Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа

Казак, Владимир Олегович

Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Казак, Владимир Олегович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Челябинск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа»

Автореферат диссертации на тему "Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа"

На правах рукописи

Казак Владимир Олегович

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПРОСТАНСТВ ОДНОГО КЛАССА ПОЛУЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ИРКУТСК - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Челябинского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Свиридюк Георгий Анатольевич

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович кандидат физико-математических наук, доцент Романова Ольга Александровна

Ведущая организация -

Воронежский государственный университет

Защита состоится " ^ 1 " ¿ИсА^ 2005 года

в мин. на заседании диссертационного совета

Д 003.021.01 в Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу:

664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института динамики систем и теории управления СО РАН.

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н.

Г.А. Опарин

Общая характеристика работы

Цель работы. Пусть flcR"- ограниченная область с границей дй класса С°°. В цилиндре ОхМ рассмотрим задачу Коши - Дирихле

и( х, 0) = щ(х), i6il, (1)

и(х, t) = 0, (х, t) G dSl х R (2)

для уравнений

(А + A)ut = au + ßu3, (3)

ut — asAut = vAu — K(u). (4)

Уравнение (3) в случае n = 1 получено H. Дж. Хоффом как модель выпучивания двутавровой балки. Функция и — u(x,t), х € П, t G R имеет физический смысл отклонения балки от положения равновесия. Параметр А £ R+ характеризуют нагрузку, т.е. сжимающую силу, которая принимается нами, как величина постоянная. Параметры a,ß € R+ характеризуют свойства материала.

Уравнение (4) получено А.П. Осколковым, оно моделирует широкий класс процессов, главным участником которых являются вязкоупругие жидкости. Нелинейный член в (2) таков, что К(0) = 0, {К(и), и) > 0 ((•, ■) - скалярное произведение в L2(ü)). Параметры ае, v € К+ характеризуют упругие и вязкие свойства жидкости соответственно.

Разрешимость задачи (1) - (3) впервые изучалась H.A. Сидоровым и O.A. Романовой. Ими же была отмечена принципиальная неразрешимость задачи (1) - (3) при произвольных начальных условиях. Затем задачей (1) - (3) занимался Г.А. Сви-ридюк. Он показал, что множество допустимых начальных зна-

чений для задачи (1) - (3) локально является банаховым С°°-многообразием. Наша цель - изучение морфологии множества допустимых начальных значений задачи (1) - (3), понимаемого как фазовое пространство уравнения (3).

Разрешимость задачи (1), (2), (4) исследовал А.П. Осколков при Однако экспериментальные данные свидетель-

ствуют, что отрицательные значения параметра эе не противоречат физическому смыслу задачи. Поэтому и в данном случае нашей целью является изучение морфологии фазового пространства уравнения (4) в случае, когда параметр

Актуальность темы диссертации. Систематическое изучение уравнений неразрешенных относительно старшей производной по времени начато С.Л. Соболевым в начале SG-х годов прошлого столетия. К настоящему времени оформилось несколько направлений в исследовании такого рода уравнений, которые принято называть "уравнениями Соболевского типа". К настоящему времени в рамках этих напрвлений получены интересные результаты (см. монографии1) имеющие ввиду различия в мето-

1Демиденко Г.В., Успенский СВ. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.

Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов СВ. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2GGG.

Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 199G.

Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999.

Melnikova I.V., Filinkov A. Abstract Cauchy problems: three approaches. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2GG1.

Sidorov N., Loginov В., SLnithyn A. and Falaleev M. Lyapunov - Shmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, 2GG2.

дах очень мало общего.

На наш взгляд наиболее плодотворным (если считать уже имеющиеся приложения) подходом к изучению уравнений соболевского типа является метод фазового пространства, основы которого заложены Г.А Свиридюком и Т.Г. Сукачевой и развиты В.Е. Федоровым, А.В. Келлер, А.А. Ефремовым, Г.А Кузнецовым, Л-Л. Дудко, СВ. Брычевым, С.А Загребиной, А.А. Замыш-ляевой. Наиболее близкими к нам являются результаты М.М. Якупова, изложенные в диссертации2. Здесь им было показано, что фазовым пространством задачи Коши - Дирихле для уравнения Осколкова, моделирующего плоскопараллельную динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости, служит простое банахово С°°-многообразие. Этот результат сразу же нашел применение в

теории оптимального управления .

Методы исследования. Как сказано выше, основным методом исследования полулинейных уравнений Соболевского типа в нашей диссертации служит метод фазового пространства4. Поскольку этот метод изучения однозначной разрешимости задачи Коши

для полулинейного уравнений Соболевского типа

Lu = Ми + N(u) (б)

2Якупов М.М. Фазовые пространства некоторых Задач гидродинамики. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.

3Свиридюк ГА, Плеханова М.В. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова // Дифференц. уравн. 2002. Т.38, Ж7. С. 997-998.

4Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht - Boston : VSP, 2003. 228 p.

