Исследование полускалярной эквивалентности некоторых классов многочленных матриц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ТГ 01 3У -

ОРЛЗНА ДРУЕШ НАР ОДСВ АЮШ!Ш НАУК

ЕВСПШИКИ НСВДСВА

Ордона Тр/дового Красного Знамени институт математика ■ с вычлолитолыпш центроа

На правах рукописи

ЕИЛОНСГА Дарня 1£найловпа.

ИССЛЕДОВАНИЙ ЯОДУСШЯРНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАСС® ШОГСШЕНПЫХ МАТРИЦ

01.01.06. ?!атоитпеская логика, алгебра п тооряя чисел

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата фазяко-категатотеских наук

КИШЕВ - 1952

Работа выполнена в институте прикладных проблей ыоханяки в математики АН Украины

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор 1КАЗШРШЙ П.С.1.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ПЕТРИЧКШИЧ С.Ы.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор БОРЕВИЧ З.И.,

кандидат физико-математических наук, доцент ГОЯН И.Ы.

Вэдуцая организация: Уагородокнй государственный университет

Защита состоится _"_ 1992 г. в_часов

на заседании специализированного совета К 012.03.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-ыатематнчэских наук в Институте математики о ВЦ Акадеши наук Республики Молдова по адресу: 277028, г. Кишинев, ул. Я.Гросула, 5 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Академии наук Республики Молдова.

Автореферат разослан *_"_1991 г.

Учений секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, ст.научн.сотрудник

Подписано к печати 09.12.91. Формат 60x84/16. Печать офсет, ¡tyuarn oifcor Усл.п.л. 0,93 .Уел .кр.-отт 0,93 Уч.-изд.л 1,0

Тир.-.-* 100 зка. Зак. 3272. Гесплатно.____

<v.v> чия хпи'ыиш vimo^-a^iia, 29C000, Львов, ул.Стланика,II

- Белявская Г.Б.

; - з -

, I

4 \

„ ! ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Задачи о строении многочленных иат-рпц возникали вив в прошлой веко в работах Кэли, Сильвестра, Фробениуса при изучении простейших матричных уравнений. От-•крытио К.Воаототрассога элементарных делителей многочленных катриц стало вааным этапом дальнейшего исследования их строения, а такво приведения к более простим формам пра помощи преобразований различных типов. С возникновением ряда прик -ладили задач (оптимальное управление, прогнозирование, колебательные системы, квантовая физика), требующих изучения структуры многочленных патриц, в 60-х годах появляется мнс-пастао публикаций зарубежных и отечественных авторов - работы М.Крейна, X..Полтора, Р.Ве'бера, П.Ланкастера, Л.Родмана, А.С.Маркуса, ИЛЗЛ!эрэуш, А.Н.Малышева и др., посвященных этому вопросу.

В 1965 году в работе П.С.Казимирского "Про розклад пол1-ном1алыю1 матрин1 на мпоанюш" (Доп. АН УРСР, 1965, 7, С. 847349) введено понятие значения многочленной матрица на системе корпей многочлена. Это понятие стало фундаментальный в разработанной П.С.Казимнрским и его учениками теории разложения многочленных матриц яа ынолштели. Другим фундаментальный по -нятйем этой теории стало введенпое в 1976 году П.С.Казимирс-кям а В.МЛетричковичем понятие полускалярной эквивалентности многочленных матриц. Задача о полускалярной эквивалентности многочленных матриц непосредственно связана с известной проблемой подобия конечных наборов числовых иатриц - одной из са-ешх давних и сложных матричных проблем. Поэтому установленная относительно полускалярно эквивалентных преобразований специальная треугольная форма стала основой поиска канонической формы полускалярно эквивалентных матриц, например,' в исследованиях Б.З.Шаваровского.

