Ионизация и рекомбинация в кластерной плазме при взаимодействии с мощными фемтосекундными лазерными импульсами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 537.5

/-¡о Не,

Софронов Алексей Васильевич

ИОНИЗАЦИЯ И РЕКОМБИНАЦИЯ В

КЛАСТЕРНОЙ ПЛАЗМЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С МОЩНЫМИ ФЕМТОСЕКУНДНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ

Специальность 01.04.08 - физика плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О У.ГЗ 2910

Долгопрудный 2010

004602389

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Крайнов Владимир Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник РНЦ «Курчатовский институт»

Лисица Валерий Степанович

кандидат физико-математических наук, доцент МИФИ

Швецов-Шиловский Николай Иванович

Ведущая организация: Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита состоится « ^ » ьЧМ в ч. ^ мин. на заседании

Диссертационного совета Д 212.156.06 при Московском Физико-Техническом Институте (Государственном Университете) по адресу: 117393, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, корп. В-2

Отзывы можно направлять по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, МФТИ, Диссертационный совет Д212.156.06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан «_»_2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.156.06

Кандидат техн. наук

Чубинский Н.П.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Проблема внутренней ионизации атомов и атомных ионов и внешней ионизации в атомарных кластерах находится в поле зрения теоретиков и экспериментаторов уже на протяжении нескольких десятилетий. В последнее время, новая волна интереса к данной тематике связана с возможностью получения изолированных фемтосекундных импульсов и даже аттосекундных импульсов. Их интенсивности достаточны, чтобы произвести ионизацию, а сверхкороткая длительность определяет новые возможности диагностики на атомных масштабах времени. Существенно, что за столь малые времена ионы и атомы в атомарном кластере не успевают разлететься.

В последнее время при рассмотрении лазер-кластерного взаимодействия широкое распространение получили подходы, основанные на PIC-симуляциях или tree-code моделировании. При больших возможностях, которые дают эти численные методы, не всегда они позволяют построить целостную физическую картину. Отсюда возникает необходимость в аналитических подходах к данным задачам.

При облучении больших кластеров, содержащих несколько тысяч атомов или молекул, полем сверхсильного ультракороткого лазерного импульса (с длительностью порядка сотни фемтосекунд, т.е. порядка 30 периодов поля титан-сапфирового лазера), образуется сильно возбужденная материя. Нагрев электронов проводимости в случае металлических кластеров (или первично ионизованных электронов в случае кластеров из атомов инертных газов), с одной стороны, и отсутствие возможности быстрого отвода тепла из-за фемтосекундной длительности импульса, как в случае обычной плазмы, с другой стороны, позволяют достигать значительно большего возбуждения плотной электронной подсистемы по сравнению с изолированными атомами и молекулами. При этом атомарные ионы практически не успевают нагреться. После быстрой начальной многократной ионизации в течение основной части действия лазерного импульса вещество кластерного иона представляет собой идеальную плазму, состоящую из электронов и многозарядных атомарных ионов. При этом часть электронов вылетает из кластера. Эволюция кластера в лазерном поле изучалась как экспериментально, так и теоретически посредством различных численных и аналитических методов. Несмотря на высокую (твердотельную) концентрацию электронов и атомарных ионов, кластерная плазма является идеальной ввиду большой электронной температуры.

Научная Новизна.

1. Впервые получены простые аналитические выражения для релятивистских высокоэнергетических электронных спектров атомов внутри атомарных кластеров при туннельной и надбарьерной ионизации под воздействием сверхсильного линейно-поляризованного фемтосекундного лазерного импульса.

2. Предложен новый механизм фоторекомбинации и генерации жесткого рентгеновского излучения при взаимодействии атомарных кластеров с интенсивными фемтосекундными лазерными импульсами.

3. Предложен новый механизм нагрева электронов при их упругом отражении от поверхности кластера в присутствии лазерного поля. При каждом отражении электрон может как поглощать, так и вынужденно испускать фотоны лазерного излучения, но вероятность поглощения несколько больше вероятности излучения.

4. Впервые получено простое аналитическое выражение для дрейфовой скорости электрона после окончания лазерного импульса в условиях, когда электрон покоился до начала импульса, и для релятивистской дрейфовой скорости электрона, образованного при туннельной или надбарьерной ионизации атомов и атомарных ионов сверхсильным лазерным полем.

Личный вклад автора

Результаты диссертационной работы получены автором лично или при его непосредственном участии. Все расчеты, изложенные в материале диссертации, и их интерпретация осуществлялись лично автором.

Основные положения, выносимые на защиту

1. В ультрарелятивистском поле (еР/ттс>\, где F - амплитуда электрического поля внутри кластера, а - лазерная частота) показано, что при внутренней ионизации в атомарном кластере наиболее вероятен вылет электрона вдоль направления распространения лазерной волны. Вероятность вылета электронов вдоль направления магнитного поля существенно меньше вероятности вылета вдоль остальных направлений. Вероятность вылета электрона вдоль направления вектора поляризации содержит релятивистский пик, когда импульс электрона в данном направлении равен пондеромоторному импульсу F/ffl. Энергетический спектр и угловое распределение в релятивистском случае не зависят от потенциала ионизации атома или атомарного иона.

2. При переходе из непрерывного спектра в квантовое основное состояние большого ионизованного атомарного кластера в его

2

кулоновском поле электроны испускают спонтанные фотоны с энергией в несколько кэВ, что значительно превышает энергию фотонов при рекомбинации на атомарные ионы внутри кластера.

3. В процессе каждого отражения от внутренней поверхности кластера электрон приобретает удвоенную колебательную (пондеромоторную) энергию от лазерного поля, аналогично тому, что имеет место при столкновении с атомарным ионом в присутствии лазерного поля, т.е., в процессе вынужденного обратного тормозного поглощения.

4. Показано, что теорема Лоусона-Вудворда неприменима в случае сверхсильных полей и ультракоротких лазерных импульсов. Это существенно для атомарных кластеров в процессе их расширения, когда достигается резонанс Ми и лазерное поле внутри кластера значительно превышает внешнее лазерное поле.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных и общеррссийских конференциях:

1. XXXIII Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, 13-17 февраля 2006 г., г. Звенигород

2. 17th International Symposium on Strong-Field and Attosecond Physics, Trondheim, Norway, June 30-July 04, 2008

3. 12th International Workshop on the Physics of Non-Ideal Plasmas, Darmstadt, Germany, 4-8 September, 2006.

