Исследование логарифмических по отношению масс частиц поправок к тонкому сдвигу S-уровней энергии водородоподобных атомов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Клещевская Светлана Викторовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПО ОТНОШЕНИЮ МАСС ЧАСТИЦ ПОПРАВОК К ТОНКОМУ СДВИГУ 8-УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ

01.04.02 - Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической и ядерной физики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор

Фаустов Рудольф Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор

Тюхтяев Юрий Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Борисов Анатолий Викторович

кандидат физико-математических наук Галкин Владимир Олегович

Ведущая организация:

Институт Ядерных Исследований РАН, г. Москва

-<Ю

Защита состоится "¡Ц " Л^ЛТ/Я^р*? 2004 года в часов на заседании

диссертационного совета К 5dl.001.17 в Московском государственном университете им. М. В. .Ломоносова (119992, г. Москва, ГСП-2, Ленинские горы, дом 1, строение 2).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Московского государственного университета.

Автореферат разослан

2004 г.

Поляков П. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Исследование связанных состояний системы двух частиц принадлежат к тем фундаментальным научным направлениям, которые сохраняют актуальность на протяжении всего развития квантовой теории.

Существуют, важные побудительные мотивы к расчету уровней энергии водородоподобных (ВП) атомов с возрастающей точностью.

Для прогресса фундаментальных исследований. в физике элементарных частиц необходимы сведения о точных значениях важнейших физических констант - так называемых универсальных постоянных. Одним из важнейших критериев истинности новых моделей взаимодействий является использование в них установленных на настоящий момент параметров элементарных частиц -их массы, заряда и т.п.

Актуальность исследований спектров энергии водородоподобных (ВП) атомов определяется еще двумя обстоятельствами.

Задача двух тел, имеющая фундаментальное значение для описания процессов взаимодействия, полностью не решена в релятивистской механике и, как следствие, в теории квантовых полей.

Важнейший момент в выборе объекта исследований - возможность согласования результатов теории и эксперимента. ВП атом — простейшая замкнутая система двух частиц - наиболее доступен как теоретическому изучению, так и прецизионным измерениям параметров на практике.

За последнее десятилетие было опубликовано около десятка обзоров с анализом и систематизацией результатов исследований ВП атомов. Одно из главных направлений, привлекших внимание авторов обзоров, - проблема тонкого сдвига уровней энергии ВП атомов.

К началу 90-х годов появились убедительные свидетельства подготовки эксперимента по прецизионному измерению величины тонкого сдвига 18-28 уровней энергии в атоме мюония. В это же время были предприняты попытки,

чтобы уточнить теоретическое значение, величины тонкого

сдвига 8-уровней

РОС НАЦИОНАЛЬНА! з . БИБЛИОТЕКА

энергии ВП атомов.

Заметный интерес вызвали сообщения о логарифмическом вкладе

в известную величину сдвига (а- постоянная тонкой структуры, ц

- приведенная масса, ти, и т2 - массы легкой и тяжелой частиц соответственно). Такая поправка действительно была обнаружена при анализе взаимодействий в аннигиляционном канале атома позитрония.

Большая величина логарифмических вкладов заставляет обратить на их исследование особое внимание. В случае логарифмической зависимости имеем:

для мюония 1п /Г1« 5.33,

для водорода где

Об актуальности темы, заявленной в диссертации, свидетельствуют интенсивные экспериментальные и теоретические исследования уровней энергии во-дородоподобных атомов.

В последние годы стало ясно, что повышение точности измерений величин сдвигов уровней энергии водородоподобных атомов с помощью радиочастотных методов наталкивается на серьезные препятствия.

Новые перспективы уменьшения экспериментальных ошибок открывают методы бездоплеровской двухфотонной лазерной спектроскопии. Эти эксперименты позволяют с рекордной точностью определить значение такой фундаментальной величины как постоянная Ридберга.

Интервал 1^2—25^2 измерен в настоящее время в атоме водорода с точностью до десятка кГц:

Уьи и =2 466 061413187.34 (84) кГц (1997 г.),

=2 466 061413187103 (46)Гц (2000 г.).

Прогресс, достигнутый в последних экспериментальных работах, стимулирует развитие теоретических методов по прецизионному определению по-

правок к известным значениям величины сдвигов уровней энергии.

Об актуальности данной работы также свидетельствует тот факт, что поправки к Р-уровням, известны сейчас с большей точностью, чем поправки к уровням.

Целью данной работы является анализ предыдущих результатов и расчет новых вкладов в сдвиг 15-28 уровней энергии ВП атомов, пропорциональных 1п[«г/т,].

Для достижения этих целей решались следующие задачи:

- Анализ математического аппарата, используемого в исходных задачах на связанные состояния системы двух частиц в квазипотенциальном подходе.

- Выявление условий, при которых получаются новые логарифмические по т,/т2 поправки к S-уровням энергии водородоподобного атома.

- Развитие принципа разложения по степеням т1/т2 при исследовании поправок, содержащих

- Расчет тонкой структуры и поправок к тонкому сдвигу уровней энергии с точностью до четвертого порядка по константе тонкой структуры

- Исследование специфических эффектов отдачи в системе двух частиц с неравными массами.

- Анализ простейших однофотонных обменов.

- Исследование влияния движения ядра на величину тонкого сдвига уровней энергии водородоподобного атома.

Научная новизна работы

1. В рамках метода квазипотенциала в диссертации разработана и применена техника расчетов логарифмических по т1/т1 вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов.

2. Выяснен предел применимости приближения для волновых функций уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом при вычислении вкладов пропорциональных 1 пт1/т1. Установлено, что все новые поправки такого рода получаются при использовании точных значений вол-

новых функций ¿Состояний.

3. Впервые вычислена логарифмическая по параметру /? = м,/т2 поправка

■а ^ у?*1п/?~' аналогичная вкладу, полученному еще в работе Фултона, Мартина 1954 года.

4. Впервые доказано существование логарифмических по параметру отношения масс частиц вкладов в тонкий сдвиг ^--уровней энергии от простейшего взаимодействия частиц путем обмена одним кулоновским фотоном.

5. Впервые показано, что при обмене одним поперечным фотоном компенсируются вклады типа а ^ 1п/Т', а ^ /?1п/?"', а ^ /?21п/Г'.

6. Проанализирован эффект запаздывания и его влияние на величину логарифмического вклада по параметру

7. При анализе логарифмических по тг/т1 поправок в шестом порядке по а

получены новые вклады порядка

Научная и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. В рамках двухчастичного подхода к теории связанных состояний разработан и применен к исследованию эффектов отдачи математический аппарат, основанный на использовании квазипотенциала. Сравнение теории с новейшими экспериментальными данными спектроскопии сверхвысокого разрешения водородоподобных атомов позволит уточнить значение постоянной тонкой структуры и ряда других универсальных мировых констант.

Исследование спектров водородоподобных атомов одна из тех областей, где фундаментальные и прикладные вопросы переплетаются чрезвычайно тесно. Так известно, что величина тонкого сдвига уровней энергии зависит от фундаментальной физической константы — постоянной Ридберга. Наши работы сыграли свою роль в определении ее значения.

В свою очередь эта постоянная дает сведения о константе электромагнитного действия. Выбор теоретических моделей электрослабых и сильных взаимодействий во многом определяется значением константы электромагнитного. взаимодействия.

Ожидаемые результаты важны и для практических приложений, например в метрологии.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов для расчета, обработки и анализа полученных данных. Достоверность также подтверждается согласием полученных результатов с экспериментальными данными.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Существование логарифмических по параметру отношения масс частиц вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии от простейшего взаимодействия частиц путём обмена кулоновским фотоном.

2. Новые логарифмические по параметру отношения масс частиц вклады порядка а'.

3. Компенсация вкладов порядка а ^ /?1п/?"' при однофотонном обмене.

4. Возникновение логарифмических по параметру ¡3 вкладов в случае использования при вычислениях приближения кулоновских волновых функций.

5. Численные оценки обнаруженных логарифмических вкладов и сравнение полученных величин сдвигов с последними данными теории и эксперимента.

