Источники нелинейных полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИСТОЧНИКИ ПОЛЯ ХИ1ТСА В ОДНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

§1. Введение источников и решения свободного уравнения Хиггса.

§2. Решения с одним точечным источником и теория катастроф.

§3. Решения с двумя точечными источниками.

§4. Бифуркации и устойчивость решений.

§5. Бифуркации в термодинамической системе.

§6. Бифуркации и перестройка вакуума в квантовой теории.

ГЛАВА П. ИСТОЧНИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ.

§1. Бифуркация точечных источников.

§2. Регуляризация точечных источников.

§3. Контурные источники.

§4. Распределенные источники.

ГЛАВА Ш. ТЕОРИЯ ЯНГА-МИЛЛСА С ВНЕШНИМИ ИСТОЧНИКАМИ.

§1. Хромодинамический числовой источник.

§2. Грассмановы источники в калибровочной теории.

§3. Неабелево кулоновское решение.

§4. Квантовая теория и контурное представление

Вильсона.

До недавнего времени обычным методом решения нелинейных задач была их линеаризация с последующим учетом нелинейных членов по теории возмущений (ТВ).

Позлее выяснилось,что применение'подобной "линейной" ТВ выводит из рассмотрения обширные классы решений,тлеющих неаналитическую зависимость от параметра ТВ.В начале 70-х годов в раде работ было показано,что точные решения нелинейных уравнений дают существенный вклад в описание физических процессов,вклад,который в принципе не может быть вычислен по ТВ (см.,например,обзор^1^).Зти результаты стимулировали поиски общих методов аналитического решения нелинейных уравнений.Наиболее мощным из используемых в настоящее время методов решения нелинейных уравнений является метод обратной задачи рассеяния (ОЗР^Лметод ОЗР позволяет найти полное решение уравнений,описывающих вполне интегрируемые системы, т.е. системы,для которых число функционально независимых законов сохранения равно числу степеней свободы.

Примером такого уравнения является уравнение синус-Гордона (СГ): р«- + = о, где ^(х^) -вещественная скалярная функция. о /

Уравнение СГ тлеет следующие стабильные решения'0':солитонные решения кинк и антикинк Т+ ~ 4 ахеЬ^. [в ~^ "бризер

-осцилирующее связанное состояние пары кинк-антикинк и решения в виде нелокализованных нелинейных волн.Остальные решения уравнения СГ описывают взаимодействие солитонов,бризеров и нелокализованных волн.Следствием полной интегрируемости уравнения СГ является разделение в гамильтониане вкладов стабильных решений и упругость их взамлодействия.Наличие таких свойств у стабильных решений уравнения СГ позволяет называть эти решения нелинейными нормальными модами. метод ОЗР неприменим ко многим представляющим физический интерес нелинейным уравнениям,не обладающим свойством полной интегрируемости^^. Таким уравнением является уравнение Хиггса:

-»"'■Р= о.

Уравнение Хиггса и его обобщения часто встречаются в приложени

5 / /б / ях,в частности при описании сверхтекучести' сверхпроводимости' ' , структурных фазовых переходов^'^,в теориях поля со спонтанным нарушением симметрии^®/.Оно имеет стабильные решения в виде уединенно ч. / ^ гт (х- ггЬ-хс) -| ных волн: т+ - з р т.п. —^Т^тг J »называемые также кинком и антшшнком. Уединенные волны,в отличие от солитонов,взаимодействуют между собой неупруго - после столкновения в асимптотике, кроме уединенных волн»имеются также излученные в процессе взаимодействия нелокализованные нелинейные волны.Неупругость взаимодействия нелинейных мод связана с отсутствием у уравнения Хиггса, в отличие от ¿равнения СГ,свойства полной интегрируемости.

При описании явлении,происходящих в реальных системах,это различие не столь существенно,так как в реальной системе обычно имеются диссипация и другие возмущения »разрушающие интегрируемость. Возмущения возникают изгза неоднородности системы,т.е. из-за наличия внутренних дефектов и примесей,воздействия внешних сил. Неоднородности могут также содержаться в граничных условиях.

Диссипацию и неоднородности можно учесть введением в уравнение дополнительных членов,мы их в сумме обозначим £ ,и наложением соответствующих граничишь условий.Таким образом,уравнения Хиг-гса и СГ для описания реальных систем модифицируются следующим образом:

0.1)

- ^х* + аСл г ^ (о.2)

Уравнение (0.2),так же как и уравнение (0.1),применяется для описания широкого круга физических явлений.В их число входят явления в джозефсоновских переходах^/, ферромагнетиках7^/ и суперионных проводниках/-^/,дислокации в кристаллах/^/,волны зарядовой плотности^0/ и т.д.

Конкретный вид ^ зависит от описываемого явления.Диссипация, как правило,описывается слагаемым ,хотя в ряде случаев для ее описания приходится вводить и более сложные слагаемые,как это делается,например,при описании джозефсоновских контактов^/.