В 1988 году П.С.Казимирекий предложил применять понятие значения многочленной матрицы на система корней ыногочлена для изучения вопроса полускалярной эквивалентности многочленных иатриц. Такой подход позволяет заменить задачу.о полуска -

ляриой оквивалентностп многочленных матриц задачей о так на -зывааиой ( А , С )- эквивалентности опродолэияых числовых ыатриц. П.С.КазЕкирскии и О.Ы.Мелышком кссладовад вопрос ио-лускалярной эквивалентности многочленных матриц о попарно различными характеристическими коршшл о помощью {А , С )-преобразований некоторых числовых патриц.

В настоящей работо продоляено лзучоше полускалярной ек-внвалентности многочленных матриц, а тачго вопросов их подо -бия и приведения преобразованиями подобия к более простыл! видам.

ЦВЛЬ РАБОТЫ: I. Нзучп- свойства (Л , С )- преобразований числовых матриц, построенных для многочленных влатрнц о попарно ввапыно простыня элешитаршаш делитолтш.

2.-Исследовать полускалярпую эквивалентность многочленных'матриц с одним элементарным делителем, используя (А , С )- про -образования соответствующих числовых матриц.

3. Найти необходимые и достаточные условия полускалярпой экви-йалентности многочленных матриц с канонической диагональной Формой . . . /, е,, е}£г, .., .. ен). где ((¿,

при I

4. Определить возможные типы эквивалентных иногочлешшх иат -риц. Найти необходише и достаточные условия полускалярной эквивалентности многочленных матриц в терминах их аордаыовых цепочек.

ЫЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работо используются методы ли -нейной алгебры, в частности, методы исследования строения матричных многочленов, разработанных П.С.Казишфскшл и В.Ы.Пэт-ричковичем и основанные на понятии аначения »тногочленыой матрицы на системе корней многочлена и полускадярной эквивалент -ности многочленных матриц.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации развит и применен новый . подход к изучении полускалярной эквивалентности некоторых классов многочленных матриц, заключающийся в исследовании так называемой (Л , С )- эквивалентности определенных числовых матриц. Найдена нормальная форма (Л , С )- эквивалентных числовых матриц, соответствующих многочлонным матрицам с одним

элементарным делителем. Подученные результаты применяются к : изучение вопроса подобия некоторых классов унитальных-матриц. Все изложенные в диссертации результаты является новыми. ТЕОНЗТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит тео- • ретнчесхий характер. Результаты^ исследований Находят непо - V оредотвенное применение в прикладных вопросах линейной алгебры, в теории матричный многочленов к полнномкалышх опера -торных пучков. " 1

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты работы докладывались на семинарах отдела алгебры и конференциях молодых ученых ИППММ АН Украины, на семинаре по общей алгебре н ' математической логики Института математики о ВЦ АН Молдовы и Кишиневского университета, на 19-ой (Львов, 1987 г.) Всесоюзной алгебраической конференции, на Международной конференции, по алгебре (Новосибирск, 1989 г.), йа 6-ом симпозиуме по творил колец, алгебр и модулей (Львов, 1990 г.) в на ¡Лэадународ-ной кон{еренциа по алгебре (Новосибирск, 1991 г.). "

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 10 работ , список которых праведен в конце автореферата.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит па введения, четырех разделов, списка литературы и изложена на 140 страницах машинописного текста..Список литературы содержит 68 наименобаний литературных источников, '

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

. Во введения дается краткое изложение основных результатов работы. Указано на'их отношение к наиболее близким результатам других авторов.

Рассмотрим неособенную П.*П. матрицу Л(х) с элементами нз ССх]. , представленную в виде штрячвого многочлена:

Многочленная матрица Л fi) называется регулярной, если- Ло -

неособенная матрица; ведя Л0:£ - единичная матрица, то Л (х) называется унитарной матрице!!.

