Исследование проблем сплан-функции методами оператора свертки: сплайн-операционное исчисление тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

• ; п .л < АКАДЬШЯ НАУК СССР ? ¿1 "» '■ <■' Ордена Легана Сибирское отделение Вычислительный центр

На правах рукописи аклудка ьалорка Александрова^

УДК 519.65

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМ СОШ1Н-ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ ОПЕРАТОРА СВЕРТКИ. СПЛАЯН-ОПЕРАЦИОННОВ ИСЧИСЛЕНИЕ

Специальность 01.01.07 Вычислительная Математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора <{ызико-матеыатических наук

Новосибирск - 1991

\

Работа выполнена на кафедре высшей математики Ленинградского высшего военного инженерного строительного краснознаменного училища имени генерала армии А.Н.КОМАРОВСКОГО

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОННОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук, профессор Ю.С.Завьялов

доктор физико-мятематичоских наук, профессор В.Н.Малоземов

доктор физико-математических наук,, профессор В.А.Морозов

. ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:-Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР

• . Зашита состоится .................................199 года

в.......час......мин- на заседании специализированного совота

Д 002.10.01 при Вычислительном центре СО АН СССР по адресу: 630090. Новосибирск оп- пп..академика М.Л.Лаврентьева 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислитель ' • иого центра со АН СССР

.а f/

Автореферат разослан "./..."......................1991 г.

Ученый секретарь специализированного солнта ü uui'.HJ.üf доктор фйзико-матомгтм^ких наук

Ю.И.Кузнецов

СБЩ&Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■ ,. , '

■ а"* ' АКТУАЛЬНОСТЬ. Полиномиальные сплайны являются срашктолыю новым, быстро прогрессирующим аппаратом приближения функций. Широков применение нашел этот аппарат при реионии многообразных задач как вычислительной математики, так и инженерных дисциплин. Им посвящена обширная литература, среди которой отметим монографии Ди.Алберг.Э.Нильсон.Дк.Уолш.Теория сплайнов и ее приложения, D.С.Завьялов,Б.И.Квасов, В. Л.Мирошниченко.Метода сплайн-функций, В.Н.Малоземов, А.Б.Певный. Полиномиальные сплайны, С.Б.Стечкин, D.H.Субботин. Сплайны в вычислительной математике, De Boor.A practical guide to epllnee, L.L.SchunmKer.Spline functiono: basic theory. Некоторые классы полшюмиалышх сплайнов, а именно,локальные, кардинальные, периодические сплайны, сплайны, заданные иа полуоси, естественным образом связаны с оператором свертки. Хотя, в какой-то мере эта связь просматриполась уже в первой работе ШЗнберга посвященной сплайн-функциям 1946-го года, в дальнейшем на это важное свойство указанных классов сплайнов, не было направлено долююго внимания. Однако, подход к сплайнам с этой точки зрения оказался довольно плодотворным и позволил получить целый ряд результатов как теоретического, так и прикладного характера. Разработке этого аспекта природы сплайнов и посвящена в основном диссертация.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ.Разработка новых вычислительных методов восстановления функций и их производных по дискретной информации с погрешностями, сжатия, и фильтрации дискретной информации при выполнении быстрого преобразования Фурье, численного решения дифференциальных, интегральных, разностных уравнений, связанных с оператором свертки, в том числе и некорректных задач, порождаемых такими уравнениями, на основе изучения свойств локальных и периодических сплайнов, заданных на равномерной сетке. Одним из направлений работы явилось исследование дробных производных и сплайнов дробного порядка и использование этого аппарата для устойчивого решения интегральных уравнений в свертках с сингулярными ядрами на полуоси.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ.В работе используются методы сплайн-функций, дискретного и непрерывного гармонического анализа, функционального анализа, теории аппроксимации и теории обобщешшх функций.

НАУ'ИАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ.В диссертации разработан целый ряд новых могодои для изучеш!я сплайн-функций и некорректных задач. Напри?,юр, исследование локальных сплайнов на равномерной сетке при ксмсга дискретных моментов В-сплайнов и асимптотических формул, в па произвольно!!'сетке - при помощи интерполяционных многочленов; методика сплайн-операционного исчисления (СОИ) для исследования периодически! сплайнов и решения некоторых классов некорректных задач, а в более широком аспекте - для практического гармонического анализа периодических функций по дискретным данным; метод сплайн-ЕШ); метод устойчивого решения интегральных уравнений. в свертках первого рода на полуоси с сингулярными ядрами при помощи производных дробного порядка.

Banдонн и изучены новые классы сплайнов - такие, как локаль-шв сплайны с f е гу лиру яшм параметром, локальные сплайны, квази-ииторполирупцио функции и их производите, которые оказались эффективным средством восстановления функций и их производных.

Практическая ценность. В диссертации разработан ряд методов для практической вычислительной работы. Алгоритмы решения интегральных ypaBiiemifi на полуоси с сингулярными ядрами, а также алгоритмы, связанные с локальными сплайнами, использовались для расчета строительных сооружений и тепловых потоков, некоторые результаты использовались в Нии Телевидения, в ШЮ (Жеанприоор, в Нии Электроизмерительных приборов. Методы СОИ могут найти применение в такте областях, как компьютерная графика и конструирование , инженерная геометрия, радиотехника, цифровая обработка си-.гиалов, измерительная техника, компьютерная томография, спектроскопия и др..

1 Разработала универсальная пкелеримантальная программа для персональных компьютеров по методике СОИ, на основе которой планируется создание пакета программ, расчитанннх на широкий круг потребителе!!.

■ АПРОБАЦИЯ РАБОТ!!, Материалы диссертации обсуждались на Региональной конференции "Теория приближения и Вычислительная математика" в 1991г.о Новосибирске, на общегородском семинаре по теории приближения (Ленинград), на семинара». чл.-корр. АН СССР Н.С.Бах-валова в Mi у, проф. Р. с. Нам.ялов; » |. щ,< со ли СССР,, ироф. B.c.Рябенького в MiiM AW <5cV?, lîr-" ф. Я.А.Моротош I) ШВД МГУ, проф. В.П.Ильина в ЬЦ СО Ail сТО:'. II" результатам исел^ц.шглй, включенных В /.ксте^гми!», s-icp EUCTyna* Г с.«>Ш-

- а -

парах и Нсосоншнх конференциях, в частности, на семннарах академика Н.Н.Японко в ИТПМ СО ЛЯ СССР, чл.-дарр. ¿H УССР Н.П.Корнойчука в т АН УССР, проф. и.Н.Субботина и [Ж УО АН СССР, проф. В.Я.Ривкилда в Санкт-Петербургском Технической университете .

На Мвкдународной конференции Int.Conference on Approximation theory. Kecskemet, Hungary, 1990.

На Международной конференции "Некорректные задачи в естуствошшх науках" Москва, 1991.

На Всесоюзных конференциях:

I Всесоюзный симпозиум "Проблемы идентификации нестационарных объектов в измерительной технике". Ленинград, 19/2.

IX Всесоюзная конференция "Кибернетические мотоди i¡ теории и практике измерений". Ленинград, 1974.

"Интегральные уравнения в прикладном моделировании". Киев

1982.

"Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики". Новосибирск.198?.

II Межвузовская школа-семинар "Теория приближения и Вычислительная математика". Ленинград, 1989.

V Всесоюзный симпозиум "Методы теории идентификации п задачах измерительной техники и метрологии", Новосибирск. 1989.

"Современные проблемы численного анализа''. Тбилиси. 1989.

"Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики." Владивосток. 1990 и др..

Научные результи исследований по теме диссертации опубликованы в 27 научных работах. Все работы написаны без соавторов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения, всего 263 страницы,

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, формулируются задачи исследования, излагается кратко содержание работы по главам.

Кроме того, во введении отмечаются основные направления исследований по сплайн-функциям и некорректным задачам, связанные о темой диссертации.

Глава 1 .ЛОКАЛЫШЕ СПЛАЙНЫ ДЕФЕКТА 1 -В данной главо в основ -

ном изучаются локальные сплайны дефекта 1 произвольных степеней па рашгомарной сотке с шагом h, аппроксимирующие функции и их производило произвольного порядка. Лишь в одном параграфе рассматриваются кубические сплайны на произвольных сетках. Локальная сплайн-пппроксимационная схема появилась, повидимому, впервые в упомянутой выше- статье ШЗнберга,' где на равномерной сетке указан алгоритм построения локального сплайна степени т-1, точно воспроизводящего многочлен той же степени. Позже появились подобные схемы на произвольных сетках (G.Birkhofi, С.De Boor, G.J.Fix,). В статье T.Lyche, L.L.Schumaker'a даны общие формулы построения локальных сплайнов степени р, точно воспроизводящих многочлены той ко степени и получены порядковые оценки остаточного члена аппроксимации функций и их производных такими сплайнами. В 1952 году B.C.Рябеньким была предложена схема локальной интерполяции* основанная на сплайнах минимально возможного шаблона дефекта больше,чем 1. Различные аспекты локальной сплайн-аппроксимации изучались в последние года в работах B.C.Завьялова, Б.М.Шумилова и других авторов. На равномерной сетке локальные сплайны дефекта 1 изучались сравнительно немного и, по мнению автора, не была в достаточной мере использована специфика равномерной сетки. Н.П.Корнейчуком были получены точные оценки остаточного члена аппроксимации для некоторых сплайнов второй и третьей степеней, в работах А.И.Гребенникова и А.А.Лкгуна появились локальные квазиинтерполяционные сплайны второй и- третьей степеней, в книге Ю.С.Завьялова, Б.И.Квасова, В.Л.Мирошниченко приведены асимптотические формулы и точные оценки остаточного члена аппроксимации для кубических локальных сплайнов- Различнывми авторами отмечались сглаживающие свойства локальных сплайнов, но подробного исследования этих свойств, насколько известно автору, не предпринималось.

