Исследование сходимости и порядков сходимости некоторых семейств сингулярных интегралов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОРЯДОК СХОДИМОСТИ СЕМЕЙСТВ СИНГУЛЯРНЫХ

ИНТЕГРАЛОВ В ТОЧКЕ И В СРЕДНЕМ

§ I Вспомогательные предложения

§ 2 О порядке сходимости последовательности сингулярных интегралов типа.свертки. с бесконечными пределами

§ 3 Порядок, сходимости сингулярных.интегра-. лов ядрами - общего вида.

§ 4 0 порядке сходимости многомерных сингу-. лярных интегралов с радиальным ядром

ГЛАВА П. СХОДИМОСТЬ ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

§ 5 0 сходимости семейства сингулярных интегралов с двумя, параметрами.

§ 6 Двупараметрические. семейства сингулярных интегралов, ядра которых имеют горбатую мажоранту

§ 7 0 сходимости сингулярных интегралов зависящих от двух параметров,.к недиффе-ренцируемым функциям.

Настоящая диссертация посвящена исследованию сходимости и скорости сходимости некоторых классов, так называемых, сингулярных интегралов. При этом термин "сингулярный интеграл", в отличие от "особых"интегралов, употребляется применительно к интегральным операторам, широко использующимся в теории рядов Фурье, теории ортогональных рядов и в общей теории функций (см. Ш, [2], [3], [24] и[251) •

Одним из основных направлений классической конструктивной теории функций является построение простейших линейных агрегатов, приближающих функции из данного класса в различных фиксированных точках, или же в нормах рассматриваемых пространств.

К числу таких линейных агрегатов относятся интегралы вида

Л О. где - приближаемая функция, (ci)g) - некоторый конечный или бесконечный промежуток вещественной оси, У\>0- вещественный параметр, а K^Cijo:) - функция двух переменных { и ^ . зависящая от параметра ^ и обладающая некоторыми характерными свойствами.

Интегралы вида (0.1) в теории функций называются сингулярными, а функция Х^ЙзЭс)- ядром сингулярного интеграла. Это название, видимо, связано с тем, что в конкретных случаях ядра неограниченно растут при в точке "t= ос .

Первые результаты, относящиеся к вопросам сходимости интегралов (0.1) к значению -f (а) при фиксированном X и при были получены еще в 1909 году А.Лебегом (см.напр. [24], стр.261), который исследовал сходимость в точках непрерывности суммируемой функции |(х). Отметим, что эквивалентное утверждение было получено и Хааром (см.[1]). В дальнейшем П.И.Романовский[28] исследовал вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом (0.1).в, так называемых, d - точках, т.е. в точках, в которых она является производной своего неопределенного интеграла, а Д.К.Фаддеев - в ее точках Лебега, т.е. в таких точках X , в которых W

Указанные результаты вошли в фундаментальные монографии по теории функций и функционально^ анализу и были в дальнейшем обобщены и развиты во многих направлениях (см.[l-З],[l3] , [24-25]). Проблемы сходимости последовательностей сингулярных интегралов сыграли важную роль и в создании нового направления в конструктивной теории функций, связанного с теоремами П.П.Коровкина об условиях сходимости последовательностей линейных положительных операторов (см.[18]).

Следует отметить, что после работ П.И.Романовского и Д.К.Фадцеева теория сингулярных интегралов обогатилась целым рядом оригинальных работ советских математиков. Обобщения этих теорем на интегралы Данжуа и другие теоремы о сходимости таких интегралов были получены В.Г.Челидзе и А.Г.Джваршейшвили (см.[35], стр.224-234). Сходимость интегралов (0.1) к функции из Zp(a.)g) в точках Лебега была исследована Б.И.Коренблюмом

117] В работах С.Б.Топурия изучались сингулярные интегралы по \1 - мерной сфере (см.[15]), где имеется и соответствующая библиография).

Важные результаты, относящиеся к проблемам сходимости сингулярных интегралов типа (0.1) в обобщенных с£ - точках, в точках Лебега данного порядка и в норме пространства L^ были получены в работах Р.Г.Мамедова[19-231. При этом интегралы (0.1) исследованы Р.Г.Мамедовым и в случаях, когда условия накладываются на мажоранту ядра, причем, впервые сформулированы и решены задачи о скорости (порядках) сходимости.

