Исследования по статистическому анализу стационарных и некоторых классов нестационарных случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГБ ОД

V? ;"1Г1 ^

[АТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А. СТШОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

АЛЕКСЕЕВ ВИКТОР ГЕОРГИЕВИЧ

УДК 519.234

1ССЛВД0ВАНШ ПО СТАТИСТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ СТАЦИОНАРНЫХ И ШЖШС КЛАССОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

51.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации «а соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА, 1995

ч

Работа выполнена в Институте физики атмосферы РАН

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук, профессор И.А. ИБРАГИМОВ

2. Доктор физико-математических наук, профессор А.Н. ШИРЯЕВ

3. Доктор физико-математических наук, профессор В.И. ПИТЕРБАРГ

Ведущая организация - Международный институт теории прогно землетрясений и математической геофизики РАН

Я ) 1ч

Защита состоится " О " (Ю i/o ù 1996 года в I ]

на заседании Специализированного совета Д 002.38.03 при Матема ческом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: г.Москва, ул вилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Мат ческого института им. В.А. Стеклова РАН 'ул. Вавилова, 42^.

Автореферат разослан

" .9 " iH-lc^pj 1996 год

Ученый секретарь Спепиализированного совета 'В.А. Ватутин1*

д.ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Вопросы, связанные со статистическим 1 ализом стационарных и нестационарных случайных процессов, еже-1евно и ежечасно возникают в практической деятельности исследо-*телей, изучающих и осмысливающих реальные физические и техни-зские явления и процессы. В разработке надежных методов статис-кческого анализа различных моделей случайных процессов заинте-гсованы представители таких научных направлений, как автомати-1, электроника, статистическая радиотехника, физика атмосферы, {еанология и даже биология. Если говорить о спектральном анализ стационарных случайных процессов (ССШ, то этот раздел теории хучайных процессов развивается уже более трех десятилетий. Уси-<ями У. Гренандера, М. Розенблатта, Э. Парзена, И.А. Ибрагимова, . Дженкинса, Д. Ваттса, Э. Хеннана, Т. Андерсона, Д. Бриллиндже-1, В.Ф. Писаренко, M.G. Пинскера, P.D. Бенткуса, И.Г. Журбенко многих других исследователей разработаны различные как парамет-чческие, так и непараметрические подходы к построению оценок гектральных плотностей одномерных и многомерных ССП. Лрактичес-ш значимость рекомендаций перечисленных выше исследователей ддественным образом возросла в результате повсеместного внедре-w в практику (на рубеже 60-х и 70-х годов) метода быстрого зеобразования Фурье, многократно сокращающего расход машинного земени при вычислении как непараметрических, так и многих па-шетрических оценок спектральной плотности. Так или иначе, при-[адной спектральный анализ ССП в наши дни широко и плодотворно ¡пользуется специалистами, представляющими самые разнообразные i-учные направления. Разумеется, это ни в коей мере не исключа-■ возможности дальнейшего совершенствования методов спехтрально-> анализа ССП.

Что же касается биспектрального и, тем более, триспектраль-

ного анализа ССП, то здесь о широком и плодотворном использованм специалистами разных направлений говорить пока еще рано. Разумеется, биспектральна.я и триспектральная плотности, будучи комплексными функциями двух и, соответственно, трех аргументов, являются гораздо более сложными математическими объектами, чем обычная спектральная плотность .¿{к ) - четная вещественная и даже неотрицательная (функция (если говорить о спектральной плотности одномерного ССП'). Кроме того, вычисление старших спектральных плотностей требует существенно большего расхода машинного времени, чем в случае обычной спектральной плотности ^(А) . Главное, однако, не в этом. Еще в середине 80-х годов было столько путаницы, столько неразберихи в подходах и рекомендациях разных авторов, что исследователю, заинтересованному в практическом- применении биспектрального и триспектрального анализа ССП, было очень трудно отделить в доступной ему литературе рациональное зерно от всякого рода скороспелых гипотез. В работах ряда авторов можно уловить даже пессимистические высказывания, касающиеся возможности построения полноценного биспектрального и триспектрального анализа ССП. Приступая к систематическому изучению статистических оценок старших спектральных плотностей, диссертант видел свою задачу в том, чтобы'предложить исследователю-прикладнику четкие и {по возможности^ однозначные ориентиры, касающиеся построения оценок биспектральной и триспектральной плотностей ССП. Два краеугольных камня положены в основу подхода и рекомендаций диссертанта. Это, во-первых, использование свойств симметрии старших спектральных плотностей, позволяющих избежать огромного перерасхода машинного времени, и, во-вторых, выбор мультипликативного окна данных 0 для домножения исходной реализации (или реализаций в случае оценивания триспектральной плотности^. Если окно данных © выбрать положительно определенным, то исследование смещения оценок старших спектральных

плотностей существенным образом упрощается.