4. 35-я студенческая конференция МИФИ, 25-27 января 2005 г.

5. 16^ International Laser Physics Workshop, Leon, Mexico, 20-24 August, 2007

6. 6th Workshop on Complex Systems of Charged Particles and their Interaction with Electromagnetic Radiation, April 9-10, 2008, A.V.Prokhorov General Physics Institute, Moscow.

7. 5th Workshop on Complex Systems of Charged Particles and their Interaction with Electromagnetic Radiation, April 11-12, 2007, A.V.Prokhorov General Physics Institute, Moscow.

8. 4th Workshop on Complex Systems of Charged Particles and their Interaction with Electromagnetic Radiation, April 19-21, 2006, A.V.Prokhorov General Physics Institute, Moscow.

9. IX Школа Молодых Учёных ИБРАЭ РАН, «Безопасность и риски в энергетике», 24-25 апреля 2008 года, Москва.

10.VII Школа Молодых Учёных ИБРАЭ РАН,«Безопасность и риски в энергетике», 20-21 апреля 2006 года, Москва.

11.11th International Conference on Multiphoton Processes, 19-23 September 2008, Heidelberg, Germany.

Публикации.

По материалам работы опубликовано 10 статей в рецензируемых отечественных и международных журналах и одна публикация в трудах научных конференций. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 80 страниц, в том числе 6 рисунков. Список литературы содержит 14 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ПЕРВАЯ (ВВОДНАЯ) ГЛАВА

В этой главе обосновывается актуальность темы исследования диссертационной работы, приводится краткий литературный обзор, а также формулируются основные цели и задачи работы.

Глава состоит из двух частей. В первом разделе рассматривается переход из одного квантового состояния 1 в другое состояние 2 под действием сильного, но медленно меняющегося со временем лазерного возмущения (по сравнению с временами обращения электронов в атомах) через приближение Ландау-Дыхне. Суть приближения основывается на квазиклассическом переходе. Преимущество данного подхода Ландау-Дыхне состоит в том, что он позволяет получить экспоненциально малые вероятности перехода для различных выражений, определяющих адиабатические энергии, в то время как подход Ландау-Зинера относится только к определенному типу адиабатических энергий, но зато позволяет получать и большие вероятности перехода.

Во втором разделе подробно разбираются различные механизмы ионизации кластеров, а именно: внутренняя ионизация, ионизация при неупругих электронных столкновениях, поглощение лазерного излучения в кластере и внешняя ионизация кластеров.

ВТОРАЯ ГЛАВА

В этой главе выводятся энергетические спектры при туннельной и надбарьерной ионизации атомов и атомарных ионов в кластерах под

действием сверхсильного линеино-поляризованного лазерного излучения. Теоретический подход основывается на адиабатическом приближении Ландау-Дыхне. Были получены простые аналитические выражения для энергетических спектров в релятивистском случае. Показано, что высокоэнергетическая часть спектра имеет универсальный вид и не зависит от лазерной частоты, а также и от нерелятивистского потенциала ионизации атома или атомарного иона.

Качественный подход

Туннельная и надбарьерная ионизация под действием сверхсильного линейно-поляризованного лазерного излучения основана на теории Келдыша [1]. В этом режиме параметр Келдыша очень мал:

у = а>Щ,!¥ «1 (1)

Здесь Р и ш - амплитуда и частота лазерного поля, соответственно, а Е, -потенциал ионизации атома или атомного иона (здесь и далее, как правило, используются атомные единицы). Теоретические подходы обычно основываются на адиабатической аппроксимации Ландау-Дыхне для квантовой механики [2]. Для этого требуется, чтобы энергия фотона лазерного излучения была бы мала по сравнению с потенциалом ионизации атома или атомарного иона. Эти приближения и записанная выше формула для параметра Келдыша верны также и в случае, когда энергия свободного электрона является релятивистской величиной.

В таком случае вероятность перехода, м>(Р) из начального (нерелятивистского) состояния в конечное состояние с дрейфовым импульсом Р вычисляется в адиабатическом приближении по хорошо известной формуле Ландау-Дыхне (с экспоненциальной точностью):

'о

к{Р) ~ ехр[-21т \Еи)Л] (2)

о

Здесь комплексное время /0 (классическая точка поворота) определяется из условия

£(/„) = 0 (3)

Мы не учитываем кулоновское поле атомного остова в рамках экспоненциальной точности всех выражений. Это выражение справедливо также для релятивистского случая. Энергия конечного состояния равна (см. [3]):

(4)

т=— 26

(Р +—8Ш!З)2 + С2+<52

(О

Здесь Р - продольный дрейфовый импульс испускаемого электрона (вдоль направления электрического поля лазерного излучения). Величина 8 определяется выражением

8 = ^Рг + Яг + 01 + сг-л

Здесь () - импульс испускаемого электрона вдоль направления магнитного поля, а Я - импульс испускаемого электрона вдоль направления распространения лазерного импульса.

Задача нахождения спектра решается подстановкой (4) в (2) и вычислением возникающего интеграла. Интегрирование по времени заменяется интегрированием по фазе благодаря использованию релятивистского соотношения [3] между ними

Опуская простые вычисления, легко получить энергетический спектр

В отличие от нерелятивистского случая ^ / ас «1 видно, что в ультрарелятивистском случае F/й>>c спектр не зависит от лазерной частоты и от потенциала ионизации рассматриваемого атома или атомарного иона. Типичный дрейфовый импульс Р имеет оценку

На практике значение Р становится релятивистской величиной только при огромных значениях напряженности поля Г > О.Зс3- 106 а.е.

Количественное описание

Рассмотрим вылет электрона по направлению лазерного поля при туннельной и надбарьерной ионизации. Пусть Р - импульс электрона по направлению поляризации. Релятивистская энергия электрона во внешнем поле с амплитудой Т7 и частотой а имеет вид (в релятивистской системе единиц е = т =с =1)

Е{1) = ±-у+\ + {Р + ?-йпср)1\ (7)

где (р - фаза поля, а

Подставляя выражение (7) в уравнение Ландау-Дыхне, мы получим

и{Р) = ехр

где классическое действие определено соотношением

~ (Ро

Б(Р) = —1т |£(0[£(0 (9)

ау $

Мы пренебрегаем потенциалом ионизации атома по сравнению с энергией покоя электрона. Классическая точка поворота определяется из уравнения

5т<р0=^[1{у-\)-Р} (10)

г

При выводе выражения (9) мы учитывали, что

с1ф _ у

Подставляя (7) в (9), получаем (восстанавливая обычные единицы)

ПО)

(И) (12)

где и ■■

ЛЛ") =

[2(Р2+1)/ы2+1]3

Р2 +2

+ 1/2-22

{[■У(Р2+1)/ц2+1/2~-1/ц]2-г2} ,/(1 + г2-Р2/ы2)2+(2Рг/и)2

хд/^О + г2-Р2/и2)2 +(2Рг/и)2 + \ + г2 -(Р/и)2

(13)

а = ^(Р2 +1 )/«2 +1/2-1/М Отметим, что величина вероятности и» не зависит от направления вектора Р.

