Исследование задач оптимизации для элементов конструкций из структурно-неоднородных и анизотропных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

В Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года указывается на необходимость разработки и внедрения высокоэффективных методов повышения прочностных свойств конструкционных материалов, развития производства новых полимерных и композитных материалов. Повышение качества, надёжности, экономичности и производительности, снижение материалоёмкости изделий машиностроения КПСС относит к важнейшим проблемам естественных и технических наук [il , с. 145-146. Использование новых материалов и конструктивных схем порождает качественно новые проблемы проектирования,что вызывает повышенный интерес к задачам оптимизации. Решение этих задач позволит проектировать и изготавливать новые конструкции, уменьшать материалоёмкость продукции,улучшать технические характеристики изделий.

Целью оптимального проектирования является создание наиболее эффективной конструкции, в которой внутренняя структура органически связана с условиями эксплуатации и внешними воздействиями. Возможности оптимизации внутренней структуры при проектировании наиболее полно открываются в связи с использованием композиционных материалов,находящих всё более широкое применение в технике (см. [30, 37, 51, 52, 67, 68, 69, 79, 85, 92, 96, 102, 108, 109, III, 112 1 ). Высокая прочность и жёсткость композита определяются экстремальными механическими характеристиками армирующих элементов ( волокон, нитей, тканей, кристаллических усов ), а монолитность материала обеспечивается связующим ( полимерным или металлическим ). Удельная прочность композиционных материалов ( Ш ) на основе стеклянных, углеродных, органических, борных волокон в 3 - 5 раз превышает прочность традиционных металлов и сплавов.Эффективность использования композитов в конструкциях и улучшение эксплуатационных характеристик изделий зависят от степени совершенства методов расчёта, проектирования и оптимизации конструкций.

Принципиально новым качеством, отличающим композиты от традиционных материалов, является и возможность варьирования механических свойств за счёт изменения схем армирования в соответствии с характером нагружения и налржённо-деформированным состоянием конструкции. Оптимальной является конструкция, схема армирования которой наилучшим образом соответствует напряжённому состоянию. Оптимизация схемы армирования достигается изменением количества армирующих волокон или монослоев, направления армирования, порядка укладки монослоёв, геометрических и структурных характеристик материала. Другой особенностью, характерной для композита,является то, что материал и конструкция создаются одновременно, и поэтому механический анализ и выбор расчётной схемы деформирования материала являются важной составной частью оптимального проектирования конструкции.

Постановка задач оптимизации конструкции из композитных материалов включает формулировку основных определяющих уравнений конструкции, выбор расчётной схемы деформирования композиционного материала, оптимизируемого функционала, ограничений на функции состояния и на характер схемы армирования. Уравнения напряжённо-деформированного состояния конструкций и уравнения микромеханики композитов отличаются при описании различных типов элементов конструкций ( стержни, пластины, оболочки, трёхмерные тела ), типов материалов (гранулированные, хаотически армированные ,коротковолокнистые, волокнистые, слоистые композиты).реологических свойств арматуры и матрицы (упругость, пластичность, вязкость), внешних воздействий ( статические, динамические воздействия, тепловые и электро-магнитные поля),схем армирования (управление концентрацией арматуры, ориентация армирующих волокон и монослоёв, форма и размеры армирующих включений),технологии изготовления ( намотка нитей ., укладка ткани, прессование). Этим обусловлено огромное разнообразие в постановках оптимизационных задач и, соответственно, оптимальных проектов.

Оптимизация конструкций из традиционных материалов восходит к Галилею, Лагранжу, Клаузену, Максвеллу и в этом направлении получены значительные результаты.Большой опыт накоплен в теории оптимального проектирования элементов конструкций и стержневых систем. Монографии [12,27, 52, 78, 92, 97, III, ИЗ, 122, 130, I32Jh обзоры [l3, 37, 90, 110 ] посвящены анализу современного состояния проблемы оптимального проектирования конструкций. Проектирование оптимальных конструкций из композиционных материалов - новая, специфическая и быстро развивающаяся область оптимизации.