Приведем несколько примеров описания неоднородностей.Часть £ , соответствующую неоднородностям,обозначим $ ' .Так,при описании уравнением (0.1) антиферромагнешика.где - локализованная средняя намагниченность, / н = ¡\(эС;-£) описывает приложенное внешнее магнитное поле.В теории сверхтекучести .,в этом случае Ф в (0.1) является комплексной функцией,описывающей плотность сверх ? текучей компоненты,а заменяется на 1^1 .неоднородноетями являются стенки,расположенные в точках эсь .Они учитываются наложением граничных условий Ч>1 - О .Другой пршлер - данный X «г Хс джозефсоновскик переход.Он представляет собой две длинные и узкие сверхпроводящие пластины,разделенные тонким изол1гоующим слоем.Малость ширины переходаСв направлении у) по сравнению с длиной в направлении х,определяет существенную одномерность задачи.Между пластинами в направлении % протекает т.н. джозефсоновский ток 1= Io »возникающий за счет туннелирования куперовскнх пар через изолятор.Разность фаз волновых функций пластин )£ описывается уравнением (0.2).В этом случае -^^[i/Vifc-^Jsm^ С где -внешний т ок, а ¿п А*- Xi) $<ui, Ф описывают соответственно уменьшение и увеличение джозефсоновского тока в малых областях,что например,может быть вызвано микроскопическим увеличением или уменьшением толщины изолирующего слоя.Джозефсоновс-кий ток создает между пластинами магнитное поле,пропорциональное по величине и направленное по оси ^ '.Приложенное на концах перехода внешнее магнитное поле также является неоднородностью и учитывается наложением граничных условий на Чх Количественный учет влияния диссипации и неоднородности системы па решения однородной задачи может проводиться с помощью ТВ. Один из способов построения ТВ основан на методе ОЗР^4 '-1-5/.Физически более наглядным является метод ТВ ,в котором рассматриваются малые отклонения от решения однородной задачи (см.»например .Этот метод ТВ несколько напоминает обычную линейную ТВ.Мальте отклонения от решения однородной задачи разлагаются по нелинейным модам,что является аналогом преобразования Фурье.Далее строится ТВ по не однородностш, содержащимся в системе .lie останавливаясь подробно на методе ТВ,укажем па то,что этот метод позволяет вычислять вклад в физические процессы,обусловленный наличием нелинейных мод и который в принципе нельзя учесть,используя линейную ТВ.С другой стороны,использование метода ТВ опирается на решения однородной задачи (нелинейные моды),вследствие чего упускается большое число решений,которые могут быть обнаружены при точном решении неоднородной задачи.Это связано с тем,что при решеюш однородной задачи часть решений отбрасывается как неу-довледотворяющие определенным условиям»например граничным условиях.! »требованию конечности энергии или конечности плотности энергии.Б решениях лее неоднородной задачи отброшенные конфигурации могут быть реализованы и оказывается,что число решений во многих интересных случаях,например в случае уравнений (0.1) и (0.2), быстро возрастает с ростом числа неоднородностей.

Точный анализ неоднородной нелинейной задачи необходимо начинать с изучения статических решений.Это связано не только с тем, что статические решения проще находить и исследовать.Знание статических решений необходимо для описания эволюции системы во времени и для перехода от классического описания к квантовому.Набор статических решений определяет состояния системы,в которых она задерживается во время эволщии.Устойчивые статические решения определяют состояния устойчивого равновесия-и метастабильные состояния системы.Нестабильные, статические решения также определяют равновесные состояния,которые,однако.относительно быстро распада-ются.Время жизни таких равновесных состояний обратно пропорционально частоте фпуктуаций,приводящих к нестабильности.В квантовой теории стабильные статические решения играют роль"вакуума",около которого строится ТВ по бозонным возбуждениям.Поэтому имеет смысл начинать исследование с нахождения прежде всего статических решений и проверки их устойчивости.

Одним изэффектов, обнаруженных при точном решении статической неоднородной задачи и рассматриваемых в главах I и II настоящей диссертации,является бифуркация статических решений^ .В общем случае бифуркация такого рода связана с изменением числа статических

1)Мы здесь не останавливаемся на общей теории бифуршций,см.напри-мер/Ш,19/в решений при переходе параметров через некоторые критические значения. Бифуркации были обнаружены нами при решении статического уравнения Хиггса с неоднородностями в виде точечных источников7 Обнаруженные бифуркации представляют собой рождение двух новых решений из одной точки пространства решений,при переходе параметров через критические значения (рис.1а). б)

Рис.1.Примеры бифуркаций статических решений,изображенных на энергетической диаграмме.Здесь £ -энергия решении, V -параметр,по которому происходят бифуркации.Бифуркации происходят при критических значениях параметра V :а) У=УС ,б) V®

Аналогичные бифуркации были затем обнаружены также и при решении уравнения (0.2) с точечными не однородностши, приведенными выше в примере с джозефсоновским переходом,и с меняющимся граничными условиями на Ух /21-23/^

Если неоднородные члены удовледотворяют условию О , то возможны бифуркации другого типа - ответвления новых статических решении от тривиального решения V*« О (рис. 16) .Подобные бифуркации наедены в случае % = для уравнения (0Л)/24/ и уравнения с нелинейностью , ,в пространстве произвольной размерности' ' .

Другим интересным эффектом,связанным с каскадом бифуркаций,являются переходы порядок - хаос и хаос-порядок.Такие переходы обнаружены для одномерных уравнений Хиггса и СГ с (ая^/26, 27/ .Параметром,при изменении которого происходят перехода,является период внешней силы.В случае двумерного уравнения (0.2) наличие периодической во времени внешней силы,кроме образования нелокальных нелинейных волн,приводит также к образованию бризера. Через некоторое время бризер распадается на пару кинк-антикинк. Если амплитуда внешней силы достаточно велика,то этот процесс яв

О'Л 90/ ляется хаотическим' .

Для исследования системы,содержащей бифуркации мы использовали методы теории катастроф/*^/. Это позволило получить некоторые качественные результаты,не решая явно уравнения.

Наличие бифуркаций упрощает приближенное решение уравнения. Зная только решения в точках бифуркаций,мояно найти приближенный вид решений в остальной области пространства параметров,используя т.н. бифуркационную ТВ по степеням отклонения параметра от критического значения7 ' .Упрощение задачи около точек бифуркаций достигается благодаря наличию в точке бифуркации нулевых мод в спектре флуктуации решения^'Вблизи точки бифуркации доминирует флуктуация с модой близкой к нулю,что упрощает нахождение приближенного вида решения.

В теории элементарных частиц одной из центральных задач является вычисление энергии взаимодействия кварков и получение кои-файнмента цветных состояний в квантовой хромодинамике (КХД) -теории ,претендующей на описание сильных взаимодействии.Из-за неабе-лева характера теории приходится иметь дело с решением весьма сложной задачи.Эту нелинейную задачу можно привести к несколько более простому виду,если ограничиться рассмотрением взаимодействия тяжелых кварков.Упрощение заключается в аппроксимации тяжелых кварков, по аналогии и электродинамикой,точечными неоднородностями в поле Янга-Миллса - внешними точечными источниками.Таким образом, задача сводится к исследованию неоднородной нелинейной системы/ Этот факт таюхе в некоторой степени стимулировал исследование более простых неоднородных, нелинейных уравнений »рассмотренных выше.

Уравнения Янга-Миллса с внешним источником имеют вид

У-Е - ^[А/Е;

0.3а)

0.36)

А = -Е + - д- [А° уГ] ,

О.Зв) где Е = * [А°, А] , В> |[А*А] , А ° , Ха -калибровочные потенциалы.Ыы пользуемся матричными обозначениями А/Ч= , '^Я ,где Та -матричное представление алгебры генераторов калибровочной группы Q- : [Te^Tf] = tf^'V , Т«П*Т<) .Из уравнений Янга-Миллса следуют уравнения непрерывности

О.Зг)

Т1

При калибровочных преобразованиях \J = е ^ переменные преобразуются следующим образом AM/ (KWV . Ejß U (EyB/U .Приведем несколько определений,которые нагл понадобятся в дальнейшем.