Личный вклад соискателя

Все основные результаты диссертации получены автором лично или в соавторстве. Большая часть задач, решенных в диссертации, была предложена научными руководителями д.ф.-м. н., проф. Ю.Н. Тюхтяевым и д.ф.-м. н., проф. Р.Н. Фаустовым. Однако большинство из представленных в работе сложных математических расчетов выполнено самостоятельно.

Апробация работы

Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих, в том числе и международных, научных конференциях: Saratov Fall Meeting: Workshop on Spectroscopy and Molecular Modeling II, Saratov, Russia (October, 2001, 2003); Сессия-конференция "Физика фундаментальных взаимодействий", Москва, Россия (2-6 декабря, 2002); International Seminar "Selected Problems of Modern Physics", Saratov, Russia (June 16-18, 2003); XVIIth International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory, Samara-Saratov, Russia (September 4-11,2003).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 5 в реферируемых изданиях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и двух приложений. Работа изложена на 121 страницах, содержит 17 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 51 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации, её новизна и практическая значимость, определена цель работы, описан и выбран как наиболее эффективный для прецизионных расчётов уровней энергии водо-родоподобных атомов квазипотенциальный подход.

Несмотря на то, что уравнение Дирака для теории связанных состояний имело этапный характер (одно лишь предсказание существования тонкой структуры уровней энергии говорит о многом), оказалось, что с его помощью можно решать только задачи о частице, движущейся во внешнем поле.

На его основе также можно поставить задачу о тонком сдвиге уровней энергии и вычислить радиационные поправки, отвечающих взаимодействию частицы с собственным электромагнитным полем.

Подходы, основанные на использовании полной одночастичной функции

8

Грина, позволяют, также как и метод эффективного уравнения Дирака, решать задачу о связанных состояниях двух частиц в приближении внешнего поля. Однако для полного решения релятивистской задачи об уровнях энергии водоро-доподобных атомов необходимо оперировать с полной двухчастичной функцией Грина, в которую кроме поляризационного и массового операторов входит оператор взаимодействия частиц.

Уравнение для полной двухчастичной функции Грина было впервые предложено Бете и Солпитером. Несмотря на фундаментальность основанного на этом уравнении метода решения задач на связанные состояния двух частиц, существует ряд недостатков, затрудняющих его использование, и, прежде всего, наличие лишённого физического смысла относительного времени.

В этой связи более оправданным является применение в релятивистской теории связанных состояний формализма трёхмерных уравнений, среди которых особое место занимает квазипотенциальный подход.

Этот метод позволяет совмещать простоту и наглядность трёхмерного описания нерелятивистской квантовой механики с ковариантным аппаратом квантовой теории поля.

Квазипотенциальный подход универсален и одинаково точно описывает как системы частиц с одинаковыми, так и с различными массами.

В первой главе анализируется квазипотенциальное уравнение и его простейшие применения.

В первом параграфе первой главы ставится задача об уровнях энергии в квазипотенциальном подходе. Для системы двух заряженных частиц со спином одна вторая имеем

(£-*„ -*г,К(р)=(2*Г ¡у(р,Я;ЕЫУЯ , (О

где Е - собственное значение полной энергии, ^¡(р) - соответствующая собственная функция, - масса частицы ВП атома.

Квазипотенциал в большинстве задач может быть выражен через

амплитуду рассеяния

Г = + (2)

где Р = (2яУб(р-д%Е-е,р-£2рУ, операция (...), »«^„/„(„.^и, означает проектирование на состояния с положительными энергиями,

Т(р,д;Е) = Т(р,д,ра,д0; , (3)

В низших порядках теории возмущений для связанных состояний полагают р1 «от,2, Ц2 «т2. В этих условиях основное квазипотенциальное уравнение (1) переходит в уравнение типа Шредингера

(5)

где IV = Е-т,-тг - энергия связи системы, ц- приведённая масса.

Выделяя кулоновское взаимодействие, как основное при электромагнитных взаимодействиях частиц, и решая (5) по теории возмущений, находим

ДЕ„ = (П|ДК<2> + Г(4> + ДК'2', (6)

где АУт=Т™-ус, |л), |ю) - собственные функции уравнения (6) с кулонов-ским потенциалом, соответствующие значениям энергии

Анализ решения задачи о сверхтонком расщеплении приводит к выводу о возможности построения квазипотенциала через амплитуду рассеяния

Т на массовой поверхности. Это связано с тем, что в специфическом случае выполняется условие

В самом деле, можно показать, что с точностью до а5 можно использовать приближения кулоновских волновых функций

Ч'с(р) = (2/г)"2Гс(0)<У(р) (8)

при расчётах сверхтонкого расщепления и тонкого сдвига уровней энергии в высокочастотной области виртуального импульса. Однако при прецизионных вычислениях амплитуду использовать нельзя.

Во втором параграфе первой главы показано, что вычисление тонкой структуры уровней энергии возможно лишь при построении квазипотенциала через амплитуду рассеяния Т{р,ц\Е),где рф0,д*0.

При этом квазипотенциал в низшем приближении и кулоновской калибровке имеет вид

УНТг).=(Кс\НКт). (9)

и соответствует диаграмме однофотонного обмена. Индексы С и Г означают обмен кулоновским и поперечным фотоном соответственно.

Во втором параграфе первой главы идёт речь о двух способах вычисления тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов, приводящих к одному и тому же результату.

В первом способе, выделяя ядро Брейта из квазипотенциала Vпутём разложения по степеням величины и преобразуя соответствующим образом радикалы в левой части уравнения (1), находим

(10) (И) (12) (13)

Решение квазипотенциального уравнения (1) с учётом (10) даёт поправку к уровням энергии, зависящую от отношения масс частиц, порядка

^кш + V« + Ур,I У

Еч = (/я, +/я2)-

жгаУ { 1

3

---+-

(14)

2 п2 2 п1 и+ 1/2 4 я 4и(/й, +ш2))'

где 2а - заряд ядра,, ^ - значение момента импульса, п - главное квантовое число.

В диссертации анализируется возможность разложения радикалов е¥ и нормировочных множителей по степеням

v \ 2m] 8 m* J 8 m] 128 m*

(15)

Применимость разложения (15) ограничена, поскольку на определённом этапе возникают расходимости при больших значениях импульсов.

Исходя из этого, необходимо при прецизионных расчётах использовать тождества типа

1 + -

N„ =1--^-. (16)

2£*р (Eip +т,)0 + Nmp)

V 14 V J

В предложенном в диссертации способе появляются дополнительные слагаемые, исчезающие при использовании как разложения по степеням р*/т*, так и Л-приближения кулоновских волновых функций.

Вторая глава посвящена исследованию эффектов отдачи в системе двух частиц с неравными массами.

В первом параграфе обсуждается вопрос о различии подходов к обнаружению поправок Ina"1 с одной стороны и In/?"1 с другой. Показано, что прирасчё-те вкладов, содержащих возможно использование приближений

к= В-^о жр, время, для появления величин в рассчиты-ln /Г1 ваемых интегралах, отвечающих взаимодействиям частиц, должны удерживаться оба радикала

Логарифмические по константе тонкой структуры поправки к сверхтонкому расщеплению основного уровня энергии водородоподобного атома вносит

стандартный интеграл

i

d'p

Jin'1

d'p'

_ Ая*

SipCipiP1 +«V) J(p"+"V)(i-p')! ~ rn,m2

In «Г1.

(17)

Если отвлечься от наличия особенностей при больших импульсах, то можно вообще считать в (17) sv =т,.

Однако другой исследуемый интеграл

1 Bodwin СТ.. Yeme D.R. Hyperfne Splitting in Positronium and Muonium // Physics Reports (Section С of Physics Letters). - 1978. Vol. 43. - P. 267-303.

2 Бойкова Н.А., ТюхтяевЮ.Н., ФаустовР.Н. Поправки ксверхтонкомурасщеплению основною уровня мюония относительного порялка (m/mJ\ла // Проблемы физики высоких энергий и квантовой теории поля. -Протвино. - 1983. Т. 1. - С. 116-127.

V(18)

поправок к уровням энергии, пропорциональных Ы а"1, не вносит, но приводит

йр р* _ 4л-3 1

Р1

г 1 "г

к выражению Jp ---

="_____г"111/?"'-

ац т,тг ¿е,ре,р(р ) ац /я,т22

Приведённые выше примеры интегралов показывают, что новые логарифмические вклады по параметру /? = т,/да2 появляется при исследованиях связанных состояний любыми известными методами. Квазипотенциальный метод не является в этом смысле исключением.