/

Рис. 1. График функции /(Р,и) для нескольких значений параметра и = РIсос, линия 1 - и = 0.5, линия 2 - и = 1.0, линия 3 - и = 2.0, линия 4 - и = 5.0

График функции / представлен на рис. 1 для различных значений

р

релятивистского параметра и = — = 0.5,1,2, и 5. Эти результаты применимы

ос

для всех атомов и атомарных ионов.

Из рис. 1 следует, что вероятность ионизации уменьшается с увеличением интенсивности поля.

Теперь рассмотрим вылет электрона из атома по направлению вектора магнитного поля линейно поляризованной лазерной волны. Пусть - импульс электрона вдоль вектора напряженности магнитного поля. Параметр у останется таким же

(14)

Тогда энергия электрона в конечном состоянии будет равна

О5)

2у [' ~ а2 Вероятность ионизации находится по аналогии

Чб>") = ехр(-^А(0,а)), (16)

ПОЗ

где и = Р! ох, а функция и) определяется как

о у[и*+и

Верхний предел интегрирования Ь равен

Ь = №+(у-1)2

Рис. 2 График функции И((),и) для нескольких значений параметра и = Р / сас, линия 1 - и = 1.0, линия 2 - « = 2.0.

Отметим, что = . График функции Ы(),и) показан на рис. 2 для двух случаев и = 1 и и = 2. Из этого графика следует, что вероятность ионизации Кб.") возрастает с увеличением интенсивности поля, в отличие от предыдущего раздела.

В последнем разделе главы, определяется спектр электронов, вылетевших по направлению распространения лазерной волны. Пусть Я -импульс электрона вдоль вектора распространения лазерной волны. Тогда энергия электрона в конечном состоянии будет

= + (18)

где

Г = + + (19)

Вероятность ионизации в таком случае определяется формулой

= (20) па

где и = Р/ас, а функция я(0,и) имеет вид

= (21) 2 Г о ^2 + и

Здесь верхний предел интегрирования Ъ равен Ь =| /-11.

Необходимо отметить, что в данном случае к(К) ф и(-Я) , в отличие от

прошлых глав. График функции ^(Л,«) показан на рис. 3 для случаев и = 1

и и = 2.

Рис 3. График функции g(R,u) для нескольких значений параметра и = FIас ; линия 1 - м = 1.0, линия 2 - и = 2.0.

В заключение приводятся основные результаты данной главы: Спектр электронов по направлению лазерного поля зависит от знака импульса электрона, в отличие от спектра вдоль направления электрического и магнитного полей,

1. В ультрарелятивистском поле ( F / ыс > 1 ) наиболее вероятен вылет электрона вдоль направления распространения лазерной волны,

2. Вероятность вылета электронов вдоль направления магнитного поля существенно меньше вероятности вылета вдоль остальных направлений,

3. Вероятность вылета электрона по направлению вектора поляризации содержит релятивистский пик, когда импульс электрона в данном направлении равен пондеромоторному импульсу Fia,

4. Энергетический спектр и угловое распределение в релятивистском случае не зависит от потенциала ионизации атома или атомарного иона.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА

В третьей главе рассматриваются механизмы рекомбинации в атомарных кластерах и механизмы генерация жесткого рентгеновского излучения рекомбинации в процессе облучения атомарных кластеров интенсивными фемтосекундными лазерными импульсами.

Механизмы рекомбинации в атомарных кластерах.

В этом разделе обсуждаются различные механизмы рекомбинации электронов с многозарядными атомарными ионами в атомарных кластерах, облучаемых сверхсильными фемтосекундными лазерными импульсами. Показано, что почти все рекомбинационные механизмы требуют времени, существенно превышающего длительность лазерного импульса, а потому они могут развиваться только в однородной достаточно разреженной кластерной плазме после окончания импульса. Кроме того, найдено, что все автоионизационные состояния многозарядных ионов в плотной кластерной плазме разрушены электрическим полем Хольцмарка атомарных ионов.

Столкновительная рекомбинация в сверхплотной кластерной плазме, при которой электрон, рассеиваясь на другом электроне внутри кластера, рекомбинирует с атомарным ионом, рассматривается сначала в начальном стадии нагрева свободных электронов кластера после ионизации. Коэффициент классической тройной рекомбинации равен

а = 5.4-Ю-27 Г;"2. (22)

Значение коэффициента тройной рекомбинации дается в этой формуле в смб/с, а электронная температура Те - в эВ. Следовательно, характерное время столкновительной рекомбинации электрон — ион - электрон равно

гс~ = 450ТГфс. (23)

Время столкновительной рекомбинации при многократной ионизации атомов кластера уменьшается в 2 раз:

~ТГ фс. (24)

Электронная температура в кластере при воздействии на кластер фемтосекундных импульсов с интенсивностью порядка 1018 Вт/см2 обычно превышает 100 эВ, так что указанное время столкновительной рекомбинации превышает нескольких пикосекунд.

При диэлектронной рекомбинации на первом этапе электрон захватывается атомарным ионом с образованием возбужденного состояния нового атомарного иона с меньшей на единицу кратностью ионизации:

А*

Коэффициент диэлектронной рекомбинации (см3/с) в предположении максвелловского распределения электронов записывается в виде

2л-к

" ' ехр

Пт_ 22 ' Г + 2п'2 Т

(25)

тТе ) +

Здесь g0 ~ статистический вес атомарного иона в начальном состоянии, ga -статистический вес автоионизационного состояния (дважды возбужденного состояния выше порога ионизации), Те — электронная температура, - вероятность радиационного распада внутри ионного остова в единицу времени, и'а - вероятность распада автоионизационного состояния в единицу времени, Ъ - заряд ионного остова, со - частота испускаемого фотона.