Векторное пространство,образуемое генераторами Т&,будем называть цветовым или,в частном случае Q= SUC^) ,изотопическшл.Будем говорить,что источник находится в абелевой форме ,если все его цветовые векторы лежат в подпространстве Картана,образованном максимальной кожу тирующей подалгеброй алгебры генераторов (Т^]. Здесь и далее индекс Ч пробегает только подалгебру Картана. Решения и источники будут называться сферически симметричными или статическими,если все составленные из них калибровочно-инва-риантные величины соответственно сферически симметричны или не зависят от времени.

К теории Янга-Миллса с внешними источниками в настоящее время имеется три подхода:теория с числовым источником,алгебраическая хромодинамика и теория с грассмановыми источниками.Ввиду отсутствия в научной литература обзора по этой теме,мы ниже перечислим вкратце результаты,полученные в рамках указанных подходов,и обсз^-дим достоинства и недостатки каждого из трех подходов.Это позволит лучше понять значение результатов,полученных нами в этой области.

I. Теория с числовым источником. Этот подход возник по прямой аналогии с электродинамикой и к нему относится наибольшая часть работ по внешним источникам полей Янга-Миллса. Он сводится к поиску решений уравнений классической теории с числовыми внешними источниками. Конечной целью является нахождение решения с минимальной энергией и его квантование по аналогии с квантованием солитонов^^, Приведем несколько общих утверждений относительно свойств теории Янга-Миллса со статическим числовым источником. Их доказательства можно найти в приводимых ссылках. Начнем со свойств статических решений.

Теорема I. Для статического решения с источником можно выбрать калибровку, в которой калибровочные потенциалы не зависят от вре-мет/33Л

Теорема 2. Экстремумами функционала энергии могут быть только статические решения /34-36/^

Теорема 3. Статическое кулоновское решение - единственное статическое сферически-симметричное решение для источника, неприводимого к абелевой форме непрерывным калибровочным преобразованием^3?/ Решения с источником характеризуются энергией

Эта характеристика является, очевидно, калибровочно-инвариантной. Кажется естественным выбрать в качестве еще одной характеристики решения полный заряд системы 2^(Г, где в последнем выражении интегрирование ведется по бесконечно удаленной замкнутой поверхности, содержащей источник. В работе/3^/, однако,(в случае теории с 6гдоказано следующее утверждение:

Теорема 4.Если предположить гладкость хромоэлектрического поля^ создаваемого статическим внешним источником,то полный заряд системы можно обратить в нуль в конечной области пространства с помощью гладкого калибровочного преобразования.

Подчеркнем,что обращение полного заряда системы в нуль происходит не из-за перекачки заряда на бесконечность калибровочным преобразованием^ вследствие нарушения теоремы Нетер для тока тг-^р-а" .

Другая теорема касается возможности введения в теорию магнитных монополей.

Теорема 5.Если поля и источник статические и выполняется равенство 3) 0 Е1аГ О ,то в системе могут быть магнитные монопо-ли,расположенные в точках,в которых Е^ — О ,с магнитными f/qo сю/ • „ -л. . „ а ' 'и ' .

Наиболее очевидным решением уравнений (0.3) является абелево кулоновское решение = , S = О ,/Г=0 A=-Et;£=-|s ? (0.5) где источник $ находится в абелевой форме.

Интерес к теории Янга-Миллса с внешними источниками возрос после появления известной работы Мандуль/^Лв этой работе была доказана неустойчивость абелева кулоновского решения относительно гармонических флуктуации,при интенсивности источника Q= J.Boc выше некоторого критического значения Qc /^'^/.Этот интригующий факт означал,что при Q > Qc основное состояние поля Ян-га-Миллса с внешним источником уже в классической теории качественно отличается от аналогичного состояния в электродинамике,что было воспринято как намек на классическом уровне на конфайнмент в КХД.Начались поиски решений,энергия которых была бы меньше энергии абелева кулоновского решения.Как следует из теоремы 3,решения отличные от абелева кулоновского решения должны обладать, по крайней мере,одним из следующих свойств: 1)Быть нестатическими; 2)Быть сферически нестшетричными; 3)Источник не может быть приведен к абелевой форме с помощью непрерывного калибровочного пр е о бра з ования.

В результате поисков было обнаружено три типа решений имеющих меньшую энергию,чем абелево кулоновское решение: а)Неабелево кулоновское решение (НКР).Это решение было найдено в/42,31/ с ПОМОщЬЮ <щ п0 интенсивности источника.Оно является обобщением абелева кулоновского решения на случай,когда источник не находится в абелевой форме.Неабелево кулоновское решение будет подробнее рассмотрено нами в §1 гл.III.Здесь же отметим, что в общем случае хромомагнитное поле НКР отлично от нуляЛаст-ными случаями Ы(Р,соответствующими определенным состояниям источника, являются нестатинеские решения Сикиви-Вейса с полным экранированием поля^^Л Эти решения имеют вид (0.5),где j) не находится в абелевой форме.Решения имеющие вид (0.5) мы далее называем кулоновскими решениями.

Теорема б.Кулоновские решения являются наиболее общими решениями уравнений Янга-Миллса с числовыми статическигли внешними источниками обладающими нулевым хромомагнитным полем^Л б)ivlультппольные решения .Мз/льтипольные решения являются статическигли аксиально симметричными решенияш, найденными в случае Q- SU(&) для.а&сиально-сишетричного источника ^^(й.При этом использовался аксиально-симметричный, анзатц предложенный Сикиви и Вейсом/^Л где ^ и 6 -цилиндрические координаты.Анзатц Сикиви-Вейса является довольно общим статическим аксиально-стдметричным анзатцем ,в рамках которого наедены все известные сферически несимметричные решения.С другой стороны,анзатц Сикиви-Вейса определяет одну из приведенных в^44/ полевых конфигураций (паралельные поля в/44/),энергия которых заведомо меньше энергии абелева куло-новского поля с тем же источником. лр /

Первое мультипольное решение было найдено Сикиви-Вейсом' ' и было названо шли магнито-дипольным решением.Хромоэлектрическое поле магнито-дипольного решения экпоненциалъно убывает с расстоянием и источник издали выглядит как хромомагнитный диполь.Соответствующий хромомагнитный момент создается аксиалъно-симметрич-ным стационарным током у ^ А^ »возникающим в поле Янга-Миллса в присутствии аксиально-симметричного источника.

