Исследование трехмерной системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки с тройным нулевым характеристическим корнем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 &Д

1 6 ДЕК 1996 На правах рукописи

БОРТКОВСКАЯ Мария Романовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ С ТРОЙНЫМ НУЛЕВЫМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КОРНЕМ

01.01.02. Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор АНДРЕЕВ Алексей Федорович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ДОЛОВ Михаил Васильевич; кандидат физико-математических наук ВОЛКОВ Дмитрий Юрьевич.

. Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций.

Защита состоится > • / ^Р 1996 года в 13 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете

во адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, д. 2. Математико-механический факультет.

Ауд.4526.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан С),

1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.57.30

Ю. А.Сушков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

По сравнению со сложными особенностями Л2-спстем сложные особенности Б,3-систем исследованы мало.

Одним пз основных методон изучения поведения траекторий в окрестности сложной особой точки является сг-нроцесс. К 113-системам он применялся, например, в [3, 4]. Однако там не был разработан метод выбора основных параметров сг-процесса.

Эта актуальная задача решается в диссертации для некоторого класса трехмерных систем. Изучаются также свойства (Г-процессов, построенных с использованием разработанного метода; и-процессы применяются для исследования асимптотики О-кривых систем изучаемого класса.

Цель работы — разработка метода, позволяющего находить О-кривые трехмерной системы со сложной особенностью в точке О = (0, 0, 0).

В работе используются метод нормальных форм, метод Фром-мера, "Ыо^-ир"-метод ((г-процесс). В главе 4 используется также метод систем сравнения.

Разработан новый вариант нормализующего преобразования, приводящего И'-систему изучаемого класса к нормальной форме Богаевского-Повзнера [2]. Даже в случае нормализации системы до любого наперед заданного порядка членов правых частей это преобразование (как п основное преобразование Богаевского-Повзнера) содержит бесконечные ряды. Доказана их сходимость.

Впервые разработан метод, позволяющий с помощью построения ломаных Фроммера функций, входящих в правые части системы, найти возможные конечные порядки и меры кривизны О-кривых И3 -системы со сложной особенностью в точке О = (0, 0, 0). Найденные возможные порядки кривизны и служат основными параметрами (Т-процессов, применяемых для разрешения особенности.

Найдены достаточные условия разрешения сложной особенности в О при применении ст-процесса.

Получены также условия существования О-кривых с нулевыми и бесконечными порядками кривизны для систем рассматриваемого класса.

Результаты диссертации дают алгоритм исследования сложной особенности Н3-системы с помощью «т-процессов, позволяющий применять этот метод для более широких, чем это делалось ранее, классов систем.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на заседании Городского семинара по обыкновенным дифференци альным уравнениям (Санкт-Петербургский государственный университет) в апреле 1995 году и на заседании семинара по динамическим системам (кафедра высшей математики Санкт-Пе-.тербургского государственного технического университета) в мад 1995 года.

, Диссертация состоит из впедения и четырех глав. Объем работы — 156 страниц. Библиография содержит 32 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации рассматривается система х = у + Х{х,у,г),

у = • У(х,у,г), (1)

г = г(х,у,г),

удо?.четг?г>р<г'оттт.яо гл-рттугптттм' условиям: X. У. 2 — аналитические в точке О = (0,0,0) функции х, у, 2, разложения которых по степеням ж, у, г не содержат свободных и линейных членов, О — изолированная особая точка системы (1).

В главе 1 исследуется возможность упрощения системы (1) путем ее приведения к нормальной форме, определение и способ построения которой даны в книге В. Н. Богаевского и А. Я. Повзнера [2], а также возможность получения аналитического в точке О нормализующего преобразования, приводящего систему (1) к нормальной форме Богаевского-Повзнера.

Доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1.1. Существует формальное преобразование координат, тождественное по линейным членам, приводящее систему (1) к виду

х = у + Р(х,г),

у = 01(х,г) + у02(х,г), (2)

г = Н(х,г),

где Р(х,г), £7,(г, г), « = 1,2, Н(х,г) — формальные степенные ряды от х, у и г, и Я не содержат свободных и линейных членов, £?2 не содержит свободных членов.

ТЕОРЕМА 2.1. Для любого N > 2 существует аналитическое в точке О, тождественное по линейным членам преобразование координат, приводящее систему (1) к виду

х = » + Г^>(г,г) + 0(ЛГ + 1), у = с["\х,2) + ус[")(хуг) + Оф + 1), (3)

где (75'""'', Н^ — многочлены от соответствующих

переменных степени не выше N, не содержащие свободных и линейных членов, +1) обозначает степенные ряды от х, у, г, не содержащие слагаемых порядка ниже N +1.

(Иначе говоря, для всякого N > 2 существует сходящаяся в некоторой окрестности О замена переменных, нормализующая (1) по Богаевскому-Повзнеру до членов порядка N включительно.)

В главе 1 описан также способ построения сходящегося преобразования координат из теоремы 2.1, отличного от замены переменных, предложенной авторами в [2].

В главах 2-4 рассматривается система

X = у,

У= У1(х,г) + уУ2{х,г) =У(х,у,г), (4)

г = г{х,г),

где У'), — степенные ряды от от г, г, сходящиеся в некоторой окрестности точки (0,0), У(х,у,г), Z(x,z) не содержат свободных и. линейных членов.

Система (4) — частный случай системы (1), который можно рассматривать и как формальную нормальную форму Богаевского-Поззнера системы (1), поскольку нормальная форма (2) системы (1) заменой у 4- Г(т,г) ь-* у может быть приведена к виду (4).

Под О-крнвой системы, как обычно, понимается ее полутраектория, примыкающая к точке О = (0,0,0) при 1 —* +оо (£ —> —оо).

Под 0+(~)-крпвой понимается О-кршзая, примыкающая к точке О из полупространства {х > 0} ( {х < 0} ).

Под 0{-кривой, 1 = 1,..., 8, понимается О-кривая, лежащая в достаточной близости от точки О в ¿-м координатном октанте.

Поскольку О,-кривая, 1 = 1,...,8, в достаточной близости от точки О не пересекает плоскости у = -0, изучение О,-кривых системы (4) равносильно изучению О,-решений системы

Уг(х, г)+уГ2(х,г) <1х у '

(5)

— _ 2(х>г) <1х ~ у '

где под <9,-решением системы (5) понимается ее решение вида

(»(*),*(*)), 11{'\ 11 = {о,Д], /¿ = [-д,о),

у(х) = Цт г(х) = О,

(*, у(х),г(х)) 6 II? при х € , ^ — ¿-й координатный октант.

О,-решению (у(х), г(х)), х € /д(~\ системы (5) соответствует О^ -кривая {(х, у{х), г{х)),х б системы (4).

Пусть Ь = {(х,1/{а:),г(г)), х е /д("'} — О,- -кривая системы 4, * = 1,..., 8.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если существует

то 1 называется у-порядком кривизны О^кривой Ь относительно х при х —+ О/

^Ь!^6' б€1°'+001'

то Ь называется г-порядком кривизны О,-кривой Ь относительно х при х —* 0. Если существуют оба указанных предела, то пара ('/, 6) называется векторным порядком кривизны О,-кривой Ь относительно х при х —» 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если Ь имеет у -порядок кривизны 7 (= (0, +оо) и существует

и( ж]

Й& «7 е 1-00, +оо],

то и7 называется у-мерой кривизны О^кривой Ь относительно х при х —» 0.

Если Ь имеет г-порядок кривизны 6 € (0,+оо) и существует

г 1

»—о |г||>

то V$ называется г-мерой кривизны О^кривой Ь относительно х при х —• 0.

Если I, имеет векторный порядок кривизны (у, 6), 7,6 £ (0, +оо) и существуют

Шп^!»«,.

х-0 |ж|г 7'

Ф)

то пара (и7, г^) называете» векторной мерой кривизны О ¡•кривой Ь относительно х при х —> 0.

В главах 2-4 диссертации для системы (4) решается задача отыскания всех О-кривых определенного вида, которые мы будем называть правильными.

Дадим соответствующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. О-кривую системы (4) будем называть правильной, если она

1) является Oi-кривой системы (4), î = 1,..., 8,

I

2) имеет векторный порядок кривизны (7,5),

3) в случае у € (0, +оо) имеет у-меру иу,

4) в случае 6 € (0,+оо) имеет г-меру i/j.

Будем понимать под О^'-кривой О-кривую с векторным порядком кривизны (7,&).

В главе 2 решается задача нахождения всех возможных конечных (76 ф 0,7 + 6 < +оо) векторных порядков (7,6) О-кривых системы (4) и соответствующих им возможных конечных (|«т| + < +оо) векторных мер (u7,vs) С^-кривых системы (4).

Для этого к функциям Yi (х, г), Уг(х, г), Z(x, z), стоящим в правых частях системы (4), применяется метод ломаных Фроммера (И-

Случай О,-кривой, где i > 2, сводится к случаю Оркривой.

Для нахождения возможных конечных порядков Oi -кривых системы (4) в системе (5) делается замена переменных

у = ху,г = х\ (х > 0).

Она приводит систему (5) к виду

¿7 _ xY(x,жт,14) — 7х27 _ Ф(х,7,б) dx ~ х2т+1 lnr = х2т+1 1пх' dS xZ(x,x') - Sx**6 _ Ф(а;,7,Д) dx~ xt+î+i lai "" iT+^+i (и'

Строится алгоритм, позволяющий с помощью ломаных Фроммера функций хУЦх,г),: = 1,2,х2(х,г) двух переменных х, г разбить квадрант 11* = {(7, <$)|7 > 0,6 > 0}

а) на области д = 1,..., ДГ, N > 1, П С(гф) = 0 при д ф г,

такие, что для всех (7, Ь) 6 в разложении функции Ф(х, 7,5) по степеням х с показателями, зависящими от 7,6, существует лишь один член, у которого стенень х имеет наименьший показатель

б) на области = 1,...,М,Л/>1, обладающие аналогич-

ными свойствами по отношению к функции Ф(х,7, ¿).

Доказывается следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.2 (о возможных порядках кривизны).

Пусть 0(-кривая,» = 1,..., 8, системы (4) имеет конечный векторный порядок кривизны (7,6). Тогда точка (7,6) € С\ ЛОг. Также доказывается теорема о возможных мерах кривизны. Замена

Пусть

у - их"1, г = ьх , (х > 0), (у, 6) 6 С1ПС2, приводит систему (5) к виду

Л,А| _ Ц(и,у) +хаЦх(х,и,у) (/х и '

¿X и '

где а,р > О, Л,- > 1,2 = 1,2, V, V — многочлены от и, V, и^х, и, и), У\(х,и,у) — непрерывны в некоторой полуокрестности И плоскости х = О, В С {(х,и,ь)\х > 0}.

ТЕОРЕМА 2.2 (о возможных мерах кривизны ). Пусть О^-кривая системы (4) имеет конечный векторный порядок кривизны (7,6) и конечную векторную меру кривизны (и7, ). Тогда (и7,и{) — решение системы алгебраических уравнений

{Щи,ь) = 0, \У(и,») = 0.

Случай 0,г-кривой заменой х н-* —х сводится к случаю О/"-кривой.

Отметим, что метод главы (2) можно применять и непосредственно к системе (1), а не к системе (4), хотя для системы (4) построение множеств С,,«' = 1,2, существенно проще.

В главе 3 результаты главы 2 применяются для построения о-процессов, применяемых для разрешения особенности системы (4) в точке О. При построении <7-процесса к системе (4) применяются локальные замены переменных

х = х, и = »> — ФГ4 (я ф 0).

т = х\у\~\ у = у, п = (уф 0), (6)

г = ФГ*. 5 = г = г {гф 0),

7, Ь — параметры ст-процесса.

В главе 3 изучаются а-процессы с параметрами 7, <5, (7,5) € С1Г1С2 (7, 6 — возможные векторные порядки кривизны, найденяые методом главы 2).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Будем говорить, что особенность системы (4) в точке О применением о-процесса разрешается относительно порядка (у, 6), если в результате исследования систем, полученных ьз системы (4) заменами (6) с параметрами у, 6, удается найти все правильные О-кривые системы (4) с векторным порядком (у, 6) или установить отсутствие таковых.

Рассмотрим множества С5: С} — {¿о,-• • ,¿1+1} — множество, состоящее из абсцисс ло-

маных Фроммера функций У{(х,г),{ = 1,2 (если к > 1), ¿¡о = 0 и 6/с+1 = +оо; 5 — множество, состоящее из абсцисс ломаных Фроммера функции Z(x, г), нуля и +оо.

При построении множества С1, в главе 2 выясняется, что для любых 6^-1,6] € <3, j = 1,..., к + 1,

^пп^^и^и^пп;.

где 11; = {(7,6)|7 > 0,6 € (6;.ьг;)}, Ьп = Ь«\п = 1,2,3, -прямые, уравнения которых суть попарные равенства показателей, наименьших при {"1,5) С Пу в разложениях по степеням х функций хУ1(х,х*), х1+1У2{х,х6) и х5?.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Точка (7,6) 6 С\ называется простой точкой множества Сь если

1) 6 то есть (7,6) € П,- при некотором j = 1,..., к +1,

2) через точку (7,6) проходит лишь одна прямая п= 1,2,3.

Точка (у,6) б Сч наоывается простой точкой множества Сч,

если 6 £ Э.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Возможный конечный векторный порядок кривизны (у,6) О^кривых системы (4) называется простым, если

1) точка (у,6) — простая точка как множества С\, так и множества С2,

("7,5) — изолированная точка множества С\ П С?.

Из построения множеств С;, i — 1,2, как показано в главах 2,3, следует, что возможный простой конечный порядок кривизны (7, ¿) О,-кривых системы (4) может быть точкой пересечения пары прямых одного из трех видов:

I. 27 = 1 +p + q6, 7 + A = l+fl + /<5,

q + p,f + 9> 2, II. 27 = 1 + 7 + р + qS, 7 + 6 = 1 + д + /б, " Ф / — 7 + " — - / + 0 ^ III. 7 + Pi+?iÄ = p + qS, 7 + <5 = 1 + /<5,

7- 91 Ф f ~ +Pi > 1,9 + Р,/ + if > 2.

где р, q, pi, (ji, /, g S N. Соответственно, вводится понятие возможного простого порядка кривизны типа I, II, III.

Доказываются следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть (■у. 5) — простой возможный -конечный порядок кривизны О,-кривых системы (4) типа I, г = 1,..., 8. Тогда особенность системы (4) в точке О разрешается относительно порядка (7,6) применением с-процесса (с точкетью до решения проблемы центра-фокуса («, у)-системы).

ТЕОРЕМА 2.3. утверждает то лее для простого возможного порядка кривизны типа II.

Глава 4 посвящена исследованию условий существования правильных О-кривых системы (4) с нулевыми (76 — 0) и бесконечными (7 + 6 = +оо) порядками кривизны.

Доказываются следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть. Qi— множество абсцисс ломаной Фроммера функции УЦаг»*}, 5 t — то же для Z(x, z).

Если L — правильная! 0*+0"'^-крцвая системы (4), 6 < +оо. имеющая в случае 6 ф 0t г-м«ру щ> то

1) с $ QiKSu

2) vs. ф а.

СЛЕДСТВИЕ. Если система (4) такова, что £?1 П51 = 0, то она не имеет правильных 0*+00,г'-кривых, 6 < +оо.

ТЕОРЕМА 2.4. Система (4) не имеет правильных 0(+°°'+оо)-кривых.

Для правильных 0'г,+00'-кр1шых системы (5), 7 < +оо, получены необходимые и достаточные условия их существования. Для выяснения этих условий система (4) записывается в виде

¿У = агУ(1+/(х)) + ^(х,2)] | <1х у

+ а,г*-И1+ /!(*)) + 2)1. (7)

¿г _ Ьг"[дт(1+^(ж)) + г^(ж,г)] Ах , у '

где '/(0) = /1 (0) = 5(0) = 0, г] — аналитические в (0,0)

функции х, г, /, /1, д — аналитические в точке х — 0, р,яь9 > 0, 1,11ут > 0, к + 1,п + т > 2, к] + /1 > 1, к, /ьт,р,рь? 6 Ы, а,й1,Ь ф 0, кп = 0 ( в силу изолированности особой точки О системы (4)).

Здесь же, в частности, показывается, что при п ф 1 система (4) не имеет правильных кривых, 7 < +оо.

Доказывается

ТЕОРЕМА 3.4. Пусть в (7) к = 0, к[ > 0, п = 1. Тогда система (4) имеет правильные 01Т,+ос'-крнвые, 7 < +оо, в том и только в том случае, когда одновременно выполнены условия

а > 0, 6 > 0, ш — —у— + 1 < 0.

При выполнении этих условий указанных О^'^'-кривых — бесконечно много, они заполняют связное множество в II3, примыкающее к точке О.

Для случая к = к\ = 0, п — 1 также получены необходимые и достаточные условия существования правильных Oj7'+0°'-KpiiBbix, 7 < +оо, системы (4).

Случай 0(7'+00'-кривых, i > 2, сводится очевидной заменой к случаю о57|+00'-кривых.

В главе 4 получены также достаточные условия отсутствия у системы (4) правильных О-кривых с нулевыми порядками.

В диссертации построен пример системы вида (4), у которой все возможные конечные порядки кривизны 0,-кривых — простые типа 1, правильные О-кривые с нулевыми и бесконечными порядками отсутствуют, и задача о нахождении всех правильных О-кривых полностью решается.

Автор выражает глубокую благодарность профессору А. Ф. Андрееву за внимательное и доброжелательное руководство работой.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Минск, "Вышэйшая школа", 1979, 136 с.

2. Богаевскпй В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М., "Наука", 1987, 256 с.

3. Капитанов А.Я. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений в пространстве R3. //Дифференциальные уравнения, 1984. Т. 10, N 2, с. 229-233.

4. Пилюгина В.Б. О системе с тройным нулевым характеристическим корнем. //Дифференциальные уравнения, 1980. Т. 16, N 12, с. 2148-2155.

Основные результаты опубликованы

5. Бортксшская М.Р. Асимптотика О-кривых для одного класса систем дифференциальных уравнений в И3. СлПетербург, 1996. Ред. ж. "Вестник С.-Петерб. ун-та", 16 с.' — Деп. в ВИНИТИ 15. 01. 96., N 140-В96.

6. Бортковская М.Р. Об одном нормализующем преобразовании. // Вестник С.-Петерб. ун-та, сер. 1, 1995. Вып. 3, N 15, с. 18-20.

7. Бортковская М.Р. О нормальной форме трехмерной системы с тройным нулевым характеристическим корнем в особой точке (0,0,0), // Вестник С.-Петерб. ун-та, сер. 1, 1995. Вып. 2, N 8, с. 14-17.