Теоремы о сходимости сингулярных интегралов с бесконечными пределами интегрирования, обобщающие классические результаты о сингулярных интегралах типа Фейера, приведенные в[2], получены в работе А.С.Джафарова[141 .

Наконец, отметим еще работы[5], , [Дб] , посвященные нахождению порядков сходимости различных сингулярных интегралов.

Приведем один из наиболее общих результатов о порядке сходимости интегралов (0.1) при &=-«> , ё = 00

ТЕОРЕМА. (Р.Г.МамедовГ191). Пусть и неотрицательная функция K^Go^D удовлетворяет условиям: 1 оо v

ОС б) при фиксированных ^Х и X она возрастает по i в промежутке и убывает в [эс.?оо) ; в) при некотором фиксированном [\|V О и некотором малом ^ >0 •'

Д U-xf-t^G^d-t^0 x-Sl г) при фиксированном X и при для любого ^>0 л где О^о^ ^ /ч/ ; д) при фиксированном X и при

Если при данном значении X и при функция удовлетворяет условиям

4v л лу i v со о где ^(ос) и Н'&О некоторые конечные величины, то при ^ ( Л О

В работе[19] без доказательства отмечено, что в правой части условий ('«) можно заменить О (г) на 0 (pfk)) , где

- некоторая функция, стремящаяся к нулю при h-*o В работе Р.Г.Мамедова[22*] доказано и обобщение приведенной теоремы на функции, удовлетворяющие условию fiW, ^ с£> где g-(2c)>0 весовая функция, по которой вводится функция 0<^<CO

Q(i)=J №

I 0 Co) = i , oo < i < 0

При этом условия б)-г) накладываются на функцию ' * а условие д) - на Р . ~ . Соответственно, весовая функция 3 ч-t) рс) входит и в условия (*).

Все изложенные выше результаты относятся к сходимости интегралов (0.1) при фиксированном X . Имеется, однако, и другой подход, основанный на результатах Фату, относящихся к поведению интеграла Пуассона

Применительно к интегралу (0.1) этот подход заключается в исследовании сходимости ffro) , где эс0 - фиксированная характерная точка функции , при условии, что точка Qx'-i^) стремится к точке (х>;Ао) ВД0ЛЬ некоторого пути.

Теорема Фату утверждает, что интеграл Пуассона Рг( стремится к ^(tDo) в каждой d - точке, если (i;c0o) по любому некасательному к единичной окружности пути (см.напр. [3], стр.160, а также[il], стр.369).

Этот результат Фату был обобщен в ряде работ. В частности, в работе Р.Таберского[30] был получен аналог теоремы Фату для общих сингулярных интегралов типа (0.1) с ядром, зависящим от разности аргументов, когда а=-зг Л - % , a ы являются - периодическими функциями. При этом, в теореме Р.Таберского[Зб1 дано характеристическое описание пути, по которому имеет место сходимость Z^(ljcc) к |(2о) если "Хо -есть точка Лебега функции f. . Это описание дано в терминах ядра, а именно, указанная сходимость имеет место, если точка (осстремится к точке по любому плоскому множеству, на котором ограничена функция \oc-oc4 • К (О) л) .

Аналогичному вопросу были посвящены также и работы А.Д. ГаджиеваВД и [б]. В частности, в работе [6] найдены порядки сходимости сингулярных интегралов типа (0.1), рассмотренных Р.Таберским. В дальнейшем результаты Р.Таберского и А.Д.Гаджиева были обобщены в работах [8 - 10] и [29] .

Настоящая диссертация также посвящена исследованию сходимости и нахождению порядков (скорости) сходимости сингулярных интегралов.

Диссертация состоит из двух глав, разбитых на семь параграфов. Теоремы, предложения и формулы внутри параграфа имеют двойную нумерацию: первая цифра указывает номер параграфа, а вторая - порядковый номер теоремы или формулы. Следствия из основных теорем имеют тройную нумерацию: первые две цифры повторяют номер теоремы, а третья цифра, записанная в скобках, указывает на номер следствия. §§ 1-4 составляют содержание первой главы, а §§ 5-7 - второй.

Приведем вкратце, основные результаты, полученные в каждом из параграфов первой и второй главы.

Первая глава посвящена исследованию сходимости и порядков сходимости одномерных и многомерных сингулярных интегралов в характерных точках суммируемых функций и в среднем.

