Исследования по теории условно-гауссовских процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

*

ВИЛЬНЮССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГЛОНТИ ОМАР АЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 519.21

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая

статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ВИЛЬНЮС-1990

Диссертация выполнена в Тбилисском ордена Трудового Красного Знамени Математическом институте ин.А.М.Раэмадэе АН Грузинской ССР. .

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Р.Ш.Лигщер

- доктор физико-математических наук Г.В.Лрзгараускас

- доктор физико-математических наук,профессор Е.Ф.Царьков

Ведущая организация - ■ Институт математики АН УССР

Зашита состоится "_"___1990г.в

час, на заседании Специализированного совета Д 061.01

при Вильнюсском университете по адресу: 2320С6,г.Вильнюс, уд.Hayгардуко,24,факультет математи ки,ауд.101.

С диссертацией ножно-ознакомиться в научной библиотек Вилыяосского университета(ул.Университето,3).

Автореферат разослан к_"_;_ 1990 г.

Ученый секретарь .специализированного совета

доц.П.С.Вайтк^

Актуальность теда. Интерес к исследовали о условно-гауссов-ских процессов .возник в связи с проблемами теории оптимальвий нелинейной фильтрации случайных процессов. Оказалось, что дополнительные ^оотноиения меэду условными старшиг'' кементаки, получаемые в силу условной гауссовости приводят к замкнутости уравнений оптимальной фильтрации и проблема находит адъективное разрешение. Впервые условно-гауссовские процессы были изучены Р.Ш. Липцером и А.Н.Ьиряевым в связи с исследованием вопросов фильтрации, интерполяции и экстраполяции (ФИЭ) частачно-наблвдасглых диффузионных процессов. Они же обнаружили замечательное свойство этих процессов - замкнутость системы уравнений фильтрации, т.е. возможность эффективного решения задач ФИЭ. Условно-гауссовские последовательности и задачи ФИЭ для них исследовались автором. Результаты названных вше и ряда других исследований по теории условно-гауссивских процессов и приложению результатов этой теории в статике случайных процессов, в теорию стохастического управления и теории информации вошли в монографию Р.ЫДищера и А.Н.кшряева "Статистика случайных процессов",заслужившую всеобщее признание специалистов.

Научная новизна. Диссертация посвящается выявлению свойства условной гауссовости у широкого класса случайных процессов и полей,управляемых стохастическими конечно-разносными, дифферен-циалько-разностными уравнениями и стохастическими интегро-диффе-ренциальными уравнениями с частными производными. Для исследуемых случайных процессов и полей получены замкнутые систэмы уравнений оптимальной фильтрации, т.е. проблема фильтрации решена эффективно. Предложены ноше нетрадиционные представления для оптимальных оценок фильтрации условно-гауссовских процессов. Изучена задача редуцирования стохастических доэдеренцдаль-

них уравнений специального вида (именуемых уравнениями "фильтрационного" типа) к параметризованных величиной из основного вероятностного пространства обыкновенным дифференциальным уравнения; и получены представления для оптимальных опенок фильтрации удобные тем, что в них отсутствует стохастические интегралы. Решена задача оптимального управления с квадратичным функционалом потерь для системы с распределенными параметрами, описываемой стохастическими интегро-дифференциальнЫки уравнениями с частными производными со стохастическими интегралами по гауссовским мартингалам на основании выявленного в работе свойства условной гауссовости системы. Показана успешность приложения результатов теории условно-гауссовских процессов к исследование такой проблзмытеории информации, как оптимальная передача гауссовсккх сообщений по каналу с обратной связью для случаев дискретного и непрерывного времени,.охватывающим наряду с "бесшумной" и "шумящую" обратную связь. Передача гауссовсккх сообщения с обратной "шумящей" связью впервые рассмотрена автором. Решение проблемы оказалось возмокяым благодаря введению дополнительного звена в схеме передачи - преобразователя обратно посылаемого сообщения - поцлехащего наряду с кодирующими и декодирующими функционалами оптимизации.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты, кратко охарактеризованные выше, дают возмоасность утвер-«дать, что выполненные в работе исследования формируют новое перспективное направление по теории условно-гауссовских процессов, которое будет способствовать как успешному решению ряда ■вакных теоретических проблем (задачи интерполяции и экстраполяции условно-гауссовских процессов, не затрагиваемые в данной работе, задачи статистики случайных процессов, стохастического

управления и т.д.),- так и ряда важных практических проблем (например, связанных с прогнозированием природных явлений или с управл нием летательньх аппаратов).

