Исследование колебательных систем с медленно меняющимися частотами при помощи метода усреднения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦ1 ОПАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРАГНИ IНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

г : ол

на прлпнх рукоинсу

\ I •¡т

ПЕТР И Ш И Н РОМАН 113 А НО В И Ч

ДОСЛ1ДЖЕННЯ КОЛИВНИХ СИСТЕМ 3 ПОВШЬНО ЗМ1ННИМИ ЧАСТОТАМИ ЗА ДОПОМОГОЮ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ

О 1.01.02— ДИ({>среИ1иал 13И! |>пч1!шии

Авторе ф е р а т

Л11се(»тпцИ Па здо(5уття (иукояого стуненя. доктора ф1зик0'матсматнчиих паук

Кшп — 1995

Дисерташею е рукипис.

Рабату ¿шканапо в Itic'nnytt ми тематики HAH Украти.

-Нлу'криин Консультант: академик НЛН УкраТни,

доктпр Ц>13ико-матсматичпих наук,

прочее,.(> САМОЙЛЕНКО А. М

Oipiiliiliii DiioiK'UTH: доктор ipi jhko - матема гпчнпх наук,

iipo<|)t'i<«p ГРЕБЕШКОВ F. О :

Л«кг1)(1 фкшко-мачемптичпрх паук,

iipoijifcoj) ПЕРЕСТЮК М. О.:

доктор ф'|эик1>-ма rt-ма гичирх наук,

ЛОПАТ1Н О. К.

Прошдна (>(>roNi3aijifl: Одеськнн Державина ушверсите!.

Захист шлбудсться____'.^Ai-lß 1995 Р««У

о____________годнн! на :->ai ¡л.-/нш сиецшлкн-нашц Ради

Д 01.60.02 при IiKTinyii математики HAH Украиш за адресою: 252001, Ки1и,"МСП, пул. Герещемкак ька. 3.

3 диссртац1ек> шщпа омиайоммикь и СнОлкпч'ui im тнтуту .

Автореферат роиклано ________року.

Вчений (екретор спец'|ал1зовацо1 Ради

--ЛУЧКА А. Ю

О

ЗАГЛЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АктуаЛыи'сть теми. С грел нрпцест, пипчаюгься п /»¡.ч-них ро:»д'|,\ах прИродозниистпа (ме х а и 1, (¡мант, технпи та ¡к.) важ.мше писце занмають колимш нроуеси. В Данин час розроб-лсно 1 математичи« обгрунтопано ряд ефекппшнх метод!» л<>-сл1дження кблиниих яннщ, я к) оийсуютьсн як лшЫними, так ! нелжЫиими диференцЬльпиМЙ р'оииишши, Найбмым м.иднн-ми ¡3 них ннйпились агимптотИчН1 методи, зокрема, метод усе-реднення, метод штегралыжх многопйдш та ¡тсрац!ни! методи.

Основ« метолу усереднення були накладен! в роботах ос-„ новоположникш небесно! мехашки чаов Латранн.а 1 Лапласа. Суть методу усереднення нолягае в тому, що досл1джуиана система диференц1алы1нх р'тнянь за дономогою 'специального оператора замжюеться ¡ншою системою, яка назинаетьсн усередне-. ною. При цьйму усерзднена система, я одного боку, повинна бути п певному' розумшш простнпа, иЬк початкова, а з другс-о боку, вона повинна опяеуватн основн! рисн дослЬтжуваного явища. В такому вшгадху ириродтм чином виникае проблема обгрунтуваиня методу усереднення, тобто проблема одержання ефсктивннх оцшпк но^нж р!зниц'| розп'язк'ш пих{дннх } усеред-нених ршнянь на скшчгяному або неск'шченному ггро>м!жках часу . ■ • ■■

Не диилячись на те. що метод усереднення застос«пукаяся для розв'язування леяких задач протягом манже двох с-гол/ть, проблема обгрунгунашгя методу усереднення довгий час аалй-шалась нероэп'язгпгого. Лише в 30-40 роки двадцатого столгт-тя були одержаш фундаменгялыи результат» а цьому шпрямт. Так, М. М. Боголюбоп показав, що для систем стлп^аргпато виду метод усереднення ткно зв'язаннй з [снувавням деяког замши змиших, яка дозволяе виклгочати часову зли пну ¡з' пря- ■

во1 частини системи. Кр»и того, М. М. Боголюбов досл^див системи рЬнннь в»|ц»к наближень, ризй'яэки якйх апроксиму-ють розв'язки Початко1»б1 системи р«вк*нь э точи'ктю до величин, проНорцтних ц'мнм степеням малого "параметру. Дальший розвиток метод усереднёння отрима» & робг*Тах багатьох мате-матимв. сТосовно р1эпих клас!в диференц1альних ршняиЬ.

В останш деейтиричя иочалось йпенсивне вивчення бага-точастотних. нелМйних систем диференц!альнйх р1внянь, ям ви-никають в [язннх задачах Класично! I небесно! мехашки, рад!о-техшки, физики. В зв'яэку з цим вйннкла необх1дшсть розро-бити алгоритмы асимнтотичного ¡нтегрування коливних систем з багатьма степенями свободи I дати IX математичне обгрунту-вания. У випадку систем ¡з сталим вектором частот ця важлива задача розр'яааиа в роботах Ю. О. МитропольсЬкого 1 А. М. Самойленко. Зокрема. глибоко досл1джеш так! вежлив! явнща, що виникають в багаточастотних системах, як квазтерюдичн» рухи.

Значгеий »клад у вивчення коливних систем !з зм1н:'цми частотами Внесли Д. В. Аносов, В. I. Арнольд, В. М. Воло- -сов, 6. О. Гребешков, А. I. Нейштадт, Н. Н. Нехорошее, В. 6. Прончатов,'А. М. Самойленко, М. М. Хапаев та ¡н. Основною проблемою, яка внннкге при дослЦженн! властнвостей роэв'язк1в такнх систем, « проблема резонансних сшвв!Дношень М1Ж компонентами змшного вектора частот. На сьогодшшнш день е досить повна та эмктовна теор!я одно- 1 двочастотннх систем. В!дм!Тймо, що у випадку двочастотно! системи резо-нансн'1 Новерхнг утворюютъ, взагал1 кажучи, с»м'ю поверхонь р'1вня, тому в таких' системах основним ефектом е проходження через резонанси. При наявност! в коливно! системи б'1лъшоТ к'|Лькост1 частот п розв'язки можуть залишатися в малому око-

л! pejonancnoï uonepxni ицигягом досить великого пром1жку часу, що эпачио уснладню^ досльтжеппя колипамь. Таким пипа-док пнвчений зпачпо меншг, liin; оДПй- i двочасточмни, тому пстаноплсння ефекгнвинх ошиок нпхнбки методу усереднення як па cKÎHMciiiioMy, так i lia нсоипченпому часоннх ¡нтервалах е актуальним. Важлнвнм е таком! винчения умов ¡снування та пластнвостей ¡нтегрального Mitorni 1ду багаточастотнш" снстсми, оаилькн Huicile д(1сл1джепия ïï розв'яэКН) ¡сто гпр сирошуеться. якщо ui роэв'язки лежать на im ci ральному мпогопид'| меншого po3Mipy, himî початковий фазовий npocrip.

