Исследование устойчивости систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом по первому приближению тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Устойчивость нелинейных систем с отклоняющимся аргументом.

1.1. Основные понятия теории устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

1.2. Математические модели экологии.

1.3. Устойчивость по части переменных нелинейной системы с запаздыванием.

1.4. Нелинейная система функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Выводы.

Глава 2. Критерии устойчивости систем второго порядка с

Актуальность работы. Настоящая диссертация посвящена вопросам устойчивости по первому приближению решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Дифференциальным уравнением с отклоняющимся (ДУОА) называется уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят при различных значениях аргумента [34].

Отдельные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом встречались еще в работах JI. Эйлера в связи с решением геометрических задач [49,68]. В основном изучались дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (ДУЗА), описывающие процессы с последействием. Почти все ранние работы были посвящены изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями вида и лишь в немногих статьях изучались весьма специальные типы линейных дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием, связанные с какими-либо конкретными геометрическими или механическими задачами. Со статьи Э. Шмидта [81] начинается значительное продвижение теории линейных дифференциально-разностных уравнений. Некоторые результаты, касающиеся свойств решений уравнений вида (0.0.1), но уже с переменными коэффициентами alk = alk{t) (в основном, поведение решений при t —> оо), встречаются в упомянутой выше статье Э. Шмидта, а далее - в статьях Е. Райта

Систематическое изучение ДУОА началось лишь в XX веке в связи с потребностями прикладных наук и в первую очередь - теории автоматического регулирования. Теория автоматического регулирования, теория колебаний, процессы в реактивных двигателях, некоторые вопросы теоретической физики, ряд задач экономики и планирования, влияние на организм различных т п

0.0.1) q=0р=0

83,84]. излучений, законы распространения эпидемий, описание моделей биологических сообществ - это неполный перечень областей приложения ДУОА [7, 18, 19, 20, 48, 50, 65, 69, 77, 78] .

Изучением дифференциальных уравнений с запаздыванием занимается Пермская школа под руководством профессора Н.В. Азбелева. Работы Н.В. Азбелева, Л.Ф. Рахматуллиной и их учеников посвящены обоснованию качественных и приближенных методов в теории и практике краевых задач. Исследуются теоретические вопросы, развивающие методы качественного анализа уравнений [2,3,4,47,52].

Начиная с работ А. Д. Мышкиса [ 32,35], В. И. Зубова [12], Н.Н. Красовского [27], в нашей стране стала разрабатываться общая теория ДУЗА. Наиболее изучены линейные уравнения постоянными коэффициентами и отклонениями. Для систем с переменными коэффициентами, особенно с переменными отклонениями, получены отдельные результаты. В работах В.Б. Колмановскго и В.Р. Носова, Н.Н. Красовского, С.Н. Шиманова доказана возможность исследования на устойчивость тривиального решения стационарных в первом приближении уравнений в некритических случаях.

Сформулируем некоторые положения этой теории для уравнений первого порядка п-1® о=Е ]хрс -&+л w.'=°дv.,п-\. р=0 о

При весьма широких допущениях на ядра ггр [35] методом последовательных приближений доказаны существование и единственность на интервале (tQ,T) решения xt (/) системы с распределенным запаздыванием и приведен общий вид решения. Также доказана теорема о непрерывной зависимости решения от правых частей и от начальных данных. В теории устойчивости ДУОА наиболее изучены стационарные системы и системы, близкие к ним. В работах [40, 41, 42, 62, 83] доказано, что линейные уравнения вида (0.0.1) с постоянными отклонениями аргументов имеют лишь асимптотически устойчивые решения только в том случае, если все корни z характеристического квазиполинома т п q=0p=0 удовлетворяют неравенству RQz<a <0. Более того, в [41,42] приведены критерии устойчивости квазиполиномов, соответствующих также линейным системам нейтрального типа.

Для линейных неоднородных уравнений вида т п

0.0.3)

7=0 р=0 как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, получены аналогичные результаты:

1) если хотя бы один корень характеристического квазиполинома (0.0.2) имеет положительную действительную часть, то все решения (0.0.3) неустойчивы [43];

2) если характеристический квазиполином (0.0.2) имеет конечное число простых чисто мнимых корней, а все остальные корни (0.0.2) удовлетворяют условию Rez < —а < 0, то все решения (0.0.3) устойчивы [43];

3) если действительные части всех корней z удовлетворяют условию Rez < 0, то все решения уравнения с запаздывающим аргументом асимптотически устойчивы [62, 83].

Для систем с распределенным запаздыванием можно получить такие же условия 1), 2) и 3) с некоторым дополнительным условием на ядра Kj (s) см.[22], с. 119-123).

Обзорные материалы по отдельным направлениям в теории и в приложениях ДУОА даны в работах [4, 22, 34, 59].

Перейдем к рассмотрению нелинейных систем с асимптотически устойчивой линейной частью. A.M. Ляпунов показал, что из асимптотической устойчивости нулевого решения системы уравнений следует асимптотическая устойчивость нулевого решения системы уравнений dy п г~ = YuPsiyi + №,У\,:;Уп\ s = (0.0.5) at i=i где функции /х(?>У\->—>Уп) являются голоморфными относительно yj,y2,.,уп, непрерывными и ограниченными по t. При этом предполагается, что разложение функций /5(^У\,--9Уп)не содержит линейных по

У\'У2 »•••' Уп членов.

В работах [8,9,21,27,55,62,85] исследуется устойчивость по первому приближению тривиального решения уравнений со стационарной линейной частью в некритических случаях при обычных ограничениях на линейную часть. Приведем некоторые результаты, полученные в вышеупомянутых работах.

Р.Беллману [62] принадлежит следующая теорема, которая является распространением упомянутой выше теоремы Ляпунова на системы с запаздыванием. Рассматривается система dv п т + = (0.0.6) dt

Ы к=1 где pksi - вещественные постоянные, hsik >0, функции rv представляют собой совокупность нелинейных относительно у членов. Пусть нулевое решение системы dv " "L , ЕЕ " Kik)> s = (0.0.7) i=1 асимптотически устойчиво, тогда любое решение системы (0.0.6)

1) асимптотически устойчиво, п

2) удовлетворяет неравенству < СХМ((p)e~Cl^ ^ , f n Л гдеМ(<р)= sup 2<pf(t) .

Результаты Беллмана дополнены и усилены Н.Н. Красовским в работе [25] в случае, когда первое приближение системы dx Xi (xj (v),., хя (у)) + Rt (xl (v),., хи (v), 0 (0.0.8) at асимптотически устойчиво, но не имеет линейного вида, то есть Х{ -нелинейные функции, a R, удовлетворяют неравенству ^(v),.^»,^ < /?||x(v)||, Р > 0. (0.0.9)

Если Xj(v),j = 1,.п, входят в Ri с переменными запаздываниями, то при определенных условиях на запаздывания доказывается асимптотическая устойчивость системы (0.0.8).

Приведенные результаты обобщены В. Гермаидзе для случая, если ограничения вида (0.0.9) наложить на средние значения величины Ri на некотором отрезке времени Т. В. Гермаидзе [8,9] показано, что нулевое решение системы (0.0.8) асимптотически устойчиво при Rt, удовлетворяющих неравенству

J t+T где — jV(.s)ds < Д /3 > 0 - постоянная. ^ t

Устойчивость по первому приближению с переменными коэффициентами и запаздываниями рассмотрены в работах [9,21,57,63]. Теорема о неустойчивости по первому приближению доказаны С. Н. Шимановым [55].

Устойчивость нулевого решения нелинейных уравнений, стационарных в первом приближении, в критических случаях изучены в [7, 54, 56]. Например, в [54] исследовано невозмущенное движение системы п 0 x(t) = [xjit + v)drjj(v) +X(xx(t + v),.,x„(t + у)) (0.0.10)

J=l-r при наличии у характеристического квазиполинома одного нулевого корня. В

56] рассмотрены критерии устойчивости нулевого решения системы (0.0.10) в случае пары чисто мнимых корней. Устойчивости в критических случаях нулевых корней, г нулевых корней и нескольких пар чисто мнимых корней для систем с последействием посвящены работы [5,39,43].

В отличие от уравнений запаздывающего типа исследование устойчивости линейных уравнений нейтрального типа осложняется возможным наличием цепочек корней характеристического квазиполинома, неограниченно приближающихся к мнимой оси (асимптотически критический случай). В книге В.В. Колмановского и В.Р. Носова [22] приводятся достаточные условия асимптотической устойчивости уравнения нейтрального типа п 00 и)(0 = Z (>)]*0)(У -S\t> 0. (0.0.11)

7=0 0

Получен следующий результат.

Пусть ядра Kj(s),j = 0,.,п, имеют ограниченную вариацию, удовлетворяют условиям

00 00

ЦжД-у) <009aXj = рЦжДя) <оо о о и, сверх того,

00 о п = ЛИК|,м||<1> (°-0Л2) о а все корни характеристического квазиполинома Dn(z), соответствующего уравнению (0.0.11) расположены в левой полуплоскости Rez < 0. Тогда тривиальное решение уравнения (0.0.11) асимптотически устойчиво. Более того, если все корни лежат в полуплоскости Re z < — у < 0 и для любого 0 < Y\ <У

00 ens IdKj (s| <+оо, j = 0,., /i-l, о то тривиальное решение удовлетворяет условию: \x(t)\ < Ce~Yxt, С — положительная постоянная.

В отличие от уравнений запаздывающего типа для асимптотической устойчивости помимо расположения корней в левой полуплоскости потребовалось дополнительное условие (0.0.12). Это условие позволяет отделить все корни характеристического уравнения от мнимой оси. И тем самым исследование устойчивости нелинейной системы сводится к некритическому случаю. При его нарушении тривиальное решение может не быть экспоненциально устойчивым, асимптотически устойчивым и даже просто устойчивым [22].

Пусть корни характеристического уравнения п т ,.

0.0.13)

0 7=0 имеют неположительные вещественные части. Представляют интерес два примера. В асимптотически критическом случае (все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, но существует цепочка корней, которая неограниченно приближается к мнимой оси ) все корни простые, экспоненциальной устойчивости нет. Если кратность таких нулей велика, то нулевое решение (0.0.13) неустойчиво. Исследованию цепочек корней, неограниченно приближающихся к мнимой оси, посвящены работы [10,64].

В сверхкритическом случае (существует цепочка чисто мнимых корней ) в зависимости от поведения чисто мнимых корней нулевое решение (0.0.13) может быть устойчивым по Ляпунову или неустойчивым [64]. Исследование вопроса об устойчивости нелинейной системы, обладающей асимптотически критической и сверхкритической линейной частью, насколько нам известно, пока не проводилось.

Вопрос об устойчивости нулевого решения нелинейного уравнения нейтрального типа в критическом случае при наличии у линейной части простого или кратного нулевого характеристического корня рассмотрена в [72]. Аналогичные результаты для критического случая пары чисто мнимых корней получены в [7].

Цель настоящей работы состоит в следующем:

1) продолжить исследование устойчивости по первому приближению тривиального решения нестационарных в первом приближении систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. А именно, рассмотреть устойчивость по части переменных нелинейной системы, при которой часть переменных стремится к нулю асимптотически, а остальные - просто устойчивы. При этом запаздывание встречается как в линейной части, так и в оставшейся. Рассмотреть системы не только со сосредоточенным, но и с распределенным запаздыванием;

2) изучить устойчивость положений равновесия, встречающихся в задачах экологии и физики.

При этом применяются следующие методы: устойчивость по первому приближению и второй метод Ляпунова.

Для исследования устойчивости первого приближения нам требуется получить критерии расположения корней характеристического уравнения в левой полуплоскости. Эти задачи решаются в первой и второй главах диссертации.

Поставленные в диссертации задачи исследовались с применением методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, понятий и утверждений теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Научная новизна состоит в получении достаточных условий устойчивости, равномерной устойчивости и экспоненциальной устойчивости по X нулевого решения нелинейной системы двух дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Получены достаточные условия устойчивости положений равновесия систем, описывающих различные экологические задачи, как непосредственно через параметры самих систем, так и с помощью метода Ляпунова. При этом указывается вид функций Ляпунова, с помощью которых эти задачи могут быть решены. Получены необходимые и достаточные коэффициентные критерии устойчивости квазиполиномов, соответствующих линейным приближениям нелинейных систем с постоянными коэффициентами и запаздываниями, описывающих задачи экологии.

Приводится математическая модель динамики процесса в камере сгорания жидкостных ракетных двигателей. Даются различные достаточные коэффициентные условия устойчивости этого процесса.

Практическая ценность полученных результатов выражается в том, что они могут быть использованы для дальнейшего теоретического и практического исследования устойчивости решений нелинейных систем по части переменных, а также в задачах стабилизации систем управления по некоторым переменным.

Так как условия устойчивости систем во второй главе выражены непосредственно через их коэффициенты, то можно заранее без специальных вычислений сказать об устойчивости положений равновесия. А именно, определить возможность сосуществования или вымирания видов при неизменных природных условиях, а также выявить влияние процесса горения на работу ракетного двигателя.

На защиту выносятся:

- теоремы об устойчивости, равномерной устойчивости и х—устойчивости по показательному закону нулевого положения равновесия различных нелинейных систем с запаздывающим аргументом при определенных условиях на нелинейные части;

- новые необходимые и достаточные коэффициентные критерии устойчивости различных квазиполиномов, соответствующих линейным приближениям нелинейных систем с запаздывающим аргументом, описывающих задачи экологии.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: V Всесоюзная конференция по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинев, 1979), Всесоюзная научная конференция: метод функций А.М.Ляпунова в современной математике (Харьков, 1986 ), научная конференция в Чувашском государственном университете (Чебоксары, 1979, 1984, 1985, 1986, 1987, 1992), научно-техническая конференция по функционально-дифференциальным уравнениям (Пермь, 1980, 1982, 1986), конференция "Герценовские чтения", научно-теоретические семинары ЛГУ (кафедра высшей математики ПМ-ПУ) и

ЛГПИ имени А.И. Герцена (кафедра математического анализа), Горьковского госуниверситета (кафедра дифференциальных уравнений), МИЭМ (г. Москва, кафедра кибернетики, ноябрь 1988), IX международная конференция «Математика. Образование. Экономика. Экология.» (Чебоксары, 2001), Рязанский государственный педагогический университет им. С.А. Есенина (кафедра математического анализа, 2002).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [87-98].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 98 наименований.

107 Выводы

Во второй главе рассмотрены некоторые задачи математической экологии, которые описаны нелинейными уравнениями с постоянными коэффициентами и с постоянными запаздываниями. Поставлена задача выяснить, при каких условиях на параметры системы нетривиальные положения равновесия экологической системы будут устойчивыми. Показано, что эта задача решается двумя методами: классическим методом Ляпунова (в системах без учета запаздывания) и исследованием исходной нелинейной системы по ее линейной части.

1. Для исследования системы п обыкновенных дифференциальных уравнений строится функционал Ляпунова специального вида (с. 46).

2. Ввиду сложности и неясности построения функции Ляпунова для нелинейных систем с запаздыванием эти системы исследованы с помощью квазиполиномов, соответствующих их линейным частям. Приведены критерии устойчивости некоторых квазиполиномов и изучен характер поведения корней квазиполиномов при изменении запаздывания.

3. Аналогичным образом изучена устойчивость процесса в камере сгорания ЖРД.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Рассмотрены нелинейные системы двух дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Предполагается, что решения линейного приближения первого уравнения экспоненциально устойчивы, а фундаментальная матрица линеаризованного второго уравнения системы равномерно ограничена. Получены достаточные условия устойчивости, равномерной устойчивости и х -устойчивости по показательному закону при определенных условиях, наложенных на нелинейные части. Результаты использованы в системах с распределенными запаздываниями.

2. Изучены две задачи математической экологии: хищник - жертва и конкуренция видов за общую пищу, которые представлены нелинейными уравнениями с постоянными коэффициентами и запаздываниями. Приведены нелинейные модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, для которых задача об устойчивости нетривиального положения равновесия решена вторым методом Ляпунова с построением соответствующей функции Ляпунова.

3. Исследована устойчивость положений равновесия математических моделей, описываемых системами с постоянными коэффициентами и запаздываниями, с помощью квазиполиномов, соответствующих линейным приближениям. Доказаны необходимые и достаточные коэффициентные критерии устойчивости этих квазиполиномов.

4. Найдены интервалы устойчивости (лакуны), лежащие правее так называемого максимально допустимого запаздывания, то есть указаны ситуации, когда с ростом запаздывания h корни квазиполиномов не только переходят из левой полуплоскости в правую, но и возвращаются назад, так что правая полуплоскость снова теряет корни.

5. Получены достаточные условия устойчивости нетривиального положения равновесия системы хищник - жертва и системы двух конкурирующих ви

109 дов. Дано теоретическое обоснование возможностей возрождения популяций с помощью особей достаточно зрелого возраста, если молодые по каким-либо причинам исчезли.

6. Показано, что методы исследования устойчивости с помощью квазиполиномов позволяют получить более точные характеристики областей устойчивости.

7. Исследованы возможности восстановления устойчивости экосистем на основе полученных результатов. Результаты исследования также могут быть применены на практике в изучении новых биологически устойчивых сообществ.

1. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Функционально- дифференциальные уравнения // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. №5 С.771-797.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом //Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. №12. С.2027-2050.

3. Азбелев Н.В., Бердникова М.П., Рахматуллина Л.Ф. Интегральные уравнения с отклоняющимся аргументом // ДАН СССР. 1970. Т.192. № 3. С.479-482.

4. Алексеевская Н.Л., Громова П.С. Второй метод Ляпунова для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев. 1977. С. 19-34.

5. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 584 с.

6. Вебер В.А. Об устойчивости в критическом случае нескольких пар чисто мнимых корней для системы с последействием // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. №9. С.1614-1625.

7. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 е., илл.

8. Гермаидзе В.Е. Об асимптотической устойчивости по первому приближению // ПММ. 1957. Т. 21 Вып. 1. С.133-135.

9. Гермаидзе В.Е. Об асимптотической устойчивости систем с запаздывающим аргументом // УМН. 1959. Т.14. Вып. 4(88). С.149-156.

10. Громова П.С. Условия наличия бесконечных цепочек нулей, неограниченно приближающихся к мнимой оси // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1977. №10. С.69-78.

11. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 е., илл.

12. Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Известия ВУЗов. Математика. 1958. № 6. С.86-95.1.l

13. Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Некоторые направления развития теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1968. Т. 6. С.3-55.

14. Квасников А.В. Теория жидкостных ракетных двигателей. М.: Суд-профгиз, 1959. 542 е., илл.

15. Кирьянен А.И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом: Учебное пособие. Ленинград, 1983. 104 с.

16. Кирьянен А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петербургского ун-та, 1994. 236 с.

17. Колесов Ю.С. Резонансы в экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1978. С.26-42.

18. Колесов Ю.С. Математические модели в экологии // Исследование по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1979. С.3-40.

19. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс, 1979. 148 с.

20. Колесов Ю.С. Некоторые задачи математической экологии // Дифференциальные уравнения и их применение (нелинейные модели в биологии). Вильнюс, 1981. Вып. 29. С.27-35.

21. Колмановский В.Б. Обращение теорем второго метода Ляпунова и вопросы об устойчивости по первому приближению // ПММ. 1956. Т. 20. № 2. С.255-265.

22. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 е., илл.

23. Крокко Л., Чжень Тинь-и. Теория неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях. М.: ИЛ, 1958. 351с., илл.

24. Крупнова Н.И. Шиманов С.Н. О неустойчивости решений линейных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8. №11. С.1963-1968.

25. Красовский Н.Н. Об устойчивости по первому приближению // ПММ. 1955. Т. 19. С.516-530.

26. Красовский Н.Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 3. С.315-327.

27. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1959. 211 е., илл.

28. Ларионов Г.С. Метод усреднения в системе хищник-жертва // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 12. С.2247-2254.

29. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950. 472 с.

30. Максимов В.П. Определение свойства матрицы Коши линейного функционально-дифференциального уравнения // Тр. Московского ин-та химического машиностроения. 1974. Вып. 53. С.3-5.

31. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 е., илл.

32. Махин В.А., Пресняков В.Ф., Велик Н.П. Динамика жидкостных ракетных двигателей. М.: Машиностроение, 1969. 844 е., илл.

33. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументов // УМН. 1949. Т.4. Вып.5. С.99-141.

34. Мышкис А.Д., Эльсгольц Л.Э. Состояние проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. 1967. Т.22. Вып. 2(134). С.21-57.

35. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом . М.: Наука, 1972. 352 е., илл.

36. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. 1977. Т. 32. №2. С. 173-202.

37. Озиранер А.С. Об устойчивости неустановившихся движений по первому приближению // ПММ. 1976. Т. 40. Вып.З. С.424-430.

38. Озиранер А.С. Об устойчивости движения по линейному приближению // ПММ. 1977. Т.41. Вып. 3. С.413-421.

39. Пак В.Е., Прокопьев В.П. Об устойчивости систем с последействием в критическом случае четырех нулевых корней // Математические записки Уральского ун-та. 1970. Т. 7. №4. С.76-82.

40. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.248 с.

41. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Известия АН СССР. Сер. Математика. 1942. Т. 6. №3. С. 115-134.

42. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций (добавление) // ДАН СССР. 1953 Т. 91. № 6. С.1279-1280.

43. Прокопьев В.П. Об устойчивости в критическом случае нулевых корней с последействием // Известия ВУЗов. Математика. 1967. №1. С.88-94.

44. Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21. № 6. С. 740-746.

45. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // ПММ. 1956. Т.20. Вып. 4. С.500-512.

46. Разумихин Б.С. Устойчивость по первому приближению систем с запаздыванием // ПММ. 1958. Т. 22. Вып. 2. С. 155-166.

47. Рахматуллина Л.Ф. К теории линейных уравнений с функциональным аргументом // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8. № 3. С. 523-528.

48. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.

49. Серебрякова И.Б. Когда и как появились дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1975. Т. 9. С. 3-30.

50. Смит Дж.М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. 184с.

51. Солодов А.В., Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием. М.: Наука, 1980. 384 е., илл.

52. Тышкевич В. А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова Думка, 1981. 78с.

53. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 е., илл.

54. Шиманов С.Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последействием // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 3. С. 447-457.

55. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 1. С.55-63.

56. Шиманов С.Н. Критический случай пары чисто мнимых корней для систем с последействием // СМЖ. 1961. Т. 2. № 3. С.457-470.

57. Шиманов С.Н., Юдаев Г.С. Некоторые вопросы устойчивости дифференциальных уравнений с последействием // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 9. С. 1552-1566.

58. Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // УМН. 1954. Т. 9. № 4. С.95-112.

59. Эльсгольц Л.Э. Основные направления развития теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. 1962. Т.1. С. 1319.

60. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Физматгиз, 1971. 296 е., илл.

61. Ansoff H.I. Krumhansl J.A. A general stability criterion for linear osillating systems with constant time lag // Quart. Appl. Math., 1948. V. 6. P. 337-341.

62. Bellman R. On the existence and boundedness solutions of non linear differential-difference equations // Annals of Mathematios. 1959. V. 50. № 2. P. 247355.

63. Bellman R., Cooke K. Stability theory and adjoint operators for linear differential-difference equations // Trans. Clmer. Math. Sor. 1959. V. 92. P.470-500.

64. Brumley W.E. On the asymptotic behavior of solutions of differential -difference equations of neutral type // Diff. Equat. 1970. V. 7. №1. P 175-188.

65. Busenberq S., Cooke K. The effect of integral conditions in certain equations modelling epidemics and population growth // Math. Biology. 1980. V. 10. P. 13-32.

66. Caswell H.A. Simulation study of a time lag population models // Theor. Biol. 1972. V. 34. P. 419-439.

67. Cooke K., Grossman Z. Discrete delay, distributed delay and stability switches. //Of Math. Anal. And Appl. 1982. V. 86. № 2. P. 592-627.

68. Euler Z. Nova methodus in venieddi traektorias reciprocas algebraicas Opuscula. 1751. V.3. P. 54-87.

69. Frisch R., Holme H. The characteristic solutions of a mixed difference and differential equation occurring in economic dynamics // Econometrica. 1935. V. 3. P.225-239.

70. Hodeler K.P. Delay equations in biology // Zect. Notes Math. 1979. V.730. P.136-156.

71. Hahn W. Uber differential difference Gleichungen mit anomalen zosungen //Math. Ann. 1957. V. 133. №3. P.251-255.

72. Hale J.K. Critical cases for neutral functional differential equations // Diff. Equat. 1971. V. 10. №1. P.59-82.

73. Hayes N.D. Roots of the transcendental equation associated with a certain difference differential equation // Zondon Math. Soc. 1950. V. 25. P.226-232.

74. Heiclen U. An der. Delays in physiological systems // Math. Biol. 1979. V.8. № 4. P.345-364.

75. Hsu S.B. Predator Mediated Coexistence and Extinction // Mathematical Bioscionces. 1981. V. 54. № 3/4 . P.231-248.

76. Hsu S.B. Zimiting behavior of competing spesices // Appl. Math. 1978. V. 34. № 4. P.760-763.

77. Hutchinson G.E. Gircular causal systemsin ecology // Glnn. N. V. Glead. Sei. 1948. V. 50. P. 221-246.

78. Kalecki M. A macrodynamic theory of business cysles // Economitrica. 1935. №3. P.327-344.

79. Zotka A. J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams and Wilrins. 1925.

80. Mori Т., Noldus E. Stability criteria for linear differential-difference systems // Int. J. Systems Sei. 1984. V. 15. №1. P.87-94.

81. Schmidt E. Uber eine Klasse linearer funktionalen. Differentialgleichungen //Math. Glnn. 1911. V.70. P.499-524.

82. Wangersky P.J., Cunningham W.J. Time lagin prey-predator population models // Ecology. 1957. V. 38. № 1. P.136-139.

83. Wright E.M. The linear difference-differential equations // Trae. Cambr. Phil. Soe. 1948. V.44.P.179-185.

84. Wright E.M. The linear difference-differential equation with asymptotically constant coefficients // Amer. J. Of Math. 1948. V.70. P.221-238.

85. Wright E.M. The stability of solutions of nonlinear difference-differential equations // Proc. Ray. Soc. Edinburgh. Seet. Gl. 1950. V. 63. №1. P. 18-26.

86. Wright E.M. A non-linear difference-differential equation // Reine Glogew. Math. 1955. V.194. №1-4. P.66-87.

87. Быкова A.H. Об устойчивости в нелинейных системах с запаздыванием // Тез. V Всесоюз. конф. по качественной теории дифференциальных уравнений. Кишинев, 1979. С.40.

88. Быкова А.Н. Устойчивость решений одного вида нелинейных систем с запаздывающим аргументом // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький, 1980. Вып. 4. С. 108-111.

89. Быкова А.Н. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа // Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула, 1981. С. 11-15.

90. Быкова А.Н. К вопросу об устойчивости по первому приближению нелинейных систем с отклоняющимся аргументом // Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. Саранск, 1983. С. 80-82.

91. Быкова А.Н. Устойчивые квазиполиномы // Чебоксары, 1985. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 27.05.85. №3646-85.

92. Быкова А.Н. Об устойчивости квазиполиномов // Метод функций A.M. Ляпунова в современной математике: Тез. Всесоюз. науч. конф. Харьков, 1986. С. 58.

93. Быкова А.Н., Кирьянен А. Критерий устойчивости одного уравнения второго порядка с двумя кратными запаздываниями // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Тез. III Урал, регион, конф. Пермь, 1986. С.100.

94. Быкова А.Н., Кирьянен А.И Устойчивость квазиполинома второго порядка. // Дифференциальные уравнения с частными производными: Сб. науч. тр. Ленинград, 1987. С.87-89.

95. Быкова А.Н., Кирьянен А.И. Критерий устойчивости линейной стационарной системы с запаздыванием специального вида // Качественные и асимптотические методы интегрирования возмущенных дифференциальных уравнений: Сб. науч. тр. Саранск, 1987. С.47-51.

96. Быкова А.Н. Об устойчивости одной нелинейной системы с запаздыванием по первому приближению // Математика. Образование. Экономика. Экология: Тез. IX Междунар. конф. Чебоксары, 2001. С. 190.

97. Быкова А.Н. Исследование одной системы типа хищник-жертва // Математические модели и их приложения: Сб. науч.тр. Чебоксары, 2001. С.91-96.

98. Быкова А.Н., Желтов В.П. Аналитические методы исследования экологических систем на устойчивость // Проблемы повышения качества образования: Тез. I Межвуз. науч. -практ. конф. Чебоксары, 2002. С.40-41.