Исследование модулей семейств кривых в пространстве и на римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. Модули семейств кривых на римановых многообразиях

§ I.I. Постановка задачи

§ 1.2. Модули семейств нестягиваемых петель в некоторых неориентируемых многообразиях

§ 1.3. Модули семейств нестягиваемых петель в проективном пространстве и на листе Мёбиуса

§ 1.4. Модули семейств нестягиваемых петель в ориентируемом "скрученном" щ>уговом полнотории

§ 1.5. О модулях семейств нестягиваемых петель в некоторых других ориентируемых "скрученных" полно-ториях

ГЛАВА П. Модули пространственных семейств кривых и поверхностей

§ 2.1. Модули и конформная емкость

§ 2.2. Непрерывность конформной емкости конденсатора

§ 2.3. Модули семейств кривых и поверхностей в некоторых областях специального вида

Во многих вопросах геометрической теории функций важную роль играет метод модулей - метод экстремальной метрики. Модули семейств кривых или поверхностей широко используются в теории однолистных и многолистных функций, в теории римановых поверхностей, в теории конформных и квазиконформных отображений.

В частности, ввиду бедности класса конформных отображений в пространстве, метод модулей является одним из основных при изучении пространственных квазиконформных отображений.

Отметим также, что в последние годы важное применение нашла связь между различными емкостями и модулями семейств кривых (см., напр., [9, 24, 26, 47 , 48 , 22 , 39 ] ). Модульная техника применяется и в недавно созданной теории конформно-инвариантных бикомпактных расширений области I 20 ] .

Понятия экстремальной длины и модуля семейства кривых введены Л.Альфорсом и А.Берлингом. Первые работы по развитию метода модулей в нашей стране выполнены Б.В.Шабатом и П.М.Тамразо-вым. Существенный вклад в теорию модулей внесли также В.А.Зо-рич, И.П.Митюк, В.М.Миклюков, Г.Д.Суворов, А.В.Сычев и др.

Из зарубежных математиков отметим Х.Грётша, Б.Фюгледе, Дж.Дженкинса, Ф.Геринга.

Нахождение экстремальных метрик и модулей семейств кривых даже на плоскости нередко связано с трудностями. Эти трудности особенно возрастают, когда кривые лежат в пространстве или на римановых многообразиях. Для отыскания экстремальной метрики не существует универсального метода. В общем случае вариационные уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к системам нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений. Поэтому до сих пор известно очень мало пространственных задач, для которых модули найдены.

Диссертация посвящена изучению модулей семейств кривых и поверхностей в пространстве и на римановых многообразиях. Она состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 52 наименований.

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям.-М.: Мир, 1969.- 133 с.

2. Альфоро Л., Берлинг А. ( dktfvtA JbeutButy Л) Confo'cntcLt itKratietttis (Lttd fun<dL 'tofta£ iAeczedtc -Aetb. JctdL Mailt., 1950, S3, p. 101- 1ZQ,

3. Асеев B.B. Об устранимых особенностях для отображений,ограниченно искажающих модули.- В кн.: Динамика жидкости сосвободными границами' (Динамика сплошной среды), вып. 60. Новосибирск: йн-т гидродинамики СО АН СССР, 1983, с.131-138.

4. Берже М. ( <Ж. ) Zkt c£te de cjiex, -JiUt. Set. Ъс. otfetnt. Sup., 4 set.T /072, l> p.

5. Берже M. (jbet<fe>t Ж,) Л £cj??#te de ofeeawet.drui. See. . Step., 4 set., J97Z, WZ,p. Z41-Z60.

6. Блаттер К. (ЗМаИеъ С.) Zuv ЯгетаптсАеек (yeomet'&ce. int (уосмеи, <uof dent Mofcud&and.,Сотри. Jlajtk., mi, 15, «У7, л. 86 -107.