сводит к поиску и описанию фазового пространства, то для решения последней задачи мы используем такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему о неявной функции, теорию степени непрерывных отображений, теорию монотонных операторов, в особенности теорему Вишика - Минти -Браудера. Во всех рассмотренных задачах фазовое пространство уравнения (6) моделируется образом разрешающей (полу)группы соответствующего ему линейного уравнения

Ьй = Ми. (7)

Поэтому нам потребовались основные результаты теории вырожденных (полу)групп операторов. И наконец, для построения векторных полей на фазовых пространствах, интегральные кривые которых являются решениями уравнения (6), нам потребовалась теория гладких банаховых многообразий.

Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. Такие многообразия наименее отличаются от подпространств банаховых пространств и поэтому являются их первыми естественными обобщениями. Простые многообразия хороши еще и тем, что дают полную информацию о фазовом пространстве.

Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений (3), (4). Как отмечено выше, все эти задачи изучались и ранее, однако полученная информация являлась неполной. Установленная нами простота фазовых пространств существенным образом обобщает эти результаты и потому носит окончательный характер. Отметим

еще, что необходимость изучения именно простых фазовых пространств диктуется потребностями теории возмущений уравнений вида (6).

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости можно отнести разработку метода фазового пространства в случае, когда фазовое пространство содержит только квазистационарные траектории. Практическую значимость имеют описание фазовых пространств некоторых начально-краевых задач для уравнения Хоффа и обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. Эти результаты будут необходимы при построении численных алгоритмов решения задач (1), (2), (3) и (1), (2), (4), как обнаружилось в линейной ситуации при расчете задачи Коши для уравнений ""затраты - выпуск" с учетом запасов"5.

5Свиридкж ГА, Брычев СВ. Численное решение систем уравнений леон-тьевского типа // Изв. ВУЗ. Математика, 2003. №8. С . 46-52.

Свиридюк ГА, Бурлачко И.В. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // ЖВМиМФ, 2003. Т.43, №11. С. 16771683.

ренциях Челябинского государственного университета в 2001 и 2002 году (г. Челябинск), на Весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (2004 г., г. Воронеж). Также результаты докладывались на семинаре проф. Г.А.Свиридюка в Челябинском государственном университете (г. Челябинск).

Кроме того, данное исследование поддержано грантами Минобразования РФ ЖА.03-2.8-83, Минобразования РФ и Правительства Челябинской области и стипендией Законодательного собрания г. Челябинска для студентов (2000 г.)

Публикации. Все результаты диссертации своевременно опубликованы [1] - [10]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация кроме Введения и Списка литературы содержит три главы, включающих одина-дцать параграфов и изложена на 99 страницах. Список литературы включает 104 наименования работ отечественных и зарубежных авторов, составляющих базу диссертации, включая работы автора.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации. В заключение введения автор выражает признательность своему научному руководителю профессору Г.А. Сви-

ридюку, В. Л. Охотникову, коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ, а так же маме Елене Владимировне.

Первая глава состоит из пяти параграфов, причем первые четыре параграфа носят пропедевтический характер. Они содержат ранее известные результаты, адаптированные к нашей ситуации. Так, п. 1 и п. 2 посвящены теории относительно а-ограниченных операторов и порождаемых ими вырожденных аналитических групп операторов. В п. 3 собраны основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Апофеозом этого параграфа следует считать классическую теорему Копш в обобщенной формулировке. В д. 4 первой главы представлены основные результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Основное внимание здесь уделено формализации понятия "дифференциальный оператор" в областях с границей класса С°°. П. 5 содержит результаты, обобщающие работу Г.А. Свиридюка, в которой методом Ляпунова - Шмидта исследована задача (5), (6) в случае, когда оператор L - фредгольмов. Предложенная нами абстрактная схема основана на других принципах и может быть использована даже если оператор L не является фредгольмовым. Основной результат здесь - формулировка и доказательство теоремы о существовании и единственности квазистационарной траектории полулинейного уравнения соболевского типа, проходящей через наперед заданную точку.

Теорема 1. Пусть в точке и0 множество

является банаховым Ск-многообразием. Тогда существует единственная квазистационарная траектория уравнения (6), прохо-

дящая через точку щ.

Вторая глава состоит из трех параграфов и содержит исследование фазовых пространств уравнения Хоффа. В п.1 второй главы проводится редукция задачи (1)-(3) к задаче (5), (6).

О .

Положим Я =W 2, 5 — W2 (все пространства определены на области П). Операторы L , М определим формулами

/п

(Xuv — ^uXkvXk)dx Vu,v Gil, a fc=1

(Ma, v) = a j uvdx, Vu, v € it, n

где (.,.) - скалярное произведение в ¿2- По построению оператор L б £(Я;3Г) и фредгольмов (т.е. indL = 0). Кроме того, спектр a{L) оператора L вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке —оо. Кроме того, очевидно, оператор MeCiiX-Л).

Лемма 1. При любых А 6 R, а е R \ {0} оператор М (L, а■)-ограничен, причем оо - полюс порядка нуль L - резольвенты оператора М.

Теперь построим оператор N

{Щи), и) — /3 J u3vdx Vu, veil.

