Каскадные процессы в конвективной и магнитогидродинамической турбулентности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Каскадные процессы и каскадные модели турбулентности

1.1 Каскадные процессы в турбулентности

1.1.1 Изотропная турбулентность.

1.1.2 Конвективная турбулентность

1.1.3 МГД-турбулентность.

1.2 Каскадные модели турбулентности

1.3 Выводы по главе.

2 Турбулентная конвекция

2.1 Инерционный интервал Обухова-Болджиано в каскадных моделях конвективной турбулентности.

2.1.1 Каскадная модель

2.1.2 Трехмерная турбулентная конвекция

2.1.3 Двумерная турбулентная конвекция.

2.2 Моделирование каскадных процессов в конвективной турбулентности при экстремальных значениях числа Прандтля

2.2.1 Каскадная модель.

2.2.2 Малые числа Прандтля (сг << 1).

2.2.3 Большие числа Прандтля (сг >> 1).

2.3 Выводы по главе.

3 МГД — турбулентность

3.1 Магнитное число Прандтля и мелкомасштабное МГД-динамо

3.1.1 Каскадная модель МГД-турбулентности.

3.1.2 Результаты.

3.1.3 Обсуждение.

3.2 Эволюция МГД-турбулентности на больших временах

3.2.1 Введение.

3.2.2 Свободное вырождение МГД-турбулентности.

3.2.3 Вынужденная МГД-турбулентность

3.2.4 Обсуждение.

Актуальность темы. Широкое распространение турбулентных движений жидкости и газа в природе и технике, с одной стороны, и чрезвычайные трудности их описания, с другой, вынуждают искать все новые пути моделирования турбулентных потоков. При этом важны как попытки описать свойства вполне конкретных турбулентных течений с заданными граничными условиями и внешними воздействиями, так и нахождение присущих им общих закономерностей. На первом направлении основной успех приходится на долю полуэмпирических теорий, пока более результативных при решении конкретных задач. Полуэмпирические методы остаются в центре внимания исследователей и хорошо освещены в литературе. Для этого подхода является обязательным наличие обширного экспериментального материала для определения констант и оценки границ применимости конкретной модели.

Продвижение на втором пути связано с концепцией локально-изотропной турбулентности. Основные трудности здесь обусловлены огромным числом степеней свободы, вследствие чего прямое численное исследование ограничено возможностями вычислительной техники. В то же время, суперкомпьютеры, воспроизводя в мельчайших подробностях структуру турбулентного потока, возвращают исследователя к проблемам, стоящим перед экспериментатором, наблюдающим реальное течение, и дают преимущества только в плане сбора и обработки информации. Остаются вопросы интерпретации результатов и их представления в компактном виде. Простые модели необходимы также для предварительного анализа конкретных турбулентных течений до расчетов на больших машинах. Прямые вычисления к тому же не всегда рациональны при исследовании развитой турбулентности, так как в малых пространственных масштабах движение носит универсальный характер и многократное воспроизведение процесса с целью получения обратного влияния мелкомасштабной турбулентности на энергосодержащие вихри смысла не имеет. Поэтому большой интерес представляют малопараметрические модели, позволяющие изучать как изотропную гидродинамическую турбулентность, так и более сложные турбулентные течения.

При исследовании турбулентных течений особый интерес представляет моделирование каскадных процессов передачи энергии, завихренности, неоднородностей концентрации примеси по спектру турбулентных движений. Каскадные процессы определяют внутреннюю структуру течений и механизм турбулентной диссипации. Достаточно простым, но весьма эффективным средством изучения спектральных свойств развитой турбулентности являются каскадные модели, которые появились в 70-х годах как попытка описать процессы передачи энергии по спектру развитой турбулентности с помощью простой динамической системы, в которой все пульсации поля скорости в заданном интервале волновых чисел характеризуются с помощью одной "коллективной" переменной. В начале 90-х годов произошел всплеск интереса к каскадным моделям после того, как было показано, что они реалистично воспроизводят не только спектр энергии, но и поведение структурных функций высших порядков в реальной сильно перемежаемой турбулентности.