Оценим вероятность радиационного распада п>г:

с

Оценим вероятность автоионизационного распада \уа:

>/3п2(п2-12)

(26)

(21+ \)п'3

Максимальное главное квантовое число дискретного ридберговского уровня определяется соотношением

пга»=(5.23-1014г2/^/3),/4. (27)

Здесь концентрацию N1 атомарных ионов в кластере следует подставлять в см"3. В частности, для рассматриваемого выше примера ксенонового кластера с 2 = 6 и N1 = 2-Ю22 см"3 находим ишах = 2.2. Это означает, что электрическое поле атомарных ионов в кластере сносит практически все ридберговские состояния, и поэтому автоионизационные состояния фактически отсутствуют.

При прямой радиационной рекомбинации электрон непосредственно рекомбинирует в основное состояние многозарядного иона с испусканием

16л/2тг „

(28)

спонтанного фотона. Коэффициент фоторекомбинации можно оценить с помощью формулы Крамерса

2 Е, Т

Здесь использованы атомные единицы. Для рассмотренного выше примера ксенонового кластера с шестизарядными атомарными ионами ксенона (Е0 = 70 эВ) и электронной температурой Т — 100 эВ получим а, =10 5 ае. Характерное время прямой фоторекомбинации равно тг = 1 /Nar =700 пс..

В заключение можно сделать вывод о том, что все возможные процессы рекомбинации в плотной кластерной плазме, образующейся при облучении атомарных кластеров фемтосекундными лазерным импульсами, имеют место через значительное время после окончания лазерного импульса. При этом имеет место интенсивная генерация рентгеновского излучения. Как и в случае взаимодействия сверхсильного фемтосекундного импульса с твердотельными мишенями, рекомбинация многозарядных ионов обусловлена процессом перезарядки на нейтральных атомах остаточного инертного газа.

Генерация жесткого рентгеновского излучения.

В этом разделе предлагается новый механизм генерации жесткого рентгеновского излучения при взаимодействии атомарных кластеров с интенсивными фемтосекундными лазерными импульсами. Электроны, вылетевшие из кластера в результате внешней ионизации, могут вновь попасть внутрь другого кластера, взаимодействуя с кулоновским полем положительного заряженного кластера, созданным внешней ионизацией. Мы рассматриваем заряженный кластер как квантовую потенциальную яму (равномерно заряженный шар). Потенциальная энергия электрона в области равномерно заряженного кластера с радиусом R и зарядом Z считается по формуле (здесь и впоследствии используется атомная система единиц

U(r) = -Z/r, r>R U(r) = Z(-3l2R + r2 /2R3), r <R

Заряд кластера является результатом внешней ионизации, вызванный лазерным полем.

Неравенство R» a</Z всегда выполняется для атомарных кластеров. Здесь До радиус Бора. Потенциал (29) очень хорошо апроксимируется потенциалом осцилятора с частотой ш0 = pZ/R1 « U(r) ~ Z/R.

Рассмотрим в качестве примера большой атомарный кластер с радиусом R = 300 Â и плотностью электронов плазмы пе = 2-Ю22 cm"3. Данный кластер содержит N = пе (4nR /Ъ) = 2.25 • 10б электронов. Мы полагаем, что заряд кластера приблизительно равен Z =10 . Частота осциллятора составляет со0 = 0.64 эВ. Потенциал ионизации основного состояния равен - £ = 7.2 кэВ.

^„3, _.„ (29)

Нормированная волновая функция основного осцилляторного состояния имеет вид

г V'8 {

ехр (30)

V /

Локализация волновой функции в этом случае (4/?3/2)"4 ~ 5А. Длина волны фотона рентгеновского излучения равна 71сК!Ъ2 ~ 1.7А. Таким образом, длина волны фотона меньше, чем радиус локализации основного состояния. Следовательно, дипольное приближение неприменимо для описания фотоионизации и фоторекомбинации, не смотря на то, что данный случай является нерелятивистским. Сечение рассеяния электрона равно

(31)

где р - импульс электрона, со - частота фотона, и Мл- матрица перехода. Согласно закону сохранения энергии мы имеем со = Е + р2 12. Следует учесть, что энергия электрона в конечном состоянии р2 /2 ~ Е.

Матричный элемент перехода рассчитывается следующим образом

= С(ер) |ехр(-рг + ¡кг)у/(г)с1г (32)

Здесь е - вектор поляризации фотона, к - волновой вектор фотона, к = со/с. Конечное состояние электрона описывается в данной работе плоской волной.

Следует отметить, что экспоненту ехр(1кг) нельзя разложить в ряд Тейлора, так как, как мы говорили ранее, дипольное приближение в нашем случае неприменимо, а характерные величины кг ~ 1. Кинетическая энергия электрона в основном состоянии: к1/2 ~ о212с1 ~ 9 (2/сЯ)2 /8. Опуская несложные математические выкладки, мы получаем

" - 1б^4 : ' "Ль, I >хр(-^)вшф> - 2крз)гс1г |2 (33)

33'2(Z^)3/V_J k2+p-2kps

s = cos 3, 3 - угол между векторами р и к. Сечение рекомбинации в этом случае

2т2

2 2 ion

с р

ж\гп R^

сгш 13

(34)

^ = (35)

Сечение рекомбинации имеет вид

'яЛ3'2^'4 .ъ) сг5 Здесь

л: = (/г3/г>,/4 ~(23/2)"4/2с, р = (я3/гунР. (36)

Максимальное значение сечения равно

Тогда вероятность рекомбинации в единицу времени получается равной

"«=7^7(38)

Вероятность фоторекомбинации на атомарном ионе в единицу времени вычисляется по формуле

; = „ , (39)

Здесь Ее -кинетическая энергия электрона. 2- заряд атомарного иона.

Таким образом, можно сделать вывод, что частота фоторекомбинации на атомарном ионе заметно выше, чем на кластере как на целом.

В заключение главы приводятся основные выводы. .

Скорость фоторекомбинации для приведенного выше механизма может быть получена из сечения процесса путем умножения на скорость электрона и деления на объем атомарного кластера. В приведенном выше примере скорость оказывается равной 5-103 с"1. В то же время скорость фоторекомбинации таких электронов на атомарных ионах внутри кластера гораздо больше - для указанных выше параметров кластера и лазерного импульса она равна 3-1011 с"'. Отметим, что для фоторекомбинации на атомарных ионах дипольное приближение применимо с высокой точностью.