Известны также и другие решения этого типа - магнито-мулътиполь-ные решения/40/.Имеются указания на наличие,при 0=0С точки бифуркации,в которой от абелева кулоновского решения ответвляются о г ла/ аксиалыю-симметричные.возможно магнито-дипольные решения7 ' 7. В работе^/ на частном примере показано б наличие бесконечной се-' рии точек бифуркаций по <3 ,в которых от абелева кулоновского решения ответвляются аксиалъно-сим-'йе'ричные решения. в)Ветвящиеся решения.Это сферически-симметричные решения с источником не приводимым к абелевой форме непрерывным калибровочным преобразованием.Таким источником,в случае 17(2) ,является источник в виде "ежа": х«, ^(У) ^ ^/ч. .для решения уравнений (0.3) с таким источником используется анзатц Ву-Янга//4Й//

• „ Ал. } •» ^ I

А°а=ха$(ч) } А1а= ±3 ф

Уравнения Янга-Шшгса в этом анзатце тлеют вид

О (0.7)

Для конечности энергии требуется,чтобы при О и Ч.-* с~=. поля стремились к "вакуумным" значениям ¿р-О, $=±4. .Выберем,нап-ример¿-¡Ф)90* £ .Возможны два типа решений.Решения типа I на бесконечности имеют такую же асимптотику: -О Они существуют при всех б ,так как при О они должны переходить в вакуумное решение.Для решений типа II асимптотики другие: 0} = - 4 .Решения типа II соединяют разные "вакуумы" и при О они должны были бы переходить в решение с конечной энергией,отличное от вакуумного решения. Это,однако,невозможно,так как согласно теореме Дезера-Пагелса-Коуж'юна/^-0*/ такое решение отсутствует.Таким образом, для решений типа II существуют критические значения интенсивности источника»ниже которых решения перестают существовать.Этот факт был замечен в работе7^/.В этой работе численным интегрированием уравнений (0.7) с источником й.= —были найде Н-ПЧо ны оба типа решений.Решением типа1 оказалось НКР с отличньм от нуля хромомагнитным полем.Было обнаружено такие два решения: типа II с общей точкой бифуркации при О. - =5,835.Эти решения были названы авторами ветвящимися.На графике зависимости энергии от (3 они имеют вид двух ветвей,сходящихся при (как на рис.1а).Заметим,что второе уравнение (0.7) напоминает уравнение Хиггса.Поэтому сходство решений уравнении (0.7) со сферическим трехмерным источником и решений уравнения Хиггса с одномерным точечным источником^'не случайно.В обеих случаях наличие бифуркации связано с вырожденностью вакуумного решения. Ветвящиеся решения существуют и при наличии на поверхности М

Сг^щ рассмотренного источника стационарного тока' ' ,а в случае

Д- о / имеются три пары ветвящихся решений700/.

Для числового точечного источника $агуравнения Янга-Мил

54/ тТ - /5^/ лса решены численным интегрированием' ' .используемый в' 7 метод при дает только кулоновское решение,а при

С( > О,с только аксиально-симметричное решение.Это решение нельзя отнести к классу магшето-мультршольных решении ,так как его хромоэлектрическое поле Э1фанируется на бесконечности только частично.Вопрос о стабильности кулоновского решения при (3<С}с остается открытым,так как известен целый класс нестатических решений, поншсающих энергию кулоновского решения при всех <3 ^^>

Для двух точечных источников 8(х + проблема стабильности кулоновских источников не исследована¿Кроме того,за исключением НКР,не найдено других решений,даже с помощью численных методов.Причина этого - сложность задачи с двумя центрами.Однако,зависимость энергии взаимодействия двух точечных источников от Я известна для любых решений - она имеет вид ~ . Это связано с тем,что при изменении Я решения,как нетрудно убедиться из уравнении Янга-Ыиллса,претерпевают только масштабные изменения.Задача с двумя центрами упрощается,если рассмотреть источники с хромомагнитными моментами,нацравлешшми пенпердикуляр

ГЛ/ но зарядам в цветовом пространстве' '.

Основной задачей теории Янга-Миллса с внешними источниками является вывод потенциала межкваркового взаимодействия.Однако, именно на этой стадии теория с числовым источником сталкивается с трудыостями.Во-первых,введение статического источника частично нарушает калибровочную инвариантность теории,вследствие чего продольше поля приобретают независимые степени свободы и после квантования становятся операторами.Таким образом,решения классической задачи не переносятся в квантовую теорию.Во-вт^орых,источники в квантовой теории должны удовледот в орят ь алгебре зарядов и обладать квантовыми числами кварков.К примеру,в теории с Q-=SVC2) они должны иметь изоопин 1/2 .Проблемы получения алгебры зарядов и сохранения калибровочной инвариантности решаются введением хромодинамического источника - статического источника,обладающего динамикой в цветовом пространстве (введение хромодинамического источника рассматривается в §1 гл.III).Проблема получения квантовых чисел кварков,однако,этим не решается.

2.Алгебраическая хромодинамика(АХД) .Для избежания перечисленных трудностей можно рассматривать сразу квантованные источники,находящиеся в фундаментальном представлении группы G ,т.е. обладающие квантовыми числами кварков: ? Gt а^"

Здесь QU.*'^ - заряд ¿-того кварка,а Х^ -генераторы группы G- в фундаментальном представлении.Этот подход назван авторами алгебраической хромодинамикой (АХД).Основной недостаток АДЦ - это отсутствие классической теории,т.е. лаграшхева и гамильтонова формализмов и вариационной процедуры,позволяющей выводить уравнения и выражение для энергии из общего принципа , подобного принципу наименьшего действия .Поэтому АХД нельзя назвать последовательной теорией и ее детали формулируются по разному у разных авторов^0"58/.