До сих пор каскадные модели в основном применяются для исследования изотропной турбулентности, но этим их возможности не ограничиваются. Поэтому весьма актуальным является построение каскадных моделей и изучение с их помощью свойств таких сложных турбулентных течений, как турбулентная термогравитационная конвекция и МГД-турбулентность.

Цель работы заключалась в исследовании каскадных процессов в конвективной и магнитогидродинамической турбулентности при помощи каскадных моделей. При этом ставились следующие задачи: изучить конвективный интервал в спектральном распределении энергии; исследовать поведение турбулентной конвекции при экстремальных значениях числа Прандтля; проследить характер развития каскадных процессов в МГД-турбулентности на больших временах при разных начальных условиях и видах внешней подкачки энергии; исследовать влияние магнитного числа Прандтля на порог возбуждения генерации мелкомасштабного магнитного поля МГД-турбулентности.

Научная новизна.

• Рассмотрена каскадная модель развитой конвективной турбулентности несжимаемой жидкости. Численно исследованы режимы, возникающие при больших числах Релея в случае трех- и двухмерного движения. Изучены возможность и условия установления в спектральном распределении энергии инерционного интервала Обухова-Болджиано.

• Получены спектральные распределения энергии пульсаций скорости и температуры в двумерной конвективной турбулентности при экстремальных значениях числа Прандтля.

• Исследована зависимость порога возбуждения генерации мелкомасштабного магнитного поля от магнитного числа Прандтля в каскадной модели мелкомасштабного динамо.

• Исследована зависимость характера эволюции каскадных процессов МГД-турбулентности на больших временах от вида начальных условий и способа внешней подкачки энергии.

Научная и практическая значимость.

Результаты использования каскадных моделей для исследования различных турбулентных течений свидетельствуют об их эффективности при прогнозировании спектральных свойств турбулентности при разных способах возбуждения движения и начальных данных. Каскадные модели легко адаптируются под конкретный вид течения и обеспечивают учет взаимодействий в широком диапазоне волновых чисел при незначительных затратах вычислительных средств.

Полученные в численных экспериментах результаты углубляют понимание динамики конвективной и магнитогидродинамической турбулентности, проясняют влияние на спектральные свойства течений таких параметров, как конвективное и магнитное числа Прандтля.

Результаты работы вошли в курс лекций П.Г.Фрика "Турбулентность: модели и подходы" [31]. Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы "Исследование развитой конвективной и магнитоконвективной турбулентности с гео- и астрофизическими приложениями" № ГР 01.960.011298, проектов РФФИ 99-01-00362, 01-01-96482.

Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались: на всероссийских конференциях молодых ученых "Математическое моделирование физико-механических процессов", Пермь, 1995,1996,1997 гг.; на заседаниях 11-й и 12-й Зимних Школ по механике сплошных сред, Пермь, 1997 и 1999 гг.; на международных конференциях: "Солнце в максимуме активности и солнечно-звездные аналогии", Пулково, Санкт-Петербург, 2000 г.; "Seventh European Turbulence Conference", Saint-Jean Cap Ferrat, France, 1998 г.; "Plasma turbulence and energetic particles in astrophysics", Cracow, Poland, 1999 г.; "Fourth international PAMIR conference on MagnetoHydroDynamic at Dawn of Third Millenium", Presqu'ile de Giens, France. 2000 г.; на Втором международном симпозиуме "Turbulent and shear flow phenomena", Stockholm, Sweden, 2001 г.; на Пермском городском гидродинамическом семинаре, ПГУ, 2001 г.; на семинаре кафедры Математического Моделирования Пермского Государственного Технического Университета, 2001 г.; на семинарах Института Механики Сплошных Сред, Пермь, 1996-2001 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ ([87]-[100]).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения и Списка литературы (100 наименований). В работе приводится 22 рисунка и 1 таблица. Общий объем диссертации составляет 100 страниц.

