Качественные методы и методы оптимизации в аналитической механике и космической динамике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

кирпичников Сергей Николаевич

качественные методы и методы оптимизации в аналитической механике и космической динамике

01.02.01 — ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993

Работа выполнена на кафедре механики управляемого движения факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института теоретической астрономии В. А. АНТОНОВ доктор физико-математических наук, профессор В. Г. ДЕМИН доктор физико-математических наук, профессор К. В. ХОЛШЕВНИКОВ

Ведущая организация — Санкт-Петербургский технический университет.

Защита состоится 25 марта 1993 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д.063.57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., дом. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9.

Автореферат разослан « » февраля 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор фпз.-матем. наук, профессор

С. А. ЗЕГЖДА

^ / ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Диссертация посвящена разработке качественных методов и методов оптимизации для решения ряда важных проблем космической динамики и аналитической механики.

Основные результаты диссертации относятся к методам оптимизации космических маневров. Теория оптимального движения космических аппаратов (КА) зародилась в 20-х годах нашего века. После пионерских работ К.Э.Циолковского, Ф.А.Цандера, В.Гомана она начинает в послевоенное время интенсивно развиваться - появляются работы Д.Е.Охоцимского, Т.М.Энеева, В.А.Егорова, Д.Ф.Лоудена. Начиная с 60-х годов и вплоть до настоящего времени по проблемам оптимального маневрирования опубликовано очень большое количество статей и монографий. Изучены различные аспекты оптимального маневрирования, рассмотрены многочисленные его частные случаи, учтены некоторые практические ограничения. Появились работы.обобщающего характера, в которых сформулированы общие принципы оптимального управления движением КА. При этом хорошо развиты методы оптимизации расхода топлива у единичных маневров, и наиболее детально изучены межорбитальные перелеты. Б начале 60-х годов автор поставил задачу межорбитального полета и начал разрабатывать теорию оптимизации таких полетов. В задаче межорбитального полета требуется построить траекторию соударения КА, первоначально находящегося на заданной начальной орбите, с КА, движущимся'по заданной конечной орбите, в центральном ньютоновском поле сил. Точки старта и финиша на граничных орбитах не фиксированы и также подлежат определению. Обратим внимание на существенное различие задач межорбитальных полетов и перелетов. Если в фазовом пространстве элементов орбит перелету отвечает задача с закрепленными концами, то межорбитальному полету соответствует задача с подвижным правым концом, при их оптимизации появляются условия трансверсальности, что определяет особенность этих задач и приводит к возрастанию трудностей математического характера при их исследовании. Потребности приложений в области космонавтики обуславливают актуальность разработки теории и методов оптимизации космических межорбитальных полетов.

Б настоящее время всеобъемлющая теория оптимизации космических маневров с учетом воздействия многих физических факторов, требованиями надежности и точности при наличии случайных ошибок,

необходимость!) проведения измерений и коррекций далека от завершения ввиду сложности. Поэтому весьма важны решения задач оптимизации космических маневров в упрощенных постановках. Во многих реальных задачах такие решения эффективно применяются в качестве начальных приближений при использовании хорошо разработанных методов локального уточнения. В теории оптимизации с упрощающими предположениями на первый план выходят вопросы качественной теории: исследование свойств решений, их числа, возможных ветвлений и бифуркация, получение нулевых приближений. В данной работе главное внимание уделяется перечисленным вопросам, основные упрощающие предположения: кеплерово приближение для орбит и импульсный характер тяги.

Второе направление исследований относится к проблеме описания качественного поведения механических систем в зависимости от вида действующих сил и изменения его при введении дополнительных Сил какого-либо вида. Хотя эта проблема и относится к классическим, она далека от решения, и получение новых результатов по этой проблеме является актуальной задачей. В теории динамических и механических систем важно изучение новых качественных эффектов, которые могут возникать при введении дополнительных сил взаимодействия. Далее, хорошо развита берущая начало от работ А.Пуанкаре, Ж.Флоке, А.М.Ляпунова, Н.Г.Четаева теория устойчивости и параметрического резонанса линейных периодических систем дифференциальных уравнений. Важную роль в ней играет теория М.Г.Крейна, И.М. Гельфанда, В.Б.Лидского сильной устойчивости симплектических преобразований, которая у линейных периодических гамильтоновых систем позволяет уменьшить число критических частот параметрического резонанса. Однако многие встречающиеся в природе объекты из-за всеобщего присутствия диссипативных сил описываются дифференциальными уравнениями, которые можно считать гамильтоновыми лишь с той или иной степенью точности. Кроме того, диссипативные и неконсервативные силы часто вводят специально для обеспечения стабилизации различных управляемых объектов. Наконец, сравнительно недавно обнаружен и изучен парадоксальный эффект расширения областей неустойчивости комбинационных резонансов при увеличении диссипативных сил. Поэтому актуальна разработка теории, обобщающей теорию М.Г.Крейна, И.М.Гельфанда, В.Б.Лидского с линейных периодических гамильтоновых систем на случай близких к гамильтоновым негамиль-тоновых линейных периодических систем дифференциальных уравнений и позволяющей изучить эффекты влияния диссипативных и неконсерва-

тивных сил на их устойчивость.