Хотя, как мы видим, вероятность рекомбинации для рассматриваемого в данной работе механизма весьма мала, но тем не менее, эффект может быть наблюден, так как энергии фотонов сильно различаются. Именно, механизм коллективной фоторекомбинации на ионизованном кластере, рассматриваемый в данном разделе, приводит к гораздо более жестким фотонам (в рассматриваемом выше типичном примере она равна 7.2 кэВ), чем обычный механизм фоторекомбинации на атомарных ионах.

В недавнем эксперименте [3] лазерными импульсами с интенсивностью выше

1017 Вт/см2 и длительностью 40 фс облучались аргоновые кластеры. Спектрометр регистрировал жесткое рентгеновское излучение с энергиями фотонов от 2.9 до 4.3 кэВ. Наблюдаемые характеристические линии демонстрировали переходы в многократно ионизованных атомах аргона с зарядами до 16+. Можно надеяться, что в будущих экспериментах будут наблюдаться также фотоны с более высокими энергиями, несмотря на относительно небольшое число, механизм генерации которых описывается предлагаемым нами подходом, описанным в статьях [4, 5, 6, 7, 8].

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.

В четвертой главе рассматриваются основные механизмы нагрева электронов при облучении релятивистским лазерным импульсом.

1. Поверхностный нагрев электронов при облучении больших атомарных кластеров релятивистским фемтосекундным лазерным импульсом

При облучении больших (с числом атомов более 104) атомарных кластеров, состоящих из атомов инертных газов (Аг, Кг, Хе), полем фемтосекундного (40 - 100 фс) лазерного импульса с пиковой интенсивностью порядка 1018 Вт/см2 и выше на переднем фронте лазерного импульса имеет место последовательная многократная ионизация атомов и их ионов внутри кластера [1]. Кластеры не успевают расшириться за это время ввиду кратковременности лазерного импульса. Внешняя ионизация (вылет электронов наружу из кластера) также незначительна ввиду большого числа атомов в кластере: она существенна для кластеров с числом атомов менее 1000. Лазерное поле слабо проникает внутрь кластера ввиду того, что концентрация свободных электронов пе значительно превышает критическую (1021 см"3), при которой лазерная частота титан-сапфирового лазера (с длиной волны около 800 нм) равна частоте поверхностного плазмона Ми ^Алпс/Ъ (в атомных единицах). Эти электроны могут чувствовать внешнее лазерное поле только, находясь на поверхности кластера.

Мы рассматриваем механизм поглощения фотонов электроном при его отражении от поверхности кластера. Наружу он не может выйти в большом (исходно нейтральном) кластере из-за кулоновских сил притяжения своим изображением внутри кластера. Если кластер все же ионизован, то электрон притягивается внутрь также и кулоновским полем положительно заряженного кластерного иона. Чем больше энергия электрона, тем чаще он сталкивается со стенками кластера и соответственно тем больше приобретает энергии от лазерного поля в течение лазерного импульса.

Задача сводиться к трехмерному движению электрона внутри сферы и его отражения от стенок этой сферы. Решается релятивистская задача, т.е. напряженность электрического поля линейно поляризованного лазерного излучения внутри кластера имеет вид (поле внутри кластера однородно, так как его размер предполагается малым по сравнению с длиной волны лазерного излучения и по сравнению с глубиной скин-слоя):

F(í) = F0 cos at ■ exp(-t2 /12) где t - длительность импульса. Аналогичный вид имеет перпендикулярное ему магнитное поле B(í) (с амплитудой, равной по величине амплитуде электрического поля). Конечно, это поле имеет место только вблизи поверхности кластера ввиду дебаевской экранировки. Но для удобства расчетов мы сохраняем его всюду внутри кластера, так как отражение электрона имеет место вблизи поверхности кластера. При упругом отражении электрона от поверхности угол падения полагался равным углу отражения. В этот момент и происходил сбой фазы лазерного поля,

приводящий к реальному поглощению лазерной энергии. Таким образом, внутри кластера решалось релятивистское уравнение движения

При численном счете для каждого значения напряженности поля выбиралось несколько значений для начального положения электрона внутри кластера, и по этим положениям производилось усреднение конечной энергии электрона после выключения лазерного импульса. Конечно, выбранная форма поля является приближенной, так как уравнениям Максвелла удовлетворяет поле, зависящее не от времени I, а от волновой переменной м-кг {г - направление распространения электромагнитной волны). Но ввиду малости размеров кластера по сравнению с длиной волны лазерного излучения вторым слагаемым в волновой переменной можно пренебречь.

На рис. 4 представлена зависимость энергии электрона после окончания лазерного импульса (в атомных единицах) как функция напряженности электрического поля (также взятой в атомных единицах) при радиусе кластера, равном Я = 20 нм, длине волны лазерного импульса 800 нм и длительности лазерного импульса г= 100 фс [6].

Рис. 4. Энергия электрона Е (а.е.) после окончания лазерного импульса как функция амплитуды напряженности электрического поля лазерной волны /г(а.е.).

Отметим, что в целом энергия электрона растет с ростом напряженности, хотя и немонотонно. Например, значение напряженности Р = 50 а.е. соответствует ультрарелятивистской пиковой интенсивности лазерного импульса I = 8-Ю19 Вт/см2. При этом ультрарелятивистское

значение колебательной энергии равно Рс/со = 1.3-105 а.е. Набор энергии электроном оказывается на порядок меньше этого значения.

После набора электронами кинетической энергии внутри кластера они вылетают из кластера. Число вылетевших электронов определяется условием, чтобы кинетическая энергия электрона стала бы равной потенциальной энергии кулоновского притяжения его к положительно заряженному ионизованному кластеру, из которого вылетела часть электронов в результате внешней ионизации.

2. Релятивистские дрейфовые скорости фотоэлектронов в поле сверхсильного фемтосекундного лазерного импульса

Во втором разделе четвертой главы получены простые аналитические выражения для релятивистских дрейфовых скоростей фотоэлектронов в поле сверхсильного фемтосекундного лазерного импульса. Если электрон первоначально находился в состоянии покоя, то дрейфовая скорость экспоненциально мала даже в поле сверхсильного импульса. Дрейфовая скорость электрона становится релятивистской величиной, если электрон образуется внезапно при туннельной или надбарьерной ионизации атома или атомарного иона внутри кластера, а) электрон покоился до включения импульса Напряженность линейно - поляризованной лазерной волны, распространяющейся по оси Z, определяется выражением (электрическое поле направлено по оси X)

F(t,z) = F„ exp[-f('~z/c)2]cos[c>(r-z/c) + ?>] (40)

x

где F„ - амплитуда поля, а - его частота, <р - начальная фаза, г -длительность лазерного импульса.