Поскольку в силу неравенства Гельдера

1№),«)|<н|н|!4|ни4,

то оператор N : Ь4 (¿4)* — ¿4/з- Если п < 4, то в силу теорем

Соболева вложение плотно и непрерывно, а значит

плотно и непрерывно вложение £4/3 Ж^1. Отсюда следует действие оператора N : И —>

Лемма 2. Пусть п < 4, тогда при любых 0 € К оператор N € С°° (Н; •

Теорема 2. Пусть п < 4, тогда при любых числах а6Е\ {0}, /? е К и любом числе А € К таком, что 0 ^ сг(Ь), фазовым пространством задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа служит все пространство Я.

П. 2 второй главы посвящен изучению морфологии (т.е. строению, структуры) фазового пространства задачи (1) - (3). Здесь содержится один из основных результатов диссертации - доказательство простоты фазового пространства задачи Коши - Ди-пихтте ппя упятшения ХоЛЛя

Лемма 3. Пусть п <4 и числа а, ¡3 € К \ {0}, А е К таковы, что а • 0 > 0 и 0 € сг(Ь). Тогда множество

Ш= бИ: J (а + 0и2)и<рк<1х - 0, к = 1,..., т

({'■р1у<р2, • • • ><Лп} " ортонормальный базис) есть простое С°°-

многообразие, моделируемое образом разрешающей группы линейной части упавнения ХосЬсЬа.

Теорема 3. Пусть п < 4 и числа а,/3 е К \ {0}, А € К таковы, что а/3 > 0 а 0 £ <т(£). Тогда множество Ш есть фазовое пространство задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа.

Доказательство потребовало привлечения таких методов нелинейного функционального анализа, как теория степени непрерывного отображения, теорема о неявной функции, теорема Коши для гладких векторных полей на банаховых многообразиях.

Завершается п.2 замечанием, в котором обсуждается "геометрический смысл" полученных результатов. Именно, показывается, что 2-сборка Уитни на самом деле является 0-сборкой Уитни. В п.З второй главы изучается фазовое пространство задачи Коши - Неймана для уравнения Хоффа. Основной результат здесь — простота фазового пространства этой задачи.

Лемма 4. Пусть п < 4, тогда при любых а,р € М таких, что а • /3 > 0, и любом А € ® множество

т.

IX, если 0 $ сг (Ь),

{и е У: / (а 4- /?и2)ирк«£а; = 0, к = 1,..., ш}, еслиО € сг(Ь). лг

является простым банаховым С°° -многообразием, моделируем пространством Я1.

Теорема 4. Пусть п < 4, тогда* при любых а, /3, А 6 К таких, что а-/3 > 0, множество ЯЯ является фазовым пространством задачи Коши - Неймана для уравнения Хоффа.

Поскольку исследования аналогичны предыдущему случаю, то все доказательства приводятся с заметными сокращениями.

Третья глава состоит из трех параграфов и включает в себя исследование фазовых пространств обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. В п.1 третьей главы проводится редукция задачи (1), (2), (4) к задаче (5), (6). Для этого положим Д = Ил2т+2П Ил2> 5? = ИТ, т е N. Все функциональные пространства определены на области П. Операторы Ь и М определим формулами Ь — 1 — аеД, М = и А. Очевидно, 1,Мб £(И; причем оператор - фредгольмов при всех ас € М \ {0}.

Лемма 5. При всех ее, V € К\{0} оператор М (Ь, <т)-ограничен, причем оо - полюс порядка нуль Ь-резолъвенты оператора М.

Лемма 6. Пусть f € С°°( R) ит> п/2. Тогда F € C°°(W2m), где оператор F : и—* f(u).

(Напомним, что все функциональные пространства определены на области П С R".)

Лемма 7. Пусть функция К € C°°(R) и пусть т + 2> п/2. Тогда оператор N :и~* К (и) принадлежит классу С°°(Д;

Теорема 5. (г) При любых ав-1 ^ {Ajt}, v € R \ {0}, т > п/2 — 2, и® G il и некотором Т £ R+ существует единственное решение и £ С°°({-Т, Г); 11) задачи (%), (%), ftj.

(ii) Пусть при ae € {Afe}, г/ € R\{0}, m > n/2—2 множество ЯК в точке uq является банаховым C°° -многообразием. Тогда при нектаром Т € R+ существует единственное решение и £ СХ((-Т,Т);Ш) задачи (1), (2), (4).

Кроме того, здесь приводятся необходимые сведения теории монотонных операторов, в частности, теорема Вшпика - Минти - Браудера. П.2 третьей главы содержит один из основных результатов диссертации - доказательство простоты фазового пространства задачи (1), (2), (4).

Теорема 5. Пусть ж-1 £ {А*}, и € Ж+, оператор N € С00 (IX; s-монотонен и сильно коэрцитивен. Тогда множество Ш \ {0} является простым банаховым С°°-многообразием, моделируемым пространством И1.

Доказательство этого факта существенно использует понятия теории монотонных операторов, разработанные ГА Свиридю-ком и представленные в п. 1. В п. 3 третьей главы содержится доказательство простоты фазового пространства задачи Коши -Неймана для обобщенного фильтрационного уравнения Оскол-кова.

Теорема 6. Пусть ее"1 € {А*}, у 6 К+, оператор N е С°° (И; 5) з-монотпонен и сильно коэрцитивен, причем 0) = 0. Тогда множество Ш является простым банаховым С°°-многообразием, моделируемым пространством Я1.

