К теории почти локально нильпотентных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1 .. На правах рукописи

УДК 519.45

1.-1; ' 1

••— о

ТРОЯКОВА Галина Александровна

К ТЕОРИИ ПОЧТИ ЛОКАЛЬНО НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-1993

Работа вьшолнена на кафедре "Алгебра и математическая логика" Красноярского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических * , наук, профессор Шунков В.П.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Медных А.Д.

- кандидат физико-математических наук, доцент Сенатов В.И.

Ведущая организация - Институт математики АН Украины

Защита состоится " -/--Г " _1993 г.

., сй-С

в / у часов на заседании специализированного совета К 064.36.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077, г.Омск, пр. Мира, 55- А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОГУ. Автореферат разослан "//" 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

доктор физико-математических наук В.А.Романьков

'л

Наложение условий конечности - плодотворный путь в изучении свойств произвольной группы. Построение примеров бесконечных конечно порожденных групп, показывает, что класс периодических групп более широк в сравнении с классом локально конечных групп. В данной работе получены результаты для промежуточного класса групп с традиционными в школе Шункова В.П. условиями сопряженно бипримитивной конечности.

Группа О называется сопряженно д-бипримитивно конечной ^€<¿£(0), если для любой ее конечной подгруппы Н в фактор-группе Ы^у (Н)/Н любые два сопряженных элемента порядка я порождают конечную подгруппу. Если О сопряжено д-бипримитивно конечна для всех ч то С называется

сопряженно бипримитивно конечной. Этот класс групп значительно шире класса бинарно конечных групп.

Диссертация состоит из введения, двух разделов, разделенных на пять глав и списка литературы, содержащего 29 наименований. Общий объем работы 62 страницы.

В разделе 1 изучаются периодические группы с ограничением: любая локально конечная подгруппа либо черниковская, либо локально нильпотентна. Группа называется черников-ской, если она либо конечна, либо является конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических подгрупп.

В процессе работы возник, представляющий независимый интерес, класс У-групп. Группу С назовем У-группой, если для любой ее конечной подгруппы К в фактор-группе ЫсОО/К, 1а1 = р, 1Ы = я (р-простые числа) подгруппы < Ь~ аЬ, а > , < а Ьа, Ь > конечны. Описывает строение У-групп

ТЕОРЕМА 1. Если в периодической У-группе С без инволюций любая конечная подгруппа нильпотентна, то 0/2(0 разлагается в прямое произведение силовских подгрупп.

Группы, фигурирующие в этой теореме, не исчерпываются прямыми произведениями силовских подгрупп. Существует не-расщепляемое расширение конечной группы составного порядка п с помощью р-группы Новикова -Адяна (р не делит п) /1 / . Такая группа является У-группой, фактор-группа аЪ(О которой разлагается в прямое произведение силовских подгрупп.

Во второй главе данного раздела является основной

ТЕОРЦМА 2. Пусть С- бесконечная периодическая сопряженно бипримитивно конечная группа без инволюций с условием: всякая локально разрешимая подгруппа из в локально нильпотентна или является черниковской группой.

Тогда либо й - черниковская группа, либо аЪ(0 разлагается в прямое произведение силовских подгрупп.

Данная теорема доказывается исследованием контрпримера. В леммах 3-6 изучаются бесконечные сопряженно бипримитивно конечные подгруппы без инволюций с условием: любая бесконечная локально конечная подгруппа из С - локально нильпотентна. Леммы 7-10 предваряют доказательство теоремы. Одним из основных результатов диссертации является доказанная в главе 1.3

ТЕОРЕМА 3. Пусть в - бесконечная периодическая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием: любая локально конечная подгруппа из О либо черниковская, либо локально нильпотентна. Если силовские 2-подгруппы из С чер-никовские, то группа О либо черниковская, либо аЪ(О разлагается в прямое произведение силовских подгрупп.

Частные случаи этой теоремы рассмотрены в работах /2/ и /3/. Доказательство этой теоремы проводится исследованием контрпримера с конечной силовской 2-подгруппой (леммы 1115), леммы 16-31 дают описание контрпримера с бесконечной силовской 2-подгруппой и завершают доказательство этой теоремы.

Группа, удовлетворяющая условиям теоремы 3 не обязана разлагаться в прямое произведение силовских подгрупп, а поэтому, в частности, не всегда является локально конечной группой. Соответствующий пример можно извлечь из работы /7/, где показано существование конечно порожденной группы, разлагающейся в прямое произведение конечного числа силовских подгрупп с бесконечным центром.

В соответствии с /5/ периодическая группа называется Б-группой, если она разлагается в прямое произведение силовских подгрупп. Периодическую группу в назовем Б-группой, если С/Х(Ь) есть Б-группа. Очевидно, в Б-группе любая конечная подгруппа нильпотентна. В классе локально конечных групп

определения Б-группы и Б-группы совпадают. Однако уже в классе периодических групп Б-группа не обязана быть Б-груп-пой. Такой пример построен /1 / .