Разумеется, далеко не всегда модель ССП может быть использована для описания того или иного физического явления. Многие природные явления, изучаемые физикой атмосферы, метеорологией и океанологией, имеют заметный суточный или годовой ход. Случайные процессы, распределения и моменты которых периодически меняются во времени, встречаются также в ряде разделов статистической ради-этехники. Во всех перечисленных случаях удобно пользоваться МО-целью периодически нестационарного случайного процесса (ШСГП. Здесь, конечно, все обстоит намного сложнее, чем в случае ССП. Достаточно сказать, что множество спектральных плотностей ПНСП зчетно, причем все они, за исключением лишь одной (нулевой спектральной плотности), комплексны. Активные поиски методов и приемов, позволяющих оценивать статистические характеристики 1НСП, предприняты в работах Я.П. Драгана, H.H. Яворского, В.А. Рожкова, Г.Л. Херда, У. Гарднера и некоторых других исследователей. Ясно, однако, что теория корреляционного и спектрального анализа ПНСП пока еще далека от.завершения. Полученные в настоящей диссертации результаты, касающиеся спектрального анализа ПНСП, гакже не следует рассматривать, как окончательные. По мнению диссертанта, все известные на сегодняшний день результаты, касаю-циеся статистического анализа ПНСП, следует рассматривать лишь как некоторый первоначальный задел. Многие и многие задачи, связанные с прикладным статистическим анализом ПНСП, все еще ждут своего решения.

Цель работы. Единственная цель, которую ставил перед собой диссертант, состояла в том, чтобы предоставить в распоряжение юследователя-прикладника полноценные алгоритмы, позволяющие 5му с максимальной возможной точностью оценивать по экспериментальным данным спектральные плотности ССП и ПНСП, старшие спектральные плотности ССП, а также тренды стационарных и нестационар-

ных случайных процессов.

Методы исследования. В работе используются стандартные методы теории вероятностей и математической статистики, включая, например, лемму Бареля-Кантелли (в 51, где доказывается равномерная с вероятностью I сходимость оценки спектральной плотности га-уссовского ССП). Многократно используется найденное В.П. Леоновым и А.Н. Ширяевым (1959^ соотношение между моментами и семиинвариантами произвольного случайного вектора. Широко используются методы тригонометрических рядов, включая разложения в ряд Фурье полиномиальных тригонометрических ядер.

В ходе построения оценок спектральной, биспектральной и триспектральной плотностей исследуемого ССП при наличии систематических пропусков в наблюдениях (§§5, 13 и 17) используются методы линейной алгебры, включая теорию магриц-циркулянтов (в том числе многомерных). В главе 2 при изучении свойств симметрии старших спектральных плотностей одномерных и многомерных ССП были использованы методы аналитической геометрии.

Наконец, в основу проведения численных экспериментов по сравнительному анализу различных непараметрических оценок спектральных плотностей ССП был положен метод статистического моделирования (метод Монте-Карло^, опирающийся на использование датчиков псевдослучайных чисел. Диссертант не считает возможным обойти молчанием то обстоятельство, что в ряде работ И.Г. Дурбенко и его соавторов, опубликованных в 1982-1988 гг., были высказаны очень серьезные сомнения в надежности результатов, получаемых с помощью метода Монте-Карло. Впоследствии, однако, в ходе дискуссии, проведенной в журнале "Заводская лаборатория", 1990, т.56, №3 и 1993, т.59, №7, было установлено, что попытки И.Г. Журбенно и его соавторов поставить метод Монте-Карло под сомнение лишены каких бы то ни было оснований. Участниками дискуссии были, в частности, указаны методы существенного улучшения качества дат-

шков псевдослучайных чисел.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады-¡ались и обсуждались на Всесоюзном симпозиуме по статистике слу-гайных процессов (Киев, 1973г.), на Международной конференции по грименениям математической статистики (Ноттингем, Великобритания, 979г.1, на Всесоюзном научно-методическом семинаре по математи-геской статистике (Москва, МГУ им.Ы.В. Ломоносова, 1980г.), на У Советско-Японском симпозиуме по теории вероятностей и матема-'ической статистике (Тбилиси, 1982г.), на 1У Вильнюсской между-[ародной конференции по теории вероятностей и математической ста-истике (198бг.^.

