Исследование полугрупп операторов с ядрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

л П

Л . I

С.

На правах рукописи

УДК 517.9

ЛУДКО Лариса Ливерьевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ С

ЯДРАМИ

01.01.01 •- математический анализ

сШ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Г.А.Свиридюк, кандидат физико-математических наук, доцент Т.Г.Сукачева

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник С.Г.Пятков, кандидат физико-математических наук, профессор А.И.Поволоцкий.

Ведущая организация - Воронежский государственный университет.

Защита состоится " Ск.^)^^ 1995 р. в часов на заседании специализированного совета К 113.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена ( 191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп. 1, ауд. 209 ).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан "•■/V» 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета

И.Б.Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пусть U — банахово пространство, а операторы L : domL —» U и М : dornМ —> Ы линейны и замкнуты с областями определения domL с U и dornM с Ы . Снабдим линеал domL нормой графика || • = ||L • || 4- || • |[, где || ■ || — норма пространства U , и получившееся банахово пространство обозначим символом UL . Отметим, что пространство Ui непрерывно вложено в пространство U , а оператор L : Ui непрерывен.

Введем в рассмотрение L-резольвентное множество

р\М) = {/ie€: (¡j,L - M)~l е C{U\Uc) }

и L-спектр oL(M) — С\ pL(M) оператора М. Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств оператора М в случае его а-ограниченности, р-секториальности и L-радиальности относительно оператора L Некоторые теоретические результаты прилагаются к конкретным краевым задачам для уравнения

сu,L-M)v, = j,

где L и М — простейшие эллиптические операторы.

В случае, когда существует оператор L"1 е L(U\Ul) , информация о спектре и поведении резольвенты оператора L~lM помогает нам однозначно решить задачу Коши

и(0) = п0 (0.1)

для уравнения

Lu ~ Ми , (0.2)

Предположим, что в уравнении (0.2) оператор L не является непрерывно обратимым, в частности, будем считать, что его ядро ker L {0}. В этом случае уравнение (0.2) принято называть уравнением типа Соболева.

К задаче (0.1), (0/2) редуцируются некоторые начально-краевые задачи, для уравнений и систем уравнений в частных производных,

не разрешенные относительно производной по времени, возникающие при моделировании различных реальных процессов. Таковы, например система типа реакции-диффузии, моделирующая широкий класс экологических процессов, а также процессы реакций с диффузией; система уравнений Осколкова, моделирующая движение несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта. Необходимость исследования разрешимости таких прикладных задач обуславливает актуальность разработки соответствующей теории.

В настоящее время уравнение (0.2) как в абстрактной форме, так и в различных конкретных его интерпретациях представляет собой объект, вызывающий интерес многих исследователей. В истории изучения задач (0.1), (0.2) можно выделить два направления. К первому мы отнесем результаты, лежащие в области функционального анализа, приложения которых к начально-краевым задачам для уравнений в частных производных носят характер иллюстративных примеров. Ко второму направлению относятся результаты, лежащие целиком в области теории уравнений с частными производными. Поэтому в нашем кратком обзоре мы ограничимся рассмотрением только тех работ, в которых явным или неявным образом возникают относительно а-ограниченные либо относительно р-секториальные операторы.

Исторически первыми результатами по задачам (0.1), (0.2) следует считать результаты Ф.Р.Гантмахера, непосредственное распространение результатов которого на случай бесконечномерного банахова пространства было сделано учениками С.Г.Крейна С.П.Зубовой и К.И.Чернышевым. Они рассмотрели случай фред-гольмова оператора L (то есть indL = 0). Абстрактную спектральную задачу (0.2) исследовал В.В.Диткин в случае, когда оператор L Ui —> Ы компактен , а оператор М : Ui —> U непрерывен.

В рамках второго направления наиболее значительным вкладом в теорию спектральной задачи

Ми — ¡х Ьи (0.3)

являются работы P.A.Александряна, Т.И.Зеленяка и М.В.Фокина. Они дали анализ L-спектра а1{М) оператора М в зависимости от

области О,. В работах указанных авторов оператор М оказывается а -ограниченным относительно оператора Ь. Спектральная задача (0.3) рассматривалась С.Г.Пятковым в предположении, что оператор М ограничен снизу, а оператор Ь вообще говоря определенного знака не имеет.