7. Блаттер К. (ШаЛег С) ёжбъе/ггаМапрек СШ$- уебскИоШнеи, Ж&с/гш . Comment. Jlatk.1961, 35, з. т- №.

8. Бураго Д.М., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства.- Л.: Наука, 1980.- 288 с.9. Валлин Г.k, р) capacity and р - modi/fizt. - гМсб/и^ал . if.,971, 18, «ГЗ, p. 257-Z€3,

9. Вяйсяля Ю. (tfaL6ct£ci У,) rfeetuteb ft- -ALCttal pMtstcottf-O'M.ai mapping. &c£. afytes i*t19711 ZZ97 p. i-Ш.

10. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механики.-М.: Наука, 1966,- 300 с.

11. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление М.: Физматтаз, 1961.- 228 с.

12. Геринг Ф. !£) Jей- ike. /n.octu&: pf xutj6. ConLm-etvt, dlctt/t. , J961, 36,p. № 46.

13. Геринг Ф. (Gefabt^ ) ^tn^b ctnct умоммп -^otmai таррсп^б -in. Apace.- Ttcutb. jf/rret. Л/at/t. Sec.,9вг, m, p. 353-333.

14. Геринг Ф. ((xekttti^. F,) fettg-Mt- c£e-^inLttctbb fat eonfotmai ca/xecity. ef- ^W^A Л6p&te, McdU^ax, McdA. If. , J96Z, g, p. Ш - 450.

15. Геринг Ф. ( Geh'tLtty F,) V-nefyuait'lte$ fat. ccftdejiwcb, кур&сёсвсс cotpCLCt£y7 амсС Zenftk*, Mt&kipcut , J97/7 J8, p. i-ZO.

16. Грётш X. {Gt&t^ck Ж.) Шеъ е/ги^е goctre-рг&ЕръоввеМ c&c k&nfe'c/neft' . I,Jteipz. №8, 80, У°6, a. 367-376.

17. Дженинкс Дк. Однолистные функции и конформные отображения.- М.: Изд-во иностр. лит., 1962,- 268 с.

18. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия.- М.: Наука, 1979.- 760 с.

19. Иванов О.В., Суворов Г.Д. Полные решетки конформно-инвариантных компактификавдй области,- Киев: Наукова думка, 1982.- 200 с.

20. Кин Л. (Жееп, X.) Ли ея£ге/кбг£ etc а, tcrau У. dnafyte Matk., J967, £9, р.гОЗ-гС6.

21. Кузьмина Г.В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы.- Тр. Мат. ин-та АН СССР, 139, Л.: Наука, 1980.240 с.

22. Левнер Ч. (ddcec^M&c С.) On coKfezmet£ cctpOL-Cihy, ut прессе. f, MrfJt, Meok,7 J959, 8, p. 4//

23. Миклюков B.M. Емкостные методы в задачах нелинейного анализа. Автореф. дис. . доктора физ.-мат.наук.- Киев, 1980.30 с.

24. Митюк И.П. Приведений модуль у випадку простору.-Доп. АН УРСР, № 5, 1964, с. 563-566.

25. Митюк И.П. Оценки внутреннего радиуса (емкости) некоторой области (конденсатора). Известия СКНЦ Ш (Естеств. науки), 1983, Jfc 3, с. 36-38.

26. Навоян В.Х. О непрерывности конформной емкости пространственного конденсатора.- У|ф. мат.журн., 1981, 33, № 3,с. 421-426.

27. Навоян В.Х. О модулях некоторых семейств кривых, лежащих на неоринтируемых трехмерных многообразиях.- В кн.: Моногенные функции и отображения. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 86-90.

28. Навоян В.Х. Вычисление модуля одного семейства кривых в "скрученном" полнотории.- В кн.: Теория функций и топология, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 97-104.

29. Навоян В.Х., Тамразов П.М. Модули семейств нестягиваемых петель в "скрученном" полнотории.- В кн.: Контурно-телесные теоремы и модули семейств кривых. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с.15-22.