Основным содержанием- главы является изучение свойств локальных сплайнов дефекта 1 с целью- использования их для восстановления- функций? и- их- производных по дискретной информации с погрешностями. & результате этого изучения:

\ 1 .Построены и- исследованы- сплайны, реализующие максимально возможные порядки аппроксимации- /(s 'при- минимально возможном числе задействованных сеточных значений функции / (так называемые сплайны минимального шаблона-С№). Для СШ, установлены асимптотические формулы остаточных членов аппроксимации, а для сплайнов

первой-пятой степеней и всех простейший сплайнов, аппроксимирующих функции и производные, а также для сплайнов нечетных стереней, аппроксимирующих функции, найдено явное представление остаточных членов.

2.Постровни и исследованы локальные сплайны произвольных степеней, квазиштерполирущие функции и их производные произвольного порядка. Установлены асимптотические формулы остаточных членов алпрокоимации для интерполяциошшх кардинальных сплайнов.

3.Изучены сглаживающие свойства локальных сплайнов. Построены так называемые локальные сглаживающие сплайны с регулирующим параметром. Эти сплайны при надлежащем выборе параметра обеспечивают высокое качество восстановления функций и их производных по сеточным значениям функций, известных с погрешностями.

В диссертации для построения и исследования локальных сплайнов на равномерной сетке применен подход, основанный на использовании установленных автором асимптотических формул для простейших локальных сплайнов, которые строятся как линейные комбинации В-салайнов, коэффициенты которых -это сеточные значения аппроксимируемой функции. А именно, исходя из асимптотических формул, простейшие сплайны и их производные комбинируются таким образом, что в результате получаются сплайны с улучшенными аппроксимирующими свойствами. Асимптотические формулы для остаточных членов этих сплайнов также получаются при помощи асимптотических формул простейших сплайнов. Базой для получения последних послужили установленные в §1.1 свойства "дискретных моментов" В-сплайнов.

Отметим, что указанный подход имеет некоторые общие черты с подходом, использованным С.Н.Бернштейном при изучении многочленов, носящих его имя..

В одном из параграфов рассмотрены локальные кубические СМШ на произвольных сетках. Предложен чрезвычайно простой в реализа-г ции устойчивый метод их построения, получены явное представление остаточных членов аппроксимации и оценки погрешности аппроксимации функций и их производных. Для кубических сплайнов, аппроксимирующих функции, эта оценка неулучшаемая.

§1.1.Некоторые свойства В-сплайнов. В-сплайн степони т~1:

= где - р) - это

центральная разность, а х = 1>(х*-\х\).

Обозначим м™ = J^^af^WóLr, И® = 1. H° = о Vs¿o. Все

момонта М™ t = О. а формулы для нахокдения М™г приведены в §1.1.

Дискретные момопти.ц™(0 = -jt^¡^fг-»í-п/2)3Ьт(h(r*t-m/i')). t £ [0,1]. ШОнборгом найдоно, ЧТО \l™(t) ш 1, а о. В §1.1

установлен важный для дальнейшего факт. Пусть BQfU это многочлен Бернулли степени q.

Теорема 1.1.1. Щ.и а < т-1 величины не зависят ora

f € Со,1] и справедливы формулы

n"f£J Ш 1С, в = о.....т-1.

Mjítj - f-tr1 * »£. t) - мГ1 ^^ * С,'

Установлены также выражения для M™f2fU,

Л.2.Асимптотические формулу для простейших сплайнов. Пусть f(x) некоторая непрерывная функция и /к - /схк ]. Локальный сплайн дефекта 1 стещт т-1 на сетке с шагом ft, построенный по данным f/k), может бить записан слодухщим образом:

E^(f.x) - bm(x-hk), где f™- коночная линейная комбинация

сеточных значений í/j). Производная сплайна степени т+з-1

= ft это сплайн степени w-J.

Есл:1 для вычисления сплайна в данной точке х используются значения функции в точках то множество f.hk)^ ^ будем

называть, как обычно, шаблоном сплайна.

В этом параграфе рассматриваются простойшие сплайны, аппроксимирующие /ио. = П Jfe/fcO^"1 ГJ.При з - О эти

сплайны 0или рассмотрены Ш'нборгем . В частности, им установлено,

2

что если / £ С2, п > 2, то S^f/.xj - /fxJ * (х)+ o(hz). В

§1.2 получены дальнейшие формулы такого типа для сплайнов S^B(f,x)la) до hm*1. Представляя и некоторый самостоятельный интерес, асимптотические формулы для простейших сплайнов послужат основой для построения и изучения сплайнов с более сильными аппроксимирующими свойствам». Эти формулы базируются Hipe зультатах параграфа 1.1.

Замечание, йш^йны S^^f/.x.)'®' точно воспроизводят производные Р{°](х) многочленов степени sff и если / с Cs+P, р>1, то ^B(f.x){a)= -f(x)'r) * 0(hz).

01.3.Сплайна повышенной точности. Часть слагаемых о сси.ято-тик9 для простейших сплайнов «моют постоянные коэФ15п;ионтц при производных. Чтобы повысить порядок аппроксимации можно составить такую комбинацию простейшх сплайнов, чтобы, сохранив степень сплайна, уничтожить эти слагаемые. Таким образои получаются н СМШ степени т-1 - S^*"(f,x)(a>, аппрокаширущио J(x)(a) с максимально возможной точностью hm. Для их построония нужно составить линейную комбинацию из q = I(т-1J/2) простейших сплайнов.

Основной в этом параграфе является теорема, в которой даются асимптотические формулы для остаточшх членов СШ для произвольных т и з.

Теорема. Пусть / € Ca,mil, q = tfrn-1J/2). ТогОа, если х € t = (x-i*)/h,

^B(f,x)lB) = f(x)ia) t hm(f^(t)J(x){a*m) * (1.3.11)

* hm"crat](t)f(X)iBtm*U * CT.q^'

В (t) mВ ,(t)

d~m = _ = - pj«.

Здесь П - шаг сотки. ^ - четно-

Замечание Сплайны S™*a(f,x)i3) точно воспроизводят производные Р(в) ,(х) многочленов степени ян a-i. Очевидно, это наивысшая

e+m-l

степень многочлена, производную от которого можно точно воспроизвести при помощи сплайна дефекта 1 степени т-1. При этом шаблон такого сплайна содержит ma+q точек и является минимальным для сплайнов с такими свойствами.

§.1.4.Явное представление и оценки остаточных членов аппроксимации. Установленные асимптотические разложения остаточных членов аппроксимации сплайнами минимального шаблона функций и их производных дают возможность в ряде случаев получить явное представление этих остаточшх членов, что позволяет найти точные оценки погрешностей. В §1.4 такие представления получены для простейших сплайнов произвольной степени, для сплайнов первой -пятой степеней, реализующих разный порядок аппроксимации /(а), в том числе максимально возможные порядки (а -произвольно), а также для остаточных членов СМШ произолыюй нечетной степени, аппроксимирующих /. При этом выяснилось, что•для'сплайнов нечетных степеней вид остаточных членов определяется первым членом асш.1-

цтотики, а для сплайнов четных степеней - первыми двумя членами.

§1.5.Квазюштерполяционныа сплайны. Асимптотические формулы (1.3.11) дают возможность, комбинируя сплайны £Р*"(/,х)(в) с

.простейшими сплайнами, получить сплайны, ^,в(/,х), которые во

внутренних точках промежутка шшроксимируют /(х)1е) с

точностью 0(И*), как и СМШ, а при х - хп -с точностью о(71т+Ъ. Если / - многочлен степени т+з*1, то сплайн является

для него интерполяционным. Естественно поэтому назвать сплайн квазиинтерполяционным (КИС). Подчеркнем, что сплайн

!>£'*(/,х), будучи локальным и используя лишь ближайшие к точке х сеточные значения функции /, приближает ?(х)1в) почти как сплайн, интерполирующий сеточные значения /(х) <01. Тем самым обеспечивается высокая точность восстановления производных по сеточным значениям функции /. Для КИС произвольных степеней получены асимптотические формулы,а для кубических сплайнов - точные оценки остаточных членов на интервалах 1хп,хп^у] и в точках х . которые подтверждают вискозшшое выше замечание о точности аппроксимации.

Установлены асимптотические формулы остаточных членов аппроксимации для кардинапышх сплайнов произвольной степени, которые интерполируют функцию / в точках ГгкГт. Они совпадают с соответствующими формулами для квазшштерполяционных сплайнов.