Остановимся подробнее на одной из формулировок АаД^50/,являющейся, на наш взгляд,наиболее реалистической.В этой формулировке постулируются уравнения Янга-Миллса (0.3),в которых совершается замена fÄ/c (A*ßJa= |(ДЛ+ &<AJ .Такая замена необходима,так как в А2Д калибровочные поля разлагаются по алгебре зарядов и не коммутируют друг с другом.Она позволяет сохранить эрмитовоеть уравнении и антисимметричность F^y .Для выполнения тождеств Якоби необходимо ограничить алгебру зарядов. Например,в случае двух точечных источников для ,алгебра зарядов может содержать только четыре элемента Q<z¿

Líe Qtföc/dcQiQl *где определяется из

EX. T¿] = + J-cl&c% этш элементам разлагаются все переменны е. В рамках изложенной формулировки АХД вычислена энергия взаимодействия кварка и антикварка^5.Дяя этого НКР, найденное с помощью ТВ по интенсивности! источников,рассматривается как фоновое поле,а для флуктуации около него используется приближение Томонага.В результате для энергии взаимодействия получено следующее выражение^9/; где Л s= Í .Наличие члена ~ JL? ßh, d с в выражении

4л s для энергии взаимодействия кварка и антикварка было обнаружено также при вычислении ее из контурного представления Вильсона^Л 3.Теория с грассмановыми источниками.Этот подход представляется наиболее проспективным.Здесь отсутствуют недостатки присущие теории с числовым источников и АХД.Использование грассмановых переменных позволяет с одной стороны формулировать классическую теорию, по аналогии с механикой спина Бере зина-Маршюва/'6"!" ^, а с другой стороны получать при каноническом квантовании схему аналогичную АХДЛТри квантовании с помощью континуального интеграла можно вывести контурное представление Вильсона для энергии основного состояния системы кварк-антикварк. Грассмановы источники представляются в виде Sor ? 5а.

• * ■ ь где ¿-комплексные образующие алгебры Граесмака,преооразутсщиеся по фундаментальному представлению группы (индексы Л и £ ).При каноническом квантовании образующие алгебры Грассмана переходят в образующие алгебры Клиффорда и представляют собой,в случае 5Т7 (Н) ,матрицы 2А/ * 2 А/ ,удов-ледотворяющие алгебре антикоммутаторов

Впервые грассмановы источники было предложено рассматривать в работе^2/ для 0-== 517(3) .Затем они были рассмотрены для

Сг = 3X1 (Я)/63/ и а=ви(А/) /64,65/>Для |ВЩДу

• вещественности ее фундаментального представления,формализм с комплексными образующими алгебры Грассмана не является минимальным. Здесь разумнее использовать формализм с вещественными образующими/^/ 'в втором и который является прямым обобщением механики Березина-Маринова.В работе^3/ были также решены классические уравнения теории Янга-Миллса с грассмановшли источниками;

Настоящая диссертация посвящена исследованию свойств нелинейных неоднородных систем на примере скалярных полей и полей ЯнгачЛил-лса,содержащих неоднородности в виде внешних-источников.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах^'^»25, 30,66/#

Диссертация состоит из трех глав.В главе I исследуется неоднородное уравнение Хиггса с точечными внешними статическими источниками в двумерном пространстве-времени.Задача формулируется в §1, где также приводятся статические решения однородного уравнения Хиггса.необходимые для решения задачи с источниками.В §2 решается задача с одним точечным источником.Найдено три решения,два из ко ^ »12 пъ^ торых ооладают бисруркациек по параметру у = -г- ,где е -интенсивность источника.далее задача исследуется с помощью методов теории катастроф,что позволяет,не решая уравнения,делать ряд заключений о свойствах решений и условиях возникновения бифуркации .В §3 находятся решения с двумя точечными источнтшми. Найдены бесконечные серии решений,обладающих бифуркациями по Vх и по взаимному расстоянию £ Большинство решений интерпретируется как взаимодействие найденных в §2 конфигураций в присутствии различного числа пар кинк-анти-1шнк,находящихся в связанном состоянии.Обнаружены также решения с радиусом"конфайнмента" - т.е. с точкой бифуркации по £ .Все найденные в §§2 и 3 решения исследуются на стабильность в §4. В §5 рассматриваются следствия к которым приводит бифуркация стабильного статического решения в классической термодинамической системе.Показаывается,что основным следствием является перестройка равновесного состояния за счет испускания кинка и антикинка. В §6 показывается,что бифуркация стабильного статического решения приводит в квантовой теории к перестройке основного состояния.

В главе II исследуется более общая система - скалярное поле со степенным самодействием в пространстве произвольной размерности. Исследуется зависимость свойств нелинейной системы с внешним источником от размерности пространства % и максимальной степени самодействия V .Такое исследование имеет определенную ценность в связи с повысившимся недавно интересом к многомерным моделям теории поля типа Калузы-Клейна^Лв §1 исследуется вопрос о существовании точечных источников.Обнаружена возможность существования, кроме кулоновского источника,"нелинейного" точечного источника с жестко фиксированной интенсивностью.Далее показывается, что при переходе параметров X и V через некоторые критические значения Ус и "Ус »кулонозские источники и нелинейный источник - сливаются и при больших У и V перестают существовать.В §2 рассматривается вопрос о регуляризации кулоновских точечных источников .Возможность регуляризации доказывается в сферически-симметричном случае .Показывается,что при и V > vc достижению предела точечного источника при устремлении размера распределенного источника к нулю,может препятствовать появление у поля,создаваемого источником,сингулярности на конечном расстоянии.В §3 показывается,что контурные источники в трехмерном физическом пространстве существуют при всех V В §4 рассматриваются свойства распределенных источников в рамках сферически симметричной модели.Обнаружены бифуркации статических решений при изменении размера источника.В одномерном случае показывается наличие некоторого равновесного размера источника, для которого достигается минимум энергии системы. : В главе III рассматривается более сложная система,содержащая неоднородности -поле Янга-Миллса с внешними источниками.В §1 рассматривают^рудности, возникающие при попытке аппроксш.ифовать тяжелые кварки числовыми внешними источниками,а именно:

1)Нарушение калибровочной симметрии.

2)Проблема получения после квантования алгебры зарядов.

3)Проблема получения квантовых чисел кварков. Показывается,что введение в теорию хромодинамического источника -.источника статического в обычном пространстве и динамического в цветовом пространстве,решает две первые проблемы.Третья проблема остается при этом нерешенной.Для ее решения в S17СУ калибровочной теории,в §2 строится минимальная классическая теория источников и изоспином 1/2.Все переменные в этой теории являются элементами алгебры Грассмана.В §3 решаются уравнения построенной теории в калибровке AQa =0.Показывается,что при ограничении стационарными решешттш,имеющими сингулярности только в точках расположения источников и не приводящих при подстановке в гамильтониан / к бесконечности, единственным решением классических уравнений является неабелево кулоновское решение. В § 4 производится квантование теории двумя способами. При каноническом квантовании получается теория , аналогичная АХД. При квантовании с помощью континуального интеграла в частном случае двух точечных источников выводится известное контурное представление Вильсона для энергии основного состояния системы кварк-антикварк.