Поскольку исследования аналогичны случаю задачи Коши -Дирихле, то все доказательства приводятся с заметными сокращениями.

Результаты, выносимые на защиту

1. Разработка метода фазового пространства в случае, когда фазовое пространство содержит только квазистационарные траектории.

2. Описание фазовых пространств основных начально-краевых задач для уравнения Хоффа.

3. Описание фазовых пространств основных начально-краевых задач для обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова.

Публикации автора по теме диссертации

1. Казак В. О. О простоте фазового пространства уравнения Хоффа // Межд. конф. "Дифференц. и интегр. уравн.". Одесса, 2000. С.117.

2. Казак В. О. Фазовое пространство задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа // Тез.докл. Четв. Сиб. конг. прикл. и индустр. матем., ИНПРИМ - 2000. Новосибирск, 2000. С.60.

3. Казак В. О. Морфология фазового пространства начально-краевой задачи для уравнения Хоффа // Межд. школа-семинар по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2000. С.228-229.

4. Казак В. О. Приложение теории регулярных пучков матриц к решению линейного операторного уравнения соболевского типа // Студент и научно-технический прогресс: Тез. науч. студ. докл. Челябинск: ЧелГУ, 2001. С.З.

5. Казак В. О. О начально-краевой задаче для уравнения Хоффа в полиэдральной области / / Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 26 февраля - 2 марта 2002 года. Екатеринбург, 2002. С. 151.

6. Казак В. О. О начально-краевой задаче для уравнения Хоффа в полиэдральной области // Вест. Челяб. ун-та. Сер. Математика, механика. 2002. №1 (6). С.87-91.

7. Казак В. О. Фазовое пространство нелинейного уравнения Осколкова // Современные методы теории краевых задач: Тез. докл. Весен, мат. школы. Воронеж: ВорГУ, 2004. С. 103104.

8. Казак В.О. О фазовом пространстве нелинейного уравнения Осколкова // Межд. школа-семинар по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2004. С.258.

9. Свиридюк Г.А., Казак В.О. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа // Мат. заметки. 2002. Т. 71. №2. С. 292-297.

10. Свиридюк Г.А., Казак В.О. Фазовое пространство одной обобщенной модели Осколкова // Сиб. матем. журн. 2003. Т.44, №5. С. 1124-1131.

Подписано в печать 3.01.02. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ . Бесплатно.

Челябинский государственный университет 454021 Челябинск, ул. Братьев Капшриных, 129

Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Казак, Владимир Олегович

Обозначения и соглашения

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Относительно сг-ограниченные операторы.

1.2 Аналитические группы операторов

1.3 Банаховы многообразия и векторные поля.

1.4 Функциональные пространства и дифференциальные операторы.

1.5 Квазистационарные траектории

2 Фазовые пространства уравнения Хоффа

2.1 Задача Коши - Дирихле.

2.2 Морфология фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа

2.3 Фазовое пространство задачи Коши - Неймана для уравнения Хоффа.

3 Фазовые пространства обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова

3.1 Задача Коши - Дирихле.

3.2 Морфология фазового пространства задачи Коши - Дирихле.

3.3 Морфология фазового пространства задачи Коши -Неймана.

Введение диссертация по математике, на тему "Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа"

Постановка задач. Пусть Q С Rn - ограниченная область с границей дО. класса С°°. В цилиндре Q х R рассмотрим задачу Коши - Дирихле и(х, 0) = щ(х), х € О, (0.1) и(х, t) = 0, (я, t)edtix R (0.2) для уравнений

Л + А)щ = аи + (3uz, (0.3) ut - азД ut — 1/Аи - К (и). (0.4)

Уравнение (0.3) в случае п = 1 получено Н. Дж. Хоффом [83] как модель выпучивания двутавровой балки. Функция и = и(х, t), х G t е R имеет физический смысл отклонения балки от положения равновесия. Параметр Л € R+ характеризуют нагрузку, т.е. сжимающую силу, которая принимается нами, как величина постоянная. Параметры а, (3 6 R+ характеризуют свойства материала.

Уравнение (0.4) получено А.П. Осколковым [44], оно моделирует широкий класс процессов, главным участником которых являются вязкоупругие жидкости [43]. Нелинейный член в (0.2) таков, что if(0) = 0, (К(и),и) > 0 ((•,•) - скалярное произведение в L2(Q,)). В частности, нелинейный член в (0.4) может иметь вид К(и) = y2m+i или — gh^ Вообще говоря, нелинейность может быть представлена рядом оо ате Щ. т=О

Параметры ае, v € характеризуют упругие и вязкие свойства жидкости соответственно.

Разрешимость задачи (0.1) - (0.3) впервые изучалась Н.А. Сидоровым и О.А. Романовой [62]. Ими же была отмечена принципиальная неразрешимость задачи (0.1) - (0.3) при произвольных начальных условиях. Затем задачей (0.1) - (0.3) занимался Г.А. Свиридюк [54], [56]. Он показал, что множество допустимых начальных значений для задачи (0.1) - (0.3) локально является банаховым С°°-многообразием. Наша цель - изучение морфологии множества допустимых начальных значений задачи (0.1) - (0.3), понимаемого как фазовое пространство уравнения (0.3).