51.6.Кубические СШ на произвольных сетках. На произвольных сетках известны общие ■ формулы, которые позволяют выразить СМШ произвольной"степени через В-сплайны (Например, Т.ЬусЬеД.Ь.БсЬы-гглкег). Однако эти формулы довольно громоздки, требуют сложных алгоритмов при реализации и с трудом поддаются изучению даже для сплайнов невысоких степеней. В §1.6 предлагается другая форма представления СМШ третьей степеней. Эта форма весьма наглядна и позволяет легко вычислять сплайны в любой заданной точке, располагая лишь'ближайшими сеточными значениями, а также выписать явно остаточные члены аппроксимации. Последний результат позволил получить хорошие оценки погрешностей, которые возникают при аппроксимации указанными сплайнами функций и их производных. Для кубических сплайнов, аппроксимирующих функции, эти оценки точные. Развитая методика использует связь СМШ третьей степени с многочленом той же степени, интерполирующим значения аппроксимируемой функции на сетке.

§1.7.Локвлыше сплайны с регулирутяциы параметром. Формулы

(1.3.11) позволяют кроме построения КИС продвинуться и в кругом направлении. Опять, комбинируя спдпйш ¿"'"г/.х;*"' о простейшими сплайнами, и вводя регулируодкй параметр, строится норий пид локальных сплайнов -локальные оплати с рогу лиру нщ-.м параметром (ЛЛС) S^^Cz.x), которые при надлежащем выборе параметра являются эффективным средством для восстановления функция и их производных, если известны значения функций на сетке с погрешностями. При р ~ О ЛПО превращается в соответствующий СМИ.

В §1.7 рассмотрены аппроксимируицие свойства ЛЛС в случао 2k = ' а сглаживающие свойства изучены в гл.З.

Замечание. Сплайны b^^tz.x) при любом значении р точно

воспроизводят производные многочленов стопит и/а--? так

же, как и соответствующие СМШ.

Установлен явный вид остаточных членов аппроксимации для различ!шх ЛЛС в случае г= /(r^). f t С3*24, г = q, р ? О.

Глава 2.ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, СВЯЗАННОЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИ! СШШШАМИ. Периодические сплайны дефекта 1 с равноотстоящими узлами двойственным образом связаны с оператором свертки. С одной стороны, они образуют полугруппу относительно непрерывной свертки. С другой стороны, если записать такой сплайн в виде линойной комбинации B-сплайнов, то его мокно рассматривать как дискретную свертку.

Как одна, так и другая сторона этой двойственной сверточной природы периодических сплайнов в той или иной мере использовалась различными авторами. Так, W.Gautschl установил выражения для коэффициентов Фурье интерполяционных периодических сплайнов, использующие тот факт, что ß-сплайн является сверточной степенью, S.D.Sillünan исследовал их аппроксимирующие свойства. Впрочем, подобные формулы появлялись и раньше у Шёнберга. В книге Дж.Ал-берга,, Э.Нильсона, Дж.Уолша было отмечено, что, так как при вычислении коэффициентов интерполяционных периодических сплайнов матрица системы является циркулянтом, то выражения для коэффициентов можно выписать явно при помощи дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (также С.De Boor и F.J.Delvoa). По существу,здесь использована дискретная сверточная природа сплайна. Р.Locher рассмотрел при помощи ДПФ интерполяционные схемы, которые являются линейной комбинацией сдвигов некоторой периодической функции, и распространил эту мотодату на кардинальные сплайны. Явные формулы для вычисления кубических . интерполяционных периодических сил л й--

- ь"; -

нов с И'лктиоийююм других подходов получош в работах Ь.В.Жуки, и Г.И.Нагинсона. Фзрмулы для характеристических функций интер-пол«щюш~;х кардинальных сплайнов появились впервые у ШОнберга. 11м ко, и таете ЮЛГ.Субботиным они били подробно изучены, что оказалось восьми полезным при исследовании периодических сплайнов. В о тих л:о работах даны Формулы для вычисления интерполяционных каи-динальшх сплайнов.

В диссертации двойственная связь периодических сплайнов с оператором свертки разработана болоо основательно. На базе таких сплайнов построоио операционное исчисление (СОИ), которое является адекватным математическим аппаратом для решения многих задач, в которых в той или иной форме участвует свертка, а информация об изучаемых объектах имеется в дискретной фэрме. В пространстве пориодачоскях сплайнов суиествуот ортогональный базис из обобщенных собственных векторов операторов дифференцирования и свергавшая. Ввиду этого, можно рассматривать СОИ в качестве вычислительного гармонического анализа: Частным случаем его является дискретныйгпрмошпоский анализ. Область его применения для решения задач, связанных с днфГоронциалышми и интегральными уравнениями, в основном совпадает с областью применения классического анализа Фурьо. однако главным отличием является то. что СОИ имеет дело с декретным набором экспериментальных данных, и решение получается в видо непосредственно вычислимой функции. Кроме того, следует отмоТить,. что сплайн-гармонический анализ задачи проводится в классе функций, гладкость которых согласована с условиями решаемой задачи. Кратко схему применения СОИ к таким задачам можно охарактеризовать, так: задача проектируется тем или иным способом в пространство сплайнов, там явно решается, и затем доказывается сходимость сплайн-решения к точному решению при сгущении сонм и уменьшении уровня погрешностей. Вычислительным аппаратом СОИ является быстрое преобразование Фурье.

В этой главе приведены основные формулы СОИ и ачгоритмы решения нескольких типичных задач, для которых примэненяется этг\ методика.

§2.1.Основные обозначения. Вводом некоторые обозначения. Пусть

л) = е , N - целое число, и = V

• л а

Дискретное прообразован!» Зурьо • (ДПГ) йж-орг а -

,гв1/н

т¿х/Ъ ~

Т (а >Л У. . Ит-с'.. и г- н£п с-.иу^о;: V,

п [I ¿Зс к !..',-.

- и -

Норма вектора а: |)а|| = Пусть тоиорь .rk ~ k'N,

х£ =(к f ^J/f/. Символом «р обозначим пространство 1 -периодических

сплайнов степени р~1 дефекта 1, с узлами в точках Символ Мр(х)в этой главе Оудот обозначать централышй 1 -пориоднчоский

В-сплайн степени р-1: ¡Зр(х) Vpe2ltlruc. При х е t-Q/H,

ß-сплайн Мр(х) совпадает с В-сплайнсм bv (х), построенным а 51.1, если шаг сетки

Положим ^ u>"rikKp(iiJkJ, (2.1.7)

мр = r^vC1' Uj; - тп(Ир; = *

Функции ир изучались ййнСоргом и Суооотшшм. Известны рекуррентные формулы и явные представления для начальных значений р. Если К - константа Фавара, то

0 < *р-1 = </2 < Uo = V КР®Р' (г-''9)

§2.2. Сплайн-операционное исчисление. Одномерный случай Пункт 2.2.1.Основные формулы. Всякий сплайн из ер может быть представлен в таком виде;

s*lx) = i Xk4k*?ix"rkj- (2.2.1)

Из формулы (2.2.1) видно, что сплайн SpfxJ полностью определяется своим порядком р и воктором q своих

коэффициентов. Обозначим tr iq;)"-^ Q(SP) и будем считать этот

вектор образом сплайна Sp(x). Переход из пространства вр в пространство Q(eP) приводит к своеобразному операционному исчислению. Приведем основные формулы этого операционного

исчисления, обозначим Sp= (Sp(x. >JN~'. Тогда Т (Sp) = Т (q)vP.

ко п л п

Предложение 2.2.1.Если сплайн Sp е ер, то его произвоОная

($?)<■*) € ep-s. Sp(xj(s) = h ^q» Hv-aix-xk). При этом, если,

обозначить Sp,0= ((Sp(xk))(a'j^"1, то справедливы соотношения:

Tn(qe) = Tn(q)(lNvn)B, TJSp's; = Tn(q)(lHvn)Bu»-3. (2.2.4) ,

Рассмотрим теперь свертку двух сплайнов. Если f.g - интв-

грируомыо 1- периодические функции, то f*g(x) = ^0f(x-y)g(y)äy. Яусть сплайн S1 € в1:

Предложение 2.2.2. Сверлит двух сплайнов S1 с u Sv е в" 'мо сплайн Spfl с ep+1: Sltp(x) = 1 =

Ври это*, если обозначииь s1+p= , то'справедливы

соотношения: Т (J) = Т (а)Т (т). Т (Sp4lJ - Г (q)T (r,№p+1,

n Л tl T1 Г1Г1 n

Замечание. Можно рассматривать операцию э-кратного дифференцировать в пространстве периодических сплайнов как свертку сплайна Sp со сплайном отрицательной степени

ifix) = h е в"э- rnmBj = шип;в.