Учёт радикалов означает релятивистский характер поправок 1п/Т'. Поэтому необходимо обратиться к общим релятивистским методам исследования спектров водородоподобных атомов.

Введение двухвременной функции Грина двух частиц позволяет записать для состояния с собственным значением энергии Е уравнение

(ёТ)~Х=0. (19)

Поскольку из уравнения Швингера следует разнообразные представления полной функции Грина двух частиц, то можно использовать равенства

С = +<5„АГ„,(7

(

2

и о=ес+сскс;,

где

- кулоновский потенциал. Построение квазипотенциала на основе (20) приводит к выражению

(20) 1

(22)

(23)

используемому в (1). Уравнение же (22) даёт возможность выразить потенциал через амплитуду

У=-

гс = (Ос ГОсТСс (Ос )".

1 + Сс гс

В теории возмущений, основанной на использовании амплитуды Т, квазипотенциал принимает вид

где

Таким образом, во втором порядке разложения квазипотенциала возникают итерации, улучшающие сходимость ряда теории возмущений.

При построении квазипотенциала с помощью амплитуды гс уже в первом порядке каждая приводимая диаграмма входит с соответствующей итерацией. Это позволяет учитывать многократный обмен кулоновскими фотонами в неприводимых диаграммах.

Во втором параграфе второй главы продолжается анализ выражения квазипотенциала, соответствующего однофотонному взаимодействию частиц.

Вначале рассматривается кулоновскую часть взаимодействия (слагаемые, отвечающие за сверхтонкий сдвиг, опущены).

мировочных множителей дираковских биспиноров,

Для простоты <рс(р) - кулоновская волновая функция, отвечающая ^состоянию,

1?>с(0)|3=^-, (26)

л

(Р2+«У)2

для состояний и8 величина тонкого сдвига уменьшается в л' раз.

Остановимся более подробно на первом и последнем слагаемых (25), кото рое представим в виде

(27)

Оценка последнего слагаемого в (27) приводит нас к стандартному интегралу

(17). Согласно последним данным такого рода поправки компенсируются в

14

сумме диаграмм, и это слагаемое можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

После этого в выражении (27) можно использовать симметрию по пере-

(28)

Перейдём в рассматриваемом нами выражении (28) к безразмерным величинам, т.е. посредством замен тогда

Преобразуя подынтегральную функцию с помощью тождества

!_ V -1-_ +--+

4^+1(^+1+1) 32(р2 +\)(т]рг + 1 +1)2

+_/>'(3 + ЛГ„)_

+64(Р2+1)3/2(Л/77Т+1)3(1+^)3'

легко прийти к следующим выводам.

1) Первые два слагаемых из (29) имеют лидирующий порядок а4 и вкладов, содержащих в тонкий сдвиг не вносят.

2) Используя в этих интегралах разложения (15) и возвращаясь к размерным импульсам, вновь получаем следующий результат

Лёс(«<) - -сЫ*)) = (Шт®> =

Отметим только, что при использовании точных значений этих слагаемых возникают дополнительные поправки, содержащие целочисленные степени параметров

(29)

(30)

(31)

Содержащие 1пт2//и, поправки к тонкой структуре уровней энергии могут быть выделены только из следующего интеграла

(32)

Подставив вместо величины её представление (31) и вычислив полученные интегралы, получаем, что новый логарифмический по отношению масс частиц вклад от обмена одним кулоновским фотоном равен

Ъ-Пят^щХ + р

(33)

Наиболее вероятная возможность компенсирования этой поправки, связанная с анализом обмена одним поперечным фотоном, не реализуется.

Рассмотренные нами вычисления указывают на достоверность вывода об окончательном характере полученного в данном параграфе сдвига

и. аУ ?

ДЕ* ~

1п /Г1.

т,т2 1 + р

В третьей главе посредством модифицированной амплитуды рассеяния изучается взаимодействие частиц при обмене одним поперечным фотоном. В первом параграфе третьей главы вклад в сдвиг .^-уровней энергии от обмена одним поперечным фотоном, вычисляемый с помощью амплитуды рассеяния записан с учетом релятивистскую модификацию кулоновской волновой функции

(34)

В этом параграфе показано, что эффект запаздывания в данной диаграмме уменьшает величину логарифмического по отношению масс частиц вклада в пятом порядке по константе тонкой структуры в два раза, т.е. можно использовать при расчетах поправок порядка приближение

Таким образом, прецизионный расчет величины (34) и учет приближения

16

(35) позволяет нам записать следующее выражение:

я* ^ ^ (/» +<*V) -4? +<* ' (р2-я2)2

4(Р9) 1

(р-ч? [л/„Л/2,

-1+-

(Р-ЯУ Мгр

(р2 -я2)2

(р -я)'

Г2 + 29{—!—1—1+--]-?_1, (36)

где П, =м1рм2р/(м,р+м1р).

Поправки типа ——1пр~\ —— /Пп/Г1, —возникающие при пре-

ТП\ тп2 /я, тп^ /и,

тхтг

цизионном расчете выражения (36), выписаны в таблице 1.

Таблица 1.

Диаграмма Дет I

«'Лп/г' 0 1 Лл 1 ~ 72/Г 0 2 Лп 0 0

^/Ип/Г» т,тг 0 9 4 Лл 9 аЛл 4 ~Лж 1 2-Ля 0 0

^/Пп/Г' 0 145 145 4 Лж 1 1 0

6472л- (аЛж 32^2к гЛк

Итак, из таблицы 1 следует, что никаких новых логарифмических по отношению масс частиц вкладов, имеющих порядок а5, от обмена одним поперечным фотоном не найдено.

Во втором параграфе третьей главы продолжен анализ обмена одним поперечным фотоном. Оказывается, что новые логарифмические по отношению' масс частиц поправки возникают лишь в шестом порядке по константе тонкой структуры.

В этом параграфе проведен детальный расчет поправок, имеющих порядок

/Г' и —Получены новые вклады порядка под-

гУ

«I

твержден результат ——/?1п2 /Г1, который был известен ранее. При расчетах

было выяснено, что эффект запаздывания не влияет на величину поправки

17

и уменьшает величину вклада ° ^ /?1п/7~' на .

т^з т,ш2 /г

Величина сдвига 15-25 уровня энергии водородоподобного атома, определенная в этом параграфе, равна

ДЕг(15-25)

= 7 а'V ^ '1

8 и,/я2 (1 + /?)3 д-2

1+ 2л/2)1п(1+>/2) + 21п2 + 1п/Г'

1п/Г'

В четвертой главе анализируется влияние движения ядра на величину тонкого сдвига уровней энергии водородоподобного атома.

В первом параграфе четвертой главы исследованы последовательные обмены кулоновским и поперечным фотонами между частицами водородоподобного атома.

Лидирующий вклад от фейнмановской диаграммы с параллельными фотонными линиями, отвечающей обмену одним кулоновским и поперечным фотонами, может быть представлен в виде

(37)

Интегрирование величины

к появлению искомых логарифмических вкладов не приводит.

В таблицу 2, суммирующую результаты проведённых в этом параграфе вычислений, включена вся необходимая для анализа совокупность интегралов

(37) независимо от того, содержат или не содержат они логарифмические по /} вклады.

В таблице 2 приводятся поправки от процесса последовательного обмена кулоновским и поперечным фотонами в обобщённом виде, полученные в приближении мгновенного взаимодействия частиц. Отличные от нуля в & приближении волновых функций вклады в таблице 2 помечены звёздочкой.

Таблица 2

Диаграмма £

/?1п/Г' /я, гп2 2* 2* 2у/2 2л/2

л л к л 0 0 0 0 0 0

рг 1п/Г' Г Г : пЛ 7л/2 72 л/2 л

л л 4л 4л 8л- 8л- 0 0 0 4л

Эффект запаздывания, как показано далее в этом параграфе, уменьшает значение найденной новой логарифмической по отношению масс частиц поправки в 3/4 раза.

