Исследование частот условно-периодического движения в системах Лиувилля и интегрируемых приближениях задач о движении спутников планет тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

РГ6 О,

- 1 ПАП 1393

На правах рукописи

СМИРНОВА ЕЛЕНА ГЕРМАНОВНА

УДК 331.01

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМАХ ЛИУВИЛЛЯ И ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЗАДАЧ О ДВИЖЕНИИ СПУТНИКОВ ПЛАНЕТ

Специальность 01.02.01 "теоретическая механика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993 год

Работа выполнена в Московском государственном университете

Научный руководитель; доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Я. В. Татаринов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. П. Иванов

кандидат физико-математических наук, доцент В. И. Орехов

Ведущая организация: Институт космических исследований РАН

Защита диссертации состоится "¿Я." 1993 г.

в {£ час. на заседании специализированного совета Д 053.05.01 (№ 1 по механике] при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899. Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, зона "А", ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "Ю" среАраия 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук.

Д. В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проверка невьрожденности интегрируемой гамильтоновой системы является первым Са иногда и единственным) этапом в применении классических результатов теории возмущений гамильтоновых систем: теоремы Пуанкаре о рождении периодических решений, теоремы Пуанкаре о несуществовании аналитических первых интегралов, теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических решений, равно как и иных результатов многих других исследователей.

Исследование зависимости частот условно-периодического движения от констант интегралов движения С называемой ниже частотным отображением) представляет также самостоятельный интерес как этап качественного исследования интегрируемой системы, следующий сразу за построением бифуркационной диаграммы интегралов. Этому этапу пока не уделялось большого внимания.

Цель исследования - отправляясь от бифуркационной диаграммы системы Лиувилля, для соответствующих ее областей дать удобные вьражения для частот, вычислить поправки к частотам малых колебаний вблизи устойчивого равновесия при вариации констант интегралов, на этой основе установить невырожденность системы Сдвухчастотность. а если проводилось понижение порядка по Раусу, то трехчастотность), наконец, наглядно изобразить частотное отображение в целом.

Научная новизна и практическая ценность. Разработана методика качественного представления частотного отображения и доказательства невьрожденности для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, допускающих разделение переменных по Лиувиллю, а также для систем, приводимых к такому виду после исключения циклической переменной. Эта методика применяется к задаче двух неподвижных центров и к ее предельным вариантам: задаче Лагранжа Сцентр плюс однородное.поле) и задаче Баррара Сцентр плюс диполь).

Полученные общие формулы позволяют проводить аналогичные исследования других интегрируемых задач классической механики.

Методы исследования в диссертации - это известные аналитические методы классической механики в их современном состоянии.

ц

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ

по классической динамике под руководством проф. В.Г.Демина, в. н. с. Я. В. Татаринова, доц. Н. Н. Колесникова,

по динамическим системам классической механики под руководством проф. В.В.Козлова и доц. С.В.Болотина,

на конференции молодых ученых механико-математического факультета 1992 г. Сраздел "Динамические системы и классическая механика"3.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на 114 страницах и содержит ¿9 рисунков. Библиография диссертации насчитывает 36 наименований. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1-3].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор работ, относящихся к теме диссертации Св автореферате это опущено), и очерчены основные ее результаты.

В I главе излагаются теоретические результаты, на основе которых в дальнейшем исследуются конкретные механические системы.

В § 1.1 представлен объект исследования - это системы

Лиувилля с двумя степенями свободы СС2), т. е. имеющие гамильтониан „ _ ^ * + * ш

/№ + V«*5 ' '

Хорошо известно, что, помимо интеграла энергии Н = Ь . такие системы имеют еще один первый интеграл

л,

Ср£/2 + УгУ1 - Ср^/2 + У,)/,

.2 у

6 = —=-7 7~7

11 ¡г

- - Ср</2 + К, - Я/ХЭ - р^/2 + К2 - Н/г = д .

независимый с Н = Ь. Неравенства

УяС<?2) - Ь/2С(?2) — 9 - -/,(«»,3 + И/С^) С23

определяют область возможности движения Сили ОВД) при заданных

константах интегралов д и Ь .

Рассматриваются также гамильтоновы системы с тремя степенями свободы ССЗ), допускающие разделение переменных по Лиувиллю после понижения порядка с помощью циклического интеграла.

Как системы С2, так и системы СЗ - вполне интегрируемы.

