Использование теории возмущений для повышения эффективности методов Монте-Карло тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕШША СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВШЖЛИТИШШЙ ЦЕ31ТР

На. правах рукописи СЫРЛЫЕАЕВА ТАЙНИ АБСЖЕТОЕНА

УДК 519.245:519.676

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ЭФШСЖВНОСта МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО

01.01. (77 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических каук

Новосибирск - 1991

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете и на ВЦ СО АН СССР

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

■член-корреспондент АН СССР Г.А.Михайлов

доктор физико-математических наук, профессор А.М.Кольчужкин

кандидат физико-математических наук Ю.Н. Копылов

Институт математика и механики АН Каз.ССР, г. Алма-Ата

Защита состоится " -Р2 " ¿М _ 1991 г. в_часов на заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степони кандидата наук в Вычислительном центре СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск-90, проспект академика Лаврентьева, 6.

С .диссертацией мояно ознакомиться в читальном зале Отделения ГПНТБ (проспект академика Лаврентьева, 6).

.Автореферат разослан " '? 199¿"г.

Ученый секретарь специализированного совета канд. физ.-шт. наук

Ю.И.Кузнецов

•мл'в;?»

I Обго.ая гарадтврлсгака работы

зртаций I -Актуальность теш. Б последнее время интенсивно раэвпвапт-ся численные методы решения краевых задач дм ураинекяй в частных производных в как более грудном случая трэхмерного пространства. Кроме того, особый интерес прзггставляот наглые в теоретическом и практическом отшивши краевые задачи, дан которых стандартная оценка метода Монте-Карло но применима.

Поэтому разработка л численная реализация эффективных алгоритмов метода Монте-Карло, позволяющих решать перечисленные задачи, являются актуальными.

Цель таботн. Построение несмещенной оценки метода Монте-Карло для решения задачи Дирихле. Построение численных алгоритмов статистического моделирования для расчета возгдущений решения краевой задачи в областях, где стандартная оценка метода Монте-Карло имеет бесконечную дисперсию. Проведение методических расчетов для подтверждения достоверности результатов. Решение практической задачи с расчетом возмущений для реакторной решетки о использованием векторного метода Монте-Карло.

Научная новизна. Для решения краевых задач моделированием блужданий по сферам получена несмещенная оценка метода Монте-Карло с конечной дисперсией. Исследованы условия £ -смещенности оценок производных от решений краевых задач. Повышена эффективность - метода блуждания по сферам для реиения уравнения Гелылгольца с положительны:,! параметром. Построен векторный алгоритм расчета возмущений в теории переноса излучений.

Практическая значимость. Разработанный в диссертации алгоритм расчета возмущений можно применять при расчетах прямоугольной решетки твелов.

Апробапия работы. Основные результаты работы докладывались на конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1987), на семинарах отдела статистического моделирования в фазпко £Ц СО АН СССР.

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ.

Объем работы. Диссорхагогонная работа состоит-из введения, грех глав, заключения оттека литературы из 64 наименований.

Об:.еы работы 104 страняпу, содэрзедах шшношсшй текст, 5 рисунков и 12 г^блац.

Во ввеш'п; ¿дотся обгор литературы по язучаегил в диссер-гацш вопросам, дхео по глизам краткое содерюнио диссертации, праведен гчрочшь положений, кагокзьй на защиту.

П^р-ад п"".:/ сэегявряа построс!.",1- гупгорэтмов случайного йтугуишя по соврал дач раочваа ]- .■ г;;;;, его возмущений и дк кроешк аад^-.

- .1.1 приводятся осгошшо '.бозкггпшш, определение процес-(..I цгуадаяая я0 сфарач, его оснсхязд свойства. Подробно оди-снгтется способ построения па. »том дг-оцессе -смещенной, оценки метода Монто-Кардо дт утопая "раевой задачи.

В 1.2 строигся несмещенная оценка ре-езния задачи Даршие дш уравнения Лапласа с нулевыми граяичнши условиями. При этом используется моделирование блужданий по с фарам. Доказывается конечность дисперсии этой оцешщ.

В огрдничоыной области ^с; £.3 с границей I рассматривается задача

Необходимо оценить решение задачи в некоторой точке ^ . Используется представление решения в виде интегрального уравнения второго рода

Содощаяш работа

(I)

(2)

где

¿?функция Грина дифференциального оператора задачи

д?я шара радиуса оС с центром в точке ,

Для моделирования блуждания по сферам строится подходящая для ядра уравнения (2) цепь Маркова с переходной плотностью

здесь - вероятность продолжения траектории из

точки -V , Г? ~ £ -окрестность границы Г.