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит доказательство некоторых важных для дальнейшего лемм. Приведем одну из них,

-V п™ 2 с/ р

ЛЕММА 1.3. Пусть rcl+h. 1

- Suf -ттет \ U Со\рс& < °° л L1

Ъ* о^в-аЛ Огде о^>0 некоторое фиксированное число.

Тогда какова бы ни была неотрицательная убывающая функция

СО £ ZjfaiO справедлива оценка g

ISjc-ь)(i+f)~«У №•

При р-1 утверждение леммы следует из леммы, доказанной Р.Г.Мамедовым £22] , а при p = i. и О -из леммы И.П.Натансона ([24], стр.262).

В этом же параграфе приводятся некоторые модификации лемм, доказанных А.Д.Гаджиевым [6] .

Приведем, например, следующее утверждение. ЛЕММА I.X. Пусть GO возрастающая функция, абсолютно непрерывная на отрезке [о^-а] , jA (о) = о , a cpff) - неотрицательная функция ограниченной вариации в каждом интервале , причем, ^Z^a^) и

Vlc-t-ayvar q(s)di< a -Us* в

Если функция ^ ^/р ($'?£) удовлетворяет условию

Л О Л

-nsrS =

Xk^g-OL1 0то справедлива оценка ^ 1 ^ /р а 1 где С^И1£(в.0.

Отметим, что при утверждения леммы следует из леммы А.Д.Гаджиева 16]. Если р-1 и j*(-t)=i , то мы приходим к лемме Р.Таберского [30]. Если же pri , а ^ - монотонно убывающая функция, то получается лемма Р.Г.Мамедова [22]. Наконец, если р -1 , J^

ЙгЫ и ^ft) - монотонно убывающая функция, то лемма I.I содержит известную лемму И.П.Натансона L241.

Во втором параграфе с помощью основных лемм первого параграфа исследуется порядок сходимости сингулярных интегралов типа свертки где Т С^-р С-оо;оо) f ^

Приведем некоторые из полученных результатов. Пусть cl?o некоторое фиксированное число и при некотором фиксированном ^ > о величина oi/? д = [i /? о стремится к нулю при

П-*

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть неотрицательная четная функция К^Ю удовлетворяет условиям: б) монотонно убывает на [о>°°) и при ft-*00 и при любом фиксированном >°

Если функция р ; ПРИ фиксированном х и при ^о удовлетворяет условию О где то же число, что и выше, то для интеграла (0.2) в этой же точке о: справедливо соотношение

Заметим, что утверждение о порядке сходимости интеграла (0.2) было ранее доказано Р.Г.Мамедовым (см. напр.[19]). Приведенная теорема 2.1 дает более точный результат.

В этом же параграфе приводятся и некоторые утверждения более общего характера, являющиеся, однако, менее точными, чем теорема 2.1.

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть в интеграле (0.2) ядро K^ft) является четной функцией, удовлетворяющей условию

Ос» оо и обладающей неотрицательной мажорантой tv^tt) gA^O^ , т.е. при любом и любом -t

Пусть является функцией ограниченной вариации на любом конечном отрезке правой полуоси и при любом фиксированном S4 > о и при П

Ь >л

СЪ & где

0.3) a j*-Cfc) возрастающая функция, абсолютно непрерывная на любом конечном отрезке правой полуоси и

Если при фиксированном 'Х и при К ° функция ^ € L? • Р Удовлетворяет условию w

0.4) то в этой же точке X при для интеграла (0.2) справедлива оценка

В частности, из этой теоремы, как и из теоремы других, доказанных в этом параграфе, выводятся многочисленные следствия. Приведем так же одно приложение полученных результатов.

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть в интеграле (0.2) ft- Н (ft-fc) где неотрицательная, четная функция ЦС-fc) монотонно убывает на полуоси

Оо HC-Oci-t =1 оо и при фиксированных &L>o и р^-1. оо

X н СО <A-t • г ■><*- -> ' о

Если функция в фиксированной точке ос при \\->о удовлетворяет условию (0.4) с [л(-Ь)= 9 то в этой же точке ос. при tl->

-?(*•>= .

Отметим, что результаты § 2 обобщают и уточняют некоторые результаты Р.Г.Мамедова [19 - 23] .