В ПЕИЗОЫ РАЗЛЕЖ получено необходимое .ж достаточное условие полуоцишрноб эквивалентности многочленных матркц с попарно взаимно простыми элементарными делателями в терминах (А , С )- эквивалентности так называемых Ы-матриц исследуемых многочленннхматриц. Изучены свойства А - преобразова -ш1й, а также свойства (А , С )- эквивалентных М-чатриц регулярных многочленных матриц.

Известно, что для еквивалентних многочленных матриц Д(х) и (х) с попарно. взаимно простыми элементарными делителями существуют обратимые матрицы РА (х) , (х), Р& (х) и Ов(х) также, что

РАГх)Жх)&(х)--Р3Ш(х)06(х)--сИауа..*,й(х)),' <2>

где

МхУ^х^УЧх-^)*'. . . (х-¿У, (3)

. . ./А/ =к * при .

Напомним, что значением многочленной I* (I матрицы (з(х) о элементами из С [х] на системе корней многочлена (3) называется числовая 1к *п матрица вида:

Ш)

Нг Нг- О'Ш)

к

где й (х) - производная порядка ] от матрацы 6 (х) .

Напомижм также, что многочленные матрицы Л{х) я Л(х) называются полускалярно эхвивалентными, еолх для них сущест -вуют чиолоаалнеособвнная матрица н обратимая матрица Й(х) также, что

J(x)=lA(x)BCx).

(4)

Подчеркнем, что унитарные многочленные матрицы Л(х) к Л(х) подобны тогда я только тогда, когда они подускалярно эквивалентны.

Пусть &(х) - некоторые многочлен, записанный в виде (3).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Числовая матрица I/ навивается 4 -матрицей для многочлена & (х) , если для нее существует такой многочлен </{х) , что иГА] , где

У); <5>

да й) (/) ^ •

ТЕОРЕМА 1.1. Множество всех обратимых Л - матриц при фиксированной нумерации корней многочлена А /^образует группу.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2, 1.3. Числовые матрицы Мл и Мв называются ( А , С )- эквивалентными, если для' них существуют неособенные А - матрица С1[й] и числовая матрица / такие, что

Мл *с!ШМв1

(6)

Пусть для многочленных патриц J)fx) а Л fx) справедливо равенство (2). Матрицы Рц fx) п /fa fx) являютя произвольными левыми прео<5разупдага матрицами многочленных матриц Jfx) и Я fx) к канонической диагональной форме; рл fx) и рв fx) -их последние строки.

ТЕОРЕМА 1.2. Для того, чтобы Жх) и Жх\ были полускаляр но эквивалентными, необходимо н достаточно, чтобы значения последних строк произвольных левых преобразующих P/jfx) н Pq[x) этих матриц к канонической диагональной форме на система корней многочлена A fx) были (J , С )- эквивалентными:

п^щ-^тмр^^ь (?)

I

Значение последней строки левой преобразующей матрицы /4 (х) из соотношения (2) на системе корней многочлена Л(х) будем называть М-матрицей многочленной матрицы Л(х) и обозначать Мл .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.10. М-матряца регулярной многочленной мат -рицы Л(х) имеет полный ранг.

СЕРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. /2 наиболее высоко расположенных линейно независимых строк матрицы Ма назовем базовыми строками при фиксированном порядке корней многочлена А (х) , осталь -ныв строки называются рабочими.

Подчеркнем, что в М-матрице регулярной многочленной матрицы Л(х) имеется П. базовых строк, каждая на которых имеет номер д , ¿г/,2,- • *,П, как строка матрицы Мл .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.11. Номера Д , ¿'¿2, ■■■,/г, базовых строк матрицы Мл инвариантны относительно (¿),С )- преобразований.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.12. Номер Д" ¿'-ой базовой строки Ы-иат-рнцы регулярной многочленной матрицы степени 5 удовлетворяет неравенству:

. ■ " А * / (в)

1*1.1, п. г

ТЕОРЕМА 1.4. Если в М-матрице регулярной матрицы ЛСх) о попарно взаимно простыми елементарными делителями I -ая базо -вая отрока имеет максимально возможный номер /V +1 ,

то для Л(х) существует неособенная числовая матрица ^ такая,что

¿Л(х)гФМ О

II * Л(х)

(9)

где Л/кс) - {¿-/)х((-/) многочленная матрица.