Третье направление относится к качественным исследованиям одного из современных разделов космической динамики и небесной механики - теории поступательно-вращательного движения взаимно гравитирующих космических тел. Интенсивное развитие в настоящее время и актуальность дальнейшего ее развития обусловлены все возрастающей точностью астрономических наблюдений с использованием светолокационной техники, необходимостью объяснения ряда новых явлений и особенностей движения космических тел, а также достижениями и потребностями теоретической и практической космонавтики. Основы теории были заложены в середине нашего века В.Т.Кондурарем и Г.Н.Дубошиным. Развитие она получила в работах В.В.Белецкого, В.Г.Демина, В.В.Румянцева, Ю.В.Баркина, С.Г.Журавлева и многих других авторов. Важное значение в рассматриваемой теории имеет задача о движении двух гравитирующих тел: осесимметричного и сферически симметричного. Эта задача достаточно общая: в качестве весьма частных случаев она содерсит круговую ограниченную задачу трех тел, задачу двух неподвижных центров, задачу о вращательном и поступательно-вращательном движении осесимметричного спутника сферической планеты в ограниченной и неограниченной постановках, задачу об орбитальном движении спутника пренебрежимо малых размеров в поле тяготения осесимметричной планеты. В общем случае задача о движении двух тел указанного вида не интегрируется в конечном виде, и ранее были изучены лишь некоторые стационарные и периодические движения тел в ряде ее частных случаев, как правило, при отвечающих тем или иным предположениям приближенных выражениях силовой функции или для каких-либо простых моделей осесимметричного тела: материального отрезка, симметричной гантели и др. Поэтому в настоящее время весьма актуальна проблема определения множества всех стационарных движений и изучения их устойчивости для общего случая рассматриваемых тел. Математическая сложность такой задачи заключается в том, что поступательное и вращательное движение тел существенно взаимосвязаны и не отделяются одно от другого. Более того, большое значение имеет исследование стационарных относительных движений на малых и сравнительно небольших расстояниях между телами, когда обычно используемые разложения гравитационного потенциала медленно сходятся или даже расходятся, и начальные отрезки соответствующих рядов плохо аппроксимируют реальный потенциал.

Четвертое направление исследований. В последние годы прои-

зошло существенное изменение и усложнение изложения математических дисциплин в вузах, в учебные планы математических факультетов включены курсы топологии. Поэтому полезна разработка изложения методов теоретической механики, близкого к изложению математических дисциплин. Имеются в основном краткие описания лишь некоторых разделов кинематики твердого тела в операторно-матричной форме. Топологические вопросы кинематики твердого тела излагаются в курсах топологии, причем, как правило, изучаются сами топологические пространства, а связь с механикой отсутствует или о ней упоминается лишь вскользь. Б связи с этим представляется актуальной разработка единообразного изложения кинематики твердого тела на основе операторно-матричных и геометро-топологических методов.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Разработка новых качественных методов и методов оптимизации при исследовании следующих проблем. I. Создание теории оптимальных импульсных межорбитальных полетов и решение некоторых экстремальных задач межорбитальных перелетов. В том числе изучение относящегося к области синтеза оптимального управления вопроса о числе импульсов при оптимальных межорбитальных импульсных маневрах. 2. Изучение качественного поведения динамических и механических систем в зависимости от типа действующих сил и изменения этого поведения при введении определенных дополнительных сил. Создание теории сильной устойчивости линейных периодических близких к гамильтоновым систем дифференциальных уравнений. 3. Нахождение множества всех стационарных относительных движений и исследование их орбитальной устойчивости в общем случае движения двух гравитирующих тел: осесимметричного и сферически симметричного. 4. Разработка всестороннего единообразного изложения кинематики твердого тела на основе геометро-топологических и операторно-матричных методов.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА. ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются метода теории оптимального управления, принцип максимума Понтрягина, метод Лаграняа нахождения условных экстремумов, методы космической динамики по оптимизации некоторых задач межорбитальных перелетов, методы качественной теории дифференциальных уравнений, высшей алгебры, дифференциальной топологии, гамильтоновой механики, симплектической геометрии, теории динамических систем, аналитической механики, небесной механики, методы теории устойчивости

A.М.Ляпунова, теоремы Э.Дж.Рауса, У.Томсона и И.Тета, результаты

B.В.Румянцева по исследованию устойчивости стационарных движений

лагранжевых механических систем, методы вычисления характеристических показателей линейных периодических систем дифференциальных уравнений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

Все результаты диссертации получены впервые и являются новыми. Выделим из них основные* выносимые на защиту и обладающие существенной новизной результаты.

1. Разработана теория и соответствующие методы оптимизации межорбитальных импульсных космических полетов,и решен ряд новых экстремальных задач межорбитальных перелетов. Минимизируется расход топлива, а также длительность или угловая дальность маневра при заданном расходе топлива. Время движения по орбитам может как учитываться, так и быть свободным. Оптимальные траектории могут включать пертурбационные гравитационные и аэродинамические маневры. Предложенные методы позволили для весьма общих случаев изучить множества оптимальных орбит, качественный вид этих о$бит, возможные их ветвления, характер функциональных зависимостей между оптимальными значениями минимизируемой величины и заданными значениями параметров, а также исследовать соответствующие множества достижимости.

2. Решен вопрос о числе импульсов при энергетически оптимальных импульсных полетах со свободным временем между близкими орбитами. Метод В.А.Антонова, А.С.Шмырова определения числа импульсов при межорбитальных перелетах распространен для решения соответствующих рассматриваемым межорбитальным полетам задач синтеза оптимального управления с подвижными правыми концами. В отличие от метода В.А.Антонова, А.С.Шмырова в разработанном методе приходится выходить за рамки принципа максимума Понтрягина и принимать в расчет достаточные условия оптимальности. При их проверке большую роль играет геометрический подход: с помощью геометро-топологических методов изучается весьма тонкий вопрос о возможной структуре соприкосновения множеств достижимости соответствующей задаче межорбитального полета управляемой системы с граничным многообразием. Метод сводит исследуемую задачу синтеза к геометрической задаче Изучения возможных видов пересечений множеств в фазовом пространстве - многомерном евклидовом пространст-

ву.Антонов, А.С.Шмыров. О числе импульсов при оптимальном переходе между близкими кеплеровыми орбитами. Механика управляемого движения и проблемы космической динамики. Л. 1372, С.165-168.