Основные результаты работы

1. Рассмотрена каскадная модель развитой конвективной турбулентности несжимаемой жидкости. Численно исследованы режимы, возникающие при больших числах Релея в случае трех- и двухмерного движения. Показано, что в модели трехмерной турбулентной конвекции на больших масштабах возникает инерционный интервал Обухова-Болджиано, но он не устойчив и сменяется колмогоровским режимом, когда сила Архимеда эффективна только в макромасштабе, а во всех остальных температура ведет себя как пассивная примесь. Смена режимов происходит по мере потери коррелированности между каскадными переменными, описывающими пульсации скорости и температуры заданного масштаба.

2. Показано, что в двухмерной конвективной турбулентности стационарное решение возможно только при введении дополнительной диссипации в больших масштабах. В решении появляется интервал масштабов, в котором существенны силы плавучести, но влияние линейного трения меняет динамику конвективного интервала и приводит к установлению спектрального распределения кинетической энергии, отличного от того, что следует из соображений размерности для интервала Обухова-Болджиано.

3. Получены спектральные распределения энергии пульсаций скорости и температуры в двумерной конвективной турбулентности при очень больших и очень маленьких значениях числа Прандтля. Теоретически предсказана и подтверждена численным экспериментом гипотеза о существовании в вязко-конвективном интервале спектра кинетической энергии закона Еу ~

4. Исследована зависимость порога возбуждения генерации мелкомасштабного магнитного поля от магнитного числа Прандтля в каскадной модели мелкомасштабного динамо. Некоторая зависимость обнаружена, но не столь существенная, как представлялось Бэтчелору, и не исключающая возможность мелкомасштабного динамо в звездах и галактиках.

5. Исследована зависимость характера эволюции каскадной модели МГД-турбулентности на больших временах от вида начальных условий и способа внешней подкачки энергии. В случае постоянной подкачки энергии в наибольший масштаб система приходит к когерентному состоянию с высокой корреляцией магнитного поля и поля скорости, что в свою очередь приводит к вырождению турбулентного потока. Если же кинетическую энергию наибольшего масштаба удерживать постоянной, то система проявляет нетривиальное поведение. Периоды сильной осцилляции корреляционного параметра С чередуются длительными периодами с почти постоянным его значением.

3.2.5. Заключение

В рамках каскадной модели МГД-системы демонстрируется, что финальная стадия турбулентного динамо зависит от типа самой турбулентности. В случае свободного вырождения финальная стадия достигается через несколько десятков оборотов максимального турбулентного вихря и характеризуется статистическим равнораспределением между кинетической и магнитной энергией при низком уровне перекрестной спиральности. Поведение возбуждаемой турбулентности много сложнее. После длинной мета-стабильной стадии развития (несколько сотен единиц времени), характеризуемой "колмогоровским" спектром "—5/3" и малой перекрестной спираль-ностью, наступает режим с высокой корреляцией между магнитным полем и полем скорости. Это состояние описывается крутыми энергетическими спектрами и слабым спектральным потоком энергии, который вызывает рост полной энергии системы.

0.8

0.6

0.4

0.2

1000 2000 3000 4000 5000 т

Рис. 3.10. Временная корреляция W(t). Квази-экспоненциальное вырождение корреляции с характерным временным масштабом го = 200 наблюдается при т < 500. 1

КГ

10

10

1 Г

10"

10"

10

-3

At

Рис. 3.11. Плотность распределения р(At). Штриховая линия соответствует степенному закону p(At) ~ At~1,7.

1. Аристов С.Н., Фрик П.Г. Нелинейные эффекты взаимодействия конвективных вихрей и магнитного поля в тонком слое проводящей жидкости. // Магнитная гидродинамика. 1990. № 1. С. 82-88.

2. Вайнштейн С.И., Зельдович Я.В., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука, 1980. 352 с.

3. Гледзер Е.Б. О законе "2/3" теории турбулентности и оценке содержащейся в нем постоянной на основе редукции уравнений гидродинамики // ЖЭТФ. 1986. т. 91, № 3. С. 818-825.

4. Гледзер Е.Б. Система гидродинамического типа, допускающая два квадратичных интеграла движения // Докл. АН СССР. 1973. т. 209, № 5. С. 1046-1048.

5. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука, 1981. 366 с.

6. Гледзер Е.Б., Макаров А.А. О построении каскадной модели двумерной турбулентности // Изв. Ан. СССР. Физика атмосферы и океана. 1979. т. 15, № 9. С. 899-906.

7. Гледзер Е.Б., Макаров А.А. Определение эффективной вязкости в конечномерных каскадных моделях турбулентности // Изв. Ан. СССР. Физика атмосферы и океана. 1985. т. 21, № 9. С. 899-906.

8. Глуховский А.Б. Об устойчивости нелинейных систем типа цепочек, моделирующих каскадные процессы передачи энергии // Изв. Ан. СССР. Физика атмосферы и океана. 1975. т. 15, № 8. С. 779-788.

9. Глуховский А.Б. Эффект квадратичного трения в многоярусных нелинейных системах // Изв. Ан. СССР. Физика атмосферы и океана. 1977. т. 13, № 9. С. 917-925.

10. Голицын Г.С. Принципы скорейшей реакции в гидродинамике, геофизике, астрофизике // Доклады РАН. 1997. т. 356. № 3. С. 321-324.

11. Деснянский В.Н., Новиков Е.А. Моделирование каскадных процессов в турбулентных течениях // ПММ. 1974. т. 38, № 3. С. 507-513.

12. Деснянский В.Н., Новиков Е.А. Эволюция спектров турбулентности к режиму подобия // Изв. Ан. СССР. Физика атмосферы и океана. 1974. т. 10, № 2. С. 127-136.

13. Зельдович Я.Б. Магнитное поле в проводящей турбулентности при двумерном движении // ЖЭТФ. 1956. т. 31. С. 154-155.

14. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // Успехи физических наук. 1987. т. 152, № 1. С. 3-32.

15. Зимин В.Д. Иерархическая модель турбулентности // Изв. АН СССР. Физ. Атм. и Океана. 1981. т. 17, № 12. С. 1265-1273.

16. Зимин В.Д., Колпаков Н.Ю. Каскадные уравнения спиральной МГД-турбулентности // Тезисы докладов XII Рижского совещания по МГД. Рига. 1987. 4.1. С. 75-78.

17. Зимин В.Д., Фрик П.Г. Турбулентная конвекция. М.: Наука, 1988. 173 с.

18. Зимин В.Д., Фрик П.Г., Шайдурова Т.Е. Иерархические базисы для описания турбулентных полей // рук.деп. ВИНИТИ 10.11.1986. № 7679-В86. 20 с.

19. Ирошников Р.С. Турбулентность проводящей жидкости в сильном магнитном поле // Советская астрономия. 1963. т. 40. С. 742-750.

20. Казанцев А.П. Об усилении магнитного поля проводящей жидкостью //ЖЭТФ. 1967. т. 53. С. 1806-1813.

21. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. М.: Мир, 1984.

22. Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Уравнение динамо в случайном короткокоррелированном поле скорости // Магнитная гидродинамика. 1983. № 4. С. 67-72.

23. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Наука, 1967. 720 с.

24. Моффат Г.К. Генерация магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980.

25. Новиков В.Г., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Кинематическое динамо в отражательно инвариантной турбулентности // ЖЭТФ. 1983. т. 85. С. 909-918.

26. Обухов A.M. О влиянии архимедовых сил на структуру температурного поля в турбулентном потоке // Докл. АН СССР. 1959. т. 125, № 6. С. 1246-1248.

27. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981. 254 с.

28. Фрик П.Г. Иерархическая модель двумерной турбулентности // Магнитная гидродинамика. 1983. № 1. С. 60-66.

29. Фрик П.Г. Двумерная МГД-турбулентность. Иерархическая модель. // Магнитная гидродинамика. 1984. № 3. С. 48-54.

30. Фрик П.Г. Моделирование каскадных процессов в двухмерной турбулентной конвекции //ПМТФ. 1986. № 2. С. 71-79.

31. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы. Часть II. Курс лекций. Пермь: ПГТУ, 1999. 136 с.

32. Шайдурова Т.Е. Иерархическая модель турбулентной конвекции: Препринт. Свердловск: ИМСС, 1986. 35 с.

33. Шайдурова Т.Е. Моделирование каскадных процессов в МГД-турбулентности // Всес. школа-семинар: Математическое моделирование в науке и технике. Тезисы докладов, Пермь. 1986. С. 292-293.

34. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.

35. Anufriev A., Sokoloff D. Fractal properties of geodinamo models // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1994. v. 74. P. 207-223.

36. Aurell E., Boffetta G., Crisanti A., Frick P., Vulpiani A. Statistical mechanics of shell models for two-dimensional turbulence // Phys. Rev. E. 1994. v. 50, N 6. P. 4705-4715.

37. Aurell E., Frick P., Shaidurov V. Hierarchical tree-model of 2D turbulence // Physica D. 1994. v. 72. P. 95.

38. Batchelor G.K. Computation of the energy spectrum in homogeneous two-dimensional turbulence // Phys. Fluids Suppl. II. 1969. v. 12. P. 233-239.

39. Batchelor G.K. On the spontaneous magnetic field in a conducting fluid in turbulent motion // Proc. Roy. Soc. London A. 1950. v. 201. P. 405-416.

40. Batchelor G.K., Howells I.D., Townsend A.A. Small-scale variation of convected quantities like temperature in turbulent fluid. Part 2. The case of large conductivity // J.Fluid Mech. 1959. v. 5, N 1. P. 134-139.

41. Beck R., Brandenburg A., Moss D., Shukurov A., Sokoloff D. Galactic magnetism: recent developments and perspectives // Ann. Rev. Astron. Astrophys. 1996. N 34. P. 155-206.

42. Bell Т., Nelkin M. Time-dependent scaling relations and a cascade model of turbulence // J. Fluid Mech. 1978. v. 88, N 2. P. 369-391.

43. Benzi R., Biferale L., Trovatore E. Helical shell models for three dimensional turbulence. // Phys. Rev. E. 1996. v. 53. P. 3541-3550.

44. Benzi R., Patarnello S., Santangelo P. Self-similar coherent structures in two-dimensional decaying turbulence //J. Phys. A: Math. Gen. 1988. v. 21. P. 1221-1237.

45. Biferale L., Lambert A., Lima R., Paladin G. Transition to chaos in a shell model of turbulence // Physica D. 1995. v.80, N 1-2. P. 105.

46. Biskamp D. Cascade models for magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. E. 1994. v. 50. P. 2702-2711.

47. Biskamp D. Nonlinear Magnetohydrodynamics. Cambridge University Press, Cambridge. 1993.

48. Boffetta G., Carbone V., Giuliani P., VeltriP., Vulpiani A. Power laws in solar flares: self-organized criticality or turbulence? // Phys. Rev. Lett. 1999. v. 83. P. 4662-4665.

49. Bohr Т., Jensen M., Paladin G., Vulpiani A. Dynamical systems approach to turbulence. Cambridge University Press, Cambridge. 1998.

50. Bolgiano R. Turbulent spectra in a stably stratified atmosphere // J. Geophys. Res. 1959. v. 64, N 12. P. 2226-2229.

51. Brandenburg A. Energy spectra in a model for convective turbulence // Phys. Rev. Lett. 1992. v. 69, N 4. P. 605-608.

52. Brandenburg A., Jennings R.L., Nordlund A., Rieutord M., Stein R.F., Tuominen I. Magnetic structures in a dynamo simulation //J. Fluid Mech. 1996. v. 306. P. 325-353.

53. Carbone V. Scale similarity of the velocity structure functions in fully developed magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. E. 1994. v. 50. P. 671-674.

54. Childress S., Gilbert A.D. Stretch, twist, fold: the fast dynamo. Springer, 1995.

55. Chilla F., Ciliberto S., Innocenti C., Pampaloni E. Boundary layer and scaling properties in turbulent thermal convection // Nuovo cim. D. 1993. v. 15, N 9. P. 1229-1249.

