Исследование решений некоторых задач для уравнений с частными производными, содержащих малый параметр в главной части тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Иркутский государственный унноерситет

Р Г 6 од

2 3 ИЮН 1997 "',п,впх »*«»»•«•

ЗАХАРОВА Ирина Валентиновна

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ, СОДЕРЖАЩИХ МАЛЫЙ ПАРАМЕТР В ГЛАВНОЙ

ЧАСТИ

01.C1.02 - дифференциальные уршжннпг

Аптореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 199"/

РиСчпа. шлшлиепа па кйфсирс дифференциальных и иьтегртилшх ураииеиий Иркутского государственного университета.

Научный руководитель - кандидат фнзико-магематнческих наук, доцент В.Г.Труби"

Официальный ононенты - доктор фиэико-ыатецатических наук. Ю.Ф. Орлов,

кандидат фн чико-иатсиатическиж наук, доцент С.С.Болокитин

Недушах организация — кафедра общей иатеы&тикн факультета

вычислительно* ыатеиатнки н кибернетики МГУ

З&шнта диссертации состоится 30 нюня 1997г. в часов на заседании Совета К 003.64.01. но защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Иркутской вычислительной центре СО РАН по адресу: г. Иркутск, уи.Лермонтова, .134, к.407.

С диссертацией нож но познакомиться в библиотеке Иркутского вычислительного центра (ул. Лермонтова, 134).

Автореферат разослан" " 1997г.

Ученый секретарь Совета к.ф.-м.н., с.н.с.

А.В.Смницыя

Общая характеристики раПоты

Актуальность темы

Неослабевающий интерес к методам малою параметра обусловлен прежде всего их большой прикладной значимостью. Асимптотические методы решения задач, содержащих малые параметры, ни ходят широкое применение п гидродинамике, нелинейной механике, химической и биологической кинетике, экологии, электродинамике. Хорошо известно, что при составлении математических моделей различных физических, химических, биологических и других процессов неизбежно приходится пренебрегать теми или иными малыми величинами, то есть всякая математическая модель является идеализированной, упрощенной. Естественно возникает вопрос о том, насколько хорошо такая упрошенная модель описывает процесс. В математической постановке этот вопрос часто сводится к проблеме исследования зависимости решений соответствующих уравнений от Малых параметров. Среди работ, заложивших теоретические основы методов малого параметра, следует отметить прежде всего труды Л.М.Ляпунова и Л.Пуанкаре. Интенсивное исследование сингулярно возмущённых уравнений началось в конце сороковых - начале пятидесятых годов. Одними из нервых'п этом направлении были работы Тихонова. Эффективными методами решения сингулярно возмущённых задач являются метод пограничных функций Л.В.Васильевой, метод Л.А.Люстерника и М.И. Вишика, метод НКВ, метод сращиваемых разложений, метод регуляризации и другие.

В том случае, когда некоторое явление моделируется дифференциальным уравнением, вопрос о влиянии малых параметров на данной явление сводится к изучению зависимости решений уравнения от малых параметров. Особенно сложная ситуация возникает тогда, когда малые параметры содержатся п коэффициентах при старших проиэвоц-ных, а при обращении в нуль этих параметров уравнение вырождается. Для обыкновенных дифференциальных уравнений это обычно приводит к обращению в пуль коэффициента при старшей производной искомой функции, то есть предельное уравнение имеет более низкий порядок. В этом случае уравнение с малым параметром называется сингулярно возмущенным.

Для уравнения с частными производными картина более разнообразна. Обращение в нуль некоторых параметров в главной части уравнения может приводить не к обращению в нуль всей главной части уравнения, а к изменению типа уравнения. Так как для уравнений в

частных производных для каждого типа уравнении корректны свои задачи, ти представляет интерес исследование перехода решения некоторой задачи для уравнения с малым параметром и решение задачи для предельного уравнения. Эти »опросы для уравнении с четными производными всследсвыны недостаточно. Решению таких задач, а так же задач к ним примыкающим посвящена работа, Захаровой И.В,

Цель работы состоит4 в исследовании перехода решений задач для уравнений эллиптическою и гиперболического типов, содержащих малый параметр л главной части, в решении задач для предельных уравнений, когда малый лараметр стремится к нулю. Кроме того, пре-' следоиалась цель при моли п, схему метода регуляризации к задачам с неполным спектром u и задачам для порождающихся обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с часньши производными.

t/iÛ.,îïîi*,L,'iiniîl1Ia Результатов, полученных автором, состоит в следующем:

•- в отличие от работ, в которых ранее рассматривались предельные переходы при стремлении малого параметра к нулю в фундаментальной системе решений уравнений эллиптического тина с постоянными ко'.-ффициеич ами, и данной работе проведено исследсшание задачи Дирихле длк уравнения с переменными коэффициентами; - aiiajioiií'iiK) ва'ледоьана задача Коши для уравнения гнперболическо-i-o тина, при :/¡om с помощью предельного перехода в решении установлено, что дни пая задача, является типичной сингулярно возмущенной задачей ;

• кроме тот, л in ору удалось применить известную схему метода регу-ляриз.щип в .задачах, вопрос о решении которых до си.х пор оставался оифычым и для запач, которые ранее исследовались другими метода-, ми.

Пн^кткчсскля значимость. Диссертация выполнена в соответствии с iссбюд*:ечной научио-исслсдоаатсльской темой ИГУ N 78028613 ' l'fi^pao'/rha. чечрии и практики решения дифференциальных, мкте-п-альиых h шгтегро-днффсрецциальных уравнений-'; Mb'ic.pi'íiJin диссерчании использоь'алнсь в учебном процессе - и спецкурса:. "Сп>ч уичрни рммущеипые урит:еииа"м " Асимптотические мг-тодьт ре-.нсния дифференциальных уравиеп>;7'.

Aupnfíur/^it рнЯотаг. Основные результаты, и ключе; иные в диосер-1 нцноннуп' работу, п виде докладов щдуюч.шлялись на на V-й конференции молодых учёных Иркутской области (Иркутск, 1087г.), XXVIII

Конференции молодых ученых механико - математического факультета МГУ 1996 г. Результаты диссертации '/Осуждались на кафедре спецкурсов высшей математики Московской.! •нер'.ч-.; чмсского института, неоднократно на научных семинарах Иркутского лычислите.чыюго центра СО РАН и объединённом семинаре кафедры мачематичкско-го анализа и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Иркутского госуниперситета.

ПуСликнции. Оснопное содержание диссертации опубликовано и пяти работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий оЕгьем диссертации составляет 9(i.страниц. Список литературы содержит 31 наименование.

Краткое содержание работы

По введении обосновывается актуальность темы, дастся обзор работ, примыкающих к тематике диссертации и краткое изложение содержания глав.

• В нерпой главе рассматривается задача Дирихле в полупространстве для уравнения эллиптического типа с переменными коэффициентами и малым параметром при старшей производной:

а(х,у)и1х + 2Ь{х,у)и^ + d(x,y)Um H- eUtt - cU, = 0, (1) i/(*,y,0) = /O,y), (2)

с - малый параметр, е > 0, с — const, a(x,y),b(x,y),d(x,y) G /(г,у) - Непрерывная в некоторой области D+ = {i > 0}, f{x,у), U(г, у, г) стремятся к нулю на бесконечности.

При е ■— 0 исходная задача становится задачей Коши для уравнения параболичесхого типа. Иными словами, соответствующая задаче (1),(2) предельная задача имеет пил:

I.0W = а(х, y)Wxx + 2 Ых, у, )WXV + d(x, y)Wm - clV£ = 0. ' (Л) W(x,y,0)=*J{x,t). (Л)

Таким образом, при с ~ 0 понижения порядка но произошло, но изменился тин уравнения. Далее устанавливается соответствие между задачей (1),(2) и предельной задачей (3),(4). Вначале строится точное решение задачи (3),(<1). Для этого методом параметрнкс.а строится фундаментальное решение уравнения (3). Функция парамогрикса определена формулой:

с(<Цл - б)2 - 260с - ЬНг, - + а(у ~ л€Лр(------^---_____-:-->•

Г1 рассматривается как "главная часть" фундаментального решении Г уравнения Ь^У — 0. В спою очередь, Г определяется в форме:

Г(А>,а,г) - ад*;Н,т) + Ц ¡^¿{ХЛъоЩщо&т)*^ (6)

где X — (г,у), 2 — Ф определяется из условия, что Г должно

удовлетворять уравнению £оГ = 0. Тогда имеет место соотношение:

. Ф(Х, I; 2, г) - А2(А', *; Е, г) + / А2(Х, I; г, а)Ф(*. а; Е, г)Лх<Ь, (7)

где

1 а2 '

<; а) = -(а(г, у) - а(гь *2))—у,г,, о) +

С £7Хг

1 д2

1 а2

у) - <*(*!. 2(х> У•1:

В свою очередь, уравнение (7) имеет решение Ф:

00

■ Ф(ХЛЕ,т)=£(Л21(Х,1-,Е,т), 00

Г ДО

= кг

(Лг)„+1 (А',<;~,г) = (лад ¿5*. а)) X

X (Л2)„ (г, от; Е., т)с1г(1(г. (10)

Решение задачи (3),(4) определяется в виде:

' со

/ ад<;Е,0)/(Е)^Е. (11)

Далее строится точное решении задачи (1,1,(2). Вначале вводится новая неизвестная Фушснип но форму-

ле:

1/(1, у, М) = У{х,у,1,е)*х(12) Тогда уравнение (1) примет вид:

а{х,у)\'ях + Щх,у,)У;и + й{х,у)\'У11+еУп- -V ^ 0. (13)

Фундаментальное решение уравнения (] 3) строится методом функции Леви. Для уравнения (13) функция Лепи имеет иид:

—2еЬ(х,у)(х - у\){у~ уг) еа(х, у)(у -

+(а(х,у)^х,у)-Ь3(х,у))(1~г)'!))Ф], 1 (14)

где - функция Мэадональда, Л" — (х,у,1),У = (у\,у2, т).

Для функции .¿(Яу У) при достаточно больших г справедливы оценки:

оь дЬ ог

о? V о7д-у~0{еМ~рг))'

где г - расстояние между течками Л и У. С учётом (12), функция' Леви для уравнения (1) определяется, выражением:

-2еЬ(х - у\)(у - уа) + са(у - у2)3 + М ~ Ь2){1 - г)')-"1 х

хехР(-25----* *

.ФФ ~ У\)7 ~ 2еЬ(х - у,)(у - у,) + еа(у - у2)2 + М - - г)а]'/2\

~2елД(1 - Ь2 ) '

В последнем выражении, устремляя е к нулю, получим

1шхЬ(Я.У,е)и---х

'-»о 47ГтЛ(1~№(1~Т)

с(й(т. - <л)2) - Щх - ух){у - уа) а(у - т)2), ..... хехр(------_____--' (16)

Последней выражение полностью совпадает с выражением (5). Таким образом усталавлинается, чю функция Лсви для уравнения (1) переходит в собственную функцию для уравнения (3).

Затем строится фундаментальное решение уравнения (12) как решение интегрального уравнения:

д(Х,У,е) - Ь(Х, У, е) + ¿¿(Я.С.еЖС, У.еК, (1?)

которое, в сьою очередь, имеет решение нида:

6(А\ У,е) - Ь(Х,Г,в) + t /л ¿(Х,С,е)Л:(п)(С,К,еК, (18)

где

К\Х,У,е)--=К(Х,У,е), (19)

А'М(Д', у,е) = ¡о А'СЛ'/,^«"-1^, У,ФС, (20)

=----7ПЛ +----- -------------------

с с Зхду

. Ф.У) -¿{У\>Уг)&Ь с -+---(21)

Показывается, что

ШпК(*,У) = ЛИ(Х,«;*,а). (22)

А с учетом замены (12) устанавливается, что и главное фундаментальное решение уравнения (1) при е —0 переходит в фундаментальное решение уравнения (3).

Далее строится решение, задачи (1),(2) и с помощью предельного перехода при с --г 0 показывав гея, что решение задачи (1),(2) при е 0 переходит и решение задачи (3),(4).

На основании выше излаженных рассуждений формулируется

Теоргша./&лы с уравнении эллиптического типа (]) с > 0, а остмь-¡.ыс коэффициенты ограничены в полупространапве I > 0 и удовлетворяют условию Гёлдс.ра с показателем л с полупространстве 4 >

О, то решение задачи Дирихле для уравнения (1) в полупространстве I > 0 при е О стремится к решению задачи Коши для уравнения параболического типа, которое получается из (1), если в нем положить £ = 0.

В п.1.3 рассматривается задача Дирихле а полупространстве для уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами, когда неизвестная функция зависит от двух пространственных переменных. Эта задача, играет роли не только модельного примера, но и является предметом отдельного исследования. Смысл этого исследования заключается в том, что все предельные переходы и выкладки здесь видны ясно и результаты получаются в виде классических выражений, как, например, интеграл Пуассона.

Во второй главе диссертации п. 2.1 рассматривается задача Коши для уравнения в частных производных гиперболического типа с мальм параметром при старшей производной :

и„ - еик ~ аЪ\ = 0, (23)

СФ.О.е) = /(*),• (24)

£/<(*, О.е) = <?(*), (25)

где /(т),д(х) - абсолютно интегрируемые функции. При е —у 0 задача (23) - (25) становится задачей Коши для уравнения параболического типа.

Вначале устанавливается соответсвие между задачей (23) - (25) и предельной задачей. Для этого методом Римана строится точное решение задачи (23) - (25) л.2.2.

Аналогично случаю, рассмотренному в п. 1.4 вводится новая независимая переменная ^и новая неизвестная функция по формулам: • ^ <2в>

и {х, 0 - V (х, О ехр~&. (27)

Задача (23) - (25) принимает вид:

- V« + —V = 0, (28)

У(х,0 ,с) = /(х), (29)

-- А

1^,0 + (30)

Функция Римана. для задачи (28) - (30) имеет вид:

(31)

где С = ( — х,11 — £ + х. По формуле Римана выписывается решение залами (28) - (30), а с учётом замены (20),(27) и решение задачи (23) -(25) в явном вида:

1!{х, £, е) = е » {-*—--+

*

+2 2/с7(-УЕС - г + хГе-х){--/К, - I

(32)

Далее показывается п.2.3, что предел (х, £, г) при е 0 совпадает с интеграле"I Пуассона - решением задачи Коши для предельного уравнения:

(/(х, ?) = /(?). . (34)

Но в данном случае решение предельного уравнения (33) не удовлетворяет второму начальному условию (25). То есть область определения предельной задачи шире области определения допредельной задачи, и а окрестности I = 0 возникает область пограничного слоя, чего не наблюдается в задаче для уравнения эллиптического типа ( гл.1).

В п.2.4 строятся решение задачи (23) - (25) в виде регудяризованного асимптотического ряда.

Определение. Асимптотические ряды по степеням малого параметра, в которых коэффициенты не содержат резонансных членов по неограниченно растущей независимой переменной, называют ре-гуляризооанными.

Но для задачи (23) - (25) в полной мере применить методику метода регуляризации не удаётся, так как спектр матрицы предельного оператора является неполным. Задачи такого сорта называют задачами без спсктрн или с неполным спектром. Однако, в рассматриваемой задаче с помощью прямого преобразования Фурье удаётся обойти проблему неполного спектра и применить метод регуляризации на отдельном этапе решения задачи (23) - (25). Дан алгоритм построения коэффициентов регуляризованного ряда, построены нулевой и первый член асимптотики.

В третьей главе рассматривается задача Гурсадля уравнения в част-• ных производных, в котором при £ — 0 не происходит понижения порядка уравнения, во последнее приобретает особенность. Говоря о таких задачах, как правило указывают на степенной характер погранслоя.

(с + х)и11(х,г,е) + а(х,г}иг:{х,х,е) =/(х,г,е), ' (35)

и(х,0,е)-»(х,е) 0 < х < а, (36)

.и(й,г,£) =7(*.г) 0 < г < 6, (37)

где е — малый положительный параметр,

/(*,*, е) = /о(«,*) + еЛ(*,г) + • • • +епД(*, *) + 0(еп+1),

7(г,е) = 7о(г) + еЪ{г) + • ••• + еп+'7п(г) + 0(сп+1),

ц(х, е) . = д0(«) + бЩ (х) + ---+ сп(х) + 0(=*+1).

Функции а(х, г), ¡(х, г,с) для простоты считаем бесконечно дифференцируемыми, 7(2,г), /1(х,е) -непрерывно дифференцируемые, а(ж,0) ^ 0; 7(0, с) /<(0, е). Далее излагается алгоритм построения асимптотики задачи (35) - (37). Вначале рассматривается вспомогательная задача:

(е + г)^(г,г,с) + а(аг,^)у(аг,гг,е)у(г,^|е) = /(ж,хг,е),' (38) у{х, 0,е)=0,

в которой

у(®,2,е) = 11х{х,г,е) И

(39)

Решение задачи (38),(39) ищется как сумма диух функций:

£

y(x,z,e)-w(x,z,e)+g{x,z,£),{t--). (41)

Функция w(x,z,e) — регулярная часть решения — представляется рядом:

w{x,z,e)=w0(c,z) + £wi(x,z)^----+ £nwn(x, z) + 0(e"+l), ° (42)

функция g(x,z,t,e) — степенной пограничный слой — строится в виде произведения двух функций:

g{x,z,t,e) = v{x,z,e)€{x,t,e), (43)

где

v(x,z,e) = v0{x,z) + evl{x,z) + --- + £nvn(x,z)+O(er-+l), (44)

H(x,l,e) = e0(x,<)+ei>1(x,t) + ---4 e^z, i) + 0(£n"")- (45)