ве при естественном использовании средств геометрии и дифференциальной топологии.

3. Разработан метод получения результатов глобального характера о числе импульсов на траекториях энергетически оптимальных импульсных полетов и перелетов между круговыми орбитами при заданной длительности или угловой дальности маневра. С его помощью решен вопрос о локальной оптимальности оптимальных компланарных оцноимпульеных полетов и двухимпульсных перелетов в соответствующих классах многоимпульсных маневров.

4. Установлен новый парадоксальный качественный эф$ект, который мэжет возникать при введении дополнительных сил взаимодействия (типа вязкого трения) в асимптотически устойчивые в целом динамические механические системы, - возможность превращения их в структурно устойчивые глобальные осцилляторы.

5. Разработана теория сильных устойчивости и неустойчивости линейных периодических гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, подверженных действию заданного негамильтонова параметрического периодического возмущения. Учет последнего - существенно новый момент, при его отсутствии теория переходит в теорию М.Г.Крейна, И.М.Гельфанда, Б.Б.Лидского сильной устойчивости симплектических преобразований. Разработанная теория позволила получить целый ряд новых результатов. Например, в рамках линейных периодических уравнений Лагранжа 2-го рода изучено влияние заданных возмущающих диссипативных и неконсервативных сил на сильные устойчивость и неустойчивость рассматриваемых уравнений в случаях выполнения критических соотношений комбинационных резонансов.

6. Описаны множества всех стационарных относительных движений двух гравитирующих.твердых тел: осесимметричного и сферически симметричного, и разработана методика исследования орбитальной устойчивости этих движений. Найденные стационарные движения двух типов охватывают в качестве частных случаев все известные движения ("спица", "стрела", "квазистрела", "поплавок" и др.), определенные ранее при тех или иных предположениях для некоторых конкретных тел, как правило, простого вида. Отказ от общепринятых весьма частных моделей гравитационного поля осесимметричного тела привел к качественно новым выводам. Например, в'отличие от известных результатов доказано, что движения "стрела" возможны

и у несимметричных, а "квазистрела" - у симметричных относительно плоскости экватора осесимметричных тел. Разработан новый метод исследования орбитальной устойчивости компланарных стационар-

ных движений, заключающийся в установлении связи между их устойчивостью в рамках компланарной и некомпланарной постановок задач. Определено, когда метод позволяет свести исследование устойчивости к анализу существенно более простых условий устойчивости компланарной задачи.

7. Разработано оригинальное изложение кинематики твердого тела, основанное на геометро-топологических и операторно-матрич-ных методах. Последовательное применение этих методов оказалось весьма плодотворным и помимо единообразия изложения, математической ясности и строгости доказательств позволило получить ряд новых результатов. Дано математическое обоснование понятия локальной и глобальной ориентации твердого тела. Показано, что использование кватернионов поворота при задании глобальной ориентации соответствует переходу к универсальному накрывающему пространству для пространства конфигураций твердого тела с неподвижной точкой - трехмерной сфере. Введение угловой скорости твердого тела определяет структуру параллелизованного многообразия в его пространстве конфигураций. Установлена связь между различными аналитическими структурами пространства конфигураций твердого тела.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Хотя работа имеет теоретический характер, ее результаты имеют как теоретическую, так и практическую ценность. Перечислим некоторые возможные области их практического приложения. Теория оптимальных межорбитальных импульсных полетов и разработанные методы оптимизации импульсных космических маневров имеют саше разнообразные возможности применения в практической космонавтике, особенно на стадиях предварительного проектирования орбит при качественном исследовании задач. Возможные области применения: оптимальные межорбитальные полеты и перелеты, в том числе с использованием гравитационных и аэродинамических маневров, мягкие и жесткие встречи КА, близкие пролеты для осуществления инспекций КА, расстановка спутников в орбите, обеспечивание функционирования и обслуживание разного рода систем ИСЗ, в том числе синхронизированных, определение областей пространства, заполненных осколками при взрывах небесных тел и др. Естественным образом результаты распространяются на задачи оптимального многошагового межорбитального маневрирования, когда КА должен совершить ряд заданных маневров (встречи, перехваты, инспекции, изменения орбиты и т.д.).

Другая область применения - оптимизация межпланетных полетов. Кроме того, при межпланетных перелетах на окруженные атмосферами планеты целесообразно применять торможение об эти атмосферы. В этих случаях также следует применять теорию межорбитальных полетов. Наконец, важное практическое значение имеют результаты о числе импульсов на оптимальных траекториях. Они позволяют удешевить космические маневры за счет разумного сочетания выигрыша от увеличения числа импульсов до оптимального с необходимым усложнением соответствующей аппаратуры.

Результаты по исследованию качественного поведения механических систем в зависимости от вида действующих сил могут найти применение при изучении движений и равновесий различных сложных, в том числе управляемых, механических систем. Так, теория сильных устойчивости и неустойчивости линейных периодических гамиль-тоновых систем при заданном негамильтоновсм возмущении успешно применена к исследованию устойчивости вращательного движения ИСЗ, испытывающего периодическое параметрическое возбуждение. Достоинство данной теории при ее практическом применении - возможность получения выводов об устойчивости по одному лишь типу действующих на систему сил и виву резонансных критических соотношений при отсутствии каких-либо выкладок или при проведении минимального их числа.