56. Cioni S., Ciliberto S., Sommeria J. Temperature structure function in turbulent convection at low Prandtl number // Europhys. Lett. 1995. v. 32, N 5. P. 413-418.

57. Ditlevsen P.D. Symmetries, invariant, and cascades in a shell model of turbulence. // Phys. Rev. E. 2000. v. 62. N 1. P. 484-489.

58. Dobrowolny M., Mangeney A., Veltri P.-L. Fully developed anisotropic hydromagnetic turbulence in interplanetary space // Phys. Rev. Letters. 1980. v. 45, N 2. P. 144-147.

59. Frick P., Aurell E. On spectral laws of 2D turbulence in shell models // Europhys. Lett. 1993. v. 24, N 9. P. 725-730.

60. Frick P., Dubrulle В., Babiano A. Scaling properties of a class of shell-models // Phys. Rev. E. 1995. v. 51, N 6. Pt A. P. 5582-5593.

61. Frick P.G., Sokoloff D.D. Cascade and dynamo action in a shell model of magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. E. 1998. v. 57. P. 41554164.

62. Giuliani P. Shell models for Magnetohydrodynamic turbulence // Nonlinear MHD waves and turbulense. Eds. T. Passot and P. L. Sulem, Lecture notes in physics, Springer Verlag. 1999. P. 331.

63. Giuliani P., Carbone V. A note on shell models for MHD turbulence //Europhys. Lett. 1998. v. 43. P. 527-532.

64. Gloaguen C., Leorat J., Pouquet A., Grappin R. A scalar model for MHD turbulence // Physica D. 1985. v. 17. P. 154-182.

65. Grappin R., Leorat J., Pouquet A. Computation of the dimension of a model of fully developed turbulence // J. Phys. (Paris). 1986. v. 47. P. 1127-1136.

66. Gruzinov A.V., Diamond P.H. Self-consistent theory of mean-field electrodynamics // Phys. Rev. Lett. 1994. v. 72. P. 1651-1653.

67. Jensen M.H., Paladin G., Vulpiani A. Shell model for turbulent advection of passive scalar fields // Phys. Rev. A. 1992. v. 45, N 10. P. 7214-7221.

68. Kadanoff L., Lohse D., Wang J., Benzi R. Scaling and dissipation in the GOY shell model // Phys.Fluids. 1995. v. 7, N 3. P. 617-629.

69. Korpi M.J., Brandenburg A., Shukurov A., Tuominen I., Nordlund A. A supernova-regulated interstellar medium: simulations of the turbulent multiphase medium // Astrophys. Lett J. 1999. v. 514. P. L99-L102.

70. Kleeorin N, Rogachevskii I. Nonlinear theory of magnetic fluctuations in random flow: The Hall effect // Phys. Rev. E. 1994. v. 50. P. 493-501.

71. Knobloch E. Turbulent diffusion of magnetic fields // Astrophys. J. 1978. v. 225. P. 1050-1057.

72. Kraichnan R.H. Inertial-range spectrum of hydromagnetic turbulence // Phys.Fluids. 1965. v. 8 P. 1385-1387.

73. Kraichnan R.H. Inertial ranges in two-dimensional turbulence // Phys. Fluids. 1967. v. 10, N 7. P. 1417-1423.

74. Kraichnan R.H., Nagarajan S. Growth of turbulent magnetic fields // Phys. Fluids. 1967. v. 10. P. 859-870.

75. Kulsrud R.M., Anderson S.W. The spectrum of random magnetic fields in the mean field dynamo theory of the galactic magnetic field // Astrophys. Jour. 1992. v. 396. P. 606-630.

76. L'vov V., Podivilov E., Pomyalov A., Procaccia I., Vandembroucq D. Improved shell model of turbulence. // Phys. Rev. E. 1998. v. 52. N 2. P. 1811-1822.

77. Meneguzzi M., Frisch U., Pouquet A. Helical and Nonhelical Turbulent Dynamos // Phys. Rev. Lett. 1981. v. 47. P. 1060-1064.