ПРЕДЛОЖЕНИЙ 1.13. Если в М-матрице регулярной матрицы Мх) о попарно взаимно простыми еленентарными делителями при, некотором порядке корней многочлена А (х) для номеров базовых строк.

выполняется равенство: '

(Ю)

pit! =p¿+i > 1= 1,2, ... , ПЧ, то из J(x) выделяется линейный множите ль: jíx)=(£jc-£)c(x).

Рассмотрим теперь пари матриц (J/ ,J¡) и (J}f, вто -poro порядка с елементами пз £ . Подобие стих пар равнозначно подобия многочленных матриц

J)b) = Ex2*J,x tJi ,

(Матрицу

Jfx) и Л(х) будем считать эквивалентными матрицами с попарно взаимно простыми элементарными делителями, так как в ином случав вопрос об их подобии решается тривиально. В подразделе 1.3. среди (А ,С)~ эквивалентных матриц М-иатрице уия -тальной матрицы Л(х) найдена нормальная форда. Таким образом, метод (А , С )- преобразований применен для полного решения вопроса подобия пар матриц второго порядка.

ВО ВТОРОМ РАЗДЕЛЕ исследование (А ,С)- эквивалентности соответствующих М-матриц используется для реие;сяя о т>

лускалярной эквивалентности регулярных многочл-ьг?£1 о

одним элементарным делителем. Найдена норггальтп форма (/! ,С )■ • эквивалентных-М-матриц регулярных многочленных матриц иеслодуе-ыого класса, что, в частности, решает вопрос о подобии соответственных конечных наборов числовых матриц.

Все М-матрици в этом разделе соответствуют регулярным многочленным матрицам степени £ с одним элементарным делителем.

Поскольку базовые строки Ы-матриц регулярных многочленных матриц образуют неособенную матрицу, то черев JJL5 обо-

значим множество всех матриц, (А , С )- эквивалентных рассматриваемой М-матрице . Мд , базовые строки которых образуют еди -ничную матрицу Е

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Места элементов матрицы Мд &М/ • рас-

положенные в рабочих строках и под единицами базовых; строк ка- , зываются рабочими местами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Под индексом рабочего места элемента . матрицы Ид будем понимать его порядковый номер в столбце .начиная с меота единицы базовой строки.

Понятно, что размеры М-матрицы регулярной П."П. матрицы Мл) степени S равны Sfl *fl . Количество/72 всех попарно различных индексов рабочих мест элементов такой матрицы удов -

летворяет неравенству $Ц-/1 £Л1йSfl-(

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. М-матрица, у которой есть sfl'f рабочих мест с попарно различными индексами, называется И-матрицей с пел;;им набором индексов. М-матржца, у которой отсутствую? рабочее места с каким-либо индексом, называется М-матрицей с отсутствующими индексами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Левым набором рабочих мест элементов М-иатрида называется набор о Л1 попарно различными индексами такой, в который из всех рабочих мест о одинаковыми, индексами входит место, принадлежащее столбцу о наименьшим номером (место, расположенное левое).

М-матрицу, имеющую единичную подматрицу на базовых стро -ках и нули на левом наборе рабочих мэот Хт. обозначим М0(£).

Основным результатом подраздела 2.1. является

ТЕОРЕМА 2.1. В классе (6 ,С)~ эквивалентных Ы-матриц с ~ полным набором индекоов существует единственная матрица М0(£)> Матрица Ма (X) является нормальной формой данного класса И-мат-ряц.