Разрешимость задачи (0.1), (0.2), (0.4) исследовал А.П. Осколков [43], [44] при аэ, v G М+. Однако еще в в [2] отмечено, что отрицательные значения параметра ае не противоречат физическому смыслу задачи. Поэтому и в данном случае нашей целью является изучение морфологии фазового пространства уравнения (0.4) в случае, когда параметр ае G К— Частный случай уравнения (0.4) -уравнение Осколкова нелинейной фильтрации - рассмотрели Г.А.

Свиридюк и Н.А. Манакова [58]. Именно поэтому в диссертации уравнение (0.4) названо "обобщенным фильтрационным уравнением Осколкова".

Историография вопроса. История изучения разрешимости начальных и начально-краевых задач для уравнений неразрешенных относительно старшей производной по времени всходят к А. Пуанкаре (см. прекрасный обзор в монографии Г.В. Демиденко и С.В. Успенского [17]). Однако систематическое изучение корректности этих задач начато в классической работе C.JI. Соболева [64], в которой им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши - Дирихле для него. Работа C.JI. Соболева легла в основу научного направления, созданного трудами его учениковР.А; Александряном [60]," С.А. Гальперном [15], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскиным [30], Т.И. Зеле-няком [23] и многими другими. Эта работа инициировала работы В.Н. Врагова [13], А.И. Кожанова [28], [84] и С.Г. Пяткова [19] по неклассическим уравнениям математической физики.

Независимо от этих результатов В. D. Coleman, R. J. Duffin и V.

J. Mizel [78] исследовали разрешимость задачи (0.5), (0.6) в одном / частном случае, имеющем важное прикладное значение. Они первыми обнаружили возможную принципиальную неразрешимость задачи при любом начальном значении. В дальнейшем их результаты были обобщены и развиты в работе Н. A. Levine [85]. Разрешимость задачи Коши и{ 0) = 0 (0.5) для абстрактного операторного дифференциального уравнения уравнения

Ьй = Ми (0.6) первыми начали изучать М.И. Вишик [11] и независимо от него С. Г. Крейн с учениками [33], [34]. В последних работах был детально изучен случай (L, ^-ограниченного оператора М при условии фредгольмовости оператора L. Показано, что фазовым пространством уравнения (0.6) служит некоторое подпространство в 11 коразмерности равной размерности М-корневого пространства оператора L. Все эти работы имеют сугубо теоретический характер и не содержат никаких приложений, как и тесно примыкающие к ним результаты И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [87].

Первым абстрактные уравнения вида (0.6) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать R. Е. Showalter [91], [89]. Он рассмотрел случай самосопряженного эллиптического оператора L, вырождающегося на некотором множестве ненулевой меры. R. Е. Showalter [90] и независимо от него Н. А. Сидоров со своими учениками [93] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида

Lu = Ми + Щи) (0.7) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

К настоящему времени сложилось несколько практически непересекающихся подходов в обширной области, дверь в которую распахнул С. JI. Соболев. Эти подходы, объединенные только объектом исследования, изложены в ряде монографий [17], [19], [82], [87], [88], [93], вышедших буквально в последние шесть лет. В этих монографиях как абстрактные уравнения вида (0.6), (0.7) так и конкретные их интерпретации вида (0.3), (0.4) изучаются в различных аспектах.

Так в монографии R.E. Showalter [91] уравнения вида (0.6), (0.7) с самосопряженным оператором L редуцируются к стандартным уравнениям й = Su, , (0.8) u = Su + F(u), (0.9) определенными, однако, в полугильбертовом пространстве, т.е. пространстве, имеющем нехаусдорфову топологию. В монографии Г.В.

Демиденко и С.В. Успенского [17] методом интегральных представлений функций изучаются уравнения вида (0.6) и их обобщения, где L и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы по "пространственным" переменным. В монографии A. Favini и А. Yagi [82] уравнения (0.6), (0.7) редуцируются к дифференциальным включениям вида й G Su, (0.10) где многозначный линейный оператор S имеет однозначную резольвенту. В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и С.В. Попова [19] развит подход, использующий пространства Понтрягина и пространства Крейна. В монографии Н.А. Сидорова, Б.В. Логинова, А.В. Синицина и М.А. Фалалеева [93] разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта к уравнениям вида (0.7) и их обобщениям. Наконец, в монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенко-ва [87] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле -Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

В заключение этого кратного исторического обзора скажем несколько слов о терминнологии. К настоящему времени классы уравнений вида (0.3), (0.4) или (0.6), (0.7) не имеют устоявшегося названия. Наряду с терминами "вырожденные дифференциальные уравнения" [82], [87] и "дифференциальные уравнения не разрешенные относительно старшей производной" [17], "неклассические диффернциально-операторные уравнения" [19] существуют термины "псевдопараболические" и "псевдогиперболические" уравнения [17], [29] и даже "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [39]. В нашей диссертации мы будем поддерживать традицию, возникшую более полувека назад, и называть как абстактные уравнения вида (0.6), (0.7), так и их конкретные интерпретации вида (0.3), (0.4) уравнениями соболевского типа [60], [7], [30], [31], [43], [44], [70], [71] [86] и т.д. Заметим еще, что на важность изучения таких уравнений указывали И.Г. Петровский [45] и Ж.-Л. Лионе [39].