Справедливы формулы типа равенства Парсеваля. Предложение 2.2.3. Пусть S1 е в1 u Sp е вр эпо сплайны, опреде-■ ленное ¿юрлулами <2.2.1), (2.2.8). Гогда J^ix^Wcir = = ^JJq)tjr)uptl. Для сверписи fl}SprxJ*S1ixJfBdx =

= JjJTnfqJTnfrJI2u^'p,1).Cmcxx)a,e частности

Sl(Sv(х)'1П >^сй* ^|Tn(q)|2uf/p~s»№п)гв. Предложение 2.2.4. Пусть S1 е в1 u Sp е вр это сплайны, определенные Формулами (2.2.1), (2.2.8), З'огЗа ¡¡]iSp(xk)S1(xk) =

LT (qTFJriu^u1. GV.cicöa, б частности '

n ^ n n п

Пункт 2.2.Вычислительный гармонический анализ.

Рассмотрим более подробно сплайны пр(х;,определенные формулой (2.1.7). "В статье авторов H.Kamada, K.Toraichi, R. Morl в J.Ap-prox.Th.,1988, установлены следующие факты.

Предложение 2.2.5. Сплайны Vp(x)= тр1х)1игр)~иг.

j-0.....N-1, образуют-ортонормирований оазис пространства ер.

При помощи формул предыдущего пункта получается следующий результат.

Теорема- 2.2.1.Сплайны тр(х), n=0,...N-1, определенные формулой (2.1.7), являхтся обобщенными, собственным, веторами операторов Оифроренииро&амм. и своршвания с фиксированным сплайном S1(x) и.ооразут ортогональный базис пространства «р.

Норма их B^jOo =ujP' i<Q0Pöv}~UJ'1iajru сплайна Sp(x) = jf

в этом базисе являтся числа Т (qj, п=0.....И-1.

Отметим, что это утверждение содержит предложение 2.2.5. Теорема 2.2.1 позволяет рассматривать СОИ в качестве гармонического анализа в пространстве периодических сплайнов, а значит в определенном смысле и в пространствах периодических функций различной гладкости, а также обобщенных функций. В самом деле, если в классическом гармоническом анализа в качестве "представителя" данной функции выступает, фактически, частичная сумма тригонометрического ряда (сача -бесконечно даффереюдеруемая функция), то при сплайн-гармоническом анализе таким представителем является сплайн соответствующей гладкости, построенный по формулам СОИ на основе той или иной информации о функции. При этом дискретная информация используется естественным образом и результатом является непосредственно вычислимая функция требуемой гладкости.

§2.3.Базовая задача. Рассмотрена вспомогательная задача на минимизацию квадратичных функционалов в пространстве периодических сплайнов, которая является базой для решения некорректных задач, связанных с решением дифференциальных, разностных уравнений с постоянными коэффициентами и интегро-даЯференциалышх уравнений типа свертки и систем таких уравнений а тикко задач теории сплайн-функций. Далее рассмотрены некоторые из этих, задач.

§2.4. Сглаживающие сплайны. Здесь рассматривается задача о построении сглаживающих сплайнов. Обычно для решения этой задачи приходится решать системы линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами. Число диагоналей в матрицах растет пропорционально степени сплайна. Однако, в пространстве вр мокло избежать решения систем. В этом случае матрицы систем являются циркулянтами и, если известны элементы матрицы, то обратные матрицы могут быть явно выписаны. Соответствующие формулы, которые позволяют построить интерполяционные сплайны приведены, например, в книге Дж.Алберг.Э.Нильсон.Дк.Уолш.Теория сплайнов и ее приложения. В §2.4 получены явные формулы для построения сглаживающих сплайнов из вр при помощи соотношений СОИ, установленных в §2.1. Помимо того, что эти формулы удобны для построения сплайнов, они позволяют исследовать сглаживающие и аппроксимирующие свойства этих сплайнов, а также расширяют круг возможных приложений.

Задача 2.4.1 .а)Найти сплайн Бр(х) í вр, который доставляет

лешинул фужуюналу 1(ЫР) = (т < р) при условии.

- яХн/^'Л^Л^ $ • ъттти сгиат 3Т'(х) ( ер,

который доатв.тап маащ/л функцшлшу JJSX') = Е(БР) * р1 (:>р).

сН/айот сплайн ^(г) ч вр, который удовлетворяет условиям

Рознлие задачи 1Ь. Этим решением является сплайн Б»(г.х) « Ч(р) = (2.4. и

Решение задачи 1а. Теорема 2.4.1 .Задаю. 1а имеет единственное решение при любом значении с, удовлетворяющем неравенству

сг< Е = ¡¡-||г-|2|'\ й = /¿^к' Эяи* является сплайн

в^я,!), посщюаюшй по формулам (2.4.1), где Р это корень уравнения е(р) = сг.

Замечание 2.1.1. Если ег > Е, то решение задачи 1а не единственно. Таким решением мокет служить любая постоянная а, для которой навязка ¡¡^к(а 2к)г < ег- В частности, таким решением

может служить а - г. Для этой постоянной повязка минимальна.

Ревоние задачи 1с.Положим в формулах (2.4.1) р=о. Тогда получится сплайн Б^в.х) = ¡yЬlV0''J'Píx-•V• 5Гп'ч(0); Этот спл.айн дает решение задачи 1с для любого вектора г. Решение задачи 1с единственно. Б^(г.х) - ото интерполяционный сплайн для вектора г.

При р=2л1 сплайн 5рт(г,х) является решением такой экстремальной задачи.

Задача 2.4.2.а) НсЮти. функцию которая доставляет мини-

мум функционалу 1(/) = при условии Е(?) =

= е'г* Ь) Найти, функцию которая доставляет

минимум функционалу J|J(/) = Е(+ р!(/). -

Здось - это пространство периодических функций /, у которых /(т"1) абсолютно непрерывны, а /!т) суммируемы с квадратом на интервале [0,1]. Порта й/^ =(^=01с/-''11)г:г',",гйг)1/г-

Замечание 2.4.4. Нередко встречается ситуация, когда известны не значения изучаемой функции /, а ее интегральные сред' ше Ik('/J = 1(к1о*5)/ы Чтобы получить решение соответствующей задачи нужно в формулах, даицих решение задачи 2.4.1, заменить ир на цр41. При этом возникают так называемые гистосплайны. п п

В главе 3 рассмотрены аппроксимирующие и сглаживающие свойства построенных сплайнов.'

- (Т -

Как отмечалось вше, периодические сплайны тосно связаны с оператором свертки, поэтому естественной областью приложения этих сплайнов являются интегральные уравнении в свертках и дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

5. Интегральное уравнение в свертках. Рассмотрено приближенное решенио интегрального уравнения первого рода в свертках. Это некорректная задача. Чаде всего такие уравнения решается при помощи метода регуляризации А.Н.Тихонова. Схема предлагаемого алгоритма такова: задача сводится к периодическому случаю, проектируется в пространство периодических сплайнов соответствующей гладкости, в этом пространстве решается методом регуляризации А.Н.Тихонова при помощи сплайн-гармонического анализа es, а затем доказывается сходимость полученных сплайн-решэний к точному резанию задачи в нужной метрике при надлежащем выборе параметра регуляризации. Поскольку сведение задачи к периодической -ото стандартная процедура, то предполагается, что задача уже является периодической. Использованы построенные выше формулы решения базовой задачи. В Приложении приведены результата числовых экспериментов, которые иллюстрируют высокую эффективность методики.

Задача 2.5.1 .Пусть функция h е Wg, Ш, /е gW = f*h(x). Известны вектора: ъ = (zk = gfx , xk=ft//i, h = Wx^)"*1 ;

e= -вектор случайных погрешностей tncucoü, что |eg ^ e.

Требуется построигаъ семейство функций fe(H,x) i W^ так, чтобы

при е-О, tf-a>, fe(N,x)-f(x) по норме пространства С™-1.

Сформулируем вспомогательную задачу.

Задача 2.5.2. Найти сплайн ^(N.z.x) € e2m,

S^(N,z,x) -- ^qkCp;ifp(-x-rkJ. qfpj = . (2.5.1)

который доств.Аяет лшияум функционалу JpCSpJ = E(S*) + pI(S гОе I(Sp) =%xJl(S»w(i\)zdx = fiS^.

E(SV) - это интерполяционной

сплайн, построенный по схет задачи 2.4.1с по Оанныл h.

Решение задачи 2.5.2 - это сплайн S^"(N,z,x) е e2m, заданный формулой (2.5.1), у которого

. ' Тп(ч(р)) -- TJrjTn(Z)u**l/An(p).

Предложение 2.5.1 .Имеется конструктивный алгоритм выбора параметра р=рСеД; такой, что cc.teûcmdo сплайнов S^miN,z,x) является решением задани 2.5.1.

Подробно отот вопрос рассмотрен в главе 4.

§2.6.Уравнение теплопроводности. Рассматривается обратная задача для уравнения распространения тепла в тонком однородном кольце радиуса R = 1/2% при наличии дискретных данных с погрешностями. Пусть х € [О,?] - расстояние вдоль кольца, измеряемое от начальной точки. Тогда мокно считать, что все входящие функции 1-периодичны по х.

Будем обозначать Z>tf(x) = u(x,t), где f(x) периодическая функция, а функция u(x,t) является решетом уравнения теплопроводности и'ь - и" при начальном условии и(х.О) = fix).