Ап'лробация работы.Результаты работы доклэдавались автором на II и III научных сессиях Института прикладной математики Тбилисского госуниверситета (I97Ü и 1971), на международных конференциях по теории вероятностей и математической статистике в Вильнюсе (1973,1981 и 1985), на Европейских конгрессах статистиков в Праге (1974) и в Варне (1979),на III и 1У Советско-Японских симпозиумах по теории вероятностей и математической статистике в Ташкенте. (1975) и в Тбагсиси (1982), на У Международном симпозиуме по теории информации в Тбилиси (1978), на Международном симпозиуме по стохастическим дифференциальным уравнениям в Вильнюсе (1978), на Х11-ХУ Всесоюзных зимних коллоквиумах по теории вероятностей и математической статистике в Бакуриани (1978-1982), на семинарис по теории вероятностей и математической статистике Института математики АН 7ССР в Киеве (1982), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Киевском госунивер- ■ ситете им.Т.Г.Шевченко (1982), на семинаре по случайны; процессам в Институте математики и кибернетики АН'Литовской ССР н Вильнюсе (I982) и на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ТашГУ (1983).семинаре по теории вероятностей и математичас-кой статистике Института прикладной математики и механики АН УССР в Донецке (1984). На научной сессии МИАН ГОСР (1987).

Публикация .Основные результаты диссертации опубликованы в [l] -[251 •

Структура и обьем работы.Работа состоит из введения, 7 глав,разбитых на две части и списка литературы, содержащего 104 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Обший объем диссертации вместе со списком литературы - 312 страниц.

- б -

В автореферате для теорем использована тройная нумерация: первый номер указывает соответствуете паву, второй - параграф внутри главы, третий - номер теоремы в параграфе.

гервая часть работы "Процессы, обладавшие свойством условной гауссовости" (гл.1 - У) посвящается собственно проблемам

теории условно-гауссовских процессов.

В главе I - "Условно- гауссовские последовательности"- развивается метод, позволявший единым образом охватить доказательство принадлеиности частично-нлблодаеиых последовательностей, управляемых конечно-разностными уравнениями, линейными относительно иекабгвдаемой компоненты, к классу уссовно-гауссовскик процессов и вывод замкнутой системы уравнений фильтрации дяя оптимального в среднеквадратическом смысле фильтра и ошибки отслекивания, Метод оказывается эффективными при исследовании условно-гауссовских последовательностей со значениями в гильбертовых пространствах и условно-гауссовских непрерывно-дискретных схем;

В § I рассматривается частичио-наблвдаем-я последовательность = , Ъ = (Д>0) , управляемая системой стохастических уравнений вида - -X*)

где вектор-функции а, - Са" .•••> » ( А». .... , A0g) и

матрицы а, А, . &, , . В, . Вг ( к*к Куе . к у к . к » . 1*1 - порядков, соответ-

ственно) ирадпогагаится яеупрекдавщими, т.е. при кавдои i из -херимыми относительно = ,s-íQ , го,(fc)~ ("U),, 00, ...j^ikO^

= (-UJ,,«0 , tültCt)) -киЕ -мерные raye-совские последовательности с независимыми компонентами, у которых Mu)PVt0=0 , M [iOFtCt) -tUp^s)]1 s i-s , fc¿ s, P = ; p:2,lí(¡,<:t; ©„ и предполага-

ется независимыми от tüj и U)t

Теорема I.I.T. Пусть о вероятности)! априорноераспре-делеяие р (Qo < эс^о) - Р (в,№) í эй , ,.6 ДО) < x^gj) является нормальным с параметрами га=М(б„\!)и Г ='Н[(60-

- т)(_Э„-пг)* ]?о") > тогда с вероятностью I апостериорное распределение Р(в^х^) =р(е,Ш<а, .... ,6*00***1??) такие является нормальным с параметрами т(л) = М и

^ = » удовлетворяющими раз-

ностным уравнениям

- СА0а,1) +, ruto)-=гг1, (3) ^ = (-MUJO + а.ВДггага.Ю^ + а.а.Е)!: +

+ П" аг 0,1) - [Се + а,ад) л)Г, А", {±£) +

где

(Ш Ш = Ш; В",«,?) + .

(в ° в) са) = в, и,?) ) + вдов; сш.

£ - е-адичная матрица порядка к* к. , - матрица сопряженная к С , С* - матрица псевдообратная к С .

Из приведенных примеров следует обратить внимание на пр;с.:ер 2 (с подпримерами 3 и 4), в котором иллюстрируется возможность эффективного использования полученных в параграфе результатов при исследовании такой задачи статистики "случайна процессов, как оценивание параметров процесса конечной авторегрессии. >

В § 2 доказывается теорема об условной гауссовости (теорема ,1.2.1) для частично-набдюдаемых последовательностей (б^ь), ¿ = с компонентами, принимающими значения из бесконечномерного гильбертова пространства 1 управляющимися системой конечноразностных уравнений вида (I), (2) .• Получены уравнения оптимальней фильтрации, в которых фигурирует такие объекты,как измерише линейные отображения относительно условных гауссовсккх мер.

В качестве иллюстрации приведены примеры. Першй из них посвящается уравнениям Калмана-Быоси в сепарабельном гильбертовом пространстве. Рассмотрим пример 2, в котором частично-наблвдаемая последовательность с компонентами из сепарабельного гильбертова прост-, рансгва И определяется соотношениями

9Н( + б-ЛВдигав ;

и/, - Мю) , (иг2(«) , мг.ш 6Н, иг4(уен , ЫО.а,...,

независимые между собой гадссовские последовательности со значениями в И с независимыми приращениями и такие, что для любых ^ и Н"

кэ И

" (I -lUS-tf^™8 ~ некотоРие ковариационные операторы в Н . 60бН гауссовский элемент со средним М- и ковариационным оператором Г ,не- авискмый от W", и .