Степеной погранслой g(x, г, £, с) строится в виде ряда по степеням е, коэффициенты которого <jk{x, z, t) определяются по следующим правилам:

g0(x,z,t) = vo{x,z)v0{x,t),' (46)

к

дк{х,г,г) = ^Evi-k(x,z)vi{x,t). (47)

¿=0 р

Функции ш;(х,г) - коэффициенты ряда (41) - определяются из рекуррентных соотношений:

+ а(г|«)ш>-(11*)= Л,(48)

где

Ь0(х,г) - /о(х,г),

Цх,г) = /,чх,г)--4——-,

» = 1,2,3..., 12

в предположении, что для всех \щ(х,г) выполняется условие

ММ)| <

иф, (49)

где

/ > > , /" й(й.Л) - а(«,0) .

-(50)

Ci

П01 ранслой ищется как решение однородного уравнения, соотват-ствуюшего уравнению (38).

•функции Vi(x,t) определяются как решения следую:..лх за-

дач:

x!Î^.zl + (o(x,z)-a{x,Q))vi(x,z)=pi{x,z), ■ (51)

pa(x,z) - 0, • Мх.г) = + +

» = 1,2,3...

= 1, (52)

= (53)

\ 8o{x,t) = Q,

iяСм) = EÎ-ir^V-

t = 1,2,3...

при условиях

tt:o(.T, 0) + Уо(л, 0) =

wi(a;,0) + t)a(a;,Cl)+ei(ir,0) =•■ fti(x), (51)

Затем с учетом (40) выписывается решение задачи (35) - (Р7). В частности, нулевое приближение представляется в виде:

£/.(*,0 - £/(*,') I- 0, г)(1С + ть(«), (55)

где

= оЫф.СяК"1^'-1^. .. (50)

В п.3.3 решение задачи Гурса исследуется с позиций метода регуляризации С.Л.Ломова. Приципиальным моментом здесь являгся то, что решение не является составным, то есть не содержит слагаемых, описывающих отдельно зону погранслоя и отдельно зону вне его, что является отличительной чертой метода регуляризации в сравнении с другими асимптотическими методами. Вначале идея подхода излагается на примере обыкновенного дифференциального уравнения, а затем переносится на задачу (35)-(37). Аналогично п.(3.2) в уравнении (35) вводится замена (40) и рассматривается вспомогательная задача, для которой вводится регуляризирующая функция но формуле:

г = /о Т^К^ = з(!,е) (4-0 = 0). (57)

-10 к£-Г в)

Далее ищется решение расширенной задачи в виде ряда классической теории возмущений. Получены рекуррентные соотношения для определен и коэффициентов ряда. С учетом (40) выписывается главный член асимптотики в явном виде:

Уо(м)=/Огга«'омс,(м) £ шмижа{<'0)-^с+ (58)

Таким образом, иобученный результат можно рассматривать как применение идеи мет<Ца регуляризации к задачам, решение которых ранее изучалось с позиций, не позволяющих получать решение без отдельного описания области пограничного слоя.

В заключении диссертации приведены выводы и выносимые ни защиту основные результаты:

1. решение задачи Дирихле (1),(2) в полупространстве I > 0 при е —>■ 0 переходит в решение задачи Коши для соответствующего предельного уравнения параболического типа; при этом решение предельного уравнения удовлетворяет веем условиям допредельной задачи;

И

2. применение: истода регуляризации для задачи с неполным спектром и построение асимптотики её решения;

3. применение метода регуляризации к построению асимптотики решений задач для вырождающегося обыкновенных дифференциального уравнения и уравнения с частными производными;

Публикации до теме диссертации:

1. Захарова Ц.В. Степенной пограничный слой для одного класса уравнений п частных производных.// Тезисы докладов пятой конференции молодых ученых Иркутской области. - Иркутск: Иркут.ун-т, 1938. - с.5.

2. Захарова И.В., Трубнн В.Г. Степенной пограничный слой для одною класса уравнений в частных производных // Краевые задачи. -Иркутск: Иркут. ун-т, 1990. - с.12 - 18.

3. Захарова И.В. Об асимптотике задачи Коти для уравнения гиперболического типа с малым параметром при старшей производной. // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений. - Иркутск: Иркут. ун-т, 1993. - с.ЗО - 34.

. 4. Захарова И.В. Применение метода регуляризации при решении некоторых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. // Краевые задачи. -Иркутск: Иркут. ун-т, 1997. - с.Ю - 14.

5. Захарова И.В. Об одной задаче для уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами, содержащего малый параметр в главной части. // Краевые задачи. - Иркутск: Иркут. уп-т, 1997. -с.14 - 18.

ФСУУУ