ОДЕРЖАН НЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 21 араграф, и списка литературы, содержащего 93 наименования. От-ельно приводится список из 29 работ автора по теме диссертации, бщий объем диссертации - 263 страницы, объем без списка литера-уры - 249 страниц.

Глава I (§§1-8) посвящена непараметрическому спектральному нализу ССП je é j? j со средним E j[k) =0.

§1 изучается широко известная периодограммная оценка ^ (X) гтектральной плотности ) А £ /7 — -^J ) полу-

аемая осреднением периодограммы (^)j' П G jf по час-

зтному аргументу ^ . От выбора формы и ширины спектрального сна | с П0М0!ЧЬЮ которого осуществляется указанное

ше осреднение, в решавшей степени зависит качество оценки ^(А). >и этом форма спектрального окна I^yvij определяется весо-)й функцией И*), xeft. удовлетворяющей ряду условий, юаицихся, главным образом, ее моментов. Особое внимание в §1 делено рассмотрению оценок Д(Д ) с использованием знако-¡ременных весовых функций Uf(X) . Показано, что для достаточ-| гладкой (многократно дифференцируемой) спектральной плотности

применение знакопеременных весовых функций может привес к очень большому выигрышу в точности оценивания, если только с ем выборки ГЬ не слишком мал. Родственные результаты для ot нок производных спектральной плотности ¿(А ) с формулировав» §2.

В §3 приведены многочисленные наборы весовых функций U/i предназначенных для построения оценок как самой функции так и ее производных. Для весовых функций ИЛ(Х) одного,из на ров приведены также их преобразования Фурье \j(\ ) . Большинс из приведенных в §3 весовых функций LV~(X) нигде ранее (т.е. до появления работ диссертанта) опубликовано не было. Их испол зование предоставляет исследователю возможность практически не раниченного маневра (т.е. учета самых разнообразных априорных дений и пожеланий) при построении оценок спектральной плотноет j.(k) и ее производных порядков У = 6} $.

В §4 описаны результаты серии обширных численных эксперим тов, призванных уточнить и конкретизировать основные рекоменда теоретического характера, вытекающие из результатов §§1 и 2. Р. личные оценки спектральной плотности /(А) и ее производных порядков у zz Л Ч 6 и ti были опробованы на искусственно моделируемых реализациях шести моделей ССП с заранее известной спектральной плотностью. Объем выборки ft , т.е. число последовательных отсчетов исследуемого ССП, принимал значения от Л = j2 Д° /"1 г: 2, Результаты описанных в §4 численных экспериментов хотя и не дают ответа на все вопросы прикладного спектрального анализа, но в ряде случаев могут служить подспорьем исследователю, приступающему к построению оценок спектрал! ной плотности ССП. Здесь, по-видимому, уместно указать на то о< стоятельство, что результаты, получаемые с помощью численных экспериментов, не могут быть получены никаким иным способом.

В §5 предложена асимптотически несмещенная и состоятельнш

'нка спектральной плотности ^(Л) для случая, когда за дыми рП отсчетами исследуемого ССП следуют р пропус-, причем /П . В §6 строятся асимптотически несмещенные

остоятельные оценки функционалов

уе

/

спектральной плотности ) гауссовского ССП.

В §7 предложена процедура адаптивного (т.е. определяемого ?мощью самой реализации исследуемого ССП > подбора

ш и ширины спектрального окна ) при построении оцен-

/п(А) спектральной плотности ^(/1) . В отличие от §§1 , где степень гладкости оцениваемой спектральной плотности [.полагалась заранее известной, здесь мы предполагаем лишь, спектральная плотность ) является функцией из класса ) о( , где о(> 11Л. ^ хотя, возможно, и обладает шей гладкостью. Предложенная в §7 вычислительная процедура оляет нам (в предположении, что у (к) - гауссовский ССП ъем выборки П не слишком мал) оценить интегральную неквадратичную ошибку оценивания спектральной плотности \) для любой наперед заданной формы и ширины спектрально-кна ) . Варьируя параметры спектрального окна

^и] ^ мы получаем возможность в конечном счете выбрать их а образом, чтобы интегральная среднеквадратичная ошибка оце-1ия функции ^(Х) была близка к минимальной. Следует, од, указать на то обстоятельство, что практическое применение

предложенного в §7 алгоритма потребует от исследователя немалых усилий, связанных с необходимостью вычисления определенного интеграла от беспорядочно осциллирующей (хотя и непрерывной^ функции (произведения модифицированной периодограммы на оценку спектральной плотности 1. По-видимому, на данном этапе следует считать, что основной результат §7 имеет преимущественно теоретическое значение, а переход к его практическому использованию требует дальнейших исследований.