Дня условного среднего и условного ковариационного операто-

ра г;,, (при условии У*, ) ненаблюдаемой компоненты 9 получаются соотношения

mU)= L(tt?tM у m,sm, ,

Г4,г-^jS^-ft)^WS^fe)S„BW, Г0-Г,

где для каждого t L-Ш J*ig<1 - измеримое линейное отображение, ассоцироваяноегоператором Гильберта-Шидта T(fr) = {^(OS.B'^-tB WS.B'Wi4 t - мера, отвечающая .т.е. распределение

Третий параграф посвящается установлению условий гауссовости для частично-наблкщаемых процессов и полей с дискретными по времени наблкдениями как для случая, когда ненаблюдаемая компонента управляется стохастическими линейными дифференциальными уравнениями, задача, изученная П.И.Кицулом, так и для случая, когда она управляется стохастическим дифференциальным уравнением с.частными производными параболического типа (теорема 1.3.2). Приводятся замкнутые системы конечно-разностных уравнений фильтрации для оптимальных оценок и ошибок отеле-, живания. Задача фильтрации для таких частично-на .'лвдаемых непрерывно-дискретных процессов имеет несомненно интерес, т.к. описываемая ситуация близкз к реальной - динамические системы непрерывно эволюциониру? ют, а получить информацию о их поведении удаётся только в дискретные моменты времени.

. Во второй главе "Фильтрация условно-гауссовских процессов диффузионного типа" исследуются частично- наблюдаемые процессы, описываемые следующей системой стохастических уравнений

^ , [сиш+а, + ¿Л'Й.ЮМю , (5)

где ии,- и ТА),.» ДО " независимые

вико^овские процессы, а коэффициенты - неупревдавщие относительно ^ функционалы.

В § I приводится известная теорема Липцера-Ширяева об условной гауссозости и об уравнениях оптимальной фильтрации для процессов, описываемых уравнениями (5), Г6). Во второй параграфе в условиях этой теоремы для оптимальной оценки фильтрации получается одно стохастическое уравнение.взамен традиционной системы уравнений для и оиибки отелей аивания - М [(Д-. Результат формулируется в виде следующей теоремы •

Теорема 2.2.1. Оптимальная оценка фильтрации частичяо-каб-. людаеыого процесса ( ^ е [0,Т] , описываемого систе-

мой. стохастических ураввений (5), Сб) в условиях теоремы Липпе-ра-ИиряеЕа , удовлетворяет следупцеку стохастическому дифференциальному уравнение

- [а0а + а, и в ^ д) +

+ <пг>, +

- 2 а, (*.!) г& аЛ^Ш^

т. = т-

где <т-> - квадратичная характеристика мартингала

с ъъь ~ т>ь - | (йД^-Г) + а.С^пг^ск , т, к

параметры априорного нормального распределения

В частной случае системы (5), Сб) с 0-, » = это уравнение имеет следующий вид (пример I)

. = А ( ^3) [-<™>4 + £ ^ (А 5 Б'Ч^, пг пг,

о

где Ш - обновляющий процесс, - характеристика мартин-

гала (ггц,7^) . Заметим, что <ш> = ^ Ь ,

- «о

где вокальное время мартингала гп.к з ^ £ К,'.

Теорема 2.2.2.- представляет многомерный аналог теоремы 2.2.1.

В 5 3 для частично-наблюдаемых диЭДузиоцных процессов, т.е. процессов, управляемых уравнениями (5), (б) с коэффициентами, зависящими в момент ^ от ? только через » получается новое представление для оценок фильтрации интересное

тем, что в нём отсутствует стохастические иятеграяы. Это представление удаётся получить с помощью преобразования

Теорема 2.3.1. Пусть £Дх) В"'(1.*) и А, С*.*)В'1^) непрерывны и имеют непрерывные частные ¡¿оиэводные по 1 и сс яа [О.Т^х^1 . Тогда в уеювиях георемы Липцера-Ширяева оптимальней опенка фильтрации гп.^ = ^ (Э^Т^) имеет следующий вид

IV,!. Г 4

ГТК

Ч

^ О в *

где удовгетворяет ди$>ерендиал1.ноиу уравнении Риккати из

традиционной системы уравнения фи1ьтрапии Липпера-Еиряева,

^ в а,(ьдг) -Т, ^Ь} _ А,МЛ

% ^

^ - ^ I\(л,*) В'Ч^х)+ а.^") 4

° о ^ ^

-{[а.а^-ио

■

\ [ д.а.х) в-ч^а* -т, А.а^в^аддА^)-

" ^ ^ [ а . ^, Ге ьчк &.