Мета днсертац1йио| роботи иолягае п обгрунтувашм методу усереднення i fiorо застосупашм до розн'язувапмя багато-i

точковнх кранових задач, а також в poapoGui reopiï ппеграль-них миоговид1П для иелшшиих рсзопансних коливних систем з повмыю змшними частотами внгляду

= сфлМ) , +

де X i f Bi/UioBi/jno il — i Dt— DHMipni вектор», £ — ма'лий додатний параметр, /¡ifîcni вектор-tpyHKuiï d ■ (i) ¡6 належать деяким класам гладких i — перюдичних по Т функцп).

Мстодолог!я та ocnuBiii методн досл1дженн я. Дооид-жения коливних систем ¡з змшннмм частотами базуеться на метод1 усереднення гю ncix кутових злчнних, обгрунтування якого встановлюеться за допомогою оц'шок осциляцпших ¡нтегралт. Доведения ¡снування розв'яэку, визиачепого на ociiî oci, здш-сиюсться за допомогою методу, суть якого нолягае в поеднашн методу 'усереднення i розп'пзуванпя деяких кранових задач. Вивчення умов ¡снування, гладкост1 i cthîkoctï ¡нтегрального многовиду колчвно! системи ¡я залежними В1Д часово! змншоТ

частотами проводиться за допомогою шдп0в1дним чином моди-фжованоТ методики, роэвнйуто! Ю. О. Мнтропольським I А. М. Самойленко для систем ¡э сталим вектором частот.

Наумова новивна. В диссртац'й особн'сто автором одержано так1 нов1 реэультйти:

— встановлено р!вном1рш оцшки одновилнринх осциляц!Йних ж-теграл!в, залежних в1д п&рамстр1в;

—доведено"-геореми обгрунтування методу усередкення для ко-ливних систем ¡з эмшннмн частотами на В1др1зку та гивоп; —одержано к!льк!сну-залежшсть В1Д величин» малой параметру оц!нок частйнних Пох1дних по початкових даних рЫшц! роэ-в'язкш збуренкх { усереднеМих ршнянь;

—за допомогою усередненйя по вс1х швидких змшних знаидено умови розв'язйост} деяких багатоточковнх задач 1 отримано ефективН1 оц!нки норми р1зинц1 розв'язк1в вихщнйх ! усередне-них задач;

—доведено ¡снування роэв'яэку багаточастотноТ системи, ви-значеного на вай оси пов1льн1 змшш якого р1вном'фно обмеже-Н1;

— методом посд|довних наближень побудовано ¡нтегральний многовид коливно! системи ¡з залежними в'|д часовоТ змшнш частотами, вйвчено його гладккть 1 встановлено умовну асимп-тотичну стшшсть та асимптотичний характер розкладу;

—зджснено декомпозицш р!внянь для кутових I поэицжних змнших в малому окол| асимптотично cтiйкo^p ¡нтегрального многовнду;

—дослужено розповсюдження отриманнх результата на деяк! система слабо зп'язаних осцилятор1в.

Теоретична та практична цпимсть. Теоретичш резуль-

тати досчиджеПь лисе рта ii.i tt i ; t)ï робоги ронширюють можлшпсть эастосупання метолу усереднепня для нипчсиня колипннх pyxin в системах э пошльно ям'шмнми частотами. Воин можуть бути пикористаш при ропв'изунамш прикладних початконнх i кра-Н01И1Х задач класично!' i п е (> е с m jï мехашкн, радютехшки, «f > ï — пики, якнм пластине япище резонансу.

Результат» дисертацп мом^у. и бути нокладет » основу спецкурсов для сгудснпп i acuipainiu з питань .конструктивно! reopiï пел in i й и и х диференша.>ышх ртнянь.

Апробашя роботи i публшацм. Ocimn^i результат дисертацп до1юв-1дались на IX M¡жнароднш конферепцп з нел1-шйних колипань (м. Khïii, 1981 р.), на м!жнароднш конферепцп "Дифференциальные урапнсния и их применение' (м. Русс, Болгар1Я, 1982 р.), на республ1канськнЧ науковш конферепцп "Дифференциальные н интегральные уравнения и их применения"^. Одеса, 1987 р.). на всесоюзна конферепцп "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнении и математической физики" (м. Терношль, 1989 р.), на 1шжпарод1МИ конферепцп "Abstracts of Invited Lectures and Short Communications Delivered at the Second International Colloquium on Differential Equations ' (м. Плодн*, Болгария, 1991 p.),на республ1канських конференциях "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (м. Khïb, 1992, 1993, 1995 р.), на Других Боголюбов-ських чнтаНнях (м. Khïb, 1993), на вссукрашськш науковш конферепцп "Horvi шдходн до рояв яэаиня днференц1альних pie-нянь" (м. Дрогобич, 1994 р.), на науковш конферепцп "Нелинейные краевые задачи математической физики-и их приложения" (м.Тернотпль, 1994 р.), на М1жнародшй конферепцп "Не-лпп-"ш д1Гферепц!алы11 р1вняння'' (м. Khïb , 1995 р.), на се-мтарах П1дд1лу звнчанних диференцыльних ршнннь 1М НАНУ.

Осиоши рг.аультатй дисертаци онубл1копа1п в роботах [1 —

Осиби С7ИЙ ви^сок« ДослЦженнй, представлен! в дисертаци, е результатом самост1ЙноТ роботи автора. Вони узагальню-югь реэультати, як! <)дсргкаи1 особйсто автором аба за участю ствавторик В останнйому випадку ствавторам не належать ¡де1, що эиаишли сноб воображения в дисертаци. Беэпосеред-ньо автор здН^ннв постановку задач в роботах [1, 5, 9], а в роботах [6 — 8, 11, 13, 15, 161 приймав участь в постанову задач. Автор також приймав участь в обговоренш результаты I оформляв вс! роботи, написан! в сшвавторств-!.

Структур» та обсяг дисертаци. Дисертацшиа робота складагться 13 встуну» чо+ирьох роядЫв, виснопк1в та списку лиератури, що наЛ1чус 126 Найменувань. Загалоний обсяг роботи склада* 248 стор1Н«К.

КОРОТКИЙ ЗМ1СТ РОБОТИ

У встуш обгрунтоВайо актуальНкть вибрано! теми дос.мд-жень, дано короткий «¿-лйд л!тератури, сформульовано мет/ роботи та П иаукову нойИэйу, вйзначено методи досл-1джень, а також наведено положения, що Ьиносйться на захист.