В настоящее время теория относительно и-ограниченных (относительно р-секториальных) операторов и соответствующих им групп (полугрупп) операторов с ядрами интенсивно развивается Г.А.Свиридюком и его учениками Т.Г.Сукачевой, В.Е.Федоровым. Основной целью этой теории является поиск условий, при которых фазовое пространство уравнения (0.2) совпадает с образом группы (полугруппы) разрешающих операторов. В существующем ныне наиболее полном обзоре [ 1 ] 1 приведены основные известные к настоящему времени результаты теории относительно а-ограниченных и р-секториальных операторов и соответствующих им групп и полугрупп разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.2).

Цель работы. Как показано выше, относительно спектрально ограниченные операторы встречаются в работах многих исследователей. Однако проверить на практике факт (Ь, а)-ограниченности оператора оказалось достаточно сложно. Целью работы явилось нахождение таких достаточных условий (£, а) -оганиченности, которые формулировались бы в терминах операторов М и Ь и не требовали бы обращения к ¿-резольвентному множеству оператора М .

В связи с наличием большого чмсла ограничений в определении (Ь,р)-секториального оператора, предложенного Т.А.Вокаревой [2] 2 , возникла необходимость упростить это понятие, а в связи с этим и всю теорию операторов данного вида.

Обобщением (Ь,р)-секториальных операторов являются Ь-ради-альные операторы, мало исследованные ранее. В связи с этим потребовалось описать аналитические полугруппы операторов с ядрами в

2[1] Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов //Успехи матем. наук. 1994. Т.49. N 4. С.47 - 74

2[ 2 ] Вокарееа, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Лисс. ... канд. физ.-мат. наук Санкт-Петербург, 1993.- 107 с.

случае ¿-радиальности оператора М в русле общей теории пол; групп операторов, предложенной Г.А.Свиридюком и изложенной [!]■

Методы исследования. Для решения указанных выше задач и< пользуются методы функционального анализа и метод фазового пр( странства, основы которого заложены Г.А.Свиридюком.

Научная новизна. В работе получены следующие новые резул: таты:

- доказаны достаточные условия а)-ограниченности опер; тора М \

- доказан критерий (Ь, о)-ограниченности оператора М в сл; чае фредгольмовости оператора Ь ,

- доказана выводимость одного из трех условий определена (Ь,р) -секториального оператора; из двух других, то есть упрощеь определение этого понятия и других понятий, с ним связанных (н; пример, сильной (Ь,р)-секториальности). Это привело к упрощени теории операторов данного типа;

- установлена структура фазового пространства задачи (0.1 (0.2) в случае относительно радиального оператора М;

- найдены необходимые и достаточные условия ¿-радиальност оператора М;

Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Основная част результатов носит теоретический характер. Прежде всего к ним о: носятся обобщения результатов по аналитическим полугруппам оп< раторов с ядрами в случае Ь-радиальности оператора М. Получез ные результаты могут быть использованы для дальнейшего развита качественной теории исследуемых задач в случае, когда оо являете существенной особой точкой спектра аь{М).

Практическая ценность результатов диссертации в том, что он позволили исследовать разрешимость конкретных прикладных з; дач, сводящихся к абстрактной задаче (0.1), (0.2). Данные результ; ты могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории ура] нений типа С.Л.Соболева в университетах.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, дс

кладывались и обсуждались на научных конференциях преподавателей Новгородского педагогического института по итогам научно-исследовательской работы за 1990— 1992 гг., на семинаре профессора А.П.Солдатова в Новгородском государственномуниверситете в 1993— 1994 гг., семинаре профессора Ю.Г.Борисовича на Воронежской зимней математической школе в 1995 г., на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И.Герцена, в 1995 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 — 4]. Результаты, опубликованные в совместных работах с научными руководителями, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 88 страницы . Библиография содержит 78 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранного направления исследования, сформулированы цели исследования и основные результаты, дан краткий обзор основной литературы.

В первой главе исследуется уравнение (0.2) в случае, когда линейный замкнутый оператор М (Ь,а)-ограничен относительно оператора Ь. Эта глава содержит шесть параграфов.

П. ] .1 носит характер вводного. Здесь определяются такие понятия как: правая и левая ¿-резольвенты оператора М , доказывается их аналитичность.