В §1.2 приводятся сведения о строении бифуркационного множества С2 - такого множества в плоскости констант интегралов И и д,.каждой точке которого отвечает критический совместный уровень этих интегралов С это значит, что интегралы зависимы" в некоторых его точках).

Для построения бифуркационной диаграммы необходимо найти критические значения д*Ш функций .

■ ■- И/^Э . 1 = 1.2

и изобразить на плоскости 1?2Сд,М кривые д = С-1) 1д*(М.

Бифуркационные кривые имеет вид

11 = УГ / /< .

к г ' /у ■> , 1=1,2

Они параметризованы координатами q" критических точек функций ♦¿(^¿Э и разделяют плоскость констант интегралов на области, в пределах каждой из которых качественный характер движений одинаков |и сохраняется топологический тип совместных уровней. Для данной *работы особенно важна область, соответствующая условно-периодическим движениям Св фазовом пространстве этой области отвечает расслоение на двумерные торьО.

В § 1.3 говорится о равновесиях С2, т.е. решениях вида С 1=1,2), где д* , <?* - критическая точка потенциала

У СЬз + Угсу к - + № Равновесию соответствует пересечение бифуркационных кривых в некоторой точке Н . д0 .

Если С2 получена приведением по Раусу, то речь идет об относительных равновесиях СЗ и критических точках приведенного потенциала, зависящего от постоянной циклического интеграла.

Показано, что матрица критерия Сильвестра устойчивости равновесий в рассматриваемых системах упрощается - имеет диагональный вид.

В § 1.4 изложена методика построения бифуркационных диаграмм, в плоскости констант интеграла энергии и циклического интеграла, а также построения пространственной бифуркационной картины для всех трех интегралов.

В § 1.5 доказывается теорема, облегчающая проверку невьрож-денности произвольной вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Для этого достаточно установить невырожденность некоторой симметричной матрицы, составленной из первых и вторых частных производных переменных "действие" по константам интегралов.

А именно, пусть имеется вполне интегрируемая гамильтонова система с п степенями свободы:

р = -aH/aq , q = ан/др , Н = Hip.qЭ (3)

и F^Cp.qO = ct , Ct=i,...,n) , С Гг - Н } - независимые первые интегралы в инволюции.

Тогда по теореме Лиувилля связные компактные совместные уровни этих интегралов диффеоморфны n-мерным торам. В окрестности каждого из таких торов можно ввести канонические переменные "действие-угол" pt . <rtmod2n, в которых И - ЯСр) Си Fi = F^Ср), i=2>.так что движение по тору будет условно-периодическим с частотами w£Cp) = дН/дpi . Отметим, что суть независимые функции ct .

Рассматриваемая система называется невьрожденной, если ее частоты функционально независимы. Чтобы доказать невырожденность, достаточно убедиться, что

detpuj/ac'jB'» 0 .

Теорема 1. Введем симметричную матрицу

■ аЧ I"

.акЖЖ- Г t'J =1.....п

1 .A J И

Тогда •

■ аги _ _ г ас 1т с г ас V " I Sp J 5n I Эр J

Учитывая. что реально удобнее вычислять функции не с(рЗ. a рСс), имеем

det || аи/ас В - С-1>п del SR / del | др/дс |

так что для доказательства невьрожденности системы C3D достаточно установить невырожденность симметричной матрицы S_.

В § 1.6 приведены формулы для вычисления частот условно-периодических движений СУГШ произвольной лиувиллевой системы с двумя степенями свободы СС2).

Известно, что переменные "действие" даются формулами

г>(Сд.М_

р^д.Ю = ^ [ /2СС-1) 1д - К^С?) + Ь/£С»ЭЭ & . С4)

а{Сд.М

При подкоренное вьражения неотрицательно.

Тогда для нахождения частот УПД имеем:

эр_ ар

с^Сд.М = / Л . ох,Сд.М = - д^ / А , (5)

3р1 Эрг арг аРг 4 - ЗГ Вд- ~ зг ЗТГ СЮ

С геометрической точки зрения эти формулы задают частотное отображение - отображение открытой области существования УПД из 1?2С}1,д) в плоскость частот 1?гСшгиг). Доказывается, что это отображение по непрерывности продолжается на часть границы рассматриваемой области Си даже в некоторую ее окрестность).

В конце § 1.6 рассматривается линейное приближение частотного отображения в окрестности положения устойчивого равновесия, описываются его геометрические характеристики.