Задача 2.6.Пусть f € m 3. Обозначил g(x) = Ч) fix), % хо - некоторое заданное число. Известен вектор: z = ,

xk-k/H; е = это вектор случайных погрешностей, такой,

что 0е|1 i с. Требуется построить семейство функций fE(H,x) (

так, чтобы при е-О, Л'-*», fE(N,xhf(x) по норме пространства С™"1.

Задача является некорректной и требует регуляризации. Приближенные решения задачи находятся в виде периодических сплайнов, удовлетворяющих условиям коллокации и минимизирующих соответствующие квадратичные функционалы.

Подробно вопрос о сходимости рассмотрен в § 4,3.

§2.7.Некорректная задача Кош для уравнения Лапласа.

Задача 2.7.2. Пусть u(r,t) -функция гармоническая в кольце », gQ(t) = ud.t). git) = u^(l.t), fit) = u(R,t), ft iq, m ï 3. Известны вектора : z° = fgQf. z = V'Vo^, t^k/H:

e° - , e = {ек)^"1-бешора случайных погрешностей, относи-

тельно которых известно, что Це°й ^ с e, ffej < е. Требуется построить семейство функций ft(H,t) t так. чтобы при е-О, функции fe(N,t) - fit) по норме пространства С™"'.

Задача решается по методике сходной с методикой предыдущего параграфа.

^•8.Формулы СОИ. Двумерный случай. Приведены формулы в основном аналогичные соответствующим одномерным формулам. Исключение составляют лишь дискретно-непрерывные равенства Парсеваля.

Полученные формулы позволяют решать многие задачи численного анализа. Использование их аналогично использованию соответствующих одномерных формул. Мы приведем лишь выражения для сглаживающих и интерполяционных сплайнов.

§2.9.Сглахивавдие и интерполяционные сплайны. Двумерный случай.

Задача 2.9.1 .а)Иайти сплайн. £рг е ерг, который доставляет млкилщм функционалу Jpo(SpT') = Е(Брг) ■+ ро!Г5рг; + рГ, (Брг) +

+ о1г(Зрг), где Г(Брг)= ^о(2рг(х,у)(я-*у)2<Шу. 1Г(3РТ) =

= га Ъ^^у^/-

Ь)НаОт сплайн 5рг е врг, которой удовлетворяет условиям 8рг(х^,у3) = гкГ к = 0... ЛГ-Г, / = 0,...1г-1.

Здесь г - (г -заданный вектор.

Решение задачи 2.9.1.и это сплайн

эЦа.х.у) = ^ ^^^р.а^Г^Л'Су-^). (2.9.3;

Ч(р.о) = (ч^(р.а)}. Тп1(Щр,о)) = Тп1(г)ир й^/А^р^а), лп(р) = ригп{р'5)(иьп)га * (ир;г, сх(о; = ой^^Чь^^ + гйр2.

Решение задачи 2.9.1.Ь -это сплайн Зр^(ъ,х,у) вида-(2.9.3), Т^ЩО.О» = тп1(г)/ир Сплайн Бр*(г,х,у)~ это интерполяционный сплайн для вектора г.

Теорема 2.9.2.При р=2з, г=21 сплайны 5^(г,х,у) и Б^Сг.х^) являются соответственно рсшенияли следующих вариационных задач'.

Задача 2.9.2.а) Найти функцию / е которая доставлят

линияум функционалу К/) - (Г(х,у)1в,Ь))г4п1у при условии = А = О,/ =

Ь) Найти функцию / е , которая доставляет мижщ/л функционалу

Здесь это пространство периодических функций /, у

которых суммирует с квадратом в области (0,13хС0,1].

Глава З.АПГОШСИМИРУНЦИЕ И СГЛАЖИВАЮЩИЕ СВОЙСТВА ОТШИВАЮЩИХ СПЛАЙНОВ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ. В этой главе более подробно рассматриваются сглаживающие периодические сплайны, построенные в

глава 2, их аппроксимирующие в случае р = 2т-1 -а, 2гп-з, и сглажи валкие свойства. В §3.4 изучена связь периодических сплайнов с быстрым преобразованием Фурье. Предложен сплайн-алгоритм сокращения и фильтрации числовых массивов при выполнении быстрого преобразования Фурье. В конце главы исследованы сглаживающие свойства локальных сплайнов, с параметром, которые были введены в первой главе.

Пусть г = (гк = + ек /к = Т(хк); вк - случайные по-

грешности, £к= к/Ы, это сплайн степени р-I, который явля-

етоя решением задачи 2.4.1Ь. обозначим Е^Са.х/3 > =

Подчеркнем, что его сплайн степени р-1. Обозначим 1 - (/

'к к=0'

в = Тогда можно записать = ¿*,в(1,х) +

+ Бр'°(е,х). Сначала рассматривается первое слагаемое.

§3.1 .Аппроксгашрущие свойства сплайнов, построенных по точным данным. В атом параграфе рассматривается сплайн Бр,в(1,х). На основе, формул §2.4 при помощи асимптотических формул для интерполяционных сплайнов и их производных, установленных Б.С.Ки-адалевым получены асимптотические формулы для сглаживающих сплайнов и их производных при pfз=2m, р+а=2т-1.

Замечание.Сглаживающие сплайны имеют тот же порядок аппроксимации /(а) по Л, что и соответствующие интерполяционные сплайны.

Отметим, что точки = (й-1/2)/Н являются для сплайнов четных степеней точками сверхсходимости.

§3.2.Сгдаживащие свойства периодических сплайнов. Далее в этой главе предполагается, что (гк = /к + ек^, /к = к =

0,...,Н~1; ек - некоррелированные одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием В("ек; = О, и дисперсией

й(ек) = й. Тогда = ¿£-в(Х,х) + Б*-а(е,х) - это случай

ная величина, = зув(1,х),

Ъ(В»-е(г,х)) ~ йрр-в(х).

Теорема 3.2.1.Если р - любое четное число, то й1'в(х) < Л1'а(х.). з = 0,1.....

Р р К

Теорема 3.2.2..Если р = 2,...,б, то .

<Р'в((к*1/2)/Ы) * сР-в(х) < сР-а(х.), а = 0,1... . .'13.2.9)

Р Р Р К

Гипотеза. Утвервдение теоремы верно при любых значениях, р. Б §3.2 приведены общие формулы .д.л я тш числения с*р и

р к

также явные выражения для др,а((кь 1/2)/Я) и ар,в(хк1 если

р = 2.....6. " Р

§3.3.Восстановление функция и производных. В параграфе обсуждается методика восстановления функций и производных при помощи сглаживагацих периодических сплайнов. Простота построения сплайнов и выбора параметров сглаживания по формулам СОИ предоставляют большие возможности для маневра. Это оказывается особенно полезным при роиеюш некорректных задач. Принимается определенная вероятностная модель. А именно, считается, что закон распределения случайных величин е. нормален. Тогда Нр'в(х) = "(г,т) -/<в)(х)

р р _ _

-это нормально распределенная случайная величина, (х)) =

- - /{в)(х) = е»-а(1.х), Е(|£Р-вГе,х;и = а?-е(х)

= В качестве меры уклонения сплайна от

/(в)(х) рассматривается величина 0^,я(2,х) = Щ\РР'в(х)\).

Установлен опенки величины С^'я(2,х) через шахг\ер,а(1,х)\,а^'в(х)). Приведены соображения о практическом восстановлении функций и производных.

53.4. Связь периодических сплайнов с быстрым преобразованием Фурье (ВПФ). Эта связь является двусторонней. С одной стороны, для построения сплайнов естественно применять алгоритмы БПФ, что приводит к существенному сокращению объема вычислений. Но, с другой стороны, в целом ряде задач, в которых требуется производить БПФ, использование сплайнов может привести к уменьшению массива обрабатываемых данных. Идея использования сплайнов в таких случаях очевидна. По прореженным данным строятся сплайны, а затем опущенные данные восполняются по значениям сплайна в соответству-кхцих точках. Как выяснилось, использование для таких целей периодических сплайнов четных степеней приводит к весьма "технологичным" формулам и обеспечивает высокую точность восполнения. Если обрабатываемые данные являются значениями гладкой функции с погрешностями,то данный алгоритм обеспечивает высококачественную фильтрацию.

В §3.4 установлены соответствующие вычислительные формулы, получены оценки их точности. Для вычисления БПФ от сплайна нужно обрабатывать массив данных вдвое меньший, чем для полного БПФ. Если погрешности в отсчетах отсутствуют, то естественно применять инторполяцногашй сплайн Предложенный алгоритм можно назвать сплайм-ШЭ ;СБПФ>. Чем белое гладкой является функция /. тем бо-

лее высокой степени сплайны следует применять для аппроксимации, что, благодаря использованию формул СОИ, практически не усложняет алгоритма. Если 2 - f(x1/2) + , то следует применять сгла-

кивапдио сплайны. Еще большую экономию вычислительной работы дает сплайн-БПФ двумерного массива. При этом нужно обрабатывать массип данных вчетверо меньший, чем для полного БПФ. Приведены соответствующие формулы и оценки.