Решая классические уравнения движения электрона, получаем дрейфовую скорость электрона.

т,-.. Л»

Усредняя по фазе, находим

2с4+Л2(00) ^

(41)

Vl+2V!c_

где

„ 2 2 | -: — К г ехр —

б) электрон образовался при надбарьерной ионизации

Рассмотрим надбарьерную ионизацию атома (или иона). Электрон покидает атом с ненулевым начальным импульсом р0 (по оси X). Аналогично предыдущему случаю находим максимально возможную скорость электрона после выключения импульса

K/mix ~ c

В случае туннельной ионизации, когда F «(2£,)3'2, имеем

__3/г3

^ = ~л 2 /о г \3/2 (43)

Показано, что покоящийся в начальный момент времени электрон, попадая в поле ультракороткой лазерной волны, дрейфует после выключения лазерного импульса с нерелятивистской скоростью. Картина качественно меняется, если мы имеем дело с процессом быстрой ионизации, в этом случае электрон может разгоняться до релятивистской скорости. Таким образом, лазерный импульс разгоняет лишь электроны, образовавшиеся в результате быстрой туннельной или надбарьерной ионизации.

В заключение четвертой главы приводятся основные выводы.

Дрейфовая скорость электрона становится релятивистской величиной, только когда электрон возникает в результате туннельной или надбарьерной ионизации сильным лазерным импульсом. Невозможно практически ускорить свободный электрон из состояния покоя до включения лазерного импульса. Это утверждение справедливо также для свободных электронов в разреженной лазерной плазме, создаваемой лазерным предымпульсом. Основной лазерный импульс ускоряет только новые электроны, вырываемые из атомов или атомарных ионов в процессе мгновенной ионизации (как правило, на переднем фронте лазерного импульса). Простые аналитические оценки для релятивистского дрейфа электрона, полученные выше, справедливы для всех случаев.

Продольное пондеромоторное ускорение электрона в фокусе интенсивного ультракороткого лазерного импульса рассматривалось в работе [10]. Показано, что энергия электрона может достигать значений порядка МэВ при интенсивности лазерного импульса выше 1019 Вт/см2. При нормальном падении лазерного импульса на твердотельную мишень энергия горячих электронов может также достигать значений порядка нескольких МэВ [11]. Ультрарелятивистские электроны наблюдались в экспериментах с.лазерным импульсом, имеющим пиковую интенсивность порядка Ю20 Вт/см2 [12, 13]. Эти данные находятся в согласии с нашими оценками ускорения электронов до релятивистских энергий. Результаты этой главы изложены в наших работах [14].

Ф + Р02/(2с2Ф2)

(42)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение формулируются основные результаты данной диссертационной работы.

1. Получены простые аналитические выражения для релятивистских высокоэнергетических электронных спектров атомов при туннельной и надбарьерной ионизации под воздействием сверхсильного линейно-поляризованного фемтосекундного лазерного импульса. Лазерное поле внутри кластера, производящее такую мощную ионизацию, значительно усиливается по сравнению с внешним лазерным полем в процессе расширения кластера, когда частота лазера становится равной частоте поверхностного плазмона (частоте Ми). Спектр электронов по направлению лазерного поля зависит от знака импульса электрона, в отличие от спектров вдоль направления электрического и магнитного полей. В ультрарелятивистском поле (eF / mac > 1, где F - амплитуда электрического поля внутри кластера, со - лазерная частота) показано, что наиболее вероятен вылет электрона вдоль направления распространения лазерной волны. Вероятность вылета электронов вдоль направления магнитного поля существенно меньше вероятности вылета вдоль остальных направлений. Вероятность вылета электрона вдоль направления вектора поляризации содержит релятивистский пик, когда импульс электрона в данном направлении равен пондеромоторному импульсу F / а. Энергетический спектр и угловое распределение в релятивистском случае не зависят от потенциала ионизации атома или атомарного иона.

2. Предложен новый механизм фоторекомбинации и генерации жесткого рентгеновского излучения при взаимодействии атомарных кластеров с интенсивными фемтосекундными лазерными импульсами. Электроны, вылетевшие из кластера в результате внешней ионизации, могут вновь попасть внутрь другого кластера, взаимодействуя с кулоновским полем положительного заряженного кластера, созданным внешней ионизацией. При переходе из непрерывного спектра в квантовое основное состояние кластера в этом кулоновском поле электроны испускают спонтанные фотоны с энергией в несколько кэВ, что значительно превышает энергию фотонов при рекомбинации на атомарные ионы внутри кластера.

3. Предложен новый механизм нагрева электронов при их упругом отражении от поверхности кластера в присутствии лазерного поля. В процессе каждого отражения электрон приобретает удвоенную колебательную (пондеромоторную) энергию от лазерного поля, аналогично тому, что имеет место при столкновении с атомарным ионом в присутствии лазерного поля, т.е., в процессе вынужденного обратного тормозного поглощения. Нагрев электронов при отражении от поверхности усиливается при увеличении

кинетической энергии электрона, в то время как вынужденное обратное тормозное поглощение, наоборот, при этом ослабевает.

4. Получено простое аналитическое выражение для дрейфовой скорости электрона после окончания лазерного импульса в условиях, когда электрон покоился до начала импульса, и для релятивистской дрейфовой скорости электрона, образованного при туннельной или надбарьерной ионизации атомов и атомарных ионов сверхсильным лазерным полем. Этот процесс является существенным внутри атомарных кластеров в процессе их расширения, когда достигается резонанс Ми и лазерное поле внутри кластера значительно превышает внешнее лазерное поле. Показано, что теорема Лоусона-Вудворда неприменима в случае сверхсильных полей и ультракоротких лазерных импульсов.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] N. В. Delone and V. P. Krainov, Multiphoton Processes in Atoms, 2nd ed. (Springer, Berlin, 2000).

[2] A. M. Dykhne, Sov. Phys. JETP 41,1324 (1961).

[3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Field Theory (Pergamon, Oxford, 1977).

[4] F. Dorchies, T. Cailland, F. Blasco, C. Bonte, H. Jouin, S. Micheau, B. Pons, J. Stevefelt,

Phys. Rev. E 71,066410(2005).

[5] V.P. Krainov and A.V. Sofronov, Contrib. Plasma Phys. 47, N 4-5, 234 (2007).