Определение 1.1. Оператор М называется спектрально ограниченным относительно оператора. Ь (в дальнейшем — (Ь,о)-ограниченным), если

За £ УдеС ( > а ) е Р1(М) ). Рассмотрим интегралы типа Ф.Рисса

р = гЬ / * = /

г г

которые в случае (L,а)-ограниченности оператора М являют ся проекторами, расщепляющими пространства Ui и U следу ющим образом: UL = Щ © U = U° ® Ul , где

= kerP; = imP; Z/° = ker Q; U1 = imQ. При это^ действие операторов L и М расщепляется. Справедлива

Теорема 1.1. Пусть оператор М ( L, а )-ограничен. Tozdi (i )Lfc: Ul->U\ Mk: (domM" П U\ ) ¿Д fc = 0,l;

(ii) существует оператор M^1 £

(iii) существует оператор L^1 E L(Ul\U}) .

В п. 1.2 продолжается изучение пары инвариантных пространст1 (Ul,Uk)t fc = 0,1 операторов £ и М. В частности, доказано суще ствование оператора М] £ C{U\\Ul), а в силу этого и onepaTopoi R = Mo_1L0 £ £(£(ь) и 5 = Lf1^ £ . Эти операторы имеют еле

дующие спектры: а(Я) = {0} ,a o(S) — aL(M). В силу доказанногс справедливо разложение L-резольвенты оператора М в ряд Лоранг

со оо

(juL - М)-1 = - £ ^*Ä*M0-1(I - Q) + ^S^L^Q.

Jc=0 fc=l

в области {fi£C: > а} .

Определение 1.2. Точка со называется

(i) устранимой особой точкой, если R = О ,

(ii) полюсом порядка р , если RP ф О , а i?p+1 = О ,

(iii) существенно особой точкой, если R9 ф О при всех ? 6 ISf. Условимся в дальнейшем любой вектор £ ker Ь\{0} называть

собственным вектором оператора L . Упорядоченное множество {<£>1, <р2,---} С Ul назовем цепочкой М -присоединенныхвекторов собственного вектора ip0 , если

L<pq+1 = Mipq q = 0,1,...; (pq g keiL \ {0}, g = 1,2,...

Цепочка может быть бесконечной (в частности, она может быть заполнена нулями, если сро £ ker М ), однако она обязательно конечна, если существует такой М -присоединенный вектор (рр , что либо ipp ^ domM , либо Mipj, 0 imL . В частности, собственный вектор <ро не имеет Af-присоединенных векторов, если либо <ра domM ,

либо Mipо imZ . Мощность конечной цепочки называется ее длиной. Линейная оболочка всех собственных и М -присоединенных векторов оператора L называется М-корневым линеалом. Если М-корневой линеал замкнут, то он называется М -корневым пространством оператора L .

Теорема 1.2. Пусть оператор М (L,о) -ограничен, линеал dorn М плотен в Ы^, а точка со является

(г) существенно особой точкой L -резольвенты оператора М . Тогда М -■корневой линеал оператора L содержится в ;

(ii) полюсом порядка р £ IN L -резольвенты оператора М . Тогда М -корневое пространство оператора L совпадает с Ы\ , и длина любой цепочки. М -присоединенных векторов любого собственного вектора оператора L не превосходит числа р ;

(iii) устранимой особой точкой L -резольвенты оператора М . Тогда ker Ь = Щ , imL = U1 , и любой собственный вектор оператора L не имеет М -присоединенных векторов.

В п. 1.3 исследуются необходимые условия (L, с) -ограниченности оператора М в случае фредгольмовости оператора L , причем dim ker L — codimimi.

Теорема 1.3. Пусть оператор М Е C{Ui\U) о -ограничен относительно фредгольмова оператора L. Тогда точка оо является несущественной особой точкой L- резольвенты оператора М .

Следствие 1.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.3, и пусть р G {0} U N - порядок несущественной особой точки L-резольвенты оператора М в бесконечности. Тогда длины всех цепочек М-присоединенных векторов ограничены числом р.

В п. 1.4 сформулированы и доказаны достаточные условия (L, о) -ограниченности оператора М Здесь мы ограничимся случаем М б C{Ul,U) . Введем в рассмотрение условия:

(AI) .Длина любой цепочки М-присоединенных векторов любого собственного вектора оператора L ограничена числом pE{0}UlN.

(А2) М -корневое подпространство Ы\ оператора L — дополняемое подпространство пространства UL .

Обозначим через U\ = UlQU\ некоторое алгебраическое и топологическое дополнение к U\ . Положим M[U\]=UÜ, L [ U\ ] = Ы2 .

(АЗ) и=ий ей2.

Обозначим через Мц сужение оператора М на Ы\ ■

(А4) Существует оператор М0-1 £ С{Ый\и1) .