§3.5.Сгл8звт£щцв свойства локальных сплайнов. Кок уже отмечалось выие, в некоторых ситуациях, в частности, при больших массивах данных или при необходимости работать в режиме реального времени предпочтительным, является использование локальных сплайнов. Обсуждаются возможности, которые предоставляют локальные сплайны с регулирующим параметром (ЛПС), определенные в §1.7, s*'pa(z,x) - для восстановления функций и производных по дискретным данным с погрешностями.

Везде в этом параграфе izk = fk + ек fk = f(xk)> \ =

к = О.....fl-1; sk - некоррелированные одинаково распределенные

случайные погрешности, с математическим ожиданием Е(ек) = О, и дисперсией D(ek) = d. Получены неулучшаемые оценки дисперсии I>fS^pB(e,xJJ, что позволило развить методику нахождения значений параметра р, при которых сплайн осуществляют оптимальную фильтрацию погрешностей, а также сглаживающие характеристики локальных сплайнов. Эти значения р и характеристики для конкретных сплайнов приведены в таблицах в §3.5.

Отметим, что уровень сглаживания для ЛПС имеет тот же порядок, что и для простейших сплайнов и значительно сильнее, чем для СШ1, особенно при восстановлении производных. Но аппроксимация /(в) по данным f(zk) при помощи ЛПС - того же порядка, что и для СШ и значительно лучше, чем для для простейших сплайнов. Таким образом, ЛПС как бы соединяет в себе достоинства простейших сплайнов и СМИ.

§3.6.Восстановление функций и их производных при помощи ЛПС.

Гак же, как и в §3.3, считается, что закон распределения случайных величин ек нормален. Предложен алгоритм выбора квазиоптимальных значений параметра р и шага сетки для восстановления функций в производных и приведены эти значения для конкретных сплайнов.

Проведенные числовые эксперименты показали высокую &£фок тивность ЛПС.

Приведены несколько числовых примеров использования лис для

восстановления производных в одномерном случае и один с двумерной.

Глава 4.0 СХОДИМОСТИ РЕГУЛЯРИЗУ1ЩХ АЛГОРИТМОВ. В этой главе рассмотрен вопрос о сходимости приближенных решений интегральных уравнений в свертках, обратной задачи для уравнения теплопроводности и задачи Коми для уравнения Лапласа, построенных в гл.2, к точным решениям.

Пространство состоит из 1-периодических функций Р у которых /(т_11 абсолютно непрерывны, a F(m) интегрируемы с квадратом на интервале {0,tJ. Норма

§4.1.Сходимость приближенных решений интегральных уравнения.

Как отмечалось в 52.5, в качестве приближенных решений интегральных уравнений f*h = g используются сплайны S^m(N,z,x), являющиеся решениями задачи 2.5.1 при соответствующем' выборе

параметра р. Здесь функция h € wj, / € И^, g(x) = f*h(x),

% = , x^k/N. h = Шхк> ; e = te^"1 -вектор

случайных погрешностей, относительно которого известно, что geg^e,

Отметим еще функции е{р) = E(S^m) = ¡^/S*(h) •

a(q) = KSгрт) = ^JoCS^fxj'1' far. S^fh.x,) - это интерполяционный сплайн, построенный по схеме задачи 2.4.1с по данным h. Обозначим °н = In: ТпСЪ) = О). = Lc^'V2^2,

Чтобы получить решение задачи 2.5.1, производится выбор параметра р, по схеме близкой к принципу обобщенной невязки, развитому в работах А.В.Гончарского, А.С.Леонова, А.Г.Яголы. Для реализации этой схемы понадобилось установить несколько вспомогательных предложений, касающихся в основном интерполяционных сплайнов. В частности, если SpfC,x; это сплайн из «р, который интерполирует функцию С fx; в точках хк, А =• О,.. .К-1, то справедливы нижеследующие предложения. Лемма 4.1.1 представляет и некоторый самостоятельный интерес.

Леша 4.1..1 .Пусть f € 1 = {/(^л"-1 .Тогда '

t|S^fI,x;(1)||0 $ i^m_1r1|/(l>|0. I = о.....т,

постоянные определены в формуле (2.1.9).

Леиыа 4.1.2.Пусть / с ТогОа существует постоянные ¡UN), К такие, что »S^i i )||т <; * Wl*. -'■■

ItmK(N) - (x„ ,У?~. В качестве постоянной K(N) ж>хно взять

П-ко Zm~1

Здесь dQ - это изЕестная константа.

Лампа.Пусть f t Щ и выполняется неравенство ge|f с £.Тогда cjjujßcmßym постоянные Ш такие, что

E(^m(t)) « fe + (ГгвК(Н)ЦН)1(/))ир}г. При этом млеет место

состошение K(H)I(g) =({i * зег(гт+1_1Г

Здесь § = ат-ах«^11'^.^^), это константа Фавара. Пусть он -множество номеров п таких, что Тп(т) = 0, \iu(z) -■

Inifi lTn(2)l2- 0бозна'шм

Q(H.e,p) = е(р) - iE f (frZaL(N)a(p))uz]z - v^fz). функцию Q(N,s,p) назовем обобщенной невязкой.

Теорема 4.1.1. Уравнение Q(N,e,p) = О относительно перемэн-ной р млеет единственное решение при мобол значении е, удовле-творящел нерабенствал + ег < JzJ2.

Пусть теперь Нп - последовательность натуральных чисел, для которой Ilm N = ю, а £ - последовательность положительных чисол,

для которой Ilm е = 0. Обозначим fjx) = f/i.z.U.

Замечание 4.1.1. Отметим, что если lim N = а lim е = о,

• П-КО п п-<" п

то Ilm Hj, (ъ) = О. n-н» п

Сформулированные вше вспомогательные предложения позволяют доказать результат, который является основным в этом параграфе. Теорема 4.1.2. Пусть существует единственная функция f е

Оля которой /*Л - g, и яп = |Qn . это последова-

тельность векторов, для которых выполнятся соотношения h

11 П '

Тогда, если для любого значения п выполнятся неравенства

е^ * < lßnIS u 6 качестве рп выбран корень уравнения

еГр) = fen > (!ГгвЬ(Яп)а(р))иг)2 /

то f f в метрике пространства (f1''. рп

Замечание.Если точное решение уравнения при данной правой части не единственно, то f —где /fx; -это рошонио, имеющее

минимальную норму.

Таким образом, если выбирать значения параметра р по указанной схеме, то семейство сплайнов J дает решение задачи 2.4.1.

рп

§4.2.0 погрешности аппроксимации решения интегрального уравнения в свертках. В этом параграфе точное решение / предполагается болов гладким, чем в предыдущем параграфе. А именно, h с В*, f € c2m, h - ihix ) )N~'; T (b) * 0, n = 0,...,H-1. В качестве

коп _

приближения к функции / используется сплайн s™(N,z,x), изученный в предыдущем параграфе. Получены асимптотические формулы и оценки

для разности S?pm(N,z,x)lB' - fla)(x), э < m.

§4.3.Сходимость приближенных решений обратной задачи для травления теплопроводности. В этом параграфе показано, что предложенные в §2.6 приближенные рошешя обратной задачи для уравнения теплопроводности на кольце сходятся к точному решению при уменьшении уровня погрешностей и при сгуцении сетки при надлежащем выбор« параметра. Этот выбор, как и в случае интегрального уравке-, ния производится на основе принципа обобщенной невязки. В качестве приближенных решений обратной задачи 2.6.1 используются сплайны s2pm(N,z,x), определенные в §2.6. Отмотим, что оценки, необходимые для применения принципа обобщенной невязки имеют специфические черты по сравнению с соответствующими оценками §4.1.

§4.4.Сходимость приближенных решений задачи Копи для уравшз-мя Лапласа, в этом параграфе показано, что предложенные в §2.7 триближенше решения задачи Коши для уравнения Лапласа сходятся»« точному решению по мере уменьшения уровня погрешностей и сгущения сетки, при надлежащем выборе параметра. Этот выбор, как и в пре-дддувдх случаях производится на основе принципа обобщенной невязки. Схема рассуждений здесь близка к схеме §4.3.

Глава 5.ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В СВЕРТКАХ НА ПОЛУОСИ. О этой главе рассматриваются интегральные уравнения первого рода типа свертки на полуоси 10,^1. А именно',

8(х) = ilh(x-y)f(yjay = h*f(x).< (5.1)

Здесь g -известная функция, h -ядро уравнения, f -искомая функция. При х < О с,(х) = h(x) = f(x) = О. Решение этого уравнения так ¡те, как и соответствующего уравнения в классе периодических функций является некорректной задачей. В некоторых случаях для ревюиия уравнений тг.ла С5.1) мозщо применять модифицированный

алгоритм главы 2. Однако, если функции / и h не стремятся к кулю йри то эта методика неприменима- Кроме того, известкой спе-цифшой обладают уравнения, у которых ядро h имеет степенные особенности дробного порядка.

В этой главе рассмотрен вопрос о классах корректности урав ьенЕй типа (5.1). Предложены несколько регуляризующих методов приближенного решения этих уравнений, использующих сплайн-функции, в частности, сплайн-функции нулевого и дробного порядка. В связи с втим установлена некоторые свойства производных дробного порядка. Подобные сойства в периодаческоом случав установлены другими методами P.L.Butzer'om. Как и в периодическом случае, сплайны, ввиду их связи с оператором свертки, являются естественным аппаратом для решения уравнений в свертках.

§5.1 .Корректность уравнений в свертках на полуоси. Как отмечалось выше, решение интегрального уравнения первого рода является некорректной задачей. Некорректность эта вызвана сглаживающим действием интегрального оператора. Для уравнений типа (5.1) это сглаживающее действие.удалось проследить довольно подробно. Результаты этого рассмотрения приведены в конспективной форме в §5.1. Полное изложение этого материала имеется в работе t1).

Везде в этой главе для всех элементов F, suppF с (о,®;. Обозначим символом С° пространство непрерывных функций, топология в

котором задается системой полунорм |fj£ = mx\F(x) |, а>0. В даль-

жао.а)

нейшем используется дифференцирование и интегрирование дробного порядка. Обозначим Yx(x) = Здесь Т(%) - это г-функция;

-обобщенная функция. Если \>о, то х^ = j\ Отметим, что

Y°(x)= й(х), Производной дробного порядка от обобщенной функции F будем считать свертку в смысле обобщенных функций; fD*i' = Y~X*F. Операторы Ф образуют параметрическую группу: ¡dV^ = ü/-*^, с единицей üPf = Q*F = f.Eorai Л. >о, то оператор Ю-*" это оператор дробного интегрирования

tx/(x) - D~Kf(xj = jfajJS(х-у)х-лГ(у)ау .< Определим шкалу пространств = iíf топология в которых задается системой полунорм = ja^Fj". Будем гшсать G ^ F, если G — F в топологии С\ Будем называть множество неотрицательных чисел множеством типа 1 если оно не более, чем счетно и не имеет предельных точек на конечном расстоянии. Будем обозначать L0 пространство локально суммируемых функций, i/" --- Uf^L0,

Ь = и ЬА. Обозначим символом в* пространство элементов вида

Бх{х) = ГО'^о^^к^о = О, (5.1.3)

которые ми будем называть сплайнами порядка Л. (степени Х-1). Здесь ОСлг; - это С-Функция Дирака, а (х^) - множоство типа 1. Отметим, что если X натуральное число, го Бх(х) является сплайном в обычном смысле. Сплайны порядка о будем называть субсплайнами. Обозначим символом пространство элементов вида Р(х) =■ *

+ ь'хв(х), где С е Ь. Символами («*) будем обозначать подпространства таких элементов пространств (вх) у которых в представлешш (5.1.2) с*0 / О. считается в этом случае 1. Обозначим еще С = и с\ в = и вл, в = и в\ в = и в = и в*.

л \

В этой главе символ Т обозначает оператор, действующий по

формуле т Р = &*?. Элемент е { * обратим, если существует обобщенная функция Р = (зиррР с i0.oc.jj такая, что ?*8 = Ых).

Теорема 5.1.1 .Пусть £ с <г\ Тогда Г С* = СМА"; Те*1 = в*4**.

Оператор Т непрерывен из С^ в

Замечание 5.1.1.Отметим, что пространство в является полугруппой относительно свертки, с единицей Ых).

В этой главе предполагается, что в уравнении Е(х) = И*/(х) ядра И с е, а искомые функции / € С.

Теорема 5.1 .2.Пусть % € «о- Тог3а В обрати» и ¿Гтб В этом случае оператор Т^ имеет обратный и Т~1 = Т _1.

Следствие 5.1.1 .Веди в уравнении Л е то Оля лаОо~

го д € С^ существует единственное решение / е Паки* решени-

ем явл$&тся / = Л-1

Уточним понятие приближенного решения уравнения с случае, когда известна лишь функция г(х) = .1\*{(х) *■ е(х), где погрешность е(х) € С1".

Определение 5.1.1.Пусть известна Не и г(х) = Н*/(х) + е(х) (/ -неизвестный элемент С^. погрешность е € CVJ. Пусть каждой, реализации е поставлен в соответствие элемент / € С*1. Если для- ка-, ждой окрестности нуля и1* с с" найдется окрестность нуля 71'с с" такая, что из о V1' следует то семейство функций Г/в,1 назовем э-приблакештм решением уравнения в классе С^.

Задача 5.1.1. Пуспь Л е / -неизвестный элелент С^, и известна функция г(.х) = П*/(х)*е(х) € С", где е(х) -функция погрешностей. Тресуется найтм а -пршЗлигенное решение / уровне

-гения g=h*f в класса Сц.

Зацэчакаа 5.1.2.Самый очевидный способ найти приближенное решение sто взять /в= Но. согласно следствию 5.1.1, /е с € Cv~\ Если vm+k, то будет являться з-приближенным решением.

Обычно погрешность является существенно менее гладкой функцией, чем указано в замечании. Наиболее распространенным является случай, когда известны лишь дискретные отсчеты правой части, К тому же с погрешностями. Точно найти Л-1 такке редко представляется возможным. В этом случае задача становится некорректной и требует регуляризации.

Определенна 5.1.2.Пусть П «J и совокупность (h j е к.

Если iTi J-1 *F h~]*F VP е Cv, то назовем (h ) равномерным

а-0 .

* регуляризатором (РР) для Л е в классе «*.

Теорема 5.1.3.Пусть h е / -неизвестный кал элемент С**, и г(х) = h*f(x)+e(x) с Cv, v < А.41. Пусть (h^l равномерный регу-

ляризатор Оля h б классе в*, | = v-\i. Пусть / - решение уравнения z(x) = ha*Ta(x)' Тогда существует такой алгоритм выбора а(е). что fjx) является a-приближеннзим решением уравнения g=h*f.

Приведены примеры равномерных регуляризаторов.

(5.2. Сплайн-алгоритм регуляризации при h е «д. Случай 1 : X -натуральное число. Этот материал в диссертации также изложен конспективно. Подробное изложение имеется в 12).

Пусть Xv = ixk}Z-o' 370 последовательность мно-

жаств типа 1, которые будем называть сетками. Будем говорить, что последовательность сеток X" сгущается., если Vß > О, Va > о 3 vfp.oj: Vv > vfp.a; " ф < P> ni® ^ a •

Задача 5.2.1.Пусть известна функция h е последовательность сеток Xv= v=1,2..., которая сгущается при v-«», u

последовательность чисел ev-0 при v-«». Пусть / -неизвестный элемент 0°, и имеется последовательностью zv = (h*f(x^)+ где ' оюноошельно погрешностей известю, то |е£| < ev tfft. Требуется наСти последовательность функций Jv £ С0 maicux, что при v-®

В втом параграфе Л. = m -натуральное число, /{к) означает сверточную степень элемента f.

Пусть h с в™, Это значит, что можно записать

h(x) = Ym*IG(x) f S-iV^k^ * гда Cel. Обозначим

Fix; = T* ^^rtjñrx-j:,с em, QfjrJ = Ym*G(x). Тогда /iCt; = + i'fxj + Qfx;. Обозначим ra(xJ = a ^0<5("x-afcJ, yfm) „ ^ ? «o, = ^a^0FiaRJCrx-añJ,

Qa(x) = a^_0Q(nút}6(T-ali). Построим субсплайн

hjT) = 1' f1!) / 7 íx) + Q (\r; €«?. (5.2.3),,

ex a a a u

Формула (5.2.3) задавг некоторую рогуляризупцую дискретизацию ядра уравнения. А именно, главное слагаемое У™ заменяется разностным соотношением, а остальные подвергаются непосредственной 'дискретизации. Тем самым аппроксимирующий ядро субсплайн становится обратимым и усиливается главная диагональ треугольной матрицы, которая затем появляется при обращении его. При непосредственной дискретизации эта диагональ была бы нулевой.

Пусть искомая функция / с Cq~2. По данным zv построим локальный СМШ s4(zv,x) степени q-f, аппроксимирующий функцию g. Пусть

h е в™. Положим f" = ñ'^S^f zv;.3to сплайн степени q-1.

ила ^

Теорема 5.2.4.Пусть h € га > О-натуралъное число. ТогОа существует такая процебура выбора параметра а - a(v), что последовательность функций Jv = ядляеяся решениел задачи 5.2.1.

Отмотим,- что получен тем самым алгоритм устойчивого решетя задачи 5.2.1. А именно, нужно построить сплайн S<i(zv), затем

субсплайн Ла, найти обратный ñ~\ что нетрудно сделать, обращая

треугольную матрицу. Также без труда можно получить ñ^*S4(zv).

Решение задачи 5.2.1 в случае,когда к дробное число, рассматривается в диссертации подробно. Для этого установлены некоторые факты, касающиеся производных и интегралов дробных порядков, которые представляют и некоторый самостоятельный интерес.

55.3. Асимптотика и оценки биномиальных коэффициентов. Этот параграф'имеет вспомогательный характер по отношению к §5.4.