Первоначально задачи оптимизации конструкций из композитов формулировались как проблемы определения рациональной схемы армирования. Под конструкцией рациональной схемы армирования подразумевается конструкция, в которой направления армирования совпадают с линиями главных напряжений или напряжения вдоль линий армирования постоянны. В некоторых работах использовались условия оптимальности, полученные как условия стационарности определённого функционала качества конструкции. Обзоры работ по оптимальному армированию представлены в [37, 38, 90 -92] . Первые проведённые исследования в области оптимального проектирования конструкций из композитов относились к оболочкам вращения (баки, баллоны давления,камеры сгорания ракетных двигателей твёрдого топлива), рассчитываемых на внутреннее давление [з8, 54, 99 ] . Использование безмоментной теории оболочек, применяемой при расчёте баллонов давления, и принципа равнопрочности позволило получить рациональное решение в замкнутом виде. Оптимальные проекты оболочек вращения, образованных намоткой, оказались технологичными и были реализованы на практике.

Принцип равнопрочности и соответствующий выбор схем армирования в некоторых случаях являются следствием экстремальности определённых функционалов качества. Условия, при которых безмо-ментная равнопрочная оболочка вращения, армированная волокнами, есть конструкция минимального веса, выведены в [99] .В работах [68, 99] установлены формы оболочек, для которых напряжения в нитях постоянны вдоль геодезических линий. Намотка по геодезическим линиям обусловлена возможностями технологии (условием несоскальзывания нитей). Намотка оболочек из ортотропной ленты рассматривалась в [38, 51, 68, 92] .Рассматривались задачи оптимизации форм оболочек и структуры армирования [92] .Анализ рациональной структуры армирования в задаче о плоском напряжённом состоянии композитных пластин был дан на основании принципа рав-нопрочности В [32] .

Отметим, что понятия оптимальности и равнопрочности не эквивалентны для статически неопределимых конструкций. Но и в статически определимых системах, какими являются баллоны давления, расположение армирующих волокон в композите по траекториям главных напряжений не всегда обеспечивает максимум прочности [ 1261 . Это может иметь место,если главное напряжение - сжимающее и наибольшая прочность реализуется для направлений армирования, не совпадающих с направлением главных напряжений.Если конструкция проектируется для нескольких режимов эксплуатации или нескольких ограничений (устойчивость, частоты колебаний, жёсткость), то условия равнопрочности в большинстве случаев не совпадают с условиями оптимальности.

В случаях, когда несущая способность конструкции лимитируется не прочностью,а деформативностью и устойчивостью,возник альтернативный подход к оптимальному проектированию. В его основе лежат принципы построения уравнений деформирования неоднородной композитной конструкции. Уравнения НДС конструкции строятся на структурных уровнях элементов композита (арматура - матрица) и конструкции (монослой - пакет монослоёв).Сначала с использованием формул армирования вычисляется эффективная жёсткость монослоя [б9, 79, 85, 109, I3l] . Затем на основе методов расчёта слоистых пластин и оболочек [28-30, 68, 79определяются эффективные жёсткости конструкции.Определение тензора эффективных жёсткостей композитов производится по теории гетерогенной среды [28 - 30, 67-69, 108, 115, 117, I3l] . На основании выражений для эффективных жёсткостей осуществляется переход к решению оптимизационных задач и синтезу оптимальной структуры армирования. На основе решения "прямых" задач анализа НДС конструкции и оптимизационных задач определения наилучшей комбинации параметров проекта находится решение, доставляющее максимум величине критической нагрузки потери устойчивости, максимум минимальной частоты собственных колебаний или минимум веса при ограничениях по устойчивости и частоте основного тона [б5, 66, 68, 84, 89, 103, 134] .В работе [87] в рамках аналогичного подхода рассматривалась задача оптимизации оболочки из КМ с учётом геометрической нелинейности.