Выводы о возможных стационарных относительных движениях взаимно гравитирующих тел и их устойчивости имеют важные конкретные приложения в астрономии, космической динамике, космонавтике. Так, они обосновывают возможность длительного существования разного рода двойных космических объектов, например, двойных астероидов, комет,■звездных систем, систем спутник-планета, и опредачяют устойчивые относительные конфигурации при стационарных движениях образующих их тел. Другая область практических приложений относится к космонавтике. При достаточно общих предположениях дан ответ на важный уже в практике современных космических исследований вопрос, на каких относительных орбитах НА. может образовывать устойчивую двойную систему с астероидом или спутником планеты, в частности, в каких точках КА может в течение .длительного времени пассивно "зависать" над поверхностью астероида или спутника. Важно, что расстояние между телами такого двойного объекта может иметь порядок линейных размеров самих тел, а их ?лассы могут быть сравнимы, и хорошо развитые теории для классических спутниковых моделей здесь не будут применимы.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах проф. В.С.Новоселова на кафедре механики управляемого движения факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ, на научном семинаре проф. П.П.Товстика на кафедре теоретической механики математико-механического факультета СПбГУ. Результаты по отдельным направлениям диссертации докладывались на Конференции по общим вопросам небесной механики и астродинамики (23-29 марта 1967 г., Москва), организованной Комиссией по небесной механике Астрономического совета АН СССР, на Пятом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (27 мая - 3 июня 1981, Алма-Ата), на Научной конференции факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (апрель 1986 г.), на Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям механических систем (сентябрь 1987 г., Горький), на 26 чтениях, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К.Э.Циолковского (17-20 сентября 1991 г., Калуга, секция "Механика-космического полета"). В течение ряда лет раздел кинематики общего курса теоретической механики управляемого движения для студентов 2 курса факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ был прочитан на основе материала главы 4 диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано более 40 работ. Основные результаты содержатся в работах [I - 25].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Главы разбиты на параграфы, параграфы -на пункты. Объем работы - 253 страницы машинописного текста, иллюстраций - 19, список библиографических ссылок содержит 354 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы, дан обзор литературы, кратко изложено содержание диссертации и приведены основные результаты.

В главе I изложена разработанная теория оптимальных межорбитальных импульсных полетов. Одновременно в ней приведены результаты исследования ряда впервые решенных автором задач оптимизации межорбитальных импульсных перелетов, причем здесь снято обычное для импульсных перелетов предположение о равенстве скоростей истечения газов во время импульсов. Автор один из первых

ввел постановку задач оптимизации межорбитального маневрирования с учетом времени движения по орбитам и получил первые результаты в задачах нахождения оптимальных одноимпульсных полетов и перелетов в такой постановке. При создании теории оптимальных импульсных межорбитальных полетов разработан ряд новых, представляющих самостоятельный научный интерес математических методов оптимизации. Опишем кратко содержание данной главы.

В § I приведена методика приближенного решения задач нахождения условных экстремумов функций. Основной результат заключается в доказательстве нескольких теорем, показывающих, что при решении экстремальной задачи с малым параметром для получения стационарного значения минимизируемой функции с определенной точностью уравнения экстремума можно решать с меньшей точностью.

В § 2 поставлены математически задачи оптимизации импульсных межорбитальных маневров. Введены два класса экстремальных задач - в задачах I (П) класса расход топлива не задан (задан). В компланарных экстремальных задачах I класса со свободным временем установлен вид анормальных решений и показано, что они возможны лишь при касании граничных орбит. Определены конкретные типы изучаемых маневров: минимальные по расходу топлива, минимальные по длительности при заданном расходе топлива, минимальные по расхолу топлива при заданной длительности или угловой дальности, наиболее приемлемые (например, с наискорейшим прохождением некоторых заданных зон), наиболее точные (при наличии разного рода случайных отклонений).

Подробно изучена компланарная задача энергетически оптимального одноимпульсного межорбитального полета со свободным Бременем. Установлены свойства оптимальных орбит: касание орбиты полета с конечной орбитой в точке финиша, неоптимальность радиальных импульсов, неоптимальность касательных импульсов при граничных орбитах с несовпадающими линиями апсид. Для граничных орбит с общей линией апсид изучен вопрос об оптимальности мно-гсимпульсных апсицальных полетов. Приведем лишь один результат -теорему о глобально энергетически оптимальных импульсных полетах между круговыми компланарными и некомпланарными орбитами. А именно, если отношение рапиуса начальной орбиты к радиусу конечной не превосходит 4.828..., то глобально оптимален одноим-пульсный гомэноеский полет, в противном случае - бипараболкчес-кий. Для произвольных компланарных граничных орбит предложен

элективный численный метод нахождения энергетически оптимальных одноимпульсных полетов.

В ряде случаев одноимпульсных полетов и двухимпульсных перелетов оптимальные решения и их ветвления исследованы аналитически. Остановимся на случае слабоэллиптических граничных орбит и мало отличающейся от расхода топлива минимизируемой функции. Из полученных результатов выделим интересное свойство энергетически оптимальных двухимпульсных перелетов со свободным временем: оптимальное положение точки старта сильно изменяется даже при весьма малом отклонении от единицы отношения скоростей истечения газов во время 1-го и 2-го импульсов. В задаче с учетом времени движения определены все локально оптимальные решения и доказано, что конфигурации для начала оптимальных маневров повторяются в среднем через синодический период обращения по конечной орбите.

В § 3 изучены минимальные по расходу топлива одноимпулвсные полеты и двухимпульсные перелеты между КА, движущимися по одной орбите. Точка финиша должна находиться на произвольно заданном витке переходной орбиты. Такая постановка задачи позволяет найти все локальные минимумы расхода топлива и тем самым использовать полученные результаты в аналогичной задаче о ограничениями на время маневра. Найдены все оптимальные решения и показано, что они близки к анормальным апсидальным решениям. Расход топлива как функция общего времени маневра имеет счетное число локальных минимумов, как раз отвечающих найденным оптимальным решениям.