30. Пью П. (fat (Р. ) $omt ittetjsUaicket <h с&сЬхск, tumtrciettit-х&ве. mcuu.fo£ds, tPctctf. %, Ма^Ч 4951, Z, Si, p. Г/.

31. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды,- М.: Наука, 1981,- 800 с.

32. Ренгли Г. ( Яепррбс Ж. ) ^кеоге/яе en&ttioit ctPftfotm-e, С. t. J?ca>c£, Sec. Рагся,Q5Z, 235; f. 1533 №5,

33. Родин Б. ((RccUtt The wetk of Cozttetnaf fenptk, ЗЗгМ. Лме*. See., m*tf8C, УЧ p. 5&7 - €C€,

34. Сычев А.В. Пространственные квазиконформные отображения.- Новосибирск: Новосибирск, гос. ун-т, 1975.- 98 с.

35. Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения.- Новосибирск, Наука, 1983,- 152 с.

36. Сюита Н. <У, ) Oft а мп^сши-Ьу, Цештсс of &x&ce/nct£. £zti<f,tk- cutcC GLpftCt'cct -Uoyt & cottfti'emcci пгар/илр, Жос£а>с $e/x.Яер., mi, P. m nr.

37. Сюита H. ( Siu6ol Ж ) CW s&'6 ъеабапуЛе гкарр+п^л olk.CC tf ея£ие/?га£ JlddcU Mcdk. Se/x. fiep., J9C7, J9,p. №5- 438.

38. Тамразов П.М. Емкости конденсаторов. Метод перемешивавания зарядов. Матем. сб. , 1981, 115 (157), № 1(5), с. 40 - 73.

39. Тамразов П.М. Метод экстремальной метрики и конформное отображение. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.- Киев: 1963.- 23 с.

40. Тамразов П.М. Теорема про л1н1йн1 1нтеграли для екст-ремально1 довжини.- Доп. АН УРСР. Сер. А, 1966, & I, с.51-54.

41. Тамразов П.М. О непрерывности некоторых конформных инвариантов.- Укр. мат.журн., 1966, 18, Л 6, с. 78-84.

42. Фюгледе Б. (FufCecte £>.) <§xttemo£ £en$£tt> Ctn.cC j-uncttoftcct com-pie-tie-ft-, ЛСа&с.,1957, 98,

43. Херш Ж. ( 'ЖеысА ) ecclre/vct -Сед &Ь tke&uie с£еь Сс/пмемА. J/a/A.19557 Z9, -р. 30J-ЗСТ.

44. Хажалия Г.Я. 0 конформном отображении двусвязных областей на кольцо.- Тр. Тбил. мат. ин-та, 1937, № I, с. 89-107.46. Цимер В. W)a/ict ccttf0tmct£ сарассбу,- Яъа/гл, jf/v&t.ж?, ж, ус3, p. W-47*.

45. Цимер В. (Zee/vet W. ) gxbcemaB ёек^ёк, Wtct р сарос.ct-Ly, - Лкс/и^аи tMeitk. тз,J6, р. 43 -51.

46. Цимер В. (Ziewe^c W,) toc£tewa£1. ot eCLpctulff, ed&c/Upa/t cJSaJJi, - J&ftf,7, S'Z, p.J£T-128.

47. Цлаф Л.Я, Вариационное исчисление и интегральные уравнения.- М.: Наука, 1970.- 192 с.

48. Шабат Б.В. Метод модулей в пространстве.- Докл. АН СССР, I960, 130, № 6, с. I2I0-I2I3.

49. Волонтис В. (Wc&>/ctc6 fV. ) Ръереь&еь ef-CCufrtjnai -uzcto'cccLKstl . Ляг&с. tf. . ,1.5Z, T4,p. 58T-€0e.

50. Математическая энциклопедия. В 4-х томах. М.: Советская энциклопедия, 1977.