Вопросы рационального проектирования пластин из КМ рассматривались в [б8, Пб] . Большое число работ по оптимизации конструкций из ЮЛ относится к задачам параметрической оптимизации. В этих задачах разыскивается набор параметров, характеризующих структуру армирования,определяемый из условия экстремума функции качества при ограничениях на значения функций, характеризующих показатели конструкции. Для решения задач условной минимизации применяются методы дискретной оптимизации, линейного, нелинейного и динамического програширования.

В настоящее время развивается подход, основанный на использовании методов вариационного исчисления и оптимизации систем с распределёнными параметрами применительно к задачам оптимизации конструкций из КМ [б, II, 12, 16, 18, 19, 21, 22, 25, 73, 106, 124, 126] .

Основные результаты в данном направлении получены по задачам определения оптимальной анизотропии упругих свойств и оптимальной неоднородности распределения армирующего материала в конструкции.

Работы [6, II, 12, 106] посвящены отысканию оптимальной ориентации осей анизотропии в упругом теле из условия максимума функционала жёсткости.Условие оптимальности имеет смысл коакси-альности тензоров напряжений <0 ц и деформаций;) t ^ , и запио сывается в виде 6~у £j f< = ^CjGj-fc [I0S. Необходимые условия оптимальности не выделяют однозначно ориентацию осей анизотропии.На основе полученных условий оптимальности численно получено решение задач оптимизации в плоской теории упругости ^11,12] , кручении [l2] , задачах изгиба.В задаче об определении ориентации осей анизотропии в стержне, работающем на кручение, было показано, что оптимальным является способ ориентации, когда оси с максимальным модулем сдвига направлены в направлении, касательном к линии уровня функции напряжений.

В работах [б, 18, 19, 126*] рассматривались задачи оптимизации конструкций из хаотически армированных и слоистых композитов. Предполагалось [l8J ,что жёсткие включения имеют малые характерные размеры и распределены равномерно в матрице. Величины эффективных модулей композитов определяются заданием объёмного содержания арматуры и изменяются при варьировании концентрации. Посредством варьирования концентрации арматуры осуществляется оптимизация механических характеристик констрзгкций. В работе Баничу-ка Н.В. и Ивановой С. 10. рассматривались задачи минимизации веса крыльев из хаотически армированных композитов,а в работах Бани-чука Н.В. и Ларичева А.Д. - скучиваемых стержней.

К современным проблемам оптимального проектирования относятся задачи оптимизации конструкций из неупругих композиционных материалов [7, I2l] . Работа [7] посвящена отысканию сечения колонны с учётом ползучести и неоднородного старения и многослойного цилиндра,усиленного намоткой. Проанализировано влияние скорости намотки, упругих и вязкоупругих параметров на распределение предварительных напряжений,

В работе [ill] найдена оптимальная структура и толщина оболочки минимального веса, дом которой прогибы не превосходят критических значений при заданном времени эксплуатации.

Вопросам пластического проектирования конструкций из армированных материалов посвящены работы [95, 97, 135] .

Большой интерес представляют работы по оптимизации технологических процессов изготовления КМ [48, 50, 52, 112] В силу особенностей реологических уравнений, необходимости решений связанных задач термо-вязко-упругости, фильтрации связующего, оптимизация технологических процессов относится к наиболее сложным задачам механики и оптимизации [lI2j .

Разработке теории многокритериальной оптимизации конструкций из Ш посвящена работа [94] .

