нерегуляные частично инвариантные решения. Докл. РАН. 1995. Т. 343, № 2. С. 156-159.

22. ОВСЯННИКОВ Л.В. Симметрия барохронных движений газа // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44, № 5. С. 1098-1109.

23. Рабинович Г.Д., Гуревич Р.Я., Боброва Г.Н. Термодиффузионное разделение жидких смесей. Минск: Наука и техника, 1971.40. рабинович Г.Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией. М.: Атомиздат, 1981. 144 с.

24. РЫЖКОВ И.И. Оптимальная система подалгебр для уравнений термодиффузии // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9, № 1. С. 95-104.

25. РЫЖКОВ И.И., Андреев В.К. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 4. С. 508-517.

26. РЫЖКОВ И.И. О нормализаторах бесконечномерных подалгебр // Тезисы докладов всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение". Новосибирск, 2004. С. 123-124.

27. РЫЖКОВ И.И. Групповой анализ и точные решения уравнений термодиффузии в плоском случае // Тезисы докладов XX Всероссийской школы-семинара "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа". Новосибирск, 2004. С. 63-64.

28. РЫЖКОВ И.И. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии // Тезисы докладов VI международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике". Новосибирск, 2005. С. 71.

29. Сенашов С.И., киряков П.П., Яхно А.Н. Приложение симметрии и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск, 2001. 192 с.

30. ХАБИРОВ С.В. Непрерывное радиальное ограниченное движение газа под действием поршня // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2. С. 124-135.56. чупахин А.П. О барохронных движениях газа // Докл. РАН. 1997. Т. 352, № 5. С. 624-626.

31. Choi I.G., Korpela S.A. Stability of the conduction regime of natural convection in a tall vertical annulus //J. Fluid Mech. 1980. V. 99, № 4. P. 725-738.

32. Fushchych W., popowych R. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations. I // Nonlinear mathematical physics. 1994. V. 1, № 1. P. 75-113.

33. Fushchych W., Popowych R. Symmetry reduction and exact solutions of the Navier-Stokes equations. II // Nonlinear mathematical physics. 1994. V. 1, № 2. P. 158-188.

34. TRITTON, D.J. Physical Fluid Dynamics. Oxford University Press, 1988. 519 p.