§8 посвящен изучению оценки типа Уэлча (оценки, получаемой осреднением по сдвигу во времени, - в терминологии И.Г. Курбен-ко^. Основной замысел, лежащий в основе построения оценки типа Уэлча, состоит в том, чтобы, используя домножение исходной реализации ССП на то или иное окно данных (ч) — ^ б'(^)^ обеспечить высокую помехозащищенность оценки спектральной плотности (ее слабую зависимость от всплесков и возмущений на удаленных частотах>. Предложенное в настоящей диссертации решение этой задачи состоит в том, чтобы использовать при построении оценки типа Уэлча разложения в ряд Фурье ядер типа Джексона

//С п " типа Джексона-Валле-Пуссена

ведены (для произвольного Л бУК^ разложения в ¿яд Фурье ядер

6

(I)

;

-ir.fr А)

Р Ы= {№[& (90Сп*+1Чп-*+25-п)] ^

у

\ 1 - % 'И+мр I¿1л (у/л) (3)

з / '

Тем самым исследователю предоставляется возможность в полой мере реализовать достоинства оценки типа Уэлча. Указаны и дру-ие возможные применения впервые найденных разложений в ряд Фурье дер (1ЦЗ).

Глава 2 (§59 и 10) посвящена описанию свойств симметрии стар-их спектральных плотностей одномерных и многомерных ССП. Необхо-имость описания свойств симметрии старших спектральных плотнос-ей возникает, как только мы приступаем к построению и исследо-анию их статистических оценок. До середины 80-х годов были из-естны лишь свойства симметрии биспектральной плотности

/1, J впервые найденные Дж. У. Ван Нессом (1966). ' §9 настоящей диссертации заново вводятся области определения ; описываются свойства симметрии всех старших спектральных плот-юстей одномерного ССП. Благодаря свойствам симметрии спектраль-юй плотности , • . ■ , А ) 1 V - 3; Ч, ■ ■ ■ ,

[ам достаточно вычислить ее значения лишь на явно указанном мно-¡естве (У -1]- мерный объем которого в раз меньше объема

власти ее определения. В §10 аналогичные результаты приводятся (ля взаимных (смешанных^ спектральных плотностей порядков у-^ Ц [ д многомерного ССП. Результаты главы 2 являются одним из двух граеугольных камней, лежащих в основе двух последующих глав.

Глава 3 (§§11-14) посвящена биспектральному анализ у С СП. В §11 введена в рассмотрение периодограмма третьего порядка

I ^ O^L) ^¿i ' ее постРоении Для домножения исходной реализации исследуемого ССП используется треугольное окно данных (окно Бартлетта), определяемое соотношением

, (i-\klM, Iklin, в1-к)% lk\>n.

Установлено, что периодограмма Ln ( A^J является асимптотически несмещенной оценкой биспектральной плотности А \0)

/7(31/1 iv f к >1

если функция j ( ) ) l) непРеРЫвна- Изучены корреляционные

свойства (дисперсия и ковариация) периодограммы J^ Установлено, в частности, что ковариационная функция периодограммы J^^^A^ | À^J не всегда стремится к нулю с ростом объема выборки. Указано множество точек Д — , ^ ) t обладающих тем свойством, что значения периодограммы в

точках этого множества остаются коррелированными даже при •

В §12 построена асимптотически несмещенная и состоятельная оценка I-f) ^ J биспектральной плотности ^ \\ i f A^J

Указана скорость сходимости оценки / X ,1 к функции

/10) л \ \ 'r • '

у /А, /U/ Б зависимости от априорных предположений'относительно семиинвариантов исследуемого CCI и степени гладкости оцениваемой биспектральной плотности. В §13 рассмотрен случай, когда за каждыми /71 отсчетами исследуемого ССП следуют р пропусков. Если при этом ¡7) У> 2р| то удается построить асимптотически несмещенную и состоятельную оценку биспектральной плотности | A^J