Исследованию задачи энергетически оптимального одноимпульс-ного полета между эллиптическими .некомпланарными граничными орбитами посвящен § 4. Выявлены геометрические особенности оптимальных траекторий, например, показано, что в общем случае они не касаются граничных орбит. В задаче со свободным временем доказаны теоремы, определяющие условия оптимальности полетов в плоскостях начальной или конечной орбит. В частности, показано, что при некруговых граничных орбитах такие полеты могут быть оптимальными лишь в исключительных случаях.

Разработанная методика исследования для граничных орбит малых взаимной наклонности и эксцентриситетов позволила выделить все ветви сташонарных решений и изучить качественные свойства соответствующих этим ветвям орбит. Найденные приближенные реше-

ния как при учете, так и без учета времени движения можно эффективно использовать при оптимизации реальных межорбитальных полетов. Обратим внимание на то, что данное исследование охватывает и случай граничных орбит с противоположным направлением движения в них.

В § 5 разработана методика нахождения областей достижимости при одноимпульсном полете с эллиптической исходной орбиты как при фиксированной, так и при произвольной точке старта на ней и малой заданной характеристической скоростью маневра. Для границ областей достижимости получены простые явные уравнения, которые позволили установить качественный вид и геометрические особенности этих областей. Данная методика позволяет легко получить ответ на вопрос о разрешимости задачи одноимпульснсго полета при конкретных граничных орбитах и данном расходе топлива. Б то же время выведенные формулы дают возможность решать такие задачи как определение областей пространства, заполненных осколками при взрывах небесных тел и т.п.

Исследованию минимальных по расходу топлива компланарных импульсных межорбитальных полетов и перелетов при заданной их длительности или угловой дальности как с учетом, так и без учета времени движения посвящен § 6. Конкретный анализ проведен в рамках соответствующих двойственных изопериметрических задач минимизации длительности или угловой дальности межорбитальных импульсных полетов и перелетов при заданном расходе топлива.

Сначала изучены оптимальные маневры с минимально возможным числом импульсов - одноимпульсные полеты и двухимпульсные перелеты. При граничных орбитах малых эксцентриситетов и малом превышении заданного расхода топлива над наименьшим численная оптимизация затруднительна из-за большой потери точности при вычислениях. Напротив, проведенное аналитическое исследование позволило раскрыть соответствующие неопределенности, найти оптимальные траектории и выявить их качествен?гые особенности.

Для круговых граничных орбит разработанная методика позволила изучить в целом качественные геометрические свойства всех оптимальных траекторий одноимпульсных полетов и двухимпульсных перелетов, а также соответствующие им зависимости между расходом топлива и длительностью (угловой дальностью) маневра. Анализ последних позволил доказать теоремы об "антагонизме" между длительностью (угловой дальностью) маневра и расходом топлива:

увеличение заданного расхода топлива приводит к уменьшению минимальной длительности (угловой дальности). Сделан вывод о целесообразности повышения заданной характеристической скорости маневра в 1-2 раза по сравнению с гомановской, так как оптимальные длительность и угловая дальность маневра значительно сокращаются, дальнейшее же увеличение этой скорости уже не будет столь эффективно. Теоретические результаты проиллюстрированы на примере маневров между орбитами Земли и Венеры. Наконец, установлено парадоксальное свойство неоптимальности прямолинейных орбит при оптимальных по длительности одноимпульсных полетах между круговыми орбитами.

Для практической космонавтики весьма важен относящийся к качественной теории оптимизации и, как правило, сложный для математического исследования вопрос о числе импульсов при межорбитальных импульсных маневрах какого-либо класса. Прямое численное его исследование, если и возможно, то весьма трудоемко. Поэтому результаты теоретического изучения этого вопроса в § б, § 7 даже при сделанных там упрощающих предположениях - в § 6 граничные орбиты считаются круговыми, а в § 7 - близкими, можно отнести к основным результатам диссертации.

Для получения результатов глобального характера о числе импульсов в экстремальных задачах импульсных полетов и перелетов между круговыми компланарными орбитами при заданном расходе топлива в § б разработана специальная методика. С ее помощью исследован вопрос о локальной оптимальности оптимальных по длительности и угловой дальности одноимпульсных полетов и двухим-пульсных перелетов в соответствующих классах многоимпульсных полетов и .перелетов между теш же граничными орбитами и с тем же расходом топлива. Основные результаты следующие. Минимальные по длительности одноимпульсные полеты и двухимпульсные перелеты всегда локально оптимальны в соответствующих классах многоимпульсных маневров. У минимальных по угловой дальности одноимпульсных полетов рассматриваемая локальная оптимальность может нарушаться лишь в случае, когда радиус конечной орбиты больше радиуса начальной и эксцентриситет оптимальной одноимпульс'ной орбиты лежит в интервале (0.996..., 1.283...), а у минимальных по угловой дальности двухимпульсных перелетов - лишь в случае, когда эксцентриситет оптимальной орбиты двухимпульсного перелета находится в интервале (0.913...,, I).