В Заключении кратко суммированы основные результаты, полученные в диссертации.

В Приложении приводятся некоторые методы, используемые в основном тексте.

ШВА I.ИСТОЧНИКИ ПОЛЯ ЖГГСА В ОДНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

В этой главе исследуется нелинейное скалярное поле Хиггса, содержащее неоднородности в виде точечных источников,в пространстве-времени двух измерений.Задача формулируется в §1,где также приведены решения однородного уравнения Хиггса,необходимые при решении задачи с источниками.Задача с одним точечным источником решается в §2.Для качественного анализа системы в этом параграфе применяются методы теории катастроф,что представляет интерес в связи с наличием в системе бифуркаций.Решения с двумя точечными источниками найдены в §3.Вырожденность вакуумного решения и существование решений в виде уединенных волн приводит,в этом случае к наличию бесконечного числа статических решений.Найденные решения исследуются на устойчивость в §4.В §5 рассматриваются следствия бифуркации стабильного статического решения для классической термодинамической системы.В §5 показано,что бифуркация стабильного статического решения приводит в квантовой теории к перестройке вакуумного состояния.

Рассмотрим нелинейную систему в двумерном пространстве-времени, описываемую функционалом энергии

§1.Введение источников и решения однородного урав

1.1) где потенциал .Хиггса щественное скалярное поле, 0(ос)

-внешний источник .Нас будут интересовать статические решения с точечными источниками - е ) 5где е -положительный параметр,характеризующий интенсивность источников, -интенсивности источ ников в еденицах е, -координаты источников.

Уравнение для статических решений можно получить,приравняв к нулю первую вариацию энергии по : т.

Л- ^ «

Полученное уравнение можно свести к уравнению без источников и с граничными условиями на бесконечности и в точках ,:

1.2а) КПх; -> ~ ; Ы^т.; (1.26) где ^у -решения уравнения (1.2а) с минимальной энергией,которое мы будем называть вакуумным,а и х^- означают соответственно правый и левый пределы.При этом предполагается непрерывность поля в точках расположения источников: • Удобно перейти к безразмерным переменным а = уед = ффщ , I т (1.3)

Лдя решения задачи с точечными источниками необходимо знать решения однородного уравнения (1.2а)/20/.Уравнение (1.2а) в безразмерных переменных (1.3) имеет вид: $ (1.4)

Дяя поиска возможных решений полезна механическая аналогия. Если считать $ "координатой",а 2 -"временем",то (1.4) описывает движение механической частицы в"перевернутом"потенциале — .При этом "энергия" не зависит от и является константой интегрирования.Из (1.5) находим

Соотношение (1.6) позволяет вычислить энергию (1.1) без знания явного вида поля пь 2 $ ш + ^ к+яи а также установить связь между ф и %

ЗГ Щ(2) о &

КТ^Т (т.?) ш 7 где -знак ' .Аналитический вид решения находится из

1.7) после снятия интегрирования.

Уравнение (1.4) тлеет три постоянных решения <£= О » Ф^г-У и три класса решений,зависящих от з? :

I.Решения класса А.Они соответствуют периодическом;/ движению частицы с отрицательной "энергией" К~~ между максимумами -17 и имеют вид

1.8)

Период решении А равен

-гею-Ш кк= ¡ЩГ (19)

Здесь и далее ? Е(Х^) -полные и неполные эллиптические интегралы первого и второго рода.При

Я7Г период стремится к минимальному значению — ,амплитуда к нулю и решение переходит в тривиальное: ~ О•

2.Решения класса Б.Эти решения соответствуют движению частицы с отрицательной энергией ~ из ф = ± ,за конечное вре-мя,до ф^ и обратно к с*=> .Они имеют вид: = К,, г-, ;(1Л0)

Сингулярности решений Б имеют следующие координаты: ч

3.Решения класса В.Эти решения соответствуют движению частицы с положительной энергией = из § =+сх=> .Энергии частицы достаточно,чтобы она перевалила через максимумы потенциала - 17 и ушла за конечное время на бесконечность.Решения В имеют вид:

СП Г > У2 , ^ (1>п)

Они обладают сингулярностями в точках - ± С^Г > ) ь' 4 ч/Д. '

Решения имеющие вакуумные асимптотики при можно получить из вышеприведенных в пределе м-± к* 0 :

1.12а)

1.126)

Решения в виде уединенных волн (1.12а) мы будем называть в соответствии со знаком кинком и антикиннш.Кинк и антикинк являются единственными решениями с конечной энергией,равной О^- ^^ V • Решения (1.126) содержат сингулярности и мы их будем называшь сингулярными кинками.

При V О остаются только решения с с ингуляр но с тяьти (Б,В и сингулярный кинк),

В диссертации получены следующие основные результаты: I.Найдены и исследованы на устойчивость статические конфигурации двумерного поля Хиггса с одним и с двумя точечными источншсами.В случае одного точечного источника обнаружено три решения SU. , S2 ж SS .Два из них - S1 TS. SZ .,имеют точку бифурка ции по параметру V = — при V = = .Показано,что реше1шя S1 и SB являются устойчивыми,а решение ВЯ является не устойчивым ж содержит связанную пару кинк-антикинк.В случае двух точечных источников разных й одинаковых знаков обнаружено беско нечное число решений,описывающих взаимодействия зарядов S^ , S2 и S3 с различнйм числом пар кинк-антикинк,находящихся в свя занном состоянии.В случае двух точечных источников разны>: знаков также обнаружены решения с радиусом "конфайнмента" -бифуркацией по параглетру о -расстоянию между источниками.Большинство обнару женных решений обладают бифуркациями по параметрам У' ж J> , Описан вид поверхности статических решений в пространстве CG^V^, ^ ) ,где (f -энергия решений,