Перший розди дйСертацШйо! роботи присвячений обгрун-туванню методу усередНеиий длй коливних систем з повмьно эмпшими частотами. В §1 рсзййнута методика отримання р1в-но\:1риих оцшок одноВим1рних осциляшйних ¡нтеграл1в виду

г+т . у-

лс ie , ie , Те С0,Ь] > 6 — малий додатний параметр, Х = ..., Л^—дов!льиин ненульовий вектор, .

= С^ ! ■ • .,4|1.№)е -лпк-.н Фуп-

кип. р П1 . (Л,(0) — скалярний добуток вектор!в ^ I (1) .

0(2)) ¿2

{, = — yiiniia олнниця. T

Поэначимо через Wp(i) i w P (t) 1МЛ1101НДМО MaipHLjio f (H \m'P П-л) r^"1

i трпнснонопапу до iie'l. Доведена паступна

1 горсма 1.1.2. Hexnú f>¡UHOMÍ/>Hn Illí.llf-

жена иперхц с талою CQ , ,i ù)JJ'^(b)f = 4,(TI , j=H, p, p^tH-jiin -HOMtpua HenepepoHi на mhomuhí iE . 7 <м< мочгна rirni.-ui-

mu так\ додатт ста.-ù i С . неяалежн! ei л "t . T . 6 i X , шо для eci.x te R. . Î <н [ 0, L ] .

£ ^(0,Бо] i 0 мае Mícue оц'шкп

В другому параграф! зя допомогою diiíhok оспиляинших iirrerpaAiB обГруптовако метод усереднопнн для багаточастоших систем виду

Тут ХеЮс:^, "fe n>Z , [o/L] , бе (0,6o] ,

обмежена область. W(t) ^ Q ' ^ ^ ' ^ IfJHuyctiiмo. що

Фуикнтя ^(Х^^.б)] neneрспмо диференцто-

иан.» по при к о но si у ф1ксованом,у

мерюдичп» нп . a ïï коефщ^нтц Фур'е = С^снрав-джуют!* нертшсть

H

+ ^tôiBpil ] const,9>0, [o,L]4o,6j .

(2)

Наряд i:i (1) розглянемп усгреднену по bcíx кугоннх 3mí:i-

r

mix питому

«-аил.« , g-=f4s(ï,t,£), (3,

ЛС

, m, if. IT

Hlf ) l ■ • • l ê(x,<f,t,e)] ¿V^V

Задамо для piBHfliib (1), (3) початков! умовн

W1*6^'- (4)

n якнх î)^ — деяка область, i незначимо через j ^(-Ц

y-,V,6)) та розп'язки задач В1ДП0В1ДН0

(1), (4) та (3), (4). Т

Теорема 1.2.1. Нехай: i) ¿ei..(WpwWpЩ ^о Vie[o,L] при деякому м'т'гмальному р ^ £ + 4 f р >, ИХ- 2) виконуеться умова (2) при = 3) для ecix te

крива X = X лежишь в 5D разом iз сво?л( р — околом.

Тодг icHye така незалежна в\д 6 стала С>0 , що при до-сить малому t > 0 Для колсних te С0,L»1 , , Ve. R,

i 6 в (0,6^] справджуеться оц/нка

lli.(w,(ù| < cer , (S)

в якт И =

В цьому ж параграф! вивчена також залежшсть функцп lt В1д змшних If, i V Зокрема, встановлсна иершшсть (теорема 1.2.2) ^

яка инкористовуетъся в другому роэд1Л1 при доведенш роз-в'язпост! крайових задач.

IcTOTiioio умовою в TcopeMÎ 1.2.1 е умова 1). Якщо ця умо па порушуеться в скшченшй кь\ькост1 точок ¡з [ 0?L] , то n

робот! показано, що при цьому зменшуеться степшь параметру б в оцжц1 (5). Якщо умоаа 1) порушуеться на деякому В1др1зку

С. [0,Ь] , то в цьому випадку зручно проводит усереднення по частнт кутопнх змшпих (теорема 1.2.3).

Для обгрунтупанп» методу усереднення па твой С®,00) накладемо додатконс обмеження

|а(хД,ь)-а(х,-е,о)|<се V [0,£о] (6)

1 роэгляпемо усередпеш рпшянпя першого ниближеиня для по-ви\ьних зм'шних

а(хд,о) . (7)

Мае М1сце Т X

I * ■ С1 С. IYI li. Ц1. | ~/| | м

Теорема 1.2.4. Нехай: а ) II (Wp№V/p(t)) Wp(t}||«C = conji при деякому pts ГП i eci.x а функци (0yJ"%) ,У>=Н,П1 , j =

piaHOMÍpHO непереранi на ft, ; 6) аиконуються умови (2) при i (6); $) ¡снуе рояп'яяок X—Xfc) р'1внян-

ня (7), який лежишь в л) разом ia cooí.м j* — око.ю.м 'i) нормальна фундаментальна матрица Q, (Л Д) роав язк'ю р'шняннн п oaplauinx cL.(x(t),t>D)Z спрапджуе нер'ютсть

Cv v и JL<

!QMN Ke-ííít_T). Vt>Лууо, K=cottsb-1, y=cofist>0.

Гол/ ¡снують такi додатн\ сталi С , 60 í i р <£ J> , що:

1) для о с i.x

teR+iVGdrn ¡ 6е(0,Бо] справедлива о^нка

|x(-fc,x(o),v,e)-x(i)i|áC6р \

2) nooijbHí зmihhí кожного розв'язку (X("t,б) } V,6)) системы (1), для якого

!^-x(o)U<í> , v^R.^, 6^(0,ё0]

р'юнолнрно обмеженi, тобто ||X(i, ^ V,б) | ^ С .

В §3 розглядаеться випадок, коли система (1) двэчастот-

iia, I нипчаетьси питании про обгрунтувииия методу усереднен-ни пи асимнтотнчио целиком)1 при Е-> О ,

1 на нескшчеиному '[0 о") часових пролйжкаФ'при слабших при-пущепнях на частоти 0)М = ( (а)^ ("0, ) , шж н §2. Нудсмо пнажатн, щи С ¡^ кр'м того,

и^Ы^со^О, Ч* е . (8)

! 1 ри и] умова (8) с умоною В. I. Арнольда, на доио-

мот-ою яко1 ним отрнман» оцшка нохибки методу у< ередмспня на скшчгшшму »¡/цпаку часу. ] 1ринустммо також. :цо <|>унк!пя

(Д, Н) яадоиолыше хоч одному ¡з принедених нижче помечено: о

i)

Ü)~ (i) ^ Wj,W- ¿ dz= cons-t V -t & ;

¡i) U (i) fc песиадпою або пезростаючою на R + . Теорема 1.3.1. Нехай: 1) манипь м'иие Hep'toHocmi (2) при = (8) i хоч одне ¡а обмсжеш> i), ¡i): 2) виконую/пься умопи п), г) теоремы 1.2.4. To,ú л.1Я nci.x -teR+. Ve Я i бе^у, ео>0— лисить мал?, спраилжуеться Hepio'niiчнь

11X í-fc s GC (0), v,6)~x(-fc))¡ £ С VT , п якШ стала С не зале жить tii.i 6 .

Принустиио тепер, що середин но <f (|iyiiKii¡í Cl (X^tfy то-тожно дор1ишое нулю:

a(X,i,6)s о V 1еЗ) , te R+ )6е (0,у . (9)

В цьому вииадку роэн'язки X = Х°= COUSt усереднепГЛ гисшт для повмьних 3MÍHHHX е стицшнарнимнг i умоиа 2) тгореми 1.3.1 порушуеться. Такий факт мае _шсце, зокрема. для i ¡imí.Mi-топових систем. Позначимо через 9) у . множипу тих точок, ЯК1 належать J) разом is cnohi р — околом, ¡ ниберемо р>0 настмьки малим, щоб íD^,^ 0 . Доведена настунна Теорема 2.3.2. Як що виконуються умови (2) при ty = \ .(8),

(9) t неpieHicm/> T

я лея ними нев1д'емними сталими clj, {¡Ц ■ /по V (Х^У.б)^ * * R. мают» /licye ogiMKu:

О ba,x0,v,e)-x°|Uc6fj Vie '[o,exp\e~(1~£J3)j]

при d^ > О , ji — довмьне число iз ¡нтераалу (0, i; il(t,l>,E)-X°l <cV6 Vieto,^)

Hf)l4 0 .

В четвертому параграф) дос.иджуються коливш системи, в иких U) —

W(X t). Тут нстановлено оцшку |x~Xj|^:CV(i V"bs£o,L3 , при обмеженнях, эв'язаиих лише з резоиапенимн гармониками ФункцП ОДХ,1?,!"^) (теорема 1.4.1), i доведений аналог теоре-мн Ванф'|--- СЙ'|латова на оипадок несюнчсммпго часового ¡Втер-налу.

В §5 розгляпуто багаточас1отиу систему виду jT s . гм

^-¿е'В.СхЛ^МхлМ.-

^="" ^ & fx

дс Ъ — Ц1ле неаш'емне число, D ^(x,-fc) s R. '

fs R.1^ , t e[0,L] , 6S (О, Б 3 , а прав1 частннн (10) справджу-inrb умони ^

[ As(x,tV,BSHM]eCXi(C,6) ; 5=0/1 ,

е

[aCW,e); c(xf»,i.e)eCTli еш

Xjt 4 ~ ' 7 ' ( 1

Тут стала, незалежна шд ' 6 . С^ = С^ (Х,"к,6) — коеф^шен-

тн ФурЧ 1% — Перюдично! ро функцп 4 0- =5)»

* К, *[0(4]*(0,6 ] ; через С_ поэпачепо множину пек-

Х^т * С1 ,

тормрункцш, як! при кожному ф1ксопа1П)му. 6 6 мають нс-

перорпш по ('X*[0,Ы 1 обмежеш сталою 6 частишп

1ЮХ1Д1П по эмпшкх до порядку Ь включно.

Усерсдиена по вс1х кутових змп<них ф система мае ни-

гляд ._ %

г) -г . , 5 + ^

Азме + с а(хд,б),

5 = 0

£ В.Й.^е5 ♦ ь I (*д.О . <12>

Припустнмо, 1ЦО для ВС1Х

дсякого и ,

_ »

\УЬ £ р £ £ внкомуеться иср1вшсть-

¿е* (\д/р (-х,^ V/ ,

И ЯКИ!

Рч ' V . ' (13)

, , / Л1"-1 ' р

а П0В1П НОх1д|П по й в1д функцш ШДхД) обчислюнпься и:>довж розв'нэк)в ртмяння ;=

Теорема 1.5.1. Якщо 'Х = жить а ф ралом ¡я чипм

р—околом V , [ 0, Ь ] х х (С, б01 ( I оиконуютьсн

умом (II) при С^=0 та (¡3), то ¡спуе така стала С . Нс-эалежна в'т , що

сьV

4е £0> 0 -досить нале.

В1ДМ1ТИМ0, ЩО Порядок ПО t ОСТаИНЬО! ОЦП1К И ДЛИ «ут<<-вих змшних на одинмда менший, шж для позйцшпих, осыльки

швидысть змтн Ч*

I частот» залежать В1Д

пропорцжма ^ X . Тут також встановлена нер1внкть (теорема 1.5.2)

6 се н

а припущешм, що справджуються умовн теореми 1.5.1 при

В другому роздш Дослужено розв'язтсть реэонансних краиових задач для багаточас!отних систем I одержано ефек-■гивш ОЦ1НКИ норми р1эйиу1 розв'язкЫ эбуренсм I усередненоТ • задач. При уьому ¡стотно аикористовуються встансвлеш в пер-шому роэд'|л! оцшки нохибки методу усередкення.

В §1 розглядаються крайов1 умовн для р5внянь (1) виду

04)

де

г — (гг + щ) — пимфНа векТор-фуикц1я. Задача (1), (14) — двоточкова крайова задача, яка мктить погнлып та швндю змппи, I Тй властиве япище резонансу. Будемо вважати, що: I") фуккц1Я С(Х,<Р,М) = <(>,<>,б)] ДВ'Ч1 неперерино дн-

ференушована по при кожному ф!Ксованому & , а П

коефЫенти Фур'е С,,(ХД,б) справджують йерштсть

К ' . -■> -

+ Ь Т

ир |С„| ♦ 5ир ||8Со| . 5.10 |]|Ь

1ГГ11 ' • &н эх

4.^0 II

п

ЬхЬц +

(15)

к*о 1

11К11 V о.

(^Р

/ск

д-ЬдХ

4 ^ = соазЬ

2°) усерсднена крайова задача (3), (14) Лрй кожному

мае сдинии розп'язок ( X 6)!<?(Ь,£))Э(5(4,ЩХ°,*>*£)) /яки:}

лежить а

разом 13 своТм р—окОАом; 3") ¡спують так! незалежш [йд £ * стал! ё^>0 '1 > 0 , а'п

, В= В*(о,е0],

2.(п.+т)

де 0 — — ркк\ томки

4°) ¡5 ■(Х°,¥о,ё)!иб|(=С0П5* Уее(0,ео] , дс 5- квадратна

(1г+Пг)-иим1рна .матрнпя, яка визпачаетьси рипнстю

-0r{ьf + уг + 1 ^--»

При иьому значения гкшдннх <|>упкнп Р ^ ^ V, 2 , 0 (б") беруть-

ся при ^ = х°, 2 = , © = •

Мае .'.(¡гис Теорема 2.1.2.Якшо

I аиконуються умови

то лля кожного 6.^(0,6^] ( >0 — досить мале) крайона задана (1), (14) мае единый роэв'яэок (х (^,6.) Ц1 (^,6) ) . який лежишь в Сб^— оки.и розв'язку уссредкеноГ задан! V , б) £ [ 0,1.1 ] * (0, 60] С>0— стада, ненадежна вЬт 6 .

В §2 пнкладспа методика доведения ¡снування роэи'язку систсми. (1), визначеного на веш ос'|. Ця методика баэу?'1ься на по?днанш методу •усерсднения 1 розв'яэупаннн деяких краиових задач. Доведена наступна

Теорема 2.2.1. Нсхаи: I) пиконуються нер'тност! (15) !

||а(х>,в)-а (а,1,0)|| + а - ^ а (хД,

Щ 6 6Л е

р'юнолнрно

обмежена, а функц'п Щ ,/""""■"</>"" «<•'"

перервн! при

; 3) ¡снуе розв'язок X = (к) цсерсднениг р¡внянь першого наближення (7). який визначений лежишь в разом сво!м р —околом; 4) нормальна фцн-

... , . ¿г

дамснтальна матриия роле ргвняння й вары^тх =

= спранлжуъ ои\нку

10(^1 ^ К'е УиТеЦ. , К=соп.эЫ , ]г=соа5-Ь>0.

To.it гч>и лосить малому €0> О V С^»Е)^К *(0,6о] знайлеть-

ся така точка Х°(У,. що р о э я' я э г > к (Х(Ъ ,Х°( V, Е)\У

6), системы (/) назначений для вс'/х 'Ь ^ Я ,

Уе 1 эилопольняе нер|0нкть

^ ТУЬ

|хс-ь,XV,&),V,6)-^||^сет хРих(о,бо]

¡я сталою С . неэалсжною в1д 6 .

Остпнню нер1шпсгь «»жил штсрпретувати як ошнку по-хибки метолу усередпепня па впй ос1 при умовь тцо п початко-иий момент часу пов'|лмп змтт прнймають значения X (Н^б) .

В третьому 1 четвертому параграфах вивчаються умови роз в'изноет! багатоточкових задач для колМвноТ системи П + ГП/ лиференфальних ршнянь

А(Х,<РД,6) ,

аЛ

^-^ЬМПВ(х^^е) , ■ (16)

п Я К I н функцп

а , А

, 00 1 и — 29Г — пер1одичн"1 по

I при кожному ф1кс»пап»му £> раз|В неперервно ди-

■ ференцтонаш но (Х,^,^)^ 5) * * 1 . причому вс1 IX частинш ш>Х1ЛН1 ртцчм1рио обмежен! сталою Сц , неэалежиою

1пд £. • Усерсднена по вс1х кутових эм!иних система мае внгляд _ _

= (17)

си

4!

В,г

Вмажатм мсмп,

1)1(1

Г Им ^pSC.Hsapf^lUsapll^j

к^ * ь .

т \ т

дс ^R^CC.'JMMc] , CK= CK(X,t,£) - K<.r4>iUie>ir» Фу,,V функцп [ AiX.^M); ß(X,'«P,t ,6)] ,

a lioiiiii iioxi/im по -fc Diд i|jyiiKw'iM обчис люютьгн и

силу усередпеннх pillllMIlb (17).

Ii §3 для ,>inn:iiib (16) задаюгься Kpaüoni умови

......, (20)

d иких о* w^a^L

DHMipna нсхтор-функцш змппшх , tyjE R,™', 6,^(0,603 ,

J= , яка дв1ч'| iiciK'pepDiio диференшновапа при кожному

(|мксоианому 6 , i Bei Ii частниш iioxiAiii обмежеш.

Позиачимо через квадратну (H + IU)—вичфн? ма-

трную 4- _ о

г (ьФ пМл), W cJ ыщ) 7)Ф \

1ш\Щ W0o Ьх о . bf • ну/»

де значения пох!дних ^ i yjp функцп Ф ( R(, • • • t ty^, t) беруться при P,=x(iy,y°,e), "¿^(t-v,^

Теорема 2.3.1. Припустимо. що: I) пикону ютьсн умови (19) i обмеження на т ; 2) при кожному

Е е(0,6

j ¡снуt e.lм-

ний розв'яэок f (t,^0, усерелненоУ залачi (17).

(18), (20), який лежить в разом ia copi.-.i D— око-

лом; 3) для ланого роэо'язку матриц» неаирьдж с-

Hd, причому | Toa

6 с.

< 5

мпжна вки-

зати так! ста/>1 С>0 \ Б^>0 . що при вс1* багатоточкава задача (16), (20) мае единий розе'йзок (Х(Ь, 6.)^(Ь,6))• який справджуе нер'1вност'1

В §4 розглядаються кранов! умовн виду

VI- • ' , • . • , = 0 , (22)

Р(Рь...,Ра,е) 1 - 01ДПОВ1ДНО

дс

И,— ¡171— пимфш вектор-функци, як! дв!ч'| неперервно ди-фсренцшопаш но р.е= 5) , С^.ер, , , при кожному

с -1

& , причому

Ь1Р

ф1Ксопаному

¿1

4. С = СОП, 5-Ь' (ги) ппг

(23)

Ж /

*1ДБ

для ВС1Х

рсновна П1ЛМ11Ш1СТЬ эадач1 (16), (21), (22) в!д задач! (16), (20) полягае в тому, Що, по-перше, тут вид!лена трупа крайовнх умов, яю м!стять тмьки повиьш зм1шп, а По-друге, в умовах (22) функц!я У эалежить в!д аргументе ' то"

Л1 як в умовах (20) Ф залежнть в1д ,¿—4,1'.

Припустимо, що ¡снуе единий роЭв'язок X— .-»ада-

ч1 (17), (21), для якого матриця

Т. ~

ЭР;

34

справджуе нер1вй1сть

ленкнмн сталнмн С > 9 » 'ЬлО . При цьому —матри-

о

ня часп'чннх ||<>Х»ЛНИХ фуНКНП. Р (р, , . . . , Р„ , б) »" Р

при

■ Для хпахиджсипя розв'нзку

задач! (18),

(22) доситъ шдстанити значения X = X б) и (нвПинпя (18),

нроппчгрунаш нот. а тшдошш параметр ^ виэпачити 13

< 1ПИ!идношс1Г1. (22). Внажатнмгмо. щп матрица

р^ = ± ^ - ~ •

I) Як1и 1Н1Х1Л1М 41« ^ В»Д фуНКИП Р,р • ••• беруться при

ру= X . задовольние шпику

.о. с.чИ . г .-^г

' С е , С = С(Ж5Ь0, <1г = С0НЬЬ>у0 . (25)

Донсдена

Теорема 2.4.1. Исхай: I) при кожному ¡снце еди-

ный развязок Оч'^ч^б)) усере.\нен<п за.1ач1 01).

(1-8). (21), (22). пои!.1ьн1 яка го належать 2) разом

13 свп1М р — сколом: 2) никонуються умопи (19). (23) — (25) при ¿1 > • Тод| при доси/иь малому б^У 0 ддя лож-

ного 6е(0>6о] задача (16). (21). (22) .«ае € линии рояп'яяок , я к ни зт<мовр.ч>няе нертноспи

В третьому розд!Л1 мшчаються умопи ¡снупашш 1 пласти-вост1 ¡нтегралыюго многовиду коливно! резонансно! с и с теми ¡з

залежними В1д часово? змишо! частотами иигляду ^ = , (26)

Тут Д1ИСН1 вектор-функц11 Ц/ , 0, , Д , (О 1 Ь ииэчачеш I 2»ЗС — перюдичш по кржнш 13 эмЫнйх на множи-

tii ©»R^* R*(0,£o]a G, й) — обмежена область.

He втрачаючи эагальност1 можнц пвижатц, Що середне по f в ку(м nepioAin функцп CLC'X,4','i) тотожно дорпииое пулю, оскиь-ки в противному випадку його можна ei/iнести в систем! (26) до CL(X,t). Нехай

H-C^G/), AeC^IM.

Z_ II K||1[ sfP M + щ + 5^Br1)] i <S=coitst

i A(X,(P,t,6)—неперервна по Х,^,!; при кожному ф!ксона-ному 6 е"(0,6о1 : C^(l,t,£) — коефи^еати CDyp'e функцп С'Х,1^

(1,^,1)', ¿(Х^Д >() J . Вспоено Частот (l)(-t) припускаеться, що функцп uj11 ^(i) ITI f j = "f ^ p ^ р^ПХ , piBHOMipno неперернш на множит "t G R, , причому

i T -1 T

Kvp«w;<t>) Wp(i)| ¿6 Viefi. (28)

Розглянемо усереднену по кутових амшннх f систему pin-пянь iiepiiioro наблнження для повммшх зм!нних

g-a(Z.t)'

i припустим», що iciiye П розв'язок X = X(i) , який пизначе-пий на Bcifi oci i який лежнть в 2) разом is своТм j> — око-лом V "t — R, . KpiM -ого, будемо вважатн, що система р1внянь в. napiaijiflх = (t),t) 2 ппербол!чна. Зпдно прийнято?

термшологп вона може бути записана у вигляд1

де 2 + i в!дпов!дно П*0~ i П/-Ц — вим!рш векторп. а

нормальш фундаменталыи матриц! 0;,Т) пер-

шого I другого ршнянь останньоТ системи справджують неравное™

|й+*М)|<Кег'<~,) ¡О.М|4е>('""Т) чм (2»>

13 деякими сталнмн К Ь 4 | ^ > О .

При зробленнх вище припущенпях 1 умов!

в §1, 2 третього роздиу для визначення ¡нтегрального мпого-виду иобудовано конструктивний алгоритм, який ви::начаетьси формулою

оо

\ КМ дДт) 4. сЦхГО+у <£. ,тД

* А .с.е)]^ *,

де аа^^^' ^

РОЗВ'ЯЗОК р1В1!ЯШ1Я

який при приймае значения V , а через О-^Д^нозна-

чено квадратну Г1*Ц—вим!рну матрнцю

- сЦа£(0+(*д), 0), ыт ,

Тут вивчено властивост! посл1довних иаближень 4 остановлено оцшки частинних пох)дних функц'|й Y^ .

В §3 доведена рЫном'фна зб1жшсть посл1лоп:тот'| (X

до штегрального многовиду Х= X сНстеми (26).

Мае М1сцс

Теорема 3.3.1. Якщо виконуютося умови (27 ) — (30), то при досить малому €д> 0 справс4лив1 настунн1 твердження:

а) \снуе ¡нтегральний мноювид X = X системы (20), який лежать в оЬ^ €, — око/и криво! X = X (V) V (V,"1,6)6 [о

б) функц!я X (ЧуЬ,б) — УЖ — пер'юдична по Уу 4 . ме-перервно диференш'йооана по при кожному ф\ксовано-му б <= . о Тс матриця частинних по.х»дмих по ^ справ-джуе нср'юнЬть

для вссх С-^ I улову А'тииица по зм'шних V :

п) на ¡нтеградьному многовид! система (26) приймпе аигляд

В §4 всганонлена умовна аснмнтотнчна спнк!сть ¡нтегрального многовиду "¡дИосио деяко! миожини по-чаткових даних для шинльних змшнйх. Доведена настунна Гсорема 3.4.1. Нехай виконуються умови теоремы 3.3.1. Тод) при досить малому £^>0 V (УД0,£)б С^ в Де я кому окол1 точки X ('Ьл) 'п нують мююаилч п и ' I- 5 й розм'1рноспи ¡. '<10 щак!. що кожний р о з в' я з о к ( у.,1»', Е)^(У'К 0) , У,

^ , системи (26) еизначеНий при -ЬН0 (-Ы-Ь0) ,мй НС1° ^е Б^-гц Уе-И^, причоми ПОв1ЛЬГА

ллч'нн; "X* »V,Ь) скспоненц'юльно прямують до 'ттеграль-нгио многовиду при ^с" скз) ДЛЯ Iе -И, ( ^в ),

В занершалтюму четвертому роэдЫ продовжуютьсм до-слежения иластивостей ¡митрального многоииду X — XO^YM) сч-стеми (26). В шюму винчено гладмгть фувкцп У ( ^, "t, í) • встпноилсно ou.iiiKH íí частниних liox'wmx, доцед'-по асим-пгогичнин розклад ¡нтсгралыюго многоииду i эдшснено деком-

ПОЗИЦПО pililHlllb ДЛИ П01МЛЫ1ИХ та ШИИДК11Х 3MÍIIH1IX.

В §1 розглядаеться система (26) при додатконих обмс-жспних:

t") функцп а , a J , (ü i !, г раз)в ntiiepi'pRiio

днференцшонаш но *R при кожному ], ¡

Bei Tx частинн! iioxiaiii pÍBiioMÍpuo обмежеш в (?■ сталою С. , иеэалежною В1Д & ; .

2°) косф1ц1снти Фур е CK(X,t,6) функцн 6,) j енрапджують HepÍBiiic-ть

il Ml[ + wi(5gu|)S +

к* о ь- " ^

Теорема 4.1.1. Нсхай аиконуютьей умови 2^), (28) —

(30). Тод i кнуюгпь itiíikí cmxijii >0 i С>0 , um лая uci.t

раэ'гп н еперервно диференцшована по (V^sR * К, при к ом-ному ф1ксованому . причому

а пох Í4H¡ ( t— 'I)— го порядку эадооиА ьняють умоиу, Агпншцч по зм'тних "fc . Тут j) — довольна частично пнх\дна по Ц> порядку S .