Б § 7 исследована задача о числе импульсов при энергетически оптимальном полете между близкими орбитами. Отметим существенные моменты разработанного метода исследования. Экстремальная задача сводится к задаче быстродействия соответствующей управляемой системы. С помощью принципа максимума Понтрягина изучаются все возможные типы границ выпуклых оболочек множеств скоростей этой системы в ее фазовом пространстве. Затем на основании исследования с помощью геометро-топологических методов возможных видов соприкосновения таких выпуклых оболочек с граничным многообразием делается вывод о числе импульсов в рассматриваемой задаче синтеза оптимального управления. Приведем основные результаты исследования задачи энергетически оптимального импульсного полета между близкими эллиптическими орбитами. Б компланарной задаче доказана оптимальность лишь одноимпулье-ных полетов. Б некомпланарной задаче доказаны неоптимальность полетов с тремя и большим числом импульсов и в то же время существование оптимальных двухимпульсных полетов для всех значений нулевого приближения эксцентриситета граничных орбит е > > 0.295.... Одновременно исследована компланарная задача энергетически оптимального устранения пересечения орбит (например, для выхода из метеорного роя), в которой доказано существование оптимальных двухимпульсных маневров для значений е > 0.774...

Б п.1 § 8 описана методика точного вычисления сил и моментов светового давления от излучения Солнца, новыми элементами которой являются возможность вычисления этих величин при самых общих предположениях об облучаемом теле, учет собственного температурного его излучения, затенения одних частей поверхности другими, учет многократных отражений лучей от поверхности облучаемого тела. Б п.2 изложена теория энергетически оптимальных полетов КА с солнечным парусом, развивающая идею Ф.А.Цандера использования паруса-зеркала при межпланетных переходах. Определены возможные^виды оптимальных траекторий и выведено условие энергетической выгодности использования солнечного паруса для переноса полезного груза. С помощью этого условия исследован вопрос о необходимой толщине материала паруса и об оптимальных размерах паруса, толщина и форма которого заданы.

Траектории межпланетных переходов с пертурбационными гравитационными маневрами изучаются в основном с помощью численных

и графических методов. Б связи с этим большое значение имеет разработанная в п.1 § 9 аналитическая теория и соответствующая методика построения минимальных по расходу топлива межпланетных одноимпульсных полетов и двухимпульсных перелетов с пассивными пертурбационными маневрами, в которых при получении аналитического решения существенную роль играют соображения геометрического характера. Исследование ограничено компланарной постановкой задачи и кеплеровым приближением, когда при рассмотрении гелиоцентрической траектории участки движения в сферах действия планет стягиваются в точки. Орбиты планет считаются круговыми и предполагается, что орбита планеты сближения лежит между орбитами планет старта и финиша. Принятая постановка со свободным временем позволяет установить верхнюю границу возможной экономии топлива за счет пертурбационного маневра. Приведем основные результаты. Прежде всего, показано, что у оптимальных траекторий полетов и перелетов точки старта и финиша находятся в апсидах кеплеровых дуг гелиоцентрической межпланетной траектории, причем, если радиус планеты сближения достаточно мал, то одна из этих дуг - полуэллипс Гомана. Б общем случае конечного радиуса этой планеты найдено приближенное аналитическое оптимальное решение и показано, что оно дает достаточную для практики точность. Расчеты межпланетного полета Земля-Юпитер с разгоном за счет сближения с Марсом показали, что использование такого пертурбационного маневра может привести к экономии 11% характеристической скорости непосредственного гомановского одноимпульсно-го полета от Земли к Юпитеру.

В § 9 предложено использовать маневр аэродинамического торможения при энергетически оптимальных межорбитальных перелетах в поле тяготения окруженной атмосферой планеты. Разработанный упрощенный метод оптимизации особенно эффективен на стадии предварительного проектирования орбит. Аэродинамический маневр сводится к пассивному импульсному уменьшению скорости, получаемому, например, при кратковременном раскрытии тормозящих поверхностей на границе плотных слоев атмосферы. Доказаны теоремы о типах глобально оптимальных компланарных перелетов. Данная теория позволила оценить энергетический выигрыш за счет аэродинамического маневра.

В § 10 изучена задача минимизации расхода топлива при импульсных межпланетных полетах и перелетах между орбитами искус-

ственных спутников планет. Приведены условия, при выполнении которых от общей задачи отделяются задачи оптимизации маневров входа на и ухода с орбит искусственных спутников. Доказаны теоремы, определяющие вид оптимальных одно- и двухимпульсных маневров входа и ухода.

Исследованию задачи минимизации расхода топлива при одно-импульсном маневре спуска отсека спутника с околопланетной орбиты посвящен § II. Для случая заданного угла входа отсека в атмосферу планеты в п.1 разработан метод исследования, в котором важную роль играет топология фазового пространства задачи. Изучение этой топологии позволило установить наименьшее значение расхода топлива и определить ряд качественных свойств стационарных решений. В п.2 разработан численный метод оптимизации маневра спуска отсека спутника с дополнительными ограничениями на скорость входа в атмосферу и предельно допустимое расстояние между орбитальным и спускаемым отсеками в момент финиша при условии прямой видимости между ними.

Глава П посвящена изложению результатов по проблеме описания качественного поведения механических систем в зависимости от действующих сил.

В § I изучен новый качественный парадоксальный эффект: показано, что при введении диссипативных сил взаимодействия между двумя грубыми асимптотически устойчивыми в целом автономными механическими системами возможно превращение их в структурно устойчивый глобальный осциллятор. Однако размерность пространства конфигураций каждой из этих систем должна быть не менее двух. Важно, что рассматриваемые автоколебания могут возникать и в механических системах, в которых диссипация вводится лишь по какому-либо одному каналу.