Следовательно, при расчёте фейнмановской диаграммы с параллельными фотонными линиями, отвечающей обмену одним кулоновским и поперечным фотонами, возникает вклад

Во втором параграфе четвертой главы анализируются более подробно вклады от двухфотонных диаграмм с обменом одним поперечным фотоном в низшем приближении. Рассматриваются логарифмические по константе тонкой структуры вклады в тонкий сдвиг уровней энергии, исчезающие в пределе

Ш2 —► ТП!.

Показано, что логарифмические по отношению масс частиц р вклады, являющиеся основной задачей нашего исследования, при анализе диаграммы с перекрестными кулоновской и поперечной фотонными линиями возникают лишь в шестом порядке по константе тонкой структуры и пропорциональны

19

В заключении диссертации перечислены основные результаты и выводы. В приложениях 1 и 2 вычислена матричная структура для диаграмм с параллельными и перекрестными кулоновской и поперечной фотонными линиями соответственно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В рамках метода квазипотенциала в диссертации разработана и применена техника расчетов логарифмических по т2/т, вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов.

2. Выяснен предел применимости ¿-приближения для волновых функций уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом при вычислении вкладов пропорциональных Все новые поправки такого рода получаются при использовании точных значений волновых функций 5-состояний.

3. Вычисление вкладов от однофотонных обменов даже в низших порядках по а невозможно без использования точных значений функций (р). При прецизионном исследовании обмена одним кулоновским фотоном между частицами установлено новое значение величины вклада порядка

4. Исследование обмена поперечным фотоном показало взаимное уничтоже-

сс^ и? СС ^ СС ^//^

ние поправок —— 1п/Г',——/Яп/Г1,——/?21пЭто обстоятельство с т1т2 тхтг /п,/я2

учетом вклада от обмена одним кулоновским фотоном приводит к достоверности вывода о существовании новых вкладов 1п/я2/т, в пятом порядке по константе тонкой структуры.

5. Проанализировано влияние эффекта запаздывания на величину вклада. Установлено, что для пятого порядка по константе тонкой структуры величина вклада уменьшается в однофотонной диаграмме в два раза, в па-

20

раллельной двухфотонной - в 3/4 раза. Результат •2-^-/?In2/?"1 в однофо-

тонной диаграмме остается без изменений, а поправка а ^ /?1п/?"' умень-41п2

шается на величину —т—г-.

к п

6. При анализе логарифмических по т2/т1 поправок в шестом порядке по а получены новые вклады порядка а ^ /?1п/Т1.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Бойкова Н.А., Клещевская СВ., Тюхтяев Ю.Н. О влиянии эффектов отдачи на тонкую структуру уровней энергии мюония // Проблемы современной физики. К 90-летию Саратовского государственного университета и 40-летию сотрудничества ОИЯИ-СГУ. ОИЯИ, D2-99-263, Дубна, 1999. -С. 96-104.

2. Бойкова Н.А., Клещевская СВ., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Логарифмические по mjmi поправки к величине тонкого сдвига S-уровней энергии в атоме мюония //ЯФ. - 2001. № 8. - С. 1437-1441.

3. Boikova N.A, Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Yu.N., Faustov R.N. Logarithmic corrections in m/m2 to the fine shift ofthe S-wave energy levels in the muonium atom // Phys. At. Nucl. - 2001. Vol. 64. №8. - P. 1359-1363.

4. Boikova N.A, Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Yu.N. Precision calculations to the fine shift ofS-levels in the muonium atom // Saratov Fall Meeting'2001. Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling II / Editors: Vladimir L. Derbov, Leonid A. Melnikov, Lev M. Babkov. Proc. SPIE. - 2002. Vol. 4706. - P. 150-154.

5. Boikova N.A., Kleshchevskaya S.V., Nyun'ko N.E, Tyukhtyaev Yu.N. New approach to the investigation of logarithmic in m/m2 corrections to the fine shift

of energy levels in hydrogen-like atoms // Saratov Fall Meeting'2001. Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling II / Editors: Vladimir L. Derbov, Leonid A. Melnikov, Lev M. Babkov. Proc. SPIE. - 2002. Vol. 4706. -P. 187-191.

6. Бойкова НА, Клещевская СВ., Тюхтяев Ю.Н. Прецизионные расчёты величины тонкого сдвига 5-уровней атома мюония // Проблемы оптической физики. Материалы 5-й Международной молодежной научной школы по оптике, лазерной физике и биофизике, Саратов, 2-5 октября 2001, под ред. Л. М. Бабкова (ГосУНЦ «Колледж», Саратов, 2002). - Саратов. - 2002. -С. 98-105.

7. Бойкова НА, Клещевская СВ., Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н. Новый подход к исследованию логарифмических по m/m2 поправок в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов // Проблемы оптической физики. Материалы 5-й Международной молодежной научной школы по оптике, лазерной физике и биофизике, Саратов, 2-5 октября 2001, под ред. Л. М. Бабкова (ГосУНЦ «Колледж», Саратов, 2002). - Саратов. - 2002. - С. 105-111.

8. Бойкова НА, Клещевская СВ., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Исследование логарифмических по отношению масс электрона и мюона вкладов в сдвиг ¿"уровней энергии мюония //ЯФ. - 2003. №5. - С. 925-933.

9. Boikova N.A, Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Yu.N., Faustov R.N. Investigation of logarithmic contributions in the electron-to-muon mass ratio to the shift ofthe S energy levels in the muonium atom // Phys. At. Nucl. - 2003. Vol.66.№5.-P. 893-901.

Ю.Бойкова НА, Клещевская СВ., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. К вопросу о логарифмических по отношению масс частиц вкладов в тонкий сдвиг S уровней энергии водородоподобных атомов в пятом порядке по константе тонкой структуры // ЯФ. - 2004. №3. - С. 548-556.

Подписано в печать 03.09.04 г. Формат 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Объем 1,0 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ 80.

Типография «Саратовский источник» Лиц. ПД № 7-0014 от 29 мая 2000 г. г. Саратов, ул. Университетская, 42, оф. 22 тел.: 520-593

»164 6 0

Введение

Глава 1. Математический аппарат, используемый в исходных задачах на связанные состояния системы двух частиц в квазипотенциальном подходе.

1.1. Задача об уровнях энергии водородоподобных атомов в квазипотенциальном подходе

1.2. Проблема тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов

Глава 2. Специфические эффекты отдачи в системах двух частиц с неравными массами

2.1.0 пределах применимости ^-приближения кулоновских волновых функций к прецизионным расчётам сдвигов уровней энергии.

2.2. О новых логарифмических по отношению масс частиц вкладах в 5-уровни энергии водородоподобных атомов от однофотонного взаимодействия частиц

Глава 3. Изучение взаимодействия частиц посредством обмена одним поперечным фотоном с помощью модифицированной амплитуды рассеяния.

X5 ц* (Х^ IJ? (X

3.1.0 поправках ——In j8~x,——/31п/Г\——/З2 in/Г1 от взаимодействия частиц щт2 щт тиц посредством обмена одним поперечным фотоном

3.2. О поправках —— /?1п /Г1 от взаимодействия частиц посредством обмена одним поперечным фотоном

Глава 4. Влияние движения ядра на величину тонкого сдвига уровней энергии водородоподобного атома

4.1. Анализ последовательных обменов кулоновским и поперечным фотонами между частицами водородоподобного атома

4.2. Логарифмические по константе тонкой структуры вклады в тонкий сдвиг уровней энергии, исчезающие в пределе т2 —>т1.

Исследование связанных состояний системы двух частиц принадлежат к тем фундаментальным научным направлениям, которые сохраняют актуальность на протяжении всего развития квантовой теории.

Несмотря на всю фундаментальность, релятивистская проблема связанных состояний даже для системы из двух частиц полностью не решена и в классическом (неквантовом) пределе.

Лёгкие одноэлектронные атомы - это классический объект квантовой физики. Многие открытия и дальнейший прогресс квантовой механики тесно связаны с объяснением особенностей структуры уровней энергии таких атомов.