В § 1.7 формулируется и доказывается теорема, позволяющая устанавливать невырожденность любой лиувиллевой системы с двумя степенями свободы СС2).

Теорема 2.

Пусть имеется С2 С1), в которой связная компонента ОВД С2) при И -> Ь0, д -> дв стягивается в точку с координатами д* . Сэто значит, что при = <?* функции Ф^Сд). 1=1,2 имеют минимум). Тогда в окрестности СЬ0,дв) справедливы следующие разложения по Ад = д - дв , ДЬ = Ь - 110 :

1) для переменных "действие"

= + а® Ад + |[а"ДЬг + 2а|гАЬАд + а^Ад2] + о[дЬг+Адг]

2) для частот УПД

о1 = + Ь- АЬ + Ад + о[дЬ2+Лд2]

где

о _

1

1 cv/^i al = /л-а? = C"D4-

к -

д*1 тГ

Я

С7)

,12

C-D

'М-■ н •

1

77К

//»г

вГ»1+аа'

<А>

Здесь символ [ ] означает выражение:

Ы - Piri + *tF't + тгП

pt , qi , г £ вычисляются по формулам

p. = 'I t

fi =

2C»p

5/2

v f\

ri =

2C*p

а/г

(8}

Значения функций , fi и их производных вычисляются в точке qt = <?*Ch0D , Ct = 1.2).

Вывод. Невырожденость С2 обеспечивается условием

D° - det S° = del | в^Ц+а*1^ I ■

Примечание. Теорема 2 позволяет также доказывать изоэнерге-тическую невьрожденность С2.

Таким образом, найдена асимптотика якобиана частотного отображения при стремлении констант интегралов к их значениям , в состоянии устойчивого равновесия. Из невырожденности якобиана в этой точке в силу аналитичности функций следует невырожденность для почти всех точек из области. соответствующей условно-периодическим движениям.

Доказанная в этом параграфе теорема позволяет проверять невырожденность Сдвухчастотность) любой системы второго порядка, допускающей разделение переменных по Лиувиллю. В рассматриваемых далее приложениях, однако, С2 получается из спутниковой задачи СЗ фиксированием константы циклического интеграла. Отсюда возникает желание обобщить полученные результаты на случай системы СЗ. т.е. системы с тремя степенями свободы, допускающей понижение порядка по Раусу С при этом константа циклического интеграла не предполагается фиксированным параметром).

Это и составляет содержание §§ 1.8 и 1.9. Считая значение

постоянной j не зафиксированным, дополним вьражения Ш еще одним - для третьей переменной "действие":

Р3 = 0 ■

Тогда наряду с (5) и С6) имеем в СЗ:

= Г % - а£к % 1 / д

'з L 3J" J

Теорема 3. Пусть у СЗ существует такой интервал значений j

Jo

что при фиксировании произвольного j теоремы 2.

выполнены условия

Тогда в пространстве I? (д.Ь,.р имеется кривая (или дуга

в окрестности которой верны

кривой) g = gQCj) ,

следующие разложения по Ад = g-g0 , Ah - h-h, 1) для переменных "действие" при

о • М

L = 1,2 :

j-JC

p¿ = a*Ah * a*Ag + a*¿j +■ ¿ [aJW + а?гАдг + a^Aj2]

+ a -2AhAg + a^AhAj + a*JAgAj + где, помимо обозначений C7) и C8), имеем

,23.

af = C-l)3

'jpj.

2) для частот УПД при i = 1,2,3 : a¿ = о>° + bjAh + b\Ag + b¿Aj +

-33 _

4®

= j

ь; bí ^

3 bl bl %

/í\

-1

o

o

Значения функций Ф^Сj3 , /£ , и их производных вычисляются в точке = c?*Ch0C j0). j0) , Сi - 1,2).

Вывод. Невырожденность СЗ обеспечивается условием

D° = del S° = del I a^+a^ug | . CIO)

Примечание. Теорема 3 позволяет также доказывать изоэнергети-ческую невырожденность СЗ.

Все выиеизложенное применимо, в частности, к задаче двух неподвижных центров, а также к многочисленным ее частным и предельным вариантам.

Автора диссертации привлекала возможность доводить вычисления до конца аналитически, а там, где это невозможно - использовать различные качественные оценки, чтобы численные методы имели лишь вспомогательный характер-. например, для проверки полученных результатов в некоторых конкретных системах. Все это оказалось выполнимым в двух предельных вариантах классической задачи двух неподвижных центров, а именно в задаче Баррара и задаче Лагранжа.