Актуальность темы диссертации. На наш взгляд наиболее плодотворным (если считатьуже имеющиеся-приложения) - подходом к изучению уравнений соболевского типа является метод фазового пространства, основы которого заложены Г.А. Свиридюком и Т.Г. Сукачевой [56], [60]. Суть этого метода заключается в редукции сингулярного уравнения вида (0.6), (0.7) к регулярному уравнению вида (0.8) или (0.9) соответственно, определенному однако не на всем исходном пространстве, а на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое простраство исходного уравнения (разумеется это множество состоит из допустимых начальных значений).

В линейном случае (т.е. при рассмотрении уравнения (0.6)) метод фазового пространства привел к созданию теории вырожденных (полу)групп операторов. Именно, в своей диссертации Г.А. Свиридюк сформулировал понятие относительно сг-ограниченного оператора и построил разрешающую вырожденную аналитическую группу операторов уравнения (0.6) в случае, когда оператор М (L, сг)-ограничен [53]. Здесь же были сформулированы начальные понятия относительно р-секториальных операторов. В диссертациях Т.А. Бокаревой [6] и JI.JI. Дудко [18] линейные результаты диссертации Г.А. Свиридюка были обобщены и развиты на случай относительно р-секториальных операторов и вырожденных аналитических полугрупп. В диссертации В.Е. Федорова [67] построена теория относительно р-радиальных операторов и показаны следующие включения: относительно сг-ограни- С [относительно р-секто- С [относительно р-ради-ченные операторы] риальные операторы] альные операторы] порождают порождают порождают вырожденные аналити- С [вырожденные аналити- С [вырожденные Со-полу-ческие группы операто- ческие полугруппы one- группы], ров] раторов]

Во всех этих работах основной целью было доказательство того, что во всех рассматриваемых случаях фазовое пространство уравнения (0.6) совпадает с образом разрешающей вырожденной (полу)группы операторов, а побочной целью - получение аналогов классических теорем таких, как теорема Соломяка - Иосиды или теорема Хилле - Иосиды - Феллера - Филлипса - Миядеры. Некоторые из линейных результатов были обобщены в диссертации А.А. Замышляевой [22] на случай линейного уравнения соболевского типа высокого порядка

AvW = Bn~\vn~l + . + B0v, которое является абстрактным обобщением уравнений Россби длинных волн, Буссинеска - Лява продольных колебаний, Дежен звуковых волн в смектиках и многих других. ч Полученные линейные результаты уже нашли свои приложения. Так, в диссертации Г.А. Кузнецова [35] найдены достаточные условия относительных сильной р-секториальности и сильной р-радиальности линейных операторов, доказан критерий а-ограни-ченности относительно бирасщепляющего и фредгольмова операторов. Диссертация А.В. Келлер [26] посвящена экспоненциальным дихотомиям линейных однородных и ограниченным решения линейных неоднородных уравнений соболевского типа. Диссертация А.А. Ефремова [20] содержит исследование оптимального управления линейными уравнениями соболевского типа. В диссертации

С.В. Брычева [8] на основе результатов В.Е. Федорова [68] построен новый численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (так называемых "систем леонтьевского типа", к которым относится знаменитая системы Леонтьева "затраты - выпуск" с учетом запасов). Этот алгоритм доведен до конечного программного продукта, который нашел применение в администрации г. Еманжелинска Челябинской области. Причем алгоритм отличается от ставшими классическими аналогов Ю.Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [5], В. Ф. Чистякова [74]. Наконец, в диссертации С.А. Загребиной [21] рассматривается задача Веригина для уравнения (0.6), которая обобщает классическую задачу Коши (0.5). Здесь, как и во всех работах абстрактные результаты богато проиллюстрированы прикладными задачами. К настоящему времени потенциал метода фазового пространства в линейных уравнениях соболевского типа еще далеко не исчерпан. Об этом свидетельствуют работы Г.А. Свиридюка и И.В. Бурлачко [57], В.Е. Федорова и М.В. Плехановой [69], В.Е. Федорова и О.А. Рузаковой [70], В.Е. Федорова и М.А. Сагадеевой [71].

Успех метода фазового пространства в линейном случае обусловлен тем фактом, что фазовое пространство уравнения (0.6) во всех рассмотренных случаях является аффинным многообразием, т.е. атлас такого многообразия эквивалентен атласу, содержащему единственную карту. В дальнейшем гладкие банаховы многообразия с атласом из единственной карты было принято называть простыми, и была сформулирована задача поиска полулинейных уравнений соболевского типа вида (0.7), фазовыми пространствами которых служат простые банаховы многообразия, причем эти многообразия моделируются образом вырожденной разрешающей (полу) группы линейного уравнения (0.6). Ожидалось, что поскольку такие уравнения в некотором смысле наиболее близки к линейным, то для них удастся получить соответствующие обобщения линейных результатов. Задача поиска полулинейных уравнений соболевского типа с простыми фазовыми пространствами была успешно решена в диссертации М;М. Якупова [75]/Здесь была установлена простота фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Осколкова, моделирующего плоско параллельную динамику вязко-упругой жидкости, и задача Коши - Бенара для гибрида уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека - Буссинеска, моделирующего плоскопараллельную термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости. Эти результаты уже нашли применение в теории оптимального управления [59]. Все это говорит об актуальности задачи поиска и описания простых фазовых пространств полулинейный уравнений соболевского типа.

Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. Заметим, что простыми мы будем называть многообразия, атлас которых состоит из единственной карты. Такие многообразия наименее отличаются от подпространств банаховых пространств и поэтому являются их первыми естественными обобщениями. Простые многообразия хороши еще и тем, что дают полную информацию о фазовом пространстве.

Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений (0.3), (0.4). Как отмечено выше, все эти задачи изучались и ранее, однако полученная информация являлась неполной. Установленная нами полнота фазовых пространств существенным образом обобщает эти результаты и потому носит окончательный характер. Отметим еще, что необходимость изучения именно простых фазовых пространств диктуется потребностями теории возмущений уравнений вида (0.7).

Методы исследования. Как сказано выше, основным методом исследования полулинейных уравнений соболевского типа в нашей диссертации служит метод фазового пространства. Поскольку этот метод изучения однозначной разрешимости задачи Коши (0.5) для полулинейного уравнений соболевского типа (0.7) сводит к поисф ку и описанию фазового пространства, то для решения последней задачи мы используем такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему о неявной функции (см. например, JI. Ниренберг [42]), теорию степени непрерывных отображений (см. например, М.А. Красносельский [32], Л. Ниренберг [42]), теорию монотонных операторов, в особенности теорему Вишика -Минти - Браудера (см. X. Гаевский, К. Грегер, X. Захариас [14]). Во всех рассмотренных задачах фазовое пространство уравнения (0.7) моделируется образом разрешающей (полу)группы соответствую* щего ему линейного уравнения (0.6). Поэтому нам потребовались основные результаты теории вырожденных (полу) групп операторов (см. Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров [88]). И наконец, для построения векторных полей на фазовых пространствах, интегральные кривые которых являются решениями уравнения (0.7), нам потребовалась теория гладких банаховых многообразий (см. Н. Бурбаки [9], С. Ленг [37]).

Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Вве-ч дения и Списка литературы содержит три главы. Список литературы включает 103 наименования работ отечественных и зарубежных авторов, составляющих базу диссертации.

В п. 4 первой главы представлены основные результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Основное внимание здесь уделено формализации понятия "дифференциальный оператор" в областях с границей класса С°°. В основном все результаты, касающиеся собственно дифференциальных операторов, взяты из богатой содержанием справочной монографии X. Трибеля [66].

П. 5 содержит результаты, обобщающие работу Г.А. Свиридюка [54], в которой методом Ляпунова - Шмидта исследована задача (0.5), (0.7) в случае, когда оператор L - фредгольмов. Предложенная нами абстрактная схема основана на других принципах и может быть использована даже если оператор L не является фредголь-мовым. Наша схема основана на понятии квазистационарной траектории, которое обобщает понятие стационарной траектории. Основной результат здесь - формулировка и доказательство теоремы о существовании и единственности квазистационарной траектории полулинейного уравнения соболевского типа, проходящей через наперед заданную точку. Доказательство базируется на классической теореме Коши о сечениях векторных полей на гладких банаховых многообразиях.

Вторая глава состоит из трех параграфов и содержит исследование фазовых пространств уравнения Хоффа. П.1 второй главы проводится редукция задачи (0.1)—(0.3) к задаче (0.5), (0.7). Здесь активно используется теория функциональных пространств и дифференциальных операторов из п. 1.4. Основные результаты здесь - доказательства (L, ^-ограниченности оператора М и включения N G С00^;^). В заключении п. 2.1 приводятся основные понятия теории степени непрерывного отображения, взятые из J1. Нирен-берга [42] и адаптированные к нашей ситуации. П. 2 второй главы посвящен изучению морфологии (т.е. строению, структуры) фазового пространства задачи (0.1) - (0.3). Здесь содержится один из основных результатов диссертации - доказательство простоты фазового пространства задачи Коши - Дирихле для уравнения Хоффа. Доказательство потребовало привлечения таких методов нелинейного функционального анализа, как теория степени непрерывного отображения, теорема о неявной функции, теорема Коши для гладких векторных полей на банаховых многообразиях. Завершается п.2 замечанием, в котором обсуждается "геометрический смысл" полученных результатов. Именно, показывается, что 2-сборка Уит-ни на самом деле является 0-сборкой Уитни (терминологию см. в [7]). В п.З второй главы изучается фазовое пространство задачи Коши - Неймана для уравнения Хоффа. Основной результат здесь - простота фазового пространства этой задачи. Поскольку исследования аналогичны предыдущему случаю, то все доказательства приводятся с заметными сокращениями.