Работой «Связывание электронов положительным зарядом» Н. Бор положил начало взгляду на атом как на связанное состояние квантовой системы, характеризующееся дискретными значениями энергии и спектром излучения, обусловленным структурой его энергетических уровней. Далее, в нерелятивистской квантовой механике Гейзенберга и Шредингера была заготовлена последовательная схема для описания связанных состояний. В теории Дирака было введено понятие спина для объяснения экспериментальной особенности в спектре водорода.

Открытие лэмбовского сдвига, тонкие противоречия между предсказаниями теории Дирака и экспериментальными данными привели к созданию квантовой электродинамики.

В нерелятивистской квантовой механике задача двух тел сводится к двум более простым: о равномерном движении центра масс и движении частицы с приведённой массой в потенциальном поле. В релятивистском случае явное отделение движения центра масс и введение потенциала невозможно. Поэтому задачи о связанных состояниях двух тел и о связанных состояниях частицы во внешнем поле оказываются различными, не сводимыми друг к другу.

В квантовой электродинамике при описании распространения частицы во внешнем поле необходимо учитывать так называемые радиационные эффекты, связанные с взаимодействием заряженной частицы с собственным полем.

Для полной одночастичной функции Грина [1] имеет место следующее уравнение

G(z, y) = Sc(z-y)-eYkjdxUk (x)Sc(z - x)G(x, у) + jdxdx' Sc(z - x)M'(x,x')G(x, у), (1) где Uk представляет собой потенциал внешнего поля Aext, сложенный с эффективным средним потенциалом поля, «индуцированного» в вакууме ик (х) = АГ (х) - ie2\Sp[Sc (у - T)YmSc (т - у)упШУ " Wydz,

Sc - функция Грина свободного электрона

О | ТС¥а (х)% (*'))| 0) = -iScaP (.х - х'), Ы' - массовый оператор

М\х,х) = -ie2ymJdx'dt,G(x,х")Гп(*",x \£)Dmn({,*), (2)

D ~ фотонная функция Грина

A™ (z,y) = g mnDl (z-y)-l dxd&l {z - x)P* (x, £ )D*„ (£, у), (3)

Dq - функция Грина свободного фотона

0|Г(4„ {х)\ (*'))| 0) = igmnDl {X - х), Р - оператор поляризации

Р*(х£) = ie2$v{Ym\dx'dx"G{x, х')Гк (*', I ()G(A *)}, (4)

Г - вершинный оператор

Tk{x',x"\!;) = -5°~X{x'>f\ (5)

1 SeUk(£)

G~l - обратная функция Грина фермиона.

Уравнениям (2), (4) могут быть сопоставлены графические схемы, изображённые на рисунке 1. слл^^лл^ =

Рисунок 1

В низшем приближении

Г*(/,У|{) = 5(*/-{)уМ(х"-5). (6)

Это позволяет записать массовый оператор М' и фотонную функцию Грина D в виде

М\х, х') = -ie2ym G(x, x'^l (х - х')уп, (7)

Dmn{z, у) = g^Dliz -y)~ ie^dxdx'DKz - x)ymS\x-x,)ykS\x'-x)Dkn{x\ y) Эти выражения можно представить с помощью диаграмм, изображённых на рисунке 2.

-/ГУ- - С^/Туэ ^a/^^^^-WOv,, х V—/ л; ч^/ х' z у z у z х х/ у а Ъ

Рисунок 2

В низшем приближении диаграмма а соответствует собственноэнергетиче-ской части электрона второго порядка, а с учётом поправок получаем

G(z,y) = Sc(z-y)-eYk\dxUk(x)Sc(z-x)Sc(x- у)

- ie2\dxdxSc{z - х)ymG{x,x)Dcmn(x - x)ynSc(x - y). (8)

Итерируя равенство (8), находим

G(z, y) = Sc(z-y)-eyk\dxUk (x)Sc(z - x)Sc (x-y)

-ie2\dxdxSc{z-x)ymSc{x-x)Dcmn(x-x)ynSc(x- y) + + ieY Jdxdx'dtSc(z - x)ymSc(x - t)ykUk (t)Sc(t ~ x)Dcmn(x - x)y'nSc(x - y). (9)

Уравнению (9) сопоставляется графическая схема, изображённая на рисунке 3. g z У z У z > у Z х X у z х

Рисунок 3

Полная одночастичная функция Грина G, изображённая на рисунке 3, позволяет описывать изолированную связанную систему двух частиц в приближении внешнего поля.

Вершинный оператор Г [2] графически изображён на рисунке 4 (жирная точка символизирует вершинный оператор). sCb. =

Рисунок 4

2т jf. = yY-yV 2

2\ „ где функции f(k)ng(k)- дираковский и паулиевский формфакторы электрона соответственно.

Точно также как вершинный оператор Г^ является обобщением обычной дираковской вершины ум, уравнения (1) и (3) показывают, что полная функция

Грина электрона является обобщением пропагатора свободного электрона S°, а полная фотонная функция Грина - обобщением функции распространения свободного фотона Dc.

Поэтому обобщение графа, характеризующего простейшее взаимодействие с внешним полем, можно изобразить следующим образом.

В результате разложения функций, изображённых на рисунке 5, с точностью до второго порядка по заряду имеем следующую картину

Из приведённых схем видно, что операторы М' и Р включают все радиационные поправки к движению фермиона и фотона, а оператор Г соответствует вершинной части диаграмм, чем и оправдывается его название.

Для описания движения частицы во внешнем электромагнитном поле используется уравнение Дирака. Однако это уравнение не учитывает такие эффекты, как поляризация вакуума, рождение виртуальных пар и т.п., ввиду чего в квантовой теории поля оно должно быть обобщено.

Рисунок 5

Рисунок 6

Уравнение Дирака с радиационными поправками [1] строится на основе полной одночастичной функции Грина (9). i J- + eAext (х) ~ т\>(х)

Iдх Г

- ie2yk(p(x)jdydtDlix - y)Sp[Sc(y ~ r)YmSc(r - у)ГпМГ(т) + ie2 jdyYkS4x, у | AexVA* (У ~ хЩу) = 0. (10)

Здесь Sc(x,y | Aext) - функция Грина классического электрона, движущегося в заданном внешнем поле Aext. Она представляется суммой диаграмм с двумя внешними электронными линиями и любым числом внешних фотонных линий, соответствующих заданному полю Aext (рис. 7).

Рисунок 7

Уравнение (10) позволяет вычислить радиационные поправки к энергетическим уровням связанных состояний. При этом радиационные поправки любой степени сложности отражают взаимодействие частицы с собственным электромагнитным полем и не могут зависеть от параметра Р = щ/т2(щ, т2 - массы лёгкой и тяжёлой частиц соответственно).

В частности, уравнение (10) применяется в [1] для вычисления лэмбовского сдвига.

Видно, однако, что графы рисунка 3 не могут содержать действия одной частицы на другую.

При решении задачи на связанные состояния двух частиц необходимо введение двухчастичной функции Грина.

Полная двухчастичная функция Грина в представлении взаимодействия [3] имеет вид

ГГг г , х 1 ("I^KfaKfeF.feFtfa^jo) где полевые операторы составляющих частиц.

Разложение выражения (11) в ряд показывает, что G(x|, х2 \ Х-^, х4)= S (х2 д^з (д^ X4 ) S (ATj )S (х> ) + ie21dx'dx"Sc(xx -х')у^5с(х ~x3)D*(x -x")Sc(x2-x')y^Sc(x'-xA) + (Обменный член с xl <-> x2) -. (12)

Уравнение для функции Грина двух фермионов может быть записано в форме Бете-Солпитера

G{X\ > х2 j , х^ ) = GQ (jcj , х2 i , х^ )+ + Gq (jfj, х2; JCj, х2 )KBS (JCj ,х2\х^, х^ )G(X3,^4*, Х^ ), (13)

Gq (xj , х2; х3, х4 ) = iGa , х3 )Gb (х2, лг4 ), где Ga b - функция Грина свободных фермионов;

KBS - ядро уравнения Бете-Солпитера, представляющее собой сумму двухчастично-неприводимых фейнмановских диаграмм, изображённых на рисунке 8; по повторяющимся переменным подразумевается интегрирование.

- /7*1

Рисунок 8

Диаграмма называется приводимой, если её можно разделить на две несвязанные части линией, которая не пересекает бозонных линий, а каждую из фер-мионных пересекает лишь один раз. В противном случае диаграмма называется неприводимой.

Если сравнить диаграммы, изображённые на рисунках 6 и 8, то легко убедиться, что для анализа вкладов отдачи в тонкий сдвиг уровней энергии приближения внешнего поля недостаточно. Уже в простейшем случае однофотон-ного обмена (без учёта радиационных вставок) диаграммы рисунка 9 несут разную информацию о поправках отдачи.

При двухчастичном подходе рассматривается взаимодействие токов тяжёлой и лёгкой частиц, и это обстоятельство, как будет показано в диссертации, даже в случае однофотонного обмена может привести к логарифмическим по параметру (3 вкладам в лэмбовский сдвиг.

Построенное на основе формализма полной одночастичной функции Грина уравнение Дирака с радиационными поправками даёт простейший подход к задаче о вычислении радиационного смещения уровней энергии электрона в во-дородоподобном атоме. При этом, как показывает сравнение рисунков 6 и 8, полная одночастичная функция Грина, изображённая на рисунке 6, позволяет описывать изолированную связанную систему двух частиц в приближении внешнего поля.

В самых ранних теоретических работах [4,5] были вычислены поправки на отдачу (Zorfrrf /щ в рамках теории Бете-Солпитера.

Уравнение Бете-Солпитера, ставшее основой спектроскопии водородоподобных атомов, было предложено для решения релятивистской задачи на связанные состояния квантовой системы двух тел.

В этом методе состояние двухчастичной системы определяет двухвремен

Рисунок 9 ная волновая функция ЧК, являющаяся решением соответствующего формуле (13) однородного уравнения:

14) fo ,х2)= (0 \т{Ча fo К (х2 )}Р,у). (15)

Вектор \Р,у) характеризует как целое связанную систему с четырёхимпульсом Р и набором дополнительных квантовых чисел v.

Выбирая систему центра масс Р^ = (Е, 0), можно получить волновую функцию, отвечающую состоянию с определённым значением энергии Е:

Ч>Р(Х1,х2)=еЧЕХ<>ФЕ(х), (16) где Х0 - временная координата центра масс; х - относительная координата.

Задача на связанные состояния в релятивистской квантовой теории может быть решена только приближенно - методами теории возмущений. За основное приближение принимается обычно то, которое соответствует мгновенному (ку-лоновскому) взаимодействию. Спектр энергии представляет собой кулоновские уровни, определенные на основе волновых уравнений, а поправки к ним получаются из высших порядков теории возмущений [6]:

М = ЧФКс (xiK + KGCK + „Хс (Д (17) где К = К-Кс,

Кс - кулоновская часть ядра уравнения Бете-Солпитера; Gc - решение уравнения (13) с ядром Кс; ФКс (х) - решение уравнения (14) с ядром Кс.

Однако состояние ФА-с(д;) не является стационарным, связь функции Ф^ и решения уравнения Шредингера (или Дирака) с кулоновским потенциалом является достаточно сложной. Трудности вызывает также нормировка и формулировка граничных условий для волновой функции, зависящей от относительного времени. Всё это сказывается, в конечном счёте, на точности вычислений. Важное значение имело создание метода квазипотенциала [7,8] и подхода эффективного уравнения Дирака (ЭУД) [9-11].

Квазипотенциальный метод весьма эффективен для определения релятивистских и радиационных поправок к спектру водородоподобных атомов. Часто бывает удобным ввести вместо функции Грина (11) двухчастичную амплитуду рассеяния вне массовой поверхности

G = G0+G0TGq, (18) которая связана с ядром Бете-Солпитера соотношениями

T = KBS+KBSG0T (19) или - ^BS + ^BS^BS •

20)

На массовой поверхности, где

Jp2 + + Vp2 + ж2 =^q2 +Щ + V^2 + w2 Po =Яо =0' амплитуда Г совпадает с физической амплитудой рассеяния. Физический смысл величин р0, q0, р, q становится ясным из рисунка 10, на котором показана параметризация двухчастичной амплитуды рассеяния Т вне массовой поверхности в системе центра масс. а а щЕ + р0,р " ---"r)xE + q0,q

ЩЕ-Ро-Р

T]2E-qQ-q

Рисунок 10

Здесь л ~Е + "t л =Е

ЗДвСЬ T]l- а , Т]2

Квазипотенциал строится через амплитуду рассеяния вне массовой поверхности и в рамках теории возмущений может быть изображён с помощью фейн-мановских диаграмм.

14

Рисунок 11

Наиболее простой метод перехода от двухчастичного описания связанных состояний к описанию связанных состояний в приближении внешнего поля дает метод эффективного уравнения Дирака [9-11].

В рамках данного метода была проведена классификация поправок к уровням энергии связанных состояний. Наиболее полно эти поправки рассмотрены в обзоре [12].

Все электродинамические поправки могут быть подразделены на несколько классов, включающих в себя три малых параметра a, Za, тщ/щ. Опишем только некоторые из них.

Поправки, которые зависят только от параметра Za, называются релятивистскими поправками. Более высокие по Za вклады возникают из-за отклонения теории от нерелятивистского предела.

Поправки к энергии, которые зависят только от малых параметров а и Za, называются радиационными поправками. Вклады по а возникают только при рассмотрении квантово-электродинамических петель, и все относящиеся к ним поправки следуют из квантовой теории поля. Радиационные поправки не зависят от коэффициента отдачи т^/п^, и ряд из них был вычислен в приближении внешнего поля [13]. Необходимость использования двухчастичной теории связанных состояний возникает лишь при рассмотрении радиационных поправок отдачи.

Поправки к уровням энергии, зависящие от пц/гщ и Za, называются поправками отдачи. Они описывают поправки к уровням энергии, которые не могут быть объяснены без использования приведённой массы и эффектов движения обеих частиц. Вычисление поправок отдачи упрощается из-за отсутствия ультрафиолетовой расходимости, связанной исключительно с радиационными петлями.

Характерной чертой данного метода является непосредственный переход к уравнению Дирака и к поправкам, связанным с приближением внешнего поля.

Несмотря на свои достоинства, метод эффективного уравнения Дирака имеет и ряд недостатков. В работе Гротча и Иенни [9] вычисление поправок к тонкой структуре атома водорода существенно усложняется из-за наличия инфракрасных расходимостей. В упомянутой работе устранение инфракрасных особенностей произведено в рамках нековариантного трёхмерного формализма старой теории поля, в то время как для вычисления других частей потенциала привлечён обычный четырёхмерный формализм диаграмм Фейнмана.

К недостаткам можно отнести также и тот факт, что в обзоре [12] вообще не рассмотрен позитроний, что свидетельствует о трудностях, связанных с рассмотрением систем с равными массами.

У квазипотенциального метода имеется ряд преимуществ по сравнению с этим подходом. Квазипотенциальный метод позволяет совмещать простоту и наглядность трёхмерного описания нерелятивистской квантовой механики (уравнения Шредингера) с ковариантным аппаратом квантовой теории поля (электродинамики).

Он универсален и симметричен в описании обеих частиц. Благодаря этому он применим для рассмотрения любой системы частиц с произвольными (в том числе и равными) массами.

Это обстоятельство играет важную роль в определении величины тонкого сдвига iS-уровней энергии водородоподобного атома. Данная задача анализировалась уже на раннем этапе исследований проблемы связанных состояний двух частиц (численно в работе Солпитера [14], а в аналитическом виде для произвольных масс частиц в работе Фултона и Мартина [5]). Найденное теоретическое значение величины сдвига, воспроизведённое впоследствии другими методами [9,15], можно записать в виде:

1 (Za)V 1 f 2

ЛE =

71 ЩЩ 2

-т||5/о1n(Za)4 -^ln[fc0(w)] --+ n [3 3 9 3

2 2 '0 /«2 -Щ

2л 1Щ 2i Щ щ In—- -m^ In—L a n где a„ = -2 ln- + n 1

1 + - + . + -2 n i~L

2 n

5/o +

1-5 о

1)(27 + 1)

Z - заряд ядра, n - главное квантовое число, / - орбитальное квантовое число, 1п[*0(/|)] - логарифм Бете, щпц л = ——--приведенная масса, гщ + т2 а - постоянная тонкой структуры. Отметим наличие в выражении (21) весьма высокого по порядку логарифмического по отношению масс частиц вклада 7р 1 (ZoQV 1 2 / тг т1т2 пъ m? In—- m^ In— 2 (Za)V 1 1 я n 1-/3" jS2ln

1 + jg /3 ln(l + j3) 2(Za)Vl^2ln)3-1 (22) у

Я Wj/^ Я

Задача исследования других поправок, содержащих Хпщ/щ, была поставлена в работе [16].