§14 посвящен рассмотрению случая, когда объем выборки настолько велик, что обработать ее на ЭВМ целиком не представляется воз-

можным. В этом случае исходная выборка разбивается на массивы меньшего объема, каждый из которых обрабатывается отдельно. Сама же искомая оценка биспектральной плотности получается в результате осреднения оценок, получаемых для каждого из массивов меньшего объема. При этом, в целях уменьшения смещения оценки биспектральной плотности, возникает необходимость корректировки выбора мультипликативного окна данных 0 . Вместо используемого в Ш1 и 12 окна Бартлетта (разложения в ряд Фурье ядра Фейера), здесь используется разложение в ряд Фурье ядра Джексона

(4)

(5)

Ядро (5) иногда называют также ядром Парзена, а его разложение в ряд Фурье известно под названием окна Парзена-.

Глава 4 (§§15-181 посвящена тем же вопросам, что и предыдущая глава, с той лишь разницей, что здесь речь идет об оценке уже не биспектральной, а триспектральной плотности исследуемого ССП. Разумеется, переход от биспектральной плотности

к триспектральной плотности Агт Аз } не

обходится без трудностей. Наиболее существенная из них состоит в том, что четвертый семиинвариант, дискретным преобразованием которого является триспектральная плотность, уже не совпадает с четвертым моментом. Поэтому в основу построения оценки триспектральной плотности кладется уже не обычная периодограмма,

] (и)-—1_и1" СЯМ1'

гГ)~Яс(1Ь.Ч I

или же ядра Джексона-Валле-Пуссена

<1

~ ^л3 [ У,П(

а кумулянтная периодограмма - дискретное преобразование Фурье выборочного семиинварианта. Для ее построения требуется уже не одна, а две независимые реализации исследуемого ССП.

Что же касается результатов главы 4, то они качественно мало чем отличаются от соответствующих результатов главы 3: исследованы корреляционные свойства кумулянтной периодограммы 4-го порядка

построена и исследована оценка триспектральной плотности, расс- .

/

мотрен случай систематических пропусков в наблюдениях, изучены эффекты, связанные с заменой окна данных Бартлетта окном Ларзена при построении кумулянтной периодограммы.

Глава 5 (§§19-21) посвящена избранным вопросам статистического анализа нестационарных случайных процессов. В §19 строятся и исследуются непараметрические оценки спектральных плотностей ПНСП. Выше было уже указано, что диссертант рассматривает все основные результаты, касающиеся спектрального анализа ПНСП, лишь как некоторый первоначальный задел, как базу для дальнейших исследований. В §20 рассмотрена задача выделения трендов (неслучайных аддитивных составляющих) процессов со стационарными приращениями первого, второго и третьего порядков.

Наконец, в §21 предложен метод ретроспективного прогноза тренда ПНСП. Речь идет об адаптивном алгоритме, использующем всю доступную нам предысторию исследуемого процесса для построения прогнозирующей оценки его тренда. Прогнозирующая оценка строится здесь в виде линейной комбинации левосторонних оценок самого тренда и его производной в конечной точке интервала наблюдения. Параметры прогнозирующей оценки выбираются таким образом чтобы она в прошлом, в течение всего доступного нам интервала времени, наилучшим образом аппроксимировала упрежденный тренд. Метод ретроспективного прогноза применен к анализу двух многолетних рядов приземной температуры воздуха по данным П.Д. Дксун-за'и его соавторов (1986, 1988). Сформулирован результат прогнос-

веского характера, допускающий проверку по истечении опреде-гнного промежутка времени.

Все результаты диссертации являются новыми или же были тако-лш в момент их публикации диссертантом.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в тедующих работах автора:

1. О выборе спектрального окна при оценке спектра гауссовско-го стационарного случайного процесса. - Проблемы передачи информации, 1971, т.7, №4, с.45-54.

2. Об оценке спектра гауссовского случайного процесса по его реализации с пропусками. - Проблемы передачи информации, 1973, т.9, №1, с.66-72 (в соавторстве с Ю.А. Савицким).

3. Некоторые практические рекомендации по спектральному анализу гауссовских стационарных случайных процессов.- Проблемы передачи информации, 1973, т.9, №4, с.42-46.

4. Некоторые вопросы спектрального анализа гауссовских случайных процессов.- В кн.: Теория вероятностей и математическая статистика, вып.10, Киев: Вица школа, 1974, с.З-П.