Вопросы, рассматриваемые в атак параграфе иа об1встк"ро-бастноа" фигьтрааим, важность которой обус*ов*ена возмовносты> аффективного прквовения её резуяьтатовк реечный физическим про-вессаи. Приводимое здесь представ*евие (8) д«я ггц >® котором отсутствуют стохастические интеграны явиется одних из первых , езултатов в этой области. В кастояиее время робастное стохастическое мсчисяенме и роОастяая фииьтрания интенсивно развмва-

ются благодаря исследованиям Х.Досса, Г.Сусмана, Я.Кларка, • М.Дэвиса, Г,%Ш1ера, Б.Григелиокиса, Р.Микулявичуса и др.

Нй использовании преобразования типа (7) основывается вся следующая третья глава "Уравнения фильтрапио. .¡ого типа и прен отавяение для оптимальных опенок фильтрации". Она посвящается рассмотрению случайного процесса (X«. , Ь б [РЛ"! ,

с действительными компонентами, удовлетворяющими системе стохастических интегральных уравнений

о

где М = - локальный непрерывный справа мартингал,

ЛОг) » ■* непрерывные справа процессы ограниченной вариации. Эту систему уравнений (по аналогии с системой уравнений для тгь> , и Т^ ) мы будем именовать уравнениями фильтрационного типа,

В $ I исследуется проблема редуцирования системы уравие-» вий (9) - (II) к системе обыкновенных интегральных уравнения, параметризованных величиной из основного вероятностного прос-* транства, а для компоненты ^ получается явное представление без стохастических интегралов.

Теорема ЭЛЛ. Пусть непрерывна

и имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным , а такае ( дV,. V,., «

л^ , г е Со,т] .

где

О о

Тогда

У

О л/ и £ ' « А ' »

. , ,.... -Жи.

' о О

п

где у - некоторый процесс ограниченной вариации

Во втором параграфе показывается ктким образом использовать основную теорему 3.1.1, чтобы для случая частично-наблсдаемого процесса, описываемого уравнениями

+ -г N. , (12)

О

(А/= (Уь,?^) , М = гауссовские мартингалы с непрерыв-

ными справа траекториями, <Х(Л) и- » - непрерыв-

ные справа детерминистические функции ограниченной вариации) стохастические уравнения, полученные Д.Й.Хадкиевым, редуцировать к уравнениям параметризованным по со £ _0_ и навти для оценки Фильтрации представление, в котором не входят стохастические интегралы.

I) В диссертации даётся представление дпя Ч"

В примере I рассматривается представление оценки фильтрации для случая частично-наблвдаемых процессов, управляемых (12), (13) с d(Ett)= àû(fl=it . для случая исследованного Р.ИЛип-цером.

В 5 3 вновь на основании результатов теоремы 3.I.I. получаются представления для оценки фильтрации процессов диффузион^ ного типа, из которого как частный случай получается представление (8).

В последнем параграфе ( § 4 гл.И) выясняется вопрос: насколько моягно расширить класс стохастических уравнении, которые редуцируются к параметризованным по u) 6 -û. обыкновенным уравнениям с помощью преобразования типа (7). Показывается, что к такому классу принадленат уравнения вида

О „ о -

В главе 1У "Системы с распределенными параметрами" изучается частичяо-набявдаемые процессы (б,?} - Д W) , Х&2) С t G 1*0,т] , управляемые следующей системой стохастических ивтегро-диф^ереяциаяьных уравнений с частными производными

+ e(Cx,l,1)d-uj,tt) +ç1,Cx)ti?)dxotCt), cw) <*Ш = (*,<:) dlx]dt ч- ВО&х^Ш, с 15)

где

•^^(uDXO.Tt") и UJfc = - независимые мевду со-

бой викеровские процессы; (бО*.0) ,^LoS) при каадом фиксированном octí> не зависит от W t и . Пусть выполнены следующие усювия

I) Начальное условие: ©Сх.О) = Ф[х) и для любого конечного множества аргументов {,óc.< j и = fji^j априорное совместное распределение

. р {<Р *е».....<? оо еи\ ?to>]j

является ( Р -п.н.) гауссовским с №(*) = Mt^O*^^] и YlsOsHt^W-m^i^eoíP-tt.«.) для кавдого X ££> , Ф(?с) имеет непрерывную по Гёльде'ру вторую производную.

2) Граничное усдовие: 0 С ас Л") и Хф(хЛ) -> О при a -V32) С ^2) - граница Я ), le Со.Т] •

3) Граница имеет аокалмое представление с непрерывной по Гёльдеру четвертой производной.

4) Ra R. (R. - замыкание R/=5)*[0,T] ) ковффидиенты * ограничены и непрерывны по Гёльдеру вместе с их первыми двумя производными по х .

5) Существует такое действительное число , О ,

что

í.

для любого вектора t

6) Для любых эс , ^ еЭ кавдый «а функционалов б^эсД,"-), 6ЬСасЛ.и) , > Н(х,В{и) предполагается неупрёвдающим (т.е. -измеримым, где 35е — алгебра в пространстве С - непрерывных ва [р/Г] функ-чя и, -

порожденная значениями и4 , $41; ). Пусть для каидого и £ С :

7) Коэффициенты 6,(эс,Ь,и) и и их первые четыре производные по компоненте ос ' непрерывны по Гёяьдеру иа

к. .