2.Впервые для исследования задачи с источником применен метод теории катастроф.Применение метода теории катастроф к задаче с то чечным источником поля Хиггса позволило получить ряд новых резуль татов относительно свойств решении и причи1Ш возникновения бифурка ции.3.Показано,что в квантовой теории наличие классического стабиль ного статического решения с бифуркацией приводит,цри переходе пара метра через критическое значение,к распаду вакуумного состояния. 4.Обнаружена бифуркация точечных источников нелинейных скаляр ных полей с произвольным степенным самодействием в пространстве цроизвольной размерности цри изменении максимальной степени само действия У >i. и размерности пространства ^ ^ '^ .В сферически сиюлетричном случае доказана возможность регуляризации кулоновско го точечного источника распределенным источником.Показано,что кон турные источники в трехмерном физическом пространстве,в отличие от точечных источников,существуют при всех У

5.В пространстве размерности '^>i обнаружены бифуркации статических конфигураций нелинейного скалярного поля с самодействи ем ^ У ,.V>4. , создаваемых распределенным ист очником, при измене нии размера источника.В случае одномерного пространства показано, что для каждой из этих конфигураций существует некоторый равновес ный размер источника,при котором энергия системы минимальна.6.Построена минимальная классическая теория точечных источников полей Янга4Диллса с изоспином 1/2.Произведено квантование теории двумя способагш.Показано,что цри каноническом квантовании возни кает схема аналогичная алгебраической хромодинамике.При квантовании с помощью континуального интеграла,в частном случае двух точечных источников,выведено конт^фное представление Вильсона для энергии основного состяния системы кварк-антикварк.7.Впервые решенн классические уравнения теории Янга-1\(1иллса с точечными грассмановыми источниками .В калибровке А =0 показано, что цри ограничении стационарными решениями,шлеющими сингулярности только в точках расположения точечных: источников и не приводящих цри подстановке в гамильтониан к бесконечности,единственным решени ем классических уравнений является неабелево кулоновское решение.Хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю

профессору А.Т.Филиппову за постоянное и внимательное научное ру ководство.Я благодарен профессору В.А.Мещерякову,профессорам Н.А.Гулиеву и Т.Д.Джафарову,Н.М.Атакштиеву за предоставленную возможность работы в Лаборатории Теоретической Физики Объединенного Института Ядерных Исследований.Выражаю свою благодарность Л.Дадашеву,С.Азакову,О.Пашаеву,В.Мит рюшкину и М.Мюллеру-Пройскеру с которыми я имел возможность обсуж дать вопросы,затронутые в диссертации.

1. Солитоны,сб.статей.М ,Мир ,1983, З.Тахтаджан Л.А.,Фаддеев Л.Д.Существенно-нелинейная одномерная модель классической теории поля.ШФ,т.21,1974,с.160.

2. Makhankov V.G.Dynamics of classical solitons(in nonintegrable systems).Phys.Rep.,V.350,1978,p.1.

3. Парментье Ф.Флюксоны в распределенных джозефсоновских контактах. В кн.:Солитоны в действии,М.,Мир,I98I.

4. Mikeska Н.Nonlinear dynamics of classical one-dimensional antiferromagnetics.J.Phys.C,v.13,198o,p.2913. II, Dieterich W.,Peschel I.,Schneider W.R.Diffusion in periodic potentials.Z,Phys.,v.B27,1977,p.177.

5. Френкель Я.,КОнторова Т.О теории пластической деформации и двой- никования.Физ.журнал,т.I,I939,с.137,

6. Rice M.J. et al.Weakly pinned pirohlich charge density-wave condensate:A new,nonlinear,current-carrying elementary exitation.Phys.Rev.Lett.,v.36,1976,p.432. -102-

7. Карпман В.И.,Маслов Е.М.Стр^тстура хвостов,образующихся цри воздествии возмущений на солитоны.1ЭТФ,т.75,1978,с.504.

8. Каир D.J.,Newell A.C.Solitons as particles,oscilators,and in slowly changing media:a singular perturbation theory, Proc.Roy.Soc.,v.A361,1978,p.4l3. 16,Мак-Лафяин Д.,Скотт Э.Многосолитонная теория возмущениЁ,В кн.: Солитоны в действии,М,,Мир,1981.

9. Бишоп А.Солитоны и физические возмущения.В кн.:Солитоны в действии,!. ,Мир,1981.

10. Гарел 0.Теория бифуркаций и ее цриложения.В кн.гНеустойчивости в динарлических системах,М.,Мир,1982.

11. Й0СС Ж.,Джозеф Д.Элементарная теория устойчивости и бифуркаций, М.,Мир,1983.

12. Расизаде О.ш.Взаимодействие точечных, источников с полем Хиггса в одномерном пространстве.ШФ,т.48,1981,с.197.

13. Гальперн Ю,С,,Филиппов A.Т.Связанные состояния солитонов в неоднородных ДЕОзефсоновских переходах.ЖЭТФ,т.

14. Филиппов А.Т.Нетривиальные решения нелинейных задач теории поля. ЗЧАЯ.т.II,1980,735.

15. Расизаде О.Ш.Бифуркация точечных источников и контурные источники нелинейных полей.ШФ,т.52,1982,с.393.

16. Hubennan В.А.,Crutchfield J.P.Chaotic states of anharmonic systems in periodic fields .Phys.Rev,Lett.,v.43,1979,p.174

17. Huberman B.A. ,Cruchfield J.P.,Packard N.H.Noise phenomena in the Josephson deletions.Appl.Phys.Lett.,v.37,1 980,p.750, -103-

18. Eilbeck J.С,Lomdail P.S.,Newell A.C.Chaos in the inhomogeneosly driven sine-Gordon equation.Phys,Lett,,v.87A,1981,p.1.

19. Nozaki K.Stohastic Instability of Sine-Gordon Solitons.Phys.Rev. 1.ett.,V.49,t982,p.1883. ЗО.Расизаде О.Ш.Бифуркации и "катастрофы" в поле Хиггса с внешними источниками.ШФ,т.49,1981,36.

20. Jackiw R.,Rossi P.Stability and bifurcations in Yang-Mills theory.Phys.Rev.,V.D21,1980,426.

21. Боголюбов П.H.,Дорохов А.Е.Об устойчивости классических решении уравнений Янга-1Миллса с источником.ШФ,т.51,1982 C.22I.

22. Magg M.The classical Yang-Mills field of a quark source,Phys. 1.ett.B,v.77,1978,p.i99.

23. Sikivie P.,?/eiss W.Static sourcea in classical Yang-Mills theory.Phys.Rev, D, v.20,1979,p.487. 35«Magg M,Stable Yang-Mills fields for an over-critical point source.Nucl.Phys.,v.B158,1979,p.154. 24. Kiskis J.Comments on the classical gauge fields with sources. Phys.Rev.D,v.21,1980,p.421.