Для удобства обозначим через С объединение классов черни-ковских и Б-групп. Основным результатом второго раздела является следующая ТЕОРЕМА 4. Пусть О - периодическая группа, удовлетворяющая условиям:

1) нормализатор произвольной ее нетривиальной конечной подгруппы принадлежит классу £ ;

2) для каждого р£«^(0 любые два сопряженных элемента порядка р из в порождают в ней конечную подгруппу.

Тогда группа Об £

Заметим, что бели не выполняется второе условие, то пример свободной бернсайдовской группы нечетного порядка, большего 665 /1 /, показывает, что данное условие является необходимым. Аналогично, если исключить первое условие теоремы, то окажемся в рамках локально конечных групп.

Существует пример группы, удовлетворяющей условиям теоремы 4, но не удовлетворяющей условиям теоремы 3. Такой пример нетрудно указать, опираясь на свойства группы Адяна /1 /: А =гр(а, Ь), а" = Ьп = 1, где л - нечетное число и п ^ 665.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если в периодической сопряженно биприми-тивно конечной группе нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы принадлежит классу С , то и сама группа принадлежит этому классу.

Напомним, что группа в называется -группой, если для всякой ее конечной подгруппы К и всяких двух элементов а, Ь порядка я из Т = N(5 (К)/К существует такой элемент с€ Т, что < а, Ь > конечна. Если всякая подгруппа Н группы С является -группой для любого я£0Г(О,то С называется Р* -группой/4/. Позитивным решением вопроса 7.42 из /4/ при дополнительных ограничениях является

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть в - периодическая ^-группа, удовлетворяющая условиям:

1) нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы принадлежит классу ^ ;

2) любой элемент простого порядка из G с каждым своим сопряженным элементом порождает конечную подгруппу.

Тогда G€ ^ .

Известно, что в общем случае вопрос 7.42 из /4/ решен отрицательно. На примерах F-групп из /6/ легко убедиться, что в следствии 2 условие 2) является существенным ограничением.

Основные результаты докладывались на Красноярском алгебраическом семинаре, на II и III Международных конференциях по алгебре (г.Барнаул, 1991 г., г.Красноярск, 1993 г.).

Результаты диссертации опубликованы в работах /8-14/.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Шункову В.П. за постановку задач, постоянное внимание к работе и моральную поддержку, а также участникам семинаров за ценные замечания и обсуждения.

Литература

1. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.-М.: Наука, 1975.-336 с.

2. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы.- М.: Наука,1968.-113с.

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп: 3-е изд.-М.: Наука, 1982.-228 с.

4. Коуровская тетрадь.-Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1990.-125 с.

5. Курош А.Г. Теория групп. 3-е изд.-М.: Наука, 1967.-646 с.

6. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.-М.: Наука, 1989.-448 с.

7. Тимофеенко A.B. О существовании групп Голода с бесконечным центром //Мат. заметки. -1986.-39, N 5.-С.647-650.

Статьи автора по теме диссертационной работы

8. Троякова Г.А. Об одном классе сопряженно бипримитивно конечных групп.-М., 1987.-13 с.-Рукопись представлена КГУ. Деп. в ВИНИТИ 16 февраля 1987, N 1082-В87.

9. Троякова Г.А. О некоторых периодических группах, у которых локально конечные подгруппы локально нильпотент-

ны, либо черниковские.-М., 1988.-23 ¿.-Рукопись представлена КГУ. Деп. в ВИНИТИ 29 декабря 1988, N 402-В88.

10. Троякова Г.А. Об одном критерии разложимости периодической сопряженно бипримитивно конечной группы в прямое произведение силовских подгрупп //IX Всесоюз. симпозиум по теории групп, Москва, 18-20 сентября 1984 г.: Тез. докл.-М.: МГПИим.В.И Ленина, 1984.-c.72.

11. Троякова Г.А. Об одном классе сопряженно бипримитивно конечных групп //XIX Всесоз. алгебраич. конф., Львов, 9-11 сент. 1987 г.: Тез. докл.-Львов, Ин-г прикладных проблем механики и математики АН УССР, 1987.-c.231.

12. Троякова Г.А. К теории почти локально нильпотентных групп //Междунар. конф. по алгебре, Барнаул, 20-25 авг. 1991 г.: Тез.докл.-Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР,, 1991.-c.112.

13. Троякова Г.А. К теории периодических групп, у которых локально конечные подгруппы локально нильпотентны, либо черниковские //Третья междунар. конф. по алгебре, Красноярск, 23-28 авг. 1993 г.: Тез. докл.-Красноярск: Инопроф, 1993.-c.335.

14. Троякова Г.А. К теории черниковских групп / /Тр.ин-та математики АН Украины.- Киев. 1993.

Подписано к печати 14.10.93 г. Формат 60x84, 1/16 Заказ N1952

Объем 0,25 уч.-изд.л. Тираж 100

Отпечатано в Кызылском государственном педагогическом институте. 667000, г.Кызыл, ул. Ленина,34