§5.4.Проазводные и интегралы дробных порядков. Если F € С"1, \ € (т-1,т), то можно явно записать ffi^f:

= n(*-¡»m-K-'Flml<vw * 2=0 W- •

Помимо указанного выше спродзлешш производной, существует также определись Гпкчасльет-Леттжова. Введем разностный оператор

Опаратори образуют параметрическую грушу: = ш^. Про-

изводная ©х в смысле. Гршвальда-Летникова определяется так: ШКР(Х) = ^др^Сх). А.В.Летниковым (1868) показано, что если ¡' с

С С", X е (т-1,т), то Е^Р(х) при а*0 сходится поточечно к ДЛРСХЛ В этап параграфе установлено, что сходимость И^Т(х) к ®кР(х) имеет место для любой функции ? е Сх, причем равномерно по х ва любом интервале [О,а). Другими словами, если Р = 0*/. где / - непрерывная функция и \ > О, то Ю^РСх.) ®кЕ(х) = /Сх,). Таким образом установлено, что оператор ИГ является в определенном скаслэ ксазиобратным к 11и тем самым доказана эквивалентность двух определений дробной производной.

Отметим, что определение Летникова может быть распространено и на функции, для которых нельзя выписать интегральные формулы производной а также на обобщенные функции.

Введено определение В-сплайна дробного порядка, установлены некоторые свойства его. Получена квадратурная формула для интегралов дробного, порядка.

$6.5. Спдайн-алгоратл регуляризации пра П € а*. Случав 2: \ -дробное число. В атом параграфе рассмотрено приближенное решение уравнений с сингулярными ядрами, имеющими степенную особенность. Рвгуляризуидйй алгоритм состоит из следующих этапов:

1.Выделение степенной особенности ядра. Свертка функции с этой частью ядра соответствует ее дробному интегрированию.

2.Замена степенной особенности ядра соответствующим разностным выражением и дискретизация оставшейся части ядра.

3.Обращение получившегося субсплайна..

4.Аппроксимация правой части уравнения, заданной в дискретной форме с погрешностями, локальным сплайном.

5.Свертка субсплайна, квазиобращаицего ядро, с локальным сплайном, аппроксимирующим правую часть.

Параметром регуляризации служит шаг сетки. При доказательстве сходимости алгоритма существенно использованы установленные 9 $6.4 свойства дробных производных.

ПРИЛОШШ. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПОРЕШЕНИЮ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В СВЕРТКАХ ПЕРВОГО РОДА. Приведены результаты ка числительных экспериментов по решению интегрального уравнения в ойорткох первого рода по методике СОИ. Тооротичоскоо описаний

этой методики приведено в §5 2.5, 4.1, 4.2. Целью »кспоркмоитон являлось сравнение различных способов восстановления решения интегрального уравнения по известным дискретным значениям ядра и сильно зашумленным дискретным значениям правой части. В приведенных результатах экспериментов видно, что непосредственное применение алгоритма §2.5 с использованием сплайнов, степень которых согласована с гладкостью искомого решения и ядра уравнения при сильно зашумлоншх дискретных значениях правой части дает заметное преимущество по сравнению с традиционной методикой, основанной на ДПФ. В некоторых экспериментах вместо непосредственного использования массива правой части была проведена его предварительная фильтрация при помощи сглаживающих сплайнов. Интересными представляются результаты экспериментов, которые заключались в предварительной фильтрации прореженных массивов, восполнении массива по значениям сглаживающих сплайнов и последующем применении методики СОИ. При указанной обработке данных, полученных на редких сетках удалось добиться результатов восстановления практически не хуже, чем на частой сетке и значительно лучших, чем на редких сетках без предварительной обработки.

В заключение можно сделать следупцие вывода: 1.Проведено исследование свойств локальных сплайнов дефекта 1 на равномерной сетке. Обнаружены свойства В-сплайнов, которые явились базой для изучения как простейших сплайнов, так и сплайнов, обеспечивающих максимально возможный порядок аппроксимации. Разработан метод исследования и построения сплайнов, основанный на асимптотических формулах для остаточных членов аппроксимации простейшими сплайнами. Таким путем построены и исследованы сплайны минимального шаблона, обеспечивающие максимально возможный порядок аппроксимации функций и их производных, локальные сплайны, квазиинтерполирупцие функции и их производные, локальные сплайны с регулирующим параметром. Последние два вида сплайнов введены в диссертации и явились эффективным средством для восстановления функций и их производных по значениям функции на равномерной сетке, точных или с погрешностями.

2.Для построения и исследования локальных кубических сплайнов на произвольной сетке разработан метод, основанный на связи этих сплайнов с '.гнтерполящтоннши многочленами. Этим методом получек! удобные формулы, для построения таких сплайнов, явное представление точшо оценки остаточных членов аппроксимации.

3.На Саза периодических сплайнов на равномерной сотке построена сплайн-операционное исчисление. Это. новая методика исссле-дования и численного решения задач, связанных с оператором свертки. при наличии дискретных данных, возможно, с погрешностями, ко-торуа можно рассматривать в качестве вычислительного гармонического анализа. Особо следует отметить использование указанно?, методики для. численного решения некорректных задач. Естественным Образом сплайн-операционное исчисление сочетается с такими классическими методами как метод коллокации метод Галерккна и др..

4.Рассмотрены сплайны дробного и нулевого порядка на полуоси с целью применения их к численному решения интегральных уравнений 8 свортках на полуоси с сингулярными ядрами, имеющими степенную особенность. Для этой же цели исследованы дробные производные. Предложены устойчивые алгоритмы решения таких уравнений.

Следует отметить, что разработанные в диссертации метода могут быть применены к значительно более широкому кругу задач, чем указанные выше. Так, локальные сплайны могут быть использованы для решения интегральных и дифференциальных уравнений на всей оси или полуоси, а также в многомерном случав; для практического вычисления преобразований Фурье и Лапласа, для обработки дискретной информации в режиме реального времени и т.д..

Методика сплайн-операционного исчисления может быть применена к решению прямых и обратных задач для многих видов дифференциальных, интегральных, разностных уравнений в одномерном и многомерном случаях и систем таких уравнений. Могут быть исследованы при помощи указанной методики сплайны дефекта большего, чем один. Эти метода могут быть использованы при решении физических и инженерных задач, связанных с обработкой дискретной информации, в частности, в цифровой обработке изображений, компьютерной томографии, акустике, анализе геофизических и метеорологических данных, спектроскопии и т.п..

Основные публикации по теие диссертации

1.В.А.Кэлудев. о корректности одного класса уравнений в свертках .Журн.бычисл.матем.и матом.физ. 1974, т.14, n.3, стр. 610-ьза.

2.В.А.Колудов. Приближеннее репонио одного класса уравнений в свертках при помощи сплайнов. Журн.вычисл.матем.и матом, фкз. 1975, Т.15.N.3,стр.573-591 .

3.В.А.Желудев. Устойчивое решение одного класса уравнений в свертках. Математика.Известия ВУЗов. 1981,N3,стр.37-45.

4.в./.Же.пудев. производные дробного порядка и числопное раае-пие одного класса уравнений в свертках. Дифференциальные уравно-НИЯ. 1982,Т.18,N.11, стр.1950-1960.

б.В.А.Желудев. Асимптотические формулы для локальной сплайн-аппроксимации на равномерной сотко. Докл.AJÍ СССР, 1983, т.269, N.4, стр. 797-802.

6.В.А.Желудев. локальные квазшнтерполяциошше сплаШш и преобразования Фурьо. Докл. АН СССР, 1985, т.282, Н.6, стр. 1293-1298.

7.В.А.Жвлудов.00 остаточном члене локальной сплайн- аппроксимации на равномерной сетке.ВИНИТИ, N.2251, В-87, 1937г.

б.В.А.Желудев.О локальной сплайн-аппроксимации па произвольных сетках.Математика.Известия ВУЗов.1987,N.8, стр.14-18.

9.В.А.Желудев.Восстановление функций и их производных по сеточным данным с погрешностью при помощи локальных сплайнов. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1987.т.27. N1. С.22-34.

10.В.А.Желудев.Локальная сплайн-аппроксимация на равномерной сетке.Журн.вычисл.матем.и матем.фнз.1987.т.27.И.9. С.1296-1309.

11.В.А.Желудев.Об остаточ1шх членах аппроксимации для локальных сплайнов второй и четвертой степеней.Математика.Известия ВУЗов 1988, N6,стр.6-1 5.

12.В.А.Келудов.Оценки остаточных -членов аппроксимаций для кубических квазиинтерполящюшшх сплайнов.В кн."Аппроксимация сплпй-. нами (Вычислительные системы,вып 128)." Новосибирск. 1988, стр.6074.

13.В.А.Жолудеп.Представление остаточного члена аппроксимации и точные оценки для некоторых лекальных, сплайнов. Матоматлчесгато заметки.1990, Т.-18, 11.3, с.54-65

14. В. А. Кеду дев. Операционное ислислотю, связанное с периодическими сплайнами. Докл. АН СССР 1990, т.313.N.6.'с.1309-1315.

1б.В.А.Желудев. Локальные спляйнн с регулирующим параметром. Журн.вычисл.матом.и матем.физ.1991,т.31, U.2, с.193- 211.

Ió.V.A.Zhelu'lcv. spline-operational calculu3. Int. Coníerenco -on Approximation theory.Abstracts. J.Bolyai Bath.Soc..Kecntect, Hungary, 1990, pp 72-73.

МП1,7 "(СУРС'ЧЗак. 233-9].