Во II и III главах соответственно проведен качественньй анализ этих систем по схеме, описанной в главе I.

Глава II посвящена задаче Баррара. Постановка задачи изложена в § 2.1. Потенциальная энергия в сферических координатах имеет вид

и = - й + USiM , „ < о , а > 0 . г 2г

Сначала исследуется приведенная система; константа интеграла площадей предполагается фиксированным параметром. В § 2.2 строятся бифуркационные диаграммы в плоскости констант лиувиллевых интегралов. В данном случае это интеграл энергии и интеграл изменения модуля момента количества движения. Бифуркационная диаграмма получается двух качественно различных видов в зависимости от значения константы интеграла площадей (рис. А и BD:

9

0 J

9.

ПК» о Vi

0

РИС. А \*>-Mv

о 9

9

s6

УПД 0 h

0 0

РИС. Б ■(Kf«-^»

и

В случае А имеется положение устойчивого относительного равновесия, поэтому невырожденность можно доказывать по теоремам главы I. Применение этих теорем С§§ 2.6, 2.8) приводит к следующим итоговым выражениям для определителей С9) и СЮ):

^ 18З1П40 СП4^ + Аъ\пгф + 13)

2 V2 С1 - Зэт^)2 (1 + Зэш2^)3

11г5Шаф С 43э 1 пя0 + 5751 п4^ + 2351 пгф + 3) 432 -;--—;-=—=- < 0 .

И С1 - 3sin2tfú4 С1 + 3sin2tfOB

Здесь ф - широта соответствующего устойчивого кругового движения, для которого всегда 0 < sin^ < V3/3 -

В случае Б нет положений равновесия и теоремы 2 и 3 главы I неприменимы, но есть возможность найти асимптотику якобиана частотного отображения при стремлении константы g к нулю, что позволяет установить невырожденность и в этом случае С§§ 2.7.2.9).

В итоге доказана двухчастотность приведенной системы Баррара и трехчастотность исходной без предположения о близости ее к задаче Кеплера.

В § 2.5 для области, отвечающей УГЩ, изучена зависимость частот от констант первых интегралов:

„ _ С-2Ю3/2

®i--Д

где КСк)

сл.

_ C-2h)3/z ЯС~1>)1/2

fiC2g)

1/2

2К(к)

C.v,

з

V

1/2

эллиптический интеграл,

к = Сха-х2)1/аС*3-х1)"1/а .

= 0.

2д . Sg-j _ ¿ + х - _

хг < 0 < ха < х3 - корни уравнения ->

Строятся и геометрически анализируются частотные отображения в обоих случаях Срис. В и Г );

В III главе исследуется задача Лагранжа. Постановка задачи изложена в § 3.1: на точку действует сумма центрального ньютоновского и однородного поля сил. Приведенный гамильтониан в параболоидальных координатах имеет вид

н - 1 р€ + + _ 2ц + feg4 - кт?

В зависимости от значений параметра j бифуркационная диаграмма получается трех качественно различных видов С§ 3.2), изображенных на рис. Д, Ж. 3:

РИС.Д 0*]г< H\[2jlV3fe

6

\ i 0

0 ^Х ' к

рис. ж ръШгрУдЁ

РИС. Е

Область, отвечающая условно-периодическим движениям, существует только в случае Д С ее образ при частотном отображении см. на рис. Е). При этом имеется положение устойчивого относительного равновесия.

Отметим, что в данной задаче имеется также положение неустойчивого относительного равновесия. В силу этого возникла необходимость указать область существования круговых движений, области их устойчивости и неустойчивости. В § 3.3 выведены неравенства, которые отражают соответствующие ограничения на возможные значения координат.

В § 3.5 изучена зависимость частот от констант первых интегралов:

1 КСк1) 2 КСк2) А _ _туЛЯ_._

а X, + У3+ ^-х^к^/ки^ + ¡.у^-у^ж^уки^у •

где К.Е - эллиптические интегралы.

К1 = Сха-ха),Л(^-х1Э-,Л. к, = Су^^Суз-^Г-х1 < 0 < х2 < х3 - корни уравнения -х3 + ^х2 + ^х - = 0 ,

О < у, < у2 < у3 - корни уравнения у3 + ^у2 + ^у - = 0.

Прослежена зависимость частотного отображения от значения константы интеграла площадей.