8) .©¡(хД.и), ^б^ЭС.Ъ.и) , \.-\,ъ . , стремятся х

вуаи при ос -^•'ЭЭ в {2,

9) Ядро Ь С у , ос , а.) ограничено, измеримо и непрерывно по Гёладеру по зс,Ь на & равномерно по , к-*0 при

10) Векторнозначная функция Н определена и

непрерывна на К»

11) В и,и-) непрерывна на СО.Т] и В*(1,а)В{Л,и>£ - поаокктельяо определена.

12) Для любых и, , 6 С '

| В (4.ч) - В (4.101*Ь, 5 I Ц.(Я - и^^ак(5) + Ц, | и,-

о ,

вга,и) < ь, (< + ак(5) + ц и + ,

о

где КО) - и ¿убывавшая непрерывная справа Функция, 0 ^ I £ [О.Т] » Ь, * 1-л г - некоторые константы.

Основной результат сформулирован в § I в ввде следующей теоремы

Теорема 4.1.1. Пусть выполнены условия I) - 12). Тогда частично наблддаеный случайный процесс (©«?)= (0(:хЛ),?бО),

1о;т"\ . удовлетворяющий системе стохастических интегро-дифферьациальвых уравнений с частными производными (Г'»), (15), является условно-гауссовским, т.е. для левых

и *обого конечного множества аргументов {.ос* , « = <7* 3 апостериорное совместное условное распределение

является ( Р - п.я.) гауссовским.

Вспомогательные предмвения для доказательства данной теоремы собраны во втором параграфе. Здесь доказываются предло-кения о существовании и единственности решения стохастических внтегро-дифферевпиальных уравнения типа (14), (15), которые возникает пр.. доказательстве теоремы 4.1.1, 1емма 2.3,в которой получается формула Байеса, * лемма 2.4, следствием которой является специальный вид теоремы Фубинк для стохастических интегралов, по-видимому, имеет самостоятельный интерес. В § 3 доказывается теорема 4.1.1 об условной гауссов^сти методом, разработанным Р.В.Липцером и А.Н. Ширяевым. Параграф 4 посвящается мартингальному выводу уравнения фильтрации, которые в силу условной гауссовости представляется в замкнутом виде. Уравнения для оптимальной оценки фильтрации пг(гсЛ) = И[613"^) и ошибки отслекивания = М [(8(ссЛ)-

- т. (^Л") ^ имеит следующий вид (теорема 4.4.1).

+К^л.адч^) + ] н" (9 гс^.зел)] ц' [¿т _

г; (* .V* = + Г (* ^ Л} + ^(у Л Я) Г л <и * + + -Г

+ 1н (г, СП)

с начальный условием пЦэс.О) =гп-(х) , ГС*^,0) = ^ и

граничным условием и О при

В гауссовском случае из уравнения (16), (17) получаются известные результаты ГДуанера. В последнем пятом параграфе для оптимальных оценок фильтрации частично-наблвдаемого процесса, управляемого уравнениями (14), (15) в марковском случае, т.е. когда зависимость от Щ, в коэффициентах в момент -Ь - только через значения Т; , получаются представления в форме, в которых отсутствуют стохастические интегралы. Это осуществляется такие, как в 5 3 главе П и главе Ш.

В главе 7 "Условно-гауссовские семиыартингалы, зависящие от параметра" изучается вопрос принадленяости к классу условно-га-уссовских частично-наблцдаеыых процессов, которые представляют собой семимартингалы, управляемые как и в предыдущей главе ин-

тегро-дифференпиаяьныии уравнениями с частными производными

= еса.о) * хе (*/>•) ^^ХА^ж^А^ + Сб.и^-.юамФ + Се^* , (18)

О ->0

во в которых стохастические интегралы по винеровским процессам ваменясгся на интегралы по гауссовским мартингалам Л/, и о непрерывными справа траекториями. Показывается, что след-» ствивм условной гауссовости является замкнутость системы уравнений фидьтрацяи м воэмовностъ эффективного решения задачи управления по неполным данным о квадратичным функционалом потерь. В первом параграфе приводится теорема об условной гауссовости (теорема 5.1.1). Второй параграф посвящается вспомогательным предложениям для доказательства этой теоремы. Иг них с.яезует отметить теорему об "обновлении"-' теорему 5.2.1. Результат её заключается в следующем: если са эадоя случайный процеос

о

где - веслучайная непрерывная функция ограниченной

вариации, - непрерывен« справа гауссовскиа

мартингал и

¿"о справедлива

Теорема 5.2.1. Случайный провесе является

гауссовским мартингалом с непрерывными справа траекториями'и

его характеристика <.R> .

Третий параграф посвявается уравнениям фильтрации. Они

имеют следующий вид

гтЦ%Л) - пг С*.о) + +

<Л (20) ГСх.^.О = Г(*.у.о) + Г(x^.s) +

о

♦GHli.stfrtM.OAa") ^ I( Д</7>1=0)]А<Л7>1 .

В § 4 рассматривается следующая задача стохастического гправления. Пусть частично-наблвдаемый управляемый случайный

процесс (6,Г) - (6C*,t).^Ct)') , ос ей С t 6 0>.П. за-1аетоя системой стохастических уравнений вида

+ £ [ 5 н (а,,) ей,«) сЦсь л к а).