Теорема 1.4. Пусть выполнены все условия (А1) — (А4) Тогда оператор М (Ь, о )-ограничен, причем оо — несущественная особая точка Ь -резольвенты оператора М .

В п. 1.5 доказываются достаточные условия о-ограниченностг относительно фредгольмова оператора. Введем в рассмотрена условие:

где ip™m = ipJ1 , если вектор не имеет М-присоединенные

векторов, которое легко выводится из условия (А1). В свою очеред1 из условия (А) выводятся каждое из условий (А2) — (А4). Поэтом) справедлива

Теорема 1.5. Пусть операторы L,M £ £(Ul\U) , причел оператор L фредгольмов. Пусть выполнено условие (А1). Тогда one ротор М ( L, a J-ограничен, причем оо — несущественная особая точка L-резольвенты оператора М .

С учетом следствия 1.1 получим критерий ( ¿,<7)-ограниченност1' оператора М в случае, когда оператор М £ £{Ul\U) , a onepaToj L £ £(Ul\U) - фредгольмов.

Теорема 1.6. Пусть оператор L £ £{Ui\U) — фредгольмов, i оператор М £ £{Ui\U). Тогда следующие утверждения эквивалент ни.

(г) Оператор М ( L, сг)- ограничен.

(ii) Длины всех цепочек М-присоединенных векторов оператор'. L ограничены числом р .

В п. 1.6 исследуется ( L, о ^ограниченность операторов в уравнении Баренблатта-Желтова-Кочиной

если

т=1

(А - А ) ut = аАи + /, Лет., а £ IR. и уравнении Буссинеска-Лява

(А - Д ) vtt = а2Аи + /, А, а £ IR \ {0} .

Во второй главе изучается уравнение (0.2) в случае, когда линейный замкнутый оператор М р-секториален относительно оператора L. Глава состоит из шести пунктов.

В п. 2.1 дается новое, более простое чем в [2] определение (Ь,р)-секториальности оператора М.

Определение 2.1. Оператор М называется р-векториальным относительно оператора L (короче, (L,p)-

7Г

векториальным), если существуют константы в £ Е и 0 £ такие, что сектор

So,a(M) = {м € С : | arg(/i - а)| < Э , у. ф а } С pL{M) ,

причем

max{||^p)(M)|U(uU , || LLM(M) \\т } <

П - о|

,=о

при любых ßo,ßl, ■

Это связано с тем, что доказана

Теорема 2.1. Пусть оператор М (Ь,р )-секгпориален. Тогда

||М)-1\\с{иШ < const(l + Н)р

при всех ¡х £ Sga(M).

В п. 2.2 исследуются аналитические полугруппы операторов с ядрами. Напомним, что семейство {i14 : t £ IR+} операторов Ft £ £(■?""), t £ IR+ , где J7 — некоторое (комплексное) банахово пространство, называется полугруппой, если F5+t = FsFl npHBcexs,i £ ]R+.

Теперь пусть оператор М (£,р)-секториален. Рассмотрим контур Г С Sq0(M) такой, что arg fj. —> +0 при —> -f-oo, р £ Г. В силу теоремы 2.1 и непрерывности оператора L имеют место оценки

\\Rl{M)\\mL < const(l + \ß\Y, \\LLß{M)\\m < const(l + Ы)р.

В силу этого интегралы типа Данфорда- Тейлора

1

U1 —

2тп

J У4 = L^(M)eßtdn (2.1)

абсолютно сходятся при всех t £ IR+ и тем самым определяют операторы U4 £ £{ЫЬ) и1/'е C{U).

Теорема 2.2 Пусть оператор М (L,p )-секториален. Тогда интегралы (2.1) задают аналитические и равномерно ограниченные полугруппы {U4 : t £ IR+} и {Vt : t £ IR+} операторов соответственно.

В п. 2.3 введены в рассмортение ядра

кег U' = {р £ UL : Ifip = 0 3 i £ IR+ }, кег К* = {ф £ U : Ц*-ф = 0 3 t £ IR+ },

и образы

imU' = {u&UL: hm Ulu = и], imV' = {viU: lim Vlv = w }

полугрупп [Ul : t £ R+} и {V1 : i £ IR+} соответственно.

Обозначим через U^ (U1) замыкание образа

im(imL^^(M) ) в норме пространства Ui (U), а через Ul(Uü) - ker R^p){M) (ker Ll^p](M)) соответственно. Справедлива следующая

Теорема 2.3. Пусть оператор М (Ь.р)-секториален. Тогда

(i) im U' = Ul и im У* =Ul ;

(ii) ker U' =UÜL и ker V = U° .