Несмещенная оценка решения задачи (I) в точке имеет вид у

ь=±

где веса ^ определяются выражениями

_ А- у и[ги. ^ /Т рСй^) Чг р

Здесь Л7, - случайный номер первого попадания в ' ,

0~ цешь блуждания по сферам с плотностью начального распределения Ь0(£) — и переходной плотностью

Показывается, что дисперсия оценки конечна при ^>0,942. Трудоемкость несмещенного алгоритма блуждания по сферам имеет порядок .

В общем случае, если дана задача

с ненулевыми гршшчншщ условиями, то ее решение кщэтс>: в виде где

r

лг/^о ( }

<4^

А задача (4) методом ß, -функций сводится к задаче

Тогда решение задачи (4) находится в виде It^-IL^^. где £. - ft -функция.

1.3 посвящен векторным алгоритмам для вычисления решения уравнения Гельмгольца с положительннм параметром С > неудовлетворяющим условию конечности дисперсии скалярной оценки метода Монте-Карло.

Рассматривается задача Дирихле для уравнения

Л lL(Z)4-e U &)=.-£&'), иЩГ=0, £?<

где ©^Е3, - ограниченная область, Г7 - граница области^ .

Известно (Елепов Б.С., Кронберг A.A., Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К., 1980), что для этой задачи дисперсия стандартной оценки метода Монте-Карло конечна, если диаметр области ¿7) не превосходит величины 1We W , т.е. при условии, что параметр

С iS ZW3-/(6)

Строится оценка решения задачи (5) с конечной дисперсией и при С > сйШ^путем использования уравнения со значением С , которое удовлетворяет условию (6) на основе векторного метода Монте-Карло дая вычисления возмущений и производных (Miccafcoii Г.А., IS87). Решение задачи представляется в вига ряда, ьо^зылей

и ~о

Возмущения удовлетворяют треугольной системе интегральных уравнений

= ¡С Яс <£а +

где /С - интегральный оператор с ядром

¿¿фГ, параметр С. удовлетворяет условию (6),

10.-1С , и С*. соответствуют значению- параметра с, не удовлетворяющего условию (6).

Выписывается векторная оценка метода Монте-Карло

Т4. и^''

где

единичная матраца, - случайные матричные веса, {-^¿н^о ~ цепь блужданий по сферам с плотностью начального распределения }->0(-1)— и переходной плотностью

Г , 24 ГЬ

Треугольная система интегральных уравнений для определения производных

где Ю ( - интогралхздй опэтзахор с ядром ¿^г> с.

ЭЗкЙЛА-, >£ ^ *

Дая вычисления значении производных используется

векторная оценка (7) с соответствующими матричными весами Решение задача оценивается рядом:

И=о

Б 1.4 рассматриваются условия <§ -смещенности оценок производных решения уравнения Гельмгольца по параметру

Вторая глава посвящена вычислениям возмущений в задачах теории переноса.

В 2.I описывается общая схема моделирования процесса переноса, определяются распределения вероятностей для элементов процесса переноса.

В 2.2 строятся векторный алгоритм расчета возмущений вероятности захвата нейтронов в твелах в бесконечной реакторной решетка от источника нейтронов в замедлителе.

Возмущение системы состоит в замене одного твела на поглотитель, радиус которого меньше радиуса твела.

Моделирование ведется в исходной системе по элементу периодичности реакторной решетки - квадратной ячейке с твелом в центре, вне которого замедлитель, а результаты дая возмущенной системы определяются с помощью весов.

Возмущенная система бесконечна, не имеет элементов симметрии, следовательно, прямое моделирование с источником равномерно по замедлители здесь невозможно.

Теорема оптической взаимности позволяет проводить сопряжённое моделирование.

Сопряженные уравнения переноса соответственно в исходной и возмущенной системах записываются как

здесь к. 7 К - оператора, ядра которых сопряжены к ядрам уравнения переноса в исходной и ео загущенной системах соответ-«чвэнно.

Используется векторный алгоритм метода Монте-Карло. Векторная оценка дан возцущешй залисыЕает-оя как

и=е>

здесь - ^ ■ ■ V

/Ьс) —е ^^ -V

~ оставшаяся часть гвела, не входящая в поглотитель; полная площадь сечения иоглотзт-еля; ГГ? - лндл-катор , Х^дач, - индикатор замедлителя, - цепь .Маркова с изотропным рассеянном, где начальная точга ^ выбирается равномерно по тволу, а переходная плотность р Сх.„Ч)сс^) Штричние веса представляются з виде п' . ^ Рп

о*. =■ ^, ^ ^ ^' -ыкт^У

- единичная матрица,

Хи.) _

Вводится двумерная нумерация твелов ¿2*на плоскости,

Через ДК обозначается Поскольку ДК вичис-

ляется одновременно .для всех твелов его обозначаем через ДК,^/; да А//; -го твела.