Пусть функционал потерь имеет следующий вид

си (зд = и; ^ Й $ с* , е б ^ <ь- Н **+

Тогда оптимальное управление и, ,т.е. управление, для которого

СаСФ,0 = Щ Си(ЗД

и

( 1п| берётся по ноем допустимым управлениям), имеет вид

где находится из интегро-дифференциального уравне-

ния типа Риккати, б определяется из системы стохас-

тических уравнений фильтрации (20), (21). Это есть результат теоремы 5.4.1, который иллюстрирует " принцип разделения", в соответствии о которым задача оптимального управления по неполным данным распадается на задачу фильтрации и задачу управления по полным данным отфикьтроваввой системы.

Главы 71 и УП составляю? содернание второй части работы "Оптимальная передача гауссовоких сообщений", которая посвящается иллюстрации еффективиости использования результатов теории условно-гауссовоких процессов при исследовании такой проблемы теории информации, как оптимальввя передача гауссовских сообщений при передаче по каналу с обратной связью.

В главе УТ эта проблема исследуется для случая дискретяогв времени. Параграф I посвящен следующей задаче. Перадача гаус-совского сообщения 0 происходит по схеме

= [A.U.^) + А,(ДЖ)е"\л "+ . (г2>

где tO = i^i) . fc-О,, - гауссовская случайная последовательность с независимыми приращениями, независимая от О неупрекдаюиие функционалы А,(Л,5) и А,(Л,10 задаст кодирование.

Передача, осуществляемая схемой (22) представляет передачу гауссовских сообщений по каналу с аддитивным гауссовским аумок с обратной бесиуыиоя овязиз.

Задача зак отчается в нахождении кодирования (А», А,) и

а

декодирования в , оптимальных в смысле критерия

• дчо = ч м[е - , (2э)

-А

где ü.f берётся повеем (А., АО и б , удовлетворявши» уояовияк

.U.^QeV «р.

Теорема 6.I.I. При передаче гауссовской случайной величии вы 9 ((m,)S')>f>0), по каналу (22)- оптимальные кодируйте фунхционалы А* и А* имеют вид

где оптимальное декодирование = mí!

и передаваемый сигнал определяптся из уравнений

- гь -

¿m" »\|р* Ü+P&) л?* , тя\ =rrv ,

соответственно. Ошибка воспроизведения сообщения

A"(t) «= —

В теореме 6.12 строится оптимальная схема передачи гаус-совокого процесса о дискретным временем 8t , t = O ü,... управляемого конечно-разностный ураввеяием

где тЗ = (u)t 3V) , t = О, Д , ... , - гауссовская случайная последовательность A/(o,t) с независимыми приращениями, не зависящая от Э0 . Ошибка вослроизвБденвд Д*0?) выглядит следующим образок

Второй и трети« параграфа посвяиавтся «сследовавии пробам ин передачи гауссовских сообщений (как ояучваиоа величины, так и провесов),, когда на обратный сигнал в канале накладываете« яук, т.е. сообщения передамся по cxei з

(25)

= А(Л ,6,-Щ) л + etW Ato, , • кс '

где функционал задает кодирование, обратный сигня;

имеет вид

nu.s) -

где П(Л.5) - преобразователь обратно посылаемого сообщении,

- шум в обратяом канале, предполагавшийся гауссовскиы. Задача заключается в яахокдеяяи кодирования А , декодировав

л

вия 9 и преобразователя Г\ , оптимальных в смысле йвад» рэтичного критерия <23). 3 § 2 изучается специальный линейный случай о

AUAf) + Atoe . (26)

Несмотря на простоту он даёт достаточный ий*ериад для В№» ивлеяия качественных отличима передачи по каналу о обратной "аувячей" связьв от передачи по каяеау о обратной "decayиной" :вязьп.

Теорема 6.2.1. При передаче гауссовокой /А/(т.,у) ,Т>04 :лучайяой величины б по схеме (25) (6(0íL) о коднрувщим (ункциоиалом (26) в условиях энергетического ограничения

»оптимальные кодируюз&з функция А*, преобрявоватеяь 'братво посылаемого сообщения П* иаевг вид

аЪ) + (Р, n-(t.5-)= + [i: -

(27)

ae TV* • Tk • ' зеслучайные фувкнии времени,

предеяяемые из • следувяих соотвовений

г* = —i-—t П О ^) »V =т,

~ , т" - о.

Оптимальный декодирующий функционал m,t

•>=Mtei-sf 1

определяется из конечно-разностного уравнения

Дггь; = + , m: = nv.

где

Ag* = Cl + Р&У AU>t "05 «• обновлявший процесс.

Уравнение для нахоадевия m.*/1' = имеет

следующий вид

Минимальная ошибка воспроизведения сообщения В §3 рассматривается общий линейный случай с

Аа.еД) - A.wf, + .