В п.1 § 2 разработан потенциальный метод решения задач механики, обобщающий метод Гамильтона-Якоби на негамильтоновые механические системы и выделены некоторые классы механических систем, допускающих интегрирование этим методом. В п.2 § 2 исследуется проблема приведения систем дифференциальных уравнений механики к каноническому виду. Разработан метод, который позволил установить структуру дифференциальных уравнений, приводимых к каноническому виду при помощи введения специальной функции Гамильтона - полинома 2-ой степени относительно импульсов. Существенно, что у механической системы сохраняются исходные обоб-

■ценные координаты, но присваивается новая "несобственная" кинетическая энергия, у которой требование положительной определенности соответствующей квадратичной формы по скоростям заменено на ^олее слабое требование невырожденности. Выделено несколько классов уравнений, приводимых этим методом к каноническому виду. Проиллюстрирована неинвариантность общепринятой классификации сил относительно рассматриваемых преобразований.

В § 3 рассматривается линейная периодическая гамильтонова система, подверженная заданному негамильтонову периодическому параметрическому возмущению, и изучается вопрос о сильных устойчивости или неустойчивости этой системы, т.е. устойчивости или неустойчивости ее несмотря на наличие еще и произвольного периодического параметрического гамильтонова возмущения одного порядка с заданным негамильтоновым возмущением. Основу разработанной теории составляет теорема о достаточных условиях сильных устойчивости и неустойчивости такой системы. С ее помощью в рамках линейных периодических уравнений Лагранжа 2-го рода проанализировано влияние гироскопических сил, а также влияние заданных возмущающих диссипативных и неконсервативных сил на сильные устойчивость и неустойчивость изучаемых уравнений. Например, доказана справедливость 3-ей и 4-ой теорем Томсона и Тета при наличии дополнительного достаточно малого произвольного периодического гамильтонова параметрического возмущения в нерезонансном случае и в общем случае разностного комбинационного резонанса.

Глава III посвящена нахождению множеств стационарных относительных движений двух притягивающихся по закону всемирного тяготения твердых материальных тел: осесимметричного и сферически симметричного и исследованию орбитальной устойчивости рассматриваемых движений. В § I эта задача изучается в самом общем виде: используется точное выражение для потенциала гравитационного взаимодействия и никаких предположений, кроме предположения о его осесимметричности не делается. Существенную упрощающую роль при исследовании сыграл специальный выбор лагранжевых позиционных координат, отвечающих некоторой "полуподвижной" декартовой системе координат.

Относительное движение рассматриваемых тел, при котором центр сферически симметричного тела во все время движения неподвижен в каком-либо пространстве, жестко скрепленном с осью

симметрии осесимметричного тела, названо стационарным. Доказана теорема о двух типах стационарных движений, которая позволила впервые описать множества всех возможных стационарных движений и дать классификацию этих движений, связанную с их характерными свойствами. При стационарных движениях осесимметричное тело совершает регулярную прецессию, а его центр тяжести описывает круговую орбиту, причем центр сферически симметричного тела у стационарных движений I типа, вообще говоря, не лежит в плоскости этой орбиты, а у стационарных движений П типа всегда является ее центром.

При исследовании орбитальной устойчивости стационарных движений большое внимание уделено качественным аспектам: определению числа и типов соответствующих точек либрации, их возможным бифуркациям, нахождению параметров, отвечающих переходам от устойчивости к неустойчивости, и т.д. Б п.2,3 § I доказан ряд теорем об орбитальных устойчивости и неустойчивости стационарных движений в некомпланарной задаче. Б качестве примера приведем лишь один результат: если масса сферически симметричного тела меньше определенного критического значения, то невозможна орбитальная устойчивость стационарных движений с минимумом эффективной потенциальной энергии. Далее изучена устойчивость стационарных движений, близких к "поплавку", как для симметричных относительно экваториальной плоскрсти осесимметричных тел, так и для несимметричных. В п.4 § I исследованы компланарные (ось симметрии осесимметричного тела и центр сферически симметричного движутся в одной неподвижной плоскости) стационарные движения. Доказаны теоремы,устанавливающие связь их орбитальной устойчивости в рамках компланарной и некомпланарной постановок задач. Так, области орбитальных устойчивости и устойчивости в линейном приближении для неколлинеарных (центр сферически симметричного тела не лежит на оси симметрии осесимметричного) стационарных движений всегда сохраняются, а для коллинеарных - могут уменьшиться при переходе к некомпланарной постановке задачи.

Движение простых модельных тел определяется более простыми соотношениями, допускающими более глубокий анализ. Поэтому полученные результаты были проанализированы в случае аппроксимации поля тяготения осесимметричного тела полем тяготения нескольких материальных точек, среди которых могут быть точки с положительными и отрицательными массами, а также пары точек с комплексно

сопряженными массами. Б § 2 для случая аппроксимирующей гантели в рамках компланарной задачи изучены множества стационарных движений, их орбитальная устойчивость, влияние на нее сжатия и асимметрии гантели, возможные бифуркации, определены критические расстояния между телами, которым отвечает переход от устойчивости к неустойчивости и наоборот. Опишем лишь один из результатов. Широко известна и используется на практике система пассивной гравитационной стабилизации вращательного движения круговых спутников планет в рамках обычной спутниковой модели. Учет конечности массы спутника в рамках поступательно-вращательного его движения приводит к качественно новому явлению - соответствующие стационарные движения становятся орбитально неустойчивыми, если расстояние между телами меньше определенного критического значения. При отношении массы осесимметричного тела к массе сферически симметричного порядка единицы это значение имеет порядок характерного размера осесимметричного тела. С ростом указанного отношения масс соответствующее критическое расстояние неограниченно увеличивается.

В главе 1У кратко описано изложение кинематики твердого тела на основании геометро-топологических и операторно-матричных методов. В качестве примера более подробно освещено математическое определение понятия локальной и глобальной ориентации тела. Выделены некоторые новые результаты.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Кирпичников С.Н. Оптимальный компланарный полет между орбитами // Вестн.Ленингр.ун-та. Сер.мат.,мех. и астрон. 1964. Выл.I (№ I). С.130-141.