1з теореми 4.1.1 випливае, що эмеишуетын глпдккть функцп

,б) пор1вняно з гладк1стю право! част.Тни системи (26). Bíamíthmo, що при зроблених на (26) обмгженнях це явище типове для Teopíi »нтегральних mhoiobiwb.

Наступна теорема дае гндиотдь на питания про гладк1сгь но параметру £, ¡нтегралыюго многовнду системи (26). Теорема 4.1.3. Як що аикону кинься умови тсореми 4.1.1 ( функцп А (Х^'ЦЕ-) ^ мають I > Ь неперернних \ облт-

же.них деякою сталаю частинних пох'гдних по ос!х змшних X, то ¡нтегральний мноюаид Х = системи (26)

раз'ю неперервно диферснишований по С^ ,

причолп/

04 . я похсдн( (&-'!) — ю порядку справджують

цмоау Л'шшица по зм'шних V , 4. , & .

В §2 вивчаеться питания про асимптотичний роаклад ¡нте-гральмого многовиду Х= Хб^Л) системи (26). Означим» Ъ— е асимптотичне наближепня функци )((У,"!;,£) як функцию 1^(4', £) , задану в С^ , 1 таку, що

для вах (у^ ч деякою сталою , не яалежпою в1д <5 ,

При кьому задаетмся <|>уикц'тналыюю сумою виду

_ гн

додапкн яко» снравджують нер1Вност1

Теорема 4.2.1. Исхай виконуються умови тсореми 4.1.1 при

Т/+ 2, (1 £ . Год! мажна вказати дасить мале 5р>0 I доскть пеликс

, так1, що функцт

. я ко виз напас Iптегральний мноюаид системи (26), допускав асимп-т ипичн ий роэклад = ^(У,* ,£)

яко<о .пае представления (31), причому

I М^Ц < М/^ , V -Ггм , 1-у ,

ллн кс.х

Трепн 1 чстиертий нираГрафи нрисннчоп дскомпояицп р!Н-НЯНЬ ДЛЯ 1Ю1ПЛЫШХ I ШИИДКНХ ИМИШИХ II ОКО.М асимич отично стпжого ¡нтегралыюго мнопшиду снетеми (26) (нипадок И0= О и теореМ|' 3.4.1). Для пього здженю'-тьси замша змпших

яка зподить систему (26) до розщепленого ннгляду

де а(х,<рд,е)га(2,-1)+а(х)^)+бА(х,1рД,£). у формулах (32)

пертдична по V фуикфя , задана на множит И^и

(-¿е ^ £е(0,6о] I виэначаеться як границ« при р1оном1рио эб1Ж1Ю1 посл!Допност1, що задаеться алгоритмом

системи виду (33), в правш частит якоУ замк гь Ф ( У ^ потр!бно записати ф

Ъ +

: О

mas míchc

Теорема 4.3.1. Нехай никому юты:я умани теорема 4.1.1 п />ч

Э , п0-0 «

. 4 . - II Ч(1СГ71 ИНН/

10/ii при досить малих fl > 0 i ¡снуе замша зм'тних

(32), яка заилить систему (26) ло разшепленогп ииглнлу

(33). причому функшн пчргодична по V э ие-р'юдам 2-Si . неп<ерервно диферени/йонана по ^ , V, -fc при кожному значенн! . справдм уе нер'тнаегт

ЖМ^Ц, Ц-^ФЦа, , ¡¡^ФМ3М

для acix ¡1^1 ч< к . .Ve . -fc е R. .бе (0,у . а i' noxhjHÍ задовольняють умову Jliniuuua:

?,t,e) - ф( ¡I 4¡iч.||V

¡I^ÍV^M) - ó V Ц\\ Jv-vll .

Гут (i ^ - d ^ , JU/ f i) — сшв.li, неэалежш ei,j t i h-

Hapeimi, y §5 теоретичш положения днеертацшно! роботн

використовуються для досл!дження системи слабо зв'язаннх ос-

цилятор1в з пошльио ЭМ1ННИМН частотами виду о

Jfc л) ,

— "иовмышй" час, J -п1дноспосХ = (Х1,...,Х(т1) i — , • 6- малии

многочленн

додатннн.параметр.

висновки

— За догюмогого методу усереднення в дисертацжшй робот1 дослужено колнвш системи звичайпих диференц!альних р!внянь э нов1льно змншими частотами, як» в процес! еволюцп прохо-дять через стаии резонансу.

— Встановлено досить эагалып умови 1 розроблено процедуру одержанвя р1вчом1рних оцшок одновимфних осциляцшних ште-грал)В, залежних в1д параметр'1в.

—Доведено теореми обгрунтуванпя рЬних схем усереднення в коливних системах ¡а эмпшим вектором частот на скшченному та аснмнтотично великому пром'|жках часу, а також на гпвос1. При цьому оцшки похибки методу усереднення виражаються через дробов! степей! малого параметру, а знячення сталих у В1Д110В*1ДПИХ оцшках виписуються в явному вигляд! через почат-ков1 даш досл1джувано] системи.

— В дисертаци виерШе розв'язано резоианеш багатогочков! кранов! задач1 для коливних систем ! одержано ефектнвш оцш-ки норми р1зниц1 розв'язюв збурених 1 усереднених задач при досить загалмшх обмеженнях на усереднену задачу.

— Застосопуигчи метод усереднення 1 властивост1 рояп'язк!в крайоп<1\ задач, доведено ¡снування розв язку багаточастоттн системи, виэначеного на веш оси причему по1плып змшж вка-эаного розв'яэку р!вном)рно обмежеш.

—Дос.идження розв'язк^в диференц1алышх рпншнь значпо спрощуеться, якщо Ц1 розв'язки лежать на деякому иггегра'ь-иому многоннд*!. В дисертацшнж робот) внерше побудопано ш-тегральнни многовйд резонансно! коливио1 системи ¡з залежни-мп И|д часошп змшно! частотам!! ) остановлено умокну .ними тошчну СТШКН-ТЬ МНОГОВНДУ В1ДНОСПО депко! МНОЖННН НПЧЯТКО-

ПИХ Д? НИХ ДЛЯ nOHIAljHII X ЭММ11ШХ.

— ВнпчеНо гладмсть i розроблено методику отримаинн оцшок частинчнх пох1дних функцп: що низначае ¡птегралышй шпионил. Показано, що штегральнии многооид допускам аснмнто-тнчнни розклад у ннгляД1 дсико! функшонально! суми, кожпнй доданок якоТ разом ¡3 своТми частинними пох^пнмн оцпиоеться

величинами, эалежпимн 1нд дробопих CTeneiiin малого параметру

— В малому окод1 аснмптотнчно стшкого ¡нтсгралыюго много-виду за допомогою певно! замши зджамно декомпозиции pin-

НЯНЬ ДЛЯ ПОВ1Л lillVIX i ШВИДКИХ 3MinlIHX.