В третьем параграфе изучается порядок сходимости сингулярных интегралов

90

0.5)

Устанавливаются теоремы, уточняющие приведенную выше теорему Р.Г.Мамедова[19]. Кроме того, в этом же параграфе устанавливаются и более общие теоремы при условии, что функция -f удовлетворяет условию (0.4). Приведем некоторые из общих результатов.

Пусть J\Gfc) та же функция, что и выше и a+S4 f (р) = ^ O^-K^fe*) jo- ^ где р , й>о - фиксированные числа, ах- фиксированная точка вещественной оси.

ТЕОРЕМ 3.4. Пусть в сингулярном интеграле (0.5) ядро является неотрицательной функцией, удовлетворяющей при любых фиксированных 04 и Л условию

ОО оо и K^ftioc.) как функция от "t монотонно возрастает в (-°°>а) и монотонно убывает в (ос, оо) . Кроме того, пусть существует неотрицательная функция ^РС-t) и число такие, что

С"00-»00) и ПРИ люс^ых Фиксированных ^ и ^

1 + 4>C-fc) f гд < х< zz и при \\ оо

Г C-tjx) -о Vp N Л ^ где ^ . a f имеет вид О если -«x-t^^ или {г < оо ; если ,

Если функция f- удовлетворяет условию let)

1 + ЧОЬ) со и для нее при а+К

In-* о выполнено соотношение X Uct)-^(x)folt) =o(r(k)) , то при ^Х 00 vp с где ДС]4) определено в (0.5).

Заметим, что эта.теорема обобщает и уточняет один результат А.С.Джафарова (см.[14]).

В качестве применения отметим следующий результат. ТЕОРЕМА 3.5. Пусть в интеграле (0.5) где функция Н(а) является четной, ограниченной на отрезке [-1-,!] и такой, что 2С Н(х) ограничена на всей оси и оо

- оо

НСх)о(х=1 .

Пусть функция удовлетворяет условиям

II <

11 1 + 011 и для некоторого положительного f < 1 при h о эн-к

ОС

Тогда при ^Х 00 лл/^сы-!^ .

Четвертый параграф посвящен исследованию многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром:

Обозначая точки R. через ос, ^ можем записать -мерный сингулярный интеграл с радиальным ядром в виде где d^ - лебегова мера в Я. , а ^ •

Пусть j4-t) та же функция, что и в §§ 1-3.

Положим также

S¥\-i i^-ч tv. -т y ч j

- единичная сфера в к , у = т^т- , aS- - элемент площади поверхности сферы, а норма берется по 5е . Приведем один из результатов § 4.

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть в интеграле (0.6) ядро Kj^ft) Удовлетворяет условию 9 К и обладает мажорантой ft), являющейся при каждом !?>о функцией ограниченной вариации на отрезке (о, и такой, что при оо со Б где a^cja.) определена равенством (0.3).

Если функция ? удовлетворяет при к-* о условию W то при

-ML^ 0 ^V) • м» л

Заметим, что результаты § 4 уточняют и обобщают некоторые из результатов Р.Г.Мамедова fl9],[23] .

Вторая глава посвящена исследованию сингулярных интегралов типа (0.1) при условии, что точка (з^л) стремится к точке (х,;Ло) вдоль некоторого пути, т.е. сингулярный интеграл (0.1) здесь рассматривается как двупараметрическое семейство. Содержание второй главы изложено в трех параграфах §§ 5-7.

В пятом параграфе изучается сходимость L^ (|зо) к ^(д,), когда стремится к (a^V) по некоторому пути.

Пусть Z - плоское множество точек О*;}) , а (осо)зц) предельная точка 2 . Полагая н=(зс;л), fe;><>);, перепишем интеграл (0.1) в виде

0L

В этом параграфе также J^ Ct) указанная выше функция.

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть в интеграле (0.7) ядро Kftjs) является неотрицательной, измеримой и ограниченной функцией "t при каждом и если - oL у ^-IZ-Zo^ 0> , то при произвольном стремлении z к z0

V K(t»2)ott —4- ■ К

Пусть, кроме того, при любом фиксированном zeZ ядро Кйл) как функция -fc , монотонно возрастает в L^joc] , монотонно убывает в Цэс-,£] и если при фиксированном = существует такое S4 ? € , что при 2-> выполняется неравенство то

Если в некоторой точке CXo^faji) функция f^Z^, удовлетворяет условию эсо+ 1Хо то для интеграла (0.7) предельное равенство ь^ L =и-*.-) будет справедливо при условии, что по любому плоскому множеству, на котором ограничена функция К(=42.)/ Cla-лО• а.