Обзор основных результатов по оптимизации конструкций из КМ приведён в монографиях [l2, 67, 68, 79, 85, 92, 97, 102, IIIJ . обзорах [l3, 37, 44, 52, 90, 91, Iio] .Обширный список литературы приведён в [Зб]

Задачи отыскания оптимальных форм упругих неоднородных тел являются естественным обобщением соответствующих задач для однородных тел. Отметим задачи оптимального "раскроя" пластин с заданной неоднородностью упругих свойств материала,а также вопросы оптимальной выработки деталей конструкций из неоднородных заготовок. Для указанных задач пригодны методы, развитые при проектировании конструкций с неоднородными свойствами. Существенным моментом исследования задач оптимизации конструкций с неизвестными границами является вывод условий оптимальности.В этом направлении одним из первых результатов был вывод Васютинским 3. (I960) условия оптимальности для участка границы, свободного от прикладываемых нагрузок, в случае интегрального критерия качества податливости тела. Было установлено, что минимум податливости реализуется, если на рассматриваемом участке границы энергия упругих деформаций постоянна.Условие минимума податливости при варьировании свободных границ было получено впоследствии другим способом Драгером [ss] и показано, что постоянство плотности энергии является необходимым и достаточным условием оптимальности. Случай, когда на оптимальной границе заданы перемещения, проанализирован в [12] .Если вдоль искомой границы вектор смещений постоянен, то условие оптимальности приводится к тому же виду, что и в случае свободной границы-. Использование указанных условий оптимальности неизвестной границы связано с известными трудностями, и поэтому оптимальные формы найдены для небольшого числа задач и получены, главным образом, за последние годы. Из задач с интегральными функционалами наиболее детальное исследование получила задача отыскания формы поперечного сечения скручиваемого цилиндрического стержня из условия максимума жёсткости стержня на кручение [9, 10, 12, 72J . В [12] рассмотрена задача о выборе формы анизотропных тел и задача о совместной оптимизации формы и ориентации осей анизотропии на примере максимизации жёсткости стержня на кручение.Более сложным оказывается решение задач оптимизации с неизвестными границами и локальными критериями качества.К этим задачам приходят при отыскании форм упругих тед,обладшощихшшшлальной концентрацией напряжений.В связи с проблемой предельного снижения концентрации напряжений наиболее полно изучены задачи оптимизации форм отверстий в пластинках, работающих на растяжение и изгиб, в сплошных телах [9, 10, 113J .В данном направлении упомянем также работы Хуторянского Н.М. ,Вигдергауза С.Б. (1977), Твергарда В. (1975) , Чена И. и Хога Э. (1983). Сделаем основные выводы из общего анализа работ.

Основные результаты в области оптимального проектирования композитных конструкций получены в следующих направлениях:

- создание оптимальной безмоментной оболочки, армированной нитями и тканями;

- определение оптимальных параметров оболочек в задачах об устойчивости и колебаниях;

- оптимизация анизотропных свойств в задачах линейной теории упругости;

- формулировка необходимых условий оптимальности в задачах со свободной границей.

Целью диссертации является теоретическое исследование следующих задач:

- оптимизация анизотропных тел с неизвестными границами при произвольных граничных условиях и функционалах, а также с учетом нелинейности;

- построение оптимальной анизотропии композитных элементов конструкций;

- исследование оптимальной неоднородности упругих тел.

Задачей диссертации была также дальнейшая разработка и адаптация для целей оптимизации следующих численных методов и алгоритмов:

- метод граничных интегральных уравнений в задачах с неизвестными границами;

- вариационно-разностный метод в задаче неоднородной теории упругости;

- методы проекции градиентов в задачах с неизвестными границами и об оптимальной неоднородности.

Для приближённого решения задач оптимизации и выявления основных качественных особенностей решений предполагалось применить методы возмущений.

Исследованию указанных проблем и посвящена .диссертация.

В главе I ( §1.1 ) выведены условия оптимальности для задач с неизвестными границами анизотропного тела с произвольными краевыми условиями. При выводе существенно используется формула, выражающая вариацию функционала через вариации границ и функции состояния. В §1.2 рассмотрены задачи оптимизации нелинейно-упругого композита с позиций микро- и макро-механики.Выведены необходимые условия оптимальности в задачах оптимизации углов укладки волокон, в слое и в задаче оптимизации формы включения в неоднородном нелинейно-упругом теле.В §1.3 решены задачи оптимизации форм анизотропных и изотропных стержней с частично заданной границей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.99