—Застосупання теоретичннх иоложень иродемонстроване в робот! на приклад1 задач! про коливанни системи слабо эн'яэаннх осцилятор1в з noeiAbiio 3MiiiHiiMii частотами та на ряд1 iinunx модельннх приклэд1в.

Користуючись нагодот, автор висловлюе щиру подяку своему пчителю. академ1ку HAH Украшн А. М. Самойленко за ностшпу увагу та корисне обговоренпя результате.

О с I« к пи i результат» дисертаци опубл!кьяан1 в таких иаукопнх роботах:

1.Голец Ii. И.. Голец В. Л., Петришнн Р. И. Об усреднении в колебательных системах, проходящих через резонансы //Укр.

мат. жури, —1980, — 32,№ 4,—С 448-455.

2.Петришич Р. N. Обоснование некоторой схемы усреднения в колебательных системах с переменными частотами /Черновицкий юс. ун-т.-Черновцы. —1981. —18 с.—ДеН: в ВИНИТИ 14.01.81. № 184-81.

3.П-.тришЧш Р. И. Усредениие с учетом резонансных сооТноше-

ний между частотами в колебательных системах //Укр. мат.

жури—1981,—33, № 2. — С. 262-267.

4.Петришнн Р. I. До питания про ¡linapiairnii многовиди для дсяких нелнпйних систем //Допов1д1 АН УРСР.— Сер. А.— 1981, Ne 2.--С. 22-24.

5.Голец Б. И., Голец В. Л., Петришин Р. И. Усреднение по быстрых переменных в трехчастотных системах второго приближения //Укр. мат. журн. —1935.—37,№ 4,—С. 437-443.

6.Самойленко А. М., Петришин Р. И. Исследование некото-ры:;: резонансных систем //Докл. АН УССР. — Сер. —1985, № 2.—С. 11-14.

7.Самойленко А. М.,Петришин Р. И. Исследование устойчивости некоторых двухЧастотных систем //Укр. мат. журн.—

1986.—38,№ 4,—С. 483-487.

8.Самойленко А. М..Петришин Р. И. Равномерные оценки одномерных осциллирующих интегралов //Докл. АН УССР.— Сер. А,—1987,№ П.—С. 12-15.

9.Голец В. Л., Петришин Р. И. О нелинейных колебания« систем, проходящих через резонансы //Прикладная механика.—

1987,—23,№ 4—С. 87-93.

10.Петришин Р. И. Гладкость по параметру инвариантных многообразий резонансных колебательных систем //Республ. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" (Одесса, 22—24 сент. 1987 г.).—Одесса, 1987.— 2.—С. 57-58.

П.Самойленко А. М..Петришин Р. И, Метод усреднения в многпчастотных системах с медленно меняющимися параметрами //Укр. маг. журн, —1988—40,№ 4, —С. 493-501. 12.Петрнипш Р. 1. Усереднеиня в резонансних крайових зада чах /7До.юшл1 АН УРСР, —Сер. А. —1988, № 9,—С. 11-14

13.Самоиленко А. М.,Петришин Р. И. Метод усреднения п некоторых краевых задачах //Дифференц. уравнения. — 1989.— 25, № 6.—С. 956-964.

14.Петришнн Р. И. Оценка погрешности метода усреднения в многочастотных системах высшего приближения //Асимптотически«; методы в уравнениях математической физики. — Киев.—

1989. —С. 100-104.

15.Самоиленко А. М.,Петришин Р. И. Об интегральных многообразиях многочастотных колебательных систем //Известия

АН СССР. Сер. матем. —1990 —54,№ 2,—С. 378-395.

, 16.Самойленко А. М..Петришин P. I. Бага тто\кояа крайопа задача для нелшшних коливань //Конструктивна методи до-сл1дженпя диференц1альних р1внямь. — Ктв.—1993. — С. 62—73.

17.Петришин P. I. Асимптотичний роэклад ¡нтегралыюго мио-говиду багаточастотно'-' системи //Нелтшн! диференцичльж piB-няння та IX зас?осування.—КиТв. —1993.—С. 58—65.

18.Петришин P. I. Досл!дження розв'язк1в багаточастотних систем за допомогою методу усереднення //1нтегралыи перетворения та 1х застосуваиня до крайових задач. — КиТв.—1993, вип. 2—С. 189-202.

-19.Петришин Р. 1. Зведйиня багаточастотно! системи до кано-Hi4Horo 1>игляду в окол'1 ¡нтегралыюго мног.-,виду //Системи еволгоц!йних pinin.ini з тсляд1ею.— Ктв.—1994. — С. 74—88.

20.Петришин Р. 1. ДослЫження коливних систем другого порядку з пов!льно эмшними частотами //1нтегральш пере-творення та ix яЗг.тосу вання до крайових задач.—Ки1в. —1995, вип. 8,—С. 158-166.

21.Петришин P. I. Метод усереднення в деяких задачах Teopil нелжитнх коливань //Укр. мат. жури.—1995.—47,№ 6.—

С. о01-Й10.

Петрншнн P. Hi Исследование колебательных систем с медленно меняющимися частотами нрй помощи метода усреднения. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физнко-математиЧеских наук ho специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, Инстйтут математики НАН Ук-райнЫ. Киев, 1995.

Защищается диссертация, в которой содержатся результаты 2,1 работы по исследованию многочастотных резонансных систем. Доказ.-йы новые теоремы обоснования метода усреднения и его применения для решения многоточечных краевых задач. В частности, получена количественная зависимость оцегок погрешности метода усреднения от величины малого параметра. Разработана тёЬрйя интегральных многообразий колебательных систем, которые в процессе эволюции проходят через резонан-сы. Теоретические результаты применены для исследования системы слабо связанных осцилляторов с неременными частотами.

Petryshyn R. I. The Ihvestigatioh of oscillation systems with slow-changed frequencies by means of averaging method. Maritiscript. Thesis for the degree of Doctor of Science in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02-differential equations. Institute of ^Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine. Kiev, 1995.

1 hesis containing the results of 21 works on the investigation of niultifrequericy resonante systems is defended. New theoremes of averaging method substantiation and their application for the solution of miltipoint boiidary-value problems are proved. In particular, the guantitative dependence of ertor values of the averaging method on the value of a small parameter is obtained. The theory of integral manifold oscillation system which passes through resonante in the process of evolution has been developed. The theoft;-tical results have been applied in (he investigation of the system of weakly-bounded .oscillators with changing frequencies.

Ключов! слова: осциляцшний штеграл, багаточастотна система, резонанс, метод усереднення, крайопа задача, штеграль-ннй много^ид. ./"7

О- -