В подразделе 2.2 показано, что для М-матрнц о отоутствую-щими индексами существует множество иатриц о единичной подматрицей на базовых строках н нулями ва левом наборе рабочих мест. Поэтому данный подраздел посвящен вопросу выделения множества М-матриц о отсутствующими индексами. Основными здесь следует с-.итать следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2.2. Если каждая базовая строка; кроме первой , матрицы Мд ' имеет номер, меньший максимального значения (t ~f)S +1 , то эта матрица имеет полный набор индексов. ;

ТЕОРЕМА 2.4. Для того, чтобы в матрице М'а отсутствовал .

индексрабочих нас? элементов, необходимо н достаточно, чтобы для нее существовала веособенная ыатриид такая, что

т--

Мь

Мм

мк

К1

о

(II)

причем I) подматрицы имеют.размеры *р , где /= + ! , 1-1,1, •• ; 2)ри*р1.(>г при . 3)/%у -

подматрица размеров £у, , где у, ¿уЭ ; Д/ = Д/ при /-- 2, . . ., у,

При использовании данных результатов в подразделе 2.3 найдена нормальная форма М-ыатриц о отсутствующими индексами. На основании теоремы 2.4 нормальную форму найдем среди (А , с ¿-эквивалентных М-матриц вида (II), принадлежащих множеству и с нулями на левом наборе рабочих мест. Из равенства

(12)

м1К 0 М,к 0

и -

Мы .. . . п, М„. . . . 7%

получаем следующий результат.

ПРВДЛСШЕШЕ 2.Г7. Элементы блоков А/// , 1-(Л, ■ ■ X , матриц А1„(£) вжда (II) инвариантны относительно (Л ,С )- преобразований.

Расписав теперь равенство (12) более подробно:

[V й о '•</, О ... О

Щ. 0 « ч ' 0 а(, 0

* * 4%.0 О

П = /1

¿н

1~а ¿п

-К)г

получаем, что г

гдо <У/ ? О ; элементами матриц Кц.) есть фиксированные многочлены от элементов блоков /V// . В силу предложения Г. Г? элементы матриц Л//./ также инвариантны относительно (А , С )-преобразований. Если все матрицы Л;/-/ , I- 2, . ■ -,К нулевые, тогда элементы блоков для рассматриваемой матрицы будут

также инвариантными относительно (А , С)- преобразований. В случай, если элемент Ахр матрицы ненулевой, то элемент

Су можно подобрать так, чтобы

¿7//7?^> - ¿¡¡Пхр / Я/'Л>д = 0 (14)

Тахой подбор элемента ф называется уточнением элементов блоке--, А/у./ матрицы М .'. Аналогично уточняются элементы всех блоков М-матршш. ,

Основным результатом подраздела 2.3 является следующая ТЕОРЕМА 2.5. Для Ы-матриц о отсутотвуищши индексами ра -бочих мост элементов существует единственная (¿5, С)- вквява -лентная ей матрица Мо (£) €. о уточненными элементами

всех блоков. Эта матрица является нормальной формой данного класса М-«атрвд. •

Из предыдущих результатов и теоремы 1.2 следует такал теорема.

ТЕОРЕМА 2.6. Регулярные многочленные матрицы о однимилемонтарнны делителем полускалярно эквивалентны тогда' и только тогда, когда нормальные формы их 1£-матриц относительно (¿3 , О- преобразований совпадают.

Подчеркнем, что номера базовых строк нормальной формый-матриц относительно (Д ,С)~ преобразований несут информацию о структуре многочленной матрицы >Л(х) вымысле ее приводимости преобразованиями подобия к блочно-трвтгодьвому, треугольному водам, а также о выделяемости'из Л(х) линейного множителя.

В ТРЕТЬЕМ РАЗДЕЛЕ изучаетсяполускалярная эквивалентность неособенных многочленных матриц,'имеющих больше одного отлет -

Я. / ■ ■

/

низ от единицы инвариантных ыногштелоЯ. Для итого в подраздели '3.1 обобщено понятие (А , С )- прообразован^!, изученное в подразделе 1.1 для случая неособенных многочхьпних иатр'Щ а одшш отлпчнш от одшпщн пиварлантгагм игсяятелем.