В этом случае произошло расщепление действия операторов: ¿о : Ul М0 : W£ndomM U°Ьг : UlL ^ Ul.

Здесь под Lk (M*) будем понимать сужение оператора L (М) на U\ {U\ П domM), к = 0,1. При этих условиях будет существовать оператор М^1 £ £(Z/>;W£).

Определение 2.2. Оператор Р (Q) называется единицей полугруппы {U1 : te IR+} ({К4 : t £ Ш.+}) > если

Р = s-lim £/' (Q = 5-lim У1) .

Для существования единиц полугрупп в п. 4.1 потребовалось ввести понятие сильной ( Ь,р )-секториальности справа (слева).

Определение 2.3. Оператор М называется сильно(Ь,р] се%ториальным справа (слева), если он (L,p )-секториален и

|| RliV){M){\L~M)-'Mv\\Ub

const(v)

(

\\М (XL - М)~гЬ^^(М) v\\u <

а| П

q=o

const(v)

а|

V

|Л - а\ П К - a|

9=0

У

при всех Л, /¿о, £ и всех и £ V, где V — некоторый

линеал, плотный в Ым .

В п. 2.5 устанавливается существование обратного оператора для £ С{Ы1; ¿/).

Опреде ление 2.4 Оператор М называется сильно (Ь,р )-секториальпым, если он сильно (£,р)-секториален слева и

< -

const

|А-а[ П

q=o

при любых А, £ ¿"¡-¡(М) д = 0,1, ...,р.

Теорема 2.4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален. Тогда существует оператор Ь^1 £ .

В заключительном п. 2.6 теория (Ь,р) -секториальных операторов прилагаетсяся к уравнению

(А - А)щ

иАи

ßA2и + /, a,ß £ IR+ , А £ IR ,

Третья глава состоит из шести параграфов и посвящена исследованию полугрупп операторов уравнения (0.2) в случае, когда линейный замкнутый, плотно определенный оператор М : dornМ С Ui —>U относительно L-радиален.

Определение 3.1. Оператор М называется радиальным относительно оператора L (короче, L-радиалъным), если

(i) За £ Ш. V^ £ IR (fi > a) =» (n e PL(M)); (li) 3k e IR+ V/J, £ IR Qu, > a) Vn 6 IN =>

(|| („L - M)-1 <k) Л (max{||(^(M))1£(WL) , ||(^(М))-||£(Ы)}

Если существует оператор £ C(U]Ul), оператор M L-радиален точно тогда, когда радиален оператор Ь~1М (или ML~l).

Теорема 3.1. Пусть оператор М L-радиален. Тогда ÜL=Ul®Ul и Ü = Uü ® Ul ; U\ = U\ и Ul = U1.

Здесь через Ui (Ы) обозначено замыкание линеала Ul+imR^(M) (U°+imL^(M)) , а через U\ (U2) - замыкание линеала im(й£(М))2 (im(L^(M))2) в норме пространства Ul (U).

В п. 3.2 строятся разрешающие полугруппы для уравнений

RLa(M)u={aL-MylMu (3.1)

Lla{M) j = М [ab - М)-1 j (3.2)

Определение 3.2. Отобрая^ение V £ C(IR+;.C(V)) называется полугруппой разрешающих операторов (короче, разрешающей полугруппой) уравнения

Av = Bv, (3.3)

если

(i) VsVlv — Vs+tv для любых s,t £ 1R+ и любого v из некоторого множества V С V ;

(ii) v(i) = Vw есть решение уравнения (3.3) для любого v из некоторого плотного в У подмножества.

Теорема 3.2. Пусть оператор М L -радиален. Тогда существует равномерно ограниченная разрешающая полугруппа уравнения (3.1) (уравнения (3.2)), определенная на множестве Ul (U).

В частности, для уравнения (3.1) семейство {0г : t £ IR+} , где [/' — s— lim Ui для всех t £ IR+, является сильно непрерывной и

fj.—> + СО ^

равномерно ограниченной полугруппой на Ы\ . Здесь

fn

Ül = Е ^KW = exp(i(,u2^(M) - /Л)).

п~о

В п. 3.3 исследуется фазовое пространство уравнений (3.1) и (3.2). Решение v — v(t) уравнения (3.3) назовем решением задачи Коши

v(0) - ^о (3.4)

для уравнения (3.3), если

lim vit) = va. t-» 0+-

Определение 3.3. Множество В С V называется фазовым, пространством уравнения (3.3), если

(i) любое решение v = v(t) уравнения (3.3) лежит в В, то есть v(t) £ В V i £ IR+. ;

(ii) для любого v0 из некоторого плотного в В множества существует единственное решение задачи (3.4) для уравнения (3.3).