78. Mingshan J., Shida L. Scaling behaviour of velocity and temperature in a shell model for termal convective turbulence //Phys. Rev. E. 1997. v. 56. P. 441-446.

79. Pisarenko D., Biferale L., Courvoisier D., Frisch U., Vergassola M. Further results on multifractality in shell models // Phys. Fluids A. 1993. v. 5, N 10. P. 2533-2538.

80. Pouquet A., Menneguzzi M., Frisch U. Growth of correlations in magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rew. A. 1986. v. 33. N 6. P. 4266-4276.

81. Rikitake T. Oscillations of a system of disk dynamos // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1958. v. 54. P. 89.

82. Siggia E.D. High Rayleigh number convection. Review. // Annu. Rev. Fluid Mech. 1994. v. 26. P. 137-168.

83. Vainstein S.I., Cattaneo F. Nonlinear restrictions on dynamo action // Astrophys. J. 1992. v. 393. P. 165-171.

84. Wu X.Z., Kadanoff L., Libchaber A., Sano M. Frequency power spectrum of temperature fluctuations in free convection // Phys. Rev. Lett. 1990. v. 64, N 18. P. 2140-2143.

85. Yamada M., Ohkitani K. The constant of motion and the inertial subrange spectrum in fully-developed model turbulence // Phys. Lett. A. 1988. v. 134, N 3. P. 165-169.

86. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. Magnetic fields and astrophysics. N.Y.: Gordon and Breach, 1983.k ~k ~k

87. Ложкин С.А., Фрик П.Г. Моделирование каскадных процессов в конвективной турбулентности при экстремальных значениях числа Прандтля // Математическое моделирование систем и процессов. 1996. № 4. С. 53-60.

88. Ложкин С.А., Фрик П.Г. Инерционный интервал Обухова-Болджиано в каскадных моделях конвективной турбулентности // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 6. С. 37-46.

89. Ложкин С.А., Соколов Д.Д., Фрик П.Г. Магнитное число Прандтля и мелкомасштабное МГД-динамо // Астрономический журнал. 1999. т. 76, № 11. С. 853-859.

90. Ложкин С.А., Фрик П.Г. Конвективная турбулентность Обухова-Болджиано в каскадных моделях //XI Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь. 1997. С. 198.

91. Антонов Т.Ю., Ложкин С.А., Соколов Д.Д., Фрик П.Г. Когерентные состояния в солнечной МГД турбулентности // Международная конференция "Солнце в максимуме активности и солнечно-звездные аналогии", Тезисы докладов, Пулково, Санкт-Петербург. 2000. С. 13.

92. Frick P., Boffetta G., Giuliani P., Lozhkin S., Sokoloff D. Long-time behavior of MHD shell models // Europhysics Letters. 2000. v. 52, N 5. P. 539-544.

93. Frick P.G., Lozhkin S.A., Sokoloff D.D. The role of magnetic Prandtl number in a small-scale MHD dynamo // XII Winter School on Continuous Media Mechanics, Book of abstracts, Perm. 1999. P. 20.

94. Lozhkin S.A., Frick P.G. The Obukhov-Bolgiano inertial range in ashell model of turbulent convection // Seventh European Turbulence Conference, Proceedings, Saint-Jean Cap Ferrat, France. 1998. P. 439-440.

95. Frick P., Lozhkin S., Sokoloff D. Long-time behaviour of MHD shell models // International conference "Plasma turbulence and energetic particles in astrophysics", Proceedings, Poland, Cracow. 1999. P. 190-196.

96. Antonov Т., Lozhkin S., Frick P., Sokoloff D. A shell model for free decaying MHD-turbulence and the role of the magnetic Prandtl number // Magnetohydrodynamics-2001 .-v. 37, № 1-2.-P. 3-8.

97. Antonov Т., Lozhkin S., Frick P., Sokoloff D. Evolution of cross-correlation in free decaying and forced MHD turbulence //Second international symposium "Turbulent and shear flow phenomena", Proceedings, Stockholm, Sweden. 2001. P 269-272.