[6] В.П. Крайнов, A.B. Софронов, ЖЭТФ, 130,43(2006).

[7] В.П. Крайнов, А.В. Софронов, Прикладная Физика, № 2, сс. 5 - 9 (2009).

[8] V Р Krainov and А V Sofronov, Journal of Physics: Conference Series 129, 012019

(2008).

[9] V.P. Krainov and A.V. Sofronov, ЖЭТФ, 134,452 (2008).

[10] F. He et al. Phys. Rev. E 68,046407 (2003).

[11] Y.T. Li et al. Phys. Rev. E 69, 036405 (2004).

[12] M. Zepfet al, Phys. Plasmas 8, 2323 (2001).

[13] R. Kodama et al, Plasma Phys. Control. Fusion 44, B109 (2002).

[14] V. P. Krainov and A. V. Sofronov, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 37 L329-L336 2004).

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА

1. V.P. Krainov, A.V. Sofronov, High-energy electron-energy spectra of atoms undergoing tunneling and barrier-suppression ionization by superintense linearly polarized laser radiation, Phys. Rev. A, Vol. 69, N 1, 015401 (2004).

2. V.P. Krainov, A.V. Sofronov, The Landau-Dykhne Approach for Relativistic Electron Energy Spectra in the Tunneling Ionization of Atoms by Superintense Linearly Polarized Laser Radiation, Laser Physics, Vol. 14, N 3, pp. 401-403 (2004).

3. A.V. Sofronov and V.P. Krainov, Relativistic electron drift in underdense plasma produced by a super-intense femtosecond laser pulse, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., Vol. 37, pp. L329-L336 (2004).

4. V.P. Krainov and A.V. Sofronov, Relativistic electron drift in underdense plasma produced by a super-intense femtosecond laser pulse", Proceedings of the 2nd Int. Conf. "Frontiers of Nonlinear Physics", Nizhny Novgorod, Inst. Of Applied Physics RAN, 2005, pp. 409-413.

5. A.V. Sofronov and V.P. Krainov, Surface heating of electrons at the irradiation of large atomic clusters by a relativistic femtosecond laser pulse, Laser Physics Letters, Vol. 3, N. 5, pp. 257-258 (2006).

6. В.П. Крайнов, А.В. Софронов, Процессы рекомбинации в атомарных кластерах при облучении сверхсильным фемтосекундным лазерным

импульсом, ЖЭТФ, Т. 130, № 1, сс. 43-47, (2006) [English translation: V.P. Krainov, A.V. Sofronov, Recombination processes in atomic clusters irradiated by superintense femtosecond laser pulses, Phys. - JETP, Vol. 103, N. 1, pp. 35-38 (2006)].

7. V.P. Krainov and A.V. Sofronov, Recombination Processes in Laser Produced Dense Cluster Plasma, Contrib. Plasma Phys. Vol. 47, N 4-5, pp. 234-239 (2007).

8. V.P. Krainov and A.V. Sofronov, Landau-Dykhne approach for relativistic electron momentum and angular distributions for the ionization of multicharged atomic ions by superintense laser fields, Phys. Rev. A, Vol. 77, N6, 063418(2008).

9. V.P. Krainov and A.V. Sofronov, Hard X-ray emission by clusters in an intense femtosecond laser field at the collective recombination, ЖЭТФ, T. 134, № 3(9), cc. 452-456 (2008) [Engl, transl.: V.P. Krainov and A.V. Sofronov, Hard X-ray Emission by Clusters in an Intense Femtosecond Laser Field during Collective Recombination, JETP, Vol. 107, N 3, pp. 379-383 (2008)].

10.V P Krainov and A V Sofronov, Hard X-ray emission by atomic clusters in an intense femtosecond laser field at the collective recombination, Journal of Physics: Conference Series 129,012019 (2008).

11.В.П. Крайнов, A.B. Софронов, Радиационная рекомбинация при облучении атомарных кластеров интенсивными фемтосекундными лазерными импульсами, Прикладная Физика, № 2, сс. 5 - 9 (2009).

Софронов Алексей Васильевич

ИОНИЗАЦИЯ И РЕКОМБИНАЦИЯ В КЛАСТЕРНОЙ ПЛАЗМЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С МОЩНЫМИ ФЕМТОСЕКУНДНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ

Подписано в печать 29. 03. 2010 Формат 60 х 84. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №11/10 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет)

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

ГЛАВА 1. ИОНИЗАЦИЯ АТОМАРНЫХ КЛАСТЕРОВ СИЛЬНЫМ ЛАЗЕРНЫМ ПОЛЕМ (ОБЗОР).

1.1. Введение.

1.2. Приближение Ландау-Дыхне.

1.2.1. Общий подход.

1.2.2. Теория Келдыша.:.

1.3. Ионизация кластеров.

1.3.1. Внутренняя ионизация.

1.3.2. Ионизация при неупругих электрон-ионных столкновениях.

1.3.3. Поглощение лазерного излучения в кластере.

1.3.4. Внешняя ионизация кластеров.

ГЛАВА 2. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СПЕКТРЫ ПРИ ВНУТРЕННЕЙ ТУННЕЛЬНОЙ И НАДБАРЬЕРНОЙ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ И АТОМАРНЫХ ИОНОВ СВЕРХСИЛЬНЫМ ЛАЗЕРНЫМ ПОЛЕМ В КЛАСТЕРАХ.

2.1. Качественный подход.

2.2. Количественное описание высокоэнергетических спектров и угловых распределений фотоэлектронов.

2.2.1. Метод расчета.

2.2.2. Вылет электрона вдоль направления поляризации лазерной волны.

2.2.3. Вылет релятивистского электрона вдоль вектора напряженности магнитного поля лазерной волны.

2.2.4. Вылет релятивистского электрона вдоль направления распространения лазерной волны.