Теорема 3.3. Пусть оператор M L -радиален. Тогда подпространство U\ [К1) является фазовым пространством уравнения (3.1) (уравнения (3.2)).

В п. 3.4 вводится понятие сильно L-радиальным справа (слева), оператора, которое необходимо для нахождения единиц полугрупп операторов {Ü1 : t £ IR+} ({t/4: i£lR+}).

Определение 3.4. Оператор M называется сильно L -радиальным справа (слева), если он i-радиален и

||(АL-M)~lL(ßL~ МУ'МЦ^ < const(uI V и £ dorn M

X fi

О

(существует плотный в U линеал Ы такой, что

\\М [XL ~ му1 Ь(р,Ь ~ му1 }\\и < У j ей)

при любых Л, ¡1 £ ЗЯ+ .

Теорема 3.4. Пусть оператор М сильно Ь -радиален справа (слева). Тогда существует проектор Р : Ы^ —► Ы\ (<2 : ^ —> Ы1) вдоль Ы\ (и0), который является единицей разрешающей полугруппы уравнения (3.1) (уравнения (3.2)).

В п. 3.5 устанавливаются условия, при которых существует оператор Ь^1 £ Ь1\) ■ Это возможно лишь в случае сильной Ь-радиальности оператора М.

Определение 3.5. Оператор М называется сильно Ь -радиальным, если он сильно Ь-радиален слева и

\\(\Ь - М)~1 Ь(1мЬ - М)~1\\С(иМь) <

при любых Х,/л £ .

Теорема 3.5. Пусть оператор М сильно Ь -радиален. Тогда существует оператор

В заключительном п. 3.6 устанавливается достаточность некоторых необходимых условий сильной ¿-радиальности оператора М в терминах сильно непрерывных и равномерно ограниченных разрешающих полугрупп уравнений (3.1) и (3.2). Сформулируем три условия.

(В1) Существуют две сильно непрерывные и равномерно ограниченные полугруппы {{/' : Ь £ Й+} и {V : I £ } , определенные на пространствах Ыь и Ы соответственно.

Каждая из полугрупп имеет единицу Р = 17°, С^ — Vй. Эти единицы, очевидно, являются проекторами. Положим

и1 = кег Р, Ы1 = \тР, Ы° = кег иг = 1тЯ.

Обозначим через {О1 : 1 £ 1Н+} и {V1 : I £ 1Л+} сужения соответствующих полугрупп на подпространства Ы\ и Ы1 . Обозначим через ^ (Тг) генератор полугруппы : Ь £ Ж.+ } ({У"' : £ £ Ж.+ }). Согласно теореме Хилле-Иосиды-Феллера-Миядеры-Филлипса (теоремы ХИФМФ) операторы 5 и Т радиальны, причем луч С р(31)Пр(Т1).

(В2) Существует топлинейный изоморфизм : Ы\ —> Ы1 такой, что Ьг3г ~ТгЬ1 .

Из (В1) и (В2) вытекает существование замкнутого и плотно определенного оператора Мг = = ТгЬj"1, domMx = dorn,?! .

(ВЗ) Существует линейный замкнутый, биективный оператор М0 : domMo —> Ы° с областью определения dorn. М0 плотной в 1А\ . Из условия (ВЗ) следует существование оператора M0_1 £

Теорема 3.6. Пусть выполнены все условия (В1) — (ВЗ). Тогда оператор М сильно L -радиален.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[3]. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко Л.Л. Необходимые и достаточные условия относительной с-ограниченности линейных операторов // Доклады РАН. 1995. Т.345, N 1, С. 25-27.

[4]. Дудко Л.Л. Достаточность необходимых условий относительной о - ограниченности // Совр. методы теории функций и смежные проблемы приклад, мат. и мех., Воронеж, 1995. Тезисы докладов. С. 91.

[5]. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко Л.Л. Линейные операторы, с-ограниченные относительно фредгольмовых операторов // Рук.деп.в ВИНИТИ, 1995, Деп N 1401-В95, 14 с.

[6]. Дудко Л.Л. Относительно радиальные операторы и непрерывные полугруппы операторов с ядрами //Рук.деп.в ВИНИТИ, 1996, Деп N - Е>9 6 , 21 с.

О