Пусть (з(х) - некоторая П. */1 г-лтркцд о оломеигами п;'

£Гх] ; С (ос) - многочлен II да:

• ■ (х-^У* (К)

Х!+Кг+. . = ; ■ ■ ■ > - попарно разлячше ты;с-

ла,((ы0(х),£(х))ч .

СШ2ДШНИВ 3.1. Распнрвшшм знача идем кногочлэвио.З П. к/1 «атрица 0 (х) на система корней ыногочлэна £(X) казшзаотс.'г ПКх/1К матрица вида

(йод (вШ, ОШ,.. ., СШ), (16)

гда

СМ7--

(0) Ш о

<?&)(;) сао

В подразделе 3.1 пзучэнн свойства рас странного значения многочленной /2 ж (I матрицы С (х) иа систомэ асрной иного •• члена £(х) .

В подраздела 3.2 исследуется вопрос о полуакаяярной ок -БЕвалентности неособенных /2*/2 катриц о элементами из £[х]. таких, что

РА (х)Л(х) (3А (х) - Рв Ш(х) <3В (х) =

г до к>1 и (a, €j) = / при L ÍJ

Центральной в третьей разделе является следующая теорека.

ТЕОРЕМА 3.1. Для того, чтобы вквквалеитнне многочленные матрицы Л(х) и Л(х) о канонической диагональной формой вида (17) были полускалярио зявивалентшаи, необходимо в достаточно, чтобы для них существовала неособенная числовая матрица

L и для каждого S- t,2, . . ., К существовала неособенна.-ыатркца Gs (X) такая, что (det Gs(x), f^-s*/) =/ для которых справедливо:

где чэрез рл(х) обозначена подматрица штрицы ра (х) , состоящая из ее S поелздцш: згро».

В ЧЕТВЕРТОМ РАЗДЕЛЕ гл. основали иокятия типа квазиувата-лькой матриц» (П.С.Каз1м1рськй$ "Розклад катричнзх шюгочлэи1в на mhoshekh".- К.: 11аук. дуыка, 1981.- 224 о.) неособеншо вк-внвалонтныа иногочлошше патрицу разбквавтся на классы, представители которых :(о полускалярио эквавалонтш. Этот результат дозволил получить ряд новых свойств линеаризация многочленных матриц. 1

Известно, что каядута шособеаную многочленную fl*/l матрицу Я(х) золускалярио эквнвалонткьш преобразованиями мояно привести к квазиунэтадьиоВ многочленной матрицо = || Ни\\ ,¿,j=i,Z, . ■ . , П такой, что еоли deQKU($ = $L • то &{ ¿ о» ¿ . . . é дц \ cUg Ку ¿ ó¿ при ¿ >2 i d&gkjií h¿ пра j >l . Система чисел { 0/, dj,. . . . . . (f/i) - показателей степеней диагональных элементов квази-укитальной матрицу Ж(х) называется ое типом н является ннш-риантом полускалярио еквивалектных преобразований.

Пусть \£ fx^J - множество неособенных эквивалентных многочленных матриц с канонической диагональной формой:

е(х) -- diag (е, (х), ег (х),..., ел (х)) ;

Qtji, . . . ,/л)- ?пп е(х) .т.е. d^(¿íx)=S¿.L^2,

Пусть{tfy, • • • ,&a)~ набор неотрицательных целых чдоел. ТЕОРЕМА 4.1. Дая того, чтсбы в {<5(jc)j существовала ква-энунитальная многочленная матрица тяна f,. . - .¿о,) • Н0~ обходимо я достаточно, чтобы выполнялись следугаше условия: ft п

TSc = Z Ус,

для всех К=т, 2, . . . , л_ .