25. Schlieder S.,Some remarks on charges and their conservation in a classical Yang-Mills theory,Nuovo Cim.,v.63A, 1981,p.137. 38,Kalb M.Time independent Yang-Mills statics.Phys,Rev.D,v„18,1978, p.2909.

26. Hughes R.J.Magnetic monopoles in the presence of quark sources, Nucl.Phys.,v.B159,1979,p.67. 40,Mandula J.E.Color screening by a Yang-Mills instability.Phys. 1.ett.,v.67B,1977,p.175.

27. Magg M.Simple proof for Yang-Mills instability.Phys.Lett.B,v.74, 1978,p.246. -iU4-42,Jackiw R.,Jacobs L.,Rebbi G.Static Ygng-Mills fields with sources. Phys,Rev. D, v. 20, 1979, p. 474.

28. Sikivie P.,Weiss N.Classical Yang-Mills theory in the presence of external sources,Phys,Rev.D,v.18,1978,3809.

29. Leroer Y,,Raychaudhuri A.,On the energy of Yang-Miils fields in the presence of an external source.Nucl.Phys., v.B156,1979,p.465.

30. Raychaudhuri A.,Sarkar U.,New solutions of Yang-Mills equations with static external sources.Phys.Lett.,v.102B,1981, p.421.

31. Magg M,Stability in the Yang-Mills system with an external source. Phys.Lett.,V.78B,1978,p.481 47»Malec E.Bifucation solutions of cylindrically symmetric Yang-Mills equations.J.Phys.A,v,13,1980,p.2609.

32. Wu T.Т.,Yang G.N.In:i?roperties of matter under unusual conditions, U.Y, ,Interscience,1969. 49»Deser S.Absence of static solutions in source-free Yang-Mills theory.Phys.Lett.,V.64B,1976,p.463.

33. Pagels H.Absence of periodic solutions to scale invariant classical field theories.Phys.Lett.,v.68B,1977,p.466,

34. Coleman S.There are no classical glueballs.Commun,Math.Phys., V.55,1977,p.113. .52.Mathelitsch L.,Mitter H.,Widder P.Stationary Yang-Mills fields with current sources,Phys.Rev.D,v.25,1982,p.1123.

35. Horvat D,,Viswanatan K.S. SUCs)gauge field configurations in static,external sources.Phys.Rev.D,v.23,1981,p.937.

36. Mandula J.E.,Meiron D.I.,Partial color screening by classical Yang-Mills fields.Phys.Lett,v.124B,1983,365. 55Preeman R.A. et al.Classical chr ото dynamics o,' two sources: Charges and Magnetic moraents,Phys.Rev.D,v.22,1980, p.3128, -105-

37. Giles R, ,McLerran L.A nonperturbative,semiclassical approach to the calculation o:^ the quark foree.Phys.Lett,, v.79B,1978,p.447.

38. Adler S.Classical algebraic chromodynamics,Phys.Rev.D,v.17,1978, p.3212 58,Adler S,Classical quark statics,Phys.Rev.D,v.19,1979,p.1168.

39. Giles R.,McLerran L.Static model of the quark potential,Phys. Rev.D,v.19,1979,3732;v.21,1980,p.1672. GO.Appelquist Т.,Dine M.,Muzinich I,J.Static limit of quantum chromodynamics.Phys.Rev.D,v.l7,1978,p.2074.

40. Berezin P.A.,Marinov M.S.Particle spin dynamics as the Grassman variant of classical mechanics.Ann.Phys.,v.104,1977, p.336.

41. Samuel S.Color zitterbewegTmg.Nucl.Phys.,v,B149,1979,p.517. 63.1shida I,,Hosoya A.Path-Integral for a color spin and path ordered phase factor,Prog.Theor.Phys,,V.62,1979,?.544.

42. Расизаде О.Ш,Точечные источники полей Янгa-ivIиллca.ЯФ,т,38,I983, с,Х5Ь5. 67,Zee A.Grand unification and gravity-selected topics,Preprint RLO-1388-873,Seattle,1981,

43. Чиллингуорт Д, Структурная устойчивость математических моделей, В кн, :Математическое моделирование,М,,Мир,1979,

44. Арнольд В, И .Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.М,,Наука,1978.

45. Брекер Т,,Ландер Л.Дифоференциальные ростки и катастрофы.М,,Мир, 1977, -106-

46. Scarlapino D.J.,Sears M.,Perrel R,A.Statistical mechanics of one-dimensional Ginzburg-Landau fields .Phys.Rev.B,v.6, 1972,p.3409.

47. Паташинский A.3,,Покровский В.Л.Флуктуационная теория (разовых переходов.М. ,Наука,1982.

48. Ландау Л.Д, ,Лифпиц Е.М,Статистическая физика,ч.I.M,,Наука,1976,

49. Поляков A.M.Изомерные состояния квантовых полей.ЖЭТФ,т.68,1975, C.I975.

50. Kiskis J.Hamiltonian formulation of the SU(2) gauge field in interaction with an external source.Phys.Rev,D,v,21,1980, p.1074. -107-

51. Corrigan E,Static nonabelian forces and the permutation group, Phys.Lett.,v.82B,1979,p.407.

52. Березин Ф.А.Метод вторичного квантования.М.,Наука, 1965, BG.Casalhuoni R,On the quantization of system with anticomjnuting variables.Uuovo Cim.,v,33A,197б,р,115.

53. Дирак П.А.М,Лекции по квантовой механике,М.,Мир, 1968. 8S, Славнов А,А.,Фаддеев 1,Д.Введение в квантовую теорию калибровочных полей.М,,Наука, 1978.

54. Dotsenko V.S. ,Vergeles S,ir,Renormalizability of phase factors in non-abelian gauge theory,lTucl.Phys, ,у.В1б9,1980,p,527 90- Арефьева И,Я,Об устранении расходимостей в интегральной формулировке теории Янга-пМиллса.Пиоьма в ЖЭТФ,т.31,1980, с.421.

55. Ауошпа S.The renormalization of the string operator in QCD.Nucl, Phys.,v.B194,1982,p.513.

56. Pischler W.Quark-antiquark potentional in QCD.Nucl.Phys.,v.B129, 1977,p.157 93» Андронов A.A,,Витт А.А.,Хайкин О.Э.Теория колебаний.М.,Физмат-гиз,1959,