5. О равномерной сходимости оценок спектральной плотности гауссовского стационарного случайного процесса.- Теория вероятн. и ее примен. , 1974, т.19, №1, с.198-206>.

6. Об одном численном эксперименте по вычислению спектров случайных процессов.- Проблемы передачи информации, 1975, т.II, №4, с.106-108.

7. Об ошибке оценивания спектральной плотности гауссовского случайного процесса.- В кн.: Теория вероятностей и математическая статистика, вып.21, Киев: Вища школа, 1979, с. 39.

8. Об оценках некоторых (функционалов от спектральной плотности гауссовских случайных процессов.- Теория вероятн- и ее примен., 1980, т.25, №2, с.271-277.

9. О вычислении спектров стационарных случайных процессо! по выборкам большого объема.- Проблемы передачи информ ции, 1980, т.16, №1, с.42-49.

10; 0 вычислении спектральных плотностей случайных процессов по выборкам большого объема,- В кн.: Вычислительна и прикладная математика, вып.44. Киев: Вища школа, 196 с.32-40.

11. О методах выделения тренда некоторых классов случайных процессов.- В кн.: Теория вероятностей и математическа статистика, вып.27. Киев: Вища школа, 1982, с.3-10.

12. Некоторые вопросы оценивания биспектральной плотности стационарного случайного процесса.- Проблемы передачи информации, 1983, т.19, №3, с.38-51.

13. Об оценках спектральных плотностей некоторых моделей стационарных случайных процессов.- Проблемы передачи информации, 1985, т.21, №2, с.42-49.

14. К вопросу о построении сверхразрешающих спектральных оценок.- Автометрия, 1986, №1, с.3-7.

15. О непараметрических оценках интервала корреляции гауссовского случайного процесса.- Автометрия, , с 11-14.

16. О свойствах симметрии старших спектральных плотностей стационарных случайных процессов.- Матем. заметки, 198' т.41,>5, с.758-763.

17. Об оценках спектральных плотностей гауссовского период] чески коррелированного случайного процесса.- Проблемы передачи информации, 1988, т.24, №2, с.31-38.

18. О некоторых свойствах статистических оценок старших спектральных плотностей.- Теория вероятн. и ее примен. 1990, т.35, »3, с.431-437.

9. Об оценках триспектральной плотности стационарного случайного процесса,- Проблемы передачи информации, 1990, т.26,№1, с.12-18.

0. К статистическому анализу трендов климатических временных рядов.- Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1990, т.26, !№, с.563-570.

1. К построению оценок спектральных плотностей периодически коррелированного случайного процесса.- Проблемы передачи информации, 1990, т.26, №3, с.106-108.

2. Свойства симметрии старших спектральных плотностей многомерного стационарного случайного процесса.- В кн.: Теория случайных процессов и ее применения. Киев: Наукова думка,

1990, с.3-8.

3. Биспектральный анализ стационарных случайных процессов: выборки большого объема.- Автометрия, 1990, №5, с.23-28.

1. Триспектральный анализ стационарных случайных процессов. Выборки большого объема.- Проблемы передачи информации,

1991, т.27, №2, с.69-74. .

). К анализу изменений приземной температуры воздухе с середины XIX столетия.- Изв. РАН, Физика атмосферы и океана,

1992, т.28, №9, с.926-935.

>. Эмпирический спектральный и биспектральный анализ периодически нестационарных случайных процессов.- Проблемы передачи информации, 1993, т.29, №2, с.64-71.

¿и с^.

27. Nonparametric and parametric, spectrum estimation methods-for stationary time series. - In: Time series. Proceedings of the international conference held at Nottingham university, March 1979 (Ed. by O.D.Anderson). New York-Oxford: North-Holland Publishing Comp., 1980, p.40t-422 (in co-authorship with A.M.Yagiom).

28. On the use of alternating kernels in nonparametric statistical estimation. - In: Lecture Notes in Mathematics. Vol.1021. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1983, p.15-25.

29. On symmetry properties and nonparametric estimates of the v-th order spectral density of a stationary random process. - In: Probability theory and mathematical statistics. Proceedings of the fourth Vilnius coherence, Vilnius, USSR, 24-29 June 1985. Utrecht: VNU Science Press, J987, p.31-38.

30. О некоторых важнейших свойствах периодограмм старших порядков Теория вероятн. и ее примен., 1995, т.40, №3, с.481-494.

Типография ордена <3нак Почета»

Издательства МГУ. .119890, Москва, Воробьевы горы Заказ 1272 Тираж 100 ,