При энергетических ограничениях

Hi

1 ' (28) И ПЧЦ^ 6 (

(коистапты р г ^ • характеризует ®нергетические возмовности передающего устройства и преобразователя обратно посылаемого сообщения) в теореме 6.S.I даётся вид оптимальных А« . At 6" и П" . Ояибкв воспроизведения в случае передачу rayccoi ской A/(«',Y) случайной величины 8 выглядит следующим обре яом

№ л

к»0 1 + ,.Р . л

ечк)

где V определяется из специального соотношения, зависит от и. при стремится к нуда.

В 5 1 находится взаимная информация

1тсед) = М еа

¿С/'етЛ

С - мера, соответствующая процессу х ) сигналов б^б,,^ •§= (.5,,) ,(:= >••■ .Т . управляющихся конечно-раэностни-яи уравнениями (22), (24) (теорема 6.4.1) к (25) ( с линейным \), (24) (теорема 6.4.2).

В 5 5 исследуется задача оптимальной в смысле максимума взаимной информации передачи гауссовских оообвдгня дал случая дискретного времени в классе передач (25), удовлетворяет«* энергетическим условиям (28). На основании результатов теорем 6,4.1 и :.4.2 доказывается, что построенные в § I - § 3 оптимальные в змысле квадратического критерия передачи является оптимальными I в смысле максимума взаимной информации (тег темы 6.5.1 и 5.5.2).

В последней глазе УП "Оптимальная передача гауссовских сооба зений по каналу с обратной связью (непрерывный случай)" иссле-(уется следующая проблема. Гауссовское сообщение 9 переда-:тся по каналу с аддитивным белым иумом и с обратной "аумящей" ¡вязью, т.е. схема передачи описывается стохастическим дифферея-[иальным уравнением

А? = Аи,6,1)ал + 6С<0<Ь>„ , (29)

где Ю _ Cu)t ."ît) , -te винеровский процесс, фувкц:

о нал А задает кодирование, обратно посылаемое сообщение

П^ЛС + tt ,

где П - преобразователь обратно идущего сигнала, - шум в обратном канале, управляемый липеяпым стохастическим дифферент альным уравнением

- att)4»<U + Ut)dû)t ,

где ТУ = (й>к винеровский процесс, не "зэвисящш

от ХУ . Ставится задача построить"кодирующий А" , декодиругь

л м

иий 6* функционалы и преобразователь П , оптимальные в смысле квадратического критерия

лс-t) = Ц же. го

при энергетических ограничениях

MA4t,e,i)ép, (зо:

M rrtfc.Ç) ^ .

В § I исследован специальный пикейный случай с ,8 = 8 • Оптимальные А* и Г\* вида ( 27 ) и =

= îrv" = ГЛ(6Jîf) постРоевы Е теореме (7.I.I). Нтаииальная ошибка воспроизведения сообщения Л(Л) в случае передачи гауссовской A/(tn,y) случайной величины 0 ннеет вид

А (О = Т (.exp(--piYl[cUl , где (jkk - Гиперболический косинус.

В 5 2 изучаются линейные схемы передачи с

»

+ А,С^)Э и находятся (теорема 7.2.1) .оптимальные кодирующее функции А* и А* . декодирующий функционал и преобрвэоватепь обратно посылаемого сообщения П * . Оиибка

аоспроизведения в этой случае имеет вид

'де V определяется-из специального соотношения.

Результаты § 3 о взаимной информации сигналов правляемых стохастическими уравнениями позволяет установить, [то построенная в теореме 7,2.1 оптимальная схема передачи о шибкой воспроизведения (ЗГ) является оптимальной и з смысле аксимума взаимной информации (теореыа 7.3.2).

В 5 доказывается

Теорема 7.4.1. Среди всех кодирований, удовлетворявших нергетическии условиям (30), оптимальными в смысле квадратич« ого критерия является именно линейные кодирования, построение в теореме 7.2.1.

Аналогичный результат был известен для случая передачи по 5налу с обратной беспумноя связью. Он приводится в названной jne монографии Р.Ш.Липпера и А.Н.Ширяево-.

В 5 5 исследуется случай оптимальной передачи гауссовского logecca 9 = (6V , t £ [0Д"1 , управляемого линейным стохас-1ческии урявнением

det= a(t)8t<u +6Wàîï)t,

е Ю - (иЗчЗч) винеровский процесс.

В 5 6 вычисляется пропускная способность канала, описиваеио-стохастическиы уравнением (29), т.е. величина Ç, = iup X^Q^), где iop берется повеем сообщениям 0 и дированиян А , для которых стохастическое уравнение (29) еет единственное сильное решение и выполняются энергетические аовия (30).

В § V изучается оптимальвая передача гауссовских сигналов 6 = (в^-х) Л в [ОД"] ,ос уЪ с . называемых автором

сигналами "телевизионного" типа, по каналу с обратной "пуыяией' овязьв, описываемому стохастическим уравнением

2)

Находится взаимная информация сигналов (леыаа 7.1 )

1Т16.§) = г (и [СИ [ (н.и.1)+

2)

и строятся схемы передачи оптимальных в смысле максимума взаимной икфорна-ии при энергетическом ограничении на кодирующие функционалы В„ и Ц, (теорема 7.7.1).