Если под типом любой неособенной многочленной матрецы JJ(x) понимать тип квазнунитальной кагрзцы, полускалярно эквивалентной J] (jr), то на осно валян теорецы 4.1 множество эквивалентных матриц разбивается па конечное чяало классов так, что в один класс входят ьшогочлошше штрнцы одинакового тяпа.

Как следствие ев теоремы 4.1 получаем результат об оцепко ы¿шкальной степенп штрпц в данной класса эквивалентных многочленных матрац. На основании тоореии 4.1 доказана таяае н следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4.3. Каздая неособенная многстг^ная матрица, степень детерминанта которой кратка ее порядку, зяае? лзноа-ризацил.

Понятие линеаризации, яордаиевых цопечок s г.ордансБых

пар (Gokkrp., Lancaster P., Rodman X. ñcutt-ix Polynomials., JcPress, Пеиг VorK., i SSI, WSp)

тавде используются в подразделе 4.2 для исследования вопроса яолускалярной эквивалентностя многочленных матриц.

Пусть ( Xfy , Ja ) а ( Xq , Jq ) - жордановы пары регулярных многочленных матрицах) и соответственно.

ПРЕДДОНЕНИЕ 4.3. Для того, чтобы Jifa) в Л(х)бН1Л полу-скалярно эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы для произвольной матрицы^а существовала матрица Х& такая, что

¿ Хд = Xe > di»)

где L - неособенная числовая ыатржца.

Результаты дассертащш опубликованы в следуздих работах:

1. Бплонога Д.Ы., Звлиско В.Р. О линеаризации матричных ино-гочлонов/Д!ат. штодо п физ-ыех. поля.- 1985.- 22.- С. 29-32.

2. Билонога Д.М. К вопросу о линеаризации многочленных кат -рнц: Матер. II конф. иол. ученых ИШШМ АН УССР.- I98*7.-С. 16-19.- Рук. деп. в ЕИШГГИ, & I088-B87.

3. Билонога Д.Ц. Топы квазиунлталышх шогочленных натрии: Тезисы сообщ. ПХВсесоюз. алгебр, конф. - Львов.- 1987.Ч. I.- С.37.

4. Билонога Д.М. Критерий полускалярной еквивалэнтнооти кно-гочлешшх штркц о одшш шшарианпшн множителем: Тезисы сообщ. Мовдушродной конф. по алгебре.- Новосибирск.-198У.- С.25.

5. Бклонога Д.М. Многогпэпгшо ттрнды, вквпвалонтныэ уцигаль-maf//B кн. : 1£>тод1 исследования дйффероыцдадышх ц пите -гральша ouojmopoD.- К.: Наук, думка.- 1989.- С.19-22.

6. Билонога Д.М. Об одном способе определения подобия двух уиаталькых многочленных штриц// В кн.: ¡¿атервалы 13 конф. мол. ученых ИШШМ АН 7ССР.- 1989.- С.2-6.- Рук. деп. в ВИНИТИ, & 7242-В83.

7. Казкмирский U.C., Билонога Д.Ц. Полускалярная эквивалентность многочленных штрдц с попарно взаимно простыми зло-ментаришн делителями //Докл. АН УССР,- 1990.- В4.- С. 8-9.

8. Бклонсга Д.М. Подобно ушгсальшхх »шогочленных матрац одного класса: Тозлси сообщ. У1 сшдознума по ,теории кешщ, алгебр и модулей.- 1990.- С.21.

9. Бплонога Д.Ы. О подобии пар штрпц второго порядка: То-зисы сооба. 1!аздувар. конф. по алгебре.- Новосибирск.-1991.- С.16^ *

10. Бплонога Д.М, Исслодованкв (Л,С)- вквавалвнтноста иоко-торых числовых 1®тр1ш // Шт. иэтоды и фаз.-вех. поля.-1991.- 21.- С.25 -29.