2. Кирпичников С.Н. Минимальные по времени межорбитальные траектории при заданных величинах расхода массы // Бюл. Ин-та теор.астрон.АН СССР. 1965. Т.10, »1 (114). С.27-43.

3. Кирпичников С.Н, Некоторые вопросы построения экстремальных импульсных траекторий в центральном поле // Бюл.Ин-та теор. астрон.АН СССР. 1966. Т.10, НО (123). С.671-687.

4. Кирпичников С.Н. Оптимальные траектории между материальными точками, движущимися по одной и той же орбите // Космич.исследования. 1966. Т.4, вып.4. С.522-534.

5. Кирпичников С.H. Об одном методе определения оптимального маневра спуска с околопланетной орбиты при фиксированном угле входа в атмосферу // Бестн.Ленингр.ун-та. Сер.мат.,мех. и астрон. 1969. Вып.З (№ 13). C.I3I-I42.

6. Кирпичников С.Н. Оптимизация маневров спуска отсека спутника с околопланетной орбиты // Сб. "Механика управляемого движения и проблемы космической динамики". Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. С.5-19.

7. Исакович Л.А., Кирпичников С.Н. Некоторые случаи межпланетных переходов с использованием пертурбационного маневра //Космич.исследования. 1974. Т.12, вып.5. С.675-681.

8. Кирпичников С.Н. О числе импульсов при энергетически оптимальном полете между компланарными кеплеровыми близкими орбитами // Бестн.Ленингр.ун-та. Сер.мат.,мех. и астрон. 1980. Вып.4 (Jf 19). С.50-53.

9. Кирпичников С.Н., Бондаренко Л.А, Сильная устойчивость линейных гамильтоновых периодических систем при заданном нега-мильтоновом возмущении. Нерезонансный случай // Вестн. Ленингр.ун-та. Сер.мат.,мех, и астрон. 1985. Вып.З (№ 15).

С .45-53.

10. Агапонов C.B., Кирпичников С.Н., Слободзян И.Н. О числе импульсов в компланарной задаче энергетически оптимального полета между близкими кеплеровыми орбитами // Бестн.Ленингр. ун-та. Сер.мат.,мех. и астрон. 1985. Вып.4 (№ 22). С.67-73.

11. Кирпичников С.Н., Новоселов B.C. Математические аспекты кинематики твердого тела. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1986. 252 с.

12. Кирпичников С.Н., Байков В.Ф. О числе импульсов при энергетически оптимальном полете между близкими кеплеровыми орбитами // Бестн.Ленингр.ун-та. Cep.I. 1986. Вып.1 (№ I). C.I03-II2.

13. Кирпичников С.Н., Бондаренко Л.А. Сильная устойчивость линейных периодических гамильтоновых систем при заданном нега-мильтоновом возмущении. Общий случай // Бестн.Ленингр.ун-та. Cep.I. 1986. Бьш.2 (№ 8). С.55-61.

14. Кирпичников С.Н. Об устойчивости стационарных движений двух гравитирущих тел: осесимметричного и сферически-симметричного. Некомпланарный случай.// Астрон.ж. 1989. Т.66, вып.З. С.612-621.

15. Кирпичников С.Н. Оптимальные двухимпульсные полеты между близкими некомпланарными кеплеровыми орбитами.//Бестн.Ле-нингр.ун-та. Cep.I. 1989. Бып.З (№ 15). С.75-82.

16. Кирпичников С.Н. Устойчивость неколлинеарных компланарных стационарных движений двух гравитирующих тел: осесимметрич-ного и сферически симметричного в компланарной и некомпланарной задачах // Бестн.Ленингр.ун-та. Cep.I. 1989. Вып.4 (» 22). С.94-101.

17. Кирпичников С.Н. Энергетически оптимальные многоимпульсные апсидальные межорбитальные полеты // Бестн.Ленингр.ун-та. Cep.I. 1990. Вып.1 (VI). С.63-67.

18. Кирпичников С.Н., Степанов А.Г. О возможности возникновения структурно устойчивых глобальных осцилляторов при введении диссипативных сил в асимптотически устойчивые в целом динамические системы // Прикл.мат. и мех. 1990. Т.54, вып.2. С.332-335.

19. Кирпичников С.Н. Оптимальный некомпланарный межорбитальный одноимпульсный полет // Бестн.Ленингр.ун-та. Cep.I. 1990. Вып.2 (* 8). С.57-64.

20. Кирпичников С.Н. О числе импульсов при минимальных по времени импульсных полетах между круговыми компланарными граничными орбитами // Академик Б.В.Новожилов - ученый, педагог, гражданин. Вопр.мех. и процессов управления. Вып.13. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1990. С.97-103.

21. Кирпичников С.Н. Область достижимости при одноимпульсном полете с кеплеровой орбиты // Бестн.Ленингр.ун-та. Cep.I. 1990. Вып.4 (№22). С.42-46.

22. Кирпичников С.Н., Кокорев A.A. О первом типе стационарных движений двух гравитирующих тел: осесимметричного и сферически симметричного // Бестн.Ленингр.ун-та. Cep.I. 1991. Вып.2 (№ 8). C.II5-I23.

23. Кирпичников С.Н., Бобкова А.Н., Оськина Ю.В. Минимальные по времени импульсные перелеты между круговыми компланарными орбитами // Космич.исследования. 1991. Т.29, вш.З.

С.367-374.

24. Кирпичников С.Н. О втором типе стационарных движений двух притягивающихся тел: осесимметричного и сферически симметричного // Бестн.Ленингр.ун-та. Cep.I. 1991. Вып.З (№ 15). С.92-97.