В случае Д невырожденность можно доказывать по теоремам главы I. Применение этих теорем приводит к нижеследующим формулам для искомых определителей. В § 3.6 получено симметричное вьражение

Ьу^-Эу^х +181у10х+2|уах3+

£ У3 С х-хг) С у-»х)

41вд8 С2х-у)®С2у-хЗЕ

< 0.

З9у8х4+784у7х3+ §701увх^ + ... { х «—» у >

где ^ = , т) = - координаты кругового движения с заданным значением j , и х = хг - х3 , у - у1 - уг - кратные корни уравнений, фигурировавших после (11). В § 3.7 изучен определитель

«5 = + * Нйй ■ ^ - • "а

Полная сводка выражений для а^ , а^' здесь опущена. Отметим лишь, что

<? ' ^ i [ ^ + ^ V + 16kV ]' [ ^ + ^ Г"

где для i = 1,2 следует взять соответственно z = х , -у.

Оценки показывают, что второе и третье слагаемые в С12) отрицательны. Сложное поведение Л33 заставило асимптотическим

по

образом искать зону изменения j, в которой > 0 ,' и, следовательно £>° < 0 .

. В главе IV показано, что в силу громоздкости формул в задаче двух неподвижных центров невозможно обойтись только аналитическими методами. Например, чтобы установить невырожденность классической системы, приходится иметь дело с уравнениями 12-ой степени. Кроме того, частоты суть сложные функции от эллиптических интегралов III рода, что значительно затрудняет качественный анализ частотного отображения. Ввиду этого в IV главе указан путь численного исследования рассматриваемой задачи, а именно, получены формулы, позволяющие численно устанавливать невьрожденность каждой конкретной системы. ' ■ ~

В обобщенной задаче двух неподвижных центров вообще нет устойчивых положений равновесия, поэтому теоремы главы I здесь не применимы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Цыганова (Смирнова) Е. Г. Качественное исследование частот условно-периодического движения ■ в задаче Баррара и ее невырож-денность. Космические исследования. Т. 27, вып. 3, с. 333-338, 1989 г. '

2. Смирнова Е.Г. Качественное исследование частот, условно-периодических движений в задаче Лагранжа и ее невьрожденность. Депонировано в ВИНИТИ РАН 7.04.92, № 1198 - В 92.

3. Смирнова Е.Г. Качественное 'исследование движений и частот в задаче Лагранжа. Космические исследования. Т. 30, вып. ' 6. с. 746-758, 1992 г.

ОСНОБНЬЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЬЕ НА ЗАШИТУ

1. Для произвольной интегрируемой гамильтоновой системы доказано, что ее невырожденность равносильна невырожденности некоторой симметричной матрицы, составленной из первых и вторых частных производных переменных "действие" по константам первых интегралов. Тем самым отпадает необходимость в обращении квадратур, выражающих "действия" через константы.

2. Для систем Лиувилля доказано, что частотное отображение допускает гладкое Сили аналитичное) формальное продолжение за часть границы области бифуркационной диаграммы, отвечающей условно-периодическим движениям, что позволяет вычислять все производные в точке, отвечающей положению устойчивого равновесия.

3. В случае двух степеней свободы вблизи вьшеназванной точки г/олучены приближенные тейлоровские разложения переменных "действие" и частот по вариациям констант интегралов. В случае трех степеней свободы, когда одна из координат - циклическая, аналогичные разложения получены и с добавлением вариации постоянной циклического интеграла.

Эти формулы позволяют доказьвать двух- и трехчастотноеть систем без использования аппарата специальных функций даже в тех задачах, где его применение в принципе возможно.

4. В задаче двух С вещественных) неподвижных центров даны формулы, позволяющие численно устанавливать невырожденность любой конкретной системы С заданы массы, расстояние между ними и постоянная площадей).

5. В задачах Лагранжа и Баррара построены бифуркационные диаграммы лиувиллевьк интегралов, найдены устойчивы? и неустойчивые равновесия, показаны образы областей усл^ыю-периодического движения при частотном отображении, прослежено изменение диаграмм и образов при изменении постоянной площадей.

0. Установлена двух- и трехчастотность каждой из конкретных Ссоответственно приведенных или полных) систем Лагранжа и Баррара.

Подписано к печати ез 02.93 Заказ Зч

Объем <,дп.л. Формат 60x84 1/16 Тираж ЮР ВНИРО. 107140,Москва, В.Красносельская,17