3.2 Механизмы рекомбинации в атомарных кластерах.46

3.2.1. Столкновительная рекомбинация в кластере.46

3.2.2. Диэлектронная рекомбинация в кластере.48

3.2.3. Прямая фоторекомбинация.51

3.3. Генерация жесткого рентгеновского излучения при радиационной рекомбинации в процессе облучения атомарных кластеров интенсивными фемтосекундными лазерными импульсами.52

3.3.1. Механизм генерации.53

3.3.2. Сечение фоторекомбинации на кулоновском поле атомарного кластера55

3.4. Заключение.61

ГЛАВА 4. МЕХАНИЗМЫ НАГРЕВА ЭЛЕКТРОНОВ ПРИ ОБЛУЧЕНИИ РЕЛЯТИВИСТСКИМ ФЕМТОСЕКУНДНЫМ ЛАЗЕРНЫМ ИМПУЛЬСОМ. 64

4.1. Поверхностный нагрев электронов при облучении больших атомарных кластеров релятивистским фемтосекундным лазерным импульсом.64

4.2. Релятивистские дрейфовые скорости фотоэлектронов в поле сверхсильного фемтосекундного лазерного импульса.68

4.2.1. Уравнения релятивистского движения электрона.70 в поле лазерного импульса.70

4.2.2. Дрейф при туннельной и надбарьерной ионизации.74

4.3. Заключение.79

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.82

1. A. Sullivan et al. Opt. Lett. 21, 603 (1996)

2. T.R. Boehly et al. Opt. Comm. 133,495 (1997)

3. M. Lezius et al. Phys. Rev. Lett. 80, 261 (1998)

4. J.W.G. Tisch et al. Phys. Rev. A 60, 3076 (1999)

5. T. Ditmire et al. Phys. Rev. A 53, 3379 (1996)

6. T. Ditmire et al. Phys. Rev. A 57, 369 (1998)

7. O.F. Hagena, Surface Science 106, 101 (1981)

8. O.F. Hagena, Rev. Sci. Instr. 63, 2374 (1992)

9. J. Wormer et al. J. Chem Phys. 75,402 (1981)

10. O.F. Hagena, and W. Obert, J. Chem. Phys. 56, 1793 (1972)

11. K. Boyer et al. J. Phys. В 27, 4373 (1994)

12. A.B. Borisov et al J. Phys. В 28, 2143 (1995)

13. К. Kondo et al. J. Phys. В 30, 2702 (1997)

14. W.A. Schroder et al. J. Phys. В 31, 5031 (1998)

15. H. Honda et al. Phys. Rev. A 61, 023201 (2000)

16. M. Lezius et al. J. Phys. В 30, L251 (1997)

17. S. Dobosz et al Phys. Rev. A 56, R2526 (1997)

18. T. Doppner et al. Int. J. Mass Spectr. 192, 387 (1999)

19. M. Schumacher et al. Eur. Phys. J. D 9, 411 (1999)

20. L. Koller et al. Phys. Rev. Lett. 82, 3783 (1999)

21. V.V. Kresin, Phys. Rep. 220, 1 (1992)

22. W.A. De Heer, Rev. Mod. Phys. 65, 611 (1995)

23. M. Brack, Rev. Mod. Phys. 65, 677 (1995)

24. F. Calvayrac et al. Phys. Rep. 340, 312 (2000)

25. Б.М. Смирнов, УФН 170, 495 (2000)

26. Ч. Китель, Введение в физику твердого тела (М.: Наука, 1978)

27. Handbook of Chemistry and Physics 79th ed. (Ed. D R Lide) (London: CRC Press, 998-1999)

28. E.K.U. Gross, and W. Kohn, Adv. Quantum Chem. 21, 255 (1990)

29. F. Calvayrac, P.G. Reinhard, and E. Suraud, Phys. Rev. В 52, R17056 (1995)

30. M. Gross, and C. Guet, Phys. Rev. A 54, R2547 (1996)

31. S.V. Fomichev, and D.F. Zaretsky, J. Phys. В 32, 5083 (1999)

32. C.A. Ullrich, P.G. Reinhard, and E. Suraud, Phys. Rev. A 57, 1938 (1998)

33. М.Б. Смирнов, и В.П. Крайнов, ЖЭТФ 115, 2014 (1999)

34. М.В. Smirnov, and V.P. Krainov, Las. Phys. 9, 943 (1999)

35. A. Domps, P.G. Reinhard, and E. Suraud, Eur. Phys. J. D 2, 191 (1998)

36. A.B. Виноградов, и В.П. Шевелько, Труды ФИАН СССР 119, 159 (1980)

37. К. Yabana, and G.F. Bertsch, Phys. Rev. A 60, 3809 (1999)

38. J. Tiggesbaumker et al. Phys. Rev. A 48, R1749 (1993)

39. G.F. Bertsch, N.V. Giai, and N. Vinh Mau, Phys. Rev. A 61, 033202 (2000)

40. G.J. Pert, J. Phys. В 32, 249 (1999)

41. F. Claro, and R. Rojas, Appl. Phys. Lett. 65, 2743 (1994)

42. B.N. Chichkov, S.A. Shumsky, and S.A. Uryupin, Phys. Rev. A 45, 7475 (1992)

43. В.П. Силин, ЖЭТФ 47, 2254 (1964)

44. К. Boyer, and C.K. Rhodes, J. Phys. В 27, L633 (1994)

45. Л.Д. Ландау, и Е.М. Лифшиц, Статистическая физика, 4-е изд. (М.: Наука, 1995), §104

46. Е.М. Snyder, S.A. Buzza, and A.W. Castleman, Phys. Rev. Lett. 77, 3347 (1996)

47. W. Lotz, Z. Phys. 216,241 (1968)

48. Л.Д. Ландау, и Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, 2-е изд. (М.: Наука, 1982), §93

49. V.P. Krainov, J. Phys. В 33, 1585 (2000)

50. М.В. Федоров, Электрон в сильном световом поле (М.: Наука, 1991)

51. К. LaGattuta, J Eur. Phys. J. D 2,267 (1998)

52. I. Last, and J. Jortner, J. Phys. Chem. A 102, 9655 (1998)

53. C. Rose-Petruck et al. Phys. Rev. A 55, 1182 (1997)

54. Г. Бете, и Э. Солпитер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами (М.: Физматгиз, 1960), §54

55. W. Brunner, Appl. Phys. В 64, 443 (1997)

56. J.V. Ford et al. J. Chem. Phys. 110, 6257 (1999)

57. W. Neuman, The Mechanism of Thermoemitting Arc Cathode (Berlin: Akademie-Verlag, 1987)

58. M.F. Hoyax, Arc Physics (New York: Springer, 1968)

59. H. Weidele et al. J. Chem. Phys. 110, 8754 (1999)

60. F. Calvayrac et al. Eur. Phys. J. D 4, 207 (1998)

61. N.B. Delone, and V.P. Krainov, Multiphoton Processes in Atoms, 2nd ed. (Berlin: Springer, 2000)

62. P.G. Reinhard, and E. Suraud, Acad. Sci. Paris 327, Ser. II b 893 (1999)