Тогда оценка (8) для твела /¿.¿/У записывается как

Так же выписывается оценка & метода зависимых испытаний где веса ^ >0 - ' ^-Л

В 2.3 определяются оценки поля излучения для плоского слоя методом возмущений и методом зависимых испытаний.

Метод зависимых испытаний позволяет решать задачи теории переноса одновременно для нескольких систем, используя одну и ту же подходящую цепь Маркова. Такой прием особенно эффективен, если задача, зависит от параметра и необходимо определить решение дая различных его значений одновременно. Для решения таких задач используется "метод подобных траекторий" и найдена подходящая плотность перехода для цепи Маркова (Михайлов Г.А., 1983).

Но метод зависимых испытаний может иметь бесконечную дисперсию, в этом случае применяется метод возмущений.

Интегральное уравнение переноса, зависящее от параметра :

£ =(9)

где ^¿сс) - плотность начальных столкновений,

- плотность столкновекяЁ частиц; -^.(сс^х^) - ядро уравнения переноса

-I к* ^'¿г^^Ш ^^ё)

Дяя построения оценок методом во зьу щений исходным считается уравнение (9) со значением параметра <5- , г возмущенным - со значениями параметр! б'с , = I, 2. Здесь удовлетворяет оптимальной плотности перехода дая метода подобных траекторий.

Используется векторный метод возмущений и выписывается следущая оценка функционала У = (Щ4) для значений параметра ^— <?£

! ^ ё . = ^ б?«,; Н6е~)

п Г) Кс

где = Ыи-1Рс -у^^гу - матричные веса,

- единичная матрица, р переходная

плотность в цепи Маркова с изотропным рассеянием и начальной точкой <2?,, И(х*) = индикатор облас-

ти ^ .

Для метода завис®,шх испытаний оценка !Т имеет вид (я»-,, Яи) . =

гДе ~ ^у^х^^Г) 9 У'"

Третья глава диссертации посвящена численной реализации предложенных алгоритмов.

В 3.1 - 3.3 и 3.5 приводятся результаты численного моделирования, в которых находят подтверждение разработанные в .диссертации алгоритмы при решении методических задач.

В 3.4 описывается результаты численных расчетов в бесконечной реакторной решетке при замене твела па поглотитель. Расчеты проводятся по элементу периодичности решетки - квадратной ячейке с твелом в центре. Графически показывается зависимость возмущений вероятности захвата нейтронов в твелах в зависимости от расстояния до центра поглотителя.

В заключении сформулированы основные результаты .диссертации,

1. Получена несмещенная оценка решения задачи Дирихле для уравнения с нулевыми граничными условиями методом блуждания по сферам. Доказана конечность ее .дисперсии.

2. Повышена эффективность метода блувдания по сферам .для решшш уравнения Гелылгольца с положительным параметром.

3. Выявлены условия £ -смещенности оценок производных по параметру .для уравнения Гельмгольца.

4. Проведены расчеты возмущений вероятности захвата ней-троноз в твелах в бесконечной реакторной решетке при ее изменении.

5. Осуществлена численная реализация предаокекных алгоритмов на примере серии модельных задач.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю чл.-кор. АН СССР Г.А.Михайлову за постоянное внимание и руководство работой, д-ру фаз.-кат. наук К.К.Сабельфельду за полезные замечания и обсуждения результатов, С.Г.Мусихшу за советы при выполнении работы.

1. Сырлыбаева Г.А. Несмещенный алгоритм решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями моделированием блужданий по сферам // Тез. конф. молодо; ученых Сибири и Дальнего Востока. - Новосибирск, 1987. -

с. 39 - 41.

2. Сырлыбаева Г.А. Несмещенная оценка метода Монте-Карло .для решения задачи Дирихле с нулевыми граничными условиями // Численные метода статистического моделирования. - Новосибирск, 1987. - с. 95 - 100.

3. Сырлыбаева Г.А. Доказательство конечности дисперсии одной оценки метода Монте-Карло для решения задачи Дирихле // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1988. - с. 88-93.

4. Сырлыбаева Г.А. Вычисление возмущений и производных по параметру для уравнения Гельмгольца векторными методами Монте-Карло // Вычислительная математика я моделирование в физике. - Новосибирск, 1989. - с, 88 - 104.

5. Сырлыбаева Г.А. Условия -смещенности оценок производных решения уравнения Гельмгольца // Метода статистического моделирования. - Новосибирск, 1990. - с. 61 - 70.

6. Сырлыбаева Г.А. Вычисление возмущений вероятности захвата нейтронов в твелах в бесконечной реакторной решетке методом Монте-Карло. - Новосибирск, "1990. - 29 с, (Препринт

Публикации по теме диссертации

АН СССР. Сиб. отд-кке. ВЦ; й 883).

/