Целью настоящей диссертации является анализ предыдущих результатов и расчёт новых вкладов в сдвиг 1S-2S уровней энергии ВП атомов, пропорциональных In щ/гщ.

Об актуальности данной работы свидетельствуют интенсивные экспериментальные и теоретические исследования уровней энергии водородоподобных атомов.

В последние годы стало ясно, что повышение точности измерений величин сдвигов уровней энергии водородоподобных атомов с помощью радиочастотных методов наталкивается на серьезные препятствия.

Новые перспективы уменьшения экспериментальных ошибок открывают методы бездоплеровской двухфотонной лазерной спектроскопии. Эти эксперименты позволяют с рекордной точностью определить значение такой фундаментальной величины как постоянная Ридберга.

Интервал 2Sy2-lSy2 измерен в настоящее время [17,18] в атоме водорода с точностью до десятка кГц: vL =2 466 061 413 187. 34 (84) кГц (1997 г.), (23)

IS-2S

VjLs2s = 2 466 061 413 187 103 (46) Гц (2000 г.). (24)

Прогресс, достигнутый в последних экспериментальных работах, стимулирует развитие теоретических методов по прецизионному определению поправок к известным значениям величины сдвигов уровней энергии.

Об актуальности работы, заявленной в цели диссертации, свидетельствует ещё тот факт, что поправки к Р-уровням, известны сейчас с большей точностью, чем поправки к 5-уровням [12].

Новизна выполненных в настоящей диссертации исследований подчеркивается следующим обстоятельством. В таблице VIII обзора [12] перечислены поправки отдачи, рассчитанные к 2000 году. Среди них фигурирует лишь один единственный логарифмический по параметру /3 вклад, полученный еще в цитируемой работе Фултона, Мартина [5] 1954 года.

Вопрос о других подобных вкладах был впервые поставлен и частично решен почти пятьдесят лет спустя в работе [16].

Необходимо отметить, что полученные в этой работе данные используются при определении рекомендуемого значения постоянной Ридберга [19]. Дальнейшее исследование диаграмм, связанных с эффектами отдачи, продолжено в работах [20-25]. Принцип разложения по степеням щ/щ при исследовании поправок, содержащих Хпщ/щ, изложенный в этих работах, развивается в статьях [26,27] и в настоящей диссертации.

Сравнение теоретических и экспериментальных значений позволяет проверить теоретические предсказания квантовой электродинамики (КЭД) с высокой степенью точности.

В связи с этим КЭД даёт импульс к изучению применимости основных принципов при описании более широкого круга явлений, изучаемых в релятивистской квантовой теории. Другим важнейшим следствием сравнения данных теории и эксперимента является возможность установить единые стандарты значений фундаментальных физических постоянных, от которых зависят все наиболее значимые научные результаты.

Теоретические и экспериментальные значения классического лэмбовского сдвига для некоторых водородоподобных атомов, полученные в 60-х годах, указаны в таблице 1 в МГц [28].

Таблица 1

Н D Не

Теоретическое значение Экспериментальное значение 1057.70±0.15 1057.77±0.10 1058.96±0.16 1059.00±0.10 14046.3 ±3.0 14040.2 ±4.5

В работе [29] сравнение данных по лэмбовскому сдвигу 251/2 - 2Ру2 выглядело следующим образом:

АЕ* = 1 057 838 (6) кГц, AElxv = 1 057 845 (9) кГц (1981 г.),

А= 1 057 851 (2) кГц (1994 г.),

ДЕГР = 1 057 839 (12) кГц (1994 г.).

Эти результаты показывают относительное согласие теоретических и экспериментальных данных.

В обзоре [12] приводятся новые значения по классическому лэмбовскому сдвигу 2Sy2-2Pl/2:

АЕ* = 1 057 833 (4) кГц, (25)

ДЕ°хр = 1 057 845 (3) кГц (1999 г.). (26)

Из этих данных видно, что расхождение теоретического и экспериментального значения величины лэмбовского сдвига в атоме водорода составляет не менее 5 кГц.

Для атома мюония теоретическое [12] и последнее прецизионное экспериментальное [30] значения тонкого сдвига 15-25 сдвига уровней энергии даны ниже:

Svis2sefi (theory) = 2 455 528 934.9(0.3) МГц, (27)

4s-iseil (ехр) = 2 455 528 941.0(9.8) МГц. (28)

Для позитрония величина сдвига теоретически рассчитана на основе простого потенциального метода [31], а экспериментальные данные измерений взяты из работы [32]: fys-is"(theory) = 1 233607 221.69МГц,

1233 607 218.9(10.7) МГц 15 2S Г/ | J 233 607 216.4(3.2) МГц

Систематическое обновление данных теории и эксперимента по спектрам водородоподобных атомов еще одно убедительное свидетельство об актуальности получения результатов, заявленных в цели настоящей диссертации.

Остается рассмотреть содержание работы с перечнем решаемых в ней задач.

Во введении сформулирована цель диссертации, описан и выбран как наиболее эффективный для прецизионных расчётов уровней энергии водородоподобных атомов квазипотенциальный подход. Отмечено, что отправным моментом исследований является анализ условий, при которых получена новая логарифмическая по Шу/щ поправка к 5-уровням энергии водородоподобного атома.

Обнаруживается, что различие в способах расчета логарифмических по гщ/гг^ вкладов в работах [5,16] связана с пределом применимости д-приближения для волновых функций уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом.

В первой главе и первом параграфе второй главы выясняются пределы применимости этого приближения в задачах о сверхтонком и тонком сдвигах. Показано, что сверхтонкое расщепление уровней энергии с помощью 8-приближения кулоновских волновых функций можно рассчитывать вплоть до пятого порядка по константе тонкой структуры. В тоже время, рассматриваемое приближение нельзя применять уже в задаче о тонкой структуре уровней энергии. Зато при вычислении тонкого сдвига с точностью до а5 в высокочастотной области виртуального импульса <5-приближение применяется, и именно таким образом получен логарифмический вклад по щ/щ в работе [5].

Все случаи вычисления других поправок, содержащих 1пт1/т2, связаны с использованием точных кулоновских волновых функций.

Первым шагом в этом направлении в настоящей работе стало прецизионное решение задачи о вкладе в тонкий сдвиг 5-уровня энергии водородоподобного атома от обмена одним кулоновским фотоном, описанном во втором параграфе второй главы.

В третьей главе анализируются поправки от обмена одним поперечным фотоном.

В первом параграфе этой главы выясняется влияние на структуру уровней энергии эффекта запаздывания. Указывается на дополнительный логарифмический по гщ/щ вклад, который вносит учёт этого эффекта. Рассчитывается суммарный логарифмический по щ/щ вклад в пятом порядке по константе тонкой структуры.

Во втором параграфе третьей главы вычисляется новый логарифмический ос6 и? по rrulrru вклад, пропорциональный —— /3ln/J1.

ЩЩ

В четвёртой главе обсуждаются логарифмические по щ/щ поправки к уровням энергии водородоподобных атомов, возникающие за счёт движения тяжёлой частицы.

Результаты, полученные в диссертации, были опубликованы в [21-25,33- •

Основные результаты и положения диссертации, выносимые на защиту

1. Существование логарифмических по параметру отношения масс частиц вкладов в тонкий сдвиг ^-уровней энергии от простейшего взаимодействия частиц путём обмена кулоновским фотоном.

2. Новые логарифмические по параметру отношения масс частиц вклады порядка а5. а5иъ

3. Компенсация вкладов порядка —— /Jin/3 1 при однофотонном обмене. щт 2

4. Возникновение логарифмических по параметру /3 вкладов в случае использования при вычислениях 5 -приближения кулоновских волновых функций.