Отметим, что эта теорема содержит весьма общий результат, и,в частности, охватывает теорему Р.Таберского ЕЗО].

В качестве примера рассматривается сингулярный интеграл типа Гаусса-Вейерштрасса с функцией*) I . зг) Отметим, что .случай р=3 .взят нами лишь для облегчения соответствующих вычислений.

Относящийся к этому интегралу результат является частным случаем теоремы 5.2.

СЛЕДСТВИЕ 5.2 (I). Пусть в сингулярном интеграле W^j^a) функция и в точке ос=эсо удовлетворяет соотношению ^ \1Д с*ьЫг<Ц) =0 •

К-» о <y

Тогда если только (ос,^) стремится к СзСо,Лв) п0 такому плоскому множеству, на котором ограничена функция .

В шестом параграфе результаты типа теоремы 5.1 доказаны для интегралов (0.7), ядра которых имеют горбатую мажоранту. Полученные в этом параграфе результаты частично обобщают результаты § 5. С другой стороны, в этом параграфе предложен несколько иной способ доказательства теорем о двупараметричес-кой сходимости.

Наконец, седьмой параграф посвящен сходимости сингулярных интегралов с периодическим ядром, зависящим от разности аргументов к недифференцируемым функциям, имеющим в фиксированной точке односторонние производные.

Рассмотрим сингулярный интеграл

0.8) где д) 2.%- периодаческая функция, а К обладает свойствами: а) является неотрицательной дифференцируемой функцией и при каждом Л ; б) при любом фиксированном > О

HI»? в) справедливо равенство $ = i + , где (L (-0 2.%- периодическая функция, «л

ТЕОРЕМ 7.1. Пусть функция ^(х) в точке ОС=ЭС<> имеет конечные односторонние производные и •

Пусть (сс,^") стремится к (Ьсо,>о)по такому пути ^ , что при где С - постоянная, не зависящая от х , "Ь и Л и существует конечный предел

Тогда справедливо равенство X

Из этого результата выведены некоторые следствия. В частности, он содержит теорему Фату об интеграле Пуассона, которая полу

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора [36-40] .

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук А.Д.Гаджиеву за постановку задач и постоянное внимание. чается при и

1. АЛЕКСИЧ Г. - Проблемы сходимости ортогональных рядов. ИЛ, М., 1963.

2. А)1ИЕЗЕР Н.И. Лекции по теории аппроксимации. Наука, М., 1965.

3. БАРИ Н.К. Тригонометрические ряды. Физматгиз, М., 1961.

4. ГАДЖИЕВ А.Д. К вопросу о сходимости интегральных операторов. ДАН Азерб.ССР, № 12, 1963, 3-7.

5. ГАДЖИЕВ А.Д. О скорости сходимости одного класса сингулярных интегралов. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-матем. и техн. наук, № 6, 1963, 27-31.

6. ГАДЖИЕВ А.Д. 0 порядке сходимости сингулярных интегралов, зависящих от двух параметров. В сб. "Спец.вопр.функц. анализа и их прим. к теории дифференц.ур-ий и теории функций", Баку, 1968, 40-44.

7. ГАДЖИЕВ А.Д., ДЖАФАРОВ А.С., ЛАБСКЕР Л.Г. Об асимптотическом значении приближения функций семейством интегральных операторов. Изв.АН Азерб.ССр, сер.физ-матем. и техн. наук, 1962, № 3, 19-28.

8. ГАДДИЕВ Н.М. 0 сходимости и о порядке сходимости двупара-метрических семейств сингулярных интегралов. ДАН Азерб.ССР, 1979, 35, № II, 13-16.

9. ГАДЖИЕВ Н.М. Нетангенциальная сходимость сингулярных интегралов и теоремы типа Д.К.Фаддеева. Изв.АН Азерб.ССР,сер.физ-техн. и матем.наук, 1979, № 6, 70-75.

10. ГАДДИЕВ Н.М. Исследование сходимости двупараметрических семейств сингулярных интегралов. Деп.ВИНИТИ, № 5425-81, 31 стр.

11. ГОЛУЗИН Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Паука, М., 1966.