Основные результаты по тем'? диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Последовательная фк ьтрация компонент марковской цепи при вы

рокденностм матрицы диффузии.» Теория вероятн. и её примен., 1970, ХУ, Ч, 736-710.

2. Нелинейная фильтрация процессов, управляемых системой отсхас тических интегро-дифференциояьных уравнений с частными производными.- Международная конференция по теории вероятн. и мат. статистике. Тезисы докладов. Вильнюс, 1973, 169-172.

3. Передача гауссовских сигналов по каналу с обратной бесшумной связью (дискретный случай).- Сообщения АН ГССР, 1973, 72, 2 277-280. '

'I. О фильтрации одного класса условно-гауссовских процессов.-

Сообщения АН ГОСР, 1974. 75, 3, 545-548.

5. Об условной гауссо воста одного кяасса ояучайных процеооов.-Трудц института прикладной математики ТГУ, 17, Тбилиси, 1975, 237-248.

6. Передача гауссовских сигналов по каналу с обратной "аумноп" связьо,- И Советско-Японский симпозиум по теории вероятя. Тезисы докладе®, I, ФАН, Таккеят, 1975, 36-38.

7. О взаимной информации сигналов, управляемых кояечао-разност-ными стохастическими уравнениями.- Сообщения АН ГССР, 1976,

83, 2, 293-296.

8. Передача гауссовских сигналов по казаду с обратной овязьз.-Ггапа. VII Prague Conference on Information Theory, Statistical Deoioion Functions. Handom Procaaaaa and of the 1974 European Meeting of Statisticians, Vol. A, Prague, 1977, 141-151.

3. Optiioal non-linear filtering of a olaaa of partially observable ¿arkov proceaaea. - Applied Math, and Optimization,^/^, Hew York, 1977, 283-288. • '

ГО. Фильтрация усювao-rayccosских нзркоэекмх пр оцб ссоз? $ уnpsis** ляеиых стохастическая иятегро-диффереицйальаыин уравнениями с частными производными.- Вторая Вияьгесская конф. по теории вере.«» зтн. и мат.статистике. Тезиса докладов, I, Вильнпс, 1977, 100-'01. •

[I. О взаимной информации сигналов в случае передачи по каналу о »братноя "нумящей" связьи,- Теория вероятн. и её примен., 1978. 2, 395-397.

2. Stoohastic differential equation of the optimal non-linear iltering of the conditional Gaussian process. - International lyraposium on Stochastic Differential Equations. Abatraote of

- 32 -

Communications, Vilniua, 1973, 135-139.

13. Об одном представлении оптимальной опенки фильтрации Марков* оких процессов, управляемых стохастическими интегро-дифференци-апьными уравнениями с частными производными,- Теория вероятн. и её примен., 1978, ХХШ, 2, 856-861.

14. Оптимальная передача гауссовских сигналов по каналу с обратной аумящел связью,- У международный симпозиум по теории информации. Тезисы докладов, I, Москва-Тбилиси, 1979, 97-99.

о

15. A representation for the process governed by the systea of

stochastic equations of the filtration type.- 12-th European Meeting of Statisticians. Abstracto, Varna, 1979, 102.

16. Об одном представлении семимартингалов с гауссовской ыартив-гагьной частою.- Х1У Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятн. и мат. с та тис тике. Бакуриани, 1980. Тезиса Докладов, "Кец-ииереба", Тбилиси; 1980, 12-13.

17. Stochastic differential equation of the optimal non-linear filtering of the condlt:-mal Gaussian process.-Lecture Botes in Control and Information Sciences, 25, Springer-Verlag, 1980, 152-

1б1г

18. A representation for в procesB governed hy a system of stochastic equation of filtration type.-Stoohastios, 4, 3, London, 1981, 247-263.

19. Об условно-гауссовских семинартингалак, зависящих от параметра.- ХУ Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятн. и мат.статистике. Бакуриани, 1981. Тезисы докладов,"Ненниёреба", Тбилиси, 1981, 46-47.

Третья медц. Впльн.конф.по теории вероятн. и мат.статистике, Тезисы докладов, Ш, Вильнюс, 1981, 106-107.

21. Оптимальная передача гауссовского сигнала по каналу с обратной "шумящей" связью. - В ей. Исследования по теории вероятн. и мат.статистике, "Мещшереба", Тбилиси, 1982, 29-42.

22. Transmission of "television typo" signals through a feedback channel.-IT USSB-Japan Symposium on Probability Theory and Hath.Statistics, Abstracts of Communications, Yol. 1, Tbilisi,

1932, 232-233.

23. transmission of "television type" signals through a feedback channel.- Proceedings of the IT USSR-Japan Symposium on Probability Theory and Math. Statistics, bacture Botes in Math., 1021, Springer-Terlag, 1983, 157-166.

24. On the representation of observable component of conditional Gaussian process. -

t

- 1У медд. Впльн.конф. яо теории вероятн. и тт.статистике. Тезисы докладов, 17, Вильнюс, 1985, 94-95.

25. Исследования по теории условно-гауссовских процессов. -Мецниереба, Тб.: 1985, 196 с.