5. Численные оценки обнаруженных логарифмических вкладов и сравнение полученных величин сдвигов с последними данными теории и эксперимента.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

1. В рамках метода квазипотенциала в диссертации разработана и применена техника расчетов логарифмических по щ/щ вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов.

2. Выяснен предел применимости ^-приближения для волновых функций уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом при вычислении вкладов пропорциональных Ыщ/щ. Все новые поправки такого рода получаются при использовании точных значений волновых функций S-состояний.

3. Вычисление вкладов от однофотонных обменов даже в низших порядках по а невозможно без использования точных значений функций ТСл(р).

При прецизионном исследовании обмена одним кулоновским фотоном между частицами установлено новое значение величины вклада порядка

4. Исследование обмена поперечным фотоном показало взаимное уничтожество с учетом вклада от обмена одним кулоновским фотоном приводит к достоверности вывода о существовании новых вкладов Ыщ/гщ в пятом порядке по константе тонкой структуры.

5. Проанализировано влияние эффекта запаздывания на величину вклада. Установлено, что для пятого порядка по константе тонкой структуры величина вклада уменьшается в однофотонной диаграмме в два раза, в па

ЩЩ

Т, о-1 а И о л о-1 ние поправок —— In р , —— р In р т1т2 тлт2

-1 «V о2 p2\nf} 1. Это обстоятель

X6iU3 раллельной двухфотонной - в 3/4 раза. Результат ——/31п2 /З-1 в одно

Щ1П2

СС LI фотонной диаграмме остается без изменений, а поправка ——/31п/3-1 тхт2

41п2 уменьшается на величину , , . ttV

6. При анализе логарифмических по щ/щ поправок в шестом порядке по а сГ/г ал получены новые вклады порядка —— pinр . щщ

7. Сравнение результатов, полученных в диссертации, с аналогичными данными других авторов показано в таблицах 3 и 4.

Заключение

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантовых полей. М.: Наука, 1973.-416 с.

2. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. М.: Физматлит, 2002. - 720 с.

3. Двоеглазов В.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Уровни энергии водородоподобных атомов и фундаментальные константы // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1994. Т. 25. - С. 144-228.

4. Be the Н.А., Salpeter Е.Е. A Relativistic Equation for Bound-State Problems // Physical Review. 1951. Vol. 84. - P. 1232-1242.

5. Fulton Т., Martin P.C. Two-Body System in Quantum Electrodynamics. Energy Levels of Positronium// Physical Review. 1954. Vol. 95. - P. 811-822.

6. Fulton Т., Owen D.A., Repko W.W. Hyperfine Structure of Positronium I I Physical Review. 1971. Vol. A4. - P. 1802-1811.

7. Logunov A.A., Tavkhelidse A.N. Quasi-Optical Approach in Quantum Field Theory // Nuovo Cimento. 1963. Vol. 29. - P. 380-399.

8. Kadyshevsky V.G. Quasipotential Type Equation for the Relativistic Scattering Amplitude // Nuclear Physics. 1968. Vol. B6. - P. 125-148.

9. Grotch H., Yennie D.R. Effective Potential Model for Calculating Nuclear Corrections to the Energy Levels of Hydrogen // Reviews of Modern Physics. 1969. Vol. 41.-P. 350-374.

10. Gross F. Three-Dimensional Covariant Integral Equations for Low-Energy Systems // Physical Review. 1969. Vol. 186. - P. 1448-1462.

11. И.Дульян Л.С., Фаустов Р.Н. Модифицированное уравнение Дирака в квантовой теории поля // Теоретическая и математическая физика. 1975. № 3. -С. 314-322.

12. Salpeter E.E. Mass Corrections to the Fine Structure of Hydrogen-Like Atoms // Physical Review. 1952. Vol. 87. - P. 328-343.

13. Нюнъко H.E., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Влияние движения ядра на тонкую структуру водорода: Сообщение Р2-7493. ОИЯИ, 1973. - 16 с.

14. Бойкова Н.А., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. О вкладах порядка с£\п(т\1т2) в тонкий сдвиг 5-уровней энергии мюония // Ядерная физика. 1998. № 5. -С. 866-870.

15. Mohr P.J., Taylor B.N. CODATE recommended Values of the fundamental physical Constants: 1998 // Reviews of Modern Physics. 2000. Vol. 72. - P. 351-495.

16. Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Логарифмические по miJm2 поправки к величине тонкого сдвига 5-уровней энергии в атоме мюония // Ядерная физика. 2001. № 8. - С. 1437-1441.

17. Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Исследование логарифмических по отношению масс электрона и мюона вкладов в сдвиг 5уровней энергии мюония // Ядерная физика. 2003. №5. - С. 925-933.

18. Бойкова Н.А., Нюнъко Н.Е., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Трехмерный релятивистский подход к описанию эффектов отдачи в водородоподобных системах частиц с разными массами // Теоретическая и математическая физика.- 2002. № 3. С. 339-348.

19. Layser A.J. New theoretical Value for the Lamb Shift // Physical Review Letters.- 1960. Vol. 4. P. 580-582.

20. Pachucki K., Grotch H. Pure Recoil Corrections to Hydrogen Energy Levels // Physical Review. 1995. Vol. A51. - P. 1854-1862.

21. Danzmann K., Fee M.S., Chu S. Doppler-Free Laser Spectroscopy of Positronium and Muonium: Reanalysis of the 15-25 Measurements // Physical Review. -1989. Vol. A39. P. 6072-6073.

22. Бойкова H.A., Клещевская C.B., Тюхтяев Ю.Н. О влиянии эффектов отдачи на тонкую структуру уровней энергии мюония // Проблемы современной физики. Дубна. - 1999. - С. 96-104.

23. Boikova N.A, Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Yu.N. Precision calculations to thefine shift of ^-levels in the muonium atom // The Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE). 2002. Vol. 4706. - P. 150-154.

24. Фаустов Р.Н. Квазипотенциальный метод в задаче об уровнях энергии позитрония: Сообщение Р-1572. ОИЯИ, 1964. - 24 с.

25. Karplus R., Klein A. Electrodynamic Displacement of Atomic Energy Levels. III. The Hyperfine Structure of Positronium // Physical Review. 1952. Vol. 87. - P. 848-858.

26. Фаустов P.H. Квазипотенциальный метод в задаче о связанном состоянии двух частиц: Сообщение Р2-1911. ОИЯИ, 1964. - 11 с.

27. Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Инфракрасные особенности и сверхтонкое расщепление в позитронии: Сообщение Р2-6996. ОИЯИ, 1973. - 13 с.

28. Л0. Бете ГЛ., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Физмагтиз, 1960. - 562 с.

29. Фаустов Р.Н. Уровни энергии и электромагнитные свойства водородоподобных атомов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1972. -Вып. 1.-С. 238-268.

30. Бойкова Н.А., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Поправки к сверхтонкому расщеплению основного уровня мюония относительного порядка (mjm^a2 lna // Проблемы физики высоких энергий и квантовой теории поля. Протвино. - 1983.Т. 1.-С. 116-127.

31. Тюхтяев Ю.Н. Новый метод учёта кулоновского взаимодействия в квазипотенциальном подходе Логунова-Тавхелидзе // Теоретическая и математическая физика. 1982. № 3. - С. 419^28.

32. Тюхтяев Ю.Н, Фаустов Р.Н. Поправки к фермиевскому расщеплению основного уровня энергии водородоподобного атома порядка a2 In а: Сообщение Р2-86-281. ОИЯИ, 1986. - 8 с.

33. Fell R.N. Single Transverse Photon Contribution to the 2S Energy Level of Positronium: Preprint BUW 01742. Massachusetts, 1992. - 40 p.

34. Bodwin G.T., Yenie D.R. Hyperfine Splitting in Positronium and Muonium // Physics Reports (Section С of Physics Letters). 1978. Vol. 43. - P. 267-303.

35. Прудников A.A., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.-800 с.

36. Barker W.A., Glover F.N. Reduction of Relativistic Two-Particle Wave Equations to Approximate Forms.III // Physical Review. 1955. Vol. 99. - P. 317-324.

37. Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. Corrections of 0(a6logCf) in the Two-Body QED Problem// Physical Letters. 1992. Vol. B282. P. 237-242.