12. ГРАДПТЕЙН И.С., РЫЖИК И.М. Таблицы интегралов, суш, рядов и произведений. Физматгиз, М., 1963.

13. ДАНФОРД Н., ШВАРЦ Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. ИЛ, М., 1962.

14. ДЖАФАРОВ А.С. 0 сходимости семейства сингулярных интегралов. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-матем. и техн.наук, 1961, № 4, 13-23.

15. ЖИЖИАШВШШ Л.В., ТОПУРИЯ С.Б. Ряды Фурье-Лапласа на сфере. Матем.анализ (итоги науки), М., 1977, т.15, 83-130.

16. ИБРАГИМОВ И.И., ГАДДИЕВ А.Д. -.0 порядке сходимости сингулярных интегралов типа Коши-Стильтьеса. ДАН СССР, 1973, 212, № I, 23-26.

17. КОРЕНЕШШ Б.И. 0 представлении функций класса Zp сингулярными интегралами в точках Лебега. ДАН СССР, 1947, 58, 983-976.

18. КОРОВКИН П.П. Линейные операторы и теория приближений. Физматгиз, М., 1959.

19. МАМЕДОВ Р.Г. 0 порядке сходимости ttt - сингулярных интегралов в обобщенных точках Лебега и в пространствеИзв.АН СССР, сер.матем., 1963, 27, 287304.

20. МАМЕДОВ Р.Г. Обобщение неравенства И.П.Натансона и о порядке сходимости сингулярных интегралов. Ученые записки АТУ им.С.М.Кирова, 1965, Ш 5, 24-33.

21. МАМЕДОВ Р.Г. Приближение функций линейными операторами (на азерб.языке), Азернешр, Баку, 1967, I-2I5.

22. НАТАНСОН И.П. Теория функций вещественной переменной. Наука, М., 1974.

23. НАТАНСОН И.П. Конструктивная теория функций. Гостех-издат, М-Л, 1949.

24. О So-Yno.— Ш1 Watlfi. it & Soc. Scl.KVWtt. Phfr*. die lb RPR ,

25. ПРИВАЛОВ И.И. Граничные свойства аналитических функций. Физматгиз, М-Л, 1950.

26. РОМАНОВСКИЙ П.И. Qu^t^es ConsUercitCons SturМай .2. "34 (VttiO > .

27. Rydzeyska Barbara oles -{Wiions par ЫЬы^-оМл ^Ucyvliz^ огАХмеиъгл .^еислЛ 7ndMcm^tui ;

28. T^erski. Тх, — БСилдллАиГ Wxtfc^inaXsо(л "Uxro рАдго^еХйМ. . Roczmki Pofek.Ctfe^i. Serial. ^ pfa-oe ma^vvi . Vjl Alb-Alc0} t

29. Tabors к i -Remarks ол SU^W Ut^ral^ .BvJU . QU Z/aka-4 . Po(W de^s, . SCM:.M . я , tf?: 3 , W3 .

30. ТИМАН А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. Физматгиз, М., I960.

31. ФАДДЕЕВ 0 представлении суммируемых функций сингулярными интегралами в точках Лебега. Матем.сб., 1936, Ш I, 351-368.

32. ХАРДИ, ЛИТТЛЬВУД Д., ПОЛНА Г. Неравенства. ИЛ, 1948.

33. ЧЕЛИДЗЕ В.Г.,•ДЖВАРШЕЙШВИЛИ А.К. Теория интеграла Дан-жуа и некоторые его приложения. Изд.ТГУ, 1978.

34. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 порядке сходимости сингулярных интегралов. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1983,2.

35. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 порядке приближения функций семействами сингулярных интегралов. Труды конф. молодых ученых ИММ АН Азерб.ССР, посвященной 60-летию СССР, Баку, 1983,

36. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 локальном приближении функций Исингулярными интегралами. Труды республиканской научной конференции аспирантов АН Азерб.ССР, посвященной 60-летию СССР, Баку, 1983.

37. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 скорости сходимости семейства многомерных сингулярных интегралов с радиальным ядром. Труды П Городской конференции, посвященной роли научных работ молодых ученых в социальном развитии г.Баку, 1983.

38. ЮСИФАЛИЕВ Ю.К. 0 порядке сходимости сингулярных интегралов в характерных точках и в среднем. Деп.ВИНИТИ,2001-83, 44 стр.