Третья глава состоит из трех параграфов и включает в себя исследование фазовых пространств обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. В п.1 третьей главы проводится редукция задачи (0.1), (0.2), (0.4) к задаче (0.5), (0.7). Здесь используется теория дифференциальных операторов в функциональных пространствах и теоремы вложения Соболева, почерпнутые из п. 1.4. Основные результаты п.1 - доказательство (L, ^-ограниченности оператора М, s-монотонности и сильной коэрцитивности оператора N. Кроме того, здесь приводятся необходимые сведения теории монотонных операторов, в частности, теорема Вишика - Минти -Браудера. П.2 третьей главы содержит один из основных результатов диссертации - доказательство простоты фазового пространства задачи (0.1), (0.2), (0.4). Доказательство этого факта существенно использует понятия теории монотонных операторов, разработанные Г.А. Свиридюком [47], [49], [50] и представленные в п.1. В п. 3 третьей главы содержится доказательство простоты фазового пространства задачи Коши - Неймана для обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова. Поскольку исследования аналогичны случаю задачи Коши - Дирихле, то все доказательства приводятся с заметными сокращениями.

Апробация. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VI Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (2000 г., г. Новосибирск), Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (2000 г., г. Одесса), Международных школах-семинарах по геометрии и анализу в (2000 г., 2004 г., г. Ростов-на-Дону), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (2001 г., г. Екатеринбург), студенческих конференциях Челябинского государственного университета в 2001 и 2002 году (г. Чел ябинск), на Весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (2004 г., г. Воронеж). Также результаты докладывались на семинаре проф. Г.А.Свиридюка в Челябинском государственном университете (г. Челябинск).

Публикации. Все результаты диссертации своевременно опуб-« ликованы [95] - [104]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно. Результаты, выносимые на защиту.

2. Описание фазовых пространств основных начально-краевых задач для уравнения Хоффа.

Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за чуткое руководство и стимулирующие дискуссии. Автор так же выражает огромную благодарность Вячеславу Леонидовичу Охотни-кову за понимание и помощь при выходе из возникавших затруднений. Кроме того, автор благодарен коллективу кафедры математического анализа Челябинского государственного университета за конструктивную критику, а так же маме Елене Владимировне за веру и самоотверженность;.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Казак, Владимир Олегович, Челябинск

1. Александрян Р. А. Спектральные свойства операторов порожденных системами дифференциальных уравнений типа Соболева // Тр. ММО. 1.60. Т.9. С.455-505.

2. Амфилохиев В. В., Войтпкунский Я.И., Мазаева Н.П., Ходорковский Я.С. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений // Тр. Лен. кораблестр. ин-та. 1975. Т.96. С.3-9.

3. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

4. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, №4. С.3-54.

5. Бояртцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифферен-циальные системы: методы решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.

6. Бокарева Т.Л. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1993.

7. Бокарева Т.А., Свиридюк Г.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева // Мат. заметки. 1994. Т. 55, №3. С. 3-10.

8. Брычев С.В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2002.

9. Бурбаки Н. Дифференциальные и аналитические многообразия. Сводка результатов. М: Мир, 1975.

10. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

11. Вишик М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. 39(81):1. С.51-148.

12. Войтпкунский Я.И., Амфилохиев В.Б., Ходорковский Я.С. Уравнения движения жидкости с учетом ее релаксационных свойств // Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та. 1970. Т. 69. С. 1624.

13. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983.

14. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

15. Галъперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // Тр. ММО. I960. Т.9. С.401-403.

16. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

17. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.

18. Дудко Л.Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Новгород, 1996.

19. Егоров И.Е., Пятков С.Г., Попов С.В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

20. Ефремов А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева. Дис. канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1996.

21. Загребина С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости. Дне. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2002.

22. Замышляева А.А. Исследование одного класса линейныхчуравнений соболевского типа высокого порядка Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2003.

23. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ. 1965.

24. Квадарос Б. О разрешимости задачи Коши для вырожденного квазилинейного дифференциального уравнения // Литовский мат. сб. 1980. Т. 20, №3. С. 51-55.

25. Квадарос Б., Мационис И. Задача Коши для вырожденного дифференциального уравнения // Литовский мат. сб. 1975. Т.15, №2. С.121 -131.

26. Келлер А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1997.

27. Клемент Ф., Хейманс X., Ангенент С., Дуйн К. ван, Пах-тер Б. де. Однопараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992.

28. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990.

29. Кожанов А. И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами // Вест. Челяб. ун-та. Сер. мат. и мех. 1999. С.31-47.

30. Костюченко А.Г., Эскин Г.И. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна // Труды Моск. матем. об-ва. 1961. Т.10. С.273-285.

31. Котсиолис А.А., Осколков А.П., Щадиев Р.Д. Нелокальные задачи для класса нелинейных диссипативных уравнений типа C.JI. Соболева // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т. 199. С. 91-113.

32. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

33. Крейн С. Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики // ДАН СССР. 1953. Т.93, №6. С.969-972.

34. Крейн С. Г., Чернышов К. И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Препр. Ин-та математ. СО АН СССР. Новосибирск, 1979.

35. Кузнецов Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 1999.с

36. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязчкой несжимаемой жидкости, 2-ое изд. М.: Наука, 1970.

37. Лет С. Введение в теорию дифференциальных многообразий. Волгоград: Платон, 1997.

38. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

39. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачиг