Исследование влияния формы и размеров молекул на спектры коллективных возбуждений в нематических жидких кристаллах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Логвинова Любовь Викторовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ФОРМЫ И РАЗМЕРОВ МОЛЕКУЛ НА СПЕКТРЫ КОЛЛЕКТИВНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ В НЕМАТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ

01.04 07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КУРСК 2007

003177998

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук, старший

научный сотрудник Ковалевский Михаил Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Неручев Юрий Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Николаев Павел Николаевич

Ведущая организация: Лаборатория теоретической физики Объединенного

института Ядерных исследований

Защита состоится «21» декабря 2007 года в 14 часов на заседании специализированного ученого Совета Д 212 105 04 в Курском государственном техническом университете по адресу 305040, г Курск, ул 50 лет Октября, 94

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ

Автореферат разослан «» ноября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук Ь /¿С, Рослякова Л И

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

В настоящее время большой интерес вызывает изучение жидкокристаллических сред Такие конденсированные состояния обладают свойством жидкости — текучестью и анизотропией - свойством, характерным для твердого тела Существенной особенностью жидких кристаллов является наличие внутренней анизотропно-упорядоченной структуры мезоскопических или наноскопических размеров, которая проявляется на макроуровне в виде определенных физических явлений и процессов

Относительная слабость сил притяжения в жидких кристаллах, наличие в них структурных элементов ведут к большому разнообразию возможных состояний таких сред, к сильной роли тепловых флуктуации и легкости изменения внутреннего состояния под внешним воздействием В настоящее время отсутствуют простые и наглядные представления макроскопического их описания, которые учитывают влияние внутренней структуры среды на термодинамику и динамические процессы Сейчас это направление исследований интенсивно развивается и открывает новые научные и технологические перспективы

Диссертационная работа посвящена одной из важных проблем физики конденсированного состояния - динамике нематических жидких кристаллов Ключевая роль анизотропии в динамике таких систем была выяснена достаточно давно еще в работах Эриксена и Лесли (1960) и привела, для адекватного их физического описания, к введению дополнительных термодинамических параметров ориентации В меньшей степени учитывалось влияние искажения формы и размера молекул на динамические процессы жидких кристаллов ввиду существенных трудностей, как в проведении эксперимента, так и создания адекватной теории В настоящее время известны такие виды структурных элементов нематических жидких кристаллов небольшие органические молекулы /«ю-8 м, надмолекулярные структуры - синтетические полипептиды, вирусы /«10"6 м, жесткие полимеры / = Ю-1 м [de Gennes Р G Prost J 1995]

Проведенные за последние десятилетия работы позволили достичь высокого уровня понимания особенностей жидкокристаллических состояний Анализ этих

работ показывает то, что исследования уникальных явлений в этих средах еще далеки от завершения и требуют нетривиального обобщения существующих физических представлений

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование динамики и установление спектров коллективных возбуждений в одноосных и двухосных нематических жидких кристаллах с учетом формы и размеров структурных элементов таких сред Основой исследований является использование концепции сокращенного описания многочастичных состояний, применение и развитие гамильтоновой механики конденсированных сред со структурой Для реализации указанной цели были поставлены и решены такие задачи:

1 Построение уравнений динамики одноосных нематиков с учетом изменения формы и размеров структурных элементов таких сред и исследование угловых характеристик спектров коллективных возбуждений

2 Установление уравнений динамики для двухосных нематических жидких кристаллов с учетом деформации формы и размеров структурных элементов Изучение угловых характеристик спектров коллективных возбуждений

3 Проведение компьютерного моделирования и анализ влияния упругих свойств структурных элементов среды на спектры коллективных возбуждений нематических жидких кристаллов

Научная новизна работы

Теоретически исследовано и предсказано явление возникновения новых спектров коллективных возбуждений в одноосных и двухосных нематических жидких кристаллах обусловленных деформацией структурных элементов среды

Получено аналитическое решение задачи на спектр собственных колебаний в анизотропной нематической среде с учетом геометричеаских особенностей структурных элементов среды Дано объяснение явления возникновения спектров коллективных возбуждений, обусловленных деформацией формы и размеров структурных элементов нематиков Установлено возможное количество спектров в одноосных и двухосных нематиках и их угловые характеристики Получено экспериментальное подтверждение экстремальных значений угловых характеристик для второго звука в одноосных нематиках

Введены макроскопические параметры (конформационные степени свободы), описывающие геометрические особенности молекул в нематиках, в терминах тензора дисторсии, что позволило получить для конденсированных сред со структурой нелинейные динамические уравнения в замкнутом виде

Положения, выносимые па защиту

1 Развит пшильтонов подход, описывающий гидродинамический этап эволюции тематических жидких кристаллов с учетом диско- и стержнеподобной формы и размеров структурных элементов этих сред Получены уравнения динамики одноосных нематиков с учетом оси анизотропии и размера молекул стержнеподобной и дископодобной формы

2 Найдены аналитические выражения для двух скоростей распространения коллективных возбуждений в одноосных нематиках как функции полярного угла и модуля упругости для молекул стержнеподобной и дископодобной формы Проведено компьютерное моделирование спектров с учетом изменений модуля упругости и выяснены угловые особенности этих спектров

3 Выведены уравнения динамики двухосных нематических жидких кристаллов с учетом двух осей анизотропии и трех конформационных параметров, отражающих влияние деформации формы и размеров эллипсоидальной и дискоидной молекул

4 Установлены аналитические выражения для спектров коллективных возбуждений в двухосных нематиках как функции полярного и азимутального углов и выявлены их особенности для эллипсоидальной и дискоидной молекул Проведено компьютерное моделирование спектров с учетом изменения модулей упругости конформационных степеней свободы и выяснены угловые особенности этих спектров

Практическая ценность

Исследование физической природы спектров коллективных возбуждений в нематических жидких кристаллах представляет интерес для нескольких отраслей физической науки физики конденсированною состояния, механики жидкости и твердого тела с внутренней структурой, физики нематических и смектических полимеров

Изучение акустических и коллективных неравновесных свойств жидких кристаллов имеет существенное значение для понимания физических процессов в

биологических объектах В частности, передача нервных импульсов, работа мышц, формирование атеросклеротических бляшек - это примеры физических процессов, протекающих в жидкокристаллической фазе Другим важным фактором интереса к этим конденсированным средам является возможность их использования в качестве жидкокристаллических дисплеев Акустические особенности жидких кристаллов уже используются в неразрушающем контроле материалов, в получении подводных изображений и медицинской диагностике По характеру спектров и их угловым особенностям можно дать заключение о состоянии конденсированной среды

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена использованием апробированных методов математической физики, получением большинства результатов в аналитической форме, ясной физической интерпретацией, соответствием полученных теоретических результатов с данными других авторов, удовлетворительным согласием выводов теории и результатами экспериментальных исследований

Апробация результатов диссертации Основные результаты диссертационной работы докладывались и были представлены на таких конференциях 6 Международная конференция по математическому моделированию, МКММ 2003, Херсон, сентябрь, 2003, International Conference "Recent Trends in Kinetic Theory and Its Applications" Kiev, 11-15 May 2004, International Conference on Statistical Physics (STATPhys22) Bangalore, India, 4-9 July 2004, Международная конференция "Physics of liquid matter Modern problems" Киев, сентябрь, 2003, 20-th General Conference Condensed Matter Division EPS, Prague, 19-20 July 2004, 7 Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике Кисловодск, май 2006, Международная конференция "Квантовая электродинамика и статистическая физика" Харьков, 19-23 сентября 2006, Научно-практический семинар «Математические модели формирования новых конструкционных материалов» Белгород, 16-17 октября 2006, II Международной конференции «Теория конденсированного состояния», Харьков, 1617 января 2007, XLIII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии Москва, 23-27 апреля 2007, Международный математический конгресс «Нелинейный динамический анализ - 2007», Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007, Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», Херсон, 11-16 июня 2007

Связь с научными программами, планам» и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их физические приложения», утвержденного Ученым советом БелГУ от 3 11 2000г с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проектов Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-02-17695, № 05-0216663)

Публикации основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-13]

Личиый вклад соискателя состоит в проведении большей части аналитических расчетов, выполнении всей работы по компьютерному моделированию по теме диссертации, участия в постановке задач исследований и обсуждении полученных результатов Им же сформулированы основные результаты выполненных исследований, написаны тексты диссертации и автореферата.

Объем и структура диссертации диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы из 133 наименований и содержит 24 рисунка Полный объем работы 133 страницы машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации обсуждается состояние научной проблемы, выбранной для исследований Обосновывается актуальность темы диссертации Сформулирована цель работы и основные задачи исследований, отображена научная новизна, практическое значение работы, перечислены положения, выносимые на защиту Приведены данные по объему и структуре диссертации

В первой главе кратко изложены основные положения гамильтонова подхода в его применении для изучения динамики конденсированныхсостояний Ключевым в таком подходе являются установление набора параметров сокращенного описания <р (х), макроскопически полно задающих изучаемую физическую систему,

гамильтониана Н-\с1 хе(х) как функции этих параметров и явного вида скобок Пуассона для всех параметров сокращенного описания При этом следует иметь в виду, что в отличие от параметров, связанных со свойствами симметрии гамильтониана, для которых скобки Пуассона хорошо известны, скобки Пуассона для

динамических параметров, отражающих особенности формы и размера молекул, имеют нетривиальную структуру и их нахождение представляет основную проблему Решение этой задачи основано на представлении всех параметров, характеризующих форму и размер структурных элементов среды, в терминах тензора дисторсии и требования замыкания алгебры скобок Пуассона Для классических сплошных сред необходимо знание алгебры скобок Пуассона таких величин плотности импульса яг^(х), плотности энтропии <т(х) и плотности массы р(х) и тензора дисторсии Ь^ (л)

Ненулевые скобки Пуассона для этих величин имеют вид

(г,(х),ж] о')]= я} (*)У',<5(х - *')-- *'), ¿г(Шк](*')> -х')

и служат основой построения нелинейных уравнений динамики классических

сплошных сред В описании конденсированных сред важную роль играют законы

сохранения, которых в рассматриваемом случае пять Для наших целей нам удобнее

далее вместо плотности энергии использовать плотность энтропии В результате

приходим к хорошо известным уравнениям гидродинамики Эйлера

8р „ За „ дгг, _

81 14 81 ' р 81 1

8лк

_ 8е де де „

где / , - плотность потока импульса, Р = -е + /г,-+л—+а— - давление и о , •

1* 1 Ол^ дп да Ж

символ Кронекера.

Вторая глава посвящена изучению динамики одноосных нематических жидких кристаллов с молекулами стержнеподобной формы (каламитики) Многообразие форм молекул жидких кристаллов приводит к необходимости упрощения постановки задачи путем использования некоторых форм молекул, которые обладают достаточно простыми свойствами симметрии Мы моделируем форму структурного элемента конденсированной среды в виде эллипсоида или дискоида со сторонами 1,(1, А В этой главе в качестве структурного элемента рассмотрена одноосная стержнеподобная молекула, для которой имеют место следующие соотношения характерных размеров молекул конденсированных сред 1»с1, А, <1 = И Параметры сокращенного описания одноосного нематика с молекулами стержнеподобной формы, наряду с плотностями

аддитивных интегралов движения, включают единичный вектор пространственной анизотропии (директор) и длину молекулы (информационный параметр) Для произвольного деформированного состояния директор определим формулой

п1{х)=11{х)11{х),

где

( 2 \1/2 'СО=(',(*)]

- модуль деформированного вектора (*) Недеформированный вектор / определяет

длину молекулы и направление оси анизотропии в состоянии равновесия и связан вектором (дг) соотношением

В работе найдено выражение для плотности потока импульса

д£ . п ,де

1Л = к,-+ 8ЛР + !—

* ' дж„ * Ы

(4 I (3)

и получены нелинейные уравнения динамики одноосного нематика с учетом

ориентационной и информационной степеней свободы Наряду с уравнениями (2),

(3) сюда входят уравнения динамики для директора и длины молекулы

дп я г чя- л7 к г \ гг

= - \3 -ил -= —1-Ле -пп V — (4)

аI р * } \ ч ' I) л х Р й р г I ч I ^ } р

Линеаризация этих уравнений приводит к дисперсионному уравнению, из которого следует, что в одноосном нематике каламитного типа возможно распространение двух ветвей спектров коллективных возмущений

о2(к) = с2(6)к2,

+ Л5Ш2 в^

2 2 Лип* 20

1/2]1/2

(5)

где с - выражение для скорости звука в изотропной фазе, к - волновой вектор, в -полярный угол, задающий направление волнового вектора по отношению в оси

п

9 0 £ 2

анизотропии, Я = / -/рс - безразмерный параметр представляющий собой

Ы2

отношение плотностей упругой энергии к кинетической энергии. Полученные спектры линейные Значение скорости распространения возбуждений со знаком (+) отвечает ветви, аналогичной звуку, который распространяется в изотропной жидкости Значение со знаком (-) представляет собой новую ветвь возбуждений, обусловленную деформацией длины молекулы I Для обоих решений существенна анизотропия спектров коллективных возбуждений и характерно отсутствие зависимости скоростей от азимутального угла Компьютерная графика раскрывает этот характер анизотропии

Рис 1а Рис 16

Угловая зависимость скорости С при Я = 5 Угловая зависимость скорости С при Я = 3 + —

Увеличение безразмерного параметра Я приводит к уменьшению скорости звука с+

вблизи полюсов, то есть около значений полярного угла 0 = 0 и в-к Варьирование этого параметра не приводит к качественному изменению вида фронта распространения звука с_ Эта скорость, как видно из Рис 1 б, обращается в нуль

для волновых векторов направленных вдоль оси анизотропии, а также лежащих в плоскости, ортогональной к оси анизотропии

Приведем выражения для скоростей с+ в области малых значений параметра

А «1

с[ 1 +—вш4 0 2в\ (6)

Видим, что малая добавка в скорости звука с+ приводит к слабой его анизотропии

Скорость второй ветви возбуждений с по-прежнему существенно анизотропна и при

стремлении параметра X к нулю исчезает с_ -> О Из формулы (6) найдем

экстремальные значения скорости с+

ттс+ =с при Оц - 0, ,т

шахс+= сО + Л/2) при = л72

Для второй ветви возбуждений, исходя из формулы (6), получим максимальную и минимальную скорости

Ш1ПС_ =0 при ву = 0,ж/2,гг,

шахс_ = сл/Х/2 при в0 = 7с/4,3*/4 (7)

Расчетные угловые значения в точках экстремума для скорости звука с_ совпадают с

данными выполненных экспериментов для второго звука работ [Йе11г^ег I V , е1 а1 2002-2005] Пространственная анизотропия первого звука изучалась в работе [Ни Ъ , Wen X , е1 а! 1992] для нематических растворов полимеров Показано большое (20%) изменение величины скорости первого звука для такой среды Используя формулу (5) для скорости звука с (0) при углах 0,я72, можно оценить величину X

-г

с+(гг/2)/с+(р)= 1,2 = ^1 + Х Отсюда X = 0,44 Этот результат согласуется с данными работы [Лебедев В В , Кац Е М 1988], в которой характерные масштабы изменения параметра Я таковы 10-2<А<1 Приведем характерную численную оценку для

Ч У

обеих скоростей с+ и 10 м/с и с_ ~ 10-10 м/с

Третья глава диссертации посвящена изучению одноосных нематических жидких кристаллов с молекулами дископодобной формы Характерные размеры молекул изучаемых конденсированных сред удовлетворяют соотношениям /«¿,А, <1- А Деформированный вектор нормали к плоскости дископодобной молекулы определим равенством

здесь <1 - вектор, определяющий направление пространственной анизотропии в недеформированном состоянии Единичный вектор нормали к плоскости дископодобной молекулы в деформированном состоянии определим формулой

п,(х)=с11 <х)/</(*),

где с/(х)=|<-/(д^ - модуль вектора ¿¿х), имеющий физический смысл диаметра

дископодобной молекулы в деформированном состоянии В работе найдено выражение для плотности потока импульса

де де „ де ,

'/к =рз>к+Т~*1 + ж—+мап1пк+п18ыЩ

ш ¡к I оу^и^ 1 л да 1 к кл

де де

дп, ) дЧ и,

(8)

Я У'1

В этой формуле третье и последующие слагаемые в правой части представляет собой вклад обусловленный деформациями директора и конформационного параметра. Получены динамические уравнения для директора и конформационного параметра одноосных нематиков с дископодобными молекулами

д(

-¿-V п -и 8 , (Я)У, -Ц

дI Р 5 к I к р

которые, совместно с уравнениями (2) и соотношением (8), представляют собой полный набор уравнений динамики нематика состоящего из дископодобных молекул в адиабатическом приближении Линеаризация этих уравнений приводит к двум спектрам коллективных возбуждений, причем выражение для скоростей и\ распространения имеет вид

,1/2

+ Ясоэ2 в^ -

Я$т220

1/2

(9)

д2е

где ЯвВ!рс2 и в = <12—— >0 Выражение (9) для скоростей волн, как функция &Г

полярного угла, в случае дископодобных молекул отличается от соответствующего выражения (5), справедливого для каламитного нематика Дополнительная мода связана с упругим изменением размера дископодобной молекулы жидкого кристалла. Характер анизотропии спектров (9) представлен на рис 2а, б

Рис 2а

Рис 26

Угловая зависимость скорости с+ при Л = 5 Угловая зависимость скорости с при А = 3

Анализ компьютерной графики показывает, что вблизи угла 0 = л/2 скорость с+ уменьшается с ростом безразмерного термодинамического параметра Я Для скорости С— рисунки качественно подобны аналогичным рисункам для стержнеподобных нематических жидких кристаллов

Рассмотрено поведение скоростей распространения возбуждений при малых значениях параметра к «I В соответствии с формулой (9), имеем

Малая добавка, связанная с деформацией дископодобной молекулы, приводит к слабой анизотропии скорости первого звука с+ Скорость звука с_ существенно

анизотропна и, как следует из (7), (10), при Я «1 вид обеих скоростей звуков с_ в

одноосных нематиках не зависит от формы молекул Согласно (10), для первого звука получены значения углов, соответствующих максимальной и минимальной скоростям

с_

(10)

тт с+ = с

при в -л 12,

0

шахс+ = с(1 + Я/2)

при в = 0,гг

0

Для второго звука имеем следующие особенности

тп^ =0

при в = 0,/г/2,л,

шахс_

= с>/а / 2

при в = л74,Зж/4

0

Считая, что порядок величины Л такой же, что и в сгержнеподобных молекулах, численная оценка для обеих скоростей в случае дископодобных .иолекул аналогична

с+«10 м/с и с_ я 10-10 м/с Учитывая характерные размеры структурных

элементов для нематиков и приведенные оценки для обеих скоростей звука и

безразмерного параметра Д, получим оценки для частот для первого звука

аъЮ6 -10'° с-' Для второго звука найдем Ю4 -40' с"'

Четвертая глава посвящена исследованию двухосных нематических жидких

кристаллов с эллипсоидальными молекулами В этом случае справедливы следующие

соотношения для характерных размеров молекул конденсированных сред

/>с/>й,(/ = й Единичные и ортогональные оси анизотропии п(х),т(х),

характеризующие нарушение вращательной инвариантности, определим равенствами

А(х)В (х) + В(х)А (х) А(х)В (х)-В(х)А (х) п(х) = -.-±-т(х) = -,-1-^

Здесь векторы Ак (х) ^ Ь^ <х)з|р ¿¿'(х>г) и их модули введены в терминах

тензора дисторсии Постоянные и ортогональные векторы и задают размеры и ориентацию двухосной молекулы в недеформированном состоянии Исследователями [1ли М 1981, 5аз1о\\- \УМ 1982, гароЮску М, ОоМЬагс1 Р М, ОоМепГеИ N 1995] динамика таких систем дополнительно характеризовалась только двумя осями анизотропии В нашем подходе набор параметров сокращенного описания состоит из плотностей аддитивных интегралов движения, двух осей анизотропии и трех информационных параметров, представляющих собой размеры двух осей анизотропии эллипсоидальной молекулы и угол между ними <ра(х)ш %а(х),п(х),т(х),р(х),и(х),у(х)) Необходимость такого расширения набора параметров сокращенного описания связана с требованием замыкания алгебры скобок Пуассона для всех гидродинамических величин Конформационные параметры заданы соотношениями

'«4-Ш

Для двух осей пространственной анизотропии и трех информационных степеней свободы получены уравнения динамики

дп

ди

Вт,

(И)

= -у V и- Г V V 31 уГ1и у V

Ш '

Эр

где величины ^, С^, , Су, Ны представлены в терминах параметре сокращенного описания, явный вид которых мы не приводим и плотность потока

импульса имеет вид

п г бе де __ де

I, =РЗ , +-я,+-V п, +-

« дя, ' ЭУ.я, ' Я dV.ni, К к л к А

V»

'Я « Зу 'к

ф Л ¡кЛ

(12)

де у де 8п V л

я у я;

/

гкЯ

де де

дт. 1 ЭУ т. X ] Я)

Уравнения (2), (11) и соотношение (12) представляют собой полный набор динамических уравнений рассматриваемых двухосных нематиков с эллипсоидальной формой молекул Линеаризация этих уравнений приводит к бикубическому дисперсионному уравнению

(У6 + гк2а4 + хк4о2 + /к6 = О,

где выражения коэффициентов г = гф,<р,Я1), $ = .$(£?,<г>,Я) и / = г(<?,$>Д) нами получены в виде определенных функций азимутального и полярного углов, а также безразмерных параметров Я( Безразмерные параметры Я( представляют собой отношение плотности упругой энергии деформации молекулы, соответствующего конформационного параметра, к плотности кинетической энергии Три действительных решения приведенного кубического уравнения реализуются при

условии О з((35-г2)/9)3 +((2г2 - 9ге + 27 0/54)2 иимеютвид

Юп = ^(в.фД,)^2

Здесь п = 1,2,3 Для трех скоростей звуков получены выражения

с2 = -(г2 -3s),/2cos-(v + 2(n-l)7i)-r/3 n 3 3 '

cos ц/ = -

2r3 - 9rs + 27 t 2(r2-9s)3/2

Возникновение новых ветвей спектра коллективных возбуждений связано с упругими деформациями формы и размера эллипсоидальной молекулы

При Л > о приведенное кубическое уравнение имеет одно действительное решение Нематик характеризуется одной ветвью возбуждения Это решение для скорости с, имеет вид

2r3-9rs + 21t

-+

^ + + (Jb)

54

Нами также рассмотрен случай, когда двухосный нематик характеризуется одной конформационной степенью свободы р, которая является функцией угла между большой и малой осями молекулы В этом случае в среде возможно распространение двух спектров коллективных возбуждений

ct = í + X, sin2 0 ± [(1 - к, sin2 G)2 + 4Х, sm4 еcos2 2ср]"2 j'2 (14)

Таким образом, можем заключить, что в нематике с молекулами эллипсоидальной формы возможно распространение от одной до трех ветвей спектров коллективных возбуждений

На рисунках З(а-с) приведены результаты компьютерного моделирования трех скоростей при некоторых значениях безразмерных параметров X Сравнивая полученные изображения угловой зависимости скорости с,, видим, что в

определенной степени она повторяет вид спектра для с+ случая одноосных стержнеподобных нематиков - происходит уменьшение скорости звука в полюсных областях, то есть вблизи значений полярного угла О = 0, л В этом случае возникает новый эффект - модуляция скорости Cj по азимутальному углу с периодом л72

Изображения фронта распространения волны соответствующей скорости cj(cm формулу (13)) и скорости с+(см формулу (14)) качественно совпадают со спектром

рисунка За. Изображение спектра для скорости с_ аналогично изображению на рисунке 36

Рис За(с,) Рис 362) РисЗс(с3)

Угловая зависимость скоростей с, при л,=ооо1, д2=ооо1, л} = з, с2 при л{ = 0,001, л2 = О 001, Л3 = 1, с} при Л, = О 01, Л2 = о 01, Л3 = 0 03 ,

Из анализа результатов аналитических выражений и компьютерной графики сделаны следующие выводы о характере спектров коллективных возбуждений этой главы

- в случае скорости с, увеличение параметра л3 при фиксированных значениях

параметров и л2 приводит к уменьшению скорости распространения волны на

полюсах При л1 > л2 или д2 > л ( происходит сплющивание звука по азимутальному углу во взаимно перпендикулярных направлениях

- в случае скорости с2 изменение параметра л} при фиксированных значениях

параметров л[ и л2 не приводит к заметной деформации фронта распространения

волны, а существенное различие значений параметров д] и л2 приводит к исчезновению пары коллинеарных лепестков спектра.

- в случае скорости с3 увеличение параметра л3 при фиксированных значениях

параметров д) и л2 приводит к вытягиванию фронта распространения звука с

периодом л / 2, при > д2 и фиксированном л3 образуется два лепестка, повернутых относительно один другого на угол я в верхней и нижней плоскостях относительно начала координат, при д2 > и фиксированном л} образуется четыре

лепестка, повернутых относительно один другого на угол п / г в верхней и нижней плоскостях Характерные оценки для скоростей имеют вид ~ с+ к 10 м/с и

у

10—10 м/с, с^ «1-10 м/с Аналогичные получим оценки для частот

о, «106 —10'° с"1, для второго звука получим а2 = 104 -10' с"' и для третьего звука ®з« 103 -108 с"1 При этом мы принимали значения безразмерных параметров Л одинаковыми для случаев одноосных и двухосных нематиков

В пятой главе изучены двухосные нематические жидкие кристаллы, структурные элементы которых представляют собой дискоидные молекулы (хромоники) Имеют место следующие соотношения для характерных размеров молекул 1«с1,А, = А Для такой конденсированной среды расширен набор

термодинамических величин, макроскопически полно характеризующих среду К дополнительным термодинамическим параметрам относятся две оси анизотропии п,т и три информационные степени свободы р,д,1, которые на макроскопическом уровне отражают внутреннюю структуру дискоидной молекулы

Получены выражения для плотности потока импульса и динамические уравнения Дисперсионное уравнение, устанавливающее спектры коллективных возбуждений, также приводится к бикубическому уравнению с несколько видоизмененными коэффициентами г = г(0,р,А,), .г = ■$«?,?>,Л,) и / = 1(9,<р,Л,) На рисунках 4 (а-с) приведены фронты распространения спектров коллективных возбуждений

Рис 4а(с,) Рис 4б(с2) Рис4с(с3)

Угловая зависимость скоростей с, при = 1, д2 = о<н, л3 = 1, с2 при = 1, = 0,01, ¿3=1, с3 при ^ = 0,001, ¿2 - 0 001, Д3 .3,

Наличие второго и третьего звуков в среде связано с возможностью деформации длин осей анизотропии двухосной молекулы и угла между ними Также как и в предыдущей главе, исследования показывают значительную анизотропию спектров коллективных возбуждений, существенное их угловое различие в зависимости от ветви спектра, зависимость числа спектров возбуждений от значений термодинамических параметров Из проведенного компьютерного анализа спектров

можно сделать вывод, что параметр я3 отвечает за изменение фронта

распространения волн в полюсных областях, а изменение параметров д] и Л2 -приводит к модуляции фронта распространения волн в азимутальном направлении с периодом я-12

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1 Получены уравнения динамики одноосных нематиков с учетом дископодобной и стержнеподобной формы и размера структурных элементов таких сред

2 Установлено влияние деформации формы и размера структурных элементов среды на количество и угловой характер спектров коллективных возбуждений одноосных нематиков Предсказана возможность распространения двух спектров коллективных возбуждений Найдены аналитические угловые характеристики спектров коллективных возбуждений, получившие экспериментальное подтверждение

3 Найдены нелинейные уравнения динамики двухосных нематиков с учетом дискоидной и эллипсоидальной формы и размера структурных элементов

4 Выяснено влияние деформации формы и размера структурных элементов среды на количество и угловой характер спектров коллективных возбуждений двухосных нематиков Предсказана возможность распространения от одного до трех спектров коллективных возбуждений

5 Выполнено компьютерное моделирование спектров коллективных возбуждений и проведен их анализ от упругих свойств структурных элементов нематических жидких кристаллов

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Ивашин А П, Ковалевский М Ю, Логвинова Л В Динамика двухосных нематнков с конформационными степенями свободы // Теоретическая и математическая физика 2004 Т 140 №3 С 500-512

2 Ivashin А Р, Kovalevsky М Y , Logvinova L V Dynamics of nematic liquid crystals with conformational degrees of freedom // Journal of Quantum Chemistry 2004 V 100 Issue 4 P 636-644

3 Ivashm A, Kovalevsky M , Logvinova L, Matskevich V Acoustic spectra of nematic liquid crystals subject to variation of shape of molecules //Abstracts Poster section Intern Conf on Statistical Physics (STATPhys22) Bangalore, July 2004 Topic 7 P 13

4 Ивашин А П, Ковалевский M Ю, Логвинова Л В Динамика двухосных тематических жидких кристаллов с конформационными степенями свободы // Украинский физический журнал 2004 Т 49 № 1 С 38-45

5 Ивашин АII, Ковалевский М 10, Логвинова Л В , Мацкевич В Т Динамика нематических жидких кристаллов с конформационными степенями свободы //

6 Международная конференция по математическому моделированию МКММ 2003 Херсон, сентябрь, 2003 Вестник Херсонского государственного технического университета 2003 ВыпЗ(19) - С 152-155

6 Ivashm А Р , Kovalevsky М Y , Logvinova L V , Matskevich V Т Dynamics and Green Functions of uniaxial and biaxial Nematic // Book of Abstracts 20-th General Conference Condensed Matter Division EPS Prague July 2004 P 226

7 Ковалевский M Ю, Логвинова Л В, Мацкевич ВТ К динамической теории конденсированных сред с учетом формы и размеров молекул // Тезисы доклада Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике Кисловодск, май 2006 Журнал Обозрение прикладной и промышленной математики 2006 Т 13 Вып 3 С 497-498

8 Ковалевский М Ю, Логвинова Л В, Мацкевич В Т Динамическая теория конденсированных сред с учетом формы и размеров молекул //Тезисы доклада международной конференции «Квантовая электродинамика и статистическая физика» Харьков, сентябрь 2006 С 168

9 Ковалевский М Ю , Логвинова Л В , Мацкевич В Т, Разумный А Я К теории релаксационных процессов с учетом формы и размеров структурных элементов конденсированных сред // Материалы II Международной конференции «Теория конденсированного состояния» Харьков, январь 2007 С 57

10 Ковалевский М Ю , Логвинова Л В , Мацкевич В Т Угловые и поляризационные особенности акустических спектров одноосных нематиков с учетом формы и размеров молекул // XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии Москва, апрель 2007 С 52

11 Ковалевский М Ю , Логвинова JI В , Мацкевич В Т Нелинейная динамика конденсированных сред со структурой /I Международный математический конгресс «Нелинейный динамический анализ - 2007» Санкт-Петербург, июнь 2007 С 284

12 Ковалевский М Ю, Логвинова Л В, Мацкевич ВТ Об угловых и поляризационных особенностях акустических волн в одноосных нематиках // XIII Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» Херсон-Лазурное, июнь, 2007 С 174-177

13 Kovalevsky М, Logvinova L, Matskevich V Dynamic theory of condensed matter with internal structure II Вопросы атомной науки и техники 2007 №3 С 380-384

Подписано к печати 15 11 2007 Формат 60 х 84 1/16 Гарнитура Times Уел п л 1,1 Заказ 412 Тираж 100 экз Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015 г Белгород, ул Победы, 85

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА КЛАССИЧЕСКИХ СПЛОШНЫХ СРЕД.

1.1. Динамика классических сплошных сред.

1.2. Дифференциальные законы сохранения. Представление плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах плотностей аддитивных интегралов движения.

1.3. Термодинамика нормальных конденсированных сред. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала.

1.4. Идеальная гидродинамика. Линеаризация уравнений и акустический спектр.

Глава 2. ДИНАМИКА ОДНООСНЫХ НЕМАТИКОВ СО СТЕРЖНЕПОДОБНЫМИ МОЛЕКУЛАМИ.

2.1. Представление оси пространственной анизотропии и конформационной степени свободы стержнеподобной молекулы в терминах тензора дисторсии. Алгебра скобок Пуассона параметров сокращенного описания.

2.2. Термодинамика одноосных нематиков со стержнеподобными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала.

2.3. Нелинейные уравнения идеальной динамики одноосных нематиков со стержнеподобной формой молекул.

2.4. Линеаризованные уравнения динамики. Угловая зависимость и компьютерное моделирование двух спектров коллективных возбуждений.

Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ОДНООСНЫХ НЕМАТИКАХ С ДИСКОПОДОБНЫМИ МОЛЕКУЛАМИ.

3.1. Одноосные состояния в нематиках с дископодобными молекулами. Представление оси пространственной анизотропии и конформационной степени свободы дископодобной молекулы в терминах тензора дисторсии. Алгебра скобок Пуассона для параметров сокращенного описания.

3.2. Термодинамика одноосных нематиков с дископодобными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала.

3.3. Нелинейные уравнения идеальной динамики одноосных нематиков с дископодобной формой молекул.

3.4. Линеаризация уравнений динамики. Угловая зависимость и компьютерное моделирование двух спектров коллективных возбуждений.

Глава 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ДВУХОСНЫХ НЕМАТИКАХ С МОЛЕКУЛАМИ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ФОРМЫ.

4.1. Двухосные состояния нематиков с молекулами эллипсоидальной формы. Представление осей пространственной анизотропии и конформационных степеней свободы в терминах тензора дисторсии. Алгебра скобок Пуассона для параметров сокращенного описания.

4.2. Термодинамика двухосных нематиков с эллипсоидальными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала.

4.3. Нелинейные уравнения идеальной динамики двухосных нематиков с эллипсоидальной формой молекул.

4.4. Линеаризованные динамические уравнения. Угловая зависимость и компьютерное моделирование спектров коллективных возбуждений.

Глава 5. ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ ДВУХОСНЫХ НЕМАТИКОВ С ДИСКОИДНЫМИ МОЛЕКУЛАМИ.

5.1. Двухосные состояния нематиков с молекулами дискоидной формы. Представление осей пространственной анизотропии и конформационных степеней свободы в терминах тензора дисторсии. Установление алгебры скобок Пуассона параметров сокращенного описания.

5.2. Термодинамика двухосных нематиков с дискоидными молекулами. Нахождение плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах термодинамического потенциала.

5.3. Нелинейные уравнения идеальной динамики двухосных нематиков с дискоидной формой молекул.

5.4. Линеаризованные уравнения динамики. Угловая зависимость и компьютерное моделирование спектров коллективных возбуждений.

ВЫВОДЫ.Л

В настоящее время большой интерес вызывает изучение жидкокристаллических сред. Такие конденсированные состояния, которые мы будем изучать, обладают свойством жидкости - текучестью и анизотропией -свойством, характерным для твердого тела. Указанная разновидность конденсированных сред относится к мягкой материи [1]. Это понятие в физике конденсированных состояний возникло более тридцати лет назад и охватывает широкий круг объектов, которые ранее преимущественно относились к сфере химических и биологических наук. Примерами таких сред являются полимеры, жидкие кристаллы, гели, пены и эмульсии, жидкости, биологические объекты [212]. Общими их особенностями являются наличие внутренней упорядоченной структуры мезоскопических или наноскопических размеров [13,14], которые проявляются на макроуровне в виде определенных физических явлений и процессов.

Относительная слабость сил притяжения в жидкокристаллических средах, наличие в них мезоскопических анизотропных структурных элементов проявляются в большом разнообразии их возможных состояний, в сильной роли тепловых флуктуаций и в легкости изменения внутреннего состояния под внешним воздействием (механические напряжения, электрические поля, температура) [1520]. В настоящее время отсутствуют простые и наглядные представления макроскопического описания, которые учитывали бы влияние внутренней структуры среды на термодинамику и динамические процессы. Сейчас это направление исследований интенсивно развивается и открывает новые технологические перспективы.

Хорошо известно, что достаточно сложный состав элементов, образующих жидкие кристаллы, приводит к иерархии структурных уровней их организации.

Обычно выделяют локальный (молекулярный) порядок, координационный межмолекулярный) и макроскопический (дальний порядок) [12]. Каждому уровню упорядочения соответствует свой набор параметров, характеризующих симметрию и структуру жидких кристаллов, а также свои методы исследования. В работах

12,13,15] показано, что на масштабах порядка молекулярного размера необходимо введение параметров конформационного состояния. Равновесные свойства и 5 фазовые переходы в таких конденсированных средах обычно описывают взаимосогласованным образом, используя представление о конформационных параметрах порядка и параметрах ориентационного порядка [16].

В исследовании разнообразных физических свойств жидких кристаллов имеются две фундаментальные проблемы. Одна из них - описание равновесных состояний таких сред. Основой такого описания является представление о спонтанном нарушении симметрии состояния равновесия [21-27]. Нормальное состояние изучаемых конденсированных сред является изотропной жидкостью, несмотря на наличие анизотропных структурных элементов. При изменении температуры, концентрации или других термодинамических параметров происходит фазовый переход в состояние с другой симметрией состояния равновесия - возникает макроскопическая анизотропия (одноосная или двухосная), характерная для нематических жидких кристаллов. В этом случае имеет место спонтанное нарушение симметрии относительно поворотов в конфигурационном пространстве при сохранении трансляционной инвариатности. Наряду с таким нарушением симметрии, возможно одновременное нарушение вращательной и трансляционной симметрии, что проявляется возникновением периодических структур (одно-, двух- и трехмерных) [3,4,6,10]. Типичными примерами таких жидких кристаллов являются смектики, дискотики, холестерики.

При спонтанном нарушении симметрии симметрия состояния равновесия конденсированной среды становится ниже симметрии гамильтониана [21]. Качественно физические свойства таких систем связывают с понятием параметра порядка [28]. Эта величина является существенной при описании фазовых переходов второго рода из одного состояния равновесия в другое состояние, обладающее иными свойствами симметрии. Физика явлений сверхтекучести и сверхпроводимости, кристаллическое и жидкокристаллическое упорядочение, разнообразные магнитные системы являются примерами такого рода состояний [29-34]. Для жидких кристаллов параметром порядка является симметричный и бесшпуровый тензор [1-7,9-12]. В изотропном высокотемпературном состоянии конденсированной среды эта величина равна нулю. В состоянии с нарушенной вращательной симметрией параметр порядка характеризуется одной или двумя осями анизотропии и одним или двумя модулями параметра порядка. Такой параметр порядка описывает одноосные и двухосные нематики.

Отметим, что конкретный выбор параметра порядка связан с природой равновесных состояний вырожденных конденсированных сред. Из феноменологической теории известно, что для адекватного описания термодинамики в конденсированных средах с нарушенной симметрией, вообще говоря, необходимо ввести в теорию новые термодинамические параметры, не связанные с законами сохранения, а обусловленные физической природой термодинамической фазы. В случае нормальных конденсированных сред термодинамические параметры определяются только плотностями аддитивных интегралов движения.

Статистический подход Гиббса, который хорошо описывает нормальные состояния равновесия многочастичных состояний [35-37], не описывает правильно равновесные состояния конденсированных сред, для которых равновесный параметр порядка отличен от нуля. Теоретическим фундаментом статистической физики, описывающей равновесные состояния конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией, является концепция квазисредних [21,26,27]. Развитие и применение концепции квазисредних к описанию жидкокристаллических конденсированных сред с тензорным параметром порядка осуществлялось в работах [38,39]. Основным признаком жидких кристаллов является наличие ориентационного упорядочения, обусловленного анизотропией молекул. Физическими величинами, которые отражают эту особенность для нематических жидких кристаллов, являются единичный вектор пространственной анизотропии (директор) в одноосном случае и два вектора пространственной анизотропии для двухосных нематиков [40-48]. Эти величины становятся дополнительными макроскопическими параметрами, существенными при формулировке второго начала термодинамики и получении уравнений динамики.

Другая проблема в исследовании жидких кристаллов - изучение их динамического поведения и спектров коллективных возбуждений. Это направление исследований активно разрабатывалось на макроскопическом уровне для целого ряда конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией [49-56]. Получение и исследование уравнений динамики для жидких кристаллов осуществлялось в работах [40-44,46-50] на основе представлений о спонтанно нарушенной симметрии. При этом не всегда учитывалось влияние формы молекул на динамические процессы в жидких кристаллах [45,46]. Необходимо отметить, что физическими примерами влияния геометрии молекул на макроскопические свойства жидких кристаллов являются разный знак реактивного коэффициента в уравнениях гидродинамики [57], различные возможности реализации ферроэлектрического состояния [58,59], спектральные особенности поляризованного поглощения света [60]. Благодаря исследованиям по релеевскому и комбинационному рассеянию света [61,62], распространению звука и течению сред с деформируемыми частицами [63] возникла потребность в развитии теории конденсированных сред с учетом внутренних степеней свободы, которая описывала бы коллективные движения в среде с учетом структуры молекул и искажения их формы. Исследования по созданию феноменологического или статистического подхода для решения этой задачи проводились ранее в работах [64-68].

При построении уравнений гидродинамики в случае систем со спонтанно нарушенной симметрией в рамках микроскопической теории параметрами сокращенного описания являются не только плотности аддитивных интегралов движения, как это имеет место в нормальных системах, но и дополнительные величины, связанные с нарушенной симметрией. Вопрос выбора параметров сокращенного описания в конденсированных средах (упругое твердое тело и жидкие кристаллы) обусловлен рядом факторов. Часть таких параметров связана со свойствами симметрии гамильтониана, что проявляется наличием динамических уравнений, обусловленных дифференциальными законами сохранения [69]. Другим фактором, влияющим на состав гидродинамических параметров, является форма молекул. В жидких кристаллах имеет место связь формы молекул и структуры уравнений гидродинамики [45,46,70,71].

Вблизи температуры фазового перехода, во внешних достаточно сильных электрическом или магнитном полях, низкоразмерных случаях (¿/< 3) возникает необходимость учета всех компонент параметра порядка жидких кристаллов [72,73]. Отметим в этой связи аналогию с квантовой бозе-жидкостыо, для которой вблизи области фазового перехода также необходимо расширить набор параметров сокращенного описания - учитывать не только фазу параметра порядка, но и его модуль [74,75].

Наконец, набор параметров связан с характером спонтанного нарушения симметрии системы. Формулировка теории упругости, как раздела механики сплошной среды [76], основывается на представлении о спонтанно нарушенной трансляционной симметрии. Базовой динамической величиной в наборе параметров сокращенного описания, связанной с таким нарушением симметрии, является тензор дисторсии. Последняя величина полностью отображает характер деформации сплошной среды, однако, введение ее в качестве дополнительной динамической величины, как правило, избыточно.

Гидродинамическая теория жидких кристаллов также представляет собой механику сплошной среды со спонтанно нарушенной симметрией. По сравнению с изотропным и однородным (нормальным) состоянием, в изучаемом случае имеет место нарушение симметрии относительно поворотов в конфигурационном пространстве и зачастую трансляционной симметрии.

Получению уравнений динамики одноосных нематиков посвящены работы [77-86]. Основываясь на феноменологическом подходе, линейные динамические уравнения получены в работах [32,44]. Учет нелинейных особенностей уравнений динамики одноосных нематиков проведен в [77-82]. Результаты микроскопического статистического подхода к описанию состояния равновесия жидких кристаллов представлены в работах [83,84]. Возможные релаксационные процессы для нематических жидких кристаллов изучены в работах [85,86]. В обзоре [87] дано детальное описание физических методов измерения кинетических коэффициентов в нематических жидких кристаллах. Для одноосных жидких кристаллов в работах [46,53] показано, что дополнительный гидродинамический параметр - ось пространственной анизотропии, связанная с таким нарушением симметрии, может быть представлена в терминах тензора дисторсии. Результаты исследований спектров коллективных возбуждений в нематиках приведены в монографии [6].

В 1980 году экспериментально открыты двухосные нематики [88] в лиотропных жидких кристаллах. Первые сообщения об экспериментальном открытии биаксиальных нематиков в термотропных жидких кристаллах появились в 2004 году в работах [89,90]. Трудности в идентификации таких состояний и другие возможности в интерпретации экспериментальных данных таких жидких кристаллов обсуждены в работе [91].

В теоретических работах [92-94] рассмотрена термодинамика и гидродинамика этих конденсированных сред. Для этого класса жидких кристаллов является характерным полное спонтанное нарушение симметрии относительно поворотов в конфигурационном пространстве. Однако в этих работах не выписаны в явном виде выражения для всех реактивных плотностей потоков аддитивных интегралов движения в терминах функционала энергии и не выявлен характер влияния формы молекул на динамические уравнения для этого класса жидких кристаллов.

Как уже отмечено выше, динамическое поведение жидких кристаллов зависит от формы и размеров молекул. Учет влияния внутренних микроскопических параметров на макроскопические характеристики реальных жидких кристаллов приобретает важное значение в их практическом использовании. В настоящее время известны такие виды структурных элементов нематических жидких кристаллов: небольшие органические молекулы: /«Ю-8 м; надмолекулярные структуры - синтетические полипептиды, вирусы: /«Ю-6 м; жесткие полимеры: /«Ю-4 м [1]. Поэтому при изучении динамики нематиков нами детально рассмотрены различные возможности этого влияния. Форма структурного элемента конденсированной среды моделировалась в виде эллипсоида или дискоида со сторонами 1,(1,к. В диссертации детально изучены следующие четыре случая:

1. Одноосная стержнеподобная молекула. В этом случае имеют место следующие соотношения характерных размеров молекул конденсированных сред

1»й,к, с1 = И.

2. Одноосная дископодобная молекула. Характерные размеры молекул изучаемых конденсированных сред удовлетворяют соотношениям г/, А, с1 = И.

3. Двухосная эллипсоидальная молекула. В этом случае справедливы следующие соотношения для характерных размеров молекул конденсированных сред

1>й>к, с/юй.

10

4. Двухосная дискоидная молекула. Имеют место следующие соотношения для характерных размеров молекул изучаемых конденсированных сред г, с1фк,

В данной работе исследовано влияние деформации формы и размера структурных элементов среды на динамику неравновесных пространственно-неоднородных состояний, количество и характер анизотропии спектров коллективных возбуждений.

Наличие большого количества разнообразных идей, теорий и методов исследований динамики жидких кристаллов свидетельствует, что это направление остается далеким от своего завершения, и работы в этом направлении являются актуальными и важными.

Целью диссертационной работы исследование динамики и установление спектров коллективных возбуждений в одноосных и двухосных нематических жидких кристаллах с учетом формы и размеров молекул.

Математической основой нашего изучения выбран гамильтонов подход, являющийся эффективным методом получения и исследования нелинейных динамических уравнений, описывающих явления переноса в различных конденсированных средах. Указанный подход позволяет исследовать динамику, как классических конденсированных сред, так и макроскопических квантовых объектов.

Основой наших исследований является использование идеологии сокращенного описания многочастичных состояний, применение и развитие гамильтонова формализма для нематических жидких кристаллов, обобщение и усовершенствование имеющихся подходов при теоретическом описании вышеуказанных конденсированных сред. Для реализации цели были поставлены и решены такие задачи:

1. Построение уравнений динамики для одноосных нематиков с учетом формы и размеров структурных элементов таких сред и исследование спектров коллективных возбуждений.

2. Установление уравнений динамики для двухосных нематических жидких кристаллов с учетом деформации формы и размеров структурных элементов и изучение угловых характеристик спектров коллективных возбуждений.

3. Анализ и компьютерное моделирование спектров коллективных возбуждений нематических жидких кристаллов.

Использованный в диссертации гамильтонов подход основан на общих положениях физики конденсированного состояния, связанных с законами сохранения, основных термодинамических принципах и построении нелинейных уравнений динамики рассматриваемого класса конденсированных сред, обладающих ярко выраженной анизотропией, в основе которой лежит физическая анизотропия структурных элементов таких сред. Ключевым в таком подходе является установление явного вида скобок Пуассона для всего набора параметров сокращенного описания.

Следует иметь в виду, что, в отличие от параметров сокращенного описания, связанных со свойствами симметрии гамильтониана, для которых скобки Пуассона хорошо известны (см. [6,50,53]), скобки Пуассона для дополнительных динамических параметров, отражающих особенности формы и размера молекул, имеют нетривиальную структуру и их нахождение представляет основную проблему. Для ее решения использована идея представления всех дополнительных параметров сокращенного описания в терминах тензора дисторсии [46,53], которая была реализована в этих работах для одноосных нематиков. Дополнительные величины (оси анизотропии и конформационные степени свободы, задающие форму молекулы и связанные со спонтанным нарушением симметрии относительно поворотов в конфигурационном пространстве) нами введены в терминах тензора дисторсии.

Научная новизна полученных результатов

1. Выведены нелинейные уравнения динамики одноосных нематических жидких кристаллов с учетом оси анизотропии и размеров молекул стержнеподобной и дископодобной формы.

2. Выяснено, что учет деформации конформационной степени свободы в одноосных нематиках приводит к двум спектрам коллективных возбуждений. Получено аналитическое выражение для скоростей обоих спектров в одноосных нематиках как функция полярного угла. Выявлены особенности этих спектров для молекул стержнеподобной и дископодобной форм. Проведено компьютерное моделирование спектров с учетом изменения термодинамического параметра.

3. Выведены нелинейные уравнения динамики для двухосных нематических жидких кристаллов с учетом осей анизотропии и трех конформационных параметров, отражающих влияние формы и размера эллипсоидальной и дискоидной молекул.

4. Выяснено, что в двухосных нематических жидких кристаллах возможно распространение от одного до трех спектров коллективных возбуждений. Получено аналитическое выражение скоростей распространения волн в двухосных нематиках как функция полярного и азимутального углов и выявлены их особенности для эллипсоидальной и дискоидной молекул. Проведено компьютерное моделирование спектров с учетом вариации термодинамических параметров.

Практическое значение полученных результатов

В работе развит гамильтонов подход описания динамики нематических жидких кристаллов с учетом формы и размера структурных элементов среды. Теоретически предсказана возможность распространения двух спектров коллективных возбуждений в одноосных нематиках и трех спектров в двухосных нематиках. Количественное описание угловой зависимости спектров коллективных возбуждений получило экспериментальное подтверждение. Полученные данные могут быть полезны в разработке неразрушающего контроля материалов [95,96].

Вопросы изучения акустических и коллективных неравновесных свойств жидких кристаллов имеют существенное значение для понимания физических процессов в биологических объектах. В частности, передача нервных импульсов, работа мышц, формирование атеросклеротических бляшек - это примеры физических процессов, протекающих в жидкокристаллической фазе [97]. Анизотропное строение биологических сред позволяет, с одной стороны, осуществлять защитные функции в организме, а с другой, в виду жидкостного характера, обеспечивает хорошие транспортные свойства, необходимые клетке для эффективной жизнедеятельности.

Другим важным фактором интереса к этим конденсированным средам является возможность их использования в качестве жидкокристаллических дисплеев. Легкость управления внешним электрическим полем, быстродействие и экономичность делают их применение в сфере отображения и передачи информации весьма перспективным. Акустические особенности жидких кристаллов уже используются в получении подводных изображений и медицинской диагностике.

Апробация результатов диссертации Основные результаты диссертационной работы докладывались и были представлены на таких конференциях: 6 Международная конференция по математическому моделированию, МКММ 2003, Херсон, сентябрь, 2003; International Conference "Recent Trends in Kinetic Theory and Its Applications" Kyiv, 11-15 May 2004; International Conference on Statistical Physics (STATPhys22) Bangalore, India, 4-9 July 2004; Международная конференция "Physics of liquid matter: Modern problems" Киев, сентябрь, 2003; 20-th General Conference Condensed Matter Division EPS, Prague, 19-20 July 2004; 7 Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике Кисловодск, май 2006; Международная конференция "Квантовая электродинамика и статистическая физика" Харьков, 19-23 сентября 2006; Научно-практический семинар «Математические модели формирования новых конструкционных материалов» Белгород, 16-17 октября 2006; II Международной конференции «Теория конденсированного состояния», Харьков, 16-17 января 2007; XLIII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии Москва, 23-27 апреля 2007; Международный математический конгресс «Нелинейный динамический анализ - 2007», Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007; Международный симпозиум «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», Херсон, 11-16 июня 2007.

Публикации содержание диссертации опубликовано в работах [98-110].

Личный вклад соискателя состоит в проведении большей части аналитических расчетов, выполнении компьютерного моделирования по теме диссертации, участия в постановке задач исследований и обсуждении полученных результатов. Им же сформулированы основные результаты выполненных исследований, написаны тексты диссертации и автореферата.

Объем и структура диссертации диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы из 133 наименований и содержит 24 рисунка. Полный объем работы 133 страницы машинописного текста.

выводы

1. В рамках гамильтонова подхода дан вывод нелинейных уравнений динамики для одноосных нематиков с учетом дископодобной и стержнеподобной формы и деформации размеров структурных элементов таких сред.

2. Установлены аналитические зависимости влияния формы и размера структурных элементов среды на количество и угловой характер спектров коллективных возбуждений одноосных нематиков. Предсказана возможность распространения двух спектров коллективных возбуждений. Найдены аналитические угловые характеристики спектров коллективных возбуждений, получившие экспериментальное подтверждение.

3. Выведены нелинейные уравнения динамики для двухосных нематиков с учетом дискоидной и эллипсоидальной формы и деформации размеров структурных элементов таких сред.

4. Выяснено влияние формы и размера структурных элементов среды на количество и угловой характер спектров коллективных возбуждений двухосных нематиков. Предсказана возможность распространения от одного до трех спектров коллективных возбуждений для таких нематических жидких кристаллов. Вычислены угловые характеристики спектров коллективных возбуждений.

5. Выполнено компьютерное моделирование спектров коллективных возбуждений и проведен их анализ в зависимости от термодинамических особенностей нематических жидких кристаллов.

Автор выражает сердечную благодарность и глубокую признательность научному руководителю - доктору физико-математических наук Ковалевскому Михаилу Юрьевичу за предложенную тему исследований, неизменный вдохновляющий интерес к работе, доброжелательность и безграничное терпение.

Искренне благодарна заведующему кафедрой математического анализа профессору Чеканову Николаю Александровичу и сотрудникам кафедры за постоянную творческую и моральную поддержку, теплые товарищеские отношения.

1. de Gennes P.G. Prost J. The physics of liquid crystals //Oxford University Press -Oxford. 1995.-400 p.

2. Чандрасекар С. Жидкие кристаллы //М.: Мир. 1980 - 344 с.

3. Пикин С.А. Структурные превращения в жидких кристаллах //М.: Наука Физматлит. 1981. - 336 с.

4. Сонин А.С. Введение в физику жидких кристаллов //М.: Наука. 1983. - 319 с.

5. Лебедев В.В., Кац Е.М. Динамика жидких кристаллов //М.: Наука.- 1988. 144 с.

6. Гребенкин М.Ф., Иващенко А.В. Жидкокристаллические материалы //М.: Химия. 1989.-288 с.

7. Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул /М.: Наука. -1989.-340 с.

8. Chaikin P.M., Lubensky Т.С. Principles of condensed matter physics //Cambridge University Press Cambridge. - 1995. - 699 p.

9. Немцов В.Б. Неравновесная статистическая механика систем с ориентационным порядком // Минск: Технология. 1997 - 265 с.

10. Дой М., Эдварде С. Динамическая теория полимеров //М.: Мир. 1998. - 440 с.

11. Аверьянов Е.М. Эффекты локального поля в оптике жидких кристаллов // Новосибирск: Наука. 1999. - 552 с.

12. Клеман М., Лаврентович О.Д. Основы физики частично упорядоченных сред 1М.\ Физматлит 2007. - 679 с.

13. Emsley J.W. (ed.) Nuclear magnetic resonance of liquid crystals 11 Nato science series C, 1985.- 592 p.

14. Пул Ч., Оуэне Ф. Нанотехнологии // М.: Техносфера. 2005. - 336 с.

15. Zannoni С. Order parameters and orientational distrbutions in liquid crystals //Proc. of NATO Advanced Study Institute. 1988. - p. 57-83.

16. Аверьянов Е.М. Изменение конформации молекул и характер фазового перехода нематик изотропная жидкость //Физика твердого тела. - 1982. - т. 24. -№9.-с. 2839-2841.

17. Tarroni R., Zannoni С. On the rotational diffusion of asymmetric molecules in liquid crystals //J. Chem. Phys. -1991. v. 95. - № 6. - p. 4550-4564.

18. Ferrarini A., Moro G.J., Nordio P.L. Theory of molecular motions in flexible nematogens //Liq. Cryst. 1990. - v. 8. - № 5. - p. 593-621.

19. Ferrarini A., Nordio P.L. Diffusion models for the dynamics of flexible milecules // J. Chem. Soc. Trans. 1992. - v. 88. № 13,- p. 1733-1746.

20. Ferrarini A., Pilimeno A., Nordio P.L. Rotational dynamics and conformational kinetics in liquid crystals//Liq. Cryst. 1993. - v. 14. - № 1. - p. 169-184.

21. Bogolubov N.N. On some problems of the theory of superconductivity // Physica -1960.-v.S26.-p. 1-16.

22. Goldstone J., Salam A., Weinberg S. Broken symmetries // Phys. Rev. 1962. - v. 127. - p. 965-970.

23. Kadanoff L.P., Martin P.C. Hydrodynamic equations and correlation functions // Ann. Phys. 1963. - v. 24. - p. 419-469.

24. Умедзава X., Мацумото X., Татики M. Термополевая динамика и конденсированные состояния // М.: Мир. 1985. - 504 с.

25. Андреев А.Ф., Марченко В.И. Симметрия и макроскопическая динамика магнетиков // Успехи физ. наук 1980. - т. 130. - № 1. - с. 345- 357.

26. Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физики // М.: Наука.- 1977. 377 с.

27. Ковалевский М.Ю., Пелетминский С.В. Статистическая механика квантовых жидкостей и кристаллов // М.: Физматлит. 2006. - 368 с.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика // М.: Наука. 1964. - 567 с.

29. Enz С.Р. Two-fluid hydrodynamic description of ordered systems // Rev. Mod. Phys.- 1974.-v. 46.-p. 705-753.

30. Боголюбов H.H., Боголюбов H.H. (мл.) Введение в квантовую статистическую механику // М.: Наука. 1984. - 384 с.

31. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов //М.: Наука. 1984.- 245 с.

32. Stephen M.J., Straley J.P. Physics of liquid crystals // Rev. Mod. Phys. 1974. - v. 46.-p. 617 - 707.

33. Vollhardt D., Wolfle P. The superfluid phases of helium 3 // Ed. F. Taylor, London-New York-Philadelphia. 1990. - 620 p.

34. Lubensky T.C. Soft Condensed matter Physics // arXiv: cond-mat/9609215vl, 20 Sep 1996.-p.l-ll.

35. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика // М.: Мир. 2002. -461 с.

36. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика // М.: Наука. -1971.-415 с.

37. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов: т. 1. // М.: Физматлит. 2002. - 432 с.

38. Kovalevsky M.Y., Kuznetsov V.V. Quasiaverages in microscopic theory of liquid crystals // Физика элементарных частиц и атомного ядра 2000. - т. 31. - вып. 76. с. 221-226.

39. Ковалевский М.Ю., Чеканова Н.Н. Параметр порядка и классификация состояний равновесия нематических жидких кристаллов // Вестник Харьковского национального университета. Серия физическая "Ядро, частицы, поля". 2001. - № 541.-вып. 4(16).-с. 59-62.

40. Ericksen J.L. Anisotropic fluids // Archive for rational mechanics and analysis. -1960.-v. 4.-p. 231-237.

41. Ericksen J.L. Conservation laws for liquid crystals // Transactions of the society of rheology. 1961. - v. 5. - p. 23-34.

42. Leslie F.M. Some constitutive equations for anisotropic fluids // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1966. - v. 19. - p. 357-370.

43. Leslie F.M. Theory of flow phenomena in liquid crystals // Advances in Liquid Crystals, (ed. G.H. Brown) Academic, New York. 1979. - v. 4. - p. 1-81.

44. Martin P.C., Parodi O., Pershan PJ. Unified hydrodynamic theory for crystals, liquid crystals, and normal fluids // Phys. Rev. A. -1972. v. 6. - p. 2401-2420.

45. Воловик Г.Е. Связь между формой молекул и гидродинамикой в нематике. // Письма в ЖЭТФ. 1980. - т. 31. - с. 297 - 300.

46. Isayev A., Kovalevsky М., Peletminsky S. On construction of Poisson brackets and dynamics of liquid crystals //Mod. Phys. Lett. B. 1994. - v. 8. - p. 677-686. .

47. Saslow W.M. Hydrodynamic of biaxial nematics with arbitrary nonsingular textures // Phys. Rev. A. 1982. - v. 25. - p. 3350-3359.

48. Liu M. Hydrodynamic theory of biaxial nematics I I Phys. Rev. A. 1981. - v. 24. -p. 2720-2726.

49. Stern H. Broken symmrtry, sum rules, and collective modes in many-body systems // Phys. Rev. 1966. - v. 147. - № 1. - p. 94-101.

50. Dzyaloshinsky I.E., Volovick G.E. Poisson brackets in condensed matter physics // Ann. Phys. 1980. - v. 125. - p. 67-97.

51. Форстер Д. Гидродинамические флуктуации, нарушенная симметрия и корреляционные функции // М.: Атомиздат. 1980. - 288 с.

52. Волков Д.В., Желтухин А.А., Блиох Ю.П. Феноменологический лагранжиан спиновых волн // Физика твердого тела. 1971.-т. 13.-с. 1668-1678.

53. Исаев А.А., Ковалевский М.Ю., Пелетминский С.В. Гамильтонов подход в теории конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией П Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1996. - т. 27. - вып. 2. - с. 431-492.

54. Onuki A. Phase transition dynamics // Cambridge University Press. Cambridge -2002. - 724 p.

55. Stark H., Lubensky T. Poisson bracket approach to the dynamics of nematic liquid crystals: The role of spin angular momentum // Phys. Rev. E 2005. - v. 72. -p.051714/1-9.

56. Lubensky T. Phenological dynamics: From Navier-Stokes to chiral granular gases // Pramana 2005. - v. 64. - p. 727-742.

57. Carlsson T. Remarks on the flow alighnment of disk-like nematics. // J. de Phys. (Fr.). 1983. - v. 44. - № 8. - p. 909-911.

58. Pallfy-Muhoray P., Lee V.A., Petschek R.G. Ferroelectric nematic liquid crystals: readability and molecular constraints // Phys. Rev. Lett. 1988. - v. 60. - № 22. - p. 2303- 2306.

59. Ayton C., Patey G.N. Ferroelectric order in model discotic liquid crystals. // Phys. Rev. Lett. 1996. - v. 60. - № 22. - p. 239-242.

60. Аверьянов E.M. Проявление различия локальной симметрии каламитных и дискоидных нематиков в их спектральных свойствах. // Письма в ЖЭТФ. 1997. -т.66.-№ 12.-с. 805-810.

61. Keyes Т., Kivelson D. Depolarized light scattering: theory of the sharp and broad Rayleigh lines //J. ofChem. Phys. 1972. - v. 56. -№ 3. - p. 1057 - 1065.

62. Сущинский М.М. Спектры комбинационного рассеяния молекул и кристаллов //М.: Наука.- 1969.- 576 с.

63. Покровский В.Н. Напряжения, вязкость и оптическая анизотропия движущейся суспензии жестких эллипсоидов //Успехи физических наук. 1971. - т. 105. - вып.4. - с. 625-643.

64. Daller J.S., Scriven L.E. Theory of structured continua. I. General consideration of angular momentum and polarization //Proc. Roy. Soc. A. 1963. - v. 275. - p. 504-527.

65. Немцов В.Б. Законы сохранения и материальные уравнения для систем с внутренними движениями // Доклады Академии наук БССР. 1973. - т. 17. - № 12. -с. 1089-1092.

66. Покровский JI.A. Необратимые процессы в системе с внутренними вращениями //Доклады Академии наук СССР. 1967. - т. 177. - № 5. - с. 1054-1057.

67. Beris A.N., Edwards B.J. Thermodynamics of flowing systems with internal microstructure // Oxford University Press. Oxford. - 1994. - 704 p.

68. Nemtsov V.B., Kamluk A.N. Generalized dynamics of the conformational mobility in the DNA molecule // J. Nonlinear Phenomena in Complex systems. 2001. - v. 4. - p. 58-63.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика // M.: Наука. 1986. - 736 с.

70. Ковалевский М.Ю., Кузнецов В.В. Гамильтонова динамика двухосных нематических жидких кристаллов. // Доклады Академии наук Украины. 1999. - № 12, с. 90-95.

71. Исаев А.А., Ковалевский М.Ю., Пелетминский С.В. О гамильтоновом подходе к динамике сплошных сред // Теоретическая и математическая физика. 1995. - т. 102.-№2.-с. 283-296.

72. Воловик Г.Е., Кац Е.И. О нелинейной гидродинамике жидких кристаллов // ЖЭТФ. 1981. - т. 81. - в. 1(7). - с. 240-248.

73. Stark Н., Lubensky Т. Poisson bracket approach to the dynamics of nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2003. - v. 67. - p.061709/1-11.

74. Питаевский Л.П. Конденсация Бозе-Эйнштейна в магнитных ловушках // Успехи физических наук. 1998. - т. 168. - № 6. - с. 641-654.

75. Zaremba Е., Nikuni Т., Griffin A. Dynamics of trapped Bose-gases at finite temperatures // J. Low Temp. Phys. 1999. - v. 116. - p. 277- 345.

76. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости // М.: Наука. - 1987. - 246 с.

77. Hess S. Irreversible thermodynamics of nonequilibrium alignment phenomena in molecular liquids and in liquid crystals // Z. Naturforsch. 1975. - v. 30a. - p. 728-738; Z. Naturforsch. - 1975. - v. 30a. - p. 1224-1232.

78. Lubensky T. Hydrodynamics of cholesteric liquid crystals // Phys. Rev. A. 1972. -v. 6. - p. 452-470.

79. Liu M. Hydrodynamic theory near the nematic smectic-A transition // Phys. Rev. A.- 1979. v. 19. - p. 2090-2094.

80. Pleiner H., Brand H.R. Nonlinear dissipative effects in the hydrodynamics of liquid crystals // Phys. Rev. A. 1982. - v. 25. - p. 995-999.

81. Pleiner H., Brand H.R. Hydrodynamics and electrohydrodynamics of liquid crystals // Chapt. 2 pattern Formation in Liquid Crystals eds. A. Buka and L. Kramer. Springer N.Y. - 1996. - p. 15-69.

82. Qian Т., Sheng P. Generalized hydrodynamic equations for nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 1998. - v. 58. - № 6. - p. 7475-7485.

83. Базаров И.П., Геворкян Э.В. Статистическая теория твердых и жидких кристаллов // М.: Изд. Московского университета. 1983. - 261 с.

84. Немцов В.Б. Статистическая теория гидродинамических и кинетических процессов в жидких кристаллах // Теоретическая и математическая физика. 1975. -т. 25. - № 1. - с.118-131.

85. Fialkovski М. Viscous properties of nematic liquid crytals composed of biaxial molecules // Phys. Rev. E. 1998. - v. 58. - № 2. - part B. - p. 1955 -1966.

86. Беляев B.B. Физические методы измерения коэффициентов вязкости нематических жидких кристаллов //Успехи физических наук. 2001. - т. 171. - № 3.- с. 267-297.

87. Yu L.J., Saupe A. Observation of biaxial nematic phase in potassium laurate-1-decanol water mixtures // Phys. Rev Lett. 1980. - v. 45. - p. 1000 - 1003.

88. Madsen L.A., Dingcmans T.J., Nakata M., Samulski E.T. Thermotropic biaxial nematic liquid crystals // Phys. Rev. Lett. 2004. - v. 92. - p. 145505.

89. Acharya B.R., Primak A., Kumar S. Biaxial nematic phase in bent-core thermotropic mesogens // Phys. Rev. Lett. - 2004. - v. 92. - p. 145506.

90. Apreutesei D., Mehl G.H. Completely miscible disk and rod shaped molecules in the nematic phase // Chemical communications. 2006. - p. 609-611.

91. Brand II., Pleincr H. Hydrodynamics of biaxial discotics // Phys. Rev. A. 1981. - v. 24. - № 5. - p. 2777 - 2788.

92. Zapotocky M., Goldbard P.M., Goldenfeld N. Kinetic of phase ordering in uniaxial and biaxial nematic films //Phys. Rev. E. 1995. v. 51. - p. 1216 -1235.

93. Priezjev N.V., Pelcovits R. Coarsenong dynamics of biaxial nematic liquid crystals // arXiv:cond-mat/0202218 v2 14 Feb 2002.

94. Gerdt D.W., Baruch M.C., Adkins C.M. Ultrasonic liquid-crystal-based underwater acoustic imaging // Proc. SPIE the International society of Engineering, 3635SPIE-Int.Soc. Opt.Eng. - 1999. - p. 58-65.

95. Sandhu J.S., Wang H., Popek W.J. New development in accoustography for fast full-field large-area ultrasonic NDE // Proc. SPIE. 2000. - 2955. - p. 94-108.

96. Шибаев В.П. Необычные кристаллы или загадочные жидкости // Соросовский образовательный журнал. 1996. - № 11. - с. 37-46.

97. Ивашин А.П., Ковалевский М.Ю., Логвинова Л.В. Гамильтонова динамика двухосных нематиков с конформационными степенями свободы // Теоретическая и математическая физика. 2004. - т. 140. - № 3. - с. 500-512.

98. Ivashin А.Р., Kovalevsky M.Y., Logvinova L.V. Dynamics of nematic liquid crystals with conformational degrees of freedom // International journal of Quantum Chemistry. -2004. v. 100. - Issue 4. - p. 636-644.

99. Ивашии ATI., Ковалевский М.Ю., Логвинова JI.В. Динамика двухосных нематических жидких кристаллов с конформационными степенями свободы // Украинский физический журнал. 2004. - том 49. - № 1. - с. 38-45.

100. Ivashin А.Р., Kovalevsky M.Y., Logvinova L.V., Matskevich V.T. Dynamics and Green Functions of uniaxial and biaxial Nematic // 20-th General Conference Condensed Matter Division EPS, Prague. -19-20 July 2004. Book of Abstracts. - p. 226.

101. Ковалевский М.Ю., Логвинова Л.В., Мацкевич В.Т. К динамической теории конденсированных сред с учетом формы и размеров молекул // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. - т. 13. - вып. 3. - с. 497-498.

102. Ковалевский М.Ю., Логвинова Л.В., Мацкевич В.Т. Нелинейная динамика конденсированных сред со структурой // Международный математический конгресс «Нелинейный динамический анализ 2007». - Санкт-Петербург. - 4-8 июня 2007. - с. 284.

103. Kovalevsky M. Y., Logvinova L.V., Matskevich V.T. Dynamic theory of condensed matter with internal structure // Вопросы атомной науки и техники. 2007. - № 3. - с. 380-384.

104. Лэмб Г. Гидродинамика // М.-Л.: Гостехиздат. 1947. - 928 с.

105. Дубровин Б.А., Новиков С.П. О скобках Пуассона гидродинамического типа //Доклады Академии наук СССР. 1984. - т. 279. - № 2. - с. 294-297.

106. Голдстейн Г. Классическая механика//М.: Наука. 1975. - 415 с.

107. Вирченко Ю.П., Пелетминский C.B. Скобки Пуассона и дифференциальные законы сохранения в теории магнитоупругих сред // Киев: Наукова думка. -Сборник научных трудов «Проблемы физической кинетики и физики твердого тела».- 1990.-с. 63-77.

108. Ковалевский М.Ю., Мацкевич В.Т., Чернышов H.H. К теории релаксационных процессов в твердом теле // Вопросы атомной науки и техники. 2006. - № 4 (89). -с. 74-77.

109. Leggett A.J. A theoretical description of the new phases of 3HE II Rev. Mod. Phys. 1975.-v. 47,-№2.-p. 331-414.

110. Покровский В.Л., Халатников И.М. Гамильтонов формализм в классической и двухжидкостной гидродинамике // Письма в ЖЭТФ. -1976. т. 23. - вып. И. - с. 653-656.

111. Лебедев В.В., Халатников И.М. Гамильтоновы уравнения квантовой жидкости в присутствии солитонов //ЖЭТФ. 1978. - т. 75. - вып. 6(12). - с. 2312-2316.

112. Воловик Г.Е., Доценко B.C. Гидродинамика дефектов в конденсированных средах примере вихрей во вращающемся Не-И и дисклинаций в планарном магнетике // ЖЭТФ. 1980. - т. 78. - вып 1.-е. 132-148.

113. Ковалевский М.Ю., Пелетминский C.B., Шишкин А.Л. Гамильтонов формализм в магнитных системах со спонтанно нарушенной симметрией // Украинский физический журнал. 1991. - т.36. - с. 245-261.

114. Исаев A.A., Ковалевский М.Ю. Термодинамика и динамические уравнения квантовых спиновых кристаллов // Физика низких температур. 1994. - т. 20. - с. 1125- 1132.

115. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // Успехи математических наук. 1982. - т. 37. - вып 5 (227). - с. 3-49.

116. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтоновекий формализм для нелинейных волн // Успехи физических наук. 1997. - т. 167. - № 11. - с. 1137-1167.

117. Holm D.D. Euler-Poincare dynamics of perfect complex fluids // arXiv: nlin. CD/0103041 vl 23 Mar 2001.-p. 1-50.

118. Дирак П. Принципы квантовой механики //М.: Наука. 1979. - 480 с.

119. Ковалевский М.Ю., Красников В.А., Пелетминский С.В. О связи потоков аддитивных интегралов движения в состоянии статистического равновесия конденсированных сред // Доклады Академии наук СССР. 1988. - т. 303. - № 2. -с. 337-340.

120. Selinger J.V., Spector M.S., Greanya V.A., Weslowski B.T., Shenoy D.K., Shashidhar R. Acoustic realignment of nematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2002. -v. 66.-p. 051708/1-7.

121. Greanya V.A., Malanovsky A.P., Weslowski B.T., Spector M.S., Selinger J.V. Dynamics of the acousto-optic effect in nematic liquid crystal // Liquid Crystals. 2005. -v. 32.-№7.-p. 933-941.

122. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория поля // M.: Наука. 1967. - 460 с.

123. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов // М.: Наука. 1986. - 544 с.

124. Bhattacharya S., Sarma В.К., Ketterson J.B. Ultrasonic observation of a strong pretransitional anomaly near a nematic-smectic-A phase transition // Phys. Rev. Lett. -1978. v. 40. - № 40. - p. 1582-1585.

125. Hu Z., Wen X., Vanderwal J.J., Ao X., Walton D., Meyer R.B. Brillouin scattering from nematic polymer solutions // The Journal of chemical physics. 1992. - v.97. - p. 568-571.

126. Xin Wen. Second-sound waves in nematic polymer solutions // Phys. Rev. Lett. -1991. v. 66. - № 22. - p. 2887-2290.